modelagem de curvas de magnetização para solução
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modelagem de curvas de magnetização para solução
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ MARLON ANTONIO ROCHA RAFAEL ARGÜELLO MEZA MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES Curitiba 2005 MARLON ANTONIO ROCHA RAFAEL ARGÜELLO MEZA MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES Trabalho de graduação apresentado à disciplina de Projeto Final 2 do Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica do Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. Orientador: Prof. Alvaro Augusto de Almeida. Curitiba 2005 ii MARLON ANTONIO ROCHA RAFAEL ARGÜELLO MEZA MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES Este Projeto Final de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Eletricista pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. Curitiba, 23 de Março de 2005. ____________________________________ Prof. Esp. Paulo Sérgio Walenia Coordenador de Curso Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica ____________________________________ Prof. Dr. Ivan Eidt Colling Coordenador de Projeto Final de Graduação Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica ____________________________________ Prof. Esp. Alvaro Augusto de Almeida Orientador Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica ____________________________________ Prof. M. Antonio Ivan Bastos Sobrinho Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica ____________________________________ Prof. Dr. Antonio Carlos Pinho Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica ____________________________________ Prof. Esp. Belmiro Wolski Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica iii Aos nossos pais, por todo o apoio e incentivo dado ao longo de nossas vidas. iv AGRADECIMENTOS Ao Prof. Álvaro Augusto de Almeida, pela orientação e sugestões apresentadas para o aprimoramento deste trabalho. Agradecemos especialmente à Lizandra Martinez Lezcano, pelas inestimáveis contribuições dadas ao longo do desenvolvimento deste trabalho. Sua constante ajuda, apoio, incentivo, comentários, críticas e sugestões foram de extrema importância para que este projeto fosse realizado com êxito. v SUMÁRIO 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9 2.1.10 2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2 2.2.1.3 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.1.1 2.3.1.2 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 LISTA DE FIGURAS................................................................................. LISTA DE TABELAS................................................................................. LISTA DE SÍMBOLOS............................................................................... RESUMO.................................................................................................... INTRODUÇÃO........................................................................................... JUSTIFICATIVA......................................................................................... OBJETIVOS............................................................................................... Objetivo Geral............................................................................................ Objetivos Específicos................................................................................. METODOLOGIA......................................................................................... FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................. CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS.................................................... Teoria do Magnetismo............................................................................... Campo Magnético...................................................................................... Indução Magnética..................................................................................... Fluxo Magnético......................................................................................... Momento Magnético – Magnetização........................................................ Permeabilidade Magnética......................................................................... Susceptibilidade Magnética....................................................................... Processo de Magnetização........................................................................ Curva de Magnetização............................................................................. Histerese Magnética.................................................................................. MATERIAIS MAGNÉTICOS....................................................................... Materiais Magneticamente Moles.............................................................. Ligas ferro – silício .................................................................................... Ligas ferro – níquel.................................................................................... Ligas ferro – cobalto................................................................................... Materiais Magneticamente Duros.............................................................. Aço martensíticos ou aços carbonos........................................................ Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono ...................... CIRCUITOS MAGNÉTICOS...................................................................... Perdas em Circuitos Eletromagnéticos...................................................... Perdas por histerese.................................................................................. Perdas por correntes parasitas (Foucault)................................................. MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS......................................................... MÉTODO ITERATIVO............................................................................... Método Iterativo de Gauss-Seidel.............................................................. Método de Newton-Raphson..................................................................... Método da Secante.................................................................................... vi viii ix x xi 1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 9 11 13 17 18 19 22 26 29 33 34 36 37 37 38 39 40 46 46 47 49 49 51 53 55 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 5 6 METODOLOGIA........................................................................................ EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA..................................................... METODOLOGIA PARA O AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO....................................................................................... Método Polinomial...................................................................................... Método Exponencial................................................................................... METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO DO PROCESSO ITERATIVO................................................................................................. Método da Secante.................................................................................... RESULTADOS........................................................................................... AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO.......................................... PROGRAMA COMPUTACIONAL.............................................................. Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic”........................ Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional................. CONCLUSÃO............................................................................................ REFERÊNCIAS......................................................................................... APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO............. vii 56 56 59 60 62 63 63 66 66 75 75 77 79 81 83 LISTA DE FIGURAS FIGURA 2.1 FIGURA 2.2 FIGURA 2.3 FIGURA 2.4 FIGURA 2.5 FIGURA 2.6 FIGURA 2.7 FIGURA 2.8 FIGURA 2.9 FIGURA 2.10 FIGURA 2.11 FIGURA 2.12 FIGURA 2.13 FIGURA 2.14 FIGURA 2.15 FIGURA 2.16 FIGURA 2.17 FIGURA 2.18 FIGURA 2.19 FIGURA 2.20 FIGURA 2.21 FIGURA 2.22 FIGURA 2.23 FIGURA 2.24 FIGURA 2.25 FIGURA 4.1 FIGURA 4.2 FIGURA 4.3 FIGURA 4.4 FIGURA 4.5 FIGURA 4.6 FIGURA 4.7 FIGURA 4.8 FIGURA .4.9 Campo magnético dH no ponto P devido ao elemento de corrente I .d .................................................................................. 6 Determinação da orientação de dH utilizando (a) a regra da mão direita ou (b) a regra do parafuso de rosca direita ......................... 7 Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente em uma superfície, (c) corrente em um volume.............................. 8 Linhas de indução do campo magnético B......................................... 11 Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral... 11 Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral............ 12 Superfície com posição inclinada em relação ao fluxo geral.......... 12 a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de corrente elementar.......................................................................... 14 Lei de curie-weiss para variação da susceptibilidade magnética com a temperatura para materiais ferromagnéticos....................... 19 Domínios magnéticos e parede de 180o......................................... 20 Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos...... 21 Curva de magnetização inicial........................................................ 22 Montagem para obtenção da curva de magnetização.................... 23 Curva B-H medida por gaussímetro ............................................. 24 Exemplo de curva de magnetização............................................... 25 Variação entre a permeabilidade ( ) e a intensidade do campo magnético (H)................................................................................. 26 Ciclo de histerese............................................................................ 27 Principais materiais utilizados para fins eletromagnéticos.............. 33 Parte de um circuito magnético ...................................................... 41 Enrolamento toroidal....................................................................... 41 Circuito magnético com entreferro.................................................. 42 (a) Circuito eletromagnético, (b) Circuito elétrico ........................... 44 Dispersão do fluxo magnético......................................................... 45 Fluxograma dos métodos iterativos ............................................... 50 Método de Newton-Raphson.......................................................... 53 Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m).............................................. 67 Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m).............................................. 68 Curva de magnetização – Aço fundido........................................... 74 Curva de magnetização – Aço silício.............................................. 74 Curva de magnetização – Liga ferro – níquel................................. 75 Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido......... 76 Circuito magnético proposto para ser resolvido.............................. 77 Entrada de dados do programa...................................................... 78 Saída de resultados do programa................................................... 78 viii LISTA DE TABELAS TABELA 2.1 TABELA 2.2 TABELA 2.3 TABELA 2.4 TABELA 2.5 TABELA 3.1 TABELA 4.1 TABELA 4.2 TABELA 4.3 Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si...................... Ligas Fe-Ni magneticamente moles............................................... Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes ....... Tipos de alnicos para ímãs permanentes...................................... “Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético......................... Cálculos envolvidos no somatório.................................................. Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente............................ Cálculos envolvidos nos somatórios............................................... Equações H = f(B) ajustadas para os materiais estudados........... ix 35 36 39 40 43 62 69 71 73 LISTA DE SÍMBOLOS E : Campo elétrico H : Campo magnético : Comprimento G : Condutância elétrica σ : Condutividade elétrica η : Constante de Steinmetz I : Corrente elétrica K : Densidade de corrente numa superfície J : Densidade de corrente em um volume g : Entreferro f : Freqüência r : Raio D : Indução elétrica Φ : Fluxo magnético e : Força eletromotriz ℑ : Força magnetomotriz B : Indução magnética p : Intensidade do dipolo magnético M : Magnetização m : Momento do dipolo N : Número de espiras P f : Perdas por corrente parasitas Ph : Persas por histerese µ : Permeabilidade absoluta µ r : Permeabilidade relativa µ 0 : Permeabilidade do ar P : Permeância magnética P : Potência ℜ : Relutância magnética. R : Resistência elétrica ρ : Resistividade S : Seção transversal χ : Susceptibilidade magnética Tc : Temperatura de Curie V : Volume Co : Cobalto Cu : Cobre Cr : Cromo Fe : Ferro Mo : Molibdênio Ni : Níquel Ti : Titânio W : Tungstênio x RESUMO Neste trabalho apresenta-se um estudo teórico com enfoque na resolução de problemas de circuitos magnéticos construídos com núcleos compostos por dois ou três materiais ferromagnéticos, com ou sem entreferro. Foi desenvolvida uma metodologia para a resolução de problemas onde se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético, para o qual é necessária a execução de um processo iterativo. Considerando que o método proposto baseia-se na utilização da equação H=f(B), foi necessário o ajuste matemático das curvas B-H de três materiais ferromagnéticos. Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização dos seguintes materiais: aço-silício, aço-fundido e liga ferro-níquel, utilizando-se para tal o método dos mínimos quadrados. A seguir, com base nas equações ajustadas e utilizando-se o método iterativo da Secante, foi desenvolvido um programa computacional utilizando-se o software Visual Basic for Applications, do Excel, o qual foi concebido para automatizar a resolução do problema em questão. xi 1 1 INTRODUÇÃO Os circuitos magnéticos construídos com núcleos ferromagnéticos e entreferros podem ser divididos didaticamente em dois tipos: (a) tipo I: são problemas em que o fluxo magnético é conhecido e onde se deseja conhecer a força magnetomotriz NI; (b) tipo II: são problemas onde se conhece a corrente e se deseja conhecer o fluxo magnético. Os problemas do tipo I são de resolução direta, mas são raros de se encontrar na prática, pois geralmente o fluxo é a incógnita. A resolução de circuitos magnéticos não lineares do tipo II pode ser conduzida de duas formas possíveis: (a) métodos gráficos, onde se desenvolve a equação da reta de carga do dispositivo e se determina o ponto de operação (B, H) do mesmo; (b) métodos iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai refinando a solução até a convergência a um erro previamente especificado. A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um algoritmo que possibilite a solução automática (computacional) de circuitos magnéticos que envolvem dois ou três materiais magnéticos. 1.1 JUSTIFICATIVA Problemas de circuitos magnéticos aparecem freqüentemente na área de máquinas elétricas. Soluções básicas envolvem cálculos manuais, e, soluções mais avançadas, envolvem o método dos elementos finitos. O que se pretende é o desenvolvimento de uma solução de compromisso, que seja rápida de usar, mas sem cair nas complexidades da modelagem por elementos finitos. 2 No decorrer do trabalho, espera-se obter uma gama bastante grande de conhecimentos sobre métodos numéricos usados em engenharia, sobre materiais ferromagnéticos usados na área de máquinas e sobre modelagem de dispositivos eletromagnéticos de baixa freqüência (50-60 Hz). 1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral Desenvolver um algoritmo que possibilite a solução computacional do circuito magnético a partir da curva de magnetização e o método de aproximações sucessivas. 1.2.2 Objetivos Específicos • Estudar métodos de modelagem de curvas de magnetização para vários materiais ferromagnéticos. • Estudar métodos numéricos para solução de circuitos magnéticos. • Desenvolver um algoritmo que resolva problemas de circuitos magnéticos a partir de curvas previamente modeladas e configurações pré-estabelecidas. • Comparar a solução computacional com soluções obtidas por outros métodos (gráfico ou cálculos manuais). 