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Professores: Rogério Emrich e Mário Mendes
Apostila de Matemática – Modelo UERJ
1º Qualify 2009
QUESTÃO 25
Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 exemplares de Aedes aegypti, cada um
deles contaminado com apenas um dos tipos de vírus, de acordo com a seguinte tabela:
Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a probabilidade de que pelo menos
um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:
8
(A)
81
10
(B)
99
11
(C)
100
21
(D)
110
QUESTÃO 27
Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10 cm. Na ilustração de parte
desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos e representam os pontos nos quais se encontram,
respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga.
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para alcançálo. Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos
e as dimensões dos animais. A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formiga
chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a:
(A) 3,5
(B) 5,0
(C) 5,5
(D) 7,0
Rogério: [email protected] Mário: [email protected]
QUESTÃO 30
Vários grupos de pesquisadores vêm desenvolvendo técnicas de manipulação que retirem do vírus apenas a
parte de seu material genético associado à patogenicidade, e insiram o material correspondente ao de genes
humanos normais.
No tratamento de algumas doenças genéticas, esse vírus modificado, ao ser introduzido no organismo, poderá
transferir a informação nele adicionada para o DNA das células do paciente, substituindo o gene lesado.
3
Um vírus, formado por uma hélice simples de RNA contendo 51 x 10 bases nitrogenadas, sofreu o seguinte
processo de manipulação em um experimento:
 dois fragmentos de RNA, identificados como X e Y, contendo cada um 103 e 104 bases,
respectivamente, foram retirados de seu genoma;
 apenas um fragmento de RNA, contendo n bases, foi introduzido nele.
Admita que o número total de bases, após a modificação, equivalia ao quinto termo de uma progressão
geométrica, na qual o número de bases dos fragmentos X e Y correspondia, respectivamente, ao primeiro e ao
terceiro termos dessa progressão.
No experimento, a quantidade n de bases nitrogenadas contidas no fragmento introduzido no vírus
foi igual a:
2
(A) 3 x 10
(B) 5 x 103
(C) 6 x 104
(D) 4 x 105
QUESTÃO 33
Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das
faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo.
Considerando  = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de
uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a:
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
QUESTÃO 42
Os gráficos 1 e 2 representam a posição S de dois corpos em função do tempo t.
1
t .
2
Assim, a equação que define o movimento representado pelo gráfico 2 corresponde a:
No gráfico 1, a função horária é definida pela equação S  2 
(A) S  2  t
(B) S  2  2t
4
(C) S  2  t
3
6
(D) S  2  t
5
2º Qualify 2009
QUESTÃO 23
Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de
acordo com a tabela:
Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto
com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos
seguintes critérios:
- duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo;
- três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também
das outras duas.
De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos
distintos entre si que podem ser formados é igual a:
(A) 32
(B) 40
(C) 56
(D) 72
QUESTÃO 28
Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista,
há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E e F, que dividem a circunferência em seis
arcos, cada um medindo 60 graus.
Observe o esquema:
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em direção a
cada um dos outros cones, sempre correndo em linha reta e
retornando ao cone A. Assim, seu percurso correspondeu a
ABACADAEAFA.
Considerando 3  1,7 , o total de metros percorridos pelo atleta
nesse treino foi igual a:
(A) 1480
(B) 2960
(C) 3080
(D) 3120
QUESTÃO 32
Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico I, a função horária é definida pela equação S = a1t2 + b1t e, no gráfico II, por S = a2t2 + b2t.
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão
a1
é igual a:
a2
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
QUESTÃO 40
Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de compras passando pelos setores 1, 2 e 3, com uma
força de módulo constante de 4 newtons, na mesma direção e mesmo sentido dos deslocamentos.
Na matriz A abaixo, cada elemento aijindica, em joules, o trabalho da força que o cliente faz para deslocar o
carrinho do setor i para o setor j, sendo i e j elementos do conjunto {1, 2, 3}.
Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar ao setor 1, a trajetória do cliente descreve o
perímetro de um triângulo. Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância de:
(A) 35
(B) 40
(C) 45
(D) 50
QUESTÃO 41
Nas ilustrações abaixo, estão representados três sólidos de bases circulares, todos com raios iguais e mesma
altura. Considere as medidas dos raios iguais às medidas das alturas, em centímetros.
As massas específicas de quatro substâncias, três das quais foram empregadas na construção desses sólidos,
estão indicadas na tabela:
Admita que os sólidos tenham a mesma massa e que cada um tenha sido construído com apenas uma dessas
substâncias.
De acordo com esses dados, o cone circular reto
foi construído com a seguinte substância:
(A) w
(B) x
(C) y
(D) z
QUESTÃO 42
Muitas joias são constituídas por ligas feitas de uma mistura de ouro puro com outros metais.
Uma joia é considerada de ouro n quilates se
n
de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro, maior
24
ou igual a 1 e menor ou igual a 24.
Uma aliança de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g.
Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é
necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a:
(A) 1,0
(B) 1,5
(C) 2,0
(D) 3,0
QUESTÃO 43
Uma pequena planta é colocada no centro P de um círculo, em um ambiente cuja única iluminação é feita por
uma lâmpada L. A lâmpada é mantida sempre acesa e percorre o perímetro desse círculo, no sentido horário,
em velocidade constante, retornando a um mesmo ponto a cada período de 12 horas.
Observe o esquema:
No interior desse círculo, em um ponto O, há um obstáculo que projeta sua sombra
sobre a planta nos momentos em que P, O e L estão alinhados, e o ponto O está
entre P e L.
Nessas condições, mediu-se, continuamente, o quociente entre as taxas de emissão de O2 e de CO2 da planta.
Os resultados do experimento estão mostrados no gráfico, no qual a hora zero corresponde ao momento em
que a lâmpada passa por um ponto A.
As medidas, em graus, dos ângulos formados entre as
retas AP e PO são aproximadamente iguais a:
(A) 20 e 160
(B) 30 e 150
(C) 60 e 120
(D) 90 e 90
1º Qualify 2010
QUESTÃO 23
O butano é um gás utilizado como matéria-prima na síntese de diferentes compostos, como, por exemplo, o
1,4-dibromobutano. Esse composto pode ser obtido a partir da reação de substituição entre o butano e o bromo
molecular. Substituindo-se simultaneamente e de forma aleatória dois átomos de hidrogênio do butano por dois
átomos de bromo, a probabilidade de que seja obtido o 1,4-dibromobutano é igual a:
(A) 0,2
(B) 0,4
(C) 0,6
(D) 0,8
QUESTÃO 31
Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um suporte, serão usados em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
- sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;
- quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é
desperdiçado;
- quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são
desperdiçados;
- quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;
- foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35%
deles.
