Pedro Soares, 2004, Parametrização da turbulência e de

Transcrição

UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PARAMETRIZAÇÃO DA TURBULÊNCIA E
NUVENS DE CAMADA LIMITE EM
MODELOS ATMOSFÉRICOS
Pedro Miguel Matos Soares
Doutoramento em Física
(Meteorologia)
2004
UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PARAMETRIZAÇÃO DA TURBULÊNCIA E
NUVENS DE CAMADA LIMITE EM
MODELOS ATMOSFÉRICOS
Pedro Miguel Matos Soares
Doutoramento em Física
(Meteorologia)
Tese orientada pelo
Prof. Doutor Pedro M. A. Miranda
2004
Em memória de Manuel Pires Ratão
.
Agradecimentos
O meu reconhecido agradecimento ao Prof. Pedro Miranda, meu supervisor, pelo
seu apoio, e por me ter proporcionado a oportunidade de realizar esta tese, desfrutando de
grande liberdade por um lado, e por outro, imprimindo-lhe um especial rigor científico.
Este agradecimento é extensível ao Doutor A. Pier Siebesma e ao Doutor João Teixeira
pela permanente disponibilidade que ambos demonstraram, ao me ajudarem a ultrapassar
inúmeras dificuldades. O sentido de partilha e discussão das ideias manifestada pelos três
releva a sua inestimável contribuição, sem a qual, esta tese não seria com certeza uma
realidade.
Desejo expressar a minha gratidão aos meus colegas da Faculdade de Ciências da
Universidade de Lisboa ou em passagem na mesma, Miguel Teixeira, Prof. Carlos Pires,
Natacha Callens e Peter Bechtold, pela sua participação desinteressada em inúmeras
discussões sobre a temática abordada, e principalmente, ao seu contributo directo para este
trabalho. Agradeço igualmente, ao Centro de Geofísica da Universidade de Lisboa
(CGUL), nas pessoas do Prof. Luís Mendes-Victor e Prof. J. Miguel Miranda, que me
ofereceram as melhores condições para realizar este trabalho.
Quero também agradecer ao Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL),
na pessoa da Presidente do Conselho Directivo em exercício, a Prof. Maria Ana Baptista, a
possibilidade de efectuar os trabalhos conducentes ao doutoramento de uma forma bem
menos frustrante, em três semestres de equiparação a bolseiro. Mais importante, quero
realçar o continuado estímulo que a Prof. Maria Ana Baptista me ofereceu. O longo
período de doutoramento permitiu que mais pessoas dessem o seu contributo, agradeço aos
meus colegas do ISEL, Prof. Carla Costa, Prof. Maria da Graça Alfaro e Eng. Manuel
Vasques.
No período em que visitei o Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut
(KNMI), na Holanda, pude usufruir de um muito bom ambiente científico, especialmente
interessantes foram as discussões com Geert Lenderink e Roel Neggers que muito apreciei.
De igual modo, o meu obrigado a Joel Noilhan, Pierre Lacarrère e Valery Masson pela sua
ajuda aquando da minha visita à Meteo-France, em Toulouse, França.
Esta tese começou por se realizar no âmbito da bolsa de doutoramento, GGP
XXI/BD/3786/96, pela qual estou grato à Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT).
Posteriormente, o projecto EUROCS (European Cloud Systems) possibilitou que este
trabalho beneficiasse de um contexto de discussão mais alargado sobre a representação da
turbulência e de nuvens em modelos atmosféricos. O projecto EUROCS foi financiado
pela União Europeia (UE) sob o contrato EVK2 CT1999 0005. O CGUL é financiado pela
FCT, com co-finaciamento da UE, sob o programa FEDER.
i
Resumo
Uma nova forma para unificar a parametrização da camada limite convectiva,
combinando as aproximações de difusão turbulenta e de fluxo-de-massa (EDMF), foi
desenvolvida. Esta unificação é baseada na ideia originalmente proposta por Siebesma e
Teixeira. A parametrização assume que os fluxos de subescala resultam de duas escalas de
mistura turbulenta: pequenos turbilhões, que são parametrizados por uma aproximação de
difusão turbulenta, e térmicas, representadas por uma contribuição de fluxo-de-massa. No
âmbito desta nova ideia de parametrização, desenvolveram-se três formulações distintas:
um esquema suportado por expressões empíricas bem estabelecidas da camada limite seca
e diagnósticos LES, e dois esquemas baseados na equação de prognóstico da energia
cinética turbulenta, adequados para a camada limite seca e nublosa. O primeiro esquema
foi desenhado para modelos de circulação global e foi implementado num modelo
unidimensional. Os dois outros esquemas foram desenvolvidos, também, para modelos de
mesoscala, e foram implementados no modelo MesoNH.
Os resultados obtidos utilizando as três parametrizações revelam uma boa
concordância com as observações e com as simulações LES. Estes esquemas prevêem bem
a estrutura e a evolução da camada limite seca, representando bem os processos de
mistura-de-topo e de fluxo de contra-gradiente, na metade superior da camada limite.
Adicionalmente, o esquema EDMF com nuvens permite uma melhoria significativa na
descrição da camada nublosa e subnublosa, quando comparada com esquemas alternativos,
testados num estudo de intercomparação promovido no âmbito do projecto EUROCS. As
melhorias registadas são atribuídas à contribuição de fluxo-de-massa, visto que as térmicas
desempenham um papel determinante na camada limite seca e nublosa, sendo responsáveis
por uma fracção dominante dos fluxos de calor e humidade, e levando ao aparecimento de
nuvens cumulus.
As parametrizações desenvolvidas podem ser expandidas, para uma representação
global dos processos turbulentos e convectivos que incluam a convecção profunda e as
nuvens stratocumulus.
Palavras-chave: Física da Atmosfera, Parametrização, Turbulência, Convecção, Nuvens
ii
Abstract
A new way of unifying the parameterization of the convective boundary layer, by
combining eddy-diffusivity and mass-flux (EDMF) schemes, based on an idea originally
proposed by Siebesma and Teixeira, has been developed. The approach assumes that the
subgrid scale fluxes result from two different mixing scales: small eddies, parametrized by
an eddy diffusivity approach, and thermals, represented by a mass-flux contribution. Three
different formulations for the new parametrization scheme were developed, and tested
against observational and large eddy simulation results: a simple scheme based on wellknown empirical expressions for the dry convective boundary layer, and two schemes
based on the turbulent kinetic energy prognostic equation, appropriate for dry and cloudy
boundary layers. The first parameterization was designed to be used in global circulation
models and was extensively tested in a 1D research model. The other two schemes,
designed also for mesoscale applications, were implemented in the MesoNH model.
Results obtained with the different schemes compare well with available data. The
EDMF schemes capture the structure and evolution of the dry convective boundary layer,
with a good representation of the top entrainment processes and of the counter-gradient
flux in the upper half of the boundary layer. Additionally, the cloudy EDMF scheme
allows for a significant improvement in model performance, in comparison with alternative
schemes tested in the intercomparison study performed in the framework of the EUROCS
Project. Most of the improvements obtained with the EDMF scheme are attributed to the
mass flux contribution, because thermals play an important role in dry and cloudy
boundary layers, performing a significant fraction of the vertical fluxes of heat and
moisture and leading to the development of cumulus clouds.
The proposed schemes may be extended to a general treatment of turbulence and
convection in the atmosphere, including stratocumulus and deep convection.
Keywords: Atmospheric Physics, Parameterization, Turbulence, Convection, Clouds
iii
Lista de Figuras e Tabelas
Figura 1.1 — Representação da unificação da parametrização da camada limite convectiva. ......2
Figura 2.1 — A estrutura térmica da atmosfera (média horizontal). .....................................4
Figura 2.2 — Representação esquemática do ciclo diurno da camada limite convectiva (adaptado
de Garratt, 1992). ...........................................................................................5
Figura 2.3 — Fotografia da camada limite com cumulus pouco profundos. .............................8
Figura 2.4 — Perfis típicos de uma CL convectiva (construídos através de observações) da
temperatura potencial θ , do fluxo vertical turbulento de temperatura potencial w' θ ' e a
consequente deficiência do perfil do coeficiente de difusividade turbulenta K. .............. 20
Figura 2.5 — A função densidade de probabilidade de uma CL com cumulus pouco profundos.
q sat é a humidade específica de saturação e q zb é a humidade específica no nível de
flutuação nula em condições de saturação.
a c corresponde à área horizontal de ar saturado
e com flutuação positiva da PDF, 1 − a c corresponde à área restante. A altura dos dois picos
é idêntica a estas áreas. Representar esta PDF pelos dois picos corresponde à aproximação
de fluxo-de-massa. ........................................................................................ 26
Figura 2.6 — Perfis verticais médios típicos de camada limite convectiva seca, de: temperatura
potencial θ , humidade específica q e vento V . Vg refere-se ao vento geostrófico........... 37
Figura 2.7 — Perfis verticais médios típicos de camada limite convectiva com cumulus pouco
profundos, de: temperatura potencial θ l , humidade qt e vento V. Vg refere-se ao vento
geostrófico.................................................................................................. 38
Figura 3.1 — Estrutura da grelha vertical do modelo Lem1D. O índice S diz respeito à superfície.
Níveis intermédios ou de fluxo: linha tracejada, e níveis inteiros ou de massa: linha cheia.45
Figura 4.1 — Esquema das diferentes escalas dos turbilhões na CL convectiva e conceptualização
do esquema de difusão-K/fluxo-de-massa (EDMF). A aproximação EDMF é baseada na divisão
em duas escalas da mistura turbulenta: pequenos turbilhões e correntes ascendentes. .... 47
Figura 4.2 — Evolução temporal de temperatura potencial. Média horária dos perfis verticais,
resultados do LES – Exp1. ................................................................................ 50
Figura 4.3 — Perfis da temperatura potencial: (av) média do domínio horizontal, (1%), (3%) e (5%)
médias dos pontos com movimento ascendente mais intenso referentes às fracções 0.01,
0.03 e 0.05, respectivamente. Resultados médios da 4ª hora da simulação LES – Exp1. ..... 50
Figura 4.4 – Triângulos, circunferências e asteriscos representam a mistura lateral das
ascendentes de fracções, 1%, 3% e 5%, respectivamente. A linha a cheio representa uma
relação que se ajusta ao conjunto de pontos, para descrever a mistura lateral do conjunto
de correntes ascendentes................................................................................ 53
Figura 4.5 — Perfil vertical da velocidade vertical da percentagem de ascendentes mais vigorosas
e desvio padrão da velocidade vertical. Média horária das simulações LES. ................... 54
Figura 4.6 — Perfis verticais da variância da velocidade vertical escalada pelo quadrado da
velocidade vertical convectiva, dados por: resultados de LES e pelas expressões (4.11) de
Holtslag e Moeng (1991) (HM91). ....................................................................... 55
iv
Figura 4.7 — Evolução temporal da temperatura potencial. Média horária dos perfis verticais,
resultados do novo esquema EDMF-EMP com resolução de 20m. ................................. 57
Figura 4.8 — Perfis verticais de temperatura potencial. Média horária da 5ª e 10ª hora.
Resultados do novo esquema, (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo
LES. .......................................................................................................... 58
Figura 4.9 — Perfis verticais do fluxo de temperatura potencial. Média horária da 5ª e 10ª hora.
Resultados do novo esquema, (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo
LES. .......................................................................................................... 58
Figura 4.10 — As contribuições de difusão-K (Eddy-diffusivity, ED) e de fluxo-de-massa (Massflux, MF) para o fluxo vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do
novo esquema para a 10ª hora de simulação. ........................................................ 59
Figura 4.11 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados do esquema EDMF-EMP: (ar)
resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo LES.................................. 59
Figura 4.12 — Perfis verticais da velocidade vertical da ascendente. Resultados correspondentes
a médias horárias, do esquema EDMF-EMP: (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf40; e de diagnósticos de LES para as diferentes fracções de ascendentes mais vigorosas. .. 60
Figura 4.13 – Perfis verticais de
primeira ordem.
(
θ v e w'θ v '
)
s
em modelos de salto: (a) de ordem zero e (b) de
γ = ∂θ v ∂z da região acima da inversão, z i é a altura da inversão,
∆θ v i é a intensidade da inversão e δz é a espessura da inversão. ............................ 61
Figura 4.14 — Evolução temporal da razão entre o fluxo no topo da CL e o fluxo à superfície, de
temperatura potencial virtual. Resultados do modelo LES— Exp1................................ 62
Figura 4.15 — Comparação do modelo de salto de primeira ordem com os resultados da Exp1 com
o modelo LES para a taxa de mistura-de-topo: (a) contribuição do fluxo de flutuação mínimo
Awθ Ri , (b) contribuição da espessura da inversão Aδz Ri e (c) contribuição total
( Awθ
+ Aδz ) Ri . ......................................................................................... 64
Figura 4.16 — Comparação dos perfis verticais de temperatura potencial resultado dos diferentes
esquemas. Média horária da 5ª hora referentes aos esquemas de: (K+M) EDMF-EMP, (K)
difusão-K, (K+C) difusão-K com termo de contra-gradiente, e do modelo LES................. 65
Figura 4.17 — As contribuições dos termos de difusão-K e de contra-gradiente para o fluxo
vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do esquema de Holtslag e
Moeng (1991) para 5ª hora de simulação. Comparar com a Figura 4.10......................... 66
Figura 4.18 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados dos diferentes esquemas: (K+M)
EDMF-EMP (br-resolução de ecmwf-40), (K) difusão-K, (K+C) difusão-K com termo de contragradiente, e do modelo LES. ............................................................................ 67
Figura 5.1 — Perfil vertical do desvio padrão, da velocidade vertical e da temperatura potencial,
o produto de ambos e a TKE. Média horária do LES. σ θ (K2), σ w (ms-1), σ θ .σ w (Kms-1) e
v
v
TKE (m2s-2). ................................................................................................. 70
Figura 5.2 — Ajustes lineares entre o excesso de temperatura potencial virtual das ascendentes e
o fluxo de flutuação da superfície, escalado pelo desvio padrão da velocidade vertical, para
os três primeiros níveis do modelo: 10m, 30m e 50m. ............................................. 71
Figura 5.3 — Regressão linear entre o excesso de temperatura potencial virtual das ascendentes
e o fluxo de flutuação na superfície, escalado pela raiz quadrada da TKE, para os três
primeiros níveis do modelo LES: 10m, 30m e 50m. ................................................. 72
Figura 5.4 — Média horária dos perfis de temperatura potencial das horas de simulação: 3, 5 e 7.
Resultados do esquema EDMF-TKE. .................................................................... 77
v
Figura 5.5 — Perfis de temperatura potencial, inicial e médias horárias. Resultados do esquema
EDMF-TKE, do esquema BL89 e do LES. ............................................................... 77
Figura 5.6 — Perfis do fluxo vertical de temperatura potencial, inicial e médias horárias.
Resultados do novo esquema EDMF-TKE, do esquema BL89 e do LES. ........................... 78
Figura 5.7 — Decomposição do fluxo vertical de temperatura potencial. Contribuições de difusãoK (eddy-diffusivity - ED) e de fluxo-de-massa (mass-flux - MF). Resultados médios horários
do novo esquema à 4ª e 8ª hora. ....................................................................... 79
Figura 5.8 — Evolução da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF-TKE e BL89, e LES. ...... 79
Figura 5.9 — Perfis médios horários da variância da velocidade. Resultados dos esquemas EDMFTKE e BL89, e do modelo LES. .......................................................................... 80
Figura 5.10 — Médias horárias dos perfis de temperatura potencial. Resultados do esquema EDMFTKE, com a resolução de 40 níveis do modelo ECMWF, e do modelo LES nas horas: 2, 4 e 6.
................................................................................................................ 80
EDMF-TKE (modelo Lem1D), do esquema BL89 e do modelo LES. ................................ 81
Figura 5.12 — Evolução da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF-TKE (modelo Lem1D) e
BL89, e do modelo LES. .................................................................................. 81
Resultados dos esquemas de EDMF-TKE (modelo Lem1D) e BL89, e do modelo LES........... 82
Figura 5.14 — Decomposição do fluxo vertical de temperatura potencial. Contribuições de
difusão-K (eddy-diffusivity - ED) e de fluxo-de-massa (mass-flux - MF), do esquema EDMFTKE do modelo Lem1D. Resultados médios horários do novo esquema à 4ª e 8ª hora. ....... 82
Figura 6.1 — Mapa dos Estados Unidos da América onde se mostra o local das observações do caso
ARM: Southern Great Plains Region. ................................................................... 87
Figura 6.2 — Evolução temporal dos perfis verticais de: (a) temperatura potencial e (b) conteúdo
de água líquida. Resultados do modelo LES do KNMI. Dados fornecidos por Roel Neggers,
Geert Lenderink e Pier Siebesma....................................................................... 88
Figura 6.3 — Série temporal da: (a) cobertura nublosa (0-1) e (b) conteúdo de água líquida
integrado na vertical (g m-2). Resultados de LES do KNMI (Brown et al., 2002): Linha grossa –
cobertura nublosa, linha fina – fracção máxima de nuvens. Outras linhas e símbolos –
resultados dos modelos 1D participantes na intercomparação de Lenderink et al. (2004). . 89
Figura 6.4 — Perfis verticais às 17:30 UTC (11:30 LT) de: (a) temperatura potencial, (b) humidade
específica total, (c) cobertura nublosa e (d) conteúdo de água. Resultados de LES do KNMI a
linha grossa (Brown et al., 2002). Outras linhas e símbolos – resultados dos modelos 1D
participantes na intercomparação de Lenderink et al. (2004). ................................... 90
específica total, (c) cobertura nublosa e (d) conteúdo de água líquida. Resultados de LES do
KNMI a grosso (Brown et al., 2002). Outras linhas e símbolos – resultados dos modelos 1D
participantes na intercomparação de Lenderink et al. (2004). ................................... 91
Figura 6.6 — Esquema de uma CL convectiva com cumulus pouco profundos e formulação de
fluxo-de-massa do novo esquema de EDMF-TKE. .................................................... 92
Figura 6.7 — Perfis verticais de temperatura potencial: inicial (Ini) e média horária da 4ª e 8ª
hora. Resultados do novo esquema EDMF, esquema BL89 e do modelo LES. ................... 95
Figura 6.8 — Perfis verticais de humidade específica total: inicial (Ini), média horária da 4ª e 8ª
Figura 6.9 — Perfis dos fluxos verticais de temperatura potencial. Média horária da 4ª e 8ª hora.
Resultados do novo esquema EDMF, esquema BL89 e do modelo LES............................ 97
vi
Figura 6.10 — Perfis dos fluxos verticais de humidade específica total. Média horária da 4ª e 8ª
Figura 6.11 — Contribuições da difusão-K (ED) e do fluxo-de-massa (MF) para o fluxo turbulento
vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do novo esquema para a
4ª e 8ª horas de simulação. .............................................................................. 98
Figura 6.12 — Evolução temporal do perfil da velocidade vertical da ascendente. Resultados
correspondentes a médias horárias do novo esquema e do LES................................... 98
Figura 6.13 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF e BL89, e do
modelo LES. ................................................................................................ 99
Figura 6.14 — Resultados do novo esquema EDMF e de LES, séries temporais de: (a) cobertura
nublosa, (b) altura da base das nuvens, (c) altura do máximo da cobertura nublosa, (d)
altura do topo das nuvens. .............................................................................100
Figura 6.15 — Séries temporais do conteúdo de água líquida integrado verticalmente (LWP –
Liquid Water Path) e do fluxo-de-massa da base das nuvens. Resultados do novo esquema
EDMF e do modelo LES (Neggers et al., 2003).......................................................101
Figura 6.16 — Perfis verticais da temperatura potencial e humidade específica total para as 14,
16, 18, 20 e 22 UTC. Médias horárias dos resultados do novo esquema EDMF e do LES. ....102
Figura 6.17 — Perfis verticais da cobertura nublosa e do conteúdo de água líquida para as 14, 16,
18, 20 e 22 UTC. Médias horárias dos resultados do novo esquema EDMF e do LES. .........102
Tabela 4.1 — Algumas características das simulações LES de CLC limpa. ............................. 49
vii
Lista de Acrónimos
1D
3D
AL
ARM
BL89
BOMEX
CAPE
CL
CLC
CLS
CuPP
ECHAM
ECMWF
ED
EDMF
EDMF-EMP
EDMF-TKE
EUROCS
Exp
GCM
HAPEX
HIRLAM
KNMI
L2004
LAM
LCL
Lem1D
LES
LT
LWP
MetO
MesoNH
MF
NCAR
NWP
PDF
RACMO
TKE
UTC
unidimensional
tridimensional
Atmosfera Livre
Atmospheric Radiation Measurement program
Bougeault e Lacarrère (1989)
Barbados Oceanographic and Meteorological EXperiment
Convective Available Potential Energy
Camada Limite
Camada Limite Convectiva
Camada Limite Superficial
Cumulus pouco profundos
Modelo ECHAM do Max-Planck-Institut für Meteorologie
European Centre for Medium-Range Weather Forecasts
Eddy-diffusivity (Difusividade turbulenta)
Eddy-diffusivity/Mass-flux
Eddy-diffusivity/Mass-flux empirical formulation
Eddy-diffusivity/Mass-flux TKE based formulation
EUROpean Cloud Systems project
experiência de simulação
Global Circulation Model
Hydrologic-Atmospheric Pilot Experiment
HIgh Resolution Limited Area Model
Koninklijke Nederlands Instituut Meteorologish
Lenderink et al. (2004)
Limited Area Model
Lifting Condensation Level
Modelo 1D de investigação
Large Eddy Simulation
Local Time
Liquid Water Path
Met Office model
Modelo não-hidrostástico de Mesoscala
Mass-flux (Fluxo-de-massa)
National Centre of Atmospheric Research
Numerical Weather Prediction
Probability Density Function
Regional Atmospheric Climate MOdel
Turbulent Kinetic Energy
Universal Time Coordinated
viii
Lista de Símbolos
área horizontal
A
Ad
Ac
Ae
Au
(m2)
área horizontal das descendentes
área horizontal do núcleo das nuvens
área horizontal vizinha de uma estrutura coerente
área horizontal das ascendentes
advecção horizontal de temperatura
(Ks-1)
Aq
advecção horizontal de humidade específica
(s-1)
Awθ
termo que relaciona o fluxo de temperatura potencial virtual à
superfície e na inversão
Aδz
termo que relaciona a intensidade da inversão com o fluxo
temperatura potencial virtual à superfície
ARi
termo que relaciona o nº de Richardson e razão entre a
velocidade de mistura de topo e a velocidade convectiva
a
coeficiente da eq. para a velocidade vertical da ascendente
ac
au
fracção horizontal coberta pelo núcleo das nuvens
B
força de flutuação por unidade de massa
Be
termo de efeito de corte e de flutuação da eq. de TKE (Lem1D)
b
bi
Ce
coeficiente da eq. para a velocidade vertical da ascendente
CAPE
Convective available potential energy — Energia potencial
convectiva disponível
c1
constante da dissipação na eq. de TKE
Aθ
fracção horizontal coberta por ascendentes
(ms-2)
constante de inicialização das ascendentes
termo de dissipação da eq. de TKE (Lem1D)
(m2 s-2)
c pd
calor específico a pressão constante do ar seco
(Jkg-1 K-1)
c ph
calor específico a pressão constante para ar húmido
(Jkg-1 K-1)
cσ
constante do coeficiente de fluxo-de-massa
D
taxa de mistura lateral (detrainment)
d zz
E
e
espaçamento vertical da grelha
es
eij
F
g
(s-1)
taxa de mistura lateral (entrainment)
(s-1)
energia cinética turbulenta
(m2 s-2)
tensão de saturação
(Pa)
tensor da taxa de deformação
forçamentos externos
aceleração gravítica
(ms-2)
ix
HR
humidade relativa
(%)
hs
altura da camada limite superficial
(m)
k
K
constante de von Karman
(m2 s-1)
difusividade turbulenta
Kh
Km
difusividade turbulenta de calor
Ke
Kq
difusividade turbulenta para a TKE
difusividade turbulenta da humidade
K topo
difusividade turbulenta no topo da CL
difusividade turbulenta do momento
LMO
comprimento de Monin-Obukhov
(m)
L
calor latente de vaporização da água
(Jkg-1)
Lv
Lx
calor latente de vaporização da água no ponto triplo
(Jkg-1)
comprimento horizontal na direcção x
(m)
Ly
comprimento horizontal na direcção y
(m)
l
comprimento de mistura
(m)
lt
escala de comprimento turbulento
(m)
lm
lh
comprimento de mistura para o momento e TKE no Lem1D
(m)
comprimento de mistura para a temperatura no Lem1D
(m)
M
coeficiente de fluxo-de-massa
(ms-1)
Mc
M LCL
Mu
coeficiente de fluxo-de-massa do núcleo das nuvens
(ms-1)
coeficiente de fluxo-de-massa no nível LCL
(ms-1)
coeficiente de fluxo-de-massa das ascendentes
(ms-1)
m
massa
(kg)
r
n
md
mv
ml
massa de ar seco
massa de vapor de água
massa de água líquida
versor perpendicular à fronteira que separa a ascendente das
vizinhanças
pressão
p
(Pa)
5
p 00
pd
pressão de referência (10 Pa)
p ref
pressão do estado de referência
ps
pv
pressão à superfície
pressão do ar seco
pressão parcial do vapor (tensão de vapor)
Q0
fluxo cinemático de calor da superfície
(Kms-1)
q
humidade específica
(kg kg-1)
ql
conteúdo de água líquida
q ref
humidade específica de referência
qs
humidade específica de saturação
x
qsup
humidade à superfície
qt
humidade específica total
qt s
humidade específica total à superfície
qt ∗
qv
q zb
humidade específica total de atrito
q∗
humidade específica de atrito
humidade específica do vapor de água
humidade específica na base das nuvens
R
Raio
divergência do fluxo radiativo
(Ks-1)
Raio de uma pluma
número de Richardson de fluxo
(m)
Ri
Rd
Rv
rc
rt
rv
rvs
Sθ
número de Richardson do gradiente
Error!
Rf
constante dos gases ideais para o ar seco
(J kg-1 K-1)
constante dos gases ideais para vapor de água
(J kg-1 K-1)
razão de mistura de água líquida
(kg/kg)
razão de mistura total
(kg/kg)
razão de mistura do vapor
(kg/kg)
razão de mistura de saturação
(kg/kg)
termo fonte que inclui os efeitos não adiabáticos, como a
radiação e as transições de fase
(Ks-1)
Sn
funções de escalas de comprimento de Mellor e Yamada
Sθ l
termo fonte que inclui aquecimento radiativo e outros
processos diabáticos que não evaporação/condensação
(Ks-1)
S qv
termos fontes de vapor de água associados às transições de fase
(s-1)
s
entropia do ar seco
(JK-1)
T
temperatura
(K)
Tl
temperatura de água líquida
Tref
temperatura do estado de referência
Tv
temperatura virtual
Tv ref
temperatura virtual do estado de referência
t
tempo
(s)
U
u
vento médio horizontal
(ms-1)
ug
componente do vento geostrófico na direcção
componente i,j,k da velocidade
u i , j ,k
u∗
r
v
r
vH
r
vf
v
componente da velocidade na direcção
(ms-1)
x
x
(ms-1)
(ms-1)
velocidade de atrito
(ms-1)
vector velocidade
(ms-1)
vector velocidade horizontal
(ms-1)
velocidade da fronteira
(ms-1)
componente meridional da velocidade do vento
(ms-1)
xi
vg
componente meridional do vento geostrófico
(ms-1)
V
x
volume de um elemento de ar
(m3)
coordenada horizontal
(m)
xi
direcção i
xj
direcção j
xk
direcção k
y
w
coordenada horizontal
(m)
componente vertical da velocidade
(ms-1)
wc
we
velocidade vertical do núcleo das nuvens
(ms-1)
velocidade vertical do ambiente vizinho
(ms-1)
went
velocidade de mistura de topo
(ms-1)
wi
wu
velocidade de subsidência na inversão
(ms-1)
velocidade vertical da ascendente
(ms-1)
wt
escala de velocidade turbulenta
(ms-1)
w∗
z
escala de velocidade vertical convectiva
(ms-1)
coordenada vertical
(m)
z0
zb
zi
comprimento de rugosidade do solo nu
(m)
altura da base das nuvens
(m)
altura da inversão da camada limite
(m)
α
grau de implicitude numa eq. semi-implícita
αm
βm
coeficiente de estabilidade do termo de difusão-K
coeficiente de estabilidade do termo de fluxo-de-massa
γ
gradiente vertical de temperatura potencial virtual
(Km-1)
γc
termo da contribuição de contra-gradiente
(Km-1)
∆t
∆z
passo de tempo
(s)
espaçamento vertical da grelha vertical Lem1D
(m)
∆θ v u
excesso de temperatura potencial da ascendente
(K)
∆θ l u
excesso de temperatura potencial de água líquida da
ascendente
(K)
∆q t u
excesso de humidade específica da ascendente
(kg/kg)
∆θ v i
diferença de temperatura potencial virtual através da inversão
(K)
δ
taxa fraccional de mistura lateral (detrainment)
(m-1)
δ ij
tensor de Kronecker
δz
ε
ε
espessura da inversão
(m)
dissipação de TKE
(m2 s-3)
taxa fraccional de mistura lateral (entrainment)
(m-1)
εR
razão das constantes dos gases ideais,
ε ijk
tensor de Levy-Civita
Rd Rv
xii
ζ
θ
índice de Monin-Obukhov
temperatura potencial
θ0
θe
temperatura potencial de referência
θes
temperatura potencial equivalente à superfície
θl
temperatura potencial de água líquida
θl s
temperatura potencial de água líquida à superfície
θlu
temperatura potencial de água líquida da ascendente
θ ref
temperatura potencial do estado de referência
θs
temperatura potencial à superfície
θv
temperatura potencial virtual
θv 0
temperatura potencial virtual de referência
θv s
temperatura potencial virtual à superfície
θ v ref
temperatura potencial virtual do estado de referência
θvu
temperatura potencial virtual da ascendente
θ∗
temperatura potencial de atrito
θl ∗
Λ
(K)
temperatura potencial equivalente
temperatura potencial de água líquida de atrito
θc
temperatura potencial do núcleo das nuvens
θ z0
temperatura potencial no nível de rugosidade do solo nu
(w > 0) com flutuação positiva
escala de comprimento
(m)
Λ1, m,h ,e
escalas de comprimento no contexto de um fecho de ordem 1.5
(m)
λ
comprimento de mistura assimptótico
(m)
λθl
condutividade térmica
(m2 s-1)
λq
difusividade do vapor
(m2 s-1)
λ qt
difusividade da humidade específica total
(m2 s-1)
µ
ν
viscosidade dinâmica do ar
(kg m-1s-1)
viscosidade cinemática do ar
(m2 s-1)
Π
função de Exner
Π ref
ρ
função de Exner do estado de referência
massa volúmica do ar
ρ0
ρd
ρv
ρl
ρ ref
ρs
σ2
(kg m-3)
massa volúmica de referência
massa volúmica do ar seco
massa volúmica do vapor de água
massa volúmica da água líquida
massa volúmica do estado de referência
massa volúmica de saturação
variância de uma propriedade
xiii
σu
σv
σw
σθ
σ θv
τ
τ1
τφ
τ zh
φ
(ms-1)
desvio padrão da componente v da velocidade
(ms-1)
desvio padrão da velocidade vertical
(ms-1)
desvio padrão da temperatura potencial
(K)
desvio padrão da temperatura potencial virtual
(K)
escala de tempo
(s)
escala de tempo característica dos grandes turbilhões
escala de tempo característica de uma térmica
(s)
tensão viscosa à superfície
(kg m2 s-1)
propriedade atmosférica conservada
φc
φe
φd
φu
φ h0
ϕ h0
ϕm
φm0
ϕu
ϕ hθ
ϕhq
Ωj
desvio padrão da componente u da velocidade
propriedade conservada do núcleo das nuvens
propriedade conservada do ambiente vizinho
propriedade conservada da descendente
propriedade conservada da ascendente
função de estabilidade para a CLC
função de estabilidade
funções universais da CLS para o momento
função de estabilidade para a CLC
funções universais da CLS para u
funções universais da CLS para o calor
funções universais da CLS para a humidade
vector velocidade angular da Terra
(rads-1)
xiv
Índice
AGRADECIMENTOS ...................................................................................I
RESUMO............................................................................................... II
ABSTRACT ........................................................................................... III
LISTA DE FIGURAS E TABELAS ................................................................... IV
LISTA DE ACRÓNIMOS ............................................................................VIII
LISTA DE SÍMBOLOS................................................................................ IX
ÍNDICE ............................................................................................... XV
1
INTRODUÇÃO.................................................................................. 1
1.1
Motivação...................................................................................... 1
1.2
Descrição da tese............................................................................. 2
2
A CAMADA LIMITE ATMOSFÉRICA.......................................................... 4
2.1
Introdução..................................................................................... 4
2.2 Equações fundamentais ..................................................................... 8
2.2.1 Equação de estado......................................................................... 9
2.2.2 Equações de balanço .....................................................................10
2.2.3 Equações aproximadas na CL............................................................11
2.3 Turbulência ..................................................................................14
2.3.1 Equações de Reynolds ....................................................................14
2.3.2 Energia cinética turbulenta .............................................................16
2.3.3 O problema do fecho da turbulência...................................................17
2.3.4 Fechos locais ..............................................................................17
2.3.4.1 Fecho de 1ª ordem .....................................................................18
2.3.4.2 Fecho de ordem 1.5....................................................................21
2.3.4.3 Fechos de ordem superior.............................................................23
2.3.5 Aproximações não-locais.................................................................24
2.3.5.1 Formulação de contra-gradiente .....................................................24
2.3.5.2 Fluxo-de-massa .........................................................................25
2.3.5.3 Teoria transiliente .....................................................................31
2.3.6 Transferência de propriedades em interfaces ........................................31
2.3.6.1 Processos de mistura lateral..........................................................31
2.3.6.2 Mistura no topo das nuvens ...........................................................32
2.3.6.3 Mistura no topo da camada limite ...................................................33
2.3.6.4 Interacção com a superfície ..........................................................33
2.3.6.5 Teoria da semelhança da camada limite superficial ..............................34
xv
2.4
Outros processos físicos ....................................................................36
2.5
Estrutura vertical média da camada limite convectiva................................36
3
MODELO DE CAMADA LIMITE LEM1D .................................................... 39
3.1
Introdução....................................................................................39
3.2
Equações do modelo ........................................................................39
3.3
Esquema de superfície......................................................................40
3.4 Turbulência ..................................................................................41
3.4.1 Fecho de 1ª ordem........................................................................41
3.4.2 Fecho de ordem 1.5 ......................................................................42
3.5
Condensação e Radiação ...................................................................44
3.6
Grelha vertical...............................................................................45
4
ESQUEMA DE DIFUSÃO-K/FLUXO-DE-MASSA PARA A PARAMETRIZAÇÃO DA
CAMADA LIMITE CONVECTIVA ............................................................ 46
4.1
Introdução....................................................................................46
4.2
O esquema de difusão-K/fluxo-de-massa ................................................47
4.3 Contribuição de fluxo-de-massa...........................................................50
4.3.1 Modelo da ascendente ...................................................................51
4.3.1.1 Inicialização da ascendente...........................................................51
4.3.1.2 Velocidade vertical da ascendente ..................................................52
4.3.1.3 Formulação da mistura lateral .......................................................52
4.3.2 Perfil do coeficiente de fluxo-de-massa...............................................53
4.4
Contribuição de difusão-K..................................................................55
4.5 Implementação do esquema no modelo Lem1D ........................................55
4.5.1 Modelo de ascendente ...................................................................56
4.5.2 Integração numérica .....................................................................56
4.6 Resultados do Lem1D .......................................................................57
4.6.1 Mistura de topo ...........................................................................60
4.6.2 Comparação com outras aproximações ................................................64
4.7
Conclusões ...................................................................................67
5
PARAMETRIZAÇÃO DE DIFUSÃO-K/FLUXO-DE-MASSA BASEADA NA EQUAÇÃO DA
ENERGIA CINÉTICA TURBULENTA ....................................................... 68
5.1
Introdução....................................................................................68
5.2 Esquema EDMF-TKE .........................................................................69
5.2.1 Coeficientes de difusão turbulenta e de fluxo-de-massa ...........................69
5.2.2 Modelo da Ascendente ...................................................................69
5.3
Implementação do esquema EDMF-TKE no MesoNH ....................................73
5.4 Resultados ....................................................................................76
5.4.1 Dependência da resolução vertical.....................................................80
5.5 Implementação do esquema EDMF-TKE no modelo Lem1D............................81
5.5.1 Resultados com o modelo Lem1D.......................................................81
xvi
5.6
Discussão .....................................................................................82
5.7
Conclusões ...................................................................................84
6
PARAMETRIZAÇÃO EDMF EM CUMULUS POUCO PROFUNDOS ....................... 86
6.1
Introdução....................................................................................86
6.2 Ciclo diurno de cumulus pouco profundos sobre terra — Caso ARM..................87
6.2.1 Resultados LES do KNMI ..................................................................88
6.2.2 Intercomparação ..........................................................................88
6.3 Parametrização EDMF com condensação.................................................92
6.3.1 Cumulus pouco profundos ...............................................................93
6.4 Resultados do modelo EDMF ...............................................................95
6.4.1 Camada limite seca.......................................................................95
6.4.2 Caso ARM...................................................................................99
6.5
Conclusões ................................................................................. 102
7
CONCLUSÕES...............................................................................104
8
REFERÊNCIAS ..............................................................................107
9
APÊNDICE A — DESCRIÇÃO DO MODELO MESONH....................................115
9.1
Introdução.................................................................................. 115
9.2
Esquema de turbulência e equação da TKE ........................................... 115
9.3
Esquema de convecção ................................................................... 118
9.4
Esquema de condensação de subescala ................................................ 121
10
APÊNDICE B — DESCRIÇÃO DO MODELO DE LARGE EDDY SIMULATION ..........125
10.1 Introdução.................................................................................. 125
10.2 Equações fundamentais .................................................................. 126
10.3 O modelo de superfície................................................................... 126
10.4 Modelo de subescala ...................................................................... 127
11
APÊNDICE C – PUBLICAÇÕES NO ÂMBITO DA TESE...................................129
xvii
Introdução
1 Introdução
1.1 Motivação
O comportamento do sistema climático é largamente controlado por transferências
de propriedades que ocorrem em interfaces. O subsistema climático mais activo, a
Atmosfera, é essencialmente forçado por fluxos de superfície, nas interfaces atmosferaoceano e atmosfera-globo. A região da atmosfera (e do oceano) próxima da interface, a
camada limite, desempenha um papel crucial nessa interacção, mediando e, até certo ponto
regulando, o transporte de calor, humidade e momento angular.
Os fluxos de propriedades através da camada limite processam-se em diferentes
escalas. Nas escalas muito pequenas, da ordem de alguns milímetros, os fluxos são bem
descritos como processos de difusão molecular. Nas escalas maiores, até à dimensão da
própria camada limite, os fluxos têm uma natureza turbulenta. Os turbilhões de maior
dimensão na camada limite incluem correntes ascendentes, onde pode ocorrer
condensação, com formação de nuvens convectivas, i.e. de cumulus. Nesse caso, observase uma modificação qualitativa da estrutura da baixa atmosfera, afectando a distribuição
não só dos próprios fluxos, de calor, humidade e momento, como os fluxos de radiação
solar e terrestre.
As nuvens de camada limite influenciam directamente a circulação global e o ciclo
hidrológico visto intensificarem o transporte vertical de calor, humidade e momento,
nomeadamente, na Zona Intertropical de Convergência, no ramo ascendente da célula de
Hadley. Recentemente, foi sugerido que as nuvens do tipo stratocumulus e cumulus
desempenham um papel significativo na circulação atmosférica tropical e subtropical
(Philander et al., 1996; Siebesma, 1998; Larson et al., 1999). Por outro lado, estas nuvens
afectam o estado do tempo local. Por estas razões, uma boa representação da convecção em
cumulus é amplamente reconhecida como um aspecto fundamental do desenvolvimento de
modelos de previsão do tempo e de simulação do clima (Tiedtke, 1987).
A diferença qualitativa entre a convecção não saturada e a convecção em cumulus
justificou o facto de muitos modelos atmosféricos recorrerem a esquemas distintos para
representar aqueles dois processos. No entanto, este procedimento implica a existência de
descontinuidades espaço-temporais nos modelos, associadas à activação dos dois
esquemas, existindo uma falta de acoplamento entre a turbulência e a convecção húmida.
Adicionalmente, os resultados produzidos pelos modelos para cada um dos tipos de
camada limite são frequentemente fracos (e.g., Ayotte et al., 1996; Lenderink et al., 2004).
O objectivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de uma parametrização
unificada para a turbulência e convecção, com e sem condensação, aplicável à camada
limite convectiva, não saturada e com cumulus pouco profundos. Os esquemas
desenvolvidos são facilmente integráveis em modelos de diferentes escalas, e poderão ser
futuramente estendidos ao problema da parametrização da convecção profunda, visando o
estabelecimento de um esquema unificado de parametrização da turbulência e da
1
Introdução
convecção na troposfera. As ideias desenvolvidas neste trabalho vêm na sequência da
proposta apresentada por Siebesma e Teixeira (2000).
Existe a convicção de que, no futuro, o desenvolvimento computacional permitirá
realizar simulações com modelos de circulação global e/ou de mesoscala com resoluções
muito mais finas do que actualmente. Contudo, é seguro que, pelo menos nas próximas
décadas, os processos turbulentos, com e sem condensação, continuarão fora do alcance da
simulação directa, justificando-se um crescente empenho no aperfeiçoamento da sua
parametrização.
1.2 Descrição da tese
No capítulo 2 apresenta-se uma breve descrição dos principais mecanismos físicos
que têm lugar na camada limite convectiva (CLC). Paralelamente, as equações
fundamentais da física da atmosfera são expostas, assim como as metodologias e as
aproximações adequadas à representação da CLC seca e com cumulus em modelos
atmosféricos, aí se incluindo o problema da parametrização da mistura turbulenta de
subescala. A parametrização da turbulência em modelos atmosféricos está no cerne desta
tese, apresentando-se as teorias mais bem estabelecidas na secção 2.3.
Com especial detalhe, descrevem-se as duas parametrizações que tradicionalmente
são mais utilizadas na representação da turbulência e da convecção na camada limite. Para
parametrizar a mistura turbulenta na CLC seca recorre-se, em geral, a um esquema de
difusão-K. Por outro lado, na CLC com cumulus, a subcamada nublosa é representada por
difusão-K, enquanto a camada nublosa é parametrizada com um esquema de convecção
distinto, de fluxo-de-massa. Nesta tese, apresentam-se diferentes parametrizações para o
transporte turbulento na CLC, combinando as aproximações de fluxo-de-massa e de
difusão-K, com aplicação em modelos atmosféricos de diferentes escalas (Figura 1.1).
Camada limite seca
Camada limite com Cumulus
difusão-K
fluxo-de-massa
Camada limite
difusão-K/fluxo-de-massa
Figura 1.1 — Representação da unificação da parametrização da camada limite convectiva.
No capítulo 3, descreve-se um modelo unidimensional da camada limite, modelo
Lem1D, desenvolvido em grande medida no âmbito desta tese, para teste e implementação
de diferentes esquemas de parametrização da turbulência e convecção. No capítulo 4
realiza-se o desenvolvimento físico e matemático da nova formulação. As ideias propostas
2
Introdução
são fundamentadas num conjunto de simulações de LES (Large Eddy Simulation),
utilizadas para caracterizar as diferentes escalas envolvidas na mistura turbulenta e, em
particular, a importância das correntes ascendentes. Neste capítulo apresenta-se e testa-se
uma primeira parametrização, designada por EDMF-EMP (Eddy-Diffusivity/Mass-Flux
EMPirical formulation), implementada no modelo Lem1D, que tem por base expressões
empíricas bem conhecidas da camada limite convectiva. Os resultados desta
parametrização são confrontados com resultados LES, tanto no que se refere às variáveis
médias, como ao diagnóstico dos fluxos turbulentos associados à mistura-de-topo e dos
fluxos de contra-gradiente, numa camada limite seca.
Em seguida, a parametrização de EDMF-EMP é modificada, de forma a melhorar o
seu desempenho e suporte físico. Para isso, a equação de balanço da energia cinética
turbulenta é tomada como base da formulação, dando origem ao esquema EDMF-TKE
(Eddy-Difusivity/Mass-Flux Turbulent Kinetic Energy formulation). Esta parametrização é
apresentada no capítulo 5, onde se dá especial ênfase ao desenvolvimento de um modelo
representativo das correntes ascendentes de subescala (térmicas), que desempenham um
papel fundamental no crescimento da camada limite convectiva. O novo esquema foi
implementado no modelo MesoNH (Lafore et al., 1998) e o seu desempenho foi analisado
recorrendo a um segundo caso idealizado de camada limite convectiva seca.
O problema da unificação da camada limite convectiva seca e com cumulus é
abordado no capítulo 6, mostrando-se que uma parametrização do tipo EDMF com
condensação é bem sucedida na representação, quer de uma camada limite seca quer de um
ciclo diurno de cumulus pouco profundos. Os resultados obtidos pelo novo esquema são
comparados com um número significativo de resultados produzidos no âmbito de uma
intercomparação de modelos (semi-)operacionais. O MesoNH foi um dos modelos
participantes, tendo para isso sido implementados inúmeros diagnósticos, com o intuito de
compreender a origem dos diferentes problemas na representação da camada limite com
cumulus. No capítulo 7 apresentam-se as principais conclusões desta tese, e traçam-se
alguns objectivos para o futuro próximo.
O trabalho apresentado nesta tese deu origem a diversas contribuições incluídas em
artigos submetidos a revistas com arbitragem (Apêndice C).
3
A camada limite atmosférica
2 A camada limite atmosférica
2.1 Introdução
A origem etimológica da palavra troposfera (tropo-sfera) é grega – trópos+sphaîra,
e significa literalmente, globo em mudança. Nesta camada da atmosfera desenvolve-se o
que chamamos o tempo e o clima. A troposfera, estende-se da superfície a uma altitude
média de 12 km, contém mais de 80% da massa da atmosfera e praticamente a totalidade
da água atmosférica nas fases gasosa, líquida e sólida. A etimologia de troposfera revela,
desde logo, uma das suas propriedades fundamentais: é uma região caracterizada por uma
intensa mistura vertical, resultante da presença de turbilhões de dimensões muito variadas,
entre as quais se podem destacar correntes ascendentes e descendentes de ar. Uma parcela
de ar pode percorrer toda a extensão vertical da troposfera em poucos dias, ou mesmo em
poucos minutos, quando forçada por uma corrente ascendente associada a uma tempestade.
Em média, a temperatura diminui 6,5 ºC por quilómetro de altitude, desde a superfície até
ao limite superior da troposfera, a tropopausa, onde o gradiente vertical de temperatura
sofre uma inversão. A tropopausa foi descoberta independentemente por Teisserenc de
Bort e por Assmann, em 1902. A distribuição vertical da temperatura passou desde então, a
constituir uma das formas de estruturação da atmosfera, o que levou mais tarde à sua
divisão em quatro camadas distintas (Figura 2.1): troposfera, estratosfera, mesosfera e
termosfera.
o
o
-90 C
120
-60 C
o
-30 C
o
0C
o
o
30 C
60 C
TERMOSFERA
100
- 0.01
80
MESOSFERA
60
Estratopausa
- 0.1
- 1
2
40
ESTRATOSFERA
20
Tropopausa
TROPOSFERA
200
250
300
Temperatura (K)
Pressão (hPa)
Altitude (km)
Mesopausa
- 1E-4
- 1E-3
- 5
- 10
-
20
50
100
200
500
1000
350
Figura 2.1 — A estrutura térmica da atmosfera (média horizontal).
Em geral, a troposfera é dividida em duas camadas: a camada limite (CL) e a
atmosfera livre (AL). A CL corresponde à região turbulenta da atmosfera em que se faz
sentir directamente a influência da superfície terrestre. Os tempos de resposta da CL aos
diferentes forçamentos da superfície são relativamente rápidos. Nesta camada da troposfera
vive uma grande parte dos seres vivos e tem lugar a esmagadora maioria das actividades
humanas, o que confere ao seu estudo uma enorme importância. A transferência de
4
momento, calor e humidade entre a atmosfera, a Terra, e os oceanos tem lugar na CL. Esta
interacção entre a superfície e a CL relacionada com o transporte vertical influencia
directamente o tempo local e regional, e a circulação geral da atmosfera.
A compreensão da fenomenologia que ocorre na CL atmosférica tem relevância em
inúmeros domínios: na parametrização dos efeitos associados à CL nos modelos numéricos
de larga escala e de área limitada, na dispersão de poluentes, na previsão da temperatura,
humidade e vento à superfície, na ocorrência de nuvens, na ligação entre a própria CL e
tempestades, bem como na previsão de ventos fortes. Existem ramos de actividade que
estão particularmente dependentes da monitorização da CL, de que é exemplo a
aeronáutica, especialmente, nas manobras de descolagem e aterragem de aviões.
Numa situação anticiclónica de bom tempo, o ciclo diurno solar de aquecimento e
arrefecimento da superfície determina a evolução temporal da estrutura vertical da CL. A
evolução temporal típica de uma camada limite convectiva (CLC) pode ser observada na
Figura 2.2. Ao nascer-do-sol a terra começa a ser aquecida, o calor é transferido para o ar
sobrejacente de uma forma heterogénea, provocando mistura turbulenta de propriedades do
ar. Este transporte turbulento depende da diferença de densidade entre parcelas de ar
vizinhas de que resultam movimentos convectivos. Qualquer movimento num fluido que
resulte da acção de um campo gravítico sobre variações da densidade pode designar-se por
movimento convectivo. Durante a manhã, a mistura turbulenta diminui a estabilidade
térmica observada no período nocturno. Ao longo do dia, as estruturas convectivas
intensificam-se provocando o crescimento da CL. Devido a esta intensa mistura a CLC é
também chamada de camada de mistura. Os turbilhões que contém mais energia têm uma
dimensão vertical da ordem de grandeza da própria altura da CL; são apelidados de
correntes ascendentes ou térmicas, e podem atingir mais de 2 km. As térmicas penetram na
atmosfera livre e transportam ar desta para a CL contribuindo para o crescimento vertical
desta última – processo de mistura-de-topo (top-entrainment). A região onde tem lugar este
tipo de mistura é a zona da inversão da CL, que durante o dia também é conhecida por
região de mistura-de-topo.
Figura 2.2 — Representação esquemática do ciclo diurno da camada limite convectiva (adaptado
de Garratt, 1992).
No caso de uma CL sem nuvens, depois do pôr-do-sol, o solo arrefece por emissão
de radiação de grande comprimento de onda. Este arrefecimento inibe a turbulência,
originando uma CL estável que se desenvolve verticalmente menos que a camada de
5
mistura, ou seja, sobrejacente à CL estável existe ainda um remanescente da camada de
mistura, denominada de camada residual. Apesar de não existir convecção, o efeito de
corte do vento provoca alguma turbulência no período nocturno. Se a situação convectiva
se mantiver em dias sucessivos, o crescimento da camada limite será favorecido pela
presença da camada residual.
O principal mecanismo responsável pela manutenção da turbulência é a força de
flutuação, que induz directamente a componente vertical do escoamento perturbado, o que
justifica a designação desta CL como CL convectiva. Sempre que os fluxos de calor à
superfície são positivos, a CL toma características convectivas.
A CLC sem nuvens foi alvo de estudo em inúmeras campanhas observacionais:
Wangara (Clarke et al., 1971), HAPEX (Hydrologic-Atmospheric Pilot EXperiment; André
et al., 1986), Phoenix CBL (Phoenix 78 Convective Boundary Layer field experiment;
Young, 1988a,b,c; Kropfli e Hildebrand, 1980), etc. Realizaram-se também exaustivos
trabalhos com modelos LES (Large Eddy Simulation), tais como os de Moeng (1984),
Schumann e Moeng (1991a,b), Sorbjan (1996a,b), Sullivan et al., (1998), etc, que
contribuíram para a melhor compreensão da estrutura e dinâmica da CLC.
A região da troposfera acima da CL é geralmente apelidada de atmosfera livre, uma
vez que não é influenciada directamente pela superfície terrestre. Enquanto a CL sobre
terra sofre um pronunciado ciclo diurno em resposta ao aquecimento e arrefecimento do
solo, em condições de bom tempo, a AL responde a forçamentos sinópticos e de
mesoscala. A AL não experimenta o atrito da superfície, encontrando-se por isso, em
equilíbrio quasi-geostrófico. A interacção entre a CL e a atmosfera livre é episódica,
estando fundamentalmente associada a ventilação provocada por convecção seca e de
cumulus, e a circulações do tipo ciclónico ou de origem frontal. Nas circulações ciclónicas
(depressões) a convergência de ar força uma corrente ascendente, dando origem à
formação de nuvens por arrefecimento adiabático e, eventualmente, a precipitação. A
inversão que corresponde ao topo da CL é forçada a subir até aos níveis mais elevados da
troposfera, esbatendo a distinção entre esta e a CL. Nas circulações anti-ciclónicas, a
divergência à superfície força a subsidência de ar, provocando o abaixamento do topo da
CL. É importante notar que esta divergência quase não introduz ar da atmosfera livre na
CL, visto que a inversão é uma superfície livre que desce em resposta a esta subsidência.
Grandes extensões do globo terrestre, e em particular dos oceanos, encontram-se
cobertas de nuvens baixas, ou seja de nuvens de CL. A presença de nuvens altera o balanço
radiativo da superfície e da CL. A libertação de calor latente associada ao processo de
condensação e a evaporação de precipitação nas camadas subjacentes a nuvens
precipitantes constituem outros forçamentos térmicos importantes. Ambos são essenciais
para a dinâmica da CL e da circulação global.
As nuvens mais frequentemente presentes na CL são: cumulus pouco profundos,
stratus, stratocumulus e nimbostratus. Os stratus, os stratocumulus e os nimbostratus são
nuvens da mesma família; caracterizam-se por uma grande extensão horizontal e uma
relativa pouca espessura vertical. Recentemente, foi sugerido que as nuvens do tipo
stratocumulus e cumulus desempenham um papel significativo na circulação atmosférica
tropical e subtropical (Philander et al., 1996; Siebesma, 1998; Larson et al., 1999).
Os stratocumulus sobre os oceanos ocorrem tipicamente associados a subsidência
anticiclónica nas regiões subtropicais e latitudes médias, e sobre a superfície terrestre
6
húmida na estação fria. Na zona leste dos oceanos, nas regiões subtropicais, a subsidência
associada ao ramo descendente da célula de Hadley, juntamente com as correntes
oceânicas frias, induz a presença persistente de stratocumulus, por exemplo ao largo da
Califórnia, Peru, Namíbia e Mauritânia (Hanson, 1991; Klein e Hartmann, 1993, Ma et al.,
1996). Os stratocumulus têm um grande impacto no clima e na sua variabilidade (e.g.
Philander et al., 1996; Clement e Seager, 1999). A estrutura termodinâmica e turbulenta
dos stratocumulus é fundamentalmente conhecida devido a grandes campanhas
observacionais, e.g. FIRE (First ISCCP [International Satellite Cloud Climatology
Project] Regional Experiment, Albrecht et al., 1988), ASTEX (Atlantic Stratocumulus
Transition EXperiment, Albrecht et al., 1995), e outros estudos (Duynkerke et al., 1987;
Hignett, 1991; Duynkerke e Teixeira, 2000). Mais recentemente, estudos com LES têm
contribuído para a compreensão dos mecanismos envolvidos na formação e manutenção
dos stratocumulus (Moeng et al., 1996; Stevens et al., 1998; Duynkerke et al., 1999). A
estas nuvens podem estar associados cumulus mais baixos, que podem penetrar entre os
stratocumulus.
A CLC com cumulus pouco profundos (CuPP) está presente em todo o globo
terrestre. Em média, 12% da superfície oceânica está coberta por este tipo de nuvens,
enquanto a superfície terrestre apresenta uma cobertura média de 5% (Duynkerke, 1998).
Os CuPP são omnipresentes nas regiões oceânicas dos ventos alísios, em que tomam
precisamente o nome de Cumulus dos Ventos Alísios. São também frequentes nas latitudes
médias continentais, durante o Verão, onde por vezes evoluem para convecção mais
profunda, com a formação de cumulonimbus.
Os CuPP influenciam directamente a circulação global e o ciclo hidrológico visto
intensificarem o transporte vertical de calor, humidade e momento, nomeadamente na
Zona Intertropical de Convergência e contribuírem para a eficiência do transporte de
humidade e calor na circulação de Hadley (Tiedtke, 1987; Siebesma, 1998). O transporte
vertical de humidade associado aos CuPP tende a secar a CL, limitando a formação de
nuvens estratiformes. Vários exercícios de modelação mostraram que a distribuição da
precipitação e a variabilidade nos trópicos é muito influenciada pela presença de
convecção com cumulus (Slingo et al., 1994; Gregory, 1997). Tiedtke (1987) realçou que a
presença de CuPP aumenta a evaporação da superfície no modelo do ECMWF (European
Center of Medium Weather Forecasts, Beljaars e Betts, 1992), até 50 Wm-2, sobre as
regiões subtropicais.
Os CuPP exercem ainda uma influência indirecta sobre a CL através da alteração
do balanço radiativo. Este tipo de nuvens irregulares possuem propriedades radiativas
específicas (e.g. Ackerman et al., 1981; Marshak et al., 1995). Em geral, as nuvens de CL
têm um efeito radiativo resultante de arrefecimento da atmosfera, uma vez que possuem
reflectividades muito altas. Estudos com modelos unidimensionais (1D) de convecçãoradiação com nuvens de CL apontam para que, um aumento de 1% na cobertura nublosa
destas nuvens pode potencialmente arrefecer a atmosfera, o equivalente a 25% de aumento
das emissões de CO2 (Van Dorland, 1999).
Apesar da sua importância para o tempo e o clima, os CuPP têm recebido menos
atenção do que as outras nuvens de CL. Porém, algumas campanhas observacionais foram
dedicadas ao seu estudo, de que são exemplo as experiências BOMEX (Barbados
Oceanographic and Meteorological EXperiment, Kuettner e Holland, 1969), ARM
(Atmospheric Radiation Measurement, Brown et al., 2002) e SCMS (Small Cumulus
7
Microphysics Study, French et al., 1999). Destas campanhas derivaram várias
contribuições relevantes (Warner, 1977; Jonas, 1990; Blyth, 1993; Grinell et al., 1996;
Smith e Jonas, 1995; De Roode e Duynkerke 1997). Recentemente, os modelos LES têm
sido muito utilizados para o estudo da camada limite com CuPP (Sommeria, 1976;
Cuijpers e Duynkerke, 1993; Siebesma e Cuijpers, 1995; Siebesma e Holtslag, 1996,
Stevens et al., 2001; Brown et al., 2002, Siebesma et al., 2004, Neggers et al., 2003).
A camada limite com CuPP (Figura 2.3) apresenta uma cobertura nublosa de 10 a
30%, normalmente associada a bom tempo, daí estas nuvens também serem conhecidas
como cumulus-de-bom-tempo (Fair-weather Cumulus). São nuvens com pouco
desenvolvimento vertical, no máximo 2 km, e com a base situada entre os 500 m e 1.5 km.
Os CuPP são estruturas convectivas turbulentas em que a velocidade vertical pode ser da
ordem dos 5 ms-1.
Figura 2.3 — Fotografia da camada limite com cumulus pouco profundos.
As camadas limites com CuPP sobre a superfície terrestre possuem também um
ciclo diurno, em resultado da acentuada variação dos fluxos de calor e de humidade da
superfície. Um ciclo típico deste tipo de CL resume-se: ao nascer do sol a CL apresenta-se
sem nuvens; associado ao forçamento da superfície os primeiros cumulus aparecem poucas
horas depois, tornando-se cada vez mais profundos com o desenrolar do dia; antes do pôrdo-sol esses cumulus começam a dissipar-se, acabando por desaparecer totalmente.
2.2 Equações fundamentais
A termodinâmica e a mecânica de fluidos são fundamentais para a compreensão
dos processos físicos atmosféricos. Nesta secção, apresentam-se os conceitos e equações
mais relevantes da mecânica de fluidos e da termodinâmica para o estudo da CLC. As
equações que governam a evolução da atmosfera são: a equação de estado do ar, a equação
da continuidade, as equações de Navier-Stokes de balanço do momento linear e as
equações de balanço da entropia e da água. À excepção da equação de estado, estas são
equações de prognóstico. Ver Stull (1988) para uma descrição mais detalhada e completa
das equações do escoamento atmosférico. Miranda (1986) discute a sua aplicação à CL,
tendo-se aqui seguido, alguns aspectos desse desenvolvimento.
8
2.2.1 Equação de estado
Um elemento de ar de volume, V, e massa, m, contém em geral, ar seco (d), vapor
de água (v) e água líquida (l),
m = md + mv + ml ,
(2.1)
admitindo, para aplicações na CL, a ausência de gelo. Assim, pode definir-se a massa
volúmica,
ρ=
m md mv ml
=
+
+
= ρ d + ρv + ρl .
V
V
V
V
(2.2)
Os gases constituintes da atmosfera obedecem, tanto individualmente como numa
mistura, à equação dos gases ideais. Esta equação relaciona a pressão, p, a temperatura, T
e a massa volúmica, ρ:
p d = ρ d Rd T ,
pv = ρ v Rv T ,
(2.3)
onde Rd = 287 J kg −1 K −1 e Rv = 461.5 J kg −1 K −1 são as constantes dos gases ideais
específicas, para o ar seco e vapor de água, respectivamente; e, p v é a pressão parcial do
vapor (tensão de vapor). Assumindo que a água líquida não afecta a pressão, a Lei de
Dalton estabelece que a pressão de uma mistura de gases é igual ao somatório das pressões
parciais, p = p d + p v , que conjuntamente com (2.2), (2.3) e com ε R = Rd Rv permite
escrever,
(
)
ρ
ρ 