3 1.3 METODOLOGIA O projeto é eminentemente teórico, mas com aplicações práticas importantes. As principais etapas da resolução do problema são as seguintes: • pesquisa bibliográfica, incluindo pesquisa de documentação de fabricantes de materiais ferromagnéticos (duros e macios); • pesquisa sobre métodos numéricos de iteração e ajuste de curvas (Gauss-Seidel, etc); • desenvolvimento do algoritmo de modelagem e ajuste das curvas de magnetização, usando métodos computacionais; • testes de ajuste das curvas; • pesquisa sobre modelagem de sistemas magnéticos; • desenvolvimento do método iterativo de resolução de circuitos magnéticos; • testes e comparações com outros métodos (gráfico ou cálculos manuais). 4 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS 2.1.1 Teoria do Magnetismo Os fenômenos magnéticos são conhecidos de épocas muito antigas, quando foram observados, pela primeira vez, os efeitos da magnetita (Fe3O4), um ímã permanente que se encontra em forma natural. A descoberta das propriedades de orientação norte-sul desse material teve uma profunda influência na navegação e exploração primitivas (REITZ, MILFORD E CHRISTY, 1991). De acordo com Menezes (1981), na última década do século XIX, W.E. Weber sugeriu que cada átomo de uma substância magnética era um ímã elementar permanente, também denominado de átomo magnetizado, que, sob condições normais, mantêm-se agrupados desordenadamente, de modo que não existe campo magnético em volta do corpo constituído pelos citados ímãs elementares. Porém, quando esse corpo se submete à magnetização, os ímãs elementares que compõem o mesmo acabam ordenando-se, resultando o campo magnético externo. Para melhor entender o fenômeno acima mencionado, imagine-se um corpo suspenso pelo seu centro de gravidade e livre para se movimentar, e que o faça “espontaneamente” se orientando ao magnetismo terrestre. Logo a seguir, imaginese o mesmo corpo atraindo pedaços de ferro ou de suas ligas, e, finalmente, imagine-se este corpo sendo atraído ou repelido por outro de mesmas características. O corpo que apresenta estas propriedades, nada mais é do que um ímã natural. 5 Porém, além dos ímãs naturais, existem corpos que gozam de característica de se tornarem ímãs artificiais. Estes corpos possuem a capacidade de adquirir, por determinados processos, ainda que temporariamente, as propriedades de um ímã natural, sendo, desta forma, considerado, naquele período, um ímã. Com base nisto, Bocchetti e Mendel (1979, p. 105) destacam que, “magnetismo é a propriedade que os ímãs têm de somente atrair materiais ferromagnéticos e de atrair ou repelir outros ímãs” O conceito acima não pode ser considerado genérico, pois é possível alcançar algumas propriedades magnéticas sem a presença dos ímãs, sendo muitas vezes conseguidas através da corrente elétrica, denominando-se este fenômeno de eletromagnetismo. 2.1.2 Campo Magnético De acordo com Bocchetti e Mendel (1979, p.108), pode-se afirmar que, “o campo magnético é a região do espaço onde são sensíveis as observações dos efeitos magnéticos”. Já Sadiku (2004) comenta que, de acordo com a lei de Biot-Savart, a intensidade do campo magnético dH gerada em um ponto P , como mostrado na figura 2.1, pelo elemento diferencial de corrente, I .d entre I .d e o seno do ângulo é proporcional ao produto α , entre o elemento e a linha que une o ponto P ao elemento, e é inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre o ponto P e o elemento. Isto é, 6 dH = I .d .senα (2.1) R2 ou dH = k .I .d .senα (2.2) R2 Onde k é a constante de proporcionalidade. Em unidades do sistema internacional de unidades, k = 1/4 , tal que a equação (2.2) torna-se a expressão (2.3) a seguir. dH = I .d .senα (2.3) 4π .R 2 FIGURA 2.1 – Campo magnético dH no ponto P devido ao elemento de corrente I .d FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004 A unidade do campo magnético no sistema internacional de unidades é o ampère por metro, A/m. O campo magnético é uma função do ponto e de uma grandeza eletromagnética, aqui a corrente I ; se esta depende do tempo, o H também dependerá. De acordo com Sadiku (2004), a forma vetorial da equação (2.3) pode ser escrita conforme a equação (2.4) mostrada a seguir: 7 dH = I .d × a R 4π .R 2 = I .d × R (2.4) 4π .R 3 Onde R =| R | e a R = R / R . Assim, o sentido de dH pode ser determinado pela regra da mão direita, em que com o polegar apontando segundo a orientação da corrente, os outros dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação de dH , como mostra a figura 2.2 (a). Alternativamente, podemos usar a regra do parafuso de rosca direita para determinar o sentido de dH . Com o parafuso posicionado ao longo do fio e apontado no sentido do fluxo da corrente, a orientação dada pelo avanço do parafuso é a orientação de dH , como mostra a figura 2.2 (b). FIGURA 2.2 – Determinação da orientação de do parafuso de rosca direita. dH utilizando (a) a regra da mão direita ou (b) a regra FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004 Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga, podemos ter diferentes distribuições de corrente: corrente em uma linha, corrente em uma superfície e corrente em um volume, como mostrado na figura 2.3 Se definirmos K como a densidade de corrente em uma superfície (em ampères/metro) 8 e J como a densidade de corrente em um volume (em ampères/metro2), os elementos-fonte estão relacionados conforme a expressão (2.5) (SADIKU, 2004). I .d ≡ K .dS ≡ J .dv (2.5) FIGURA 2.3 – Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente em uma superfície, (c) corrente em um volume. FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004 Ainda segundo Sadiku (2004), em termos de fontes de corrente distribuída, a lei de Biot-Savart, como na equação (2.4), torna-se as seguintes expressões: H= H= H= I .d × a R L 4π .R 2 K .dS × a R S 4π .R 2 J .dv × a R v 4π .R 2 (corrente em uma linha) (corrente em uma superfície) (corrente em um volume) (2.6) (2.7) (2.8) Cabe mencionar ainda que, de acordo com Macedo (1988), verifica-se experimentalmente que o princípio da superposição linear é valido também para o campo magnético. Se existem n correntes retilíneas I i , o campo resultante H será 9 a soma vetorial de cada campo H i produzido pela respectiva corrente, conforme a equação (2.9) a seguir. H= n i =1 Hi (2.9) Como na equação 2.9, não importa a localização da interseção P da corrente com o plano da curva, desde que interna a ela, pode-se escrever, imediatamente a equação (2.10) abaixo. H .d = C n i =1 Ii (2.10) Pode-se observar que o segundo membro da equação (2.10) é uma soma algébrica, onde cada corrente pode ser positiva ou negativa. Se a corrente total for nula, a circulação de H também o será, o que não implicará, é claro, a nulidade do próprio H . 2.1.3 Indução Magnética Bastos (1992, p. 29) afirma que a indução magnética B “é chamada de “indução” pois é uma grandeza que expressa a capacidade de induzir fluxo em um dado meio”. A indução magnética B é similar à indução elétrica D , e está relacionada à intensidade do campo magnético H , de acordo com a equação (2.11) a seguir: B = µ .H ; onde µ é a permeabilidade do meio. (2.11) 10 A forma integral da lei de Gauss do magnetismo é dada pela expressão (2.12) a seguir, a qual exprime matematicamente a verificação experimental de que as linhas do vetor indução magnética B são fechadas: seu fluxo através de qualquer superfície fechada é nulo. S B .dS = 0 (2.12) De acordo com Macedo (1988), a expressão (2.12) exprime, portanto, a inexistência de uma “carga magnética” - o monopolo magnético - que seria a análoga à carga elétrica. Apesar das muitas tentativas feitas nesse sentido, não se conseguiu até agora detectar experimentalmente o monopolo magnético. Ainda segundo este mesmo autor, não há razão, porém, para acharmos que sua eventual descoberta venha a invalidar a teoria de Maxwell. Tem-se, nesse caso, que acrescentar um termo não-nulo ao segundo membro da lei, dada pela equação (2.12), e analisar as conseqüências de tal acréscimo. Todos os resultados obtidos, porém, a partir da nulidade daquele segundo membro, continuarão válidos na ausência de monopolos. A unidade no sistema internacional de unidades (SI) da indução magnética B é o Weber/metro2 tesla, de símbolo T. Por ser 1T uma indução muito intensa em comparação com as que usualmente ocorrem em laboratório, é costume exprimir-se a indução magnética em Gauss, 1G = 10-4T, embora esta unidade não pertença ao sistema internacional. A unidade SI do fluxo de B é o weber, Wb. Por isso, em lugar do tesla, aparece muitas vezes o weber por metro quadrado, Wb/m2, que é igual. 11 2.1.4 Fluxo Magnético De acordo com Sears, Zemansky e Young (1984), um campo de indução magnético pode ser representado por linhas, cuja direção em cada ponto é a do vetor campo de indução magnético, B . Em campo de indução magnético uniforme, onde o vetor tem o mesmo módulo, direção e sentido em todos os pontos, as linhas de indução são retas paralelas, conforme mostra a figura 2.4 a seguir. Φg B FIGURA 2.4 – Linhas de indução do campo magnético B FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979. Considerando um material imerso num campo de indução magnética B , conforme mostra a figura 2.5 a seguir, pode-se afirmar que, genericamente, as linhas formadas deste campo formam um fluxo magnético geral (Φ g ). Estas linhas do fluxo geral que cortam tal superfície formam o fluxo no material, que aqui chamaremos simplesmente de fluxo (Φ ). B Φ Φg FIGURA 2.5 - Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979. Conforme pode ser observado na figura 2.5, é evidente que no máximo Φ < Φ g , sendo Φ = Φ g se a superfície do material envolvido for igual a do fluxo geral considerado. 12 Para a caracterização do fluxo através da superfície devemos levar em conta a posição relativa da superfície considerada. Quando o campo de indução magnética B for perpendicular à superfície, como é o caso mostrado na figura 2.5, o fluxo será máximo. Por outro lado, quando a superfície considerada ficar paralela às linhas do fluxo geral, conforme ilustrado na figura 2.6, teremos um fluxo nulo nesta superfície. Φ =0 Φg B FIGURA 2.6 - Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979. Se a superfície recebe um fluxo máximo quando a normal a seu plano forma 0o com as linhas do campo, e um fluxo nulo quando a normal é perpendicular ao mesmo campo, então, o fluxo na superfície é função da posição relativa que ela ocupa com respeito ao fluxo geral – será uma função cossenoidal do ângulo α, ângulo entre a normal à superfície e as linhas do campo, conforme apresentado na figura 2.7 a seguir. B S Φ g = f ( S . cos α ) FIGURA 2.7 - Superfície com posição inclinada em relação fluxo geral FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979. (2.13) 13 O fluxo total através de uma superfície pode, então, ser representado como o número de linhas de indução atravessando a superfície considerada. Desta forma, tomando-se por base agora um elemento de superfície dS imerso num campo de indução B provocando uma contribuição elementar de fluxo dΦ , torna-se evidente que o fluxo total na superfície é dado pelo somatório das contribuições elementares, conforme é mostrado nas equações a seguir: Φ = dΦ (2.14) dΦ = B.dS (2.15) Um caso mais genérico, pode ser expresso pela seguinte equação: Φ= S B .dS (2.16) ou dΦ = B . cos α .dS . (2.17) Tomando, em seqüência, elementos integrais, obtemos, com B constante em toda superficie: Φ = B .S . cos α . (2.18) Finalmente, para a condição de fluxo máximo, resulta a seguinte expressão: Φ = B .S (2.19) 2.1.5 Momento Magnético - Magnetização Segundo Koltermann (2001), ao se analisar macroscopicamente os modelos de estrutura de um átomo, os movimentos dos seus elétrons podem ser simulados 14 por um laço de corrente elementar, sendo que, os dipolos magnéticos resultantes, se referem aos momentos dos laços de corrente, podendo este laço de corrente ser considerado como a unidade elementar do magnetismo, como ilustra a figura 2.8. vetor movimento orbital spin nuclear spin do elétron m = I .ds ds I Núcleo ds movimento orbital do elétron (a) (b) FIGURA 2.8 - a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de corrente elementar FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002. Este laço de corrente é conhecido como o dipolo magnético por razões históricas, uma vez que o campo produzido por tal laço é idêntico na forma, ao campo produzido pelo cálculo de dois pólos magnéticos de intensidade separados por uma distância p, , sendo o momento do dipolo de tal arranjo expresso por (KOLTERMANN, 2001): m = p. (2.20) ou ainda, m= Φ. µ0 onde Φ é o fluxo em webers passando através do dipolo e (2.21) é o 15 comprimento deste dipolo. Menezes (1981) destaca que, a distância matemática entre os pólos não pode ser perfeitamente definida, considerando que os pólos magnéticos não identificam um ponto, mas tão somente uma região. Todavia, segundo este mesmo autor, apesar de p e não serem medidas com precisão, o produto p . , que se constitui no momento magnético, pode ser muito bem determinado. O campo magnético produzido pelo laço elementar de corrente I i , considerado que envolve uma superfície dS i pode ser representado pelo momento magnético m i , conforme a expressão (2.22) abaixo: mi = I i .dS i (2.22) Leite (2002, p. 5) afirma que, “o momento magnético total num átomo é igual à soma vetorial de todos os momentos magnéticos individuais originados pelos movimentos dos elétrons e o núcleo”. Em um volume ∆.V contendo n momentos magnéticos atômicos, cada um deles sendo representado por m i , sendo i = 1, 2, ..., n, o momento resultante m é dado pela soma vetorial destes momentos individuais mi , conforme mostra a expressão (2.23) a seguir: m= n i =1 mi (2.23) O efeito destes ímãs atômicos, ou dipolos magnéticos, pode ser convenientemente descrito por uma grandeza denominada como vetor de magnetização M (KOLTERMANN, 2001). Este vetor é definido pela densidade volumétrica de momentos magnéticos do material, de acordo com a equação (2.24): 16 M = lim ∆V → 0 1 ∆V n i =1 1 m ∆V →0 ∆V mi = lim (2.24) A equação (2.21) fornece a relação entre o momento magnético m e o fluxo magnético Φ ; pode-se relacionar agora, o vetor magnetização M com o vetor indução magnética B . Considerando um dipolo magnético com fluxo comprimento do dipolo Φ no centro, e com seção transversal S , a magnetização é dada pela expressão (2.25) a seguir: M= m m = V S. considerando m = Φ . / M= onde (2.25) µ 0 , obtém-se a equação (2.26): B Φ = µ 0 .S µ 0 0 (2.26) é permeabilidade magnética do vácuo. Neste caso não existe nenhuma fonte convencional de corrente elétrica para gerar o campo magnético e então B = µ 0 M . Pode-se notar portanto, que a magnetização M e o campo magnético H contribuem para a indução magnética de um modo similar. Se ambos, a magnetização e o campo magnético estão presentes, então suas contribuições podem ser somadas (KOLTERMANN, 2001). Pode-se então concluir que a indução magnética consiste de dois contribuições, sendo uma do campo magnético imposto e a outra da magnetização M do material, conforme ilustrado na expressão (2.27) a seguir: B = µ0 ( H + M ) (2.27) De acordo com Leite (2002, p. 6 ), “o campo magnético H pode ser imposto 17 através de fontes externas, enquanto que a magnetização M é gerada pelos movimentos das partículas subatômicas da estrutura da matéria”. 2.1.6 Permeabilidade Magnética Segundo Bastos (1992), a permeabilidade µ de um meio, expressa intrinsecamente sua capacidade de se mostrar mais ou menos suscetível à passagem de fluxo magnético. Seria difícil introduzir estes conceitos sem utilizar a relação de passagem expressa pela equação (2.28) a seguir: B = µ .H (2.28) Como pode ser observado, a equação (2.28) fornece a relação entre a indução magnética B e a intensidade magnética H . Para o vácuo a permeabilidade magnética µ = µ 0 e é uma constante com o valor 4 .10-7 H/m no sistema internacional de unidades (SI). Para o ar, µ é um pouco maior que porém, ser admitida igual a µ 0 podendo, µ 0 nas aplicações práticas. No entanto, a permeabilidade magnética µ não é em geral uma constante, pois B não é uma função linear de H para alguns materiais. Sendo assim, mais importante que o valor da permeabilidade, constitui-se a representação usual da relação dada pela equação (2.28), fornecida através das curvas B-H. Estas curvas variam consideravelmente de um material para outro, e, para o mesmo material, são fortemente influenciadas pelos tratamentos térmicos e mecânicos. Os diferentes materiais são comumente caracterizados, do ponto de vista magnético, pela sua permeabilidade magnética µ. 18 É costume considerar uma permeabilidade absoluta µ e uma relativa µ r , sendo a segunda dada pelo quociente entre a primeira e a permeabilidade do vácuo ou do ar µ 0 , conforme mostra a equação (2.29) a seguir. µr = µ (2.29) µ0 2.1.7 Susceptibilidade Magnética A susceptibilidade magnética é medida em função da taxa de crescimento da magnetização causada pela influência de um campo magnético. Matematicamente a susceptibilidade pode ser expressa pela equação a seguir: χ= M H (2.30) onde: M = magnetização, que é o momento magnético por unidade de volume; e H = intensidade do campo magnético. A susceptibilidade não é necessariamente constante, podendo variar com a intensidade do campo magnético aplicado. Esta grandeza possui valores medidos entre 10-5 para materiais magnéticos moles até 106 para magnetos duros. Em alguns casos ela pode assumir valores negativos. A susceptibilidade dos materiais ferromagnéticos nas altas temperaturas, acima da temperatura crítica Tc , denominada de temperatura de Curie, obedece à lei de Curie-Weiss, na qual 1 / χ é zero no ponto Curie e aumenta linearmente com 19 a temperatura, como ilustra a figura 2.9 a seguir (LEITE, 2002). Destaca-se que a temperatura crítica Tc ou temperatura de Curie é aquela acima da qual os materiais perdem suas características ferromagnéticas e passam a apresentar comportamento paramagnético. 