- a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos
3
juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de .
2
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
(A) 30.
(B) 35.
(C) 40.
(D) 45.
QUESTÃO 32
Um foguete persegue um avião, ambos com velocidades constantes e mesma direção. Enquanto o foguete
percorre 4,0 km, o avião percorre apenas 1,0 km. Admita que, em um instante t1, a distância entre eles é de 4,0
km e que, no instante t2 , o foguete alcança o avião.
No intervalo de tempo t2-t1, a distância percorrida pelo foguete, em quilômetros, corresponde aproximadamente
a:
(A) 4,7
(B) 5,3
(C) 6,2
(D) 8,6
QUESTÃO 33
A figura a seguir representa um fio AB de comprimento igual a 100 cm, formado de duas partes homogêneas
sucessivas: uma de alumínio e outra, mais densa, de cobre.
Uma argola P que envolve o fio é deslocada de A para B.
Durante esse deslocamento, a massa de cada pedaço de comprimento AP é medida. Os resultados estão
representados no gráfico abaixo:
A razão entre a densidade do alumínio e a densidade do cobre é
aproximadamente igual a:
(A) 0,1
(B) 0,2
(C) 0,3
(D) 0,4
QUESTÃO 35
A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de
laranja apresenta pH = 2,3.
Considerando log 2 = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol.L-1, equivale a:
(A) 0,001
(B) 0,003
(C) 0,005
(D) 0,007
QUESTÃO 39
Considere como um único conjunto as 8 crianças - 4 meninos e 4 meninas - personagens da tirinha. A partir
desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de
meninas. O maior valor de n é equivalente a:
(A) 45
(B) 56
(C) 69
(D) 81
QUESTÃO 41
A figura abaixo representa uma piscina completamente cheia de água, cuja forma é um prisma hexagonal
regular.
Admita que:
– A, B, C e D representam vértices desse prisma;
AB
3
– o volume da piscina é igual a 450 m3 e
;

CD 10
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto médio da aresta CD, utilizando apenas glicose como
fonte de energia para seus músculos.
A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s. O intervalo de tempo, em segundos,
gasto nesse percurso equivale a cerca de:
(A) 12,2
(B) 14,4
(C) 16,2
(D) 18,1
2º Qualify 2010
QUESTÃO 23
A nanotecnologia surgiu na segunda metade do século XX, possibilitando estimar o tamanho de moléculas e o
comprimento de ligações químicas em nanômetros (nm), sendo 1nm igual a 10-9 m.
A tabela a seguir apresenta os comprimentos das ligações químicas presentes na molécula do cis-1,2dicloroeteno:
Admita que:
• os núcleos atômicos têm dimensões desprezíveis;
• os comprimentos das ligações correspondem à distância entre os
núcleos.
A distância, em nanômetros, entre os dois núcleos de hidrogênio na molécula do cis-1,2-dicloroeteno equivale
a:
(A) 0,214
(B) 0,243
(C) 0,272
(D) 0,283
QUESTÃO 25
Na espécie humana, a calvície - uma herança influenciada pelo sexo - é determinada por um alelo dominante
nos homens (C), mas recessivo nas mulheres (c).
Considere um casal, ambos heterozigotos para a calvície, que tenha um filho e uma filha.
Com base apenas nos genótipos do casal, a probabilidade de que seus dois filhos sejam calvos é de:
3
16
3
(B)
4
1
(C)
8
1
(D)
2
(A)
QUESTÃO 27
Um objeto é deslocado em um plano sob a ação de uma força de intensidade igual a 5 N, percorrendo em linha
reta uma distância igual a 2 m. Considere a medida do ângulo entre a força e o deslocamento do objeto igual a
15º, e T o trabalho realizado por essa força. Uma expressão que pode ser utilizada para o cálculo desse
trabalho, em joules, é T= 5 x 2 x sen .
Nessa expressão, equivale, em graus, a:
(A) 15
(B) 30
(C) 45
(D) 75
QUESTÃO35
Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do
prisma.
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da
pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a:
(A) 2 2
3 2
4
2 1
(C)
2
(B)


(D) 2 2  1
QUESTÃO 37
Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a velocidade e a
energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C.
Se (E1, E2, E3) é uma progressão geométrica de razão
1
, a razão da progressão geométrica (V1 , V2 , V3) está
2
indicada em:
(A) 1
(B)
2
(C)
2
2
(D)
1
2
QUESTÃO 38
Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em
exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que
não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.
Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser
formados contendo 4 sábados é de:
(A) 80
(B) 96
(C) 120
(D) 126
QUESTÃO 39
A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível
desse líquido tem 12 cm de altura.
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se
a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a:
(A) 16
(B) 18
(C) 20
(D) 22
QUESTÃO 40
Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme
representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.
x 2 2x
.

75
5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
(A) 38
(B) 40
(C) 45
(D) 50
A equação de uma dessas parábolas é y  -
QUESTÃO 41
Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e
o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida
pela seguinte equação:
(A) y  4  sen( x)
(B) y  4  cos( x)
(C) y  sen( x)  16  cos 2 x
(D) y  cos( x)  16  sen 2 x
1º Qualify 2011
QUESTÃO 26
Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos X e Y, contendo três resistores cujas
resistências medem, em ohms, a, b e c.
Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica
1
de razão
e que a resistência equivalente entre X e Y mede
2
2,0 Ω.
O valor, em ohms, de (a + b + c) é igual a:
(A) 21,0
(B) 22,5
(C) 24,0
(D) 24,5
QUESTÃO 29
Um homem arrasta uma cadeira sobre um piso plano, percorrendo em linha reta uma distância de 1 m.
Durante todo o percurso, a força que ele exerce sobre a cadeira possui intensidade igual a 4 N e direção de 60°
em relação ao piso.
O gráfico que melhor representa o trabalho T, realizado por essa força ao longo de todo o deslocamento d, está
indicado em:
(A)
(B)
(C)
(D)
QUESTÃO 33
A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um
prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos
da base superior mede 120o;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa
2
R$10,00 por m e que
3  1,73
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
(A) 0,50
(B) 0,95
(C) 1,50
(D) 1,85
QUESTÃO 34
Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12
garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo
sabor equivale a:
(A) 9,1%
(B) 18,2%
(C) 27,3%
(D) 36,4%
QUESTÃO 37
Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.