p = ρRd T 1 + ε R −1 − 1 v − l  = ρRd Tv ,
ρ
ρ

(2.4)
de que resulta a definição de temperatura virtual Tv,
Tv = T (1 + 0.61q v − ql ) ,
(2.5)
onde se utilizou a aproximação ε R −1 − 1 ≈ 0.61 . qv é a humidade específica e ql o conteúdo
de água líquida. O ar húmido é menos denso que o ar seco, por isso a temperatura virtual é
sempre maior que a temperatura T. Tv é inversamente proporcional à densidade, por isso é
uma variável apropriada para o cálculo da flutuação.
A água na atmosfera pode aparecer em três fases: gasosa, líquida ou sólida. As
formas como a presença de água na atmosfera pode ser quantificada são inúmeras. De (2.4)
resulta a forma mais interessante para o estudo da CL atmosférica. A razão entre a massa
de vapor de água e a massa total por unidade de volume define a humidade específica do
vapor de água, qv (muitas vezes é designada só por humidade específica). Analogamente,
a razão entre a massa de água líquida e a massa total por unidade de volume define a
humidade específica da água líquida (conteúdo de água líquida), ql , e a soma destas duas
constitui a humidade específica total, qt ,
9
qv =
mv ρ v
=
,
m
ρ
ql =
ml ρ l
=
,
m
ρ
qt = q v + ql .
(2.6)
2.2.2 Equações de balanço
A lei fundamental da dinâmica, que traduz o balanço do momento linear toma no
caso de um fluido, a forma de Navier-Stokes:
∂u i
∂u
1 ∂p
1 ∂
+uj i = −
− 2ε ijk Ω j u k − δ i 3 g +
∂t
∂x j
ρ ∂xi
ρ ∂x j
 
1

2µ  eij − 3 ekk δ ij  ,

 
(2.7)
em que ui são as três componentes da velocidade, nas direcções xi. ε ijk é o tensor de LevyCivita, igual a 1 numa permutação cíclica dos índices 1,2,3, a -1 numa permutação anticíclica dos mesmos índices e nulo para qualquer outro caso. δ ij é o tensor de Kronecker,
igual a 1 se i = j e nulo se i ≠ j . Ω j é o vector velocidade angular da Terra, g é a
aceleração gravítica (incluindo a correcção centrífuga), µ é a viscosidade dinâmica e eij é
o tensor da taxa de deformação, dado por,
eij =
1  ∂u i ∂u j
+
2  ∂x j ∂xi

.


(2.8)
A equação (2.7) resulta da aplicação da segunda lei de Newton a um fluido
newtoniano (Batchelor, 1967, pp. 146), com diferenciação térmica, num referencial em
rotação uniforme sob a acção do campo gravítico terrestre uniforme.
A equação de conservação da massa, ou da continuidade escreve-se:
( )
∂ρ ∂ ρu j
+
= 0.
∂t
∂x j
(2.9)
A equação da termodinâmica, para o ar seco
∂θ
∂θ
∂
+uj
= Sθ +
∂t
∂x j
∂xi
 ∂θ 
 λθ
 ,
 ∂xi 
(2.10)
em que θ é a temperatura potencial,
 p 

θ = T 
 p 00 
R
− d
c pd
,
(2.11)
onde p00 é uma pressão de referência (105 Pa), cpd é o calor específico a pressão constante
do ar seco. A temperatura potencial relaciona-se com a entropia do ar seco, de acordo com
s = c pd ln θ . Em (2.10) Sθ inclui os efeitos não adiabáticos, como a radiação, as
transições de fase, etc., e λθ é a condutividade térmica.
10
O sistema fica completo com a equação de conservação da humidade específica:
∂qv
∂q
∂  ∂q v 
,
 λq
+ u j v = Sq v +
∂t
∂x j
∂xi  ∂xi 
(2.12)
em que S qv contém os termos fonte e sumidouro de vapor de água associados às transições
de fase e λq é a difusividade do vapor.
O sistema de 7 equações (2.4), (2.7), (2.9), (2.10) e (2.12) constitui um sistema
fechado de 7 equações a 7 incógnitas, se forem conhecidos os termos fontes e sumidouros
( Sθ , S q ) e as constantes c pd , Rd , g, Ω , µ , λθ e λq .
2.2.3 Equações aproximadas na CL
O sistema de equações pode ser simplificado tendo em consideração uma série de
aproximações, fundamentadas por análise de escala (e.g. Miranda, 1986). Quando a escala
vertical do escoamento é muito menor que a escala horizontal, como é o caso dos
escoamentos de larga escala, a equação do movimento vertical pode ser substituída pela
condição de equilíbrio hidrostático:
∂p
= − ρg .
∂z
(2.13)
Esta condição não é estritamente satisfeita na CL. No entanto, como a CL nunca se afasta
muito desse estado de equilíbrio, define-se um estado de referência (pref, θref, ρref)
barotrópico (função exclusiva da altitude), adiabático e em equilíbrio hidrostático. As
diferentes equações de balanço e de estado podem ser então simplificadas por linearização
em torno do estado de referência p = p ref + p ' ' , ρ = ρ ref + ρ ' ' , θ = θ ref + θ ' ' , o que
(
)
equivale a admitir que as perturbações ( p' ' , ρ ' ' ,θ ' ') são pequenas, comparativamente aos
valores de referência.
Na CL verifica-se que a escala vertical do escoamento é sempre muito menor que a
escala de variação da densidade, H ρ = − 1 ρ ref ∂ρ ref ∂z −1 , o que justifica a substituição
da equação da continuidade pela condição de incompressibilidade:
((
∂u j
∂x j
)
)
= 0.
(2.14)
Nestas condições, chega-se à aproximação de Boussinesq (1877), na qual as
flutuações da densidade (seguindo a nomenclatura inglesa, substitui-se o termo massa
volúmica por densidade) aparecem exclusivamente associadas à gravidade, no termo de
flutuação ρ " ρ ref = − θ "v θ v ref . As equações de balanço do momento linear, tendo em
consideração as aproximações mencionadas são,
∂u i
∂u
1 ∂p
g
+uj i = −
− 2ε ijk Ω j u k + δ i 3
θ v + ν∇ 2 u i ,
∂t
∂x j
ρ ref ∂xi
θ v ref
(2.15)
11
em que se admitiu que a viscosidade é constante e se definiu a viscosidade cinemática,
ν = µ ρ ref . Na equação anterior, as variáveis termodinâmicas ( p, ρ, θ v ) representam
perturbações em relação ao estado de referência, que aparecem nesta expressão e daqui em
diante sem ". A densidade do estado de referência é considerada constante. No primeiro
membro da equação estão os termos de tendência e de advecção do campo da velocidade.
No segundo membro encontram-se a força do gradiente de pressão, a força de Coriolis, a
flutuação e a difusão. A flutuação aparece como função da temperatura potencial virtual
θv ,
θ v = θ (1 + 0.61q v − ql ).
(2.16)
A definição de estabilidade na atmosfera baseia-se no sinal da força de flutuação B
de uma parcela verticalmente deslocada, numa atmosfera com um perfil de temperatura
Tref . A força de flutuação por unidade de massa é dada por,
B = −g
ρ − ρ ref
ρ ref
=g
Tv − Tv ref
Tv ref
=g
θ v − θ v ref
θ v ref
.
(2.17)
O termo fonte da equação da termodinâmica inclui, em especial, a transferência de
calor latente associada às transições de fase. Este processo de aquecimento do ar é crucial
na dinâmica dos cumulus, nomeadamente no incremento da flutuação (em resultado do
aquecimento) que permite um maior desenvolvimento vertical das nuvens. Quando o vapor
de água se condensa formam-se gotículas de água que ficam em suspensão e dão origem à
formação de uma nuvem. Num cumulus podem, em geral, ocorrer transições entre as 3
fases da água: condensação, evaporação, solidificação, fusão e sublimação. Normalmente,
estas nuvens não são precipitantes. A grande maioria dos estudos de camada limite com
CuPP consideram que a condensação/evaporação é a única transição de fase que importa
ter em conta.
A quantidade máxima de vapor de água que uma unidade de massa de ar à
temperatura, T, e pressão, p, pode conter, sem que ocorra condensação, define a humidade
específica de saturação, qs . Esta depende da tensão de saturação, (es = ρ s Rv T ) , que
corresponde à pressão parcial do vapor de água a essa temperatura, em equilíbrio com uma
superfície líquida. A relação entre a humidade específica de saturação e a tensão de
saturação obtém-se de (2.3) e (2.4),
qs ≡
ρs
es
= εR
.
ρ
p + e s (ε R − 1)
(2.18)
A tensão de saturação es em função da temperatura é dada pela equação de ClausiusClapeyron válida para uma superfície plana de água pura,
d ln es
L
=
,
dT
Rv T 2
(2.19)
onde L é o calor latente de vaporização da água.
12
Na ausência de precipitação e de gelo, a evaporação/condensação é a única fonte ou
sumidouro de humidade. Nestas condições, a humidade específica e o conteúdo de água
líquida de um elemento de volume de ar permanecem constantes, ou seja a humidade
específica total é um invariante. Deste modo, considerando constante a difusividade do
vapor, a equação (2.12) pode ser substituída pela equação de conservação da humidade
específica total,
∂qt
∂q
+ u j t = λ qt ∇ 2 qt .
∂t
∂x j
(2.20)
De forma análoga, a temperatura potencial pode ser redefinida de forma a ter em
conta a contribuição da libertação de calor latente, resultante da condensação de vapor de
água. Na presença de transições de fase, a entropia de um elemento de volume de ar
húmido pode escrever-se na forma
ds ≅ c pd d ln θ l = c pd d ln T − Rd ln p −
L
dql ,
T
(2.21)
em que θ l é a temperatura potencial de água líquida (Betts, 1973). Em processos
adiabáticos ds=0, obtendo-se
 Lq 
θ l = θ exp − v l  ,
 c pd T 


(2.22)
onde Lv é o calor latente de vaporização no ponto triplo, e constitui uma aproximação para
L, Lv = 2.5 × 10 6 J / kg . A temperatura potencial de água líquida e a humidade específica
total são as variáveis mais adequadas para o estudo da CL seca e com CuPP, uma vez que
se reduzem a θ e qv na ausência de água líquida, e são invariantes em processos
adiabáticos saturados, incluindo transições de fase. Nas nuvens ql ≈ O (10 −3 ) , o que
permite obter, em boa aproximação,
θl = θ −
Lv
ql ,
c pd Π
(2.23)
onde Π é a função de Exner que é dada por
 p 