1 χ Tc T FIGURA 2.9 - Lei de Curie-Weiss para variação da susceptibilidade magnetica com a temperatura para materiais ferromagnéticos. FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002. 2.1.8 Processo de Magnetização Primeiramente, antes de abordar o processo de magnetização, é conveniente apresentar o conceito de domínio, pois o mesmo está diretamente relacionado ao processo de magnetização. De acordo com Leite (2002), a primeira teoria que trata da existência dos domínios magnéticos foi elaborada por Weiss no ano de 1907, e, de acordo com a mesma, é possível afirmar que um material ferromagnético é formado por muitas pequenas regiões, sendo que cada uma delas possui magnetização de saturação, apontando em uma dada direção. Porém, somente uma década depois, foi realizada a primeira verificação experimental dessa teoria, no experimento idealizado por Barkhausen. 20 Analisando-se um material magnético desmagnetizado, observa-se que o mesmo é composto de um grande número de pequenas regiões conhecidas por “domínios”, cujos contornos podem ser perfeitamente determinados, e que se caracterizam por possuir uma única orientação magnética, ou seja são dotados, cada um, de um vetor de campo magnético unitário próprio. Contudo, cada um destes domínios está direcionado aleatoriamente, e, sendo assim, o material como um todo, não possui magnetização líquida (LEITE, 2002,) Observa-se entre os domínios a existência de uma fronteira delimitando domínios adjacentes. Nessa fronteira a magnetização não muda de forma brusca, mas suavemente, envolvendo vários momentos magnéticos. Quando dois domínios adjacentes possuem magnetizações com direções opostas, a fronteira que os divide é chamada de parede de 180°. Na figura 2.10 a seguir pode ser observada uma representação da idéia dos domínios magnéticos e da parede de 180°. FIGURA 2.10 – Domínios Magnéticos e parede de 180° FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002. 21 Uma vez definido o conceito de domínio, podemos passar à descrição do processo de magnetização. Segundo comentários de Almeida (2003), magnetizar um material significa alinhar os seus domínios, sendo este processo não linear, pois quanto mais domínios estiverem alinhados, torna-se mais difícil alinhar novos domínios. Já quando os domínios estiverem alinhados, e nenhum incremento de magnetização for possível, significa que e o material terá atingido o seu estado de “saturação”. Conforme este mesmo autor, o processo de desmagnetização também é não linear, e, dependendo do material, mais ou menos domínios podem ficar alinhados após a remoção do campo externo. A quantidade desses domínios alinhados é responsável pelo denominado “magnetismo residual”. De acordo com Leite (2002, p. 17), o processo de magnetização pode dar-se pela ação de dois fenômenos, conforme descrito a seguir: 1. Aumento do tamanho dos domínios, nos quais a orientação seja próxima ao da orientação do campo externo aplicado, às custas dos domínios cuja orientação seja diferente. Este é o processo do deslocamento das paredes de domínio. 2. Rotação da orientação conjunta de todos os momentos de um domínio, no sentido da orientação do campo externo, processo chamado de rotação de domínio. Uma representação esquemática de ambos os fenômenos mencionados acima pode ser observada na figura 2.11 a seguir. FIGURA 2.11 – Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002. 22 O processo de magnetização de um material ferromagnético é normalmente representado por uma curva denominada de “curva de magnetização”. Na figura 2.12 a seguir apresenta-se uma curva típica, sendo os dois mecanismos de movimento dos domínios magnéticos indicados na sua parte correspondente da curva. FIGURA 2.12 – Curva de Magnetização Inicial FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002. 2.1.9 Curva de Magnetização As propriedades dos materiais ferromagnéticos e de suas ligas representamse geralmente por meio de curvas de magnetização, assim como a ilustrada na figura 2.14 apresentada na seqüência. De acordo com comentários de Almeida (2003), os dados utilizados para traçar estas curvas podem ser obtidos da seguinte maneira: as peças de ensaio de material magnético se constróem em forma de anel, com uma seção transversal em centímetro quadrado, e um comprimento médio de trajetória magnética em centímetro, sendo, sobre estes anéis, enroladas uniformemente espiras de fio 23 isolado, medindo-se por meio de instrumento especial, como o gaussímetro, o fluxo resultante para diversos valores da corrente de excitação. Para ilustrar o processo de obtenção da curva de magnetização acima descrito, considere-se a montagem da figura 2.13, que consiste de um núcleo ferromagnético, um amperímetro, um voltímetro e uma fonte de tensão ajustável. I Fe A V e SFe FIGURA 2.13 – Montagem para obtenção da curva de magnetização FONTE: ALMEIDA, Á. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003. Pode-se levantar a curva de magnetização ajustando a tensão e medindo a corrente I . Porém, embora seja mais fácil medir tensão e corrente, é mais conveniente desenhar a curva de magnetização em função dos campos B e H , de acordo com as relações (2.31) e (2.32) a seguir: NI = H . B= Φ S Fe →H = NI (2.31) Fe (2.32) Na prática, H é medido indiretamente por meio de corrente, e B pode ser medido por meio de um “gaussímetro”, resultando no gráfico da figura 2.14 a seguir. 24 B (T) B C A H (A/m) FIGURA 2.14 – Curva B-H medida por “gaussímetro” FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003. Como pode ser observado na figura 2.14 acima, a curva de magnetização pode ser dividida nas três regiões ilustradas. Primeiramente apresenta um andamento retilíneo (A), logo em seguida se curvam para a direita, formando um “cotovelo” (B), e finalmente atingem a região de saturação (C) a qual possui pequena inclinação. A curva de magnetização tradicionalmente apresenta, no seu eixo das abcissas, a grandeza da intensidade de campo magnético H e, nas ordenadas, o valor da magnetização M ou da densidade de fluxo B . Esta curva se inicia no estado de desmagnetização, com H = 0. Elevando-se a intensidade de campo gradativamente, nota-se que uma elevação de H não traz mais uma elevação de B . Esse é o estado de saturação em que, apesar de elevarmos a corrente I ou o número de espiras N (ou o produto de ampère-espiras), não haverá disponibilidade de maior indução magnética. A figura 2.15 a seguir apresenta algumas curvas típicas. 25 G 16000 12000 8000 B 4000 0 0,4 0,6 0,8 O H FIGURA 2.15 - Exemplo de curvas de magnetização 1 – Ferro puro; 2 – Permalloy; 3 – Ferro tecnicamente puro; 4 – Níquel; 5 – Liga 26 Ni + 74 Fe. FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979. Logo, conhecendo-se a curva de B = f ( H ) , e como a variação entre ambos é a própria variação de permeabilidade µ (pois B = µ .H ), podemos traçar a curva de variação de H = f ( µ ) , dada na figura 2.16; no caso, para dois exemplos de materiais magnéticos, um do ferro, e outro da liga permalloy. A permeabilidade inicial do material é indicada por µ i , que se apresenta na condição de H = 0. No outro oposto, a permeabilidade máxima µ max , perante o estado de saturação. 26 G/O 100000 max 50000 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 O H FIGURA 2.16 – Variação entre a permeabilidade (µ) e a intensidade do campo magnético (H). A – Ferro puro; B – liga Permalloy. FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979. 2.1.10 Histerese Magnética A histerese pode ser definida como o fenômeno que causa o atraso de B em relação a H ou M , de modo que a curva de magnetização dos campos quando estes aumentam ou diminuem, não seja a mesma. O ciclo traçado pela curva de magnetização é chamado de “Ciclo de Histerese” (PLONUS, 1978). O laço de histerese, conforme já mencionado anteriormente, é obtido a partir da curva de magnetização. Uma vez atingido o estado de saturação, podemos diminuir a tensão no circuito em análise para tentar desmagnetizar o material. Observa-se, então que os valores de B assim obtidos, não coincidem com os valores inicias da curva. Chegando-se a H = 0, não teremos B = 0, o valor de B = 0 será obtido para um certo valor negativo de H . Repetindo-se o processo com 27 valores de H na orientação contrária, obteremos uma repetição do fenômeno, formando-se o denominado laço de histerese. Almeida (2003) destaca que, “curiosamente, a desmagnetização não se dá pelo mesmo caminho da magnetização, resultando em uma curva que ”volta por trás”. Do grego “voltar atrás”, esse fenômeno é denominado “histerese””. Na figura 2.17 a seguir é ilustrada a curva completa de histerese para um material ferromagnético genérico. FIGURA 2.17 – Ciclo de Histerese FONTE: SEARS, F.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D. Fisica 3 – Eletricidade e Magnetismo. 1984. A seguir apresenta-se uma descrição mais detalhada para o ciclo de histerese, utilizando como base a figura 2.17. Se a corrente de magnetização no enrolamento de um anel não magnetizado for constantemente aumentada, a relação de B e H segue a curva Oab . Se agora a corrente for diminuída até que o ponto c seja atingido, B é muito 28 maior do que a, ainda que H seja o mesmo. Quando a corrente diminui até zero, H é nulo e atinge-se o ponto d . Mas neste ponto d , B não é zero, o material fica magnetizado mesmo na ausência de corrente magnetizante, tornando-se, assim, um magneto permanente. De fato, B não vai a zero, senão quando H inverte o seu sentido e atinge o ponto f . Quando H torna-se maior na direção invertida, atinge-se o ponto g e o material aproxima-se de magnetização de saturação, na direção invertida. À medida que H decresce para zero e, em seguida, aumenta na direção original, segue-se a trajetória ghib , sendo assim obtido o ciclo completo da histerese. Cabe mencionar que, o campo de indução magnética B , que permanece depois que o material foi magnetizado até a saturação, e tendo-se em seguida reduzida a zero a intensidade magnética H , é chamado de ”magnetismo residual ou remanente”, e encontra-se denotado por Br na figura 2.17. Já o campo reverso H , necessário para reduzir B a zero, indicado na figura 2.17 por H c , é chamado ”campo coercivo ou coercividade”. Sendo assim, pode-se afirmar que, o campo coercitivo é o campo capaz de anular o magnetismo residual, ou seja, desmagnetizar completamente o material. Uma conseqüência significativa do fenômeno de histerese é a dissipação de energia de materiais ferromagnéticos, cada vez que forem levados a percorrer seu ciclo de histerese. Pode-se mostrar que a energia dissipada, por unidade de volume, em cada ciclo, é proporcional à área delimitada pelo ciclo de histerese, sendo caracterizada desta forma as perdas por histerese no material ferromagnético. 29 2.2 MATERIAIS MAGNÉTICOS Segundo a física, os materiais encontrados na natureza, ou fabricados, podem, conforme a suas propriedades magnéticas e facilidade de magnetização, pertencer magneticamente a três grupos distintos, que são respectivamente: materiais ferromagnéticos, paramagnéticos ou diamagnéticos. Os materiais ferromagnéticos, quando colocados num campo magnético, orientam-se na direção do campo e ficam fortemente magnetizados. Já os materiais paramagnéticos também se orientam paralelamente ou na direção do campo, porém, magnetizam-se fracamente, não apresentando efeitos ponderáveis. Finalmente nos diamagnéticos os fenômenos magnéticos são reduzidos e nestes tipos de materiais os momentos magnéticos serão antiparalelos com o campo externo aplicado. Materiais diamagnéticos são aqueles que apresentam uma permeabilidade relativa pouco menor do que 1 ( µ r < 1), e uma suscetibilidade negativa ( χ < 0), sendo que, o valor numérico desta grandeza χ desses materiais é muito pequena. Pode-se citar, como exemplo desse grupo, gases inertes, alguns tipos de óleos resinas, alguns metais (cobre, bismuto, gálio, ouro, etc.), bem como grafita. De acordo com Menezes (1981, p. 24), “O diamagnetismo é uma propriedade que ocorre no átomo de estrutura eletrônica simétrica e que não possui momento magnético permanente”. Alem disto, Schimidt (1979) explica o diamagnetismo da seguinte maneira: sob a ação de um campo magnético externo, os elétrons que giram em torno de seu próprio eixo vão se ajustando, libertando durante esse ajuste um momento magnético, dirigido contrariamente ao campo enfraquecendo-se assim o campo externo aplicado. de magnetização aplicado, 30 Já nos materiais paramagnéticos a susceptibilidade magnética é positiva ( χ > 0), sendo o seu valor numérico novamente de pequena grandeza. No que se refere à permeabilidade relativa, o seu valor é pouco superior ou igual a 1 ( µ r 1). Podem-se citar, como exemplos de materiais desse grupo, o alumínio, a platina e certos sais de ferro, de cobalto e de níquel. “Os materiais paramagnéticos são caracterizados por átomos que têm um momento magnético permanente. Os movimentos orbitais dos elétrons e os spins produzem correntes circulares que são diferentes de zero” (MARTINS, 1975, p. 398). De acordo com Menezes (1981), os materiais paramagnéticos não apresentam o fenômeno de histerese, sendo ainda independente do poderio do campo magnético. Tanto os diamagnéticos como os paramagnéticos têm valor de permeabilidade relativa em torno da unidade. Não obstante, tanto o diamagnetismo quanto o paramagnetismo são efeitos que só persistem enquanto o campo externo estiver sendo aplicado. Pierre Curie mostrou que a susceptibilidade, em certas substâncias diamagnéticas, é independente da temperatura, mas nos materiais paramagnéticos ela varia com a temperatura, sendo que em ambos os casos não dependem do campo magnético (MENEZES, 1981). Ainda segundo comentários de Menezes (1981), o estudo dos materiais diamagnéticos e paramagnéticos pode ser considerado importante para a determinação cientifica da natureza da matéria. Além disso, sob o ponto de vista técnico ainda não foram assinalados os valores que lhes seriam conferidos, sendo que em alguns casos, tentou-se usá-los para a separação do ferro na lavagem de minério. 31 Passa-se agora a descrever o terceiro grupo, composto pelos materiais ferromagnéticos, o qual é considerado o mais importante para as aplicações elétricas, pois são usados na construção da maioria das máquinas elétricas, transformadores e dispositivos eletromagnéticos, e assim sendo, será mais amplamente discutido. Koltermann (2001, p.13) comenta a respeito dos materiais ferromagnéticos: ”as razões para seu uso tão amplo estão relacionados ao fato do grande fluxo que pode ser estabelecido e controlado pela aplicação de uma pequena força magnetomotriz”. Nos materiais ferromagnéticos a grandeza da susceptibilidade χ é um valor elevado, podendo alcançar valores da ordem de 105. No que se refere à permeabilidade relativa, o seu valor também é muito superior a 1 ( µ r >> 1), variando em função da relação entre indução magnética B e a intensidade do campo H podendo chegar a ordem de 106, que é o caso de algumas ligas de ferro (BASTOS, 1992). Segundo comentários de Almeida (2003), os materiais ferromagnéticos, respondem fortemente à aplicação de um campo externo, implicando em permeabilidades magnéticas que podem alcançar centenas ou milhares de vezes maiores do que a do ar. Podem se incluir nesse grupo os seguintes materiais: ferro, níquel, cobalto, gadolínio, entre outros. Ainda, conforme este mesmo autor, os três primeiros são os mais utilizados na construção de ligas magnéticas e o gadolínio tem algumas aplicações como elemento de contraste em equipamentos de ressonância nuclear magnética. Segundo comentários de Martins (1975, p. 398), “nos materiais ferromagnéticos, devido ao alinhamento no interior do material, estes produzem um 32 campo magnético, mesmo em ausência de campo externo”. De acordo com Bastos (1992), é interessante notar que, se um material ferromagnético estiver em um ambiente aquecido, e se a temperatura for suficientemente elevada e ultrapassar um valor crítico, denominado de “temperatura de Curie”, este material passa de ferromagnético a paramagnético. Cada material apresenta a sua própria temperatura de Curie. Almeida (2003) afirma que, “outra característica dos materiais ferromagnéticos é a presença de magnetismo residual, ou seja, um campo magnético que permanece após a remoção do campo externo”. Por outro lado, em função das características permeabilidade e força coercitiva, os materiais para a indústria elétrica podem ser divididos em dois grupos: - materiais de alta permeabilidade e baixa força coerciva, ou denominados de materiais “magneticamente moles”. - materiais de alta força coerciva, em que a permeabilidade não é uma característica importante, chamados materiais “magneticamente duros” ou “ímãs permanentes”. A força coercitiva mencionada anteriormente pode ser obtida a partir da curva de histerese do material, o que já foi anteriormente descrito no tópico 2.1.10. A figura 2.18 a seguir apresenta uma descrição suscinta dos principais materiais utilizados em equipamentos eletromagnéticos, e identificam-se alguns exemplos destes materiais. 