4
Admita um filtro que deixe passar
da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a
5
menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.
Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
QUESTÃO 40
Observe as guias para pagamento em cota única do IPTU-2010 mostradas abaixo.
Em uma delas, com o desconto de 15%, será pago o valor de R$ 1.530,00; na outra, com o desconto de 7%,
será pago o valor de R$ 2.790,00.
O desconto percentual médio total obtido com o pagamento desses valores é igual a:
(A) 6%
(B) 10%
(C) 11%
(D) 22%
QUESTÃO 41
Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os
lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos
comprimentos
totais
são
todos
iguais
a
d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os
comprimentos desses caminhos, X equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10
2º Qualify 2011
QUESTÃO 30
Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas
mantêm sempre um ângulo de 60o. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de
sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante
do percurso.
Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas
dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira
em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão
N1
é igual a:
N2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
QUESTÃO 32
Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao
inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração:
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a
sereminseridas na máquina corresponde a:
(A) 5
(B) 13
(C) 31
(D) 40
QUESTÃO 35
Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido,
conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume
submerso e o volume do sólido será igual a:
1
(A)
2
3
(B)
4
5
(C)
6
7
(D)
8
QUESTÃO 36
A figura abaixo representa o plano inclinado ABFE, inserido em um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH de
base horizontal, com 6 m de altura CF, 8 m de comprimento BC e 15 m de largura AB, em repouso, apoiado no
solo.
Considere o deslocamento em movimento retilíneo de um corpo P1 de M até N e de um corpo P2 de A até F.
Admita as seguintes informações:
- P1 e P2 são corpos idênticos;
- F1 e F2 são, respectivamente, as componentes dos pesos de P1 e P2 ao longo das respectivas trajetórias;
- M e N são, respectivamente, os pontos médios das arestas AB e EF.
F
Considerando esses dados, a razão 1 equivale a:
F2
17
(A)
6
4
(B)
3
15
3
13
(D)
2
(C)
QUESTÃO 38
A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente
proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é
dividido por esse mesmo número.
Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y,
inversamente proporcionais.
A relação entre x e y pode ser representada por:
(A) y 
3
(D) y 
2x  4
3
x2
5
(B) y 
x
2
(C) y 
x 1
1º Qualify 2012
QUESTÃO 24
Uma das consequências do acidente nuclear ocorrido no Japão em março de 2011 foi o vazamento de isótopos
radioativos que podem aumentar a incidência de certos tumores glandulares. Para minimizar essa
probabilidade, forma prescritas pastilhas de iodeto de potássio à população mais atingida pela radiação.
A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma certa quantidade de
radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
133
Considere uma amostra de 53I , produzido no acidente nuclear, com massa igual a 2 g e meia-vida de 20 h.
Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:
(A) 62,5
(B) 125
(C) 250
(D) 500
QUESTÃO 27
Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como
consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração
de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série
imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
(A) 100
(B) 120
(C) 140
(D) 160
QUESTÃO 31
Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L
de água, com o custo total de R$ 65,00.
Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e
a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n. O valor de n é um divisor de:
(A) 32
(B) 65
(C) 77
(D) 81
QUESTÃO 34
Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número
49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética
de números naturais consecutivos, começando em 37.
Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números
das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética.
Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que
pode ter permanecido na fila é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 12
QUESTÃO 42
Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes potências, são produzidos por um
determinado fabricante.
Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi realizada com 1000 usuários desses produtos. Observe a
matriz A , na qual cada elemento aij representa o número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o
modelo j.
 50 150 200 


A   0 100 300 
0
0 200 

Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele não pretenda trocar
seu modelo de ar-condicionado é igual a:
(A) 20%
(B) 35%
(C) 40%
(D) 65%
QUESTÃO 43
A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos
A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência.
Considere os seguintes dados:
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:
(A) 3,1
(B) 3,3
(C) 3,5
(D) 3,6
2º Qualify 2012
QUESTÃO 22
As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos
semelhantes.
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a
razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor
é igual a:
(A)
3
3
(B)
3
4
(C)
6
(D)
8
QUESTÃO 28
Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número de
páginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização.
O primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada página, foi descartado, uma vez que
sobraram 50 fotos.
Com a adoção do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, não
sobraram fotos nem páginas, e o objetivo da família foi alcançado.
O número total de páginas em que foram colocadas três fotos é igual a:
(A) 15
(B) 25
(C) 50
(D) 75
QUESTÃO 35
Uma grade retangular é montada com 15 tubos de 40 cm na posição vertical e com 16 tubos de 50 cm na
horizontal. Para esse tipo de montagem, são utilizados encaixes nas extremidades dos tubos, como ilustrado
abaixo:
Se a altura de uma grade como essa é igual ao comprimento de x
tubos, e a largura equivale ao comprimento de y tubos, a
expressão que representa o número total de tubos usados é:
(A) x2 + y2 + x + y - 1
(B) xy + x + y + 1
(C) xy + 2x + 2y
(D) 2xy + x + y
QUESTÃO 38
Em uma viagem ao exterior, o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina,
a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a
capacidade do galão é de 3,8 L.
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:
(A) 1,28
(B) 1,40
(C) 1,75
(D) 1,90
QUESTÃO 40
Uma pessoa empurrou um carro por uma distância de 26 m, aplicando uma força F de mesma direção e
sentido do deslocamento desse carro. O gráfico abaixo representa a variação da intensidade de F, em
newtons, em função do deslocamento d, em metros.
Desprezando o atrito, o trabalho total, em joules, realizado por F,
equivale a:
(A) 117
(B) 130
(C) 143
(D) 156
QUESTÃO 42
A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em
ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto
romano.
Considere o número máximo de placas
distintas que podem ser confeccionadas no
país X igual a n e no país Y igual a p.
n
A razão corresponde a:
p
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 6
Exame Discursivo
Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias
Competência de área 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros,racionais e reais.
H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos númerose operações naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobreafirmações
quantitativas.
H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
QUESTÃO 01
(UERJ2012)Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordocom o
seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi
necessária a construção de mais 21 estradaspavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de
acordo com o mesmocritério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.
Cálculos e observações
QUESTÃO 02
(UERJ2012)Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.
