Título : B2 Regressão quadrática Conte do : Em muitos problemas

9/6/11
Sistema Integrado - UNIP
Título : B2 ­ Regressão quadrática
Conte do :
Em muitos problemas de Matemática Aplicada, também é comum ocorrerem situaç es onde a
curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráfico é
uma função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva
de ajuste é uma função quadrática: y = ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por: y = Ax + Bx + C onde: A, B e C são uma solução do sistema de equaç es lineares abaixo:
Exemplo: a tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os
preços de venda correspondentes em determinado período:
Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de
venda igual a R$ 120,00.
Solução: inicialmente marcamos os pontos num gráfico para verificar se os pontos tendem mesmo
a uma parábola.
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Para facilitar os cálculos, construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste
da parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda. Na ltima linha estão os
somatórios das colunas.
Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos:
A = ­ 0,0298 B = 3,3416 e C = 105,95
A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = ­0,0298x2 + 3,3416x + 105,95
isto é, q = ­0,0298 p2 + 3,3416 p + 105,95
onde: q representa a quantidade demandada e p o preço de venda.
Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 120,00 temos;
p = 120 q = ­0,0298. (120)2 + 3,3416. 120 + 105,95 = 77,82
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Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 120,00 é de 77,82 unidades.
Graficamente,
O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de estatística. Se estamos interessados
em aprender o processo (isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as
mudanças que ocorreram quando passamos da reta para a parábola. Não construiremos o
processo para função cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos permanece.
Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise empresarialmente, buscamos soluções
rápidas para os casos de interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a Informática, que nos
possibilita ter à disposição programas domésticos, pacotes e até sistemas dedicados a cada
nova situação a ser simulada.
O método de regressão linear consta no tutorial, por exemplo, do Microsoft Excel (referência:
manual do Excel), que faz parte do pacote Office da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos
profissionais.
É fácil utilizá­lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas variáveis. O programa possui duas
ferramentas para desenvolver regressões.
A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opção
precisa ser instalada, por meio do menu ferramentas/suplementos/análise de dados, escolhendo­
se depois a opção: ferramentas/análise de dados/ regressão. Nesse caso, o MS­Excel pode
calcular os resíduos e gerar os gráficos automaticamente, porém cada nova equação precisa ser
gerada desde o início.
No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente às alterações nos dados e o
programa aceita até 16 variáveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em
uma planilha, a partir do formato da variável dependente (y), como descrito a seguir.
A ferramenta de análise regressão realiza uma análise de regressão linear usando o método de
quadrados mínimos para encaixar uma linha em um conjunto de observações. Podemos analisar
como uma única variável dependente é afetada pelos valores de uma ou mais variáveis
independentes. Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta é afetado por fatores
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como idade, altura e peso. Podemos distribuir partes da medição de desempenho para cada um
desses tr s fatores, com base em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, usar os
resultados para prever o desempenho de um novo atleta não testado.
A ferramenta regressão usa a função de planilha linest.
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