33 MATERIAIS PARA FINS ELETROMAGNÉTICOS MATERIAIS MAGNETICAMENTE MOLES Suas características principais são: - baixa força coerciva; - alta permeabilidade. • • • Ligas de ferro-silício Ligas de ferro-níquel Ligas de ferro-cobalto MATERIAIS MAGNETICAMENTE DUROS OU IMÃS PERMANENTES Suas características principais são: - alta força coerciva; - a permeabilidade não é uma característica importante. • • Aços martensíticos Ligas endurecíveis por precipitação FIGURA 2.18 – principais Materiais utilizados para fins eletromagnéticos. Na seqüência apresenta-se uma descrição resumida das características principais e peculiaridades de cada um dos materiais mencionados acima. Considerou-se desnecessário apresentá-los aqui com maior riqueza de detalhes, pois não se constitui no objetivo principal desta pesquisa. 2.2.1 Materiais Magneticamente Moles Segundo comentários de Bastos (1992), os materiais magneticamente moles são aqueles que, depois de retirado o campo magnético neles aplicado, não guardam uma indução dita “remanente” significativa. São materiais ditos de “passivos” à presença de campo magnético, pois caso o campo externo varie em módulo ou direção, o mesmo ocorrerá com o campo no interior deste material, sem praticamente nenhum efeito de retardo. De acordo com Chiaverini (1986), o ferro puro pode ser, comumente 34 considerado, o material ferromagnético “ideal”, porém, oferece uma baixa resistividade elétrica, assim sendo, não é aconselhado o uso em circuitos de corrente alternada, pois, para esta aplicação, a curva de histerese deve ser bastante afilada, do modo a absorver o mínimo de energia durante a magnetização e desmagnetização, que são aproximadamente 75% de todas as aplicações industriais de materiais magnéticos; no entanto, adicionando-se elementos de liga ao ferro, sua resistividade elétrica aumenta; sendo assim, o material torna-se apropriado para o emprego em corrente alternada. O silício age nesse sentido, do mesmo modo que o alumínio. No entanto, o níquel e o cobalto são os outros metais utilizados como elementos de adição ao ferro. 2.2.1.1 Liga ferro – silício Conforme comentários de Schimidt (1979), as chapas de ferro-silício resultam de um acréscimo de silício ao ferro, já que o silício possui propriedades isolantes; consegue-se, portanto, um material com uma adequada resistência elétrica, o que ocasiona uma diminuição das perdas. Desta forma, o acréscimo de silício possibilita eliminar o carbono, como também, a eliminação de oxigênio de uma forma quase total, e sendo assim, consegue-se aumentar a permeabilidade inicial, a diminuição da força coercitiva, como também, a diminuição das perdas por histerese. Na seqüência apresenta-se a tabela 2.1 com os distintos teores de silício utilizados, que podem variar de 0,25 a 4,75%, assim como também suas características e emprego. 35 TABELA 2.1 – Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si. Teor aproxim. de silício, % Perda do Perda do Tipo ou marca Limite de núcleo núcleo Resistividade Alongamento resistência à Emprego máxima máxima ( -cm) em 2” (%) 2 (W/lb em (W/kg em tração (kgf/mm ) 60 ciclos) 60 ciclos) 0,25-0,30 “Campo” 1,61 5,1 28 - - (1) 0,50-0,60 “Armadura” 1,30 3,4 28 31,0 25 (2) 1,25-1,50 “Elétrico” 1,17 3,7 44 35,0 22 (3) 2,50-2,75 “Motor” 1,01 2,5 44 47,5 14 (4) 2,75-3,25 “Dínamo” 0,82 2,1 50 - - (5) 3,25-3,50 “Hipersil” 0,82 2,1 50 49,0 12 (6) 3,60-4,00 “Transformador 72” 0,72 1,58 52 56,0 8 (7) 4,00-4,25 “Transformador 65” 0,65 1,43 58 50,5 6 (7) 4,25-4,50 “Transformador 58” 0,58 1,27 60 53,0 5 (7) 4,50-4,75 “Transformador 52” 0,52 1,15 65 49,0 2 (7) FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986. Conforme a última coluna da tabela 2.1, os empregos desses materiais são: (1) motores fracionários de baixo custo, para uso intermitente; (2) motores fracionários e peças polares e outros circuitos magnéticos de alta permeabilidade; (3) motores e geradores de melhor qualidade, transformadores pequenos para uso intermitente, relés e reatores; (4) motores e geradores de eficiência média; transformadores pequenos e reatores; (5) motores e geradores de alta eficiência e tamanho médio; transformadores de uso intermitentes, reatores, medidores elétricos, peças polares laminadas; (6) transformador de alta eficiência para redes de distribuição (fabricante: Westinghouse Electric Corp.); (7) todos os tipos de transformadores, para redes de distribuição e máquinas elétricas de elevada eficiência (fabricante: Armco Steel Corp.). 36 2.2.1.2 Ligas ferro – níquel Segundo Schimidt (1979), em presença de uma baixa intensidade de campo, as ligas de ferro-níquel proporcionam uma elevada permeabilidade. Uma das ligas ferromagnéticas mais conhecidas, é a liga com 70 a 90% de níquel e o restante ferro; dita liga recebe o nome de permalloy; no entanto, possui uma resistência elétrica baixa, o que aumenta a circulação de correntes parasitas. De acordo com Chiaverini (1986), comumente estas ligas são aplicadas em instrumentos elétricos, circuitos telefônicos, transmissores, aparelhos de rádio, relés, bobinas, blindagens magnéticas e outros fins. Ainda de acordo com este mesmo autor, para se obter um melhoramento das propriedades magnéticas dessas ligas, realiza-se o seu recozimento em hidrogênio puro seco entre 1.000 e 1.200 oC, durante várias horas; desta forma, diminui-se os teores de carbono, enxofre e oxigênio. Na tabela 2.2 a seguir encontram-se as ligas de ferro-níquel com os seus diferentes teores. TABELA 2.2 – Ligas Fe-Ni magneticamente moles Composição, % Denominação Fe Ni Permalloy 45 54 Permalloy 78 Outros Característicos Permeabilidade Permeabilidade Saturação Resistividade elementos Inicial (G/O) máxima (G/O) 4 Is (G) 45 - 2.500 25.000 16.000 50 21 78 - 8.000 100.000 10.000 16 Permalloy 4-79 16 79 4 Mo 20.000 80.000 8.700 57 Hipernik 50 50 - 4.000 80.000 16.000 35 Mumetal 18 78 2 Cr, 5 Cu 20.000 110.000 7.200 60 Supermalloy 15 79 5 Mo 100.000 800.000 8.000 60 FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986. ( -cm) 37 2.2.1.3 Ligas ferro-cobalto Schimidt (1979), comenta que, o ponto elevado de saturação (máxima intensidade de magnetização) é a característica fundamental dessa liga, que gira em volta dos 25 kG (2,5 T), proporcionando-se assim valores um pouco superiores às ligas de ferro-silício. No entanto, essa característica alcança seu máximo valor com cerca de 34,5% de cobalto. Comumente são utilizados as ligas dos tipos: - hiperco, com 35% de cobalto: utilizado nos mesmos empregos das ligas FeSi, especificamente em aplicações com motores de alta densidade de fluxo e em transformadores; - permendur, com 50% de cobalto: têm restrita sua aplicação a circuitos telefônicos, a eletromagnetos de corrente contínua e aplicações análogas. 2.2.2 Materiais Magneticamente Duros Segundo Bastos (1992), são os materiais que conservam uma indução remanente significativa, por um tempo suficientemente longo, uma vez extinto o campo externo sobre o material aplicado, sem alterá-lo sensivelmente ante mudanças de temperatura e ação de forças mecânicas, ao contrário dos moles. Entretanto, Schimidt (1979) comenta que os materiais duros são denominados igualmente de ímãs permanentes. Seu laço de histerese deve ser largo e bastante alto, e não precisa-se preocupar com a energia absorvida pelo núcleo, pois o regime de operação não é contínuo. Tais materiais são predominante aços carbonos de textura fina e ligas sem carbono que sofrem tratamento térmico. Os materiais empregados são: 38 - aços martensíticos, ou seja, no estado temperado, ou também chamados aços carbonos; - ligas endurecíveis por precitipação, ou ligas sem carbono. 2.2.2.1 Aço martensíticos ou aços carbonos De acordo com Chiaverini (1986), estes materiais apresentam alto carbono, de 0,70 a 1,00%, e devem ser temperados. A adição de elementos de liga que formem carbonetos estáveis, os quais agem como centros de deformação do reticulado, melhora as propriedades magnéticas. Chiaverini (1986, p. 274) afirma que, “se um aço com 1,14% de carbono apresenta um produto, ( BH )máx = 0,18x106, adicionando-se 5 a 6% de tungstênio, o valor desse produto sobe para 0,34x106.” Ainda segundo Chiaverini (1986, p. 274), “o cromo pode substituir o tungstênio e um aço com 5% de cromo e 1,0% de carbono, temperado em óleo, dá um produto ( BH )máx = 0,28x106.” Segundo Schimidt (1979), o aço cobalto pode ser outro tipo de aço-carbono usado nessa aplicação, que, se bem possui características melhores aos anteriores, é também de mais elevado preço. Assim sendo, o cobalto influi consideravelmente sobre o magnetismo residual, Br , e sobre o ponto de saturação; adicionando-se cromo, tungstênio, molibdênio, magnésio e outros, a indução remanente e a força coercitiva devem se elevar ainda mais. 39 2.2.2.2 Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono São essencialmente ligas de ferro, níquel e alumínio, com adição de cobre e outros metais. Segundo comentários de Chiaverini (1986), a tabela 2.3 apresenta determinadas ligas endurecíveis por precipitação; destaca-se que nelas acontece a precipitação de uma fase, o qual provoca o estado de tensões internas, que são, assim, necessárias para que a matriz de ferro alfa proporcione alta remanência e alta força coerciva. Portanto, elas devem ser solubilizadas, temperadas e revenidas. TABELA 2.3 – Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes. Composição (%) Propriedades Magnéticas Tipo de liga Mo Co Ni Ti W Hc Br (oested) (gauss) (B.H) máx (gauss .oested) 6 Fe – Mo – Co 17 12 - - - 250 10.500 1,1x10 Fe – W – Co - 24 - - 27 149 9.600 1,4x106 23,4 - - - - 219 7.000 1,5x106 - 30 16 12 - 920 6.350 2,0x10 Fe – Mo Fe – Co – Ni –Ti 6 FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986. Ainda de acordo com Chiaverini (1986), outras ligas importantes para ímãs permanentes são os chamados “Alnicos”, conforme são apresentadas na tabela 2.4; tais ligas são primeiramente solubilizadas ou homogeneizadas a 1.200 oC, e em seguida temperadas e envelhecidas a 650 oC. Os Alnicos caracterizam-se por serem duros, frágeis e dificilmente usináveis; desta forma as peças de Alnico ou são fundidas na sua forma definitiva ou são produzidas por metalurgia do pó. 40 TABELA 2.4 – Tipos de Alnico para ímãs permanentes Composição, (%) Propriedades Magnéticas Liga Al Ni Co Outros Fe Rest (B.H)máx. Observação (gauss. Hc Br (oested) (gauss) 440 7.200 1,4x10 6 Duro e frágil Duro e frágil oested) Alnico I 12 20 5 - Alnico II 10 17 12,5 6 Cu rest. 550 7.200 1,6x106 Alnico II 10 17 12,5 6 Cu rest. 520 6.900 1,4x10 Alnico III 12 25 - - rest. 450 6.700 1,38x106 Alnico IV 12 28 5,0 - rest. 700 5.500 1,3x10 6 Duro e frágil Alnico V 8 14 24 3 Cu rest. 550 12.500 4,5x10 6 Duro e frágil 8 15 24 3 Cu rest. 750 10.000 3,5x106 Duro e frágil rest. 950 5.800 1,5x10 6 Duro e frágil . 6 Duro (sinterizado) Alnico VI Alnico XII Duro e frágil 1Ti 6 18 35 8 Ti FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986. 2.3 CIRCUITOS MAGNÉTICOS Analogamente ao circuito elétrico, que é o percurso da corrente elétrica, o circuito magnético constitui-se no caminho do fluxo magnético. Estes circuitos magnéticos são normalmente constituídos de uma bobina de N espiras, em cujo núcleo de ar se coloca comumente material ferromagnético, conforme mostra a figura 2.19 a seguir: 41 FIGURA 2.19 – Parte de um circuito magnético FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979. Segundo comentários de Magaldi (1961), o mais simples exemplo de circuito magnético é o denominado enrolamento toroidal, o qual encontra-se ilustrado na figura 2.20. Neste tipo de circuito as linhas de força ficam totalmente encerradas no seu volume, pois a permeabilidade do material é muito maior que a permeabilidade do ar. FIGURA 2.20 – Enrolamento toroidal FONTE: MAGALDI, M. Noções de Eletrotécnica, 1961. Porém, segundo comentários de Martin-Artajo (1964), para se obter o fluxo magnético no volume disponível, da forma mais econômica e favorável possível, utilizam-se materiais ferromagnéticos formados por um circuito fechado com algumas descontinuidades - entreferro de ar ou de um fluido - que possibilitem o movimento das peças mecânicas entre as quais é exercida a ação energética desejada. Na figura 2.21 a seguir ilustra-se um circuito magnético deste tipo. 42 SFe g I Sg Fe FIGURA 2.21 – Circuito magnético com entreferro FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003. Para a produção do fluxo magnético é necessária uma força magnetomotriz, simbolizada por fmm , que é i gual a N .I , que é medida pelo trabalho realizado para transportar uma unidade de massa magnética em torno de um circuito magnético fechado. Esta força magnetomotriz, pode ser constante ou variável no tempo. Nesta pesquisa, optou-se por limitar o estudo ao caso dos circuitos com f.m.m de regime constante ou “quase-estático”. Na seqüência apresentam-se os principiais conceitos utilizados na resolução de problemas envolvendo circuitos magnéticos deste tipo. Em dispositivos magnéticos operando em baixa freqüência, na faixa de 5060 Hz, a radiação eletromagnética é usualmente desprezível. Podemos, então, formular soluções simplificadas para as equações de Maxwell, que serão denominadas de soluções “quase-estáticas”. Por exemplo, considere um indutor de N espiras percorrido por uma corrente de intensidade I . A lei de Ampère poderá ser escrita como: 43 H .dl = N .I , (2.33) C no qual C é um caminho fechado que passa pelo centro das espiras. A equação (2.33) é formalmente idêntica à equação da lei de Faraday, e = E .dl = − C dΦ dt (2.34) Onde e é a força eletromotriz induzida pela variação temporal do fluxo magnético Φ. A analogia entre as leis de Faraday e Ampère também mostra que o fluxo magnético é uma grandeza análoga à corrente elétrica. Da mesma forma, haverá um análogo magnético da resistência elétrica, que será denominada de “relutância magnética” e pode ser entendida como a resistência à passagem do fluxo magnético. A relutância é denotada por ℜ e seu inverso é denominado “permeância magnética”, denotada por P. A tabela 2.5 a seguir, resume vários pontos da “analogia eletromagnética”. TABELA 2.5. – “Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético Circuito Elétrico Circuito Magnético corrente elétrica – I (A) fluxo magnético – Φ (Wb) força eletromotriz – e (V) força magnetomotriz − ℑ = NI (Ae) R (Ω) relutância magnética – ℜ (H-1) condutância elétrica – G (S) permeância magnética – P (H) resistência elétrica – Condutividade elétrica – σ (S/m) permeabilidade magnética – µ (H/m) campo elétrico – E (V/m) campo magnético H – (Ae/m) lei de Ohm – e = R .I lei de Ampère ℑ = ℜ.Φ FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003. 44 Supondo um circuito magnético de caminho médio e área de seção reta S , a relutância total pode ser escrita como, ℜ= µ .S , (2.35) Um circuito eletromagnético e um circuito elétrico série são ilustrados na figura 2.22. FIGURA 2.22 – A) Circuito eletromagnético FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems, FIGURA 2.22 – B) Circuito elétrico FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems, 45 A relutância do ferro será, ℜ Fe = Fe (2.36) µ Fe S Fe enquanto a relutância do entreferro será, ℜg = g µ0S g (2.37) Uma aproximação útil, muitas vezes, é desprezar a relutância do ferro frente à relutância do ar. Assim, toda a relutância do circuito magnético estará concentrada no entreferro. Φg ≅ ℑ = ℜg µ 0 ℑ.S g ℑ = g g µ0 S g (2.38) A indução magnética no entreferro será dada pela equação (2.39) abaixo: Bg = Φg Sg = µ 0 .ℑ.S g g .S g = µ0 ℑ g (2.39) A relação acima, representada pela equação (2.39), mostra claramente que entreferros estreitos resultarão em maiores induções magnéticas. Entreferros largos diminuirão a indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) por causa do aumento da dispersão de fluxo, como mostrado na figura 2.23 abaixo. dispersão (ou “espraiamento do fluxo magnético”. FIGURA 2.23 – Dispersão do fluxo magnético FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003. 46 2.3.1 Perdas em Circuitos Eletromagnéticos Consideremos um circuito magnético de comprimento magnético médio e de seção magnética média S , no qual há um enrolamento de N espiras envolvidas por uma corrente magnetizante I . O rendimento ou eficiência deste conjunto é afetado pelas perdas de potência que se verificam tanto no enrolamento de fio, comumente de cobre, quando no circuito magnético propriamente dito. Assim, as perdas totais Pt podem ser expressas conforme a equação (2.40) a seguir. Pt = Pfio + Pferro (2.40) As perdas no enrolamento serão dadas pela equação (2.41) abaixo. P fio = R .I 2 (watts) onde R é a resistência do enrolamento, dada em (2.41) . Na seqüência apresentam-se as determinações das perdas no ferro ocasionadas pela histerese magnética e por correntes parasitárias. 