DIAS DA SEMANA
VALOR UNITÁRIO DO RODÍZIO(R$)
segunda-feira, terça-feira,
18,50
quarta-feira e quinta-feira
sexta-feira,
22,00
sábado e domingo
Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma mesma semana,pagando um rodízio em
cada dia. Determine o valor médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana.
QUESTÃO 03
(UERJ2011)Um supermercado realiza uma promoção com o objetivo de diminuir o consumo de
sacolasplásticas: o cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no mercado terá um desconto de R$0,03 a
cada cinco itens registrados no caixa.
Um participante dessa promoção comprou 215 itens e pagou R$155,00.
Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e não participasse da
promoção.
QUESTÃO 04
(UERJ2011)
Considere a equação:
log 2 x2  log
3
2
x  0 Com x ˃0
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:
log 2 x 2  log
3
2
x
log 2 x 2  3 log 2 x
log 2 x  3
x 2 3
x8
S  {8}
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto. Resolva a equação e determine corretamente o
seu conjunto-solução.
QUESTÃO 05
(UERJ2011)Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:
- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima,
dizendo “cara” ou “coroa”;
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao
errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo.
O jogo terminará quando o número total de letras escritas
por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o
número de letras escritas, considerando apenas o enésimo
erro.
Determine o número total de letras que foram escritas até o
final do jogo.
QUESTÃO 06
(UERJ2010)Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores,
em reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida
constante ao longo de um determinado período.
Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da
empresa B.
QUESTÃO 07
(UERJ2010) Sejam a e b dois números reais positivos e A, G e H, respectivamente, as médias aritmética,
geométricae harmônica desses dois números. Admita que a > b e que a sequência (A, G, H) seja uma
progressãogeométrica de razão
Determine
3
.
2
a
.
b
QUESTÃO 08
(UERJ2010) Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes,
conforme as igualdades a seguir:
Calcule a razão
y
.
x
QUESTÃO 09
(UERJ2009) Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b
por 8 são, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da divisão do produto a.b por 8.
QUESTÃO 10
(UERJ2009) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro namodalidade
salto em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve oseguinte desempenho:
– todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos;
– o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assimsucessivamente cada salto
válido aumentou sua medida em 3 cm;
– o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22 m.
Calcule o valor de n.
QUESTÃO 11
(UERJ2008) Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à
disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes.
Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de
moedas usadas nessa arrumação.
QUESTÃO 12
(UERJ2007)Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, começam sempre em
uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais,
que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendário.
Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho
de 1089 d.C., ano da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem
uma grande festa de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante.
Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada
novamente no ano da serpente.
QUESTÃO 13
(UERJ2007)João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio
várias vezes, conforme ilustrado abaixo.
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.
Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos
números que estão nas extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.
João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição acima, até concluir
dez etapas.
Calcule a soma de todos os números que estarão escritos na etapa 10.
QUESTÃO 14
(UERJ2007)A InternationalElectrotechnicalCommission – IEC padronizou as unidades e os símbolos aserem
usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros,empregados para
especificar múltiplos binários são formados a partir de prefixos já existentesno Sistema Internacional de
Unidades – SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário.
A tabela abaixo indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC.
Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na
linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p  2 30 bytes.
Considere a tabela de logaritmos a seguir.
Calcule o valor de p.
QUESTÃO 15
(UERJ2005) Terno pitagórico é a denominação para os três números inteiros que representam as medidas,
com a mesmaunidade, dos três lados de um triângulo retângulo.
Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:
- escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois números ímpares consecutivos;
- calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração cujos numerador e denominador representam
asmedidas dos catetos de um triângulo retângulo;
- calcula-se a hipotenusa.
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medidas dos três lados de um triângulo retângulo,
considerandoos números pares 4 e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que (x −1) e (x + 1) representam dois pares ou dois
ímparesconsecutivos.
Demonstre que esses dois números geram um terno pitagórico.
QUESTÃO 16
(UERJ2005)
A figura ao lado apresenta 25 retângulos. Observe que quatro desses
retângulos contêm números e um deles, aletra n.
Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros
positivos, de modo que, em cada linha e emcada coluna, sejam formadas
progressões aritméticas de cinco termos.
Calcule:
A) a soma dos elementos da quarta linha da figura;
B) o número que deve ser escrito no lugar de n.
QUESTÃO 17
(UERJ2005)
Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples das expressões:
a) (57, 62) 2 – (42, 38) 2 ;
b) cos6 15º + sen6 15º.
QUESTÃO 18
(UERJ2003) Um homem viaja de carro durante 6 horas consecutivas. Considere que o tempo de viagem
comece a ser contado a partir do instante em que o carro atinge a velocidade de 70 km/h, mantendo-se
constante. Essa velocidade aumenta, instantaneamente, em 5 km/h, apenas ao final de cada intervalo de
meiahora, até atingir o limite máximo permitido de 100 km/h. Depois de manter a velocidade constante de 100
km/h durante meia hora, passa a reduzir sua velocidade, também instantaneamente, em 2 km/h, ao final de
cada intervalo de 15 minutos, até completar as 6 horas de viagem.
Calcule a distância total percorrida pelo carro no período de tempo considerado.
QUESTÃO 19
(UERJ2001) Observe a tabela de Pitágoras.
Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha.
Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço
tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como
solução de problemas do cotidiano.
QUESTÃO 20
(UERJ2012)A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular BFGH na qual
estãoapoiados os seguintes instrumentos para desenho geométrico, ambos de espessurasdesprezíveis:
- um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro AB ;
- um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles.
Considere as informações ao lado:
ED está contido em BF ;
OA está contido em BH ;
AB = 10 cm;
BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor
segmento que liga a borda do transferidor
àborda do esquadro.
QUESTÃO 20
(UERJ2012)Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma
de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre doispontos desse paralelepípedo é
igual a 3 m.
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.
QUESTÃO 21
(UERJ2012)Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas
varetas, linha e papel.
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD . A linha utilizada
liga as
extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.
Os segmentos AC e BD . são perpendiculares em E, e os ângulos
são retos.
Se os segmentos AE e EC
e
medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm,
determine o comprimentototal da linha, representada por AB  BC  CD  DA e
BD .
QUESTÃO 22
(UERJ2011)Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano
foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ângulo de 45º com
o chão e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º com a parede inicial.
Observe a ilustração:
Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT,
formado por suas duas partes.
QUESTÃO 24
(UERJ2011)Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD,
um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:
Considere os seguintes dados:
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do
prisma;
BD  BE  BC  1m
Determine o volume inicial da pedra.