Π = 
p
 00 
Rd
c pd
,
(2.24)
e que permite escrever de (2.11), T = θ Π .
Com base nesta formulação, a equação da termodinâmica pode ser escrita como
uma equação de prognóstico para θ l , em que os processos de evaporação/condensação
deixam de estar incluídos em Sθ ,
13
∂θ l
∂θ
+ u j l = Sθl + λθl ∇ 2θ l ,
∂t
∂x j
(2.25)
em que a condutividade térmica foi considerada constante. O termo fonte Sθl inclui o
aquecimento radiativo e outros processos diabáticos, nomeadamente a dissipação viscosa
de energia cinética, desprezada neste trabalho.
As equações (2.4), (2.14), (2.15), (2.20) e (2.25) constituem um sistema de 7
equações a 7 incógnitas, na aproximação de Boussinesq, que está na base da modelação da
CL atmosférica. Nesse sistema, os termos fonte S podem ser extremamente complexos,
pelo que a sua utilização prática impõe a procura de aproximações. Por outro lado, a
discretização dessas equações introduz termos adicionais, associados à turbulência. O
desenvolvimento de representações matemáticas simples quer para os termos fonte quer
para a turbulência, constitui o problema geral da parametrização.
2.3 Turbulência
O desconhecimento de uma solução analítica geral para o sistema de Boussinesq
obriga ao recurso a métodos numéricos de integração. Estes métodos exigem
necessariamente uma discretização do sistema de equações, com redução do número de
graus de liberdade a um valor finito. O sistema discretizado representa unicamente
processos que ocorrem numa escala espaço-temporal superior ou igual à malha de
discretização. O processo de discretização implica o aparecimento de novos termos nas
equações, traduzindo o efeito das escalas não representadas sobre as escalas do modelo.
Esses termos de subescala são referidos como termos turbulentos.
De facto, o processo de discretização é inerente à própria observação do
escoamento de um fluido. Reynolds (1895) mostrou que as contribuições equivalentes aos
termos de subescala são responsáveis pelo carácter irregular (turbulento) do escoamento de
um fluido em certos regimes. As equações apresentadas anteriormente poderiam ser
aplicadas directamente a esse tipo de escoamentos turbulentos, desde que a resolução
considerada fosse suficiente para resolver explicitamente a turbulência de diferentes
escalas até ao limite dos turbilhões dissipativos. Porém, não é, em geral, possível desenhar
um modelo com tal grelha. Em qualquer caso, a turbulência associada a escalas inferiores
ao limite de discretização tem que ser parametrizada, através de um modelo de subescala,
em que o efeito médio estatístico de subescala sobre as equações para as variáveis médias é
representado.
2.3.1 Equações de Reynolds
A decomposição de Reynolds (1895) consiste em considerar cada variável
atmosférica, φ , como a soma de um valor médio, φ , e de uma perturbação, φ ' . O valor
médio descreve, num modelo numérico, a média da variável no domínio representado pelo
elemento de grelha,
φ = φ + φ '.
(2.26)
14
Para todos os fins práticos a operação de média, representada por ( ) , corresponde a uma
média espacial num elemento de grelha (Garratt, 1992);
φ =
∫
1
φ dV .
V V
(2.27)
Se se considerar as variáveis genéricas u e v, admite-se que a operação de média
satisfaz as seguintes propriedades: linearidade,
u+v =u +v,
au = au ,
(2.28)
a = a.
Comutatividade na derivação e integração,
∂u ∂u
=
,
∂s ∂s
(2.29)
∫ f ds = ∫ f ds .
Idempotência generalizada,
uv = uv .
(2.30)
Assim:
u =u,
u' = 0 ,
uv = uv ,
(2.31)
u v' = 0 .
Introduzindo a definição (2.26) nas equações (2.14), (2.15), (2.20), (2.25) e tendo
em consideração as propriedades anteriores obtém-se o sistema de equações de Reynolds:
∂u j
∂x j
(
)
= 0,
∂u i
∂u
1 ∂p
g
∂
= −u j i −
ui ' u j ' −
− 2ε ijk Ω j u k + δ i 3
θ v + ν∇ 2 u i ,
∂t
∂x j ∂x j
ρ ref ∂xi
θ v ref
(2.32)
(2.33)
15
(
)
(2.34)
(
)
(2.35)
∂θ l
∂θ
∂
= −u j l −
u j 'θ l ' + λθl ∇ 2θ l + Sθl ,
∂t
∂x j ∂x j
∂qt
∂q
∂
= −u j t −
u j ' qt ' + λ qt ∇ 2 qt + S qt .
∂t
∂x j ∂x j
(
)
(
)
Estas equações de prognóstico contêm novos termos, ∂ u j 'θl ' ∂x j , ∂ u j ' qt ' ∂x j e
(
)
∂ u i ' u j ' ∂x j , que representam divergências de fluxos turbulentos. Estes termos resultam
directamente da não-linearidade dos termos advectivos das equações de prognóstico e
constituem novos termos fonte para as variáveis médias. Todos os novos termos tem a
forma de covariâncias. u j 'θ l ' , u j ' qt ' e ui ' u j ' são, respectivamente, os fluxos turbulentos
de calor, de humidade e de momento linear. Estes termos indicam que as flutuações de
velocidade, temperatura e da humidade redistribuem momento, calor e humidade na CL.
Na CL atmosférica os termos turbulentos das equações de prognóstico são várias
ordens de grandeza superiores aos termos de difusão molecular (Garratt, 1992),
consequentemente, estes últimos termos são normalmente desprezados na modelação da
CL.
2.3.2 Energia cinética turbulenta
A intensidade da turbulência é representada pela energia cinética turbulenta (TKE).
A TKE por unidade de massa, e , é igual a metade da soma das variâncias da velocidade,
(
)
1
1
e = u i ' 2 = u ' 2 + v' 2 + w' 2 .
2
2
(2.36)
A partir da equação de prognóstico das variâncias do momento de subescala
(Lumley e Panofsky, 1964),
(
)
(
)
∂ u j ui '2
∂u i ' 2
∂u i
∂u i ' 2
2 ∂ u i ' p'
g
−
− 2ε ,
+ 2 δ i 3 u i 'θ v ' −
+uj
= −u i ' u j '
θv
∂x j
ρ ∂xi
∂x j
∂t
∂x j
(2.37)
pode-se obter facilmente a equação de balanço de e ,
( )
(
)
∂ u j ' e 1 ∂ ui ' p'
∂u
∂e
∂e
g
= −u i ' u j ' i + δ i 3 u i 'θ v ' −
−
−ε ,
+uj
∂t
∂x j
∂x j
θv
∂x j
ρ ∂xi
(2.38)
cujos termos da esquerda para a direita são: tendência de e , advecção de e pelo vento
médio, produção de e por efeito de corte, geração/destruição de e por flutuação,
transporte turbulento de e , termo de presso-correlação e a dissipação viscosa,
(
ε = ν ∂ui ' ∂x j
(2.38) vem
)2 . Se se considerar uma situação de homogeneidade horizontal a equação
16
∂e
∂u
∂v g
∂ 
w' p' 
 −ε .
= −u ' w'
− v' w' + w'θ v ' −  w' e +
∂t
∂z
∂z θ v
∂z 
ρ 
(2.39)
Esta equação realça a importância relativa dos termos de produção mecânica e
térmica de turbulência, e, permite prognosticar a intensidade da turbulência. O efeito de
corte do vento modifica o estado turbulento da CL e pode levar à formação de sistemas
convectivos de mesoscala (Grossman, 1982; Weckwerth et al., 1996).
A razão entre a taxa de destruição da turbulência por flutuação, dada por
− (g θ v )w'θ v ' , e a taxa de geração de turbulência por efeito de corte dada por
− u ' w'(∂u ∂z ) − v' w'(∂v ∂z ) , define o número de Richardson de fluxo, Rf. Quando o fluxo
turbulento de calor é negativo (estratificação estável), Rf indica a importância relativa da
destruição térmica face à produção mecânica. Quando o fluxo de calor é positivo (CLC) Rf
< 0, e a turbulência é dominada pela produção térmica. Em geral, o número de Richardson
é um indicador de estabilidade num escoamento turbulento.
2.3.3 O problema do fecho da turbulência
O sistema de equações de Reynolds ou equações turbulentas constituem um sistema
aberto, ou seja contêm um número de incógnitas superior ao número de equações. Por
outro lado, não existem resultados teóricos que permitam estabelecer outras equações,
independentes das anteriores, que relacionem as mesmas variáveis. Assim, surge um
problema de exequibilidade das equações, o que se apelida como o problema do fecho da
turbulência. Ainda que se formulem equações de prognóstico para as incógnitas, outras
surgirão e sempre em maior número. Uma equação do momento de ordem n contém
invariavelmente termos de ordem n+1. Desta forma, o problema do fecho da turbulência
persiste, seja qual for o conjunto de equações que se considere. É neste facto que reside a
razão pela qual a turbulência permanece como um assunto aberto em física. A única forma
de obter uma solução seria ter um conjunto infinito de equações, o que indica claramente a
impossibilidade de resolução deste problema e aponta a necessidade de se desenvolverem
esquemas que tão aproximadamente quanto possível nos solucionem o problema. É
inevitável, portanto, recorrer a equações aproximadas entre as variáveis turbulentas e as
variáveis médias, que necessitam obviamente de validação observacional, e que incluam
uma fundamentação física tão sólida quanto possível. A introdução destas equações que
relacionam os momentos estatísticos de segunda ordem, as covariâncias, e os momentos
estatísticos de primeira ordem, os valores médios, tem também o nome de parametrização.
Na CL convectiva, existem duas aproximações clássicas, as baseadas em fechos
locais e não-locais. A aproximação local consiste em relacionar os termos de ordem
superior não conhecidos num ponto do espaço com propriedades do escoamento nesse
mesmo ponto. Os fechos não-locais têm um carácter advectivo, relacionando os termos
incógnita com propriedades numa região da CL.
2.3.4 Fechos locais
Tal como o nome indica, os fechos locais baseiam-se no conceito de que as
covariâncias turbulentas estão relacionados com as propriedades locais do escoamento ou
de outros termos turbulentos já conhecidos. Neste contexto, podem estabelecer-se fechos
de diferente ordem, em que esta designa a ordem dos momentos de ordem mais elevada
17
para os quais se resolvem equações de prognóstico. Este tipo de fechos foi estendido até à
terceira ordem, mas os esquemas de 1ª e 2ª ordem são, em geral, considerados
suficientemente bons.
2.3.4.1 Fecho de 1ª ordem
Este tipo de fecho é o mais utilizado na modelação da CL atmosférica, e assenta
numa analogia entre os termos da difusão molecular e dos fluxos turbulentos de segunda
ordem (Boussinesq, 1877). Assim, o fluxo turbulento de uma propriedade num ponto do
espaço é considerado proporcional ao gradiente local da propriedade em transferência. Esta
aproximação é vulgarmente designada como teoria de difusão turbulenta ou difusão-K,
uma vez que os coeficientes de proporcionalidade considerados são apelidados de
coeficientes de mistura turbulenta ou coeficientes de difusividade turbulenta, K.
Os fluxos turbulentos de momento, temperatura e humidade são representados por,
u ' w' = − K m
∂u
,
∂z
(2.40)
∂v
v' w' = − K m
,
∂z
w'θ l ' = − K h
∂θ l
,
∂z
(2.41)
∂q
w' qt ' = − K q t .
∂z
K m , K h e K q são, respectivamente, os coeficientes de difusividade turbulenta do
momento, da temperatura e da humidade. Estes são, por definição, positivos, uma vez que
se assume que o transporte se processa no sentido inverso ao gradiente (de forma a fazer
desaparecer esse gradiente). Estes coeficientes podem ser formulados de diversas formas.
A formulação mais simples considera que os coeficientes de difusividade turbulenta
são constantes e de uma ordem de grandeza maior do que a da difusão molecular. Prandtl
(1925) propôs uma formulação melhorada para estes coeficientes, apoiando-se no conceito
de comprimento de mistura, l , inspirado na teoria cinética do livre percurso médio. Numa
atmosfera estaticamente neutra, uma parcela sem mistura lateral que se desloque da sua
posição inicial, z, para a posição, z + z ' , causará uma perturbação na propriedade, φ , dada
por (Prandtl, 1925)
φ ' = φ ( z) − φ ( z + z' ) ≈ − z'
∂φ
,
∂z
(2.42)
em que se assume que o perfil vertical de φ é linear. Deste modo, se o perfil do vento
médio for também linear, u ' = − z ' (∂u ∂z ) . Se a natureza da turbulência é tal que a
perturbação da velocidade vertical é proporcional à perturbação da componente horizontal
18
da velocidade, w' = −c u ' , obtém-se que w' = c z ' ∂u ∂z . Multiplicando as perturbações da
velocidade vertical e de φ , realizando a média, pode escrever-se:
w' β ' = −c z ' 2
∂φ ∂u
.
∂z ∂z
(2.43)
A raiz quadrada de z '2 é uma medida da distância média que a parcela se desloca,
originando a definição de comprimento de mistura, l, de l 2 = c z ' 2 . Obtém-se assim a
formulação de Prandtl,
K = l2
∂u
,
∂z
(2.44)
em que l representa a dimensão média dos turbilhões turbulentos. K é, portanto,
directamente proporcional a l2 e ao efeito de corte.
As teorias de primeira ordem desenvolvidas por Prandtl, Taylor e von Karman são
discutidas exaustivamente por Monin e Yaglom (1971). Estas aproximações revelaram-se
muito boas quando testadas com medições em túneis de vento e tanques laboratoriais, e
mesmo com observações atmosféricas, que na época se limitavam a observações na
camada de superfície. Consequentemente, foram largamente utilizadas e tidas como a
solução prática deste complexo problema do fecho da turbulência. Presentemente muitos
modelos ainda as utilizam.
As teorias de difusão-K são essencialmente teorias de “pequenos turbilhões” que
representam bem a mistura turbulenta em CLs neutra e estável (Stull, 1984, 1993). Estas
são apropriadas quando o comprimento de mistura é inferior à resolução do modelo, e esta
pertence à sub-região inercial do espectro de energia da turbulência. Realizam, porém, uma
deficiente representação dos fluxos turbulentos não-locais associados às térmicas de
extensão vertical muito maior do que a resolução vertical do modelo de CL.
Lilly (1962) propôs uma forma de ter em conta o efeito da flutuação, propondo que
as difusividades fossem multiplicadas por factores que são funções do número de
Richardson. Para o efeito, a aproximação de Prandtl pode ser derivada da equação de e
estacionária, igualando a produção por efeito de corte com a dissipação. Se se incluir a
flutuação no termo de produção, vem
K = l2
∂u
F (Ri ),
∂z
(2.45)
em que Ri é o número de Richardson do gradiente. Ri baseia-se na aproximação de
difusão-K, mais precisamente nas relações (2.40) e (2.41) e no número de Richardson do
fluxo Rf, o que permite escrever,
19
Ri =
g ∂θ v
θ v ∂z
 ∂u  2  ∂v  2 
  +   
 ∂z   ∂z  
,
(2.46)
e equivale a dizer que Rf = (K h K m )Ri . O número de Richardson do gradiente é um
parâmetro muito utilizado para dar uma indicação da estabilidade da CL atmosférica e tem
uma interpretação similar a Rf. Para se resolver a equação (2.45) tem que se especificar l e
F (Ri ) . Normalmente, assume-se que l → kz na camada de superfície e F (Ri ) → 1 numa
estratificação neutra, em que k é a constante de von Karman.
Ambas as expressões (2.44) e (2.45) dependem criticamente de l . Baseado em
observações, Blackadar (1962) construiu uma formulação empírica para l ,
1 1 1
= + ,
l kz λ
(2.47)
que é conhecida como a fórmula de interpolação de Blackadar, onde λ é um parâmetro
ajustável que representa um comprimento de mistura assimptótico. Esta expressão consiste
numa interpolação entre dois limites: l → kz quando z → 0 e l → λ quando z → +∞ .
Outras aproximações para a CLC baseiam-se na prescrição de perfis de K, por intermédio
de expressões empíricas (Holtslag e Moeng, 1991). Muitas vezes, estas expressões
dependem do cálculo da altura da camada limite, z i , e de outras variáveis de escala da
camada de superfície.
Os avanços nos instrumentos de medição da turbulência vieram possibilitar a
monitorização do interior da CL (e.g. através de aviões) revelando as fragilidades destas
aproximações. A Figura 2.4 mostra um perfil vertical do coeficiente de difusividade
turbulenta para uma CLC. Este perfil ilustra as fragilidades conceptuais deste tipo de
z
zi
indefinido
θ
w'θ '
K
Figura 2.4 — Perfis típicos de uma CL convectiva (construídos através de observações) da
temperatura potencial θ , do fluxo vertical turbulento de temperatura potencial w' θ ' e a
consequente deficiência do perfil do coeficiente de difusividade turbulenta K.
20
fecho. A região intermédia da CL é neutra, a temperatura potencial é constante e o seu
gradiente é nulo, o que à luz desta teoria implicaria um fluxo turbulento nulo, ou valores de
K infinitos. Por outro lado, a camada superior da CL (entre as linhas tracejadas da figura) é
ligeiramente estável e o fluxo turbulento é positivo o que resultaria em valores negativos
de K. Esta região mostra a existência de transporte vertical no sentido do gradiente, que se
apelida de contra-gradiente, e que é intrinsecamente contraditório com a teoria de difusãoK (que assenta na diluição dos gradientes das propriedades). Este transporte é uma
evidência de transporte não-local, que é efectuado pelas correntes ascendentes ou térmicas
de dimensão da própria CL e levou ao aparecimento de variadas teorias entre as quais as
não-locais chamadas de contra-gradiente que serão discutidas mais adiante.
Nos anos setenta generalizou-se a concepção de que os coeficientes de difusão se
baseiam na combinação de escalas de comprimento lt e de velocidade wt , representativas
da turbulência (Tennekes e Lumley, 1972),
K m ≈ wt lt ,
K h ≈ wt lt ,
(2.48)
passando a discussão desta aproximação para a formulação destas duas escalas, o que
levou ao aparecimento dos fechos de ordem 1.5 que estimam wt a partir da energia
cinética turbulenta e . Estes fechos serão discutidos na secção seguinte.
2.3.4.2 Fecho de ordem 1.5
Uma vez que fundamentalmente se discute aqui o transporte vertical na CL,
considere-se para a equação de evolução da covariância u ' w' , um domínio horizontalmente
homogéneo (∂ ∂ x ) = 0; (∂ ∂ y ) = 0 , em regime estacionário e uma estratificação neutra
(w'θ ') = 0 , o que permite obter (Garratt, 1992):
v
0 = − w' 2
∂u 1  ∂p'
∂p' 
−  u '
+ w'  .
∂z ρ  ∂z
∂x 
(2.49)
Desta equação sobressai a importância dos termos de correlação da pressão-velocidade.
Wyngaard (1982) propôs que estes termos podem ser representados por
∂p'  u ' w'
1  ∂p'
 u'
=
+
w
'
,
∂x  τ 1
ρ  ∂z
(2.50)
em que τ 1 é uma escala de tempo característica dos grandes turbilhões, e permite
relacionar as covariâncias,
− u ' w' ≈ τ 1 w' 2
∂u
,
∂z
(2.51)
e identificar conjuntamente com (2.40) a forma de K m como τ 1 w' 2 .
Considere-se agora a equação da covariância da velocidade e da temperatura
potencial u i 'θ ' (Garratt, 1992). Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, e assumindo-
21
se que se está distante da fronteira, o que permite desprezar o termo de transporte (Sorbjan,
1989), vem:
0 = − w' 2
∂θ
g
1 ∂p '
+ θ 'θ v ' − θ ' .
∂z θ v
ρ ∂z
(2.52)
Admitindo a relação,
1  ∂p'  w'θ '
θ '
=
,
ρ  ∂z  τ 2
(2.53)
 ∂θ
g θ 'θ v ' 
.
w'θ ' ≈ −τ 2 w' 2 
+
2 
 ∂z θ v w' 
(2.54)
obtém-se finalmente,
Comparando com (2.41) K h pode escrever-se de forma semelhante: K h ≈ τ 2 w' 2 .
As equações anteriores sugerem que os coeficientes de difusividade podem ser
formulados recorrendo à intensidade da turbulência, nomeadamente através de uma
expressão dependente da energia cinética turbulenta e (Kolmogorov, 1942; Prandtl, 1945;
Mellor e Yamada, 1974). Usualmente assume-se,
1
2
K m , h ,e = Λ m , h ,e e ,
(2.55)
em que Λ é uma escala de comprimento para a qual existem inúmeras formulações, desde
empíricas até dependentes da própria intensidade da turbulência. Esta dependência é
conceptualmente atractiva, uma vez que, K determina a intensidade da mistura em conjunto
com o gradiente local visto ser a base da aproximação de difusão-K, e este mesmo K
depende da eficiência da mistura turbulenta, através de e .
A adopção desta formulação requer a solução da equação de e (2.39), que é tudo
menos trivial no que diz respeito aos termos de correlação da pressão, do transporte
turbulento e da dissipação. Os dois primeiros termos são habitualmente aproximados
recorrendo à concepção de difusão-K, ou seja,
w′e +
p ′w′
∂e
= −K e
,
ρ
∂z
(2.56)
em que se representa o efeito destes termos numa mistura de e a favor do gradiente. K e
obedece também a (2.55) e consiste na difusividade turbulenta para e . No entanto,
observações levadas a cabo em 1968, no Kansas (Wyngaard, 1998), mostram que o fecho
(2.56) nem sempre é verificado; por vezes, o termo de correlação da pressão com a TKE é
uma fonte importante de TKE (Hogstrom,1990) não representada por aquela expressão.
A análise de escala para condições de equilíbrio na camada de superfície neutra,
mostra que o termo da dissipação pode ser aproximado por
22
3
e 2
ε=
,
Λ1
(2.57)
onde Λ1 é uma escala de comprimento. Desta forma, a equação (2.39) toma a forma
3
 ∂u  2  ∂v  2  g
∂e
∂e  e 2
 ∂θ  ∂ 
= K m   +    − K h  v  +  K e
,
−
∂t
∂z  Λ1
 ∂z  ∂z 
 ∂z   ∂z   θ v
(2.58)
e a sua solução fica dependente de Λ1 e de K m,h,e , ou seja de Λ1,m,h,e . Mellor e Yamada
(1982) sugerem ser vantajoso relacionar estas escalas com um comprimento de mistura
genérico l :
(Λ1 , Λ m , Λ h , Λ e ) = l (a1 , S m , S h , S e ).
(2.59)
As funções S n podem ser determinadas a partir de dados experimentais e dependem da
estabilidade, e a1 ≈ 5 .
O desempenho dos esquemas de difusão-K para a CLC são muito dependentes do
comprimento de mistura na região da inversão. Os esquemas baseados na TKE são menos
sensíveis, uma vez que têm que satisfazer a equação de balanço de TKE. Na metade
superior de uma CLC, os gradientes das componentes horizontais do vento são
praticamente nulos, e o balanço de TKE deve-se principalmente à flutuação, ao transporte
e dissipação. Na camada de superfície, o transporte vertical de TKE é negativo e bastante
considerável, mudando de sinal no interior da CL, o que implica um transporte positivo de
TKE para a região superior da CL. Quando o fluxo de calor à superfície é ascendente, a
camada de superfície é instável.
2.3.4.3 Fechos de ordem superior
Partindo das equações de Reynolds (2.33) podem-se deduzir as equações de
tendência para os momentos de segunda ordem, u i ' u j ' , u i 'θ ' e θ ' 2 , de que é exemplo a
equação (2.37). Estas equações constituem um sistema de equações aberto, uma vez que
aparecem um conjunto de novas incógnitas: as correlações triplas, u i ' u j ' u k ' , u i ' u k 'θ ' ,
u k 'θ ' 2 , as presso-correlações e as correlações entre derivadas de u i ' e θ ' . Este facto
ilustra bem o problema do fecho da turbulência: podem-se também deduzir as equações
para os momentos de terceira ordem, mas outro conjunto de incógnitas de ordem superior
aparecerá (André et al., 1978), nunca se conseguindo fechar o sistema de equações, a não
ser através de um conjunto de aproximações.
No caso dos fechos de segunda ordem, o sistema total inclui as equações de
prognóstico para ui , θ , u i ' u j ' (i, j = 1,2,3) , u i 'θ ' (i = 1,3) , θ ' 2 , a equação de estado, a
equação de equilíbrio hidrostático e a equação da continuidade. As variáveis a parametrizar
são: todos os momentos de terceira ordem, as presso-correlações e as correlações entre as
derivadas. Os momentos de terceira ordem são expressos em função dos momentos de
23
ordem inferior, ou seja mediante o estabelecimento de relações empíricas utilizando os
momentos de segunda ordem e inferior. Desde os anos setenta, inúmeras parametrizações
foram propostas para estes termos (e.g. Donaldson, 1973; Deardorff, 1973; Mellor e
Yamada, 1974; Zeman, 1981; Wyngaard, 1982; Wai, 1987) com diferentes condições.
2.3.5 Aproximações não-locais
As aproximações não-locais consideram que os turbilhões de maior escala
transportam fluido a distâncias finitas enquanto os turbilhões de pequena escala provocam
unicamente mistura local. Trata-se portanto de uma concepção advectiva, suportada por
observações de térmicas que ascendem quase sem mistura lateral, e pelas formas de
organização do escoamento muitas vezes observados nas imagens de nuvens (Lenchow e
Stephens, 1980; Agee, 1984; Ebert et al., 1989; Stull e Driedonks, 1987). Os fechos nãolocais relacionam os termos turbulentos com variáveis conhecidas em toda a CL, de forma
a ser inerentemente não-locais.
As aproximações não locais com maior utilização em modelos atmosféricos
consistem na introdução de um termo de “contra-gradiente” nas equações de balanço
(Deardorff, 1966) e na formulação de fluxo-de-massa na parameterização do transporte em
nuvens (Betts, 1973). Importa ainda referir dois fechos mais complexos de 1ª ordem nãolocais: a teoria turbulenta transiliente (Stull, 1984) e a teoria difusiva espectral (Berkowicz
e Prahm, 1979).
2.3.5.1 Formulação de contra-gradiente
Esta formulação surge no contexto da teoria da difusão-K, que como já foi referido,
é inadequada em condições em que a flutuação é dominante, tal como na CLC. A
evidência observacional da existência de transporte contra-gradiente, associada à reputação
das teorias de difusão-K levaram ao aparecimento de inúmeras aproximações para
solucionar este problema, mas na grande maioria dos casos no âmbito da teoria
estabelecida (Deardorff, 1966, 1972a; Schumann, 1987).
Deardorff (1966) constatou pela primeira vez a existência de fluxos turbulentos
contra-gradiente quando a CLS é superadiabática, sugerindo como solução a introdução de
um gradiente vertical modificado,
w'θ ' = − K h
∂θ c
 ∂θ

= − K h 
− γ c  ,
∂z
 ∂z

(2.60)
com γ c ≈ 0.65 × 10 −3 Km −1 , o que torna o fluxo no mesmo sentido do gradiente a partir de
uma estratificação com este limiar. Nesta aproximação assume-se que os fluxos turbulentos
misturam as propriedades no sentido oposto ao do gradiente. A equação (2.60) é
consistente com uma simplificação da equação de prognóstico de w'θ ' , em que o termo de
contra-gradiente é regido por γ c = (g θ v )θ 'θ v ' w' 2 (Garratt, 1992).
Holtslag e Moeng (1991), Holtslag e Boville (1993) e Holtslag et al. (1995)
aprofundaram a teoria contra-gradiente, recorrendo aos resultados de Hojtrup (1982). Estes
autores apresentaram diferentes opções para formular a difusividade turbulenta e o termo
de contra-gradiente. O fecho de turbulência de Holtslag e Boville (1993) foi implementado
24
no modelo de clima do NCAR (NCAR Community Climate Model) (Willimason et al.,
1987). Nesse fecho a difusividade turbulenta para o calor, K h , é baseada no trabalho de
Troen e Mahrt (1986) e de Holtslag et al. (1990):
2