2.3.1.1 Perdas por histerese ( Ph ) Quando um material ferromagnético é sujeito a uma magnetização alternada há uma perda de energia que se transforma em calor e que é, por unidade de volume, proporcional à área do ciclo de histerese cada vez que este é percorrido. A potência perdida será proporcional à freqüência da corrente magnetizante. Por outro lado, a área do ciclo é aproximadamente proporcional ao valor máximo da 47 indução magnética atingida Bm elevado a uma potência que depende das características do material ferromagnético e do numero de ciclos de histerese desenvolvidos por unidade de tempo. Estas perdas podem, então, ser calculadas, através da expressão (2.42) abaixo: Ph = kh . f .Bmx ; (2.42) onde: Ph = perdas por histerese; Bm = indução magnética máxima; f = freqüência histerética; kh e x = constantes que dependem essencialmente da qualidade do material ferromagnético. 2.3.1.2 Perdas por correntes parasitas (Foucault) ( P f ) A circulação de corrente alternada em enrolamentos cujos núcleos são de material ferromagnético, dá origem a correntes circulantes na própria massa do material, conseqüentes a forças eletromotrizes induzidas nessa mesma massa. Estas correntes serão responsáveis pelo consumo de potência e calor no material ferromagnético, de acordo com a lei de Joule. Uma maneira de se atenuar o desenvolvimento destas correntes de Foucault ou parasitas é não empregar núcleos maciços nos aparelhos de corrente alternada, e sim usar núcleos ferromagnéticos formados por lâminas de espessura reduzida (ordem de frações de milímetros), de material de alta resistividade, além de um 48 isolamento elétrico entre elas. As chapas laminadas são dispostas de modo a reduzir as forças eletromotrizes induzidas e as respectivas intensidades das correntes. Em um certo volume de material ferromagnético situado em um campo magnético alternado e formado de chapas laminadas, tem-se que: - a força eletromotriz induzida na chapa é proporcional à espessura d da chapa, ao valor máximo Φ m do fluxo e à freqüência f ; 2 - a perda por efeito Joule ( I R ) nas chapas é proporcional ao quadrado da espessura “d”, ao quadrado da indução magnética máxima Bm e ao quadrado da freqüência f ; - a perda total é proporcional ao volume do conjunto de chapas V . Desta forma, as perdas para sistemas laminados, devido às correntes parasitas, pode ser obtida através da expressão (2.43) a seguir: 2 2 2 Pf = ke.Bm .f .d .V (2.43) onde: Bm = indução magnética máxima; f = freqüência da fonte alternativa; d = espessura da cada lâmina; V = volume do material ferromagnético; ke = constate determinável experimentalmente, dependendo evidentemente da resistividade do material ferromagnético. Destaca-se que, as considerações acima apresentadas, aplicam-se apenas a núcleos de chapas delgadas e não a núcleos maciços, nos quais as correntes de Foucault podem distorcer fortemente o fluxo magnético. 49 2.4 MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS O problema do ajuste de curvas consiste em dado um conjunto de pontos tabelados (x, y), tentar obter uma função que seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança. De acordo com Campos (1983), a técnica mais comumente utilizada para se conseguir um melhor ajuste de curvas é o método dos mínimos quadrados, e, sendo assim, o mesmo foi o escolhido para ser utilizado neste trabalho. Neste método o objetivo é o de obter estimativas para os parâmetros da função de ajuste das curvas de modo que os desvios ou resíduos sejam mínimos. Para se aplicar o método dos mínimos quadrados, é necessário que se efetue uma linearização do problema através de alguma transformação conveniente (RUGGIERO E LOPES, 1996). A descrição detalhada dos procedimentos efetuados para a obtenção das funções de ajuste das curvas analisadas neste estudo, através da aplicação do método dos mínimos quadrados, é apresentada no item 3.2. 2.5 MÉTODO ITERATIVO Segundo Ruggiero e Lopes (1996), um método iterativo consiste de uma seqüência de instruções que são executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em ciclos, sendo que a execução de um ciclo recebe o nome de iteração. Na aplicação desta técnica, cada iteração utiliza resultados das iterações anteriores, e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um resultado “próximo o suficiente” do resultado esperado. 50 Ainda conforme estes mesmos autores, observa-se que os métodos iterativos fornecem apenas uma aproximação para a solução, enquanto os métodos diretos, teoricamente, obtêm a solução exata da equação. Os métodos iterativos para o refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados num diagrama de fluxo, conforma mostra a figura 2.24. INÍCIO DADOS INICIAS CÁLCULOS INICIAS k= 1 CALCULAR A NOVA APROXIMAÇÃO ESSA APROXIMAÇÃO ESTÁ “PROXIMA O SUFICIENTE” SIM CÁLCULOS FINAIS DA RAIZ EXATA? FIM NÃO CÁLCULOS INTERMEDIÁRIOS k = k+1 FIGURA 2.24 – Fluxograma dos métodos iterativos. FONTE: RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e Computacionais, 1988. Destaca-se que neste trabalho será necessário utilizar um método iterativo, pois o problema a ser resolvido é do tipo uma equação a uma incógnita. A seguir 51 apresenta-se uma descrição resumida dos principais métodos de iteração estudados. 2.5.1 Método Iterativo de Gauss-Seidel A forma como o método de Gauss-Seidel transforma o sistema linear Ax = b em x = Cx + g é a seguinte (RUGGIERO E LOPES, 1996): Tomemos o sistema linear original a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn e supondo aii (2.44) 0, i = 1, ..., n; isolemos o vetor x mediante a separação pela diagonal; assim: x1 = 1/a11 (b1 – a12x2 – a13x3 – ... – a1nxn) x2 = 1/a22 (b2 – a21x1 – a23x3 – ... – a2nxn) . . . . . . . . . x3 = 1/ann (bn – an1x1 – an2x2 – ... - an,n-1xn-1) Desta forma temos x = Cx + g onde: (2.45) 52 -a12 / a11 -a13 / a11 ....... -a1n / a11 -a21 / a22 0 . . . . . . -an1 / ann -an2 / ann -a23 / a22 ....... . . . -an3 / ann ....... -a2n / a22 0 C= . . . (2.46) 0 e b1 / a11 b2 / a22 g= . . . bn / ann (2.47) O processo iterativo do método de Gauss-Seidel consiste em, sendo x uma aproximação inicial, calcular x (1) , x (2), ..., x (k), ...., por: x1( k +1 ) = 1 ( b1 − a12 x 2( k ) − a13 x 3( k ) − .... − a1n x n( k ) ) a11 x 2( k +1 ) = 1 ( b2 − a 21 x1( k +1 ) − a 23 x 3( k ) − .... − a 2n x n( k ) ) a 22 x 3( k +1 ) = 1 ( b3 − a 31 x1( k +1 ) − a 32 x 2( k +1 ) − a 34 x 3( k ) .... − a 3n x n( k ) ) a 33 . . . x n( k +1 ) = (0) 1 ( bn − a n1 x1( k +1 ) − a n 2 x 2( k +1 ) − .... − a n ,n −1 x n( k−1+1 ) ) a nn (2.48) 53 Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular xj(k+1) usamos todos os valores de x1(k+1), ...., xj-1(k+1) que já foram calculados e os (k) (k) valores xj+1 , ...., xn restantes. 2.5.2 Método de Newton-Raphson É um método iterativo, e um dos mais usados e eficientes. A diferença de outros métodos é que este não trabalha com um intervalo, mas se baseia em sua fórmula no processo iterativo. Suponhamos que temos a aproximação xi a raíz xr de f(x). FIGURA 2.25 - Método Newton-Raphson Traçamos a reta tangente a curva no ponto (xi, f(xi)); esta cruza o eixo “x” no ponto xi+1 que será nossa próxima aproximação à raiz. Para calcular o ponto xi+1, calculamos primeiro a equação da reta tangente. Sabemos que: m = f’(xi); (2.49) 54 e, portanto a equação da reta tangente é: Y – f(xi) = f’ (xi) (x – xi) (2.50) Fazendo y = 0 - f(xi) = f’(xi) (x – xi) (2.51) e isolando x: x = xi - f(xi) / f’(xi) , (2.52) que é a fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular a seguinte aproximação: xi+1= xi - f(xi) / f’(xi), desde que f’(xi) ≠ 0 (2.53) Note que o método de Newton-Raphson não trabalha com intervalos no qual se assegure que encontrar-se-á a raiz; e, de fato, não se tem nenhuma garantia de que aproximar-se-a da tal raiz. Entretanto, existem exemplos no qual este método não converge para a raiz. Em tal caso se diz que o método diverge. No entanto, nos casos onde se converge à raiz, o faz com uma rapidez impressionante; por isso é um dos métodos preferidos por excelência. Também observa-se que, se f’(xi) = 0, o método não pode ser aplicado. De fato, vemos geometricamente que isto significa que a reta tangente é horizontal, e, portanto, não intercepta o eixo “x” em nenhum ponto, a menos que coincida com este, em cujo caso xi mesmo é uma raiz de f(xi). 55 2.5.3 Método da Secante O método da secante é um método iterativo baseado no método de NewtonRaphson, tendo como principal diferença o fato que no método de Newton-Raphson precisa-se calcular a derivada da função a ser resolvida e, no da secante, não é necessário a realização desta etapa. Considerando esta vantagem de não ser necessário o cálculo da derivada, optou-se por adotar este método para resolução do problema proposto neste trabalho, sendo que o mesmo será descrito detalhadamente no item 3.3.1. Neste trabalho foi necessário a utilização de método iterativo para a resolução de problemas de circuitos magnéticos, onde se têm como dados a corrente, o número de espiras, e as equações das curvas ajustadas dos materiais que compõem o circuito em análise, obtendo-se como resultado o fluxo magnético. Considerando que o problema em questão depois de devidamente equacionado se resume a um problema do tipo, uma equação a uma incógnita, a solução do mesmo não poderá ser obtida de forma direta, e sim através da realização de um processo iterativo, até se obter o resultado desejado. 56 3 METODOLOGIA 3.1 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA Basicamente, a resolução de circuitos magnéticos construídos com materiais ferromagnéticos, envolve 2 tipos de problemas conforme especificado anteriormente. Nesta seção faremos referência à metodologia para a resolução dos problemas onde se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético por métodos iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai refinando a solução até a convergência a um erro previamente especificado. Considerando que temos os dados básicos, corrente I , número de espiras N , área S , comprimento e tipo do material. Como o valor do fluxo magnético Φ não pode ser determinado diretamente porque deve ser conhecida a relutância de parte do circuito magnético, os quais só podem ser conhecidos quando a densidade do fluxo é conhecido, o que significa que o fluxo deve ser inicialmente conhecido, o que é claramente impossível. Verifica-se então que, com os dados fornecidos, é possível obter a força magnetomotriz ℑ , pois a mesma pode ser obtida com base na corrente I e do número de espiras N , que são dados neste tipo de problema, conforme é apresentado na equação (3.1) a seguir: ℑ = N .I , onde: ℑ é dado em ampère-espiras; N é dado em espiras; I é dado em ampère. (3.1) 57 Além disto, esta força também pode ser expressa em função da somatória do produto entre a intensidade do campo magnético H e o comprimento de cada material que compõe o circuito em estudo, como mostra a equação (3.2) abaixo: ℑ= n Hi . i =1 (3.2) i onde: H i é dado em ampère-espiras/metro; i é dado em metro; i representa cada material que compõe o circuito. Por sua vez a intensidade do campo magnético H , possui uma relação com a indução magnética B , dada pela seguinte equação H = B / µ . Porém, neste tipo de problema a ser resolvido, o valor de B não é diretamente conhecido. Contudo, este conjunto de pontos ( B , H ) pode também ser obtido através da denominada curva de magnetização de materiais ferromagnéticos. Esta curva pode ser matematicamente ajustada através do método dos mínimos quadrados, fornecendo, então, uma equação H = f ( B ) . O detalhamento da metodologia utilizado para o ajuste de curva será feito no item 3.2 a seguir. Uma vez obtida a relação H = f ( B ) , através do ajuste da curva de magnetização de cada material que compõe o circuito em estudo, é possível substituir o valor de H na equação de (3.2) pelas respectivas equações H i = f ( Bi ) , resultando a expressão (3.3) a seguir: ℑ= n i =1 [H i = f (Bi )]. i (3.3) 58 onde B é dado em tesla (ou Wb/m2) Como se sabe, a indução magnética B pode ser expressa pela relação em função do fluxo magnético Φ , dada pela equação Bi = Φ / S i . Então, substituindo esta relação na equação (3.3), obtém-se a expressão (3.4): ℑ= n i =1 Hi = f Φ Si . (3.4) i onde: Φ é dado em weber; S i é dado em metro quadrado. Finalmente, substituindo a equação (3.1) na relação (3.4) acima, e igualando a mesma zero, obtém-se a expressão a seguir: 0= n i =1 Hi = f Φ Si . i − ( N .I ) (3.5) Observa-se que todas as variáveis que compõem esta equação são dados conhecidos no problema, com exceção do fluxo magnético Φ . Portanto, tem-se o seguinte problema a ser resolvido: uma equação a uma incógnita. Considerando isto, a solução deste problema não poderá ser obtida de forma direta, e sim através da realização de um processo iterativo, até se obter o resultado desejado. Neste trabalho optou-se em utilizar o método da secante para realizar as iterações necessárias para resolver o problema em questão. A aplicação deste método será melhor explanada na seqüência. Destaca-se que a equação (3.5) é válida para o caso em que o circuito magnético a ser resolvido é composto por diferentes materiais ferromagnéticos. Porém, caso o circuito seja composto por um ou mais materiais ferromagnéticos, 59 mais um entreferro, esta equação passa a ter um formato pouco diferente como mostrado a seguir: 0= n i =1 Hi = f Φ Si . i + Φ . S g µ0 g − (N .I ) (3.6) onde: S g é a área do entreferro, dado em metro quadrado; g é o comprimento do entreferro, dado em metro; µ o é o coeficiente de permeabilidade do ar, cujo valor é 4 .10-7 H/m. Nota-se que no caso da equação (3.6) a única variável desconhecida é também o fluxo magnético Φ . Logo, a solução da mesma deverá ser obtida através da utilização de um método iterativo, como no caso anterior. 3.2 METODOLOGIA PARA O AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO Para a obtenção da equação H = f ( B ) de um material ferromagnético, deve-se partir de um conjunto de n pontos ( H , B ) que correspondem à curva de magnetização fornecida pelo fabricante do material. De posse desses pontos, e dependendo do modelo matemático da curva desejada, ajustam-se os coeficientes pelo método dos mínimos quadrados. Visando obter o melhor ajuste possível para a representação da curva de magnetização na forma H = f ( B ) dos materiais estudados, foram testados diversos modelos matemáticos, tais como polinomial de diversos graus, logarítmico, exponencial, hiperbólico, entre outros. Após a realização de várias tentativas, 60 concluiu-se que os métodos mais adequados para o ajuste das curvas em estudo resultaram ser o polinomial de diversos graus e o exponencial. Considerando isto, a seguir, é apresentada de maneira resumida a descrição destes dois modelos matemáticos utilizados neste estudo. 3.2.1 Método Polinomial A seguir descreve-se resumidamente o procedimento algébrico para a aproximação polinomial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983). Seja a função H = f ( B ) uma função de grau n dada por valores tabelados e H = P( B ) a função polinomial de grau m a ser ajustada, dada por: P( B ) = a 0 + a1 .B + a 2 .B 2 + ... + a m −1 .B m −1 + a m .B m (3.7) Sendo m < n. Os coeficientes a i (i = 0, 1, 2, ....m) devem ser determinados de tal modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é: d j = f ( B j ) − P( B j ) (3.8) e Z= n j =0 d 2j = n ( f ( B j ) − P( B j )) 2 = mínima (3.9) j =0 ou Z= n ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 B j + a 2 B 2j + ... + a m B mj )) 2 = mínima j =0 (3.10) 61 onde Z é uma função das ( m + 1 ) variáveis independentes a i . De acordo com a teoria dos máximos e mínimos, os valores ai que tornam mínima a função Z são aqueles que anulam suas derivadas parciais primeiras e tornam positivas suas derivadas parciais segundas, isto é: ∂Z = ∂a 0 ∂Z = ∂a1 n ( −2 )B 0j ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0 j =0 n ( −2 )B 1j ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0 j =0 ∂Z = ∂a 2 n ( −2 )B 2j ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0 j =0 . . . ∂Z = ∂a m n ( −2 )B mj ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0 (3.11) j =0 Desenvolvendo e fazendo k = i = 0, 1, 2, ...m, podemos escrever o sistema anterior, como segue: n j =0 B kj ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 B j + a 2 B 2j + ... + a m B mj )) = 0 (3.12) ou a0 n j =0 B kj + a1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ... + a m n j =0 B kj + m = n j =0 B kj . f ( B j ) onde, para cada valor de k, temos uma equação do sistema. (3.13) 62 É esta, portanto, a expressão genérica de um sistema normal simétrico de ( m + 1 ) equações lineares, cuja solução conduz aos valores de a i (i = 0, 1, 2, ...m) que tornam mínima a função Z . O cálculo numérico envolvido na realização dos somatórios pode ser sistematicamente arranjado na forma tabular seguinte: TABELA 3.1 – Cálculos envolvidos no somatório B 0j B1j B 2j ... B 0j f ( B j ) B1j f ( B j ) B 2j f ( B j ) ... 1 B0 B02 … H0 B0 H 0 B02 H 0 … 1 B1 B12 … H1 B1 H 1 B12 H1 … 1 B2 B22 … H2 B2 H 2 B22 H 2 … . . . . 1 n j =0 B 0j Bn n j =0 B1j Bn2 n j =0 Hn … B 2j ... n j =0 B 0j f ( B j ) Bn2 H n Bn H n n j =0 B1j f ( B j ) n j =0 B 2j f ( B j ) ... FONTE: CAMPOS, L. B. Cálculo Numérico, 1983. 