QUESTÃO 25
(UERJ2010)Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os
pontos médios dedois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja
maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema
proposto no jogo.
Calcule a razão
PS
PQ
QUESTÃO 26
(UERJ2010) Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces
opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto,
conforme ilustrado abaixo.
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na
divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa.
QUESTÃO 27
(UERJ2009) Observe a curva AEFB desenhada abaixo.
Analise os passos seguidos em sua construção:
1º) traçar um semicírculo de diâmetro AB com centro C e raio 2 cm;
2º) traçar o segmento
arco AB;
CD , perpendicular a AB , partindo do ponto C e encontrando o ponto D,pertencente ao
3º) construir o arco circular AE, de raio AB e centro B, sendo E a interseção com o prolongamento do
segmento BD , no sentido B para D;
4º) construir o arco circular BF, de raio AB e centro A, sendo F a interseção com o prolongamento do
segmento AD , no sentido A para D;
5º) desenhar o arco circular EF com centro D e raio DE .
Determine o comprimento, em centímetros, da curva AEFB.
QUESTÃO 28
(UERJ2009)Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta questão.
Se
 ,  e    são três ângulos diferentes de
tg     
tg  tg
1  (tg )(tg )

+ k , k   , então
2
a,b e c são três ângulos agudos, sendo tg b  2 e tg(a+b+c)=
4
5
Calcule tg(a - b + c).
QUESTÃO 29
(UERJ2008) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foi
usado em uma aula sobreárea de polígonos.
A figura abaixo representa o tabuleiro com um elástico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C
e D.
Considere u a unidade de área equivalente ao menor
quadrado que pode ser construído com vértices em
quatro pregos do tabuleiro.
Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado
pelo elástico.
QUESTÃO 30
(UERJ2008) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central μ é medido em radianos. A reta que
tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q,
como ilustra a figura.
Sabendo que o ângulo μ satisfaz a igualdade tg  = 2  , calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do
triângulo OPQ.
QUESTÃO 31
(UERJ2008) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam
colineares, conforme representado na ilustração abaixo.
A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um,
12 cm.
Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio
do cilindro variem no intervalo ]0;12[ de modo que ele
permaneça inscrito nesse cone.
Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que
sua área lateral seja máxima.
QUESTÃO 32
(UERJ2007) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio
Considere que João recortou a dobradura referente à figura da etapa 3 na linha que corresponde à corda AB
indicada abaixo.
Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, que havia formado o seguinte polígono:
Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte.
QUESTÃO 33
Considere, novamente, o polígono formado por João, do qual são retirados dois triângulos isósceles.
Com os triângulos restantes é possível formar a superfície lateral de uma pirâmide hexagonal regular.
Calcule as medidas da altura e da aresta da base dessa pirâmide.
QUESTÃO 34
(UERJ2006) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período
da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates
seja dado pela função
P(t) = 0,8 × sen [(2 π/360) (t-101)] + 2,7, na qual t é o número de dias
contados de 1º. de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano.
Para esse período de tempo, calcule:
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates;
b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$ 3,10.
QUESTÃO 35
(UERJ2007)Observe as figuras a seguir.
A figura I mostra a forma do toldo de uma barrada, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois
trapézios isósceles congruentes e dois triângulos.
Calcule:
a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF;
b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em função de h
QUESTÃO 36
(UERJ2006) No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaque-se um
dodecágono cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular,
conforme mostra o desenho a seguir.
a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é um polígono regular.
b) Tomando o quadrado de lado åæ como unidade de área, calcule a área
desse dodecágono.
QUESTÃO 37
(UERJ2009) A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma
bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma.
Admitindo = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo
volume da bola em relação ao volume da caixa.
QUESTÃO 38
(UERJ2005) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana.
Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.
Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:
2
A) a maior área, em cm , pela qual a bola de gude poderá se
deslocar na superfície da mesa;
B) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser
colocada embaixo dessa cuba.
QUESTÃO 39
(UERJ2004) No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas
AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G.
Conhecidos a e b, determine:
A) o valor de c em função de a e b;
B) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG.
QUESTÃO 40
(UERJ2004) Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de embalagens de forma
cilíndrica:
- a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75;
- a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa R$ 4,00.
Supondo que a densidade da manteiga seja constante, determine:
a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior;
b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida.
QUESTÃO 41
(UERJ2003)Para construir um poliedro convexo, um menino dispõe de folhas retangulares de papel de seda,
cada uma com 56 cm de comprimento por 32 cm de largura, e de 9 varetas de madeira, cada uma com 40 cm
de comprimento.
Na construção da estrutura desse poliedro todas as faces serão triangulares e cada aresta corresponderá a
uma vareta.
Admita que o menino usará as 9 varetas e que todas as faces serão revestidas com o papel de seda.
Determine o número mínimo de folhas do papel de seda necessárias para revestir o poliedro.
QUESTÃO 42
(UERJ2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e seus lados AB e AC medem, respectivamente,
2 cm e 5 cm.
Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de
sua área.
QUESTÃO 43
(UERJ2001) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semiesfera, cujo
raio
Se
OA forma um ângulo  com a base do cilindro.

varia no intervalo ]0,2[ e o raio da semiesfera
r, calcule a área lateral máxima deste cilindro.
Cálculos mede
e observações
QUESTÃO 44
(UERJ2001)
A figura ao lado representa um quadrado ABCD e dois triângulos
equiláteros equivalentes.
Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do
quadrado ABCD.
QUESTÃO 45
(UERJ2001)
A figura acima representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB
=BC=CD= 2 m.
Dobrando-a nas linhas BE e CE , constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide.
Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.
3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de
problemas do cotidiano.
H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricosrelacionados a
grandezas e medidas.
4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de
problemas do cotidiano.
H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ouinversamente proporcionais.
H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de
argumentação.
H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
QUESTÃO 46
(UERJ2012) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual
cada letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de26 números ilustrada na
tabela:
LETRA
NÚMERO n
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
...
W
23
X
24
Y
25
Z
26
Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, étransformado em um
número f (n), de acordo com a seguinte função:
f(n)=
na qual n
As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizaro sistema, obtémse a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz código [5 36 5].
Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matrizcódigo: [7 13 5 30 32 21
24].Identifique esse nome.
QUESTÃO 47
(UERJ2012) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço
do produto A corresponde a de X, e o do produto B corresponde à fração restante.
No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A.
QUESTÃO 48
Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B,calcule o valor, em
reais, que o cliente deixou de gastar.