z
K h = kwt z 1 −  ,
 zi 
(2.61)
onde wt é uma escala de velocidade turbulenta. O termo de contra-gradiente é dado por
γ c = aγ
( )
w∗ w'θ ' s
wm 2 z i
,
(2.62)
( ( )
em que wm é também uma escala de velocidade, aγ = 7.2 . w∗ = z i w'θ ' s g θ v
)
13
é a
( )
escala de velocidade vertical convectiva, onde zi é a altura da inversão da CLC e w'θ ' s é
o fluxo de temperatura virtual à superfície. Holtslag et al. (1995) recorrendo a observações
de uma CLC na Holanda, compararam os desempenhos desta última parametrização com
um fecho de difusão-K (Louis et al., 1982), mostrando as melhorias da introdução do
termo de contra-gradiente.
2.3.5.2 Fluxo-de-massa
A aproximação de fluxo-de-massa teve como principal inspiração a observação de
que o transporte vertical de propriedades na camada limite com CuPP se deve em grande
medida às correntes ascendentes das nuvens (e.g. Warner, 1970, 1977). Apesar de as
correntes ascendentes das nuvens ocuparem áreas horizontais relativamente pequenas,
contribuem de uma forma crucial para o transporte vertical, visto terem associadas grandes
perturbações das propriedades termodinâmicas e da velocidade vertical.
Se se considerar a função de densidade de probabilidade (PDF) da humidade
específica de um domínio horizontal da CL com a presença de cumulus (Figura 2.5), a
aproximação de fluxo-de-massa resulta da associação da totalidade do transporte vertical a
duas áreas distintas desta PDF: a área saturada de movimento ascendente, com flutuação
positiva, ac , e a área restante, 1 − ac . Portanto, o domínio horizontal é dividido em
concordância e, consideram-se as propriedades médias de cada uma dessas áreas,
resultando dois picos na função de distribuição, cuja intensidade é igual a cada uma das
áreas (Ooyama, 1971; Betts, 1973; Yanai et al., 1973). Esta simplificação despreza toda a
variabilidade de escala inferior à das nuvens (Wang e Stevens, 2000), visto que se baseia
nas propriedades médias destes dois subdomínios. Esta simplificação é conhecida na
literatura como de “top-hat”, uma vez que para as propriedades do domínio horizontal só
se têm dois valores possíveis.
Os esquemas de fluxo-de-massa foram utilizados com grande sucesso na
representação de convecção em cumulus (Betts, 1973; Arakawa e Schubert, 1974; Tiedtke,
1989) o que levou à sua implementação em muitos modelos de previsão do tempo e ao
desenvolvimento de diferentes metodologias. Para esse desenvolvimento contribuíram
estudos baseados em resultados numéricos e observacionais (Randall et al., 1992). A
25
aproximação de fluxo-de-massa foi exaustivamente analisada recorrendo a simulações de
modelos LES, para diferentes tipos de CL: com stratus (Schumann e Moeng, 1991),
stratocumulus (Randall et al., 1992) e cumulus pouco profundos (Siebesma e Cuijpers,
1995, Siebesma e Holstlag, 1996, Brown et al., 2002, Siebesma et al., 2004). Estas
análises permitiram que este tipo de aproximação não fosse exclusivamente utilizado para
a convecção em cumulus, mas também para convecção profunda.
pdf
1-ac
ac
q
qsat
qzb
qc
q
Figura 2.5 — A função densidade de probabilidade de uma CL com cumulus pouco profundos.
q sat é a humidade específica de saturação e q zb é a humidade específica no nível de flutuação
nula em condições de saturação.
a c corresponde à área horizontal de ar saturado e com
flutuação positiva da PDF, 1 − a c corresponde à área restante. A altura dos dois picos é idêntica
a estas áreas. Representar esta PDF pelos dois picos corresponde à aproximação de fluxo-demassa.
Recentemente, este tipo de parametrizações foi também aplicado à CL sem nuvens
(Businger e Oncley, 1990; Wang e Albrecht, 1990; Wyngaard e Moeng, 1992; Randall et
al., 1992), visto que observações deste tipo de CL apontam também para o proeminente
papel desempenhado pelas correntes ascendentes secas no transporte vertical de
propriedades (Lenschow e Stephens, 1980; Lenschow et al., 1980; Nicholls, 1989). Para
além do vasto leque de aplicações deste tipo de aproximações, importa salientar que a
aproximação de fluxo-de-massa se adapta muito bem à representação do transporte de
traçadores químicos activos (Chatfield e Brost, 1987).
Originalmente, a aproximação de fluxo-de-massa baseou-se na decomposição da
atmosfera em regiões de movimento ascendente, no interior das nuvens, e regiões nas suas
vizinhanças. Mas, se se pretender descrever também a CL sem nuvens, este critério não é
obviamente adequado. Deste modo, considerar-se-á como o critério de decomposição mais
básico o sinal da velocidade vertical, não esquecendo que critérios mais restritivos se
podem aplicar.
Assim, a aproximação de fluxo-de-massa consiste na decomposição da atmosfera
em regiões de correntes ascendentes (u ) e no ambiente circundante (e ) . Considerando um
26
domínio horizontal da atmosfera de área A = L x L y , Au como área da região de
movimento ascendente e Ae a área da região vizinha ( A = Au + Ae ) , pode-se calcular o
valor médio de uma variável φ no domínio horizontal, φ ( z ) , e para cada uma das regiões
disjuntas, respectivamente φ ( z ) e φ (z ) :
u
φ (z ) ≡
φ
u
e
1
A
( z ) = φu
∫ ∫
Lx
0
≡
φ (z ) = φe ≡
e
Ly
0
φ ( x, y, z ) dxdy ,
1
Au
∫∫φ ( x, y, z)dxdy ,
1
Ae
∫∫φ ( x, y, z) dxdy .
(2.63)
u
e
Considerando as áreas normalizadas, au e (1 − au ) , em que au = ( Au A) é a
fracção de domínio ocupado por ascendentes, a média de φ para todo o domínio será dada
por,
φ = auφu + (1 − au )φe .
(2.64)
Os fluxos turbulentos verticais para o domínio total e para os seus subdomínios
podem ser facilmente obtidos atendendo às propriedades da média de Reynolds (2.28)(2.31), vindo
w' φ ' = wφ − w φ ,
u
u
e
e
w'φ ' = wφ − wuφu ,
(2.65)
w'φ ' = wφ − weφe ,
e, tendo em conta que w = au wu + (1 − au )we e wφ = au wφ + (1 − au )wφ
relação entre os fluxos virá
u
w'φ ' = au w'φ ' + (1 − au ) w'φ ' + au (wu − w )(φu − φ e ).
u
e
e
e (2.64), a
(2.66)
O terceiro termo do segundo membro expressa a contribuição das ascendentes para o
transporte turbulento vertical de φ . Este termo é, no âmbito da aproximação de fluxo-demassa em cumulus, considerado como o mais significativo para o transporte turbulento
(Ooyama, 1971; Betts, 1973; Yanai et al., 1973). Siebesma et al. (2004) mostraram,
recorrendo a simulações de LES, que no caso BOMEX, correspondente a uma CL oceânica
com cumulus pouco profundos, mais de 80% do fluxo total pode ser atribuído a este termo.
Resultados deste tipo têm sido utilizados para justificar a aproximação:
w'φ ' ≅ au (wu − w )(φu − φe ) ≡ M (φu − φe ) ,
(2.67)
27
em que M é o coeficiente de fluxo-de-massa associado às ascendentes: M = au (wu − we ).
Este resultado é fundamental nesta aproximação, e diz que o fluxo vertical de uma
propriedade é proporcional à diferença entre a média de uma propriedade nas regiões de
movimento ascendente e nas regiões vizinhas. Desprezar os dois primeiros termos de
(2.66) corresponde a considerar que au << 1 e que a turbulência no ambiente vizinho
contribui pouco para o fluxo total. No mesmo contexto, é também aceitável considerar que
we ≅ 0 , de que resulta,
M ≅ au wu .
(2.68)
A validade da equação (2.67) foi exaustivamente estudada para diferentes tipos de
CL, já referidos. Importa, no entanto, salientar o trabalho de Wyngaard e Moeng (1992)
onde resultados analíticos e de simulações LES são comparados. Estes autores dividem a
atmosfera em regiões de ascendentes e de descendentes (d ) e assumem que w e φ
obedecem a uma PDF gaussiana, o que permite obter
onde bud =
(
)
w'φ ' = bud σ w (φu − φ d ),
(2.69)
2π 4 = 0.627 e σ w é o desvio padrão da velocidade vertical. Admitindo
(
que a velocidade vertical obedece também a uma distribuição gaussiana, M = σ w
pode-se escrever esta equação em função de M, vindo
w'φ ' = ν u M (φu − φd ),
)
2π ,
(2.70)
em que ν u = (2π 4 ) ≈ 1.57 . Isto implica que na equação (2.66), para uma PDF gaussiana,
cerca de 60% (≈ 1 ν u ) do fluxo turbulento total é explicado pelo termo de fluxo-de-massa.
Note-se que em (2.67) ν u é implicitamente igual a 1.
A equação (2.67) constitui a expressão basilar da aproximação de fluxo-de-massa e
apresenta-se como uma forma alternativa para parametrizar os fluxos turbulentos de forma
a fechar o sistema de equações de Reynolds (2.32)-(2.35). Para isso, é necessário conhecer
os perfis de M , φu e φe . A determinação destes perfis na CL não é trivial. Uma parcela de
ar em movimento na CL não constitui um sistema isolado, pois quando ascende ou subside
troca massa com as vizinhanças e as suas propriedades são alteradas por este processo de
mistura com a vizinhança.
A evolução de uma propriedade φ de uma secção horizontal de uma corrente
ascendente de área fraccional au , ou seja de φu , terá que reflectir o processo de mistura
lateral. Seguindo Siebesma (1996), a equação de prognóstico de φ escreve-se,
r
∂φ
∂ (w φ )
+ ∇ h .vH φ +
= F,
∂t
∂z
(2.71)
r
onde v H é o vector velocidade horizontal e F reúne todos os forçamentos externos.
Integrando φ na área Au , dividindo pela área A , aplicando o Teorema de Leibnitz e o
Teorma da divergência, obtém-se:
28
∂au φu 1
+
∂t
A
u
∂a wφ
r r r
n. v − v f φ dl + u
= au Fu ,
∂z
fronteira
(
∫
)
(2.72)
r
em que n é um versor perpendicular à fronteira que separa a ascendente das vizinhanças,
r
r
v é o vector velocidade e v f é a velocidade da fronteira. Analogamente, a equação da
continuidade (2.32), ou (2.71) considerando φ = cte , integrada para a mesma secção
horizontal de uma corrente ascendente escreve-se,
∂au 1
+
∂t
A
∂a w
r r r
n. v − v f dl + u u = 0 .
∂z
fronteira
(
∫
)
(2.73)
O integral da equação anterior corresponde ao balanço de massa que atravessa a fronteira,
ou seja, constitui o resultado total da mistura lateral. Se definirmos E (Entrainment) como
a contribuição que representa a taxa de mistura lateral associada à massa de ar das
vizinhanças que entra na ascendente, e D (Detrainment) o termo que descreve o processo
de exportação de ar da ascendente, D − E representará o resultado líquido dos dois
processos, ou seja
1
A
D−E =
∫
fronteira
(
)
(2.74)
(
)
(2.75)
(
)
(2.76)
r r r
n. v − v f dl ,
em que E é dado por
E=−
1
A
D=
1
A
∫(
)
r r r
n. v −v f < 0
r r r
n. v − v f dl ,
e D escreve-se
∫(
)
r r r
n. v −v f > 0
r r r
n. v − v f dl ,
obtendo-se finalmente de (2.73):
∂au
∂a w
+ (D − E ) + u u = 0 .
∂t
∂z
(2.77)
Considerando as aproximações seguintes, que correspondem a considerar que a
mistura lateral troca quantidades médias:
1
A
1
A
φ
r r r
n. v − v f φ dl ≈ u
A
)
∫(
φe
r r r
n
.
v
−
v
φ
dl
≈
f
r r r
A
n .(v −v f )< 0
∫(
∫(
r r r
n . v −v f > 0
∫
(
(
)
)
)
r r r
n. v −v f > 0
)
r r r
n. v −v f < 0
(
)
r r r
n. v − v f dl = Dφu ,
(
)
r r r
n. v − v f dl = − Eφe ,
(2.78)
a equação (2.72) simplifica-se para
29
u
∂auφu
∂a wφ
− Eφe + Dφu + u
= au Fu .
∂t
∂z
(2.79)
Analogamente para a área vizinha (1 − au ) , obtém-se a seguinte equação:
∂ (1 − au )φe
∂ (1 − au )wφ
− Eφe + Dφu +
= (1 − au )Fe .
∂t
∂z
e
(2.80)
O sistema de equações (2.77), (2.79) e (2.80) estabelece o balanço de massa, no âmbito da
aproximação de fluxo-de-massa.
Na CLC outras decomposições podem ser formuladas. Para a CL com cumulus
pouco profundos a decomposição mais bem estabelecida (Siebesma e Cuijpers, 1995;
Siebesma e Holtslag, 1996) toma como critério de decomposição do domínio no transporte
turbulento vertical, as ascendentes (w > 0) com flutuação positiva e conteúdo de água
líquida, normalmente apelidadas de núcleo das nuvens (cloud core – propriedades com
índice c). De acordo com este critério é aceitável considerar (Tiedtke, 1989; Siebesma e
Holtslag, 1996) que:
i. o conjunto de nuvens está em estado estacionário, (∂θ c ∂t = 0) ;
ii. ν u = 1 , i.e. (2.67) é válida;
iii. a área fraccional do núcleo das nuvens é muito menor que 1, au << 1 ,
consequentemente φ e ≈ φ ,
Conjuntamente com (2.68), os pressupostos anteriores permitem obter um sistema
simplificado para as equações (2.77), (2.79) e (2.80):
∂M c
= E − D,
∂z
(2.81)
∂M cφ c
= Eφ − Dφ c ,
∂z
(2.82)
∂M c (φc − φ )
∂φ
=−
+ F.
∂t
∂z
(2.83)
A equação (2.79) é equivalente às equações (2.34) ou (2.35), na aproximação de
fluxo-de-massa, em que todos os termos fonte estão contidos em F, à excepção do termo
de divergência vertical do fluxo turbulento (primeiro termo do segundo membro). Neste
cenário, e tal como foi referido anteriormente, a tendência de uma propriedade φ , que
pode corresponder ao valor característico de uma qualquer propriedade meteorológica num
30
ponto de grelha de um modelo de previsão do tempo, depende do conhecimento de M c e
de φc .
2.3.5.3 Teoria transiliente
Stull (1984) propôs a teoria transiliente que consiste numa representação alternativa
da mistura turbulenta. O transporte turbulento é descrito por uma matriz de coeficientes
que permitem realizar processos de interacção entre zonas não contíguas da CL, simulando
o efeito não local das térmicas. A matriz é, em geral, construída com base em resultados de
experiências laboratoriais e simulações de LES.
Cuxart et al. (1994) efectuaram uma comparação entre a teoria transiliente e uma
teoria de difusividade turbulenta, recorrendo a observações da campanha observacional
HAPEX (André et al.,1986), do dia 8 de Julho de 1986. A principal conclusão deste estudo
indica que, apesar de as aproximações serem muito diferentes, as duas teorias permitem
obter resultados bastante similares, tanto no que diz respeito aos perfis verticais médios de
temperatura potencial e humidade, como aos respectivos fluxos. No entanto, nenhuma das
aproximações apresenta boa concordância com as observações, o que foi atribuído
parcialmente a forçamentos atmosféricos desconhecidos. Holtslag et al. (1995) voltaram a
comparar a teoria transiliente com outra teoria de difusão-K, baseada em perfis de
difusividade turbulenta (Troen e Mahrt, 1986; Holtslag e Boville, 1993), extraindo o
mesmo tipo de conclusões. Os resultados referidos não justificam, em geral, o recurso à
teoria transiliente dado o seu elevado custo computacional.
2.3.6 Transferência de propriedades em interfaces
2.3.6.1 Processos de mistura lateral
No contexto da aproximação de fluxo-de-massa, os dois tipos de mistura lateral são
usualmente considerados proporcionais ao fluxo-de-massa total (Tiedtke, 1989):
E = ε Mc ,
D = δ Mc ,
(2.84)
onde ε e δ são, respectivamente, as taxas fraccionais de mistura lateral de entrainment e
detrainment, e podem ser interpretadas como o inverso de escalas de comprimento de
mistura (m-1).
Os estudos sobre os processos de mistura lateral em térmicas isoladas e plumas
(Squires e Turner, 1962, Simpson e Wiggert, 1969; Simpson, 1971) sugeriram que a taxa
de mistura lateral, ε , é inversamente proporcional ao raio da térmica:
ε≈
ϑ
.
Raio
(2.85)
em que ϑ ≈ 0.2 . Se se considerar o raio típico de um cumulus, 500 m, obtém-se uma taxa
de mistura da ordem de 10 −4 m-1. Esta aproximação foi muitas vezes tomada como válida
para a representação da mistura lateral de um conjunto de cumulus, nomeadamente no
31
esquema de fluxo-de-massa do modelo do ECMWF (Tiedtke, 1989), em que estas taxas
são consideradas como ε = δ = 3 ×10 −4 m −1 .
Siebesma e Cuijpers (1995) construíram um caso de estudo de LES, partindo de
observações realizadas na campanha BOMEX, com o objectivo de aprofundar o
conhecimento dos processos de mistura lateral que ocorrem num conjunto de CuPP. Estes
autores concluíram que as taxas de mistura lateral deveriam ser dez vezes maiores do que
eram até aí consideradas:
ε ≈ 2 ×10 −3 m −1 ; δ ≈ 3 ×10 −3 m −1 .
(2.86)
Esses valores foram testados num modelo 1D, revelando os resultados das propriedades
termodinâmicas do conjunto de cumulus uma melhoria substancial (Siebesma e Holtslag,
1996).
É importante notar que esta descrição para a mistura lateral se refere a um conjunto
de cumulus e não a um cumulus individual. Ao contrário de uma térmica seca, em que a
mistura lateral parece ser o processo de mistura dominante, num cumulus este processo tem
menor importância comparativamente à mistura no topo (Stull, 1988). Deste modo, a
concepção de uma mistura lateral constante com a altura é suportada no facto de, num
conjunto de cumulus existirem nuvens com o topo a diferentes alturas, onde o processo de
mistura é mais significativo, o que no seu conjunto justifica uma taxa de mistura
aproximadamente constante com altura. Siebesma (1998) sugeriu que a taxa de mistura
lateral de um conjunto CuPP pode ser representada pela distância vertical à base da nuvem,
i.e. ε ≈ 1 (z − z b ) . Nordeng (1994) recorrendo a uma análise de escala sugeriu que
ε ∝ 1 wc . Outras propostas para representar a mistura lateral foram ainda desenvolvidas
(Grant e Brown, 1999; Lin, 1999; Gregory, 2001), mas esta questão continua em debate.
As equações (2.81) e (2.84) permitem obter uma equação que integrada
verticalmente pode representar o perfil de fluxo-de-massa da camada de CuPP,
1 ∂M c
= ε −δ .
M c ∂z
(2.87)
2.3.6.2 Mistura no topo das nuvens
A mistura no topo das nuvens (cloud top entrainment) é um processo físico muito
importante na dinâmica da CL com nuvens. O processo de mistura no topo dos cumulus
consiste na importação de ar vizinho que se mistura com ar da nuvem, daí resultando o
arrefecimento da nuvem devido à evaporação de gotículas. Este processo também ocorre
em stratocumulus, onde é ainda mais relevante e é designado por instabilidade de mistura
no topo das nuvens (cloud top entrainment instability). A região do topo da nuvem tornase, por este processo, mais densa que o ar envolvente, apresentando flutuação negativa e
consequente formação de correntes descendentes, que se vão misturando com ar da nuvem
ao longo do seu percurso (Paluch, 1979; Pontikis et al., 1987).
Blyth e Latham (1985) e Jensen et al. (1985) analisaram dados de radiossondagens
de uma CL com cumulus para identificar as origens do ar dentro das nuvens. Recorrendo a
perfis de variáveis conservadas (Betts, 1985) observaram que as propriedades do ar dentro
32
de um cumulus variam linearmente na vertical, entre a base o topo. Esta distribuição pode
ser calculada por combinação linear das propriedades observadas nos extremos verticais da
nuvem, sugerindo que o ar da nuvem provém do topo e da base da mesma. Esta
interpretação atribui uma menor importância ao processo de mistura lateral em cumulus.
2.3.6.3 Mistura no topo da camada limite
O processo de mistura no topo da CL (top entrainment) está relacionado com a
penetração de ar da troposfera livre na CLC, provocando o crescimento da espessura da CL
e desempenhando um papel fundamental na sua estrutura. A mistura de ar mais quente da
camada estável sobrejacente à CL, nesta última mais fria requer a presença de um fluxo de
calor descendente na região da inversão. O ar mais quente e seco é menos denso. Por isso,
o fluxo negativo de calor está associado a um consumo energético, presumivelmente
mantido pela turbulência e com reflexo no balanço de TKE.
A mistura no topo da CL pode ser compreendida como conversão de TKE em
energia potencial, pois ar mais quente e seco (menos denso) é incorporado pela CL. Esta
conversão reflecte o equilíbrio que se estabelece entre a turbulência e a mistura: quanto
maior for a TKE disponível mais mistura ocorre, mas quanto maior for a mistura menos
TKE fica disponível. A fonte deste processo é o fluxo de flutuação superficial w'θ v ' s . O
processo de mistura no topo contribui também, em geral, para a diluição das nuvens, visto
misturar ar seco e quente na CL (Randall, 1984). Este processo não é possível de
representar explicitamente nos modelos de Larga Escala e de Mesoscala, constituindo um
problema adicional a parametrizar. Existem várias aproximações na literatura, mas este
aspecto permanece ainda em discussão.
(
)
Os esquemas de difusão-K subavaliam em geral o efeito da mistura-de-topo (Ayotte
et al., 1996), não se conhecendo ainda um esquema que represente bem este processo para
diferentes tipos de CL. Adicionalmente, a representação deste processo depende muito da
resolução do modelo.
2.3.6.4 Interacção com a superfície
A superfície terrestre é o principal forçador da CL. O balanço térmico da superfície
é garantido pelo equilíbrio entre fluxos radiativos, de grande e pequeno comprimento de
onda, fluxos de calor sensível e de calor latente. Estes fluxos estão associados a transporte
de energia e de vapor de água entre a superfície e a CL. O fluxo de calor sensível contribui
directamente para o aquecimento da camada limite de superfície (CLS). O fluxo de calor
latente contribui para a flutuação desde a CLS e, no caso de existir condensação, para o
aquecimento da CL ao nível da base da nuvem.
A estrutura vertical da CL revela a existência de três camadas com propriedades
distintas: a subcamada viscosa, com uma altura equivalente ao comprimento da rugosidade
do solo nu, z0 (alguns milímetros), a CLS, com uma altura entre 10 a 100m, e a camada de
transição ou mistura, até ao topo da CL.
A subcamada viscosa é definida como a camada imediatamente contígua ao solo
(z < z 0 ) , em que o transporte molecular de variáveis é importante. Zilitinkevitch (1970) e
33
Deardorff (1974) relacionaram a temperatura potencial, θ s , e a humidade, q sup , à
superfície e em z 0 , através das expressões:
θ z0 = θ s + 0.0962(θ ∗ k )(u∗ z 0 ν )0.45 ,
q z0 = qsup + 0.0962(q∗ k )(u∗ z 0 ν )
0.45
( )
(2.88)
,
em que k é a constante de von Karman, q∗ = − w' q' s u∗ é a humidade específica de atrito,
( )
(( ) ( ) )
θ ∗ = − w'θ ' s u∗ é a temperatura potencial de atrito e u∗ = w' u ' s 2 + w' v' s 2
velocidade de atrito.
14
é a
Em boa aproximação, pode considerar-se que o escoamento atmosférico na CLS é
quasi-estacionário e as forças do gradiente horizontal de pressão e de Coriolis podem ser
desprezadas. O domínio em que estas três condições se verificam determina a extensão da
CLS. A CLS estende-se de z 0 a hs (hs ≈ 10 - 100 m ) . Esta região da CL é a melhor
conhecida, uma vez que é a mais acessível para a recolha de medidas.
2.3.6.5 Teoria da semelhança da camada limite superficial
Na CLS, o recurso à análise dimensional permite a obtenção de expressões para os
perfis verticais das diferentes variáveis, em termos de funções universais de parâmetros
independentes. Monin e Obukhov (1954) desenvolveram a teoria da semelhança da CLS,
assumindo uma CL horizontalmente homogénea (i.e., em que as derivadas horizontais são
muito menores que as verticais) e estacionária. A força de Coriolis é desprezada, não
existindo variação vertical da direcção do vento. Considerando um corte vertical 2D ( x, z ) ,
se se alinhar a direcção do vento à superfície com a direcção Ox, as equações de Reynolds
(2.33) e (2.34), sem água líquida (θ l = θ ) reduzem-se a:
∂ 
∂u 
 w' u ' − ν
 = 0,
∂z 
∂z 
∂ 
∂θ 
 w'θ ' − λθ
 = 0,
∂z 
∂z 
(2.89)
o que possibilita considerar a CLS como uma camada de fluxo constante (camada de
Prandtl) e escrever
w' u ' − ν
∂u
2
= cte = −u∗ ,
∂z
∂θ
w'θ ' − λθ
= cte = Q0 ,
∂z
(2.90)
onde u∗ é a velocidade de atrito, e Q0 ≅ w'θ ' s é o fluxo cinemático de calor da superfície.
Quando z >> ν u∗ , os fluxos moleculares podem ser desprezados em face dos fluxos
34
turbulentos, deixando de ser necessário considerar ν e λθ como parâmetros relevantes
para a dinâmica da CLS acima dessa altura.
A hipótese de semelhança de Monin-Obukhov (Monin e Obukhov, 1954) consiste
em admitir que as distribuições de probabilidades multidimensionais das variáveis u, w, θ
são funções exclusivas da altura, z, e dos parâmetros constantes da CLS: u∗ , Q0, ρ 0 e
( g θ 0 ) . Estes quatro parâmetros permitem derivar a escala de velocidade,
(( ) )
12
u∗ = τ zh / ρ s ≅ w' u ' s
( τ zh é a tensão viscosa à superfície), uma escala de
comprimento (comprimento de Monin-Obukhov),
3
LMO
u∗
=−
,
k ( g θ 0 )Q0
(2.91)
uma escala de temperatura,
θ∗ = −
Q0
,
u∗
(2.92)
e um número adimensional independente (índice de Monin-Obukhov),
ζ =
z
LMO
.
(2.93)
O comprimento de Monin-Obukhov é proporcional à altura acima da superfície em que a
produção turbulenta por flutuação é superior à produção por efeito de corte.
As derivadas verticais adimensionais podem ser deduzidas utilizando o teorema π
de Buckingham (Birkhoff, 1950):
∂u u ∗
= ϕ u (ζ ) ,
∂z kz
∂θ θ ∗
= ϕ hθ (ζ ),
∂z kz
(2.94)
a constante de von Karman é incluída por razões históricas; ϕu e ϕ hθ são funções
universais, só dependentes de ζ , que se determinam experimentalmente. Algumas
estimativas observacionais de ϕu e ϕ hθ são discutidas em Högström (1996). A integração
vertical das equações (2.94) na CLS permite conhecer o vento e a temperatura potencial a
um determinado nível, o que é fundamental para estabelecer condições fronteira inferiores
para os modelos de CL. Adicionalmente, esta teoria é muito útil para a validação de
modelos de turbulência na CLS (Mellor, 1973; Lewellen e Teske, 1973).
35
2.4 Outros processos físicos
A estrutura turbulenta da CL com nuvens é consideravelmente mais complexa
devido às transições de fase e aos processos radiativos associados às nuvens. A influência
destes processos na estrutura e dinâmica da turbulência da CL manifesta-se pela produção
de fontes locais de aquecimento ou arrefecimento no seu interior, a acrescentar ao
forçamento da superfície na fronteira inferior. A radiação está associada a mecanismos
com realimentação ora positiva ora negativa, difíceis de contabilizar.
O balanço energético da superfície terrestre é directamente influenciado pela
presença de nuvens na CLC. A sombra de uma nuvem diminui a quantidade de radiação
solar que chega ao solo, iniciando um processo de realimentação negativa, uma vez que a
um aquecimento inferior da superfície implica uma menor quantidade e intensidade das
térmicas, ou seja uma menor probabilidade de formação de nuvens do tipo cumulus.
Consequentemente, nos dias em que se desenvolvam cumulus de bom tempo devido ao
aquecimento da superfície, estes tendem para um equilíbrio com uma cobertura nublosa
parcial do céu.
Na CL com nuvens o arrefecimento do ar no topo das nuvens é resultado da
emissão de radiação de grande comprimento de onda. Se a nuvem for do tipo
stratocumulus a importância deste efeito é bastante significativa (Lilly, 1968). Uma nuvem
do tipo stratocumulus suficientemente espessa pode ser tratada como um corpo negro para
a emissão de radiação. No topo das nuvens, o fluxo radiativo de grande comprimento de
onda ascendente é maior que o fluxo radiativo de grande comprimento de onda
descendente, visto que a temperatura radiativa da nuvem é superior à do ar a níveis mais
elevados. O arrefecimento do topo da nuvem induz o aparecimento de correntes
descendentes de ar frio, o que constitui um exemplo de convecção não forçada pela
superfície.
Na base das nuvens o balanço radiativo resulta num aquecimento, geralmente
menos importante que o processo de arrefecimento no topo, devido à pequena diferença de
temperatura entre a superfície e a base. Da conjugação dos dois processos referidos resulta
uma instabilidade adicional da nuvem, e maior estabilidade da camada subjacente,
contribuindo para o desacoplamento entre estas duas camadas.
Em estudos de CL com cumulus pouco profundos considera-se, em geral, que não
ocorre solidificação da água nem precipitação. O processo de solidificação pode ser
facilmente incorporado no sistema de equações. A precipitação, no entanto, acrescenta
diversas dificuldades, associadas à necessidade de incorporar uma representação de
diferentes processos de microfísica de nuvens: conversão de água de nuvem em água de
chuva, evaporação da chuva, interacção entre chuva e agregados, etc. A precipitação
através da CL tem impactos importantes na sua estrutura térmica e dinâmica, sendo
responsável também pelo forçamento de correntes descendentes (Krueger, 1988).
2.5 Estrutura vertical média da camada limite convectiva
Na Figura 2.6 apresentam-se perfis típicos médios de temperatura potencial,
humidade específica e vento, para uma CLC. Os perfis destas propriedades reflectem a
evolução da CL, descrita na Figura 2.2. Durante o dia, a CLS apresenta um acentuado
36
gradiente vertical de todas as propriedades, o que intensifica o transporte de calor,
humidade e momento entre a superfície e o ar, o mesmo é dizer que os perfis de
temperatura potencial e de humidade são instáveis. Na camada de mistura, i.e. no interior
da CL, todas estas propriedades reflectem a intensa mistura, apresentando perfis bastante
uniformes, em particular a temperatura potencial e o vento. A humidade específica diminui
ligeiramente com a altura e a temperatura diminui de acordo com a taxa de diminuição da
temperatura com a altitude num processo adiabático. Na região superior da CL a
temperatura regista uma inversão, aumentando com a altura; a temperatura potencial cresce
com a altura, a humidade específica diminui e o vento apresenta efeito de corte, tendendo
para os valores do vento geostrófico. A presença destes fortes gradientes verticais actua
como uma “tampa” para a penetração das térmicas na troposfera livre, restringindo o
domínio de influência da turbulência.
Z
Z
Z
V
0
Θ
q
Vg
V
Figura 2.6 — Perfis verticais médios típicos de camada limite convectiva seca, de: temperatura
potencial θ , humidade específica q e vento V . Vg refere-se ao vento geostrófico.
O ciclo diurno de uma CLC com cumulus é semelhante ao descrito anteriormente
para uma CLC sem nuvens (Figura 2.2), levando em consideração as modificações
associadas às nuvens e à humidificação na CL. A estrutura vertical diurna típica de uma
CLC com cumulus pouco profundos é ilustrada na Figura 2.7, de acordo com observações.
A CLS é uma camada superadiabática, caracterizada por um decréscimo da temperatura
potencial e da humidade específica total, com a altura. Sobrejacente aparece uma camada
de mistura em que estas propriedades são aproximadamente constantes com a altura, até ao
nível de condensação por elevação (LCL – Lifting Condensation Level), que constitui a
base das nuvens e é o início da camada de nuvens cumulus. Esta camada tem a extensão
vertical do conjunto dos cumulus, apresenta gradientes verticais reduzidos mas constantes
de temperatura potencial e humidade. A temperatura potencial aumenta e a humidade
diminui. O perfil vertical típico da camada com nuvens do tipo cumulus é um perfil
condicionalmente estável: as parcelas de ar seco são estáveis e as parcelas saturadas são
instáveis, de que resulta o desenvolvimento vertical das nuvens. A camada nublosa é
encimada pela inversão, onde os gradientes das propriedades anteriores são muito mais
acentuados.
37
Z
Z
Z
V
Vg
0
Θl
qt
V
Figura 2.7 — Perfis verticais médios típicos de camada limite convectiva com cumulus pouco
profundos, de: temperatura potencial θ l , humidade qt e vento V. Vg refere-se ao vento
geostrófico.
38
Modelo de camada limite Lem1D
3 Modelo de camada limite Lem1D
3.1 Introdução
O modelo de camada limite Lem1D, consiste numa versão unidimensional do
modelo de LES do KNMI (Cuijpers e Duynkerke, 1993), com diversas alterações no que
diz respeito às condições fronteira e à representação dos efeitos de subescala. O Lem1D é
um modelo de alta resolução vertical, especialmente desenhado para o desenvolvimento de
parametrizações de turbulência para GCMs (Global Circulation Models) e LAMs (Limited
Area Models). Este modelo foi originalmente escrito em Fortran77 (Siebesma e Teixeira,
2000; Teixeira e Siebesma, 2000) e foi melhorado e ampliado, no âmbito desta tese, com
diferentes esquemas em Fortran90 (Siebesma et al., 2000; Soares et al., 2001).
O Lem1D baseia-se nas equações da dinâmica e da termodinâmica, com
parametrização dos efeitos de subescala. As equações do modelo são escritas para uma
coluna vertical, para um escoamento invíscido com rotação. Assume-se a existência de um
estado de referência em equilíbrio hidrostático e geostrófico.
As variáveis de prognóstico do modelo são as duas componentes da velocidade do
vento (u, v ) e as propriedades termodinâmicas conservadas em processos adiabáticos,
incluindo condensação/evaporação (Betts 1973): a temperatura potencial de água líquida,
θ l , e a humidade específica total, qt .
O modelo não contempla a presença de orografia, nem inclui um modelo de
superfície. Os fluxos de superfície, i.e. o fluxo de cinemático de calor sensível, o fluxo de
vapor e o fluxo de momento, são prescritos. A teoria da semelhança de Monin-Obukhov
permite determinar a temperatura e a humidade específica do primeiro nível do modelo.
3.2 Equações do modelo
As equações fundamentais do modelo Lem1D são as equações de prognóstico para
as variáveis médias (u , v , θ l , qt ) e a equação da continuidade. O mesmo é dizer as equações
de Navier-Stokes, da termodinâmica, de conservação da humidade específica total e de
conservação da massa.
Para uma coluna vertical, as equações do movimento médio obtêm-se de (2.33):
( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
∂u
∂
1 ∂p
∂
=−
w' u ' −
+ fv =−
w' u ' + f v − v g ,
∂t
∂z
ρ ref ∂x
∂z
∂v
∂
1 ∂p
∂
=−
w' v' −
− fu=−
w' v' − f u − u g ,
∂t
∂z
ρ ref ∂y
∂z
(3.1)
(3.2)
39
(
)
onde u g ,vg são as duas componentes do vento geostrófico. De (2.34) obtém-se a equação
da termodinâmica
(
)
∂θ l
∂
=−
w'θ l ' + Aθ + R,
∂t
∂z
(3.3)
em que Aθ é a advecção horizontal de temperatura e R representa o termo de forçamento
radiativo. Finalmente, a equação de conservação da humidade específica total vem de
(2.35),
(
)
∂qt
∂
=−
w' qt ' + Aq ,
∂t
∂z
(3.4)
em que Aq é a advecção horizontal de humidade. Estas últimas quatro equações
constituem as equações de prognóstico do modelo. A estas equações é necessário
acrescentar diversas equações de diagnóstico: a equação da continuidade para um fluido
incompressível (2.32), a equação de estado (2.4), a condição de equilíbrio hidrostático
(2.13) e as definições das diferentes variáveis.
3.3 Esquema de superfície
(
)
(
)
Os fluxos de superfície w'θ l ' s e w' qt ' s , e a velocidade de atrito (u ∗ ) são
prescritos e constituem o forçamento inferior da CL. Na CLS os gradientes de u , v , θ l , qt
são calculados de acordo com a teoria da semelhança de Monin-Obukhov, utilizando os
perfis de Dyer (1974):
(
kz ∂u 
z
ϕu =
= 1 − 16
u∗ ∂z 
LMO
)(
(
em que LMO = − u∗ 3 k g θ v s w'θ v '
ϕ hθ



(3.5)
,
) ). A expressão para v é similar.
s
kz ∂θ l 
z
= 1 − 16
=
θ l ∗ ∂z 
LMO
ϕhq =
−1 4
kz ∂qt 
z
= 1 − 16
qt ∗ ∂z 
LMO



−1 2



−1 2
,
(3.6)
.
Estas relações são válidas para uma CL instável, ou seja, LMO < 0 , e
( )
= − (w' q ')
θ l ∗ = − w'θ l ' s u ∗ ,
qt ∗
t s
(3.7)
u∗ ,
40
Para uma CL estável (LMO > 0 ) as expressões de ϕ hθ e ϕ m são:
z
ϕ m = ϕ hθ = ϕ h q = 1 + 5 ,
L
(3.8)
As propriedades da superfície (θ l s , qt s ) são também calculadas utilizando as relações
anteriores na sua forma integral. Estas relações não são apropriadas quando u∗ = 0 , i.e. no
regime de convecção livre. Neste caso, os gradientes verticais termodinâmicos são dados
por (Prandtl, 1932; Priestley, 1954):
 g 
∂θ l

= −0.7 w'θ l ' s 2 3 
 θv0 
∂z


(
)
−1 3
 g 
∂qt

= −0.7 w' qt ' s 2 3 
 θv0 
∂z


(
)
z −4 3 ,
(3.9)
−1 3
z −4 3 .
3.4 Turbulência
O modelo Lem1D dispunha inicialmente de um fecho de 1ª ordem para os fluxos
turbulentos. De forma a dispor de uma parametrização adicional para a turbulência de
subescala, foi adicionada uma equação de prognóstico da TKE. Esta equação permitiu
implementar um esquema de ordem 1.5. Ambos os fechos consideram que os fluxos
turbulentos das equações de prognóstico (3.1)-(3.4) são parametrizados recorrendo às
relações (2.40) e (2.41).
3.4.1 Fecho de 1ª ordem
Neste caso, as difusividades turbulentas correspondem a perfis verticais calculados
através de expressões empíricas para a CLC, de acordo com Holtslag (1998). Estas
expressões dependem do diagnóstico da altura da CL, z i , e de outras variáveis de escala da
CLS. O coeficiente de difusão para o calor e para a humidade, Kh, obedece à teoria da
semelhança próximo da superfície; é nulo junto à superfície e tem um máximo
K max /( w* z i ) ≅ 0.1 :
2
K h = ku*ϕ h 0
−1

z
z 1 −  ,
 zi 
(3.10)
onde ϕ h 0 é uma função de estabilidade dada por
φ h0

z
= 1 − 39
LMO

−
1
 3
 .

(3.11)
41
O coeficiente de difusão, Km, para as duas componentes do momento linear (u, v ) é
similar:
2
K m = ku*ϕ m 0
−1

z
z 1 −  ,
 zi 
(3.12)
onde a função de estabilidade ϕ m 0 é dada pela expressão
ϕ m0

z
= 1 − 15
LMO

−
1
 3
 .

(3.13)
3.4.2 Fecho de ordem 1.5
(
)
3
A equação (2.39) pode ser reescrita tendo em conta (2.57) em que Λ1 = l m c1 e
desprezando o termo das presso-correlações,
( )
3
∂e
∂u
∂v g
∂
e 2
= − w' u '
− w' v' + w'θ v ' −
w' e − c13
.
∂t
∂z
∂z θ v
∂z
lm
(3.14)
Esta equação é discretizada, com a TKE assignada aos níveis inteiros ou de massa. Esta
equação de TKE é resolvida pelo método dos passos fraccionais, de forma análoga à
metodologia adoptada no modelo ECHAM (Roeckner et al., 1992; Brinkop e Roeckner,
1995). Calcula-se primeiro a tendência devida a todos os termos à excepção do termo de
transporte, calculando-se posteriormente a tendência devida a este último termo.
Considere-se a simplificação de (3.14) em que se ignora o termo de transporte, i.e.
em que se considera unicamente os temos de produção por efeito de corte, produção por
flutuação e dissipação. O fluxo turbulento de flutuação w'θ v ' relaciona-se com w' qt ' e
w'θ l ' pela relação
w'θ v ' = At w'θ l ' + Dt w' qt ' ,
(3.15)
onde At e Dt são para a CL não saturada,
At = 1 + 0.61 qt ,
Dt = 0.61.
(3.16)
Lembrando que os termos turbulentos w'u ' , w'v' , w'θ l ' e w' qt ' são aproximados por uma
aproximação de difusão-K, de acordo com as equações (2.40) e (2.41), e que as respectivas
difusividades turbulentas são função de um comprimento de mistura e da raiz quadrada da
TKE (2.55), i.e. K m,h = l m,h c1 e , pode então escrever-se (3.14):
42
2
2
g
∂e
 ∂v 
 ∂u 
= e l m c1   + e l m c1   +
∂t
 ∂z  θ v
 ∂z 
3
∂q 
e 2
 ∂θ
e l h c1  At l + Dt t  − c13
,
∂z 
lm
 ∂z
(3.17)
onde l h,m e c1 estão de acordo com Mailhot e Benoit (1982). Esta equação pode ser
reescrita:
∂e
= Be e − C e e 3 ,
∂t
(3.18)
onde Be e Ce são
∂q 
g
 ∂θ
Be = l h c1  At l + Dt t  + l m c1
θv
∂z 
 ∂z
Ce =
 ∂u  2  ∂v  2 
  +    ,
 ∂z   ∂z  
(3.19)
3
c1
,
lm
que em diferenças finitas resulta na equação quadrática em
e∗ t +1 ,
2
C e  e∗ t +1 
e∗ − e
Be
 .
=
− 
2
2
∆t
t +1
t
(3.20)
Neste esquema usa-se um esquema implícito. A solução da equação anterior é:
1
 t +1 
 e*  =

 ∆t C e
(
)

t 
− 1 ± 1 + C e 2∆t Be 2∆t + 2 e  ,
só a primeira solução possui significado físico, de modo a que
quando ∆t → 0 (3.20).
(3.21)
e t +1 > 0 , e
et +1 → et
O valor de TKE calculado pelo procedimento anterior é posteriormente corrigido
com inclusão do efeito do transporte turbulento:
( )
∂e
∂
=−
w'e' ,
∂t
∂z
(3.22)
ou seja,
e t +1 = e∗
t +1
−
∂ 
e t +1 
− Ke
∆t ,
∂z 
∆z 
(3.23)
que é integrada de acordo com Teixeira e Siebesma (2000). Assumindo-se Ke constante no
espaço, por simplicidade de notação, a discretização da equação (3.23) permite obter:
43
t +1
(
− α e tz+−∆∆tz + (1 + 2α ) e zt + ∆t − α e zt ++∆∆tz = e zt + e∗ z ,
(3.24)
)
onde α = K t ∆t ∆z 2 . Os coeficientes de difusão turbulenta podem ser frequentemente
bastante grandes, quando comparados com o passo de tempo e a resolução usada em
GCMs e modelos de NWP. Estes coeficientes podem, por vezes, ultrapassar os limites de
estabilidade numérica em esquemas explícitos. De forma a contornar os problemas de
estabilidade numérica, optou-se por solucionar esta equação através de um esquema
implícito, tal como as outras equações de prognóstico do modelo.
3.5 Condensação e Radiação
O esquema de condensação está vocacionado para diagnosticar, sempre que ocorra
saturação, o conteúdo de água líquida, numa parcela de ar que ascenda na CL. Consiste
numa aproximação muito simples de “tudo-ou-nada”, i.e. um ponto de grelha ou está
saturado (ql > 0) ou não saturado (ql = 0 ) (Sommeria e Deardorff, 1977). Dados θ l , qt e
fazendo uso da função de Exner Π , definida em (2.23), pode-se calcular a temperatura de
água líquida:
Tl = θ l Π.
(3.25)
A tensão de saturação em função de Tl , es (Tl ) , é calculada através da expressão de Bolton
(1980):
  T − 273.16 
 ,
es (Tl ) = es 0 exp at  l
  Tl − bt 
(3.26)
em que es 0 = 610.78 Pa , at = 17.27 e bt = 35.86 K . A humidade específica de saturação
em função de Tl , qs (Tl ) , é dada por:

es
q s (Tl ) = 0.622 
 p − 0.378 e s

.

(3.27)
Visto que geralmente T − Tl ≤ 0.01T , uma expansão de Taylor permite relacionar qs (Tl )
com a humidade específica de saturação em função de T ,
 ∂q (T ) 
q s = q s (T ) = q s (Tl ) +  s
(T − Tl ).

 ∂T  T =Tl
(3.28)
A equação de Clausius-Clapeyron permite determinar
 L
 ∂q s (T ) 
= 0.622  v 2


R T
 ∂T T =Tl
 d l

,


(3.29)
44
em que o calor latente de vaporização Lv = 2.5 × 10 6 J kg −1 . Tendo em conta (2.23),
(3.25), (3.28), (3.29), e que ql = qt − q s , é possível determinar a humidade específica de
saturação:
2


 1 + 0.622 Lv qt 
2


Rd c pd Tl
q s = q s (Tl ) 
.
2
0.622 Lv


q (Tl ) 
 1 +
2 s

Rd c pd Tl


(3.30)
Por último, o conteúdo de água líquida é obtido de
ql = max[(qt − q s ),0].
(3.31)
Este esquema permite determinar, de uma forma aproximada, o conteúdo de água líquida.
O modelo não tem por agora qualquer esquema de radiação, sendo unicamente
possível prescrever uma tendência associada ao aquecimento/arrefecimento radiativo,
expresso por R na equação da termodinâmica (3.3).
3.6 Grelha vertical
A malha vertical é do tipo deslocado. Usa-se um esquema de diferenças centradas
no espaço. As variáveis u , v , θ l e qt estão definidas nos níveis inteiros ou de massa, os
seus fluxos e a TKE aparecem definidos nos níveis intermédios ou de fluxo (Figura 3.1).
k +1
k+1
2
k
e, w'θ l ', w' qt ', w' u ', w' v'
u , v , ρ , θ l , qt
k =1
k =1 2
w'θ l ' S , w' qt ' S , w' u ' S , w' v'S
k = −1
Figura 3.1 — Estrutura da grelha vertical do modelo Lem1D. O índice S diz respeito à superfície.
Níveis intermédios ou de fluxo: linha tracejada, e níveis inteiros ou de massa: linha cheia.
45
Esquema de difusão-K/fluxo-de-massa para a parametrização da camada limite convectiva
4 Esquema de difusão-K/fluxo-de-massa para a
parametrização da camada limite convectiva
4.1 Introdução
A mistura turbulenta de calor, humidade e momento linear desempenham um papel
importante na determinação da estrutura vertical da atmosfera, afectando o tempo à
superfície e a diluição do ar da CL, e consequentemente a dispersão de poluentes. A
mistura turbulenta na CLC é desempenhada por turbilhões de dimensões variadas, desde
alguns milímetros até às térmicas da dimensão da própria CL. O efeito das térmicas está
bem documentado, tanto através de campanhas observacionais (Lenschow e Stephens
1980; Warner, 1977) como de estudos que recorrem a simulações de LES (Schumann e
Moeng, 1991a,b; Siebesma e Cuijpers, 1995; Brown et al., 2002).
Nos GCMs, a mistura turbulenta de subescala é parametrizada utilizando diferentes
esquemas. Quando existe a formação de nuvens na CLC, estes modelos usam, em geral,
uma parametrização alternativa para o transporte vertical na camada de nuvens: um
esquema de fluxo-de-massa (MF – mass-flux), enquanto que a camada abaixo das nuvens
continua a ser parametrizada por difusão-K. Esta descontinuidade contribui em muitos
modelos para os fracos resultados obtidos na CL com cumulus (Lenderink et al., 2004). A
aproximação MF foi introduzida no contexto da convecção em cumulus (Ooyama, 1971;
Betts, 1973). Recentemente, algumas parametrizações de fluxo-de-massa foram aplicadas à
CLC seca (Randall et al. 1992; Wang e Albrecht, 1990), apontando para que os esquemas
de fluxo-de-massa sejam os adequados para a parametrização da mistura turbulenta devida
às térmicas. Estes factos associados à descontinuidade no tratamento das diferentes escalas
de mistura turbulenta, sugere o desenvolvimento de um esquema unificador, para a
representação da mistura turbulenta de calor e humidade em CL com e sem nuvens.
Nesta secção apresenta-se o desenvolvimento de uma parametrização para o
transporte turbulento na CLC, resultante da ideia original proposta por Siebesma e Teixeira
(2000), que adiciona à aproximação de difusão turbulenta uma contribuição de fluxo-demassa. Esta combinação assenta na divisão da mistura turbulenta da CLC entre a mistura
efectuada pelas correntes ascendentes e a mistura devida aos pequenos turbilhões. O
transporte não-local associado às térmicas, estruturalmente assimétricas, é representado por
uma aproximação de fluxo-de-massa. A mistura local devida aos pequenos turbilhões é
descrita por um esquema difusivo.
A necessidade de um termo que represente o transporte não-local na CL é há muito
conhecida. A região superior da CLC apresenta um gradiente vertical da temperatura
potencial ligeiramente estável e um fluxo vertical de calor positivo, o que aponta para um
transporte contra-gradiente (counter-gradient). Este facto demonstrou a limitação do tipo
de aproximação difusivo, que é intrinsecamente a favor do gradiente (downgradient)
(Deardorff, 1966, 1972b; Schumann, 1987, Holtslag e Moeng, 1991), e sugere
precisamente a adição de um termo que contribua para o transporte não-local. Holtslag e
46
Moeng (1991) propuseram uma representação para este transporte contra-gradiente,
introduzindo um termo adicional na equação do fluxo de calor, assente em expressões
empíricas. Estes autores introduziram ainda novas expressões para a difusividade térmica,
baseando-se em resultados de LES.
4.2 O esquema de difusão-K/fluxo-de-massa
O esquema de difusão-K/fluxo-de-massa (Eddy-Diffusivity/Mass-Flux – EDMF) é
suportado na divisão em duas escalas de mistura, responsáveis pelo transporte turbulento
de subescala (Figura 4.1).
zi
- mistura local
w'φ'local ≅ − K
z
∂φ
∂z
- mistura não-local
w'φ 'não−local ≅ M (φu − φ )
zi
correntes
ascendentes
mais vigorosas
z
z
wu, qu, ?u
au
wu
qu
?u
z
Figura 4.1 — Esquema das diferentes escalas dos turbilhões na CL convectiva e conceptualização
do esquema de difusão-K/fluxo-de-massa (EDMF). A aproximação EDMF é baseada na divisão em
duas escalas da mistura turbulenta: pequenos turbilhões e correntes ascendentes.
Se se definir uma fracção fixa de área au , como a fracção ocupada por movimento
ascendente vigoroso, pode-se realizar a decomposição de um fluxo turbulento de uma
propriedade φ em três termos, de acordo com o raciocínio expresso pelas equações (2.63)
a (2.65), e que permite obter (2.66), i.e:
w'φ ' = au w'φ ' + (1 − au ) w'φ ' + au (wu − we )(φu − φe ) ,
u
e
(4.1)
onde u se relaciona com a região de movimento ascendente, e e se refere ao ambiente
circundante. O primeiro termo do segundo membro está associado à turbulência dentro das
47
ascendentes. O segundo termo deste membro descreve a mistura turbulenta nas regiões
circundantes, e o terceiro termo expressa a contribuição das ascendentes para o transporte
turbulento vertical de φ . Este último termo é, no âmbito da aproximação de fluxo-demassa, considerado como o mais significativo para o transporte turbulento (Ooyama, 1971;
Betts, 1973; Yanai et al., 1973). Siebesma et al. (2004) mostraram, recorrendo a
simulações de LES, que, no caso BOMEX, mais de 80% do fluxo pode ser atribuído ao
termo de fluxo-de-massa. Outros estudos de LES para a CL seca também apontam para a
relevante contribuição das térmicas para o transporte total, e.g. Wyngaard e Moeng (1992)
atribuem-lhe mais de 60% do transporte vertical na CL. Lenschow e Stephens (1980),
recorrendo a observações, mostraram que numa CLC bastante activa o transporte vertical é
dominado pelas térmicas.
Na utilização da decomposição (4.1) realizam-se as seguintes simplificações: 1) a
fracção de área das ascendentes com maiores velocidades, e portanto que mais contribuem
para o transporte, é muito reduzida (a u << 1) , implicando que o primeiro termo do
segundo membro da equação (4.1) pode ser desprezado e que φe ≅ φ ; 2) we ≅ 0 ; e, 3) a
turbulência no ambiente vizinho (segundo termo do segundo membro) pode ser
representada por uma aproximação de difusão-K, em vez de desprezada, como nos
esquemas de fluxo-de-massa. De acordo com estas simplificações, a mistura turbulenta é
representada pela soma das contribuições de difusão turbulenta e de fluxo-de-massa,
obtendo-se de (4.1):
w'φ ' ≅ − K
∂φ
+ M (φu − φ ),
∂z
(4.2)
onde M = au wu é o coeficiente de fluxo-de-massa associado às térmicas mais fortes. Esta
abordagem requer a especificação da difusividade turbulenta, K, do coeficiente de fluxode-massa, M, e das propriedades do conjunto das ascendentes mais vigorosas, φu .
Com o intuito de conhecer as propriedades das ascendentes da CLC seca, realizouse um conjunto de simulações de LES, inspiradas no caso de CLC utilizado num estudo de
intercomparação de modelos LES (Nieuwstadt et al., 1992). Os resultados desta
intercomparação mostraram, genericamente, uma boa concordância entre os diversos
modelos de LES envolvidos, excepto nas regiões onde os modelos são menos sólidos: a
camada de superfície e a inversão. As simulações de LES foram efectuadas com o modelo
do KNMI (Cuijpers e Duynkerke, 1993), que está sucintamente descrito no Apêndice B.
As simulações correspondem a uma CLC, com diferentes forçamentos de superfície e
diferentes perfis iniciais, descritos na Tabela 4.1. Todas estas experiências LES tinham em
comum as seguintes propriedades iniciais à superfície: θ s = 300 K , q s = 5g kg −1 ,
p s = 1000 hPa , vector vento inicial, (u , v ) = (0.01;0) ms-1, não varia na vertical, e não
existe forçamento de larga-escala. A resolução vertical é de 20 m e consideram-se 200
níveis verticais; o domínio horizontal é 5000 × 5000 m2, uma resolução de ≈ 78 m e um
passo de tempo de 2 s.
Neste conjunto de simulações foram realizados inúmeros diagnósticos das
características da turbulência no domínio considerado e diagnósticos relativos a
propriedades de diferentes estruturas na CL. Definem-se as térmicas mais intensas como os
48
pontos do domínio LES que contêm os valores da velocidade vertical acima de um dado
limiar. Para cada plano horizontal considera-se uma fracção constante dos pontos de grelha
que contêm as velocidades verticais positivas mais elevadas. Esta decomposição permite
conhecer as propriedades de correntes ascendentes, nomeadamente, as que correspondem
às fracções 0.01, 0.03, 0.05 e 0.1 das térmicas mais vigorosas. Estes diagnósticos servem
de suporte para a formulação da contribuição de fluxo-de-massa apresentada na secção
seguinte.
Tabela 4.1 — Algumas características das simulações LES de CLC limpa.
 ∂θ l 