3.2.2 Método Exponencial A seguir apresenta-se a seqüência de cálculo para o ajustamento exponencial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983). Seja a função H = f ( B ) uma função do tipo exponencial dada por valores tabelados e H = P( B ) a função exponencial a ser ajustada, dada por: P( B ) = a 0 .e a1 .B (3.14) 63 na qual a 0 e a1 são constantes a determinar de maneira apropriada aos dados. Para este tipo de função, o ajuste será feito transformando-a em um polinômio de primeiro grau com o auxílio de logaritmos decimais, como segue: log f ( B ) = log .a 0 + a1 .B (3.15) Basta agora, resolver o sistema incompatível: log f ( Bi ) = log .a 0 + a1 .Bi , (3.16) com i = 0, 1, 2, .... n, isto é: log f ( B0 ) = log .a 0 + a1 .B0 log f ( B1 ) = log .a 0 + a1 .B1 log f ( B 2 ) = log .a 0 + a1 .B 2 . . . log f ( B n ) = log .a 0 + a1 .B n 3.3 METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO (3.17) DO PROCESSO ITERATIVO 3.3.1 Método da Secante Os princípios teóricos deste método foram baseados no método de NewtonRaphson, diferindo do mesmo somente na forma da função de iteração. 64 O que o método de Newton-Raphson faz, na tentativa de garantir e acelerar a convergência do processo iterativo, é utilizar uma função de interação ϕ ( B ) dada pela seguinte expressão (RUGGIERO E LOPES, 1996): ϕ( B ) = B − f(B) f '( B ) (3.18) Como pode ser observado, no método de Newton-Raphson, a função de iteração é composta pela derivada f '( B ) da equação a ser resolvida, o que constitui uma grande desvantagem, pois resulta necessário obter f '( B ) e calcular seu valor numérico a cada iteração. O que o método da Secante faz, de tal forma a contornar este problema, é substituir a derivada f '( B k ) pelo quociente das diferenças: f '( Bk ) ≈ f ( Bk ) − f ( Bk −1 ) Bk − Bk −1 (3.19) onde Bk e Bk −1 são duas aproximações para a raiz. Então, no método da secante, a função de iteração fica (RUGGIERO E LOPES, 1996): ϕ( Bk ) = Bk − Bk − f ( Bk ) = f ( B k ) − f ( B k −1 ) B k − B k −1 f ( Bk ) ( B k − B k −1 ) f ( B k ) − f ( B k −1 ) ou ainda: (3.20) (3.21) 65 ϕ ( Bk ) = B k −1 f ( B k ) − B k f ( B k −1 ) f ( B k ) − f ( B k −1 ) (3.22) Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton-Raphson, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas; acrescenta-se ainda que o método pode divergir se f ( B k ) ≈ f ( B k −1 ) . A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de Newton-Raphson (RUGGIERO E LOPES, 1996). 66 4 RESULTADOS Os resultados deste estudo foram divididos em 2 seções. Primeiramente serão apresentados os resultados obtidos no processo de ajuste das curvas de magnetização dos materiais considerados neste caso. Logo depois, será apresentado o programa computacional confeccionado para facilitar a resolução do problema sobre circuito magnético proposto, onde se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético, através da utilização de método iterativo. 4.1 AJUSTES DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização dos seguintes materiais ferromagnéticos: aço fundido, aço-silício, liga ferro-níquel. Estes materiais foram escolhidos devido à disponibilidade de suas respectivas curvas de magnetização. Cabe mencionar que uma das dificuldades encontradas no princípio da elaboração deste projeto foi a obtenção das curvas a serem modeladas. Inicialmente procurou-se conseguir estas curvas junto a fabricantes deste tipo de materiais, através da realização de diversos contatos telefônicos e por meio de correio eletrônico, porém, não houve nenhum retorno favorável. Também foram realizadas pesquisas na internet, acessando-se os acervos eletrônicos de várias universidades, não sendo obtido um resultado satisfatório considerando as condições requeridas. Optou-se, então, em utilizar as curvas que estivessem disponíveis na literatura. Novamente neste caso encontraram-se dificuldades, pois a maioria das curvas apresentadas na literatura se encontra em tamanhos muito pequenos ou em escalas inadequadas, não possuindo as condições necessárias e 67 suficientes para a obtenção gráfica, e de maneira correta, do conjunto de pontos que serão utilizados como base para o ajuste matemático destas curvas. Finalmente, após intensa pesquisa, logrou-se encontrar umas curvas que reunissem as condições mínimas para a sua utilização. Nas figuras a seguir apresentam-se estas curvas, as quais foram utilizadas para a obtenção gráfica do conjunto de pontos a serem ajustados por modelos matemáticos. FIGURA 4.1 – Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m) FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981. 68 FIGURA 4.2 – Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m) FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981. Uma vez obtido graficamente o conjunto de pontos ( B , H ) da figura acima apresentada, para cada material selecionado (aço fundido, aço-silício, liga ferroníquel), procedeu-se a realização do ajuste das respectivas curvas. Neste estudo, optou-se por fazer o ajuste invertendo os eixos da curva de magnetização, de tal forma a obter equações em que o campo magnético H fique em função da indução magnética B , ou seja, H = f ( B ) . O ajuste de cada uma destas 3 curvas foi realizado pelo método dos mínimos quadrados, sendo cada curva novamente dividida em alguns trechos de tal forma a se obter um melhor ajuste aos pontos graficamente obtidos. A seguir apresenta-se a seqüência de cálculo executada para a obtenção da equação relativa 69 ao primeiro trecho da curva de magnetização do material aço fundido. Neste caso, o modelo matemático que melhor se ajustou aos pontos graficamente obtidos foi o polinomial de 2ºgrau, tendo-se obtido um coeficiente de 2 2 determinação R igual a 0,99989953. Ou seja, R 1, indicando que a equação obtida possui uma excelente correlação com os pontos que a deram origem. Dada a função H = f ( B ) pelos valores tabelados seguintes: TABELA 4.1 – Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente B (T) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 H (A/m) 185 B (T) 193 202,5 212 221 228 238 247,5 257 266 276 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 H (A/m) 285 295 305 315 325 335 347 357,5 368 380 Partindo da equação de polinômio de 2o grau: H = a 0 + a1 .B + a 2 .B 2 Obtém-se o sistema incompatível: P (0,30) ≅ 185,0 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 P (0,32) ≅ 193,0 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 P (0,34) ≅ 202,5 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 P (0,36) ≅ 212,0 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 P (0,38) ≅ 221,0 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 P (0,40) ≅ 228,0 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 P (0,42) ≅ 238,0 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 P (0,44) ≅ 247,5 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 (4.1) 70 P (0,46) ≅ 257,0 = a0 + 0,46.a1 +0,2116.a2 P (0,48) ≅ 266,0 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 P (0,50) ≅ 276,0 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 P (0,52) ≅ 285,0 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 P (0,54) ≅ 295,0 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 P (0,56) ≅ 305,0 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 P (0,58) ≅ 315,0 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 P (0,60) ≅ 325,0 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 P (0,62) ≅ 335,0 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 P (0,64) ≅ 347,0 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 P (0,66) ≅ 357,5 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 P (0,68) ≅ 368,0 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 P (0,70) ≅ 380,0 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 (4.2) Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j =0 B kj + a1 n j =0 onde ou n B kj +1 + a 2 j =0 B kj + 2 + ...... + a m n+1 = 21 e m+1 =3 n = 20 e m = 2, n j =0 B kj + m = n j =0 B kj .H j (4.3) obtém-se o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0,1,2: a0 20 j =0 B 0j + a1 20 j =0 B 1j + a 2 20 j =0 B 2j = 20 j =0 B 0j .H j 71 a0 a0 20 j =0 20 j =0 B 1j + a1 B 2j + a1 20 j =0 20 j =0 B 2j + a 2 B 3j + a 2 20 j =0 20 j =0 B 3j = B 4j = 20 j =0 20 j =0 B 1j .H j B 2j .H j (4.4) Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: TABELA 4.2 – Cálculos envolvidos no somatório 20 j =0 = B 0j B 1j 1 0,30 1 B 2j B 3j B 4j B 0j H j B1j H j B 2j H j 0,0900 0,027000 0,00810000 185,0 55,50 16,6500 0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 193,0 61,76 19,7632 1 0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 202,5 68,85 23,4090 1 0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 212,0 76,32 27,4752 1 0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 221,0 83,98 31,9124 1 0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 228,0 91,20 36,4800 1 0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 238,0 99,96 41,9832 1 0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 247,5 108,90 47,9160 1 0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 257,0 118,22 54,3812 1 0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 266,0 127,68 61,2864 1 0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 276,0 138,00 69,0000 1 0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 285,0 148,20 77,0640 1 0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 295,0 159,30 86,0220 1 0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 305,0 170,80 95,6480 1 0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 315,0 182,70 105,9660 1 0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 325,0 195,00 117,0000 1 0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 335,0 207,70 128,7740 1 0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 347,0 222,08 142,1312 1 0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 357,5 235,95 155,7270 1 0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 368,0 250,24 170,1632 1 0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 380,0 266,00 186,2000 21 10,5 5,558 1,78260656 5838,5 3068,34 1694,952 3,087 72 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 21a0 + 10,5a1 + 5,558a2 = 5838,50 (4.5) 10,5a0 + 5,558a1 + 3,087a2 = 3068,34 (4.6) 5,558a0 + 3,087a1 + 1,7826a2 = 1694,952 (4.7) Resolvendo este sistema, obtém-se: a0 = 75,7788 a1 = 315,0037 a2 = 169,0547 Por conseguinte, o polinômio de 2o grau resultante será: H ≅ P (B) = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2 (4.8) Para os demais trechos da curva do material aço fundido, assim como para os trechos das curvas dos outros 2 materiais estudados (aço-silício e liga ferroníquel), o ajuste foi realizado seguindo o mesmo procedimento, sendo a seqüência de cálculos dos mesmos apresentados no apêndice A. Na tabela 4.3 a seguir apresenta-se o resumo das equações que obtiveram o melhor ajuste possível para as curvas estudadas, em cada um dos trechos definidos, assim como o intervalo de validade de cada uma destas equações e o seu respectivo coeficiente de correlação. Neste caso, a validade das equações refere-se ao intervalo da variável indução magnética B , cuja unidade está dada em Tesla, para o qual cada equação deve ser aplicada. 73 TABELA 4.3 – Equações H = f (B) ajustadas para os materiais estudados Material Trecho Aço Equação Validade de B (tesla) 1 H = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2 0,30 – 0,70 2 H = 77,438923453.e2,24549176471.B 0,71 – 1,35 Fundido H = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B + 3 12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 + 1,36 – 1,64 988439,644250259B4 1 Aço Silício 2 3 H = 42,0797325318 + 66,7465516057B – 130,353109319B2 + 189,152874234B3 H = -13623,8893419 + 39254,338514B – 37614,401836B2 + 12150,3071265B3 H = 0,00435948960721.e8,87301525055.B 0,30 – 1,00 1,01 – 1,35 1,36 –1,60 H = -0,103507768172 + 6,42724180862B + 1 99,5502341747B2 – 252,138896127B3 + 0,30 – 0,90 194,761521740B4 Ferro- 2 Níquel H = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B 0,91 – 1,43 H = 90093554,9665743 – 249495796,175507B + 3 259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 + 20702515,7313797B 4 1,44 – 1,54 4 H = 1,54 1,54 – 1,54 Nas figuras a seguir apresentam-se as curvas ajustadas para cada material estudado, assim como os pontos obtidos graficamente da literatura. 74 1,8 1,6 1,4 B (Tesla) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 H (A/m) Curva ajustada Pontos obtidos graficamente FIGURA 4.3 – Curva de magnetização – Aço fundido. 1,8 1,6 1,4 B (Tesla) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 H (A/m) Curva ajustada FIGURA 4.4 – Curva de magnetização – Aço-silício. Pontos obtidos graficamente 5.500 6.000 6.500 7.000 75 1,8 1,6 1,4 B (Tesla) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 H (A/m) Curva ajustada Pontos obtidos graficamente FIGURA 4.5 – Curva de magnetização – Liga ferro-níquel. 4.2 PROGRAMA COMPUTACIONAL. Nesta seção apresenta-se o algoritmo do programa computacional concebido de tal forma a automatizar a resolução do problema em questão, para o qual resulta necessário a execução de um processo iterativo. O software Visual Basic for Applications, do Excel foi utilizado para o desenvolvimento deste programa, pois a mesma constitui-se numa ferramenta bastante acessível e de fácil aplicação, sendo uma das linguagens mais utilizadas na atualidade. Além disto, será apresentado também um exemplo numérico utilizando o programa computacional desenvolvido, de tal forma a ilustrar a sua aplicabilidade. 4.2.1 Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic” Na figura 4.6 apresenta-se o algoritmo que ilustra a seqüência do programa computacional desenvolvido visando automatizar a resolução do problema proposto. 76 Dados de Entrada: N, I, l k, Sk, H(i,k) = f[(B(i,k)] da curva B-H. onde: k = 1, 2, 3 (tipos de materiais) i = 1, 2, 3 (trechos em que a curva B-H foi ajustada) Força magnetomotriz (f.m.m.): ℑ = N .I Fluxo Magnético ( ) e Indução Magnética (B) - Valores Inicias: 1 B1,k = =0; Φ1 Sk 2 =1 ; B2,k = Φ2 Sk Equações bases para o processo iterativo: F1 = F2 = 3 {H (i,k ) = f [B1,k (i,k )]× k } − N .I k =1 3 {H (i ,k ) = f [B2,k (i,k )]× k } − N .I k =1 onde i = trecho 1 para todos os materiais no primeiro processo iterativo, podendo variar na seguinte etapa em função da validade da equação de cada trecho de cada material. Equação de Iteração: Φ'= [(Φ1 × F2 ) − (Φ2 × F1)] (F2 − F1) B' k = F'= Φ' Sk k =3 {H (i ,k ) = f [B'(i,k )]× k =1 Φ1 = Φ 2 Φ 2 = Φ' não k − N .I } F'< 0,00001 sim B' k obtidos estão dentro do intervalo de validade das equações H = f(B) utilizadas Substituir H(i,k) = f[B(i,k)] não pela equação ajustada para o trecho subseqüente sim Cálculo dos Dados de Saída: ; Bk ; Hk ; k Apresentação dos Resultados Fim FIGURA 4.6 – Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido. 77 4.2.2 Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional Para exemplicar a aplicação do programa computacional desenvolvido, apresenta-se a seguir a resolução de um circuito magnético composto por um núcleo com três materiais ferromagnéticos, conforme ilustrado na figura 4.7 a seguir. Já nas figuras 4.8 e 4.9 apresentam-se as caixas de entrada de dados e de saída dos resultados, os quais fazem parte do programa computacional desenvolvido, preenchidas respectivamente com as informações relativas ao exemplo numérico proposto para ser resolvido. Fe− Ni = 0,3m R E + I=0,8A Aço− Fundido = 0,2m N=100 S = 0,001m2 Aço − Si FIGURA 4.7 – Circuito magnético proposto para ser resolvido = 0,1m. 78 FIGURA 4.8 – Entrada de Dados do programa FIGURA 4.9 – Saída de Resultados do programa 79 5 CONCLUSÃO O estudo das curvas B-H mostrou-se bastante interessante, pois trata-se de um assunto abordado e utilizado em diversas disciplinas do curso, tais como Eletromagnetismo e Conversão Eletromecânica. A visão mais prática adquirida ao longo deste trabalho, agregada aos conhecimentos teóricos, facilitará o uso profissional dos conceitos estudados. Quanto às dificuldades encontradas na realização deste estudo, cabe mencionar que não foi fácil encontrar curvas B-H que reunissem as condições necessárias para a sua utilização. Como o contato com fabricantes de materiais magnéticos não teve sucesso, optou-se, então, por utilizar os dados de gráficos encontrados na literatura. Na seqüência fez-se o ajuste das curvas selecionadas para o estudo. Esta etapa foi bastante trabalhosa, utilizando-se para o ajuste de curvas o método dos mínimos quadrados. Uma vez realizado os ajustes das curvas, o trabalho incluiu o desenvolvimento de um programa computacional que possibilitasse a resolução do problema proposto, para o qual resulta necessário a aplicação de um método iterativo. Este programa foi implementado utilizando o software Visual Basic for Applications, do Excel. Considera-se que a solução apresentada é de grande relevância, principalmente para ser utilizada em aplicações didáticas, pois o que se encontra mais freqüentemente na literatura são estudos que adotam técnicas mais complexas, como a dos elementos finitos, cujo emprego requer um conhecimento profundo de modelagem matemática. Finalmente, os algoritmos apresentados permitirão a extensão para 80 trabalhos futuros. A partir das curvas de magnetização modeladas, por exemplo, pode-se construir curvas de histerese e, a partir delas analisar numericamente a distorção de conteúdo harmônico produzida por um núcleo ferromagnético. 81 6 REFERÊNCIAS BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo e Cálculo de Campos. 2da. Edição. Editora Universidade Federal de Santa Catarina, 1992. BOCCHETTI, Paulo; MENDEL, Carlos Alberto. Eletromagnetismo. Exped, Rio de Janeiro, 1979. 