(UERJ2011) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em
uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da
quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de
passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n.
QUESTÃO 49
(UERJ2007) Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar:
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quantidades de átomos de
cada elemento químico. Esse processo dá origem ao seguinte sistema linear:
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que
formam uma das soluções desse sistema.
QUESTÃO 50
(UERJ2004) Os alunos de uma escola, para serem aprovados no exame final, deverão obter, pelo menos,
sessenta pontos em uma prova de cem questões. Nesta prova, cada questão respondida corretamente vale um
ponto e quatro questões erradas, ou não-respondidas, anulam uma questão correta.
Calcule o número mínimo de questões que um mesmo aluno deverá acertar para que:
A) obtenha uma pontuação maior do que zero;
B) seja aprovado.
QUESTÃO 51
(UERJ2004) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente
cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo
café, inicialmente a 100oC, colocada numa sala de temperatura 20oC . Vinte minutos depois, a temperatura do
café passa a ser de 40oC.
A) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.
B) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara
ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.
QUESTÃO 52
(UERJ2001)Uma indústria produz três tipos de correntes.
A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100 m.
A quantidade z de metros produzidos da corrente
do tipo III é um número inteiro.
Se 5  P  10 , calcule os possíveis valores
inteiros de P.
QUESTÃO 53
(UERJ2010) Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14
ou 15 gols cada um. O número total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas,
apenas cinco marcaram mais de 13 gols. Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.
QUESTÃO 54
(UERJ2008) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores,
morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é de 10 centavos por unidade, enquanto
o dos bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produção são desprezíveis.
Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo
de produção de cada bombom.
Calcule o número de bombons de cada sabor contidos em uma caixa.
QUESTÃO 55
(UERJ2006)
Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do
seguinte modo:
- nas t primeiras horas, diminui sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior;
- nas 8 - t horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.
Calcule:
a) o percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t = 2;
b) o valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia,
inicialmente. Considere log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
QUESTÃO 56
(UERJ2005)Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A
primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano.
Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos.
A) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o
número de habitantes das favelas daqui a um ano.
B) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t , medido em anos.
Se t 
1
, determine o valor de x.
log x
QUESTÃO 57
(UERJ2004) Jorge quer vender seu carro por R$ 40.000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$ 5.000,00, e
aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos.
Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre ovalor do
carro no período de dois anos imediatamente anterior.
Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus
cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
QUESTÃO 58
(UERJ2001)Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da
cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência
visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência.
Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus.
QUESTÃO 59
(UERJ2001) O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila e cerveja.
No bar onde pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a cerveja tinham,respectivamente, 40% e
5% de álcool.
Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usados nessa mistura.
Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou
técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
QUESTÃO 60
(UERJ2012) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual
cada letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de26 números ilustrada na
tabela:
LETRA
NÚMERO n
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
...
W
23
X
24
Y
25
Z
26
Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, étransformado em um
número f (n), de acordo com a seguinte função:
f(n)=
na qual n
As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizaro sistema, obtémse a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz código [5 36 5].
Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5 30 32 21
24].Identifique esse nome.
QUESTÃO 61
(UERJ2012) Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado
até o momento em que ele para. Essa distância é diretamente proporcional
ao quadrado da velocidade que o carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.
O gráfico abaixo indica a distância de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em função de sua
velocidade v, em quilômetros por hora.
Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a
velocidade de 100 km/h.
Calcule sua distância de frenagem, em metros.
QUESTÃO 62
(UERJ2009) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura
AD , um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um
prego, ocorre a interseção desses segmentos.
A figura a cima representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
QUESTÃO 63
(UERJ2008)
Uma partícula parte do ponto A(2; 0), movimentando-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de
uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano.
O gráfico abaixo exemplifica uma trajetória dessa partícula, durante 11 segundos, que pode ser descrita pela
sequência de movimentos CDCDCCDDDCC.
Admita que a partícula faça outra trajetória composta somente pela
sequência de movimentos CDD, que se repete durante 5 minutos,
partindo de A.
Determine a equação da reta que passa pela origem o (0,0) e pelo
último ponto dessa nova trajetória.
QUESTÃO 64
(UERJ2008) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:
Sabe-se que T assume seu valor máximo, 50, no ponto (2, 0).
Calcule a área da região que corresponde ao conjunto dos pontos do
plano cartesiano para os quais T ≥ 20.
QUESTÃO 65
(UERJ2006)
A feira de Caruaru
A feira de Caruaru
Faz gosto da gente ver
De tudo que há no mundo
Nela tem pra vender
http://luiz-gonzaga.letras.terra.com.br
A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua canção está indicada no mapa a seguir como a origem de um
sistema de eixos ortogonais x0y.
Considere que a região de influência da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema de eixos, pela
inequação x2 + y2  2,25, com x e y medidos em centímetros.
Em relação à região de influência da feira,
2
a) determine sua área, em km , supondo que a escala do mapa seja de 1:10.000.000;
b) demonstre que uma cidade situada nas coordenadas (11/10, 11/10) do sistema de eixos considerado não
está nessa região.
QUESTÃO 66
(UERJ2004) Num plano cartesiano encontramos a parábola y=2x2 e as retas paralelas (r): y =3x e (s): y =3x
+2.
A reta (r) intercepta a parábola em A e B; a reta (s), em C e D. Unindo estes pontos, formamos o trapézio
convexo ABCD. Existe, ainda, uma reta (t), paralela às retas (r) e (s), que tangencia a parábola no ponto P.
Determine:
a) a equação da reta (t) e as coordenadas do ponto P;
b) a área do trapézio convexo ABCD.
QUESTÃO 67
(UERJ2004) Observe o mapa da região Sudeste.
Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das
ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo
 3   1 3   7
,0 ,  2, ,  ,4  e  5,  , todas medidas em centímetros.
 2   2 2   2
Horizonte e Vitória são, respectivamente,  
A) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por estas
quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1:10.000.000.
B) Determine as coordenadas de uma cidade que fique equidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro
e Belo Horizonte.
QUESTÃO 68
(UERJ2003) O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas tangentes a uma
elipse, como mostra a figura abaixo.
A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixo menor mede 8 unidades. A área da
região por ela limitada é dada por a.b.  , em que a e b são as medidas dos seus
semieixos.
Calcule a área da região definida pela cor cinza.
QUESTÃO 69
(UERJ2001) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm x 200 cm e uma semielipse.