 ∂z  ini
 ∂qt 


 ∂z  ini
Exp1
(K km-1)
Figura 4.2
(km-1)
Perfil inexistente
Exp2
z < 500 m, instável
z > 500 m, 2
Figura 5.5
Exp3
w'θ l '
w' qt '
-1
(Kms )
(ms-1)
constante
constante
6x10-2
0
Perfil inexistente
constante
constante
2
Figura 6.7
Figura 6.8
6x10-2
constante
0
constante
z < 1350 m, -3.7x10-4
z > 1350 m, -9.4x10-4
Figura 6.8
3x10-2
2.5x10-5
Exp4
z < 1350 m, 0
z > 1350 m, 2
Figura 6.7
constante
constante
z < 1350 m, -3.7x10-4
z > 1350 m, -9.4x10-4
Figura 6.8
6x10-2
2.5x10-5
Exp5
z < 1350 m, 0
z > 1350 m, 2
Figura 6.7
constante
constante
z < 1350 m, -3.7x10-4
z > 1350 m, -9.4x10-4
Figura 6.8
12x10-2
2.5x10-5
Exp6
z < 1350 m, 0
z > 1350 m, 2
Figura 6.7
constante
z < 1350 m, 0
z > 1350 m, 2
z < 1350 m, -3.7x10-4
z > 1350 m, -9.4x10-4
t < 2h: cte = 4.5x10-2
2 < t <10h, 4.5x10-2 + t.1.5x102
Experiência
2.5x10-5
Na Figura 4.2 apresenta-se a evolução temporal da temperatura potencial média
resultado da experiência Exp1. Pode-se observar a estrutura típica de uma CLC em
crescimento. O perfil médio de temperatura potencial corresponde a uma CLS instável,
uma região de mistura neutra no centro da CL e uma inversão fortemente estável no topo.
Quando se consideram as ascendentes mais vigorosas (Figura 4.3), estas
apresentam na CLS um excesso de temperatura potencial da ordem de 0.2 K relativamente
à média do domínio, e um decréscimo monótono de temperatura potencial até à região da
inversão, onde convergem para os valores do ambiente médio. Esse decréscimo está
relacionado com a mistura lateral de ar vizinho que penetra nas ascendentes. Globalmente,
a evolução vertical deste excesso da temperatura potencial das ascendentes relativamente à
média, parece poder ser descrito por uma expressão não muito complexa. Porém, na região
da inversão pode antever-se que se está perante uma fenomenologia diferente, associada ao
efeito de mistura-de-topo e à penetração das térmicas na AL.
49
2.0
Ini
2
4
6
8
10
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
298
299
θ (K)
300
301
Figura 4.2 — Evolução temporal de temperatura potencial. Média horária dos perfis verticais,
resultados do LES – Exp1.
2.0
altura (km)
1.5
θup
1.0
0.5
0.0
300.1
av
1%
3%
5%
θav
300.2
300.3
300.4
300.5
300.6
θ (K)
Figura 4.3 — Perfis da temperatura potencial: (av) média do domínio horizontal, (1%), (3%) e (5%)
médias dos pontos com movimento ascendente mais intenso referentes às fracções 0.01, 0.03 e
0.05, respectivamente. Resultados médios da 4ª hora da simulação LES – Exp1.
4.3 Contribuição de fluxo-de-massa
A contribuição de fluxo-de-massa para o fluxo turbulento total depende do produto
do coeficiente de fluxo-de-massa, M, proporcional à velocidade vertical das ascendentes,
pela diferença entre as propriedades do conjunto de térmicas e a média do domínio
horizontal, (φu − φ ) . Deste modo, é necessário construir um modelo de ascendente que
represente as propriedades do conjunto das ascendentes responsáveis pelo transporte nãolocal, φu .
50
4.3.1 Modelo da ascendente
O modelo da ascendente segue a metodologia de Betts (1973) para representar a
convecção em cumulus. Considere-se uma parcela de ar que se eleva na CL com mistura
lateral; das equações (2.82) e (2.87) para uma ascendente u pode-se deduzir a expressão
que determina a sua estrutura vertical, vindo:
(
)
∂φ u
= −ε φ u − φ ,
∂z
(4.3)
onde ε é a taxa de mistura lateral. φu e φ são, respectivamente, uma propriedade
conservada genérica, da ascendente e a sua média horizontal. O modelo de parcela é
desenhado para a determinação das propriedades da ascendente: a temperatura potencial de
água líquida, θ l u , a humidade específica total, qt u , a velocidade vertical, wu , e a altura da
CL, zi .
4.3.1.1 Inicialização da ascendente
A equação (4.3) precisa de uma condição fronteira inferior, ou seja de ser
inicializada para que a sua integração vertical permita conhecer as propriedades verticais
da ascendente. Para se inicializar a parcela ascendente tem que se estimar o seu excesso de
temperatura potencial virtual em relação ao ambiente vizinho, ∆θ v u ,
((
) )
∆θ v u = θ v u ( z ) − θ v ( z ) ≈ f w'θ v ' s ,... .
(4.4)
Neste fecho, admite-se que o excesso está directamente relacionado com a variabilidade da
camada de superfície, podendo ser expresso por uma combinação do excesso de ∆θ l u e
∆qt u . Para um fluxo de calor sensível de superfície constante, tendo em conta as
expressões (3.7), pode escrever-se
(w'θ ')
v s
= −u ∗θ ∗ ≈ bσ σ θ v σ w ,
(4.5)
em que bσ é uma constante, σ θv , σ w são, respectivamente, o desvio padrão de θ v e da
velocidade vertical, w. Siebesma e Teixeira (2000) admitiram que ∆θ v ≈ cσ θv , o que
(
)
justifica escalar ∆θ v u com a razão entre w'θ v ' s e σ w , para um qualquer nível z1 da CLS:
θ v u ( z1 ) = θ v ( z1 ) + bi
(w'θ ')
v s
σ w ( z1 )
,
(4.6)
onde o valor do coeficiente bi em (4.6) foi ajustado, através de diagnósticos de LES, para
0.3. Expressões similares aplicam-se às outras variáveis, tais como θ l u e qt u . A
inicialização expressa por (4.6) requer o conhecimento de σ w . No esquema EDMF
consideram-se as expressões empíricas de Holtsalg e Moeng (1991), que se discutirão
adiante.
51
4.3.1.2 Velocidade vertical da ascendente
A velocidade vertical, wu , representativa do conjunto das ascendentes é calculada
fazendo uso de uma versão modificada da equação de Simpson e Wiggert (1969), com um
termo fonte de flutuação B = g (θ v u − θ v ) / θ v :
wu
∂wu
2
= −ε b wu + aB ,
∂z
(4.7)
onde ε expressa, como anteriormente, a taxa de mistura lateral. A introdução dos
coeficientes a e b é discutida em diversos artigos (e.g. Siebesma et al., 2004) e tem como
objectivo contabilizar aproximadamente o efeito das perturbações da pressão e da
turbulência de escala inferior à pluma ascendente. Os valores destes coeficientes, ainda em
debate, aqui considerados são: a = 2.0 e b = 1.0 . Estes valores foram diagnosticados na
experiência de LES – Exp4. A altura da CL, z i , corresponde ao nível no qual wu se anula.
4.3.1.3 Formulação da mistura lateral
A formulação da mistura lateral é um aspecto fundamental de qualquer esquema de
fluxo-de-massa. Contudo, só nos últimos anos a sua formulação tem merecido a devida
atenção, ver a secção 2.3.6.1.
Siebesma e Cuijpers (1995) diagnosticaram as taxas de mistura lateral das
ascendentes numa CL com cumulus recorrendo a resultados LES, obtendo taxas da ordem
das referidas em (2.86). Seguindo esta metodologia, diagnosticaram-se neste trabalho as
taxas de mistura lateral para uma CLC seca. Aplicando a equação (4.3) à temperatura
potencial, calcularam-se os perfis verticais de mistura lateral para cada uma das três
decomposições referidas, correspondentes às fracções de 1, 3 e 5 %. Os perfis obtidos
podem ser observados na Figura 4.4, verificando-se que, apesar de alguma dispersão,
apontam para uma forte relação entre a mistura lateral, a altura, z, e a altura da CL, z i .
A análise anterior foi também realizada para a humidade específica total, indicando
uma relação semelhante para a mistura lateral da ascendente. Estes resultados justificam o
recurso a uma expressão empírica para o cálculo da taxa de mistura lateral, em função da
altura da inversão. Apontando na mesma direcção, Siebesma (1998), tendo por base
argumentos simples propôs que a expressão para a mistura lateral nos núcleos ascendentes
de cumulus, deverá ser inversamente proporcional à distância da base das nuvens
(ε ≈ 1 z − z b ) . Uma análise de resultados LES na CLS, numa decomposição
ascendente/descendente indicou também uma dependência da mistura lateral com a altura.
Os resultados LES apresentados na Figura 4.4 justificam a expressão geral (curva a cheio)
para o cálculo da taxa de mistura lateral, presente nas expressões (4.3) e (4.7), dada por:
1
1 
,
ε = cε  +
z
z
−
z
i


(4.8)
em que cε ≈ 0.4 .
52
1.0
0.8
z/zi
0.6
0.4
1%
3%
5%
0.4*(z/zi)*(1-(z/zi))
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
1/(ε zi)
0.6
0.8
1.0
Figura 4.4 – Triângulos, circunferências e asteriscos representam a mistura lateral das
ascendentes de fracções, 1%, 3% e 5%, respectivamente. A linha a cheio representa uma relação
que se ajusta ao conjunto de pontos, para descrever a mistura lateral do conjunto de correntes
ascendentes.
Os primeiros testes com esta formulação para a mistura lateral apontaram para
alguma dependência com a resolução vertical, sugerindo-se a seguinte correcção para
resoluções mais grosseiras,

 1
1
1  
  .
ε = max 0., min cε
, cε  +

 z zi − z  
 ∆z
(4.9)
Os principais novos aspectos deste modelo de ascendente são: a expressão da
mistura lateral; ter em conta a penetração das térmicas mais vigorosas na região da
inversão, ou mesmo acima desta, visto que z i é tomado como a altura a que a velocidade
vertical wu se anula, e não o nível de flutuação mínima. A equação da velocidade vertical
(4.7) é fundamental neste esquema, uma vez que a altura da CL, zi , é através dela
diagnosticada.
4.3.2 Perfil do coeficiente de fluxo-de-massa
A Figura 4.5 mostra as médias horárias dos perfis da velocidade vertical para
diferentes fracções das ascendentes mais vigorosas, e o desvio padrão da velocidade
vertical; estas quantidades foram diagnosticadas a partir da simulação LES – Exp1. Estes
perfis suportam a possibilidade de escalar o fluxo-de-massa das ascendentes, M = au wu ,
com o desvio padrão da velocidade vertical, em concordância com um dos critérios
utilizados para identificar observacionalmente as térmicas (Lenschow e Stephens, 1980).
De facto, uma das formas de se identificarem térmicas na CLC é através da observação de
perturbações positivas da velocidade vertical, acima de uma determinada fracção do desvio
padrão da velocidade vertical observada. Assim, considera-se
53
M ≈ cσ σ w ,
(4.10)
em que cσ = 0.5 , o que remete a formulação de M para o conhecimento do desvio padrão
da velocidade vertical σ w , tal como a própria inicialização da ascendente.
2.0
altura (km)
1.5
σw
1.0
wup - 1%
3%
5%
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
-1
w (ms )
2.0
2.5
3.0
Figura 4.5 — Perfil vertical da velocidade vertical da percentagem de ascendentes mais vigorosas
e desvio padrão da velocidade vertical. Média horária das simulações LES.
Tendo em conta que um dos objectivos desta nova parametrização é a sua
implementação em modelos de larga escala, nomeadamente no modelo do ECMWF, o
recurso a expressões empíricas é muito atractivo pela economia de recursos que
proporciona. Assim, o desvio padrão da velocidade vertical é calculado recorrendo a uma
expressão empírica, derivada da combinação de observações, de medições realizadas em
experiências com tanques laboratoriais e dados de LES (Holtslag e Moeng, 1991):

3
  u ∗ 
σw
z
≅ 1.26    + 0.6

w∗
zi
  w∗ 

1
1
3 

z
 1 −  2  ,
  z i  



(4.11)
onde w∗ é a escala de velocidade convectiva, dada por
( (
) )
1
w∗ = gβ w'θ v ' s zi 3 .
(4.12)
Para aferir a qualidade destas expressões na CLC, comparam-se na Figura 4.6 os perfis
obtidos pela expressão (4.11) para 3 simulações LES e os respectivos diagnósticos de σ w .
54
1.0
LES - Exp 1
2
3
HM91 - Exp 1
2
3
0.8
z/zi
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
2
2
0.8
1.0
2 -2
σw / w* (m s )
Figura 4.6 — Perfis verticais da variância da velocidade vertical escalada pelo quadrado da
velocidade vertical convectiva, dados por: resultados de LES e pelas expressões (4.11) de
Holtslag e Moeng (1991) (HM91).
4.4 Contribuição de difusão-K
Para completar o esquema EDMF expresso por (4.2) resta especificar a
difusividade turbulenta para o calor e humidade. Seguindo Troen e Mahrt (1986) utilizamse os perfis verticais de K, que dependem de escalas características da CLC. A prescrição
dos perfis de K constitui uma abordagem muito simples, que se tem revelado bastante
robusta na CLC (Troen e Mahrt, 1986; Holtslag et al., 1995). Assim considera-se,
2
K h = k u* φh 0
−1

z
z 1 −  ,
zi 

(4.13)
em que φ h 0 é uma função da estabilidade dada por
φ h0

z
= 1 − 39
LMO

−
1
 3
 .

(4.14)
Estes perfis possuem três propriedades: obedecem à teoria da semelhança na CLS; anulamse na inversão e têm o valor máximo adimensionalizado: (K max w∗ zi ) ≅ 0.1 .
4.5 Implementação do esquema no modelo Lem1D
A implementação deste esquema no modelo Lem1D implica a definição de um
método numérico capaz de integrar a contribuição simultânea dos dois termos turbulentos:
o termo difusivo e o de fluxo-de-massa.
55
4.5.1 Modelo de ascendente
A velocidade vertical da ascendente descrita pela equação (4.7) é discretizada nos
níveis intermédios, tal como a taxa de mistura lateral, de acordo com
wu
2
k+ 1
2
= wu
2
k− 1
2
(1 − 2 z mix ) 2 B∆z k
+
,
(1 + 2 z mix ) (1 + 2 z mix )
(4.15)
em que z mix = 0.5∆z k ε k . ∆z k e ε k são, respectivamente, o espaçamento da grelha e a taxa
de mistura lateral no nível k.
4.5.2 Integração numérica
No esquema EDMF os fluxos turbulentos de subescala são parametrizados pela
combinação de difusão-K e fluxo-de-massa, (4.2). Partindo da equação de prognóstico
(2.34), para a temperatura potencial (ql nulo), se considerarmos que a tendência só pode ser
modificada pela divergência do fluxo turbulento ou por um forçamento, obtém-se:

∂θ
∂ 
∂θ
= −  − K
+ M (θ u − θ )  + Sθ ,
∂t
∂z 
∂z

(4.16)
onde Sθ representa um termo fonte devido a forçamento de larga-escala ou outros
processos físicos parametrizados, como a radiação.
A parametrização EDMF depende de duas contribuições que devem ser
simultaneamente resolvidas, implicando a necessidade de solucionar uma equação de
advecção-difusão. Os coeficientes de difusão e de fluxo-de-massa podem ser bastante
grandes, para o passo de tempo e a resolução usada em GCMs e LAMs. Estes coeficientes
podem, por vezes, ultrapassar os limites de estabilidade numérica em esquemas explícitos
de difusão e de advecção (Teixeira e Siebesma, 2000). De forma a contornar os problemas
de estabilidade numérica, esta equação é solucionada através de um esquema implícito
para ambas as contribuições. Usa-se um esquema de diferenças centradas no espaço para o
termo de difusão, e um esquema de diferenças avançadas para a contribuição de fluxo-demassa.
Assumindo-se K e M constantes no espaço, por simplicidade de notação, a
discretização da equação (4.16) permite obter:
− α mθ zt +− ∆∆zt + (1 + 2α m + β m )θ zt + ∆t − (α m + β m )θ zt ++ ∆∆tz = θ zt + S zt ,
(4.17)
∆t
∆t
, βm = M t
e S é o termo fonte. A derivada vertical que envolve as
2
∆z
∆z
propriedades da ascendente é tomada como explícita no tempo.
onde α m = K t
Visto que a equação é não-linear (os coeficientes de fluxo-de-massa e de difusão
dependem das variáveis médias), o esquema implícito proposto pode não ser sempre
numericamente estável. Se este problema se manifestar, uma melhor solução pode ser a
generalização do esquema de difusão sugerido por Teixeira (1999), para uma equação de
advecção-difusão, que apresenta uma maior estabilidade e frequentemente melhores
resultados que o esquema implícito.
56
4.6 Resultados do Lem1D
A parametrização descrita anteriormente é apelidada de EDMF-EMP (EddyDiffusivity/Mass-Flux EMPirirical formulation scheme) devido à base empírica na
formulação das contribuições de difusão-K e fluxo-de-massa. O primeiro caso de validação
deste esquema é baseado na experiência de LES (Exp1) apresentada sucintamente na
Tabela 1. Este teste corresponde a uma CL seca e toma como perfil inicial de temperatura
potencial a média da primeira hora desta propriedade na simulação LES. Este perfil, que
pode ser observado na Figura 4.7 (Ini), apresenta uma CLS instável, um perfil estável até
aos 500 m de altura e, sobrejacente, um perfil muito estável com um gradiente vertical
∂θ ∂z = 2 K km −1 . A condição fronteira inferior corresponde à prescrição de um fluxo de
calor sensível constante, w'θ ' s = 6 × 10 −2 K m s −1 , sendo as restantes propriedades
θ s = 300 K e p s = 1000 hPa . A primeira simulação foi realizada com uma resolução
vertical de 20m (tal como no LES, (ar - alta resolução) nas figuras seguintes) e um passo
de tempo de 300 s. Uma segunda simulação foi realizada com uma resolução vertical
correspondente à grelha vertical de 40 níveis do modelo do ECMWF, que possuí
aproximadamente 300m de resolução no interior da CL ((br – baixa resolução) nas figuras
seguintes).
A evolução dos perfis de temperatura potencial (média horária) calculada com o
novo esquema apresenta-se na Figura 4.7. O crescimento e a estrutura da CL são bastante
realistas, quando comparados com os resultados LES (Figura 4.2).
2.0
Ini
2
4
6
8
10
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
298
299
θ (K)
300
301
Figura 4.7 — Evolução temporal da temperatura potencial. Média horária dos perfis verticais,
resultados do novo esquema EDMF-EMP com resolução de 20m.
A comparação destes perfis com os obtidos na simulação LES, para a 5ª e 10ª hora,
corrobora a qualidade do esquema na representação da evolução da estrutura vertical da
CLC. Os resultados com a simulação de maior resolução são francamente bons. As três
regiões da CL apresentam uma quase total concordância com o LES: a CLS instável, a
camada de mistura quasi-neutra e a região da inversão fortemente estável. Estas
características aparecem pior representadas com a resolução mais grosseira, porém,
57
continuam ainda a registar uma evolução temporal correcta e estrutura vertical bastante
boa.
2.0
LES
ar
br
altura (km)
1.5
1.0
10h
5h
0.5
0.0
299.0
299.5
300.0
300.5
301.0
θ (K)
Figura 4.8 — Perfis verticais de temperatura potencial. Média horária da 5ª e 10ª hora.
Resultados do novo esquema, (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo LES.
O perfil linear do fluxo de temperatura potencial (Figura 4.9) característico da CLC
é correctamente representado pelo esquema EDMF-EMP. O fluxo na inversão responsável
2.0
10h
LES
ar
br
altura (km)
1.5
1.0
5h
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
-1
w'θ' (ms K)
0.04
0.06
Figura 4.9 — Perfis verticais do fluxo de temperatura potencial. Média horária da 5ª e 10ª hora.
Resultados do novo esquema, (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo LES.
pelo crescimento da CL apresenta valores bastante próximos dos do LES, concordantes
com a teoria de Driedonks (1982). Contudo, ambas as resoluções apresentam uma ligeira
sobrestimação desse fluxo em momentos distintos.
Na Figura 4.10 mostra-se o fluxo total de temperatura potencial, juntamente com as
duas contribuições que lhe dão origem, difusão-K e fluxo-de-massa, i.e. os dois termos do
membro da direita de (4.2). Estes resultados correspondem à média da 10ª hora de
58
simulação do esquema EDMF-EMP. A contribuição de fluxo-de-massa para o fluxo total é
dominante em quase toda a CL. Em particular, na região da inversão esta dominância
assume um papel muito relevante, pois aumenta consideravelmente o fluxo de flutuação
associado ao processo de mistura de topo, determinante para o crescimento da CL.
Resultados de LES (Sullivan et al., 1998) confirmam que as térmicas desempenham um
papel crucial na mistura de topo. A região de inversão na Figura 4.3 mostra que (φu − φ )
muda de sinal, tornando-se negativo, o que permite que o termo de fluxo-de-massa possa
naturalmente representar o característico fluxo de flutuação negativo, no topo da CL. Este
soma-se à, também negativa, contribuição devida à mistura local do termo difusivo.
2.0
difusão-K
fluxo-de-massa
total
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
-1
w'θ' (ms K)
Figura 4.10 — As contribuições de difusão-K (Eddy-diffusivity, ED) e de fluxo-de-massa (Massflux, MF) para o fluxo vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do novo
esquema para a 10ª hora de simulação.
O crescimento da CL é uma das características melhor descritas por esta nova
aproximação (Figura 4.11). A concordância entre a evolução da altura da CL resultante da
2.0
altura (km)
1.5
1.0
LES
ar
br
0.5
0.0
2
4
6
tempo (h)
8
10
Figura 4.11 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados do esquema EDMF-EMP: (ar)
resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40, e do modelo LES.
59
simulação de alta resolução (ar) e de LES é muito grande. Relativamente à simulação com
baixa resolução (br) a evolução temporal continua a ser bem descrita, mas apresenta uma
ondulação associada à grande distância entre os níveis verticais do modelo.
Apesar de o modelo de ascendente ser bastante simples, tanto no que diz respeito à
equação da velocidade vertical como à taxa de mistura lateral consideradas, os perfis
verticais da velocidade vertical calculados recorrendo a (4.7) são bastante próximos dos
valores das diferentes fracções de ascendentes diagnosticadas, através das simulações LES
(Figura 4.12).
1.0
0.8
1%
3%
5%
ar
br
z/zi
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
w/w
Figura 4.12 — Perfis verticais da velocidade vertical da ascendente. Resultados correspondentes
a médias horárias, do esquema EDMF-EMP: (ar) resolução de 20m e (br) resolução ecmwf-40; e
de diagnósticos de LES para as diferentes fracções de ascendentes mais vigorosas.
4.6.1 Mistura de topo
A mistura-de-topo é um processo típico de mistura de interface, que está presente
em quase todos os escoamentos geofísicos. Apesar de crucial para o crescimento da CL,
trata-se de um processo ainda não bem compreendido e bastante mal representado nos
modelos atmosféricos (Ayotte et al., 1996).
De modo a sistematizar o estudo do processo de mistura-de-topo, define-se a taxa
de mistura-de-topo como a diferença entre a taxa temporal de variação da altura da CL e a
velocidade de subsidência na inversão, wi , expressa pela velocidade de mistura de topo,
went ,
went =
dz i
− wi .
dt
(4.18)
O primeiro modelo conceptual para calcular a taxa de mistura-de-topo da CLC foi
realizado por Lilly (1968). Este modelo é conhecido por modelo de salto de ordem zero
(zeroth-order jump model) e representa a taxa a que o ar misturado da CL penetra na região
estável sobrejacente (ver Figura 4.13a). Para isso, considera que a espessura da inversão
δz é nula, z i é a altura da inversão (à qual w'θ ' v zi é mínimo), a camada estável possui
(
)
60
um gradiente γ = ∂θ v ∂z e que a intensidade da inversão é dada pela descontinuidade de
temperatura potencial virtual através da inversão, ∆θ v i , daí resultando:
(
 dz i

