PO 20: Uma comparação dos diagramas de Euler e Venn

PO 20: Uma comparação dos diagramas de Euler e Venn
Juan Felipe de Azevedo Falcão
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected];
Pedro Fellype da Silva Pontes
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Tayná Maria Amorim Monteiro Xavier
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
RESUMO
A utilização de diagramas é um artifício muito importante para, de uma forma ilustrativa,
demonstrar fenômenos que pode ocorrer em diversos campos, tais como matemática,
estatística, biologia, contabilidade entre outros. Ao longo da história da ciência, dois
matemáticos tiveram grande importância na criação de diagramas para a determinação da
validade de proposições lógicas: Leonhard Euler (1707-1783) e John Venn (1834-1923).
Nos dois casos trata-se da avaliação do silogismo categórico inventado por Aristóteles (384
a.C. – 322 a.C.). Assim, os diagramas de Euler são formados por círculos, onde cada um
deles representam proposições categóricas. Esses círculos são dispostos de tal forma a
refletir as relações de inclusão e exclusão que Euler percebia nas proposições categóricas.
Por exemplo, dada a proposição “todo A é B”, Euler modelaria a proposição por colocar o
círculo A dentro do círculo B. Em contraste se a proposição “nenhum A pertence a B”,
Euler modelaria por dois círculos distintos. No caso das proposições existências, Euler usa
um círculo parcialmente sobreposto a outro e destaca, embora um tanto ambiguamente, a
parte indicado pela proposição. Assim para “algum A também é B” coloca a letra A na
intersecção dos dois círculos, enquanto para “Algum A são não-B” coloca a letra A na
região do círculo B que não está sobreposto à A. Para determinar a validade do silogismo,
os diagramas de Euler nos mostram as relações de inclusão contidas nas premissas e
verifica se a relação de inclusão da conclusão consta no diagrama. Em contraste ao
procedimento de Euler que utiliza diagramas independentes para cada tipo de proposição,
Venn utiliza um único padrão para representação de todos os tipos de proposição
modificando o padrão de forma especifica para cada tipo. Especificamente, Venn opta por
sombrear as partes vazias do diagrama correspondente a proposições universais e indica a
existência de elementos de partes correspondentes de proposições existências. Desta forma
as proposições acima mencionados seriam representados, respectivamente, da seguinte
maneiras: 1) Sombrear a região que representa A e não B; 2) sombrear a intersecção de A e
B; 3) Colocar um x na intersecção de A e B; 4) Colocar um x na região de A e não B. A
título de exemplo mostramos na Figura 1 a maneira que Euler e Venn representariam a
proposição todo A é B.
Figura 1
Assim podemos concluir que os diagramas de Euler são intuitivos e casuais e favorecem
uma interpretação do silogismo do ponto de vista da linguagem comum sendo suposto à
“importância existencial”. Em contraste, os diagramas de Venn favorecem a interpretação
do silogismo do ponto de vista da lógica formal como fundamento da matemática moderna
e sem a importância existencial.
Bibliografia
FOSSA, John A. Aspectos da lógica de Leonhard Euler. Em preparação.
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