Observe as figuras:
Na semielipse o eixo maior mede 100 cm e o semieixo menor, 30 cm.
Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.
QUESTÃO 70
(UERJ2001) Observe a figura abaixo.
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado pelo plano ABCD; B=(2,0, t) e t varia no intervalo [0,2].
Determine a menor área do quadrilátero ABCD.
QUESTÃO 71
(UERJ2001)Determine a equação da circunferência obtida pela interseção da superfície acima e o plano
coordenado XOY.
QUESTÃO 72
(UERJ2001)Determine o total de pontos da superfície esférica acima com todas as coordenadas inteiras.
Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de
gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para aconstrução de argumentos.
QUESTÃO 73
(UERJ2011)Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor,
às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura.
Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela
A foi acesa.
Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas.
QUESTÃO 74
(UERJ2010)
Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como
mostra a figura.
Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de
dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida
S. Determine o maior valor, em m 2, que S pode assumir.
QUESTÃO 75
(UERJ2009) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx+ c, que
corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.
Calcule o valor numérico de D = b2 - 4ac, sabendo que o triângulo ABV é
equilátero.
QUESTÃO 76
(UERJ2008) O peso P de um objeto, a uma altura h acima do nível do mar, satisfaz a seguinte equação:
2
 r 
P
 P0
hr
P0 : peso do objeto ao nível do mar
r : raio da Terra
Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encontra a uma altura h1 .
Calcule, em função de
r , o valor de h1 .
QUESTÃO 77
(UERJ2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB=8m e
altura central OC=5,6m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo
eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P
em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
QUESTÃO 78
(UERJ2006)No gráfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca
de seu Custódio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das
12 horas, o movimento diminui e o preço do quilograma de batatas também diminui.
a) Calcule a redução percentual do preço do quilograma das batatas
a partir das 12 horas.
b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado um valor V na
venda de 80 kg.
Determine o percentual de V que corresponde à perda causada pela
redução do preço.
QUESTÃO 78
(UERJ2004) A temperatura média diária, T, para um determinado ano, em uma cidade próxima ao pólo norte é
expressa pela função abaixo.
 2
t  101  7
T  50sen
 365

Nessa função, t é dado em dias, t=0 corresponde ao dia 1o de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit .
A relação entre as temperaturas medidas na escala Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala
Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação:
C
5
F  32
9
Em relação a esse determinado ano, estabeleça:
a) o dia no qual a temperatura será a menor possível;
b) o número total de dias em que se esperam temperaturas abaixo de 0oC.
QUESTÃO 79
(UERJ2003) Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área,
correspondente a 156 m 2. Em cada lote, será construída uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m 2,
atendendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja construída mantendo 3 m de afastamento da frente
e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais.
Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro
possível.
a) O piso da área não ocupada pela casa, em cada lote, será revestido por lajotas quadradas de 40 cm de lado,
vendidas apenas em caixas, contendo, cada uma, onze unidades.
Sabendo que há uma perda de 10% de lajotas durante a colocação, especifique o número mínimo de caixas
necessárias, por lote, para revestir o piso da área não ocupada pela casa.
QUESTÃO 80
(UERJ2001) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico.
Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b, f(b)) é igual a 0,2.
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)).
QUESTÃO 81
(UERJ2001) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:
V  10  4  2t  2t  6 , t 
Nela, V é o volume medido em m 3 após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã.
Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.
QUESTÃO 82
(UERJ2001)Dada a função f : R  R definida por:
 x 3  4 x se x  1
f ( x)  
 2 x  5 se x  1
determine os zeros de f.
Competência de área 7 - Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais
e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de
probabilidade para interpretar informaçõesde variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma
tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.
H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística eprobabilidade.
QUESTÃO 83
H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
(UERJ2012)Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.
DIAS DA SEMANA
segunda-feira, terça-feira,
quarta-feira e quinta-feira
sexta-feira,
sábado e domingo
VALOR UNITÁRIO DO RODÍZIO(R$)
18,50
22,00
Considere agora outro cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesmasemana para comer
pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também um rodízio em cada dia.
Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.
QUESTÃO 84
(UERJ2011)Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que
apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido
aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha,um
segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal.
Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.
QUESTÃO 85
(UERJ2010)Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da
digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.
Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre.
Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos
distintos de três teclas distintas para abrir o cofre.
Calcule o valor de n - m.
QUESTÃO 86
(UERJ2010)Uma criança guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra
amarela. Na caixa amarela, há, exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.
Admita que, após a transferência de n moedas de R$ 1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade de
se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%.
QUESTÃO 87
(UERJ2009)Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados
copas,espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles.
Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J,Q e K são
denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e rei.
Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, não rasgadas, foram guardadas
em uma caixa.
A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:
QUESTÃO 88
João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os números indicados
pela seta após cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses
números ser par.
QUESTÃO 89
(UERJ2007) Um sistema de numeração de base b, sendo b  2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O
sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10
não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 x103 +5 x102 +4 x101 +8 x100.
Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b= 5
e corresponde a 2 x53 +0 x52 +4 x51 +3 x50, ou seja, 273 no sistema decimal.
Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera
seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos.
Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro
algarismos distintos.
6  6  5  4 = = 720
QUESTÃO 90
(UERJ2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à
seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de
seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de pascal pode se calculada pela fórmula
C pp  C pp1  C pp 2    C pp  Cnp11 , na qual n e p são números naturais, n  p e C np corresponde ao
número de combinações simples de n elementos tomados p a p.
Com base nessas informações, calcule:
2
2
2
2
a) a soma C2  C3  C4    C18 ;
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.
QUESTÃO 91
(UERJ2009) Considere a situação abaixo:
Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dançar. Calcule o númerototal de pares de
pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.
Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo:
A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homemou mulher. Escolhida a
primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos,pois deve ser de sexo diferente da primeira.
Há, portanto, 12 × 6 = 72 modos de formarum casal.
Essa solução está errada. Apresente a solução correta.
Há possibilidade de se escolher mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades de se
escolher um homem.
Portanto, o número de maneiras distintas de se formar um casal é dado por 6+6+6+6+6+6 = 6x6= 36.
QUESTÃO 92
(UERJ2005)
O poliedro ao lado, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas
de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo.
Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado,
cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada.
Calcule:
A) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse
dado uma única vez;
B) o número de vértices do poliedro.