− wi ∆θ v i = went ∆θ v i = − w'θ ' v

 dt

(a)
(b)
z (m)
z (m)
??v
)
zi
.
(4.19)
?
? ?v
?
h
zi
dz
zi
(w’?’v)zi
(w’?’v)zi
(w’?’v)s
?v (K)
0
w’?’v (Wm-2)
Figura 4.13 – Perfis verticais de
primeira ordem.
(w’?’v)s
(
θ v e w'θ v '
0
?v (K)
)
s
w’?’v (Wm-2)
em modelos de salto: (a) de ordem zero e (b) de
γ = ∂θ v ∂z da região acima da inversão, z i é a altura da inversão, ∆θ v i é a
intensidade da inversão e δz é a espessura da inversão.
Uma das aproximações mais utilizadas considera que na CLC seca o fluxo
turbulento de temperatura potencial virtual no topo da CL, w'θ v ' zi , é uma fracção fixa,
(
Awθ , do fluxo à superfície, w'θ v '
)
s
(
(Tennekes, 1973; Betts, 1973; Carson, 1973), i.e.
(w'θ ' ) = (w'θ ' )
v zi
)
v min
(
)
= Awθ w'θ v ' s .
(4.20)
Esta fracção é frequentemente tomada como constante e igual a 0.2 (e.g. Stull, 1976). Esta
admissão, de que a razão entre o fluxo à superfície e na inversão é constante, está na
origem de uma parametrização adoptada em alguns modelos. Nestas, o valor da
difusividade turbulenta no topo da CLC, K topo , é constrangido de forma a satisfazer essa
razão entre os fluxos, ou seja,
(
K topo = −0.2 w'θ v '
)
s
∆z
.
∆θ v
(4.21)
Esta aproximação foi implementada no modelo ECMWF (Beljaars e Betts, 1992).
Porém, e de acordo com Sullivan et al. (1998) esta razão entre os fluxos, expressa
por (4.20), não é geral como seria de desejar. Se se observar a Figura 4.14, em que se
61
(
) (
apresenta a evolução temporal de w'θ v ' min w'θ v ' s
)
na experiência LES-Exp1, pode-se
constatar que esta razão não é constante, oscilando aproximadamente entre 0.05 e 0.25.
0.25
-w'θ'v min/ w'θ'v s
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
2
4
6
tempo (h)
8
10
Figura 4.14 — Evolução temporal da razão entre o fluxo no topo da CL e o fluxo à superfície, de
temperatura potencial virtual. Resultados do modelo LES— Exp1.
As experiências de convecção forçada termicamente em tanques laboratoriais,
levadas a cabo por Deardorff et al. (1980), demonstraram uma correlação entre a taxa de
mistura-de-topo e Ri:
went ARi
,
=
w∗
Ri
(4.22)
em que 0.1 < ARi < 0.2 , Ri corresponde a um valor global para a CL, dado por
(
)
Ri = g θ v 0 ∆θ v i z i w∗ . Esta relação revela que a taxa de mistura depende do estado
turbulento da CL e da diferença de temperatura virtual na interface. Turner (1973) já tinha
anteriormente sugerido esta dependência, recorrendo a análise dimensional. No entanto,
estudos posteriores não permitiram formular expressões gerais que abarcassem a variação
apresentada pelo coeficiente ARi . Esta incapacidade foi relacionada com a hipótese de que
2
δz = 0 . Adicionalmente, verifica-se que ARi varia com o efeito de corte (Moeng e
Sullivan, 1994). Consequentemente, modelos de ordem superior foram desenvolvidos.
O modelo de salto de primeira ordem considera que a espessura da inversão é
finita, δz ≠ 0 (Figura 4.13b). A altura em que w'θ v ' é mínima continua a ser z i , mas a
altura em que
(
)
(w'θ ')
v
(
)
(
se anula é h = z i + δz . Considerando ∆θ v i = θ v h − θ v zi
)
e
θˆ = θ h − θ zi 2 , Betts (1974) mostrou que:
(
went ∆θ v i = − w'θ ' v
)
zi
+ δz
∂θˆ
,
∂t
(4.23)
62
expressão esta, que se reduz a (4.19) quando δz = 0 . Betts (1974), Deardorff (1979) e van
Zanten (2000) desenvolveram diferentes modelos fazendo uso da equação (4.23) sem a
derivada temporal.
Sullivan et al. (1998) utilizaram simulações de LES para investigar o processo de
mistura-de-topo e a estrutura de diferentes CLCs, caracterizadas por números de
Richardson, Ri, distintos. Deste estudo importa destacar duas conclusões para o intervalo
13.6 ≤ Ri ≤ 43.8 : a mistura-de-topo é maioritariamente devida às térmicas e a taxa
normalizada de mistura-de-topo (went w∗ ) varia inversamente com Ri. Dividindo (4.23)
por
w∗ ,
( (
manipulando
Aδz = δz w'θ v '
a
expressão,
) )(∂θˆ ∂t ) , obtém-se
definindo
(
) (w'θ ')
Awθ = − w'θ v '
zi
e
v s
s
went
1
= ( Awθ + Aδz ).
w∗
Ri
(
Sullivan et al. (1998) considerando ∂θˆ ∂t = ∂ θ
(4.24)
h
zi
)
∂t verificaram a consistência deste
modelo, realçando a necessidade das duas contribuições, Awθ e Aδz para ARi . Awθ tem
que ver com a contribuição do fluxo de flutuação de topo e Aδz está associado ao efeito da
espessura da inversão. Awθ e Aδz são individualmente menores que 0.2, mas a sua soma
apresenta valores muito próximos daquele valor.
De forma análoga, utilizando os resultados da experiência LES-Exp1 diagnosticouse a relação entre went w∗ e os termos Awθ Ri (Figura 4.15a) e Aδz Ri (Figura 4.15b)
separadamente, e com a soma destes últimos (Figura 4.15c), verificando-se a validade da
expressão (4.24). A Figura 4.15a e a Figura 4.15b mostram que os valores de cada uma das
razões são maiores do que went w∗ , realçando portanto, a insuficiência da aproximação
mais simplista, que constitui considerar a representação da mistura-de-topo através da
razão entre o fluxo de flutuação mínima e fluxo de superfície. Assim, as parametrizações
de mistura-de-topo devem ter em consideração uma espessura da inversão não nula.
A necessidade das duas contribuições anteriores para a taxa de mistura-de-topo,
permite estabelecer um paralelismo com a necessidade das duas contribuições, de difusãoK e de fluxo-de-massa, para o fluxo vertical total na região da inversão. De facto, a
contribuição de fluxo-de-massa é preponderante na região de espessura finita da inversão,
em que (φu − φ ) < 0 , levando em conta o efeito da penetração das térmicas na AL. Se a
espessura da inversão fosse nula, então ARi = Awθ =cte e a aproximação (4.21) seria
suficiente para parametrizar o efeito de mistura-de-topo. De facto, no caso desta
experiência de verificação, tal como em Sullivan et al. (1998), o termo Aδz contribui muito
mais que Awθ para o valor de ARi , sugerindo que o processo de mistura-de-topo não é
simplesmente controlado pelos fluxos de superfície, mas que requer uma representação dos
processos mais vigorosos de mistura através da inversão, associados às térmicas.
63
0.05
0.05
(a)
(b)
0.04
0.04
0.03
Aδz/Ri
Awθ/Ri
0.03
LES
0.02
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
LES
0.01
0.02
0.03
went / w*
0.04
0.05
0.01
0.02
0.03
went / w*
0.04
0.05
0.05
(c)
(Awθ+Aδz)/Ri
0.04
0.03
0.02
0.01
LES
0.00
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
went / w*
Figura 4.15 — Comparação do modelo de salto de primeira ordem com os resultados da Exp1 com
o modelo LES para a taxa de mistura-de-topo: (a) contribuição do fluxo de flutuação mínimo
Awθ Ri , (b) contribuição da espessura da inversão Aδz Ri e (c) contribuição total
( Awθ
+ Aδz ) Ri .
4.6.2 Comparação com outras aproximações
Os resultados anteriores mostram a qualidade deste novo esquema. Importa agora,
compará-lo com outras aproximações, nomeadamente com as mais directamente
relacionadas, que são: de difusão-K (Holtslag, 1998) e de difusão-K com termo de contragradiente (Holtslag e Moeng, 1991). A primeira aproximação corresponde a considerar a
difusividade turbulenta de calor descrita pelas expressões (4.13) e (4.14). A segunda
parametrização, aqui em comparação, considera que o fluxo turbulento é dado por
64
w′φ ′ = − K
∂φ
+ Kγ c ,
∂z
(4.25)
onde o termo de contra-gradiente é expresso por Kγ c . Esta aproximação considera que as
difusividades turbulentas obedecem também às equações (4.13) e (4.14). O coeficiente de
contra-gradiente é dado por,
γ c = aγ
w*
σ w zi
2
(w'θ ') ,
(4.26)
s
em que a ≅ 2.
Considerando as mesmas condições iniciais da simulação de validação do esquema
EDMF-EMP, realizaram-se simulações correspondentes com os dois esquemas referidos.
A Figura 4.16 mostra a comparação dos perfis verticais de temperatura potencial resultado
dos diferentes esquemas e do modelo LES (média horária da 5ª hora de simulação). Pode
ver-se que o novo esquema é o que mais se aproxima do perfil de LES, em toda a sua
extensão.
1.5
altura (km)
1.0
LES
K+M
K
K+C
0.5
0.0
299.0
299.2
299.4
299.6
299.8
θ (K)
Figura 4.16 — Comparação dos perfis verticais de temperatura potencial resultado dos diferentes
esquemas. Média horária da 5ª hora referentes aos esquemas de: (K+M) EDMF-EMP, (K) difusão-K,
(K+C) difusão-K com termo de contra-gradiente, e do modelo LES.
O esquema EDMF-EMP melhora em todas as camadas a descrição da estrutura da
CLC, relativamente às outras duas aproximações. A aproximação de difusão-K (K)
apresenta o perfil instável inerente a esta aproximação, em concordância com a
argumentação referente à Figura 2.4. O esquema com termo de contra-gradiente (K+C) não
padece deste problema, uma vez que existe mistura contra-gradiente. No entanto, exibe um
fraco crescimento da CL, ou seja, produz insuficiente mistura-de-topo, e apresenta um
perfil que revela uma camada central pouco misturada.
A análise dos perfis verticais das contribuições dos termos de difusão-K e de
contra-gradiente (médias horárias dos resultados do esquema K+C para a 5ª hora de
simulação), para o fluxo vertical de temperatura potencial, revela a origem do fraco
65
crescimento da CL resultante desse esquema (Figura 4.17). De facto, o termo de transporte
não-local, i.e. o termo de contra-gradiente é sempre positivo, diferentemente do termo de
fluxo-de-massa no esquema EDMF-EMP proposto (Figura 4.10). Deste modo, o fluxo de
flutuação negativo associado à mistura-de-topo é contrariado. Neste exemplo, as duas
contribuições na região da inversão são quase simétricas, o que provoca a quase ausência
de mistura de topo, e a consequente falta de crescimento da CLC. O termo de contragradiente, ao acrescentar transporte contra-gradiente, inibe o processo de mistura de topo.
2.0
countra-gradiente
difusão-K
total
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
-1
w'θ' (ms K)
Figura 4.17 — As contribuições dos termos de difusão-K e de contra-gradiente para o fluxo
vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do esquema de Holtslag e
Moeng (1991) para 5ª hora de simulação. Comparar com a Figura 4.10.
A evolução temporal da altura da CL (Figura 4.18) resultante dos diferentes
esquemas em comparação permite extrair a mesma conclusão que anteriormente. O novo
esquema (K+M) apresenta a melhor descrição deste parâmetro da CL, revelando a boa
representação do efeito de mistura-de-topo. O esquema de difusão-K (K) é demasiado
agressivo, os perfis das difusividades prescritos sobreavaliam o fluxo de mistura-de-topo e
a CL cresce mais 200 m do que no LES, 10h após o inicio da simulação. Por outro lado, o
esquema de difusão-K acrescentado do termo de contra-gradiente (K+C) subavalia, no
mesmo instante, em cerca de 200 m a altura da CL. Este fraco crescimento da CL deve-se à
falta de mistura-de-topo na região de inversão, já referida anteriormente (Figura 4.17), e
constitui um dos aspectos negativos da introdução do termo de contra-gradiente.
O crescimento da altura da CL resultante do novo esquema, com uma resolução
vertical correspondente à grelha vertical de 40 níveis do ECMWF (K+M (br)), é bastante
razoável, melhor que qualquer um dos esquemas alternativos com a resolução de 20 m.
Este resultado é importante para fundamentar a possível implementação deste novo
esquema no modelo do ECMWF, que constituiu uma das motivações deste trabalho. As
duas simulações apresentadas foram posteriormente realizadas com um passo de tempo de
900 s, sendo os resultados relativamente próximos dos anteriores, o que ajuda também a
viabilizar a implementação no modelo referido.
66
2.0
altura (km)
1.5
1.0
LES
K+M
K + M (br)
K
K+C
0.5
0.0
2
4
6
tempo (h)
8
10
Figura 4.18 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados dos diferentes esquemas: (K+M)
EDMF-EMP (br-resolução de ecmwf-40), (K) difusão-K, (K+C) difusão-K com termo de contragradiente, e do modelo LES.
Os casos correspondentes às experiências LES, exp1,2 e 4,descritas na Tabela 1
foram também alvo de simulação com o esquema EDMF-EMP. Os resultados obtidos (não
apresentados) apontam para o mesmo tipo de conclusões que as extraídas na discussão
anterior.
4.7 Conclusões
Neste capítulo mostrou-se que uma simples combinação das aproximações de
difusão turbulenta e de fluxo-de-massa consegue descrever o transporte vertical turbulento
na CLC. Os resultados são muito promissores, visto não sofrerem dos efeitos adversos de
outras teorias mistas, como os associados à introdução do termo de contra-gradiente na
aproximação de difusão-K.
O esquema de difusão-K/fluxo-de-massa (EDMF-EMP) apresentado assenta numa
formulação simplificada, em que algumas experiências de LES e expressões empíricas bem
conhecidas da CLC são utilizadas para a sua construção e suporte. Apesar disso, as
propriedades termodinâmicas médias da CLC são bem descritas por este novo esquema,
fruto da boa representação dos fluxos turbulentos. Na teoria de contra-gradiente a misturade-topo é fortemente inibida, enquanto que no esquema EDMF-EMP este processo é bem
representado.
Este tipo de combinação apresenta uma clara vantagem para a futura descrição dos
vários regimes da CL com nuvens. A introdução de um esquema de condensação no
modelo de ascendente proposto poderá permitir representar o transporte em cumulus, sem
recorrer a uma parametrização independente. Desta forma, o modelo da ascendente decide
automaticamente se as térmicas condensam e se se transformam em correntes ascendentes
pertencentes a uma nuvem. Esta metodologia permite evitar interacções de difícil
interpretação, frequentes entre os diferentes esquemas de turbulência e convecção.
67
Parametrização de difusão-K/fluxo-de-massa baseada na equação da energia cinética turbulenta
5 Parametrização de difusão-K/fluxo-de-massa baseada
na equação da energia cinética turbulenta
O trabalho descrito neste capítulo foi incluído no artigo:
Soares, P. M. M., P. M. A. Miranda, J. Teixeira e A. P. Siebesma, 2004: An Eddy-diffusivity/Mass-Flux
turbulence parametrization based on the TKE equation. Submetido ao Journal of Geophysical
Research.
5.1 Introdução
Nos modelos de previsão do tempo (NWP) o transporte vertical de subescala tem
que ser parametrizado. A maioria dos modelos de NWP ainda usam fechos de turbulência
de primeira ordem. Recentemente, o recurso a fechos turbulentos de ordem mais elevada
tem crescido, nomeadamente em modelos de área limitada, sendo os mais disseminados os
baseados na equação da energia cinética turbulenta (TKE). Ambos os fechos, de 1ª ordem e
os suportados na equação da TKE, assentam no conceito de comprimento de mistura, l, e
requerem o cálculo de uma difusividade turbulenta, K, que no caso dos últimos esquemas é
função da TKE. Os perfis das variáveis médias na CL produzidos pelas aproximações que
utilizam a equação da TKE são em geral mais realistas, mas sofrem de alguns problemas
em comum com os fechos de 1ª ordem, nomeadamente, subavaliam a mistura-de-topo, e
têm um carácter local. Estes aspectos são detalhadamente discutidos na secção 4.6.
Recentemente foi mostrado que alguns esquemas de difusão turbulenta (eddy-diffusivity ED) são capazes de representar bem a mistura-de-topo (Teixeira e Cheinet, 2004; Cheinet e
Teixeira, 2003). No entanto, esses esquemas são incapazes de parametrizar os fluxos
contra-gradiente.
No capítulo 4 propôs-se um caminho para a unificação das parametrizações da
CLC, combinando as aproximações de difusão turbulenta e fluxo-de-massa, cuja
formulação se baseia em expressões empíricas clássicas. Neste capítulo, a parametrização
de difusão-K/fluxo-de-massa empírica (EDMF-EMP) é modificada, tomando a equação de
balanço da TKE como a principal base física para a formulação da parametrização,
evitando a necessidade de relações empíricas. Designa-se esta nova formulação por
EDMF-TKE (Eddy-Diffusivity/Mass-Flux TKE formulation), sendo concebida para
modelos de mesoscala e outros modelos com fechos de turbulência de ordem 1.5.
Na aproximação EDMF-TKE ambas as contribuições, difusiva e de fluxo-demassa, se relacionam com a TKE. Deste modo, combina-se um fecho para a turbulência de
ordem 1.5 com o efeito de mistura não-local, associado às térmicas. Estas são modeladas
por uma ascendente simples com mistura lateral, sendo o coeficiente de fluxo-de-massa
proporcional ao desvio padrão da velocidade vertical, diagnosticada a partir da equação de
balanço da TKE.
Este novo esquema foi implementado no modelo de investigação MesoNH
(Mesoscale Non-hydrostatic) (Lafore et al., 1998) tirando partido do fecho de difusão-K
68
de Bougeault e Lacarrère (1989) (BL89). O modelo MesoNH está sucintamente descrito no
Apêndice A.
5.2 Esquema EDMF-TKE
O esquema EDMF-TKE baseia-se na decomposição dos fluxos de subescala
apresentada na equação (4.1), sendo o fluxo turbulento total dado pela soma de uma
contribuição de difusão turbulenta com um termo de fluxo de massa (4.2). Tal como
anteriormente, esta aproximação requer a especificação da difusividade turbulenta, K, do
coeficiente de fluxo-de-massa, M, e das propriedades das ascendentes mais vigorosas, φu .
5.2.1 Coeficientes de difusão turbulenta e de fluxo-de-massa
Com o objectivo de se construir um esquema fisicamente bem constrangido, tomase, na presente aproximação, a equação de balanço de TKE como a base para o cálculo de
K e M. O coeficiente de difusão é proporcional a um comprimento de mistura, a uma
função de estabilidade e a uma escala de velocidade, que é a raiz quadrada da TKE, e é
dado por (9.2). Usa-se o esquema de BL89 para calcular o comprimento de mistura, sendo
este função da distância que uma parcela pode percorrer, para cima ou para baixo, com a
energia cinética turbulenta do nível inicial ((9.4)-(9.6), ver Apêndice A).
Na secção 4.3.2 mostrou-se que o perfil do coeficiente de fluxo-de-massa na CLC
escala bem com o desvio padrão da velocidade vertical. Deste modo, admitiu-se que
M = cσ σ w , sendo σ w dado por uma expressão empírica. Aqui, propõe-se uma formulação
alternativa, onde a variância da velocidade vertical é diagnosticada através da TKE. Com
base na equação de balanço da TKE (9.3), considerada no modelo MesoNH, é possível
deduzir uma relação para a variância da velocidade vertical,
1
w' 2 =
2
4 l 2 ∂w
e−
e
,
3
15 C m
∂z
(5.1)
em que Cm = 4 (ver Apêndice A), e cσ = 0.3 . Por outro lado, para ser consistente com a
aproximação EDMF, o termo de produção térmica na equação de TKE é modificado, para
incluir a contribuição de fluxo-de-massa, de acordo com:
− w′θ v′ = K h
∂θ v
+ M (θ v u − θ v ) .
∂z
(5.2)
5.2.2 Modelo da Ascendente
O modelo da ascendente φu segue a equação (4.3), que determina os perfis
verticais de θ l u e qt u a partir de condições iniciais. O estabelecimento das condições
iniciais da ascendente não é trivial. Dada a insuficiência de informação observacional
disponível, recorre-se a resultados de simulações LES. As simulações realizadas estão
descritas na Tabela 1. A simulação Exp6 corresponde a uma CLC seca, com um aumento
69
suave dos fluxos de superfície, inspirada no caso de Nieuwstadt et al. (1992), e inclui um
extenso conjunto de diagnósticos das propriedades das ascendentes na CLS.
De acordo com Troen e Marht (1986), a temperatura potencial virtual de uma
parcela ascendente na CLS é definida como θ v u ( z k ) = θ v ( z k ) + ∆θ v u ( z k ) , em que θ v é o
valor médio de temperatura potencial virtual no nível z k e ∆θ v u é o excesso desta
propriedade na ascendente. Este excesso é aproximadamente proporcional à razão entre o
fluxo de calor de superfície e uma escala de velocidade. Aqueles autores usaram
ws = (σ u 2 + σ v 2 + σ w 2 )1 / 2 como a escala de velocidade relevante, sem fundamentarem
essa escolha. Na secção 4.3.1.1, com base numa análise de escala enquadrada pela teoria
da semelhança de Monin-Obukov, considerou-se σ w como a escala de velocidade
apropriada, sendo esta propriedade calculada através de uma expressão empírica para a
CLC (Holtslag e Moeng, 1991).
Na CLS os diagnósticos de LES (Figura 5.1) permitem observar que σ θv decresce
com a altura, ao contrário do excesso de temperatura potencial das ascendentes (Figura
4.3), para qualquer das percentagens escolhidas como limite de corrente ascendente
vigorosa. Esse decréscimo está em concordância com as observações de Caughey e Palmer
(1979) da estrutura turbulenta da CLC. Estes autores mostraram que, em condições de
instabilidade, a variância da temperatura potencial, σ θ 2 , diminui com a altura na CLS.
Para descrever este decréscimo Sorbjan (1989) propõe uma expressão empírica de potência
que depende da razão ( z z i ) . Este facto é inconsistente com a formulação adoptada no
2.5
σθϖ
σw
2.0
σθv*σw
Altura (km)
TKE
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 5.1 — Perfil vertical do desvio padrão, da velocidade vertical e da temperatura potencial,
o produto de ambos e a TKE. Média horária do LES. σ θ (K2), σ w (ms-1), σ θ .σ w (Kms-1) e TKE
(m2s-2).
v
v
esquema EDMF-EMP, em que σ θv ≈ ∆θ v u . De facto, se observarmos o perfil de σ w na
((
)
)
CLS, a expressão ∆θ v u ≈ c w'θ v ' s σ w revela-se incongruente em altitude, pois σ w
aumenta com a altura e o fluxo de superfície é constante, o que implicaria uma diminuição
70
do excesso. Consequentemente, a formulação EDMF-EMP apresenta uma dependência
com o nível vertical escolhido para iniciar a ascensão da parcela. Uma ilustração desta
limitação pode ser observada na Figura 5.2, em que se mostra que para cada um dos níveis
da CLS, a relação ∆θ v u ≈ c w'θ v ' s σ w é unicamente satisfeita alterando a constante de
proporcionalidade em função do nível de inicialização. No entanto, a independência do
nível vertical inicial é uma condição importante para construir um esquema facilmente
implementável em qualquer modelo numérico, independentemente da sua grelha vertical
na CLS.
((
)
)
O excesso das ascendentes pode ser mais correctamente representado se se
considerar uma escala de velocidade que seja uma medida da turbulência na CLS, e que
decresça com a altura, como é o caso da raiz quadrada da TKE (Figura 5.1). Desta forma,
propõe-se que o excesso das ascendentes seja inversamente proporcional a e , garantindo
concordância com o comportamento monótono das propriedades envolvidas. Assim,
∆θ v u ( z k ) = θ v u ( z k ) − θ v ( z k ) = b
(w'θ ')
v s
e( z k )
,
(5.3)
o que garante que:
(w'θ ')
v s
= cte ∧
∂ e( z k )
∂∆θ v u ( z k )
∂e
<0⇒
<0 ⇒
> 0.
∂z
∂z k
∂z k
(5.4)
Esta aproximação vai de encontro ao proposto por Troen e Mahrt (1986) e não
apresenta a dependência com o nível inicial escolhido para libertar a parcela.
0.4
10m
30m
50m
Y = 0.63*X
Y = 1.57*X
Y = 1.95*X
∆θv u (K)
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
w'θ'v / σw (K)
0.3
0.4
Figura 5.2 — Ajustes lineares entre o excesso de temperatura potencial virtual das ascendentes e
o fluxo de flutuação da superfície, escalado pelo desvio padrão da velocidade vertical, para os
três primeiros níveis do modelo: 10m, 30m e 50m.
(
)
A Figura 5.3 mostra a relação entre ∆θ v u ( z k ) e w'θ v ' s e1 / 2 ( z k ) diagnosticada
dos resultados da simulação LES referida. É patente que ∆θ v u ( z k ) escala muito bem com a
71
razão entre o fluxo de superfície e e1 / 2 , independentemente do nível vertical escolhido,
z k , na CLS. Pode-se portanto considerar que
θvu (zk ) ≅ θ v (zk ) + b
(w'θ ')
v s
e
1/ 2
(zk )
.
(5.5)
O melhor ajuste linear estabelece que o coeficiente b deve ser aproximadamente igual a
0.3. Esta inicialização é independente do nível escolhido, ao contrário da aproximação
utilizada no capítulo 4, e contribui para o objectivo global de desenhar um esquema
baseado na equação de TKE, evitando as formulações empíricas.
0.12
∆θv (K)
0.10
10 m
30 m
50 m
0.08
0.06
Y = 0.29758 X
r = 0.97926
0.04
0.1
0.2
0.3
w'θv'S/ e
1/2
0.4
(K)
Figura 5.3 — Regressão linear entre o excesso de temperatura potencial virtual das ascendentes
e o fluxo de flutuação na superfície, escalado pela raiz quadrada da TKE, para os três primeiros
níveis do modelo LES: 10m, 30m e 50m.
A velocidade vertical da ascendente, wu , é calculada recorrendo à equação (4.7)
que permite também diagnosticar a altura da CL, z i , tomada onde wu se anula. Para o
cálculo da taxa de mistura lateral, recorre-se a uma modificação da expressão (4.8),
adicionando-se ∆z (resolução vertical) aos denominadores, para se conseguir uma menor
dependência relativamente à resolução vertical, que é particularmente sentida na região da
inversão, mas mantendo a sua forma e ordem de magnitude,
 1

1
 ,
ε = cε 
+
 z + ∆z ( z i − z ) + ∆z 
(5.6)
onde cε ≈ 0.4 . Os principais aspectos novos deste modelo de ascendente são a relativa
insensibilidade ao nível de inicialização e à resolução do modelo, e a sua dependência
explícita da TKE.
72
5.3 Implementação do esquema EDMF-TKE no MesoNH
No modelo MesoNH (Apêndice A), se considerarmos que uma propriedade média
genérica φ (por simplicidade em vez de φ ) é unicamente modificada pela turbulência
vertical, a equação de balanço dessa variável pode ser escrita como
(
)
∂
∂
ρ ref φ = −
ρ ref w'φ ' ,
∂t
∂z
(
)
(5.7)
o que, corresponde a escrever na notação original do MesoNH
∂
∂  ρ ref w'φ ' 
,
ρ ref φ = − 
∂t
∂z  d zz 
(
)
(5.8)
onde z é a coordenada vertical modificada para contabilizar uma compressão da grelha e
d zz corresponde a um coeficiente de métrica. A densidade do estado de referência ρ ref é
considerada estacionária e a divergência vertical do fluxo é tomada na sua forma
conservativa, ou seja
div( A) =
1 ∂
(JA),
J ∂z
(5.9)
em que J tem que ver com o Jacobiano de mudança de variáveis verticais, vindo portanto,
ρ ref
w' φ ' 
∂φ
1 ∂ 
 ρ ref J
.
=−
∂t
J ∂z 
d zz 
(5.10)
O fluxo vertical turbulento tem duas contribuições (4.2) e será dado por
w'φ ' = −
K ∂φ
+ M (φu − φ ),
d zz ∂z
(5.11)
obtendo-se a equação de balanço:
K ∂φ


+ M (φu − φ ) 
 −
d zz ∂z
∂φ
1 ∂
,
= − ~  ρ~


∂t
ρ ∂z
d zz




(5.12)
em que ρ~ = ρ ref J . Simplificando, a equação de prognóstico a discretizar escreve-se:

1 ∂ 
∂φ
K ∂φ ~ M
(
= − ~  − ρ~
+ρ
φ u − φ ) .
2

∂t
ρ ∂z 
d zz
d zz ∂z

(5.13)
A parameterização EDMF-TKE tem como campo de aplicação tanto GCMs como
LAMs. Estes modelos apresentam grelhas fortemente anisotrópicas, o que introduz uma
73
severa limitação aos passos de tempo que se podem utilizar, devido aos termos de difusão
vertical. Deste modo, optou-se por uma implementação do tipo semi-implícita de CrankNicolson (Crank e Nicolson, 1947), com um grau de implicitude variável, tal como é
utilizado na versão standard do modelo MesoNH, mas aqui modificada para contemplar a
contribuição advectiva associada ao fluxo-de-massa.
O grau de implicitude é ajustado de acordo com o valor do parâmetro α :
0 ≤ α ≤ 1 . Quando α = 1 o esquema é totalmente implícito, se α = 0 é totalmente
explícito. Com um termo adicional de fonte, S t a equação (5.13) vem portanto,
z
z




∂  ρ~K t ∂φ t −1 
∂  ρ~K t ∂φ t +1 
∂φ
~
(
1
)
+
−
= St +α 
ρ
α
∂z  d zz 2 ∂z 
∂z  d zz 2 ∂z 
∂t




z

∂  ρ~M t
t
+α 
φ t +1 − φu
∂z  d zz

(
z


∂  ρ~M t

t
φ t −1 − φu
 + (1 − α ) ∂z  d
 zz

)
(
(5.14)


 ,

)
em que t é o tempo. Assim, a discretização para um nível k (i e j omitidos por
simplicidade) virá
φ t +1 (k ) − φ t −1 (k ) S t
=~
2∆t
ρ (k )
z
z


α  ρ~ (k + 1)K t (k + 1)
ρ~(k )K t (k )

t +1
t +1
t +1
t +1
φ (k + 1) − φ (k ) −
φ (k ) − φ (k − 1) 
+~ 
2
2
ρ (k ) 

d zz (k + 1)
d zz (k )


z
z
(1 − α )  ρ~(k + 1)K t (k + 1) φ t −1 (k + 1) − φ t −1 (k ) − ρ~(k )K t (k ) φ t −1 (k ) − φ t −1 (k − 1) 
+ ~

2
2
ρ (k ) 
d zz (k + 1)
d zz (k )


z′
z′
t
t
t
t +1
t
t +1
α  ρ~ (k + 1) M (k + 1) φ (k + 1) − φ u (k + 1) − ρ~ (k ) M (k ) φ (k ) − φ u (k ) 
+ ~ 

ρ (k ) 
d zz (k )


′
′
z
z
(1 − α )  ρ~(k + 1) M t (k + 1) φ t −1 (k + 1) − φu t (k + 1) − ρ~(k ) M t (k ) φ t −1 (k ) − φu t (k )  .
+ ~

ρ (k ) 
d zz (k )


(
)
(
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(5.15)
)
(
)
z ' indica que é uma média para um nível de fluxo de uma variável definida nos níveis de
massa. Tendo em conta que, φ está localizado nos níveis de massa e M e φ u estão
descritos nos níveis de fluxo, a equação anterior escreve-se:
74
φ t +1 (k ) − φ t −1 (k ) S t
=~
2∆t
ρ (k )
z
z


α  ρ~ (k + 1)K t (k + 1)
ρ~(k )K t (k )

t +1
t +1
t +1
t +1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
−
−
−
+~ 
φ
φ
φ
k
φ
k
k
k

2
2
ρ (k ) 
d zz (k )
d zz (k + 1)


z
z
(1 − α )  ρ~(k + 1)K t (k + 1) φ t −1 (k + 1) − φ t −1 (k ) − ρ~(k )K t (k ) φ t −1 (k ) − φ t −1 (k − 1) 
+ ~

2
2
ρ (k ) 
d zz (k )
d zz (k + 1)


′
z
 ρ~ (k + 1) M t (k + 1) 0.5 φ t +1 (k + 1) + φ t +1 (k ) − φ t (k + 1) 
u



 ~ z′ t
t
+1
+1
α  − ρ (k ) M (k ) 0.5 φ t (k ) + φ t (k − 1) − φ u (k )

+ ~ 

d zz (k )
ρ (k )






′
z
 ρ~(k + 1) M t (k + 1) 0.5 φ t −1 (k + 1) + φ t −1 (k ) − φ t (k + 1) 
u


 ~ z′ t

t
t −1
t −1
1 − α )  − ρ (k ) M (k ) 0.5 φ (k ) + φ (k − 1) − φ u (k )
(
,
+ ~


d zz (k )
ρ (k )






(
)
(
[ (
[ (
[ (
[ (
(
)
(
)
)
)
)
]
]
)
)
]
(5.16)
]
que se pode simplificar, para se obter a expressão na forma matricial (tridiagonal)
 A(k ) + B(k ) 

φ t +1 (k − 1) α
ρ~ (k ) 


A(k ) − B(k )
A(k + 1) + B(k + 1) 

+ φ t +1 (k )1 − α
−α
~
ρ (k )
ρ~ (k )


(5.17)
 A(k + 1) − B(k + 1) 
 = Y (k ) ,
+ φ t +1 (k + 1) α
ρ~ (k )


onde,
S (k )

A(k ) + B(k ) 

+ φ t −1 (k − 1) − (1 − α )
Y (k ) = 2∆t ~t
ρ (k )
ρ~(k ) 


A(k ) − B(k )
A(k + 1) + B(k + 1) 

+ φ t +1 (k )1 + (1 − α )
+ (1 − α )
~
ρ (k )
ρ~ (k )



A(k + 1) − B(k + 1) 

+ φ t +1 (k + 1) − (1 − α )
ρ~(k )


(5.18)
 2 B(k + 1) 
 2 B(k ) 
 + φ 'u t (k ) ~
 ,
+ φ 'u t (k + 1) − ~
ρ (k ) 

 ρ (k ) 
e
75
A(k ) = −2∆t
A(k + 1) = −2∆t
z
ρ~(k )K t (k )
d zz 2 (k )
,
z
ρ~ (k + 1)K t (k + 1)
d zz 2 (k + 1)
(5.19)
,
e, finalmente,
z′
ρ~ (k ) M t (k )
,
B(k ) = ∆t
d zz (k )
z′
ρ~ (k + 1) M t (k + 1)
B(k + 1) = ∆t
.
d zz (k + 1)
(5.20)
Este problema matricial é resolvido numa subrotina escrita para o efeito. O termo St
contém o forçamento da superfície. Assim, depois de obtido φ t +1 , calcula-se a tendência
respectiva, devida a divergência vertical do fluxo turbulento, e adiciona-se às outras fontes
da variável φ .
5.4 Resultados
Os resultados deste novo esquema vão ser agora testados através da comparação
com os resultados de LES da simulação Exp2, que corresponde a uma CL seca idealizada.
Resumidamente, o forçamento de superfície é expresso por um fluxo cinemático de calor
sensível constante, w'θ ' s = 6 × 10 −2 K m s −1 , e as propriedades da superfície são:
θ s = 300 K , q s = 5g kg −1 e p s = 1000 hPa . Diferentemente do caso considerado no
capítulo anterior, o perfil inicial de temperatura potencial é muito estável,
∂θ ∂z = 2 K km −1 . As simulações foram realizadas com a versão 1D do modelo MesoNH.
A primeira simulação foi efectuada com uma resolução vertical constante de 20m (tal
como as simulações LES) e um passo de tempo de 60 s.
Uma ilustração dos resultados pode ser observada na Figura 5.4, onde se
apresentam os perfis de θ e θ u , referentes às médias horárias da 3ª, 5ª e 7ª horas de
simulação. Os perfis de θ estão de acordo com a estrutura vertical típica da CL: uma
camada de superfície instável, uma camada intermédia neutra e uma camada estável na
metade superior da CL. As ascendentes parecem penetrar na região de inversão, e o
excesso de θ é praticamente constante ao longo da simulação.
76
2.0
ascendente
média
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
298.5
299.0
299.5
300.0
θ (K)
Figura 5.4 — Média horária dos perfis de temperatura potencial das horas de simulação: 3, 5 e 7.
Resultados do esquema EDMF-TKE.
Na Figura 5.5, os perfis da temperatura potencial média da 4ª e 8ª hora, resultantes
da simulação de LES, são comparados com os resultados correspondentes do MesoNH-1D,
para os dois esquemas de turbulência considerados: BL89 e o EDMF-TKE. A
concordância entre os perfis de LES e do esquema EDMF-TKE é muito considerável.
2.0
LES
BL89
EDMF-TKE
altura (km)
1.5
1.0
8h
Ini
4h
0.5
0.0
298.5
299.0
299.5
θ (K)
300.0
300.5
301.0
EDMF-TKE, do esquema BL89 e do LES.
Apesar de o perfil inicial de temperatura potencial ser muito estável, o esquema reproduz
muito bem a evolução temporal dos perfis desta propriedade, o que mostra a adequação da
inicialização das térmicas aqui desenvolvida. Claramente, a qualidade dos resultados do
esquema EDMF-TKE é superior aos do esquema BL89, apesar de ambos apresentarem
uma sobrestimação do gradiente na região da inversão. As melhorias podem ser
constatadas em todo o perfil vertical, mas a característica mais notável dos resultados do
EDMF-TKE é a excelente reprodução da ligeira estabilidade na metade superior da CLC.
77
Esta particularidade é impossível de obter através de um esquema puro de difusão
turbulenta, tal como o BL89. Os perfis do fluxo turbulento total e das suas duas
contribuições (difusão-K e fluxo-de-massa) são apresentados, respectivamente, na Figura
5.6 e na Figura 5.7. A sua análise conjunta permite avaliar mais detalhadamente o
desempenho do novo esquema.
2.0
LES
BL89
EDMF-TKE
8h
altura (km)
1.5
1.0
4h
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-1
w'θ' (Kms )
Resultados do novo esquema EDMF-TKE, do esquema BL89 e do LES.
Os perfis de fluxo de calor (Figura 5.6) são bem representados por ambos os
esquemas. Contudo, o fecho EDMF-TKE apresenta um melhoramento na região de mistura
de topo, o que conduz a uma evolução da CL mais adequada. Em concordância com os
argumentos já expostos, esta melhor representação da mistura-de-topo é devida à
contribuição de fluxo-de-massa (Figura 5.7), relacionada com a penetração das térmicas
(Figura 5.4). Na Figura 5.7 apresenta-se a decomposição do fluxo w'θ ' nos termos de
difusão turbulenta (ED) e de fluxo-de-massa (MF). O fluxo de mistura-de-topo negativo
que determina o crescimento da CL é controlado pela contribuição de fluxo-de-massa, de
acordo com os resultados de LES que atribuem a maioria do fluxo de mistura-de-topo às
correntes ascendentes de maior escala. A Figura 5.7 mostra também que o fluxo de calor
positivo na região superior da CLC estável (contra-gradiente) é mantido pela contribuição
de fluxo de massa.
Desde Deardorff (1966) que é conhecida a necessidade de levar em conta o
transporte de calor contra-gradiente na CLC, associado às térmicas. As diferentes teorias
de difusão com termo de contra-gradiente desenvolvidas (Deadorff, 1972b; Holtslag e
Moeng, 1991) conseguem gerar este fluxo, no entanto os seus resultados são insatisfatórios
na região de inversão, visto não representarem bem a mistura-de-topo. Os esquemas de
EDMF, tanto o EDMF-EMP como o EDMF-TKE são eficazes na resolução de ambos os
problemas. No capítulo 4 esta incapacidade das teorias de contra-gradiente é discutida.
78
2.0
MF 4h
8h
ED 4h
8h
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
-1
w'θ' (Kms )
0.06
0.08
Figura 5.7 — Decomposição do fluxo vertical de temperatura potencial. Contribuições de difusãoK (eddy-diffusivity - ED) e de fluxo-de-massa (mass-flux - MF). Resultados médios horários do
novo esquema à 4ª e 8ª hora.
A Figura 5.8 mostra a evolução da altura da CL, diagnosticada no modelo LES e
nos dois esquemas, BL89 e EDMF-TKE, do MesoNH. Do esquema BL89 resulta, após 8h
de simulação, uma subestimação de cerca de 200 m da altura da CL, enquanto que o
esquema EDMF-TKE revela uma quase total sintonia com o LES.
2.0
altura (km)
1.5
1.0
LES
BL89
EDMF-TKE
0.5
0.0
0
2
4
tempo (h)
6
8
Figura 5.8 — Evolução da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF-TKE e BL89, e LES.
O impacto positivo de se ter em conta a contribuição de fluxo-de-massa no termo
do fluxo de flutuação na equação de balanço da TKE, expresso em (5.2), é ilustrado na
Figura 5.9. A variância da velocidade vertical diagnosticada com o novo esquema
apresenta uma maior concordância com os resultados LES do que a aproximação de BL89,
tanto no que diz respeito ao seu perfil como à magnitude máxima. Este aperfeiçoamento é
importante, pois o coeficiente de fluxo-de-massa é directamente proporcional ao desvio
padrão da velocidade vertical.
79
LES
BL89
EDMF-TKE
altura (km)
2
8h
1
4h
0
0.0
0.2
0.4
0.6
2
0.8
1.0
2 -2
w' (m s )
Figura 5.9 — Perfis médios horários da variância da velocidade. Resultados dos esquemas EDMFTKE e BL89, e do modelo LES.
5.4.1 Dependência da resolução vertical
O mesmo caso foi simulado com uma resolução vertical correspondente à grelha de
40 níveis do modelo do ECMWF. Esta grelha tem cerca de 300 m de resolução vertical no
interior da CL. A Figura 5.10 mostra os perfis de θ , que estão em bastante boa
concordância com os resultados de LES. Apesar da resolução ser grosseira, o esquema
EDMF-TKE ainda reproduz as principais características da CL e a sua evolução. No
entanto, observa-se uma ligeira sobrestimação de θ após 6 horas de simulação.
2.0
LES
EDMF-TKE
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
298
299
300
301
θ (K)
Figura 5.10 — Médias horárias dos perfis de temperatura potencial. Resultados do esquema EDMFTKE, com a resolução de 40 níveis do modelo ECMWF, e do modelo LES nas horas: 2, 4 e 6.
80
5.5 Implementação do esquema EDMF-TKE no modelo Lem1D
A parametrização EDMF-TKE foi também implementada no modelo Lem1D. Para
esse efeito, foi necessário incluir uma equação de prognóstico de TKE nesse modelo,
detalhadamente apresentado na secção 3.4.2. Este esquema EDMF-TKE apresenta um
fecho de ordem 1.5, seguindo de perto a metodologia seguida no modelo ECHAM
(Roeckner et al., 1996), bastante distinto do utilizado pelo modelo MesoNH. Uma vez que
a qualidade da aproximação EDMF-TKE já foi demonstrada, não se vai dedicar muito
tempo à análise das pequenas diferenças a que dá origem o facto do fecho baseado na TKE
ser diferente, uma vez que os resultados são muito idênticos aos anteriores. Assim, vão-se
apresentar alguns resultados deste esquema, de forma a mostrar que a parametrização
EDMF-TKE é robusta, não dependendo criticamente dos detalhes do fecho da parte
difusiva, podendo ser implementado noutros modelos, como é o caso do ECHAM.
5.5.1 Resultados com o modelo Lem1D
2.0
LES
BL89
EDMF-TKE
altura (km)
1.5
1.0
8h
Ini
4h
0.5
0.0
298.5
299.0
299.5
θ (K)
300.0
300.5
301.0
EDMF-TKE (modelo Lem1D), do esquema BL89 e do modelo LES.
2.0
altura (km)
1.5
1.0
LES
BL89
EDMF-TKE
0.5
0.0
0
2
4
tempo (h)
6
8
Figura 5.12 — Evolução da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF-TKE (modelo Lem1D) e
BL89, e do modelo LES.
81
2.0
LES
BL89
EDMF-TKE
8h
altura (km)
1.5
1.0
4h
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-1
w'θ' (Kms )
Resultados dos esquemas de EDMF-TKE (modelo Lem1D) e BL89, e do modelo LES.
2.0
MF 4h
8h
ED 4h
8h
altura (km)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
-1
w'θ' (Kms )
0.06
0.08
Figura 5.14 — Decomposição do fluxo vertical de temperatura potencial. Contribuições de
difusão-K (eddy-diffusivity - ED) e de fluxo-de-massa (mass-flux - MF), do esquema EDMF-TKE do
modelo Lem1D. Resultados médios horários do novo esquema à 4ª e 8ª hora.
5.6 Discussão
Recentemente, novas versões da aproximação de difusão turbulenta baseadas na
equação de prognóstico da TKE foram propostos (Teixeira e Cheinet, 2004; Cheinet e
Teixeira, 2003, Teixeira et al., 2004). Estas consideram que o comprimento de mistura é
directamente proporcional à raiz quadrada da TKE e a uma escala de tempo, l = τ e1 2 .
Fundamentalmente, estes esquemas assumem que na CLC as variáveis independentes
devem ser uma escala de tempo e uma escala de velocidade, em vez de escalas de
82
velocidade e de comprimento. Estas aproximações têm-se revelado promissoras, não só
porque são conceptualmente simples e dependentes de poucos parâmetros, mas também
devido a apresentarem resultados realistas, nomeadamente no que diz respeito ao efeito de
mistura no topo da CL. No entanto, padecem do problema inultrapassável dos esquemas de
difusão-K: uma CL ligeiramente instável.
Considerando que a tendência de uma propriedade conservada φ é dada
unicamente pela divergência vertical do fluxo turbulento, ou seja,
∂φ
∂ w'φ '
∂ 
∂φ 
,
=−
= −  − K
∂t
∂z
∂z 
∂z 
( 5.21)
∂φ
∂K ∂φ
∂  ∂φ 
,
=+
+ K 
∂t
∂z ∂z
∂z  ∂z 
( 5.22)
obtém-se
o que pode ser interpretado como duas contribuições distintas para a tendência, e que vão
de encontro ao facto de uma formulação de difusão-K não dever ser unicamente
interpretada como uma teoria do tipo difusivo. Na verdade, pode argumentar-se que
∂K / ∂z se pode associar a uma velocidade, conferindo a esta aproximação um carácter
advectivo (Teixeira e Cheinet, 2002), o que é usado como principal argumento para o
maior sucesso das novas parametrizações referidas.
O carácter intrinsecamente downgradient das aproximações de difusão-K,
apresentam ainda dificuldades no diagnóstico dos momentos de segunda ordem. A equação
de prognóstico da variância, φ ' 2 , de uma propriedade conservada ( θl ou qt ) é dada por
(Stull, 1988):
Sφ 'φ '
∂φ ' 2
∂φ ∂ (w'φ 'φ ')
= −2w'φ '
−
− 2ε φ − 2
,
∂t
∂z
∂z
ρ
(5.23)
cujos termos são da esquerda para a direita: a tendência, a produção, o transporte
turbulento, a dissipação, e a fonte de variância. Com base em diagnósticos de LES dos
termos da equação (5.23), De Roode et al. (2000) mostra também a inadequação da
aproximação difusiva. O termo de produção da variância é negativo na metade superior da
CL (Figura 2. de De Roode et al., 2000), pelo que o fluxo turbulento e o gradiente médio
da propriedade têm o mesmo sinal, implicando a impossibilidade de uma formulação
difusiva representar correctamente o fluxo vertical w'φ' = − K (∂φ ∂z ) , uma vez que K é
positivo por definição. Este facto aponta igualmente para a necessidade de se considerar
uma contribuição que represente o fluxo de contra-gradiente. A aproximação puramente
difusiva pode em determinados casos permitir a obtenção de resultados bons ou razoáveis,
mas sofre de alguns problemas de inconsistência.
Importa ainda referir que um fecho difusivo de ordem 1.5 pode ser obtido como um
caso particular da parametrização EDMF-TKE, depois de algumas hipóteses bastante
simplistas. Considerando,
83
(
)
w'φ ' ≡ au w'φ ' + (1 − au )w'φ ' + au wu − w (φu − φe ) ,
u
e
(5.24)
e
onde a mistura turbulenta no ambiente vizinho das térmicas, w'φ ' , é uma mistura de
pequena escala, que pode ser representada por uma aproximação de difusão-K (2.41).
Desprezando o primeiro termo do segundo membro, à semelhança do que foi feito
anteriormente, e admitindo que simultaneamente que φ = φ e e w = 0 , obtém-se
w' φ ' = −(1 − au ) K
Se wu ≈ e
1
2
e K ≅le
1
2
(
)
∂φ e
+ a u wu φu − φ .
∂z
(5.25)
(fecho de ordem 1.5), vem
w' φ ' = −(1 − au ) l e
1
2
(
)
1
∂φ e
+ au e 2 φu − φ .
∂z
(5.26)
Considerando a equação (4.3) e l ≈ ε −1 , vem
w'φ ' = −e
1
2
∂φ 
 ∂φ
l au u + (1 − au ) e  .
∂z 
∂z