193p. Eletrodinâmica e CAMPOS, Ladislau B. Cálculo Numérico. 1a Edição, Vol. 2. 1983. 455p. CHIAVERINI, Vicente, Tecnologia Mecânica. 2 a Edição, 1986.388p. DEL TORO, Vincent. Electromechanical Devices for Energy Conversión and Control Systems. Prentice-Hall, INC. New Jersey. 611p. EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Mc Graw Hill, 1981. 232p. FITZGERALD, A.E; KINGSLEY, C. Kusko, A. Máquinas Elétricas – Conversão Eletromecânica de Energia, Processos, Dispositivos e Sistemas. Makron Books, São Paulo, 1993. GRAY, Alexander; WALLACE, G. A. Eletrotécnica. 7. ed.: Editora Livros Técnicos e Científicos, 1983. HALLIDAY, David. Fundamentos de Física. Vol 3. 4. ed.: LTC, 1983. KOLTERMANN, Paulo Irineu. Cálculo de Campos Magnéticos Considerando Histerese. Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2001. 99p. LEITE, Jean Vianei. Análise De Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. Dissertação em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2002. 92p. NASAR, Syed A. Máquinas Elétricas. Mc Graw Hill, 1984. 82 MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Editora Guanabara S. A., Rio de Janeiro. 1988. 638p. MAGALDI, Miguel. Noções de Eletrotécnica. 2a. Edição. Editora Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1961. 392p. MARTIN, J. I. Campos Elétricos Y Magnéticos. 1964. 658p. MARTINS, Nelson. Introdução À Teoria Da Eletricidade E Do Magnetismo. 2a. edição, editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo, 1975. MENEZES, Amaury Alves. Eletrotécnica. Editora Livros Técnicos e Científicos, 1981. 348p. PLONUS, M. A. Applied Eletromagnetics. McGraw Hill, Tóquio, Japan, 1978 . RUGGIERO, Márcia A. G.; LOPE, Vera L. R. Cálculo Numérico. Mc Graw Hill, Sao Paulo, 1988. 406p. SADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo. Bookman. 2004. 687p. 3ª. Edição. Editora SCHIMIDT, Walfredo. Materiais Elétricos. 1a. Edição Vol. 2, 1979. 166p. SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. Física 3 – Eletricidade e Magnetismo. 2a. Edição, LTC Editora, 1984. 771p. REITZ, Jonh R.; MILFORD Frederick J.; CHRISTY, Robert W. Fundamentos da Teoria Eletromagnética. Editora Campos, 1982. 516p. TERADA, Routo. Introdução à Computação e à Construção de Algoritmos. Makron Books, 1992 83 APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO 84 • Ajuste de curva do trecho 2 do aço fundido. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 H (A/m) 380 392,5 410 425 440 465 480 510 535 560 585 B (T) 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 H (A/m) 610 645 670 700 735 770 805 840 875 910 955 B (T) 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 H (A/m) 1045 1085 1140 1185 1245 1305 1370 1435 1505 1590 1675 1,34 990 1,36 Partindo da equação exponencial: H = a0. ea1.B Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação exponencial, obtemos o sistema de 34 equações a 2 incógnitas: ln Hi = ln a0 + a1. Bi Obtemos o sistema incompatível: P (0,70) ≅ ln 380,0 = ln a0 + 0,70.a1 P (0,72) ≅ ln 392,5 = ln a0 + 0,72.a1 P (0,74) ≅ ln 410,0 = ln a0 + 0,74.a1 P (0,76) ≅ ln 425,0 = ln a0 + 0,76.a1 P (0,78) ≅ ln 440,0 = ln a0 + 0,78.a1 P (0,80) ≅ ln 465,0 = ln a0 + 0,80.a1 P (0,82) ≅ ln 480,0 = ln a0 + 0,82.a1 85 P (0,84) ≅ ln 510,0 = ln a0 + 0,84.a1 P (0,86) ≅ ln 535,0 = ln a0 + 0,86.a1 P (0,88) ≅ ln 560,0 = ln a0 + 0,88.a1 P (0,90) ≅ ln 585,0 = ln a0 + 0,90.a1 P (0,92) ≅ ln 610,0 = ln a0 + 0,92.a1 P (0,94) ≅ ln 645,0 = ln a0 + 0,94.a1 P (0,96) ≅ ln 670,0 = ln a0 + 0,96.a1 P (0,98) ≅ ln 700,0 = ln a0 + 0,98.a1 P (1,00) ≅ ln 735,0 = ln a0 + 1,00.a1 P (1,02) ≅ ln 770,0 = ln a0 + 1,02.a1 P (1,04) ≅ ln 805,0 = ln a0 + 1,04.a1 P (1,06) ≅ ln 840,0 = ln a0 + 1,06.a1 P (1,08) ≅ ln 875,0 = ln a0 + 1,08.a1 P (1,10) ≅ ln 910,0 = ln a0 + 1,10.a1 P (1,12) ≅ ln 955,0 = ln a0 + 1,12.a1 P (1,14) ≅ ln 990,0 = ln a0 + 1,14.a1 P (1,16) ≅ ln 1045,0 = ln a0 + 1,16.a1 P (1,18) ≅ ln 1085,0 = ln a0 + 1,18.a1 P (1,20) ≅ ln 1140,0 = ln a0 + 1,20.a1 P (1,22) ≅ ln 1185,0 = ln a0 + 1,22.a1 P (1,24) ≅ ln 1245,0 = ln a0 + 1,24.a1 P (1,26) ≅ ln 1305,0 = ln a0 + 1,26.a1 P (1,28) ≅ ln 1370,0 = ln a0 + 1,28.a1 P (1,30) ≅ ln 1435,0 = ln a0 + 1,30.a1 86 P (1,32) ≅ ln 1505,0 = ln a0 + 1,32.a1 P (1,34) ≅ ln 1590,0 = ln a0 + 1,34.a1 P (1,36) ≅ ln 1675,0 = ln a0 + 1,36.a1 Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem: 5,94017125272 = a2 + 0,70.a1 5,97253653722 = a2 + 0,72.a1 6,01615711597 = a2 + 0,74.a1 6,05208916892 = a2 + 0,76.a1 6,08677472691 = a2 + 0,78.a1 6,14203740559 = a2 + 0,80.a1 6,17378610390 = a2 + 0,82.a1 6,23441072572 = a2 + 0,84.a1 6,28226674690 = a2 + 0,86.a1 6,32793678373 = a2 + 0,88.a1 6,37161184723 = a2 + 0,90.a1 6,41345895717 = a2 + 0,92.a1 6,46925031680 = a2 + 0,94.a1 6,50727771239 = a2 + 0,96.a1 6,55108033504 = a2 + 0,98.a1 6,59987049921 = a2 + 1,00.a1 6,64639051485 = a2 + 1,02.a1 6,69084227742 = a2 + 1,04.a1 6,73340189184 = a2 + 1,06.a1 6,77422388636 = a2 + 1,08.a1 6,81344459951 = a2 + 1,10.a1 87 6,86171134048 = a2 + 1,12.a1 6,89770494313 = a2 + 1,14.a1 6,95177216440 = a2 + 1,16.a1 6,98933526597 = a2 + 1,18.a1 7,03878354139 = a2 + 1,20.a1 7,07749805357 = a2 + 1,22.a1 7,12689080890 = a2 + 1,24.a1 7,17395831976 = a2 + 1,26.a1 7,22256601882 = a2 + 1,28.a1 7,26892012819 = a2 + 1,30.a1 7,31654817718 = a2 + 1,32.a1 7,37148929521 = a2 + 1,34.a1 7,42356844426 = a2 + 1,36.a1 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j= 0 onde ou B kj + a 1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ...... + a m n+1 = 34 e m+1 = 2, n = 33 e m = 1, n j=0 B kj +m = n j= 0 B kj .H j obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1: a2 a2 33 j= 0 33 j= 0 B 0j + a 1 B 1j + a 1 33 j= 0 33 j= 0 B 1j = B 2j = 33 j= 0 33 j=0 B 0j H j B 1jH j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: 88 B 0j B 1j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 B 2j B 0j H j B 1jH j 0,49 5,940171253 4,158119877 0,52 5,972536537 4,300226307 0,55 6,01615716 4,451956298 0,58 6,052089169 4,599587768 0,61 6,086774727 4,747684287 0,64 6,142037406 4,913629924 0,67 6,173786104 5,062504605 0,71 6,234410726 5,23690501 0,74 6,282266747 5,402749402 0,77 6,327936784 5,56858437 0,81 6,371611847 5,734450663 0,85 6,413458957 5,900382241 0,88 6,469250317 6,081095298 0,92 6,507277712 6,246986604 0,96 6,551080335 6,420058728 1,00 6,599870499 6,599870499 1,04 6,646390515 6,779318325 1,08 6,690842277 6,958475969 1,12 6,733401892 7,137406005 1,17 6,774223886 7,316161797 1,21 6,8134446 7,494789059 1,25 6,86171134 7,685116701 1,30 6,897704943 7,863383635 1,35 6,951772164 8,064055711 1,39 6,989335266 8,247415614 1,44 7,038783541 8,44654025 1,49 7,077498054 8,634547625 1,54 7,126890809 8,837344603 1,59 7,17395832 9,039187483 1,64 7,222566019 9,244884504 1,69 7,268920128 9,449596167 1,74 7,316548177 9,657843594 1,80 7,371489295 9,877795656 1,85 7,423568444 10,09605308 33 j=0 34 35,02 37,3796 226,519766 236,2547077 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 34a2 + 35,02a1 = 226,519766 35,02a2 + 37,3796a1 = 236,2547077 89 Resolvendo este sistema, temos: a2 = ln a0 = 4,34948954118 => a0 = 77,438923453 a1 = 2,24549176471 Por conseguinte, a equação ajustada será: H ≅ P (B) = 77,438923453.e2,24549176471.B 90 • Ajuste de curva do trecho 3 do aço fundido. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) H (A/m) 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1675 1770 1870 2025 2180 2350 2550 2740 B (T) 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 H (A/m) 2950 3250 3530 3900 4375 5000 5700 Partindo da equação de polinômio de 4o grau: H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4 Obtemos o sistema incompatível: P (1,36) ≅ 1675,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3 + 3,421020.a4 P (1,38) ≅ 1770,0 = a0 + 1,38.a1 + 1,9044.a2 + 2,628072.a3 + 3,626739.a4 P (1,40) ≅ 1870,0 = a0 + 1,40.a1 + 1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,841600.a4 P (1,42) ≅ 2025,0 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,065869.a4 P (1,44) ≅ 2180,0 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,299817.a4 P (1,46) ≅ 2350,0 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,543719.a4 P (1,48) ≅ 2550,0 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,797852.a4 P (1,50) ≅ 2740,0 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,062500.a4 P (1,52) ≅ 2950,0 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,337948.a4 P (1,54) ≅ 3250,0 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,624487.a4 P (1,56) ≅ 3530,0 = a0 + 1,56.a1 + 2,4336.a2 + 3,796416.a3 + 5,922409.a4 P (1,58) ≅ 3900,0 = a0 + 1,58.a1 + 2,4964.a2 + 3,944312.a3 + 6,232013.a4 P (1,60) ≅ 4375,0 = a0 + 1,60.a1 + 2,5600.a2 + 4,096000.a3 + 6,553600.a4 91 P (1,62) ≅ 5000,0 = a0 + 1,62.a1 + 2,6244.a2 + 4,251528.a3 + 6,887475.a4 P (1,64) ≅ 5700,0 = a0 + 1,64.a1 + 2,6896.a2 + 4,410944.a3 + 7,233948.a4 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j =0 onde ou B kj + a1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ...... + a m n+1 = 15 e m+1 = 5, n = 14 e m = 4, n j=0 n B kj +m = j=0 B kj .H j obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2, 3, 4: a0 a0 a0 a0 a0 14 j =0 14 j =0 14 j =0 14 j =0 14 j =0 B 0j + a 1 B 1j + a 1 B 2j + a 1 B 3j + a 1 B 4j + a 1 14 j= 0 14 j= 0 14 j= 0 14 j= 0 14 j=0 B 1j + a 2 B 2j + a 2 B 3j + a 2 B 4j + a 2 B 5j + a 2 14 j=0 14 j= 0 14 j= 0 14 j=0 14 j=0 B 2j + a 3 B 3j + a 3 B 4j + a 3 B 5j + a 3 B 6j + a 3 14 j=0 14 j= 0 14 j=0 14 j=0 14 j =0 B 3j + a 4 B 4j + a 4 B 5j + a 4 B 6j + a 4 B 7j + a 4 14 j =0 14 j =0 14 j =0 14 j =0 14 j =0 B 4j = B 5j = B 6j = 14 j= 0 14 j =0 14 j= 0 B 7j= 0 = B 8j= 0 = B 0j .H j B 1j.H j B 2j .H j 14 j= 0 14 j= 0 B 3j .H j B 4j .H j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: 92 B 0j B 1j B 2j B 3j B 4j B 5j B 6j B 7j B 8j B 0j H B 1jH B 2j H B 3j H B 4jH 1 1,36 1,8496 2,515456 3,42102016 4,652587418 6,327518888 8,605425688 11,70337894 1675 2278,0 3098,080 4213,38880 5730,208768 1 1,38 1,9044 2,628072 3,62673936 5,004900317 6,906762437 9,531332163 13,15323839 1770 2442,6 3370,788 4651,68744 6419,328667 1 1,40 1,9600 2,744000 3,84160000 5,378240000 7,529536000 10,54135040 14,75789056 1870 2618,0 3665,200 5131,28000 7183,792000 1 1,42 2,0164 2,863288 4,06586896 5,773533923 8,198418171 11,64175380 16,53129040 2025 2875,5 4083,210 5798,15820 8233,384644 1 1,44 2,0736 2,985984 4,29981696 6,191736422 8,916100448 12,83918465 18,48842589 2180 3139,2 4520,448 6509,44512 9373,600973 1 1,46 2,1316 3,112136 4,54371856 6,633829098 9,685390482 14,14067010 20,64537835 2350 3431,0 5009,260 7313,51960 10677,73862 1 1,48 2,1904 3,241792 4,79785216 7,100821197 10,50921537 15,55363875 23,01938535 2550 3774,0 5585,520 8266,56960 12234,52301 1 1,50 2,2500 3,375000 5,06250000 7,593750000 11,39062500 17,08593750 25,62890625 2740 4110,0 6165,000 9247,50000 13871,25000 1 1,52 2,3104 3,511808 5,33794816 8,113681203 12,33279543 18,74584905 28,49369056 2950 4484,0 6815,680 10359,83360 15746,94707 1 1,54 2,3716 3,652264 5,62448656 8,661709302 13,33903233 20,54210978 31,63484906 3250 5005,0 7707,700 11869,85800 18279,58132 1 1,56 2,4336 3,796416 5,92240896 9,238957978 14,41277445 22,48392813 35,07492789 3530 5506,8 8590,608 13401,34848 20906,10363 1 1,58 2,4964 3,944312 6,23201296 9,846580477 15,55759715 24,58100350 38,83798553 3900 6162,0 9735,960 15382,81680 24304,85054 1 1,60 2,5600 4,096000 6,55360000 10,48576000 16,77721600 26,84354560 42,94967296 4375 7000,0 11200,00 17920,00000 28672,00000 1 1,62 2,6244 4,251528 6,88747536 11,15771008 18,07549033 29,28229434 47,43731683 5000 8100,0 13122,00 21257,64000 34437,37680 1 1,64 2,6896 4,410944 7,23394816 11,86367498 19,45642697 31,90854023 52,33000598 5700 9348,0 15330,72 25142,38080 41233,50451 15 15 22,5 33,862 51,129 77,45099632 117,6974724 179,41489945696 274,32656369808 420,686342943339 45865 70274,1 108000,174 166465,42644 257304,1905528 j=0 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 15a0 + 22,5a1 + 33,862a2 + 51,129a3 + 77,45099632a4 = 45865 22,5a0 + 33,862a1 + 51,129a2 + 77,45099632a3 + 117,6974724a4 = 70274,1 33,862a0 + 51,129a1 + 77,45099632a2 + 117,6974724a3 + 179,41489945696a4 = 108000,174 117,6974724a2 + 179,41489945696a3 + 274,32656369808a4 = 166465,42644 51,129a0 + 77,45099632a1 + 77,45099632a0 + 117,6974724a1 + 179,41489945696a2 + 274,32656369808a3 + 420,686342943339a4 = 257304,1905528 93 Resolvendo este sistema, temos: a0 = 4397527,71927261 a1 = -12102789,8476676 a2 = 12494276,3349834 a3 = -5735318,50263342 a4 = 988439,644250259 Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será: H ≅ P (B) = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B + 12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 + 988439,644250259B4 94 • Ajuste de curva do trecho 1 do aço silício. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 H (A/m) 55,00 56,00 57,00 58,00 59,50 60,50 61,625 62,75 63,875 B (T) 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 H (A/m) 65,00 66,667 68,333 70,00 71,667 73,333 75,00 77,50 80,00 B (T) 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 H (A/m) 83,333 86,667 90,00 93,75 97,50 101,25 105,00 109,50 114,00 B (T) 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 H (A/m) 118,50 123,00 128,00 134,00 140,00 147,00 153,00 161,00 167,50 Partindo da equação de polinômio de 3o grau: H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 Obtemos o sistema incompatível: P (0,30) ≅ 55,000 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3 P (0,32) ≅ 56,000 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3 P (0,34) ≅ 57,000 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3 P (0,36) ≅ 58,000 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3 P (0,38) ≅ 59,500 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3 P (0,40) ≅ 60,500 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3 P (0,42) ≅ 61,625 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3 95 P (0,44) ≅ 62,750 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3 P (0,46) ≅ 63,875 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3 P (0,48) ≅ 65,000 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3 P (0,50) ≅ 66,667 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3 P (0,52) ≅ 68,333 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3 P (0,54) ≅ 70,000 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3 P (0,56) ≅ 71,667 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3 P (0,58) ≅ 73,333 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3 P (0,60) ≅ 75,000 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3 P (0,62) ≅ 77,500 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3 P (0,64) ≅ 80,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3 P (0,66) ≅ 83,333 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3 P (0,68) ≅ 86,667 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3 P (0,70) ≅ 90,000 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3 P (0,72) ≅ 93,750 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3 P (0,74) ≅ 97,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3 P (0,76) ≅ 101,250 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3 P (0,78) ≅ 105,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3 P (0,80) ≅ 109,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3 P (0,82) ≅ 114,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3 P (0,84) ≅ 118,500 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3 P (0,86) ≅ 123,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3 P (0,88) ≅ 128,000 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3 P (0,90) ≅ 134,000 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3 96 P (0,92) ≅ 140,000 = a0 + 0,92.a1 + 0,8464.a2 + 0,778688.a3 P (0,94) ≅ 147,000 = a0 + 0,94.a1 + 0,8836.a2 + 0,830584.a3 P (0,96) ≅ 153,000 = a0 + 0,96.a1 + 0,9216.a2 + 0,884736.a3 P (0,98) ≅ 161,000 = a0 + 0,98.a1 + 0,9604.a2 + 0,941192.a3 P (1,00) ≅ 167,500 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j=0 onde ou Bkj + a1 n j=0 Bkj +1 + a2 n j=0 Bkj + 2 + ...... + am n+1 = 36 e m+1 = 4, n = 35 e m = 3, n j=0 Bkj + m = n j=0 Bkj .Hj obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2: d0 d0 d0 d0 35 j= 0 35 j=0 35 j= 0 35 j= 0 B 0j + d1 B 1j + d1 B 2j + d1 B 3j + d1 35 j= 0 35 j=0 35 j= 0 35 j= 0 B 1j + d 2 B 2j + d 2 B 3j + d 2 B 4j + d 2 35 j =0 35 j= 0 35 j =0 35 j =0 B 2j + d 3 B 3j + d 3 B 4j + d 3 B 5j + d 3 35 j=0 35 j =0 35 j=0 35 j=0 B 3j = B 4j = B 5j = B 6j = 35 j =0 35 j= 0 35 j=0 35 j =0 B 0j .H j B 1j.H j B 2j .H j B 3j .H j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: B0j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B1j 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 B 2j 0,0900 0,1024 0,1156 0,1296 0,1444 0,1600 0,1764 0,1936 0,2116 0,2304 0,2500 0,2704 0,2916 0,3136 0,3364 0,3600 0,3844 0,4096 0,4356 0,4624 0,4900 0,5184 0,5476 0,5776 0,6084 0,6400 0,6724 0,7056 0,7396 0,7744 0,8100 0,8464 0,8836 0,9216 0,9604 1,0000 B 3j 0,027000 0,032768 0,039304 0,046656 0,054872 0,064000 0,074088 0,085184 0,097336 0,110592 0,125000 0,140608 0,157464 0,175616 0,195112 0,216000 0,238328 0,262144 0,287496 0,314432 0,343000 0,373248 0,405224 0,438976 0,474552 0,512000 0,551368 0,592704 0,636056 0,681472 0,729000 0,778688 0,830584 0,884736 0,941192 1,000000 B 4j 0,00810000 0,01048576 0,01336336 0,01679616 0,02085136 0,02560000 0,03111696 0,03748096 0,04477456 0,05308416 0,06250000 0,07311616 