QUESTÃO 93
(UERJ2005)Um campeonato de futebol será disputado por 20 times, dos quais quatro são do Rio de Janeiro,
nas condições abaixo:
I - cada time jogará uma única vez com cada um dos outros;
II - todos farão apenas um jogo por semana;
III - os jogos serão sorteados aleatoriamente.
Calcule:
A) o menor número de semanas que devem ser usadas para realizar todos os jogos do campeonato;
B) a probabilidade de o primeiro jogo sorteado ser composto por duas equipes cariocas.
QUESTÃO 94
(UERJ2004) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
- um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
- um dentre os tamanhos: pequeno e grande;
- de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sempossibilidade de
repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
A) quantos sanduíches distintos podem ser montados;
B) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, sócome
sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
QUESTÃO 95
(UERJ2003) Numa cidade, 20% dos carros são da marca W, 25% dos carros são táxis e 60% dos táxis não
são da marca W. Determine a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso, nesta cidade, não seja táxi
nem seja da marca W.
QUESTÃO 96
(UERJ2001) Uma prova é composta por 6 questões com 4 alternativas de resposta cada uma, das quais
apenas uma delas é correta.
Cada resposta correta corresponde a 3 pontos ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1 ponto
perdido.
QUESTÃO 97
(UERJ2001)Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões
obter um total de pontos exatamente igual a 10.
Na potência acima, n é um número natural menor do que 100.
Determine o maior valor de n, de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um
termo independente de x.
Nos Complexos, polinômios, Matrizes, Vetores
QUESTÃO 98
(UERJ2012) Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau:
(x+2)4=x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. Determine as três raízes dessa equação.
QUESTÃO 99
(UERJ2011) Considere a matriz A3 × 3 abaixo:
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:
Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.
QUESTÃO 100
(UERJ2011)
O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável
real, que possui duas raízes
inteiras e é definida por:
Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio.
QUESTÃO 101
(UERJ2010)As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais
e argumentos distintos.
 
, 
2 
O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo 
Determine a medida de θ.
QUESTÃO 102
(UERJ2009)Uma sequência de três números não nulos (a, b, c) está em progressão harmônica se seus
 1 1 1
, ,  nesta ordem, formam uma progressão aritmética.
a b c
inversos 
As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica. x 3  mx 2  15x  25  0
Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.
QUESTÃO 103
(UERJ2008) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em
2007:
Com base na tabela, é possível formar a
matriz quadrada A cujos elementos a ij
representam o número de medalhas do
tipo j que o país i ganhou, sendo i e j
pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer uma outra classificação desses
países, são atribuídos às medalhas os
seguintes valores:
– ouro: 3 pontos;
– prata: 2 pontos;
– bronze: 1 ponto.
 3
 
Esses valores compõem a matriz V   2  Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos
1
 
totais obtidos pelos três países separadamente.
QUESTÃO 104
(UERJ2008)Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de
lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x.
Observe a ilustração
Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma
de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas.
Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm 3.
3
Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm .
QUESTÃO 105
(UERJ2007) Um sistema de numeração de base b, sendo b  2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O
sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10
não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3x103+5 x102+4 x101+8 x100.
Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b= 5
e corresponde a 2 x53+0 x52+4 x51+3 x50, ou seja, 273 no sistema decimal. Admita a possibilidade de contar
objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x+ 3). Ao empregar essas duas maneiras para
contar um determinado grupo de objetos, obtemos (2343)x = (534)x+3 .Calcule o valor da base x e as outras
duas raízes da equação resultante.
QUESTÃO 106
(UERJ2006) As figuras a seguir representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens:
um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5.
3
3
2
A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm , é expressa por x - 5x =
36.
Considerando essa equação,
a) demonstre que 6 é uma das suas raízes;
b) calcule as suas raízes complexas.
QUESTÃO 107
(UERJ2006) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são
controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados
pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
QUESTÃO 108
(UERJ2006) A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os números de unidades
vendidas de cada uma delas em um dia de feira.
A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto escalar de P = (1, 2, 3)
por
U = (x, y, z).
Determine:
a) o valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mamões, quinze abacaxis e vinte melões;
b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores
proporcionais a 3, 2 e 1.
P e U , sabendo que x, y e z são respectivamente
QUESTÃO 109
(UERJ2005) O retângulo de ouro é utilizado em Arquitetura desde a Grécia Antiga.
A razão entre as medidas do maior e do menor lado desse retângulo é o número de ouro, representado por
A) Sabendo que  é uma das raízes da equação x = x + 1, calcule o valor de
B) Observe as implicações abaixo.
2
.

Determine todas as raízes complexas da equação x 4 = 3x + 2.
QUESTÃO 110
(UERJ2005) João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um
sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY
com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de
um número complexo z = x + iy , x  IR, y  IR e
i 2  1 .
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte observação no canto
do mapa.
QUESTÃO 111
(UERJ2005)
Os planos secantes  e
 acima podem representar em IR3 as
2 x  y  4 z  1
equações 
x  y  z  4
A interseção desses planos é uma reta r que passa por um ponto P
(x, y, z).
Determine:
A) as coordenadas de P, considerando z = 0;
B) um vetor unitário paralelo à reta r.
QUESTÃO 112
 x
(UERJ2004) Para executar a rotação do vetor v    de um ângulo  no sentido anti-horário, um programa de
 y
cos   sen 
computador multiplica-o pela matriz de rotação Re  
 . O vetor
 sen cos  
W  Re  v é o resultado desta rotação.
a) Para quaisquer
1 e  2 , demonstre que R1  R 2  R1  2
b)Determine o valor de  que torna verdadeira a igualdade R3   I , na qual I é a matriz identidade 22 .
QUESTÃO 113
(UERJ2004) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de
16 cmde largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados
quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes.
Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada
tenha:
2
a) área lateral de 204 cm ;
2
b) volume de 600 cm
QUESTÃO 114
(UERJ2003) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição.
A curva abaixo, cuja equação é e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função
do tempo t, em segundos, em que a, b, e c são números reais fixos.
No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela
equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.
Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.
QUESTÃO 115
(UERJ2001)Os números 204 , 782 e 255 são divisíveis por 17.
Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
QUESTÃO 116
(UERJ2001) Os afixos de três números complexos são equidistantes de (0,0) e vértices de um triângulo
equilátero. Um desses números é 1 3i .
Calcule os outros números na forma a + bi.
QUESTÃO 117
(UERJ2001)As equações abaixo, em que x  C, têm uma raiz comum.
x 3  x  10  0
x 3  19 x  30  0
Determine todas as raízes não-comuns.

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