(5.27)
Assumindo ainda que ∂au ∂z = 0 , obtém-se, finalmente,
w' φ ' = −e
1
2
l
∂φ
,
∂z
ou seja, um fecho turbulento de difusão-K (2.41) de ordem 1.5, em que K = e
(5.28)
1
2
l .
5.7 Conclusões
Uma boa representação da CLC é crucial para a realização de previsões realistas
dos parâmetros meteorológicos da superfície, devido, nomeadamente, à interacção entre os
processos que ocorrem na CLC com outras parametrizações (Beljaars e Viterbo, 1998).
Neste capítulo, mostrou-se que uma combinação de difusão turbulenta e de fluxo-demassa, baseada na equação de TKE, pode descrever de forma realista o transporte
turbulento na CLC. Esta aproximação evita a utilização de expressões empíricas
complexas, e acrescenta um mais bem fundamentado suporte físico aos diferentes passos
da formulação.
Ambas as contribuições do esquema EDMF-TKE dependem da TKE. As
difusividades turbulentas e o coeficiente de fluxo-de-massa são proporcionais à raiz
quadrada da TKE, e a ascendente é inicializada também recorrendo à informação do estado
turbulento da CLS através da TKE. Este modelo de ascendente permite a sua
implementação em qualquer modelo com um fecho de ordem 1.5, independentemente da
sua grelha vertical, desde que esta possua um nível na CLS.
84
O esquema EDMF-TKE, implementado no modelo MesoNH, mostrou resultados
de grande qualidade. A melhoria registada nos perfis médios da CL é devida à introdução
do termo de fluxo-de-massa. Este descreve correctamente o fluxo turbulento de calor de
contra-gradiente na parte superior da CL, e através da representação da penetração das
ascendentes, melhora a descrição do efeito de mistura-de-topo. Acrescenta ainda, uma
melhoria significativa na previsão da variância da velocidade vertical para o caso de uma
CLC seca.
Esta aproximação concilia a sua melhor fundamentação física com a vantagem de
poder ser estendida para representar a CL com nuvens. Para isso, tem que se implementar
um esquema de condensação para a ascendente, não havendo a necessidade de alternar
entre o esquema de turbulência e um outro esquema de convecção. O desenvolvimento do
EDMF para uma CL com cumulus será considerado no próximo capítulo.
85
Parametrização EDMF em cumulus pouco profundo
6 Parametrização EDMF em cumulus pouco profundos
O trabalho descrito neste capítulo foi incluído nos artigos:
Soares P., M. M., P. M A. Miranda, A. P. Siebesma e J. Teixeira, 2004: An Eddy-diffusivity/Mass-flux
parameterisation for dry and shallow cumulus convection. Aceite para publicação no Quarterly
Journal of the Royal Meteorological Society.
Lenderink, G., A. P. Siebesma, S. Cheinet, S. Irons, C. Jones, P. Marquet, F. Muller, D. Olmeda, E. Sanchez
e P. M. M. Soares, 2004: The diurnal cycle of shallow cumulus clouds over land: A single column
model intercomparison study. Aceite para publicação no Quarterly Journal of the Royal
Meteorological Society.
6.1 Introdução
A importância das plumas convectivas na dinâmica da CL com nuvens está bem
documentada em campanhas observacionais (Nicholls, 1989; Warner, 1970; Warner, 1977)
e em estudos de LES (Siebesma e Cuijpers, 1995; Wang e Stevens, 2000; Brown et al.,
2002; Siebesma et al., 2004). A representação da convecção em cumulus é amplamente
reconhecida como um aspecto fundamental do desenvolvimento de modelos, devido ao seu
potencial impacto na previsão do tempo a curto prazo e nas simulações de clima (e.g.
Tiedtke, 1987). O projecto EUROCS promoveu uma intercomparação entre modelos
(versões 1D), com o objectivo de determinar o estado da arte da representação do ciclo
diurno de uma CLC com cumulus pouco profundos (Lenderink et al., 2004 – L2004). Esta
intercomparação revelou a imensa dificuldade que constitui representar em modelos
atmosféricos este tipo de CLC. Muitos GCMs recorrem a esquemas distintos para
representar a mistura turbulenta seca e a convecção associada a nuvens, tendo as
parametrizações de fluxo-de-massa sido introduzidas para representar esta última. Este
procedimento implica a existência de descontinuidades espaço-temporais nos modelos,
associadas à activação dos dois esquemas. Por outro lado, os resultados na CLC seca são
frequentemente fracos (e.g., Ayotte et al., 1996), e existe uma falta intrínseca de
acoplamento entre os esquemas de turbulência e de convecção húmida.
O objectivo primordial do esquema EDMF consiste na unificação das
parametrizações aplicáveis à CLC com e sem nuvens. A representação de CuPP constitui
um desafio considerável, e é o objecto deste capítulo. Na parametrização EDMF
introduziu-se um termo de fluxo-de-massa para representar a mistura associada aos
grandes turbilhões. Dado que os CuPP são a extensão vertical com conteúdo de água
líquida, das térmicas subsaturadas induzidas pelo aquecimento da superfície (LeMone e
Pennell, 1976), a ligação entre a camada subsaturada e a camada de cumulus surge
naturalmente através daquele termo, conferindo uma ênfase especial ao papel das
estruturas convectivas – térmicas subsaturadas e ascendentes das nuvens. Assim, o
esquema EDMF apresenta-se como um esquema integrado de turbulência e convecção.
O novo esquema foi implementado no modelo de investigação MesoNH (Apêndice
A), constituindo-se como uma alternativa à opção padrão disponível no modelo para a
86
representação da convecção com nuvens. O modelo MesoNH possui o esquema de
turbulência BL89 e um esquema de convecção baseado na parametrização de fluxo-demassa de Kain e Fritsch (1993), para convecção pouco profunda e profunda (Bechtold et
al., 2001).
6.2 Ciclo diurno de cumulus pouco profundos sobre terra — Caso
ARM
O caso ARM (Atmospheric Radiation Measurement Program) aqui considerado
baseia-se numa idealização de observações realizadas no âmbito das campanhas
experimentais ARM. Brown et al. (2002) compilaram um conjunto de dados obtidos a
partir de observações realizadas na região de Southern Great Plains (Figura 6.1), em 21 de
Junho de 1997.
Figura 6.1 — Mapa dos Estados Unidos da América onde se mostra o local das observações do caso
ARM: Southern Great Plains Region.
Com o objectivo de melhor compreender a evolução de um ciclo diurno de nuvens
do tipo cumulus sobre terra, o 6º GCSS WG-1 [GEWEX (Global Energy and Water Cycle
Experiment) (Browning, 1993) Cloud System Study Working Group-1] tomou este
conjunto de dados como um caso de estudo. Brown et al. (2002) apresentaram uma
intercomparação de modelos de LES com base neste caso, onde, em geral, se verificou
uma boa concordância entre os diferentes modelos envolvidos. O modelo LES do KNMI
foi um dos intervenientes nesta intercomparação, apresentando uma muito boa
representação do ciclo diurno de cumulus. Para diante neste capítulo, tomar-se-á os seus
resultados como os de referência, para a caracterização da evolução temporal observada e
da parametrização aqui desenvolvida.
As simulações têm início às 11:30 UTC (5:30 LT) e fim às 02:00 UTC (20:00 LT)
do dia 21 de Junho de 1997. Nesse dia o sol nasceu aproximadamente às 12:30 UTC (6:30
LT) e o ocaso deu-se às 24:00 UTC (18:00 LT). O forçamento da superfície é prescrito de
acordo com as observações (Figura 2. de Brown et al. 2002). Os fluxos de calor latente e
de calor sensível são aproximadamente nulos aquando do nascer e do pôr do sol, e atingem
o valor máximo às 12:00 LT, de 500 Wm-2 e 140 Wm-2, respectivamente. A advecção de
larga escala e o forçamento radiativo são tidos em conta através da prescrição de pequenas
tendências de acordo com Brown et al. 2002.
87
6.2.1 Resultados LES do KNMI
Os perfis iniciais (11:30 UTC) de temperatura potencial e de humidade específica
total podem ser observados, respectivamente, na Figura 6.4a e na Figura 6.4b. (ou na
Figura 6.16a e na Figura 6.6b). O ciclo diurno em questão pode caracterizar-se pela
existência de uma CL estável pouco profunda (11:30 UTC), que é erodida rapidamente
pelo aquecimento da superfície após o nascer do sol. Na Figura 6.2a mostra-se a evolução
da temperatura potencial. Esta revela o crescimento da CL, cuja inversão atinge
aproximadamente 800m às 15 UTC (9 LT), quando as primeiras nuvens se formam (Figura
6.2b) com base a este mesmo nível. Com o decorrer do tempo a altura da base das nuvens
vai aumentado, assim como a espessura dos cumulus. A base das nuvens atinge às 19 UTC
(13 LT) os 1300m, quando a espessura das nuvens atinge o máximo, aproximadamente
1500m de extensão vertical, que no início é de cerca de 200m. A camada nublosa é
condicionalmente instável, acompanhando a sua evolução o crescimento vertical das
nuvens. O conteúdo de água líquida na simulação LES varia entre os 0.01 e 0.04 g/kg-1.
(b)
4
4
3.5
3.5
3
3
altura (km)
altura (km)
(a)
2.5
2
2.5
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
14
16
18
20
22
24
14
16
horas (UTC)
18
20
22
24
horas (UTC)
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
330
326
322
318
314
310
306
302
Temperatura Potencial (K)
Conteúdo de água líquida (g/kg)
Figura 6.2 — Evolução temporal dos perfis verticais de: (a) temperatura potencial e (b) conteúdo
de água líquida. Resultados do modelo LES do KNMI. Dados fornecidos por Roel Neggers, Geert
Lenderink e Pier Siebesma.
6.2.2 Intercomparação
A suspeita de que a concordância entre os modelos LES não se estendesse a
modelos numéricos de previsão do tempo e a modelos de clima, motivou a realização de
uma intercomparação de modelos 1D (L2004), no estudo do ciclo diurno de convecção
com CuPP sobre terra. Este estudo de intercomparação foi organizado no âmbito do
projecto europeu EUROCS (European Cloud Systems) e teve a participação de vários
88
modelos (semi)-operacionais, nas suas versões 1D. Os modelos intervenientes na
intercomparação foram: ARPEGE(CLIMAT), ECHAM, ECMWF, HIRLAM, MetO,
RACMO e MesoNH. Este último faz uso das suas opções padrão para a fenomenologia
abordada: mistura turbulenta de subescala do tipo difusivo baseado no esquema de BL89 e
convecção baseada no esquema de Kain e Fristch (Bechtold et al., 2001), ambos descritos
no Apêndice A. As simulações foram realizadas com uma grelha vertical de 40 níveis, que
possui uma resolução de 150 a 200m na camada nublosa, e/ou uma grelha de 19 níveis,
correspondente à grelha L60 do modelo do ECMWF, cujo espaçamento vertical na camada
nublosa é de 200-400m.
As séries temporais da cobertura nublosa (Figura 6.3a) e do conteúdo de água
líquida integrada na coluna vertical (Figura 6.3b) ilustram muito bem a enorme dificuldade
que os modelos têm em representar uma CLC com nuvens. A cobertura nublosa
apresentada pelos modelos varia imensamente, desde modelos com formação de nuvens
logo nos primeiros passos de tempo, até modelos de que resultam coberturas nublosas de
100%, ou seja, de stratocumulus. A grande maioria produz coberturas nublosas acima de
50%, muito acima dos valores de LES, que estima um máximo de 30% e uma fracção
máxima de nuvens de 20% no seu domínio. O conteúdo de água líquida integrada na
vertical é, também de uma forma geral, muito sobrestimado pelos modelos e revela grande
intermitência. O ciclo de vida dos cumulus é muito mal descrito por alguns modelos;
porém, alguns deles representam razoavelmente o tempo de início da formação dos
cumulus, em oposição à dissipação, que mostra grandes deficiências.
(a)
(b)
Figura 6.3 — Série temporal da: (a) cobertura nublosa (0-1) e (b) conteúdo de água líquida
integrado na vertical (g m-2). Resultados de LES do KNMI (Brown et al., 2002): Linha grossa –
cobertura nublosa, linha fina – fracção máxima de nuvens. Outras linhas e símbolos – resultados
dos modelos 1D participantes na intercomparação de Lenderink et al. (2004).
A versão 1D standard do MesoNH revela algumas deficiências, partilhadas pelos
outros modelos. Importa realçar que, tal como a maioria dos outros modelos, o MesoNH
produz valores de cobertura nublosa demasiado elevados, de aproximadamente 50%; mas,
ao contrário da generalidade dos outros modelos, subestima fortemente o conteúdo de água
líquida das nuvens.
Os perfis verticais de temperatura potencial e de humidade específica total (Figura
6.4a,b) às 17:30 UTC, pouco depois do aparecimento das primeiras nuvens, estão em
razoável concordância com os resultados LES. No entanto, este acordo não se verifica nos
89
perfis verticais de cobertura nublosa e do conteúdo de água líquida (Figura 6.4c,d), que
apresentam valores muitos díspares e intermitentes.
Os perfis de temperatura potencial e de humidade específica às 17:30 UTC
revelam que os cumulus são forçados pela camada a eles subjacente, visto que não
apresentam um perfil condicionalmente instável.
(a)
(b)
(c)
(d)
específica total, (c) cobertura nublosa e (d) conteúdo de água. Resultados de LES do KNMI a linha
grossa (Brown et al., 2002). Outras linhas e símbolos – resultados dos modelos 1D participantes
na intercomparação de Lenderink et al. (2004).
A qualidade dos perfis médios degrada-se muito com o decorrer das simulações,
como é patente pela comparação dos perfis das 17:30 UTC com os perfis das 21:30 UTC
(Figura 6.5a-d). A discrepância entre os resultados de LES e os modelos 1D é enorme para
qualquer uma das propriedades. Poucos modelos representam com o mínimo de qualidade
a característica de instabilidade condicional dos perfis de temperatura potencial, que está
presente nos resultados LES (Figura 6.5a,b). Neste aspecto o MesoNH é um dos modelos
que melhor representa os perfis de θ e de qt , e a sua evolução. A própria CL subjacente às
nuvens é mal descrita pelos modelos, apresentando-se ora mais seca, ora mais húmida que
o LES.
90
(a)
(b)
(c)
(d)
específica total, (c) cobertura nublosa e (d) conteúdo de água líquida. Resultados de LES do KNMI
a grosso (Brown et al., 2002). Outras linhas e símbolos – resultados dos modelos 1D participantes
na intercomparação de Lenderink et al. (2004).
Os perfis de cobertura nublosa e do conteúdo de água líquida às 21:30 UTC (Figura
6.5c,d) reforçam a impressão de dificuldade das parametrizações dos diversos modelos
para descreverem a estrutura vertical de um campo de cumulus.
Este conjunto de resultados é detalhadamente descrito e analisado em L2004. A
metodologia adoptada passa pela análise de cada uma das parametrizações individualmente
e da sua interacção, nos respectivos modelos. As três parametrizações cruciais envolvidas
são: o esquema de turbulência, o esquema de convecção e o esquema de
condensação/nuvens. Cada modelo utiliza um diferente conjunto de esquemas, mas de
forma global realçaram-se alguns factos que originam as múltiplas deficiências dos
resultados: (i) mistura turbulenta demasiado intensa na camada nublosa que dá origem a
uma camada muito misturada e pouco profunda; (ii) esquemas de fluxo-de-massa muito
agressivos, produzindo uma região inferior da nuvem muito seca e quente e uma região
superior muito húmida e fria; (iii) inversão da CL demasiado pronunciada inibe a formação
dos cumulus; (iv) fecho de fluxo-de-massa na base das nuvens em geral inapropriado; (v) a
interacção entre as três parametrizações origina muita intermitência. Os resultados com
uma resolução vertical mais grosseira não são necessariamente piores nem melhores; na
91
verdade, a resolução mais fina pode sofrer de instabilidade numérica, devida à interacção
dos diferentes esquemas.
6.3 Parametrização EDMF com condensação
A parametrização EDMF-TKE é facilmente estendida à representação de cumulus.
A formulação dos diferentes termos da equação base do esquema (4.2) sofre poucas
modificações, relativamente ao exposto no capítulo 5. O coeficiente de difusão-K e o
modelo da ascendente ficam inalterados. O coeficiente de fluxo-de-massa, M = au wu ,
necessita de modificação, tendo em conta que a variância da velocidade vertical, utilizada
no esquema EDMF-TKE, é mal conhecida na camada de nuvens.
Se (4.7) for uma boa aproximação para a velocidade vertical do conjunto de
térmicas ( wu ), esta pode ser usada directamente para o cálculo de M, o que resulta da sua
própria definição ( M = au wu ), desde que seja possível conhecer a constante ( au ). Em
concordância com valores diagnosticados referentes à área horizontal média, contendo
ascendentes com flutuação positiva (Lenschow e Stephens, 1980; Siebesma, 1998),
propõe-se que au ≈ 0.1 . Este perfil de fluxo-de-massa pode ser directamente interpretado à
luz da ideia conceptual da turbulência na CLC (Figura 6.6). Note-se que, a ideia de escalar
o perfil de fluxo-de-massa com o desvio padrão da velocidade vertical é conceptualmente
boa, e que, produz bons resultados no caso da CLC não saturada (capítulo 4 e 5). No
entanto, σ w depende do comprimento de mistura (a equação de diagnóstico da variância
(5.1)), implicando que a mistura de topo é parcialmente controlada pelo processo difusivo,
AL
qt
θl
inversão
1 ∂M c
= ε −δ
M c ∂z
camada
nublosa
ε = 2 ×10 −3 m −1
δ = 3×10 −3 m −1
LCL
camada de mistura
subnublosa
M LCL = ac M
1
1 

ε = cε  +
 z ( zi − z) 
M = au wu
Figura 6.6 — Esquema de uma CL convectiva com cumulus pouco profundos e formulação de
fluxo-de-massa do novo esquema de EDMF-TKE.
o que pode conduzir a alguma subestimação da mistura no topo, i.e., a uma penetração
insuficiente das térmicas na troposfera livre. A nova formulação para M, em que M é
92
proporcional à velocidade das térmicas, pode ainda melhorar a representação do processo
de penetração. Em vez de considerar zi , como a altura onde a flutuação se anula, ou o
nível de fluxo de flutuação mínimo, usa-se também a equação da velocidade vertical (4.7)
para determinar a altura zi onde wu é zero.
6.3.1 Cumulus pouco profundos
A representação de cumulus pouco profundos surge como uma extensão do
esquema de EDMF seco quando a parcela de ar ascendente condensa. Deste modo, o
modelo de ascendente pode ser também utilizado como uma função de trigger para as
nuvens associadas a convecção profunda.
O modelo de nuvens tem como objectivo a representação de um conjunto de
nuvens do tipo CuPP. Uma térmica com origem na camada de superfície ascende com
mistura lateral de ar do ambiente vizinho, até ao nível onde o esquema de condensação
diagnostica o aparecimento de água líquida, ou seja a base das nuvens convectivas. O
esquema de condensação baseia-se no algoritmo proposto por Davies e Jones (1983). Para
além de estimar o conteúdo de água líquida, calcula também a temperatura potencial
virtual, que reflecte a libertação de calor latente fruto do processo de condensação. O topo
das nuvens corresponde ao nível onde a velocidade vertical da nuvem é nula e é
determinado pela equação (4.7).
Seguindo Siebesma (1998), o perfil de fluxo-de-massa nas nuvens é dado pela
equação da continuidade do núcleo da nuvem, expressa por (2.87). Onde Mc é o fluxo-demassa da corrente ascendente da nuvem e ε e δ são, respectivamente, a taxa de mistura
lateral de ar que penetra e sai do núcleo. Para integrar (2.87) é necessário conhecer as
condições fronteira para Mc (o fluxo-de-massa da base da nuvem) e as taxas de mistura
lateral (taxas de entrainment e detrainment). A estrutura termodinâmica da nuvem é dada
também por (4.3).
O fecho da base das nuvens requer um tratamento cuidado, visto que estabelece as
condições iniciais das ascendentes que dão origem às nuvens e representa a ventilação da
camada subjacente (Tiedtke et al., 1988). Betts (1976) introduziu o primeiro fecho de
fluxo-de-massa da base das nuvens para descrever o acoplamento entre as duas camadas.
Neggers et al. (2003) analisaram três fechos diferentes para o fluxo-de-massa na base das
nuvens, num ciclo diurno de convecção com CuPP. Estes autores concluiram que o fecho
assente na escala de velocidade convectiva da camada subjacente às nuvens, M = c w∗
(Grant, 2001), representa bem o acoplamento entre as duas camadas, reproduzindo o
máximo e o decréscimo final do fluxo-de-massa da base das nuvens, revelados pelos
resultados de LES. Este tipo de fecho baseia-se na relação entre o fluxo-de-massa da base
das nuvens e a turbulência na camada subjacente. De forma concordante, assume-se aqui
que o fluxo-de-massa na base das nuvens é uma extensão natural do perfil da ascendente
subsaturada, sendo considerado como o produto da fracção ocupada por nuvens (cobertura
nublosa), dada pelo esquema de condensação de subescala, pelo fluxo-de-massa da
ascendente seca (M c = a c M ) no nível onde a ascendente condensa.
O impacto das taxas de mistura lateral na convecção em cumulus foi investigada
em diversos estudos (Siebesma e Holtslag 1996, Siebesma, 1998). Em Tiedtke (1989),
estas taxas são assumidas como iguais e constantes, cujos valores têm por base
93
experiências de laboratório com plumas (Turner, 1973), e são da ordem de 10-4 m-1. No
entanto, Siebesma e Cuijpers (1995) mostrou que estes últimos valores subestimam a
mistura lateral, baseando-se em simulações LES para o caso BOMEX. De acordo com
Siebesma (1998), adoptam-se os valores,
ε = 2 ×10 −3 m −1 , δ = 3 ×10 −3 m −1 ,
(6.1)
sabendo-se de antemão que se trata de uma consideração bastante simplista. Com taxas de
mistura lateral constantes, obtém-se facilmente o perfil de Mc, integrando (2.87) entre a
base e o topo das nuvens:
M c ( z ) = M LCL e ( z − z LCL )(ε −δ ) .
(6.2)
O diagnóstico da cobertura nublosa e do conteúdo de água líquida das nuvens é
uma componente crucial de qualquer modelo, devido, nomeadamente, ao seu potencial
impacto no balanço radiativo. O MesoNH tem um esquema estatístico de condensação de
subescala, baseado nas variâncias de θl e qt calculadas no esquema geral de turbulência
(Sommeria e Deardorff, 1977; Bechtold et al., 1993). Este diagnóstico é efectuado através
de um esquema estatístico simples baseado no histograma das flutuações de subescala (ver
Apêndice A). De uma forma consistente com o conceito do modelo de EDMF, é natural
avaliar estas variâncias tendo em conta ambas as contribuições, de difusão turbulenta e de
fluxo-de-massa. Consequentemente, a variância de uma variável conservada φ é calculada
de acordo com:
2
 ∂φ 
∂φ
φ ' ≅ 2τ φ K   − 2τ φ M (φu − φ )
,
∂z
 ∂z 
2
(6.3)
onde os dois termos do segundo membro representam as contribuições de ED e MF,
respectivamente. Assume-se por simplicidade que τ φ = 600 s e que corresponde a uma
escala de tempo típica de um turbilhão da dimensão da CL (e.g. Cheinet e Teixeira, 2003).
A inclusão da contribuição de fluxo-de-massa em (6.3) pode apresentar problemas,
na medida em que se trata um termo que pode ser positivo ou negativo, o que poderá
originar valores negativos da variância, obviamente inconsistentes. Observando a Figura
4.3 e a Figura 6.6 e considerando φ = θ l , pode analisar-se o sinal do termo
− 2τ φ M (φu − φ )(∂φ ∂z ) . Na metade inferior da camada subnublosa (“seca”) aquele termo
é positivo; na metade superior é negativo, visto que (∂φ ∂z ) > 0 e (φu − φ ) > 0 , e por isso
é colocado a zero, o que não interfere nos resultados, pois só se está interessado na
variância da camada com nuvens, devido à sua importância para o esquema de
condensação de subescala. Na camada com nuvens esta contribuição é positiva, pois
(∂θ l ∂z ) > 0 e (θ l u − θ l ) < 0 . No entanto, importa realçar que (θ v u − θ v ) > 0 o que gera
flutuação e movimento vertical na camada nublosa.
94
6.4 Resultados do modelo EDMF
Uma vez que se introduziram modificações na formulação do esquema EDMF
discute-se, primeiro, um caso relacionado com o estudo de Nieuwstadt et al. (1992),
relativo a uma CLC seca. Posteriormente, discutem-se os resultados do EDMF no caso
ARM (Brown et al. 2002), sobre o ciclo diurno de uma CLC com cumulus pouco
profundos.
6.4.1 Camada limite seca
A primeira validação deste esquema foi realizada recorrendo a um caso idealizado
de uma CL seca. Este caso foi utilizado num estudo de intercomparação de modelos LES
(Nieuwstadt et al., 1992). Os resultados da intercomparação mostraram genericamente uma
boa concordância entre os diversos modelos de LES envolvidos, excepto nas regiões onde
as aproximações turbulentas são menos sólidas: as camadas de superfície e de inversão.
Neste caso, o forçamento de superfície corresponde à prescrição de fluxos de calor
latente e sensível constantes (fluxos cinemáticos): w' q ' s = 2.5 × 10 −5 m s −1 e
w′θ ′ s = 6.10 −2 K m s −1 , respectivamente. Os perfis iniciais de temperatura potencial e de
humidade podem ser observados na Figura 6.7 e na Figura 6.8, respectivamente (Exp4 da
Tabela 1). Este novo esquema foi implementado na versão 1D do MesoNH e as simulações
foram realizadas com uma resolução vertical constante de 20 m (tal como as simulações de
LES) e um passo de tempo de 60 s.
Nas Figura 6.7 e na Figura 6.8 apresentam-se os resultados das simulações de LES
e de duas versões do MesoNH, uma correspondente ao novo esquema e a outra utilizando o
fecho BL89. Na Figura 6.7 comparam-se as médias da 4ª e da 8ª hora de simulação dos
perfis de temperatura potencial, e na Figura 6.8 apresentam-se os perfis de humidade
específica para as mesmas simulações. Uma breve análise destas figuras permite observar
altura (km)
3
LES
BL89
EDMF
2
1
8h
4h
Ini
0
299.5
300.0
300.5
301.0
301.5
302.0
θ (K)
Figura 6.7 — Perfis verticais de temperatura potencial: inicial (Ini) e média horária da 4ª e 8ª
hora. Resultados do novo esquema EDMF, esquema BL89 e do modelo LES.
95
um aperfeiçoamento sensível dos resultados do modelo MesoNH com este novo fecho de
EDMF, nomeadamente, no que concerne à evolução da altura da CL, à forma da inversão e
à estrutura vertical da camada de mistura.
O perfil da temperatura potencial não apresenta a instabilidade típica dos perfis que
resultam das teorias de difusão turbulenta, tal como a formulação de BL89. Ambos os
esquemas BL89 e EDMF produzem resultados similares aos resultados de LES. No
entanto, a aproximação BL89 sofre dos quatro problemas típicos dos esquemas turbulentos
difusivos (e.g. Stull, 1988): (i) representação pobre da camada de superfície, (ii) perfil
vertical instável, (iii) subestimação da mistura-de-topo da CL (top-entrainment), e,
finalmente, (iv) inversão demasiado acentuada. O novo esquema EDMF apresenta
melhorias significativas em todas estas propriedades. O esquema EDMF é capaz de
reproduzir o perfil ligeiramente estável da região superior da camada de mistura e um
muito melhor crescimento da CL. No entanto, apesar das melhorias observadas, a camada
de superfície é ainda mais estaticamente instável e húmida do que os resultados de LES.
3
8h
altura (km)
2
Ini
1
LES
BL89
EDMF
0
3.0
3.5
4h
4.0
-1
4.5
5.0
5.5
qt(gkg )
Figura 6.8 — Perfis verticais de humidade específica total: inicial (Ini), média horária da 4ª e 8ª
A Figura 6.9 e a Figura 6.10 mostram, respectivamente, a evolução temporal dos
fluxos turbulentos verticais da temperatura potencial e da humidade específica. A
comparação dos resultados do novo esquema EDMF com os resultados de LES revela uma
melhoria significativa, relativamente ao esquema BL89. Em particular, o fluxo de calor
exibe o perfil linear típico das observações, com uma razão de mistura-de-topo
w'θ ' min w'θ ' s de 0.17, em muito boa concordância com os resultados de LES. Neste
( ) ( )
caso de estudo simples, em que o fluxo de calor superficial é especificado, as diferenças
de temperatura dependem unicamente de taxas de mistura-de-topo distintas, sendo uma boa
representação deste processo o ingrediente fundamental do bom desempenho do EDMF.
No que diz respeito ao fluxo de humidade, regista-se uma vez mais uma franca melhoria
nos perfis, associada a um crescimento da CL mais realista. Porém, ainda persistem
algumas discrepâncias responsáveis por uma CL mais húmida nas simulações 1D (Figura
6.8).
96
3
LES
BL89
EDMF
8h
altura (km)
2
4h
1
0
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-1
w'θ'(mKs )
Figura 6.9 — Perfis dos fluxos verticais de temperatura potencial. Média horária da 4ª e 8ª hora.
Resultados do novo esquema EDMF, esquema BL89 e do modelo LES.
3
altura (km)
8h
2
4h
1
LES
BL89
EDMF
0
0.0
2.0x10
-5
4.0x10
-5
-1
w'qt'(ms )
Figura 6.10 — Perfis dos fluxos verticais de humidade específica total. Média horária da 4ª e 8ª
Na Figura 6.11 ilustram-se as contribuições individuais para o fluxo vertical da
temperatura: as componentes de difusão turbulenta e de fluxo-de-massa, i.e., os dois
termos do segundo membro de (4.2). Pode observar-se que o termo de fluxo-de-massa é
dominante, excepto na parte inferior da CL. Este facto, já evidenciado nos capítulos 4 e 5,
está de acordo com as conclusões do estudo de LES efectuado por Ebert et al. (1989), em
que uma análise espectral dos campos de transporte de massa e de calor revelaram a
relativamente menor contribuição dos turbilhões de pequena dimensão, em comparação
com as térmicas de tamanho médio e da dimensão da CL, para este fluxo. Por outro lado, a
contribuição do fluxo-de-massa domina relativamente à difusiva na metade superior da
camada de mistura, o que implica um fluxo de calor positivo (contra-gradiente) nessa
região. Na inversão, o termo fluxo-de-massa também é dominante. Para além disso, o
termo de fluxo-de-massa anula-se a níveis superiores aos do termo de difusão turbulenta,
97
reflectindo claramente o efeito adicional de penetração das térmicas na troposfera livre,
associado à proporcionalidade directa entre o coeficiente de fluxo-de-massa e a velocidade
vertical da ascendente (ver seta na Figura 6.11).
O termo de fluxo-de-massa, que representa directamente o transporte de calor e
humidade relacionado com as plumas convectivas, constitui uma forma mais natural que as
formulações de contra-gradiente de representar a contribuição não-local para os fluxos
turbulentos, e os presentes resultados indicam que a inclusão deste termo melhora também
a representação das propriedades médias da CLC.
altura (km)
3
MF 4h
8h
ED 4h
8h
2
1
0
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
-1
w'θ' (mKs )
0.06
0.08
Figura 6.11 — Contribuições da difusão-K (ED) e do fluxo-de-massa (MF) para o fluxo turbulento
vertical de temperatura potencial. Médias horárias dos resultados do novo esquema para a 4ª e
8ª horas de simulação.
Crucial para a compreensão destas diferentes contribuições é a equação da
velocidade vertical da ascendente. Na Figura 6.12 apresentam-se os perfis verticais da
3
LES 4h
EDMF 8h
6h
4h
2h
altura (km)
2
1
0
0
1
2
-1
wup(ms )
3
Figura 6.12 — Evolução temporal do perfil da velocidade vertical da ascendente. Resultados
correspondentes a médias horárias do novo esquema e do LES.
98
velocidade vertical da térmica, podendo-se observar uma grande concordância com os
resultados de LES, suportando a formulação adoptada ( M = au wu ). Este facto é de grande
importância para o esquema proposto: por um lado, a velocidade vertical define a altura da
inversão e, indirectamente, a mistura lateral da ascendente (5.6); por outro lado, determina
a magnitude do termo de fluxo-de-massa e, indirectamente, as propriedades da camada de
mistura.
A Figura 6.13 mostra a evolução da altura da CL, definida como a altura onde o
fluxo de flutuação é mínimo para o modelo de LES e para o esquema BL89, e a altura onde
a velocidade vertical é nula, para o novo esquema EDMF. Os resultados do novo esquema
estão em muito boa concordância com os resultados de LES, muito melhor que o esquema
de BL89. Os piores resultados de BL89 são consequência da falta de mistura-de-topo da
CL, um fenómeno já ilustrado na Figura 6.9.
altura (km)
2.4
2.0
1.6
1.2
LES
BL89
EDMF
0
1
2
3
4
5
tempo (h)
6
7
8
Figura 6.13 — Evolução temporal da altura da CL. Resultados dos esquemas EDMF e BL89, e do
modelo LES.
6.4.2 Caso ARM
Mostram-se de seguida os resultados para o caso de estudo ARM, obtidos
utilizando o esquema EDMF descrito na secção 6.3. A Figura 6.14 e a Figura 6.15
mostram as séries temporais das propriedades nas nuvens. A nova aproximação representa
bem o ciclo diurno da convecção com CuPP. Os tempos de aparecimento dos cumulus e da
sua dissipação, dados pelo modelo de ascendente com água líquida, são muito próximos
dos observados (Figura 6.14). A cobertura nublosa e o conteúdo de água líquida integrado
na vertical (Figura 6.15) dados pelo esquema de condensação de subescala estão em muito
boa concordância com os resultados de LES, ambas revelando uma evolução temporal e
magnitude apropriadas.
Alguns dos modelos intervenientes na intercomparação (L2004) são capazes de
reproduzir o tempo de aparecimento dos primeiros cumulus, sugerindo uma ligação directa
entre as nuvens e as primeiras térmicas que atingem o nível de condensação por elevação
(Wilde et al., 1985). No entanto, a esmagadora maioria dos modelos é incapaz de
representar a dissipação das nuvens. Este problema não se regista no novo esquema
EDMF: os cumulus dissipam-se ao fim do dia, verificando-se um baixo nível de
intermitência. Os resultados da versão standard do MesoNH (L2004) apresentam uma
cobertura nublosa bastante elevada (em média 50 %) e a água líquida é quase inexistente.
Estas propriedades são agora muito melhoradas. O máximo da cobertura nublosa, cerca de
99
1.0
0.8
0.6
0.4
3
2
14
16
18
20
tempo (h)
22
LES
EDMF up
Base das nuvens
1
LES
EDMF
Max. cobertura nubelosa
2
1
14
14
16
18
20
tempo (h)
22
24
(d)
3
0
12
0
12
24
3
altura (km)
altura (km)
(b)
0.2
0.0
12
(c)
LES
EDMF
altura (km)
(a)
Cobertura nubelosa
0.2, está muito próximo dos resultados da simulação de LES, e ocorre pouco depois das 18
UTC (12 LT), um pouco mais tarde que no LES (Figura 6.14a). O decréscimo da cobertura
nublosa observado depois dessa hora é concordantemente descrito pelo esquema EDMF.
Esta melhoria é largamente explicada por uma estimativa mais rigorosa das variâncias de
θl e de qt , devida à contribuição do termo de fluxo-de-massa em (6.3).
16
18
20
tempo (h)
22
24
Topo das nuvens
2
1
0
12
LES
EDMF up
14
16
18
20
tempo (h)
22
24
Figura 6.14 — Resultados do novo esquema EDMF e de LES, séries temporais de: (a) cobertura
nublosa, (b) altura da base das nuvens, (c) altura do máximo da cobertura nublosa, (d) altura do
topo das nuvens.
A altura da base das nuvens está em boa concordância com os resultados de LES.
Este facto demonstra que este modelo simples de ascendente é apropriado para representar
a geração de nuvens do tipo cumulus, sem recorrer a funções de triggering complexas, tais
como a utilizada na versão standard do MesoNH. A altura da base das nuvens, definida
como o nível de condensação por elevação (LCL) da ascendente (EDMF up, na Figura
6.14b) indica que os cumulus aparecem aproximadamente às 15:30 UTC (9:30 LT), acima
dos 700m. A base das nuvens eleva-se com o decorrer do dia, atingindo uma altura
máxima de 1200 m depois das 24:00 UTC (18 LT). A altura do máximo da cobertura
nublosa (Figura 6.14c) mostra que o esquema de nuvens tem também, um bom
desempenho no diagnóstico desta propriedade do campo de cumulus representados. Por
outro lado, a altura do topo das nuvens parece ser subavaliada (Figura 6.14d), o que poderá
resultar de o perfil de mistura lateral utilizado ser muito simplificado.
A série temporal do conteúdo de água líquida integrado na vertical (LWP – Liquid
Water Path) apresentado na Figura 6.15a revela que o esquema EDMF reproduz bastante
bem a evolução desta propriedade, subestimando ligeiramente a sua magnitude. A Figura
6.15b ilustra a semelhança entre as séries temporais do fluxo-de-massa na base das nuvens
do esquema EDMF e do fluxo diagnosticado no LES por Neggers et al. (2003): tanto o
valor máximo como o colapso do fluxo-de-massa da base das nuvens são bastante
semelhantes. Estes resultados conferem ao fecho do fluxo-de-massa proposto (M c = ac M )
algumas possibilidades de ser implementado noutros esquemas de fluxo-de-massa, com o
100
intuito de se obter uma melhor representação do acoplamento entre a camada subnublosa e
a camada nublosa.
40
20
10
0
12
0.10
0.08
-1
30
(b)
LES
EDMF
M (ms )
-2
LWP (gm )
(a)
LES
EDMF
Fluxo-de-massa
na base nuvens
0.06
0.04
0.02
14
16
18
20
tempo (h)
22
24
0.00
12
14
16
18
20
tempo (h)
22
24
Figura 6.15 — Séries temporais do conteúdo de água líquida integrado verticalmente (LWP –
Liquid Water Path) e do fluxo-de-massa da base das nuvens. Resultados do novo esquema EDMF e
do modelo LES (Neggers et al., 2003).
Os perfis verticais da temperatura potencial e da humidade específica total são
mostrados na Figura 6.16. A evolução da temperatura potencial da camada subnublosa é
muito próxima dos resultados de LES. No entanto, tal como no caso sem nuvens, os perfis
da humidade revelam algumas diferenças, devido à falta de transporte vertical no interior
da camada nublosa. Os perfis da cobertura nublosa e da água líquida (Figura 6.17)
apresentam uma ordem de grandeza razoável, mas com extensão vertical insuficiente. A
temperatura potencial e a humidade específica na camada de nuvens sofrem do mesmo
problema – a camada condicionalmente instável não tem a extensão vertical esperada – e
apresentam alguma irregularidade.
Uma explicação clara dos problemas anteriormente mencionados é difícil de
avançar, visto que dois esquemas desempenham um papel importante: (i) o esquema
EDMF de turbulência/convecção e (ii) o esquema de condensação de subescala. As
dificuldades encontradas sugerem a necessidade de testar formulações mais complexas
para a mistura lateral. Por outro lado, os perfis da camada subnublosa parecem pouco
afectados por aqueles problemas, o que é consistente com a ideia de que a turbulência nesta
camada é muito pouco afectada pela presença de cumulus em níveis superiores. Pelo
contrário, o razoável desempenho do fecho de fluxo-de-massa na base das nuvens, mostra
a forte ligação entre a dinâmica das nuvens e as propriedades da camada subnublosa.
Subtraindo a altura da base das nuvens da do topo (Figura 6.14b e d), obtém-se a
espessura das nuvens. Num caso de estudo com CuPP, Brown et al. (2002) tentaram
compreender a razão para que a espessura da camada de nuvens cresça tão lentamente,
atribuindo-a à fraca instabilidade condicional desta camada. Este efeito é ainda mais
visível nos resultados do esquema EDMF, em que este crescimento é ainda mais lento.
Este assunto será aprofundado num trabalho futuro.
101
(b) 3
Ini
EDMF 14:30
17:30
20:30
LES 14:30
17:30
20:30
2
2
altura (km)
altura (km)
(a) 3
1
1
0
Ini
EDMF 14:30
17:30
20:30
LES 14:30
17:30
20:30
0
302
304
306
308
θ (K)
310
312
314
2
4
6
8
10
12
qt (g/kg)
14
16
18
Figura 6.16 — Perfis verticais da temperatura potencial e humidade específica total para as 14,
16, 18, 20 e 22 UTC. Médias horárias dos resultados do novo esquema EDMF e do LES.
EDMF 14:30
17:30
20:30
LES 14:30
17:30
20:30
altura (km)
2
EDMF 14:30
17:30
20:30
LES 14:30
17:30
20:30
2
1
1
0
0.0
altura (km)
(b) 3
(a) 3
0.2
0.4
0.6
Cobertura nublosa
0.8
1.0
0
0.00
0.02
0.04
0.06
ql (g/kg)
0.08
0.10
Figura 6.17 — Perfis verticais da cobertura nublosa e do conteúdo de água líquida para as 14, 16,
18, 20 e 22 UTC. Médias horárias dos resultados do novo esquema EDMF e do LES.
6.5 Conclusões
Nesta capítulo mostrou-se que uma combinação simples das aproximações de
difusão turbulenta e de fluxo-de-massa pode descrever correctamente o transporte
turbulento na CL convectiva, com e sem nuvens. A grande vantagem desta aproximação é
a unificação da CL sem nuvens e da CL com cumulus pouco profundos, uma vez que
permite representar o efeito da condensação nas correntes ascendentes. Desta forma, não
existe a necessidade de activar um esquema de convecção autónomo, até ao momento em
que se diagnostique o aparecimento de convecção profunda. O modelo de ascendente está
102
sempre activo e decide se a térmica se transforma numa corrente ascendente de uma
nuvem. Esta aproximação tem a vantagem conceptual de que toda a CLC é descrita por um
único esquema de turbulência, que possui advecção não-local e difusão local em ambas as
camadas, nublosa e subnublosa.
A modificação do esquema EDMF para a CLC com nuvens consistiu em formular
directamente o coeficiente de fluxo de massa em função da velocidade vertical das
ascendentes. Os resultados desta aproximação na CLC seca são comparáveis aos da
formulação EDMF-TKE apresentada no capítulo 5, verificando-se uma ligeira melhoria na
representação da mistura-de-topo. A análise do desempenho do esquema EDMF no ciclo
diurno de CuPP revela também resultados promissores. Os tempos de início e de
dissipação, e a cobertura nublosa dos cumulus são propriedades bem representadas. O
mesmo se aplica às propriedades integradas na vertical, nomeadamente, a água líquida.
Subsistem, porém, alguns problemas por resolver nas propriedades da camada nublosa, que
exigirão no futuro mais atenção.
Importa realçar que este modelo corresponde a uma simples parcela em ascensão
com mistura lateral, que apresenta um sucesso assinalável na descrição da CLC. O fecho
de fluxo-de-massa na base das nuvens permite uma ligação directa entre os estados
convectivos da camada subnublosa e da camada de nuvens. Esta parece ser a mais simples
aproximação à ideia de que os cumulus são a parte visível das térmicas que atravessam a
camada seca e estável.
O esquema EDMF representa um passo na direcção da unificação dos fechos de
turbulência e de convecção. Pelo menos na CLC, esta aproximação parece desempenhar o
papel normalmente representado por dois esquemas distintos de turbulência e de
convecção. Simultaneamente, pela sua simplicidade, tem a vantagem de permitir uma
melhor compreensão dos mecanismos físicos envolvidos e da sua importância relativa.
103
Conclusões
7 Conclusões
A mistura turbulenta, de calor, humidade e momento linear, desempenha um papel
fundamental na determinação da estrutura vertical da atmosfera. O transporte turbulento na
camada limite convectiva é desempenhado por turbilhões de dimensões variadas, desde
alguns milímetros até às térmicas da dimensão da própria camada limite. Quando ocorre
condensação, estas térmicas dão origem a cumulus. A representação da convecção seca e
em cumulus é amplamente reconhecida como um aspecto fundamental do desenvolvimento
dos modelos, devido ao seu potencial impacto na previsão do tempo a curto prazo (Beljaars
e Viterbo, 1998) e também nas previsões de clima a longo prazo (e.g. Tiedtke, 1987).
Este trabalho teve como objectivo o desenvolvimento de uma parametrização para
a camada limite convectiva seca e com cumulus. Esta parametrização pretende unificar a
representação do transporte turbulento através da combinação das aproximações de difusão
turbulenta e de fluxo-de-massa (EDMF – Eddy-Diffusivity/Mass-Flux). No âmbito desta
ideia, desenvolveram-se três parametrizações, com a finalidade de se adequarem à sua
implementação em modelos de circulação global e de área limitada. Na aproximação
proposta representa-se a mistura associada aos pequenos turbilhões através de uma
contribuição difusiva, enquanto que o transporte não-local realizado pelas térmicas é
descrito pelo termo de fluxo-de-massa, que depende de um modelo de ascendente. Uma
importante vantagem desta aproximação é o facto de esta poder ser naturalmente estendida
para representar a camada limite com nuvens, permitindo que a ascendente condense, sem
necessidade de alternar entre o esquema de turbulência e um outro esquema de convecção.
A primeira parametrização desenvolvida (EDMF-EMP) assenta numa formulação
simplificada, em que algumas experiências de LES e expressões empíricas bem conhecidas
são utilizadas para a sua construção e suporte. Esta parametrização mostrou que uma
simples combinação das aproximações de difusão-K e fluxo-de-massa consegue descrever
bem o transporte vertical turbulento, de que resulta uma boa descrição das propriedades
termodinâmicas médias da camada limite convectiva seca.
Os resultados da parametrização EDMF-EMP foram comparados com o esquema
de difusão-K de Troen e Mahrt (1986), e com esta última adicionada de um termo de
contra-gradiente (Holtslag et al., 1995). Esta comparação mostra que o novo esquema
apresenta uma melhoria substancial em todas as propriedades. Os resultados não sofrem
dos efeitos adversos de outras teorias mistas, como os associados à introdução do termo de
contra-gradiente na aproximação de difusão-K. De facto, nos fechos com termo de contragradiente a mistura-de-topo é inibida, enquanto que no esquema EDMF-EMP este processo
é bem representado. A introdução do termo de fluxo-de-massa é crucial para estes
resultados, visto representar o efeito da penetração das correntes ascendentes na atmosfera
livre, o que contribui decisivamente para uma boa descrição da mistura-de-topo.
Adicionalmente, o termo de fluxo-de-massa é responsável pelo fluxo de contra-gradiente,
produzindo uma camada limite ligeiramente estável na metade superior da CLC,
solucionando o problema inerente à aproximação de difusão-K, em que os perfis verticais
de temperatura potencial são sempre instáveis. Estes dois factos são resultado do carácter
104
Conclusões
não-local do termo de fluxo-de-massa. A parametrização EDMF-EMP é
computacionalmente pouco dispendiosa, e foi implementada no modelo do ECMWF
mostrando resultados promissores em simulações 3D.
De forma a desenvolver um esquema mais robusto e destinado preferencialmente a
modelos de escala regional, que utilizam um fecho turbulento de ordem 1.5, desenvolveuse uma segunda parametrização. Esta aproximação baseia a sua formulação na equação de
prognóstico da TKE, o que lhe garante um constrangimento físico mais sólido. O esquema
EDMF-TKE foi implementado no modelo MesoNH, mostrando igualmente bons
resultados. Quando comparados com os resultados produzidos pelo esquema de Bougeault
e Lacarrère (1989), as melhorias nos perfis médios são significativas e devidas à
introdução do termo de fluxo-de-massa. Esta contribuição depende do diagnóstico da
variância da velocidade vertical, descrevendo correctamente o fluxo turbulento de calor de
contra-gradiente na parte superior da CL e melhorando a descrição do efeito de mistura-detopo.
O projecto EUROCS promoveu uma intercomparação entre modelos 1D, com o
objectivo de determinar o estado da arte da representação do ciclo diurno de uma CLC com
cumulus pouco profundos (L2004). Considerou-se como caso de estudo o caso ARM
(Brown et al., 2002), revelando esta intercomparação a grande dificuldade que constitui
representar em modelos atmosféricos este tipo de CLC. A versão 1D standard do MesoNH
foi um dos modelos participantes, denotando diversas deficiências, partilhadas pelos outros
modelos. Tal como a maioria dos outros modelos, o MesoNH produz valores de cobertura
nublosa demasiado elevados, mas, ao contrário da generalidade dos outros modelos,
subestima fortemente o conteúdo de água líquida das nuvens. Em geral, os modelos usam,
uma parametrização alternativa para o transporte vertical na camada de nuvens: um
esquema de fluxo-de-massa, enquanto que a camada abaixo das nuvens continua a ser
parametrizada por difusão-K. Esta descontinuidade contribui, em muitos modelos, para os
fracos resultados obtidos na CL com cumulus (Lenderink et al., 2004).
A representação de cumulus pouco profundos surge na aproximação EDMF como
uma extensão natural do esquema, permitindo que a parcela de ar ascendente condense. A
modificação do esquema EDMF para a CLC com nuvens consistiu em formular
directamente o coeficiente de fluxo de massa em função da velocidade vertical das
ascendentes. Desta forma, o fecho de fluxo-de-massa na base das nuvens permite uma
ligação directa entre os estados convectivos da camada subnublosa e da camada de nuvens,
convergindo para a ideia de que os cumulus são a parte visível das térmicas que atravessam
a camada seca e estável. Os resultados desta aproximação na camada limite convectiva
seca são comparáveis aos das formulações EDMF-EMP e EDMF-TKE, verificando-se uma
ligeira melhoria na representação da mistura-de-topo. O desempenho do esquema EDMF
no caso ARM revela também bons resultados, bastante melhores que a grande maioria dos
modelos participantes na intercomparação de modelos. Os tempos de início e de
dissipação, e a cobertura nublosa dos cumulus são propriedades bem descritas, assim como
as propriedades integradas na vertical, nomeadamente, a água líquida. No entanto, os perfis
médios da camada nublosa denotam algumas insuficiências na formulação da camada de
nuvens, provavelmente associadas à mistura lateral considerada.
105
Conclusões
As principais conclusões desta tese são:
•
A parametrização EDMF, nas suas diferentes formulações, apresenta uma
melhoria em relação aos fechos geralmente utilizados na camada limite
convectiva;
•
A utilização da energia cinética turbulenta tem um impacto positivo no
esquema de parametrização, permitindo a formulação de um modelo de
ascendente que é independente da grelha vertical do modelo atmosférico;
•
A parametrização EDMF unifica a representação das camadas nublosa e
subnublosa, com melhoria da descrição do campo das nuvens.
A parametrização EDMF representa, um passo na direcção da unificação dos
fechos de turbulência e de convecção. Num futuro próximo, esta aproximação vai ser
estendida para representar os processos de convecção profunda e nuvens do tipo
stratocumulus, de modo a unificar o tratamento da convecção pouco profunda e profunda.
Nessa extensão, esperam-se diversas dificuldades, nomeadamente, as associadas aos
processos radiativos e da precipitação.
106
Referências
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114
Apêndice A — Descrição do modelo MesoNH
9 Apêndice A — Descrição do modelo MesoNH
9.1 Introdução
O modelo numérico MesoNH (Lafore et al., 1998) é um modelo de investigação
desenhado para simular desde o modo LES até ao modo de mesoscala ou regional (Cuxart
et al., 2000). É um modelo não-hidrostático que usa um sistema de equações anelástico. O
sistema de coordenadas horizontais é definido por projecção conforme, que permite a
rotação em relação à sua base natural, definida pela latitude, longitude e altura. As
coordenadas verticais que seguem o terreno são do tipo sigma, de acordo com Gal-Chen e
Sommerville (1975). A grelha é do tipo Arakawa-C, a integração temporal é do tipo
leapfrog utilizando o método semi-implícito de Crank e Nicolson (1947).
O modo 1D não é um modelo unidimensional puro, mas corresponde a um domínio
horizontal de 3x3 pontos de grelha. O modelo de superfície, ISBA, (Interaction between
Soil Biosphere and Atmosphere) foi desenvolvido por Noilhan e Planton (1989).
As variáveis do modelo são as três componentes do vento, u , v, w , a TKE e, a
temperatura potencial θ e a razão de mistura do vapor rv .
Este modelo está detalhadamente descrito no manual, The MesoNH Atmospheric
Simulation System: Scientific Documentation (Bougeault et al., 2000), apresentado-se neste
apêndice, unicamente, os aspectos relevantes do modelo no contexto da presente tese.
9.2 Esquema de turbulência e equação da TKE
O esquema de turbulência do modelo MesoNH é constituído essencialmente pela
parametrização dos fluxos turbulentos 3D desenvolvida por Redelperger e Sommeria
(1981). As equações do momento de segunda ordem são separadas numa contribuição
isotrópica e outra anisotrópica (Lilly, 1967; Deardorff, 1973), considerando as equações
relativas a esta última como estacionárias, o que permite diagnosticar os fluxos. A
contribuição isotrópica reverte para a equação de prognóstico de TKE. Nesta aproximação
os efeitos, de Coriolis, da curvatura da Terra e os momentos de terceira ordem nas
equações anisotrópicas são desprezados (Cuxart, 1997). Esta parametrização é de ordem
1.5, em que os momentos de segunda ordem são dados por:
1
2 l 2 ∂θ
u i 'θ ' =
e
φi ,
3 Cs
∂xi
u i ' rv ' = −
2 l
3 Ch
1
e2
(9.1)
∂rv
ψi ,
∂xi
115
1
2
4 l 2  ∂u i ∂u i 2 ∂u m 
u i ' u j ' = δ ij e −
e
+
− δ ij
,
∂x m 
3
15 C m  ∂x j ∂x j 3
 ∂θ ∂rv
θ ' rv ' = C 2 l 2 
 ∂x m ∂x m

