2.1.2 Principio de Bernoulli Essencialmente, o Princípio de Bernoulli
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2.1.2 Principio de Bernoulli Essencialmente, o Princípio de Bernoulli
2.1.2 Princípio de Bernoulli Essencialmente, o Princípio de Bernoulli é uma versão do Princípio da Conservação da Energia Mecânica especializado ao caso de um ‡uido incompressível e não-viscoso em escoamento estacionário ao longo de uma linha de ‡uxo (tubulação). Theorem 1 Considere um ‡uido incompressível e não-viscoso em escoamento estacionário ao longo de uma linha de ‡uxo (tubulação) com altura variável h. Supondo que a aceleração da gravidade é constante ao longo da tubulação, então a velocidade v e pressão p do ‡uido satisfazem a relação v 2 + gh + p = cte: 2 Prova. Considere um instante de tempo t0 , duas seções transversais da linha de ‡uxo S1 e S2 de…nidas pelos pontos r1 e r2 e a parte do ‡uido na linha de ‡uxo M que no instante t0 se encontra entre S1 e S2 . Sejam A1 e A2 as áreas de S1 e S2 , respectivamente; denote1 vi = v (ri ) ; pi = pi (ri ) ; hi = h (ri ) ; i = 1; 2: Assim, para uma variação de tempo t, o Princípio da Conservação da Energia implica que a variação da energia mecânica2 de M é igual ao trabalho total exercido pelas forças externas que atuam em M entre t0 e t0 + t: 2 (A2 v2 t) v22 + (A2 v2 t) gh2 2 (A1 v1 t) v12 (A1 v1 t) gh1 p2 A2 v2 t + p1 A1 v1 t: Como o ‡uido é incompressível, vale A2 v2 t = A1 v1 t: Então 2 Tomando o limite v22 + gh2 2 v12 gh1 p 2 + p1 : t ! 0, segue 2 v22 + gh2 + p2 = 2 v12 + gh1 + p1 : Isso prova que a quantidade “ v 2 =2 + gh + p” é independente do ponto da linha de ‡uxo, i.e., é constante. 1 Como 2 Nesse o escoamento é estacionário, a velocidade e pressão do ‡uido não dependem do tempo. caso, a energia mecânica é igual a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional. 7
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