(φ m + ψ m ),

 ∂θ ∂θ
θ ' 2 = C1l 2 
 ∂x m ∂x m

φ m ,

 ∂r ∂rv
rv ' 2 = C1l 2  v
 ∂x m ∂x m

ψ m .

onde l é o comprimento de mistura, C s = C h = C m = 4. , C1 =
2 1
2 1
, C2 =
,
3 C s Cθ
3 C s C qθ
Cθ = 1.2 e C qθ = 2.4 . As funções de estabilidade φi e ψ i reflectem a influência da
estabilidade no transporte turbulento; estão descritas em Redelsperger e Sommeria (1981)
e são funções dos números de Redelsperger (ou Richardson). Em concordância, as
difusividades turbulentas do calor e humidade são:
1
2 l 2
Kh =
e φi ,
3 Ch
Kq =
2 l
3 Cs
1
e 2ψ
i
(9.2)
.
No modo 1D os gradientes horizontais não são tidos em conta. A equação de
prognóstico da energia cinética turbulenta (TKE) é expressa por
3
1
∂u i
∂e
g
∂e 
e2
1 ∂
1 ∂ 
=−
ρ ref w e − u i ' w'
+
w′θ v′ −
C 2 m ρ ref l e 2
− Cε
∂t
ρ ref ∂z
∂z θ v ref
ρ ref ∂z 
∂z 
lε
(
)
(9.3)
C 2 m = 0.2 e Cε = 0.7 . A formulação do comprimento de mistura no modo regional
assenta em Bougeault e Lacarrère (1989) (BL89). BL89 postula que o comprimento de
mistura se relaciona com a distância que uma parcela de ar com a TKE do nível inicial,
pode percorrer para cima lup e para baixo (l down ) , antes de ser parada pela flutuação.
Estas distâncias são definidas por:
( )
∫
z +lup
z
g
θ v ref
(θ v ( z ' ) − θ v ( z ))dz ' = e( z ) ,
(9.4)
116
∫
z
g
z −ldown θ v ref
(θ v ( z ) − θ v ( z ' ))dz ' = e( z ) .
(9.5)
em que l down ≤ z . O comprimento de mistura l escreve-se
(
l = lup .l down
)2 .
1
(9.6)
As variáveis conservadas são calculadas no esquema de turbulência, através das
variáveis de prognóstico do modelo, e são a razão de mistura total, rt ,
rt = rv + rc ,
(9.7)
e a temperatura potencial de água líquida,
θl = θ −
Lv
−1
Π ref rc .
C ph
(9.8)
Em ambas aparecem as razões de mistura do vapor e de água das nuvens,
respectivamente, rv e rc . Estas variáveis conservam-se para processos adiabáticos com
evaporação/condensação. c ph é o calor específico a pressão constante para o ar húmido,
c ph = c pd + rv c pv , e Π ref é a função de exner do estado de referência, Π ref
−1
= (θ T )ref .
Sempre que a opção de condensação seja activada, calculam-se os fluxos
turbulentos das propriedades conservadas, substituindo θ por θ l e rv por rt em (9.1), que
para uma coluna vertical dá origem a:
1
2 l 2 ∂θ l
w'θ l ' = −
e
φi ,
∂z
3 Cs
1
w' rt ' = −
2 l 2 ∂rt
e
ψi ,
3 Ch
∂z
2


 φm ,
θ l 'θ l ' = C1l 

∂
z


2  ∂θ l
(9.9)
2


 ψm ,
rt ' rt ' = C1l 

∂
z


2  ∂ rt
 ∂θ ∂ r 
θ l ' rt ' = C 2 l 2  l t (φ m + ψ m ),
 ∂z ∂z 
donde se extraem posteriormente os fluxos das variáveis não conservadas.
117
No modelo existe ainda outro fecho o sistema de equações que permite determinar
l. Esta aproximação é conhecida por k − ε , onde k se refere a TKE, ε à sua dissipação, e
se recorre a uma equação de prognóstico para a dissipação (Hanjalic e Launder, 1972).
9.3 Esquema de convecção
O esquema de convecção corresponde ao desenvolvimento realizado por Bechtold
et al. (2001) da parametrização proposta por Kain e Fritsch (1990,1993). O esquema
destina-se a representar a convecção pouco profunda e profunda, e tem sido
permanentemente melhorado (e.g. Chaboureau e Bechtold, 2002).
A aproximação de fluxo-de-massa expressa o efeito de um conjunto de nuvens no
seu ambiente de acordo com (e.g. Arakawa e Schubert, 1974; Gregory e Miller, 1989;
Betts, 1997)
∂φ
∂t
=−
conv
(
)
[
]
1 ∂
1 ∂
ρ w'φ ' ≈ −
M u (φu − φ ) + M d (φ d − φ ) + M e (φe − φ )
ρ ∂z
ρ A ∂z
[
]
1 ∂
M uφu + M d φ d − (M u + M d )φ ,
≈−
ρ A ∂z
(9.10)
onde φ é uma variável conservada, M = ρ wA é o fluxo-de-massa (kg s-1), w é a
velocidade vertical e A = Au + Ad + Ae , corresponde à área do domínio horizontal. u, d, e
e, referem-se, respectivamente a propriedades das ascendentes, descendentes e ambiente
circundante. A mistura lateral das ascendentes e das descendentes obedece a
∂
(M u φ u ) = ε u φ − δ u φ u ,
∂z
∂
(M d φ d ) = ε d φ − δ d φ d ,
∂z
(9.11)
o que permite escrever
∂φ
∂t
≈
conv
[
]
1 ∂
(M u + M d )φ − (ε u + ε d )φ + δ uφu + δ d φd  .

ρ A  ∂z

(9.12)
As propriedades do conjunto das ascendentes e das descendentes são determinadas
recorrendo a um modelo de nuvens 1D, que as considera como plumas em estado
estacionário. O tipo de convecção é caracterizada por funções de trigger diferentes.
A função de trigger para a convecção segue um procedimento que se inicia por:
partindo do nível do solo considera-se uma camada de 60 hPa da qual se calcula a
temperatura potencial média, θ mix , e a razão de mistura média, rv mix . Esta “camada
parcela” é elevada sem mistura lateral até ao LCL. Calcula-se a esse nível a temperatura
recorrendo ao algoritmo de Davies e Jones (1983) e a pressão
[
]C
p (LCL ) = p 00 T (LCL ) θ mix pd
convecção húmida no LCL se
Rd
. Esta parcela é considerada instável relativamente à
118
θ mix − θ v + ∆T π > 0 ,
(9.13)
onde π é a função de Exner. Para convecção profunda ∆T é função do movimento
vertical médio do ponto de grelha, ∆T = ± c w w
13
, com c w = 6 Km −1 3s1 3 . O sinal de ∆T
é igual ao de w . Como a velocidade vertical de larga escala varia quase linearmente com a
resolução horizontal, normaliza-se a velocidade de acordo com w A ∆x ref , onde
∆x ref = 25 km é a resolução de referência. De outra forma, para a convecção pouco
profunda adiciona-se um excesso ∆T = 0.2 K à temperatura da parcela no LCL.
Posteriormente, realiza-se um teste para averiguar se a nuvem atinge uma determinada
extensão, 3 km para a convecção profunda e 500 m para a pouco profunda, elevando a
parcela, conservando a temperatura potencial equivalente θ e θ mix , rv mix e procurando a
(
)
intersecção com a curva de saturação do ambiente θ e s (T ) (e.g. Raymond, 1995). Se a
parcela for estável relativamente à convecção húmida, ou se a sua extensão não atingir os
limiares anteriores, repete-se o procedimento anterior para a camada de 60 hPa
sobrejacente, e por aí adiante.
Nesta tese de doutoramento trata-se unicamente a convecção pouco profunda, deste
modo, far-se-á unicamente a descrição da parte do esquema, a esse tipo de convecção
associada. Assume-se a ausência de precipitação e de descendentes. Sempre que daqui para
diante se fale em convecção, estar-se-á a falar de convecção pouco profunda.
Satisfeitas as condições referidas inicia-se a ascendente que caracteriza o conjunto
de ascendentes das nuvens pouco profundas. A entalpia hil e a razão de mistura total rw
são as propriedades conservadas adoptadas,
hil = C pmT − Lv rc − Ls ri + (1 + rw )gz ,
(9.14)
rw = rv + rc + ri .
Iniciando a ascendente no LCL como:
(
)
hil u = C pmT (LCL ) + 1 + rv mix gz (LCL ) ,
rw u = rv mix .
(9.15)
O fluxo-de-massa inicial da ascendente é dado por
M u (LCL ) = ρ wLCLπR0 2 ,
(9.16)
em que a velocidade vertical é 1 ms-1 e o raio da ascendente R0 = 50m . Considerando a
ascendente discretizada na malha vertical, em que k indica o nível vertical, m indica
valores médios na camada entre dois níveis k, e sem qualquer índice se trata de uma
propriedade em k, escreve-se portanto, ∆φ = φ k +1 − φ k . À medida que a parcela ascende
troca massa com o ambiente vizinho, alterando o fluxo-de-massa e as propriedades:
119
∆M u = ε um − δ u m ,
(
)
∆ M u hil u = ε u m hil − δ u m hil u + M uk +1 (Lv ∆rr + Ls ∆rs ),
(
(9.17)
)
∆ M u rw u = ε u m rw − δ u m rw u + M uk +1 (∆rr + ∆rs ) ,
onde ∆r e ∆rs correspondem a precipitação líquida e sólida, e são considerados nulos para
convecção pouco profunda. A razão de mistura do condensado rc u é deduzido de hil u e
rw u usando um ajustamento de saturação (Tao et al., 1989).
A velocidade vertical é dada por:
( )
∆ wu 2 =
2g
1+ γ
 θvu m − θvm


θv m


∆z − 2 ε u wu 2 ,

Mu

(9.18)
onde γ = 0.5 expressa o efeito das perturbações da pressão (Kuo e Raymond, 1980). A
velocidade vertical permite calcular a altura do topo das nuvens, que se define como o
nível onde wu 2 se torna negativo. Finalmente, o fluxo-de-massa é ajustado para diminuir
linearmente com a altura entre o nível de equilíbrio da temperatura e o nível do topo das
nuvens.
A mistura lateral está de acordo com Kain e Fritsch (1990):
ε u = ∆M t f ε ,
δ u = ∆M t f δ ,
(9.19)
∆M t = M u cent ∆z R0 ,
em que fε e fδ são taxas de mistura lateral definidas pelos autores anteriores, e ∆M t
corresponde à taxa total a que massa entra na transição entre o ar da nuvem e o exterior
(cent = 0.2) .
O fecho deste esquema de modo a controlar a intensidade da convecção segue o
trabalho de Fritsch e Chappell (1980), que considera que toda a CAPE (Convective
Available Potential Energy) num elemento da malha é removido num tempo de
ajustamento τ . Em concordância com o esquema de Betts-Miller (Betts e Miller, 1993)
τ = 3 h para a convecção pouco profunda.
As propriedades resultantes da actividade convectiva são calculadas iterativamente
[ (
) (
)
]
τ 
~
φ n +1 = φ n +   − ∆ M nφ n − ε u n + ε d n φ n + δ u nφu + δ d nφ d ,
 mt 
~
~A ,
M = ρw
(9.20)
120
~
~ =  ∂w dz ,
w
 ∂z 
∫
~  ε +ε −δ −δ
 ∂w
d
u
d
,
 = u
mt
 ∂z 
~
onde n é o número da iteração, mt é a massa total da camada, e M é o fluxo-de-massa do
ambiente de compensação. Determina-se θ e e um novo valor de CAPE fazendo uso de
uma parcela a ascender sem mistura lateral
 θ n+1 (DPL ) 
=
g e
− 1dz ,
 θ n+1

es

LCLn +1 
ETL
CAPE
n +1
∫
(9.21)
em que LCLn+1 é obtido de θ v n +1 (DPL ) pelo mesmo método do triggering. Em todos os
níveis do modelo os fluxos-de-massa e os fluxos de mistura lateral são calculados pelo
factor de ajustamento, dado por
n +1
n
Fadj = Fadj
CAPE 0
,
CAPE 0 − CAPE n+1
(9.22)
em que CAPE 0 é o valor inicial de CAPE . Os passos (9.20) a (9.22), são repetidos até que
CAPE n+1 < 0.1CAPE 0 . Finalmente, a tendência convectiva é estimada por
∂φ
∂t
(
)
= φ n −φ 0 τ .
(9.23)
conv
9.4 Esquema de condensação de subescala
Sommeria e Deardorff (1977) mostrou que o valor médio de rc pode ser
diagnosticado mediante o conhecimento dos valores na grelha das variáveis conservadas,
θ l e rt , e das respectivas variâncias, em que as variâncias são calculadas de acordo com as
equações (9.9) do esquema de turbulência.
Sempre que exista uma nuvem a razão de mistura é igual à razão de mistura de
saturação rvs (θ , p ) , que em função de θl pode ser expressa através de uma expansão de
Taylor de primeira ordem
 ∂r 
rv = rvs (θ , p ) ≈ rvs (θ l ) +  vs  (θ − θ l ) ,
 ∂θ θl
(9.24)
121
onde se despreza a variação de rvs
com a pressão, o que é suportado por
∂rvs
∂r
∆θ >> vs ∆p . Se se considerar
∂θ
∂p
 ∂r 
J =  vs  ,
 ∂θ θl
(9.25)
a equação de Clausius-Clapeyron permite obter
rvs (Tl )Lv
.
RvTlθ l
J=
(9.26)
De (9.7), (9.24) e (9.25) pode-se escrever
rc = rt − rv = rt − rvs (θ l ) − J (θ − θ l ).
(9.27)
Tendo em conta
M =J
Lv
−1
Π ref ,
c ph
(9.28)
e (9.8) obtém-se
rt − rvs (θ l )
.
(1 + M )
rc =
(9.29)
Porém, no caso subsaturado, rc = 0 , o que justifica a expressão geral
 r − r (θ ) 
rc = Max t vs l  .
 (1 + M ) 
(9.30)
A razão de mistura média de água da nuvem em cada ponto da malha será obtida
pela média de (9.30), que se denota por
s=
rt − rvs (θ l )
.
2(1 + M )
(9.31)
s pode ser interpretado como uma quantidade turbulenta que controla a saturação dentro do
domínio a que corresponde cada ponto da grelha do modelo. Se ocorrer saturação, s ≥ 0 .
Definindo s = s + s ' , o mesmo será dizer que ocorre saturação sempre que s ' ≥ − s .
s' =
rt '− Jθ l '
,
2(1 + M )
(9.32)
o que permite calcular o desvio padrão de s, σ s ,
122
σs =
(r '
t
2
)
1
2
+ J θ l ' − 2 J rt 'θ l '
.
2(1 + M )
2
2
(9.33)
Para calcular a média estatística de rc nos pontos de grelha, importa introduzir a
variável normalizada centrada
t=
s'
,
σs
(9.34)
e a sua distribuição de probabilidade G (t ) dt . Sendo a condição de saturação,
t≥−
s
.
σs
(9.35)
Definindo
( )
(9.36)
N = G (t ) dt ,
(9.37)
rt − rvs θ l
,
2(1 + M )σ s
Q1 =
a fracção nublosa é dada por,
∫
+∞
−Q1
e o valor médio do conteúdo de água líquida:
rc
=
2σ s
+∞
∫ (Q + t )G(t ) dt .
−Q1
1
(9.38)
A presença de água líquida tem impacto na temperatura potencial virtual. O fluxo
de água da nuvem w' rc ' modifica também o fluxo de flutuação, w'θ v ' , que aparece na
equação da TKE e os fluxos de das propriedades não conservadas. Deste modo, existe a
necessidade de calcular os fluxos u i ' rc ' . De acordo com Bougeault (1981a,b,1982),
s ' rc '
2σ s 2
∫
+∞
= t (Q1 + t ) G (t ) dt ,
−Q1
(9.39)
que recorrendo ao coeficiente empírico λi permite obter:
u i ' rc '
ui ' s'
= λi
s ' rc '
σ s2
,
(9.40)
e calcular os fluxos das variáveis de prognóstico recorrendo a (9.7) e (9.8):
123
u i 'θ ' = u i ' θ l ' +
Lv
−1
π ref u i ' rc ' ,
C ph
(9.41)
u i ' rv ' = u i ' rt ' − u i ' rc ' .
O fecho desta aproximação depende dos parâmetros G e λi , que na versão actual do
modelo segue o trabalho de Bougeault (1981a,b,1982) e de Cuijpers e Bechtold (1994). O
fluxo da razão de mistura da água das nuvens exprime-se por:
u i ' rc ' = Amoist ui ' rt ' + Aθ u i 'θ l ',
(9.42)
onde
Amoist =
λi F2 (Q1 , As )
,
1+ M
λ F (Q , A )
Aθ = − J i 2 1 s ,
1+ M
(9.43)
as expressões de Fi e As podem ser consultadas em Bougeault (1982).
Por último, o fluxo de flutuação é dado por:
u i 'θ v ' = Au i 'θ l ' + Bui ' rt ' + C ui ' rc ',
(9.44)
em que as expressões de A, B e C são desenvolvidas na documentação do modelo.
124
Apêndice B — Descrição do modelo de Large Eddy Simulation
10 Apêndice B — Descrição do modelo de Large Eddy
Simulation
10.1 Introdução
O modelo LES é um modelo 3D de alta resolução em que a turbulência é resolvida
explicitamente até a um determinado limite. A turbulência associada a escalas inferiores à
resolução tem que ser parametrizada.
O modelo de Large Eddy Simulation (LES) utilizado nas experiências descritas
nesta tese foi desenvolvido na Holanda por investigadores do KNMI e do IMAU (Institute
for Marine and Atmospheric Research at Utrecht University). Nos últimos tempos muitos
trabalhos têm sido desenvolvidos com este modelo, em que a sua validação e
caracterização são apresentadas exaustivamente, dos quais se podem destacar: Cuijpers e
Duynkerke (1993), Siebesma e Cuijpers (1995), Siebesma and Holtslag (1996), van Zanten
(2000), Brown et al. (2002) e Siebema et al. (2004). Este LES baseia-se nas equações da
dinâmica e da termodinâmica em função das variáveis médias resultantes da decomposição
de Reynolds, em que os efeitos de subescala são parametrizados. As equações do modelo
são escritas para um sistema de referência em rotação, são invíscidas, e obedecem às
aproximações de incompressibilidade e de Boussinesq. Assume-se que a pressão média
horizontal está em equilíbrio hidrostático, e as perturbações da pressão são calculadas
através de uma equação de Poisson.
As variáveis do modelo são as três componentes do vento, u , v, w , e as
propriedades termodinâmicas conservadas para processos adiabáticos e de
condensação/evaporação: a temperatura potencial de água líquida, θ l , e a humidade
específica total, qt .
A parametrização da turbulência de subescala é realizada por um esquema de
ordem 1.5, baseado na energia cinética turbulenta (Deardorff, 1980), para a qual se
necessita de uma equação de prognóstico adicional para a TKE de subescala.
O esquema de condensação é uma aproximação de “tudo-ou-nada” similar ao
descrito na secção 3.5. O forçamento radiativo é directamente dependente do integral
vertical de água líquida.
Não existe nem orografia nem um modelo de superfície. Os fluxos de superfície, o
fluxo de temperatura potencial de água líquida e o fluxo de água total, são prescritos. A
teoria da semelhança de Monin-Obukhov permite então determinar a temperatura e a
humidade específica à superfície, fazendo uso das expressões dos fluxos de gradientes. Os
fluxos de momento são determinados com base na prescrição da velocidade de atrito, u∗ .
A grelha é do tipo staggered, e a integração segue o método de leapfrog com um
filtro de Asselin. Os termos de difusão são resolvidos com um esquema espacial centrado e
com um esquema de Euler para a integração no tempo. Nos últimos níveis do modelo
125
evitam-se as reflexões de propriedades através do uso de uma esponja. As condições
fronteira laterais são periódicas.
10.2 Equações fundamentais
O modelo LES integra no tempo as equações de conservação do momento linear
(equações de Navier-Stokes), de conservação da massa (equação da continuidade), da
termodinâmica e de conservação da humidade específica total. As equações de
conservação do momento são:
∂τ ij
∂u i ∂u j ui
g
1 ∂p
+
=−
+ δ i3
θ v − 2ε ijk Ω j u k −
,
∂x j
∂t
∂x j
ρ ref ∂xi
θ v ref
(10.1)
onde τ ij é o tensor das tensões de subescala. A equação incompressível da continuidade é,
∂u i
= 0,
∂xi
(10.2)
a equação da termodinâmica escreve-se,
∂ u 'θ '
∂θ l ∂u iθ l
1 ∂F
=− i l −
,
+
∂xi
∂xi
∂t
ρ 0 c p ∂z
(10.3)
onde F representa o fluxo radiativo. Finalmente, a equação de conservação da humidade
especifica total é:
∂u ' q '
∂qt ∂u i qt
=− i t .
+
∂xi
∂xi
∂t
(10.4)
10.3 O modelo de superfície
Os fluxos de superfície w'θ l ' s e w' qt ' s são prescritos e constituem o forçamento
termodinâmico inferior da CL. Na CLS os gradientes de u , v , θ l , qt são calculados de
acordo com a teoria da similaridade de Monin-Obukhov, em particular, a partir dos perfis
dados pelas relações de Dyer (1974):
kz ∂u 
z
= 1 − 16
φm =
u∗ ∂z 
LMO



−1 4
,
(10.5)
126
kz ∂θ l 
z
φθ =
= 1 − 16
θ l ∗ ∂z 
LMO
φq =
kz ∂qt 
z
= 1 − 16
qt ∗ ∂z 
LMO



−1 2



−1 2
,
(10.6)
.
Estas relações são válidas para uma CL instável, ou seja, LMO < 0 . Para uma CL estável
(LMO > 0 ) as expressões de φh e φm são:
z
φ m = φθ = φ q = 1 + 5 .
L
(10.7)
As propriedades da superfície, θ l s , qt s são também calculadas utilizando as relações
anteriores na sua forma integral. Estas relações não são apropriadas quando u∗ = 0 , i.e. no
regime de convecção livre. Neste caso, os gradientes verticais termodinâmicos são dados
por (Prandtl, 1932; Priestley, 1954):
 g
∂θ l
= −0.7 w'θ l ' s 2 3 
 θ v ref
∂z

 g
∂qt
= −0.7 w' qt ' s 2 3 
 θ v ref
∂z





−1 3




−1 3
z −4 3 ,
(10.8)
z −4 3 .
10.4 Modelo de subescala
Os fluxos de subescala são parametrizados por uma aproximação difusão-K de
ordem 1.5 de acordo com,
 ∂u j ∂ui
+
τ ij = − K m 
 ∂xi ∂x j


,


(10.9)
 ∂θ
u j 'θ l ' = − K θ  l
 ∂x j


,


(10.10)
 ∂q
u j ' qt ' = − K q  t
 ∂x j


,


(10.11)
127
que na vertical correspondem às equações (2.40) e (2.41). As difusividades turbulentas
K m , Kθ e K q são função de uma escala de comprimento e da TKE de subescala, que é
prognosticada recorrendo à equação de prognóstico,
( )
(
)
∂ u j ' e 1 ∂ ui ' p'
∂u
∂e
∂e
g
+uj
= −u i ' u j ' i + δ i 3 u i ' θ v ' −
−
−ε .
∂t
∂x j
∂x j
θv
∂x j
ρ ∂xi
(10.12)
A parametrização dos diferentes termos desta equação e a determinação dos diferentes
parâmetros usados no cálculo desta equação pode ser vista em van Zanten (2000).
128
Apêndice C – Publicações no âmbito da tese
11 Apêndice C – Publicações no âmbito da tese
1. Soares, P. M. M., P. M A. Miranda, A. P. Siebesma e J. Teixeira, 2004: “An Eddy-
diffusivity/Mass-flux parameterisation for dry and shallow cumulus convection”.
Aceite para publicação no Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society.
2. Soares, P. M. M., P. A. Miranda, J. Teixeira e A. P. Siebesma, 2004: “An Eddy-
diffusivity/Mass-Flux turbulence parametrization based on the TKE equation”.
Submetido para publicação no Journal of Geophysical Research.
3. Lenderink, G., A. P. Siebesma, S. Cheinet, S. Irons, C. Jones, P. Marquet, F. Muller,
D. Olmeda, E. Sanchez e P. M. M. Soares, 2004: “The diurnal cycle of shallow
Cumulus clouds over land: A single column model intercomparison study”. Aceite
para publicação no Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society.
4. Derbyshire, S. H., P. Bechtold, J.-Y. Grandpeix, J. M. Piriou, J.-L. Redelsperger e P.
M. M. Soares, 2004: “Sensitivity of moist convection to environmental humidity”.
Aceite para publicação no Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society.
5. Siebesma, A. P., P. M. M. Soares e J. Teixeira, 2004: “A Mass-Flux/K-Diffusion
Approach for the Parameterization of the Convective Boundary Layer”. Em
preparação.
6. Soares, P. M. M., P. A. Miranda, J. Teixeira e A. P. Siebesma, 2004: “ARM case –
EDMF scheme results”. In Proceedings da conferência “4ª Assembleia LusoEspanhola de Geodesia e Geofísica”, 145-146.
7. Soares, P. M. M., P. Miranda, J. Teixeira and A. P. Siebesma, 2003: “An advection-
diffusion scheme for dry and shallow cumulus convection”. In Proceedings do 4º
Encontro Luso-Espanhol de Meteorologia, no prelo, 6 pp.
8. Soares, P. M. M., P. Miranda, A. P. Siebesma and J. Teixeira, 2002: “An advection-
diffusion turbulence parameterisation scheme based on the TKE equation”. In
Proceedings da conferência “3ª Assembleia Luso-Espanhola de Geodesia e
Geofísica”, tomo II, 856-859.
9. Soares, P. M. M., A. P. Siebesma and J. Teixeira, 2001: “The role of entrainment in
the mass-flux/K-difusion parameterisation of the convective boundary layer”. In
Proceedings da conferência “3º Encontro Luso-Espanhol de Meteorologia”, vol.
Meteorologia, 177-182.
129

Pedro Soares, 2004, Parametrização da turbulência e de

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