0,08503056 0,09834496 0,11316496 0,12960000 0,14776336 0,16777216 0,18974736 0,21381376 0,24010000 0,26873856 0,29986576 0,33362176 0,37015056 0,40960000 0,45212176 0,49787136 0,54700816 0,59969536 0,65610000 0,71639296 0,78074896 0,84934656 0,92236816 1,00000000 B5j 0,0024300000 0,0033554432 0,0045435424 0,0060466176 0,0079235168 0,0102400000 0,0130691232 0,0164916224 0,0205962976 0,0254803968 0,0312500000 0,0380204032 0,0459165024 0,0550731776 0,0656356768 0,0777600000 0,0916132832 0,1073741824 0,1252332576 0,1453933568 0,1680700000 0,1934917632 0,2219006624 0,2535525376 0,2887174368 0,3276800000 0,3707398432 0,4182119424 0,4704270176 0,5277319168 0,5904900000 0,6590815232 0,7339040224 0,8153726976 0,9039207968 1,0000000000 B 6j 0,000729000000 0,001073741824 0,001544804416 0,002176782336 0,003010936384 0,004096000000 0,005489031744 0,007256313856 0,009474296896 0,012230590464 0,015625000000 0,019770609664 0,024794911296 0,030840979456 0,038068692544 0,046656000000 0,056800235584 0,068719476736 0,082653950016 0,098867482624 0,117649000000 0,139314069504 0,164206490176 0,192699928576 0,225199600704 0,262144000000 0,304006671424 0,351298031616 0,404567235136 0,464404086784 0,531441000000 0,606355001344 0,689869781056 0,782757789696 0,885842380864 1,000000000000 B 0jH 55,000 56,000 57,000 58,000 59,500 60,500 61,625 62,750 63,875 65,000 66,667 68,333 70,000 71,667 73,333 75,000 77,500 80,000 83,333 86,667 90,000 93,750 97,500 101,250 105,000 109,500 114,000 118,500 123,000 128,000 134,000 140,000 147,000 153,000 161,000 167,500 B1jH 16,50000 17,92000 19,38000 20,88000 22,61000 24,20000 25,88250 27,61000 29,38250 31,20000 33,33350 35,53316 37,80000 40,13352 42,53314 45,00000 48,05000 51,20000 54,99978 58,93356 63,00000 67,50000 72,15000 76,95000 81,90000 87,60000 93,48000 99,54000 105,78000 112,64000 120,60000 128,80000 138,18000 146,88000 157,78000 167,50000 B 2jH 4,9500000 5,7344000 6,5892000 7,5168000 8,5918000 9,6800000 10,8706500 12,1484000 13,5159500 14,9760000 16,6667500 18,4772432 20,4120000 22,4747712 24,6692212 27,0000000 29,7910000 32,7680000 36,2998548 40,0748208 44,1000000 48,6000000 53,3910000 58,4820000 63,8820000 70,0800000 76,6536000 83,6136000 90,9708000 99,1232000 108,5400000 118,4960000 129,8892000 141,0048000 154,6244000 167,5000000 B 3jH 1,485000000 1,835008000 2,240328000 2,706048000 3,264884000 3,872000000 4,565673000 5,345296000 6,217337000 7,188480000 8,333375000 9,608166464 11,022480000 12,585871872 14,308148296 16,200000000 18,470420000 20,971520000 23,957904168 27,250878144 30,870000000 34,992000000 39,509340000 44,446320000 49,827960000 56,064000000 62,855952000 70,235424000 78,234888000 87,228416000 97,686000000 109,016320000 122,095848000 135,364608000 151,531912000 167,500000000 35 36 23,40 16,764 j=0 12,9168 10,48623648 8,83673856 7,65163390272001 3334,75 2403,36166 1872,1574612 1538,887805944 97 98 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 36a0 + 23,4a1 + 23,4a0 + 16,764a1 + 16,764a0 + 16,764a2 + 12,9168a3 = 3334,75 12,9168a2 + 10,48623648a3 = 2403,36166 12,9168a1 + 10,48623648a2 + 8,83673856a3 = 1872,1574612 12,9168a0 + 10,4862364a1 + 8,83673856a2 + 7,65163390272a3 = 1538,887805944 Resolvendo este sistema, temos: a0 = 42,0797325318 a1 = 66,7465516057 a2 = -130,353109319 a3 = 189,152874234 Por conseguinte, o polinômio de 3o grau pedido será: H ≅ P (B) = 42,0797325318 + 66,7465516057B – 130,353109319B2 + 189,152874234B3 99 • Ajuste de curva do trecho 2 do aço silício. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 H (A/m) 167,5 175,0 184,0 193,0 202,5 215,0 227,5 244,0 262,5 285,0 B (T) H (A/m) 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 310,0 340,0 385,0 440,0 475,0 525,0 590,0 670,0 760,0 Partindo da equação de polinômio de 3o grau: H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 Obtemos o sistema incompatível: P (1,00) ≅ 167,5 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3 P (1,02) ≅ 175,0 = a0 + 1,02.a1 + 1,0404.a2 + 1,061208.a3 P (1,04) ≅ 184,0 = a0 + 1,04.a1 + 1,0816.a2 + 1,124864.a3 P (1,06) ≅ 193,0 = a0 + 1,06.a1 + 1,1236.a2 + 1,191016.a3 P (1,08) ≅ 202,5 = a0 + 1,08.a1 + 1,1664.a2 + 1,259712.a3 P (1,10) ≅ 215,0 = a0 + 1,10.a1 + 1,2100.a2 + 1,331000.a3 P (1,12) ≅ 227,5 = a0 + 1,12.a1 + 1,2544.a2 + 1,404928.a3 P (1,14) ≅ 244,0 = a0 + 1,14.a1 + 1,2996.a2 + 1,481544.a3 P (1,16) ≅ 262,5 = a0 + 1,16.a1 + 1,3456.a2 + 1,560896.a3 P (1,18) ≅ 285,0 = a0 + 1,18.a1 + 1,3924.a2 + 1,643032.a3 P (1,20) ≅ 310,0 = a0 + 1,20.a1 + 1,4400.a2 + 1,728000.a3 P (1,22) ≅ 340,0 = a0 + 1,22.a1 + 1,4884.a2 + 1,815848.a3 P (1,24) ≅ 385,0 = a0 + 1,24.a1 + 1,5376.a2 + 1,906624.a3 100 P (1,26) ≅ 440,0 = a0 + 1,26.a1 + 1,5826.a2 + 1,990866.a3 P (1,28) ≅ 475,0 = a0 + 1,28.a1 + 1,6384.a2 + 2,097152.a3 P (1,30) ≅ 525,0 = a0 + 1,30.a1 + 1,6900.a2 + 2,197000.a3 P (1,32) ≅ 590,0 = a0 + 1,32.a1 + 1,7424.a2 + 2,299968.a3 P (1,34) ≅ 670,0 = a0 + 1,34.a1 + 1,7956.a2 + 2,406104.a3 P (1,36) ≅ 760,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j=0 onde ou Bkj + a1 n j=0 Bkj +1 + a2 n j=0 Bkj + 2 + ...... + am n+1 = 19 e m+1 = 4, n = 18 e m = 3, n j=0 Bkj + m = n j=0 Bkj .Hj obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2: e0 e0 e0 e0 18 j =0 18 j =0 18 j =0 18 j =0 B 0j + e 1 B 1j + e1 B 2j + e 1 B 3j + e 1 18 j =0 18 j= 0 18 j =0 18 j =0 B 1j + e 2 B 2j + e 2 B 3j + e 2 B 4j + e 2 18 j =0 18 j =0 18 j=0 18 j =0 B 2j + e 3 B 3j + e 3 B 4j + e 3 B 5j + e 3 18 j =0 18 j =0 18 j=0 18 j=0 B 3j = B 4j = B 5j = B 6j = 18 j =0 18 j= 0 18 j=0 18 j =0 B 0j .H j B 1j.H j B 2j .H j B 3j .H j j=0 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 B1j 1,0000 1,0404 1,0816 1,1236 1,1664 1,2100 1,2544 1,2996 1,3456 1,3924 1,4400 1,4884 1,5376 1,5876 1,6384 1,6900 1,7424 1,7956 1,8496 B 2j 1,000000 1,061208 1,124864 1,191016 1,259712 1,331000 1,404928 1,481544 1,560896 1,643032 1,728000 1,815848 1,906624 2,000376 2,097152 2,197000 2,299968 2,406104 2,515456 B 3j 1,00000000 1,08243216 1,16985856 1,26247696 1,36048896 1,46410000 1,57351936 1,68896016 1,81063936 1,93877776 2,07360000 2,21533456 2,36421376 2,52047376 2,68435456 2,85610000 3,03595776 3,22417936 3,42102016 B 4j 1,0000000000 1,1040808032 1,2166529024 1,3382255776 1,4693280768 1,6105100000 1,7623416832 1,9254145824 2,1003416576 2,2877577568 2,4883200000 2,7027081632 2,9316250624 3,1757969376 3,4359738368 3,7129300000 4,0074642432 4,3204003424 4,6525874176 B 5j 1,000000000000 1,126162419264 1,265319018496 1,418519112256 1,586874322944 1,771561000000 1,973822685184 2,194972623936 2,436396322816 2,699554153024 2,985984000000 3,297303959104 3,635215077376 4,001504141376 4,398046511104 4,826809000000 5,289852801024 5,789336458816 6,327518887936 B 6j B1jH B 2jH B 3jH 167,5 167,50 167,5000 167,500000 175,0 178,50 182,0700 185,711400 184,0 191,36 199,0144 206,974976 193,0 204,58 216,8548 229,866088 202,5 218,70 236,1960 255,091680 215,0 236,50 260,1500 286,165000 227,5 254,80 285,3760 319,621120 244,0 278,16 317,1024 361,496736 262,5 304,50 353,2200 409,735200 285,0 336,30 396,8340 468,264120 310,0 372,00 446,4000 535,680000 340,0 414,80 506,0560 617,388320 385,0 477,40 591,9760 734,050240 440,0 554,40 698,5440 880,165440 475,0 608,00 778,2400 996,147200 525,0 682,50 887,2500 1153,425000 590,0 778,80 1028,0160 1356,981120 670,0 897,80 1203,0520 1612,089680 760,0 1033,60 1405,6960 1911,746560 B 0jH 19 22,42 26,6836 32,024728 38,74648720 47,2424590432 58,024752494656 6651,0 8190,20 10159,5476 12688,099880 B 0j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: 101 102 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 19a0 + 22,42a1 + 26,6836a2 + 32,024728a3 = 6651,0 22,42a0 + 26,6836a1 + 32,024728a2 + 38,74648720a3 = 8190,20 26,6836a0 + 32,024728a1 + 38,74648720a2 + 47,2424590432a3 = 10159,5476 32,024728a0 + 38,74648720a1 + 47,2424590432a2 + 58,024752494656a3 = 12688,099880 Resolvendo este sistema, temos: a0 = -13623,8893419 a1 = 39254,338514 a2 = -37614,401836 a3 = 12150,3071265 Por conseguinte, o polinômio de 3o grau pedido será: H ≅ P (B) = -13623,8893419 + 39254,338514B – 37614,401836B2 + 12150,3071265B3 103 • Ajuste de curva do trecho 3 do aço silício. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) H (A/m) 1,36 1,38 1,40 760 1060 1280 1525 1875 2270 890 1,42 1,44 1,46 1,48 B (T) 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 H (A/m) 2720 3200 3800 4500 5175 6200 Partindo da equação exponencial: H = a0. ea1.B Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação exponencial, obtemos o sistema de 13 equações a 2 incógnitas: ln Hi = ln a0 + a1. Bi Obtemos o sistema incompatível: P (1,36) ≅ ln 760 = ln a0 + 1,36.a1 P (1,38) ≅ ln 890 = ln a0 + 1,38.a1 P (1,40) ≅ ln 1060 = ln a0 + 1,40.a1 P (1,42) ≅ ln 1280 = ln a0 + 1,42.a1 P (1,44) ≅ ln 1525 = ln a0 + 1,44.a1 P (1,46) ≅ ln 1875 = ln a0 + 1,46.a1 P (1,48) ≅ ln 2270 = ln a0 + 1,48.a1 P (1,50) ≅ ln 2720 = ln a0 + 1,50.a1 P (1,52) ≅ ln 3200 = ln a0 + 1,52.a1 104 P (1,54) ≅ ln 3800 = ln a0 + 1,54.a1 P (1,56) ≅ ln 4500 = ln a0 + 1,56.a1 P (1,58) ≅ ln 5175 = ln a0 + 1,58.a1 P (1,60) ≅ ln 6200 = ln a0 + 1,60.a1 Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem: 6,63331843328038 = a2 + 1,36.a1 6,79122146272619 = a2 + 1,38.a1 6,96602418710611 = a2 + 1,40.a1 7,15461535691366 = a2 + 1,42.a1 7,32974968904151 = a2 + 1,44.a1 7,53636393840451 = a2 + 1,46.a1 7,72753511047545 = a2 + 1,48.a1 7,90838715929004 = a2 + 1,50.a1 8,07090608878782 = a2 + 1,52.a1 8,24275634571448 = a2 + 1,54.a1 8,41183267575841 = a2 + 1,56.a1 8,55159461813357 = a2 + 1,58.a1 8,73230457103318 = a2 + 1,60.a1 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j= 0 onde ou B kj + a 1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ...... + a m n+1 = 13 e m+1 = 2, n = 12 e m = 1, n j=0 B kj +m = n j= 0 B kj .H j obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1: 105 a2 a2 12 j= 0 12 j =0 12 B 0j + a 1 B 1j + a 1 j= 0 12 j =0 B 1j = B 2j = 12 j= 0 12 j=0 B 0j H j B 1jH j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: B 0j B 1j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 B 2j 1,8496 1,9044 1,9600 2,0164 2,0736 2,1316 2,1904 2,2500 2,3104 2,3716 2,4336 2,4964 2,5600 B 0j H j B 1jH j 6,63331843328038 9,02131306926131 6,79122146272619 9,37188561856214 6,96602418710611 9,75243386194856 7,15461535691366 10,15955380681740 7,32974968904151 10,55483955221980 7,53636393840451 11,00309135007060 7,72753511047545 11,43675196350370 7,90838715929004 11,86258073893510 8,07090608878782 12,26777725495750 8,24275634571448 12,69384477240030 8,41183267575841 13,12245897418310 8,55159461813357 13,51151949665100 8,73230457103318 13,97168731365310 12 j=0 13 19,24 28,548 100,056609636665 148,729737773164 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 13a2 + 19,24a1 = 100,056609636665 19,24a2 + 28,548a1 = 148,729737773164 Resolvendo este sistema, temos: a2 = ln a0 = -5,43540029104 => a0 = 0,00435948960721 a1 = 8,87301525055 Por conseguinte, a equação ajustada será: H ≅ P (B) = 0,00435948960721.e8,87301525055.B 106 • Ajuste de curva do trecho 1 do ferro-níquel. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) 0,30 H (A/m) B (T) 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 5,6250 5,9375 6,2500 6,5625 6,8750 7,1875 7,5000 7,8125 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 H (A/m) 8,1250 8,4375 8,7500 9,0625 9,3750 9,6875 10,000 10,250 B (T) 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 H (A/m) 10,650 11,000 11,800 12,550 13,500 14,550 15,500 16,850 B (T) 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 H (A/m) 18,000 19,500 21,000 23,000 25,000 27,500 30,500 Partindo da equação de polinômio de 4o grau: H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4 Obtemos o sistema incompatível: P (0,30) ≅ 5,6250 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3 + 0,00810000.a4 P (0,32) ≅ 5,9375 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3 + 0,01048576.a4 P (0,34) ≅ 6,2500 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3 + 0,01336336.a4 P (0,36) ≅ 6,5625 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3 + 0,01679616.a4 P (0,38) ≅ 6,8750 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3 + 0,02085136.a4 P (0,40) ≅ 7,1875 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3 + 0,02560000.a4 P (0,42) ≅ 7,5000 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3 + 0,03111696.a4 107 P (0,44) ≅ 7,8125 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3 + 0,03748096.a4 P (0,46) ≅ 8,1250 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3 + 0,04477456.a4 P (0,48) ≅ 8,4375 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3 + 0,05308416.a4 P (0,50) ≅ 8,7500 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3 + 0,06250000.a4 P (0,52) ≅ 9,0625 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3 + 0,07311616.a4 P (0,54) ≅ 9,3750 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3 + 0,08503056.a4 P (0,56) ≅ 9,6875 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3 + 0,09834496.a4 P (0,58) ≅ 10,000 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3 + 0,11316496.a4 P (0,60) ≅ 10,250 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3 + 0,12960000.a4 P (0,62) ≅ 10,650 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3 + 0,14776336.a4 P (0,64) ≅ 11,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3 + 0,16777216.a4 P (0,66) ≅ 11,800 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3 + 0,18974736.a4 P (0,68) ≅ 12,550 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3 + 0,21381376.a4 P (0,70) ≅ 13,500 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3 + 0,24010000.a4 P (0,72) ≅ 14,550 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3 + 0,26873856.a4 P (0,74) ≅ 15,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3 + 0,29986576.a4 P (0,76) ≅ 16,850 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3 + 0,33362176.a4 P (0,78) ≅ 18,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3 + 0,37015056.a4 P (0,80) ≅ 19,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3 + 0,40960000.a4 P (0,82) ≅ 21,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3 + 0,45212176.a4 P (0,84) ≅ 23,000 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3 + 0,49787136.a4 P (0,86) ≅ 25,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3 + 0,54700816.a4 P (0,88) ≅ 27,500 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3 + 0,59969536.a4 P (0,90) ≅ 30,500 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3 + 0,65610000.a4 108 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. g0 n j=0 onde ou Bkj + g1 n j=0 B kj +1 + g2 n j=0 Bkj + 2 + ...... + gm n+1 = 31 e m+1 = 5, n = 30 e m = 4, n j=0 n B kj +m = j=0 Bkj .H j Obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2, 3, 4: g0 g0 g0 g0 g0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B 0j + g1 B1j + g1 B 2j + g1 B 3j + g1 B 4j + g1 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B1j + g2 B 2j + g2 B 3j + g2 B 4j + g2 B 5j + g2 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B 2j + g3 B 3j + g3 B 4j + g3 B 5j + g3 B 6j + g3 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B 3j + g4 B 4j + g 4 B 5j + g 4 B 6j + g4 B 7j + g 4 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B 4j = B 5j = B 6j = 30 j=0 30 j=0 30 j=0 B 7j=0 = B 8j=0 = B 0j .H j B1j.H j B 2j .H j 30 j=0 30 j=0 B 3j .H j B 4j .H j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: B 0j B 1j B 2j B 3j B 4j B 5j B 6j B 7j B 8j B 0j H B 1jH B 2jH B 3j H B 4jH 109 1 0,30 0,0900 0,027000 0,00810000 0,0024300000 0,000729000000 0,00021870000000 0,0000656100000000 5,6250 1,6875 0,50625 0,151875 0,045562500 1 0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 0,0033554432 0,001073741824 0,00034359738368 0,0001099511627776 5,9375 1,9000 0,60800 0,194560 0,062259200 1 0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 0,0045435424 0,001544804416 0,00052523350144 0,0001785793904896 6,2500 2,1250 0,72250 0,245650 0,083521000 1 0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 0,0060466176 0,002176782336 0,00078364164096 0,0002821109907456 6,5625 2,3625 0,85050 0,306180 0,110224800 1 0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 0,0079235168 0,003010936384 0,00114415582592 0,0004347792138496 6,8750 2,6125 0,99275 0,377245 0,143353100 1 0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 0,0102400000 0,004096000000 0,00163840000000 0,0006553600000000 7,1875 2,8750 1,15000 0,460000 0,184000000 1 0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 0,0130691232 0,005489031744 0,00230539333248 0,0009682651996416 7,5000 3,1500 1,32300 0,555660 0,233377200 1 0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 0,0164916224 0,007256313856 0,00319277809664 0,0014048223625216 7,8125 3,4375 1,51250 0,665500 0,292820000 1 0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 0,0205962976 0,009474296896 0,00435817657216 0,0020047612231936 8,1250 3,7375 1,71925 0,790855 0,363793300 1 0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 0,0254803968 0,012230590464 0,00587068342272 0,0028179280429056 8,4375 4,0500 1,94400 0,933120 0,447897600 1 0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 0,0312500000 0,015625000000 0,00781250000000 0,0039062500000000 8,7500 4,3750 2,18750 1,093750 0,546875000 1 0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 0,0380204032 0,019770609664 0,01028071702528 0,0053459728531456 9,0625 4,7125 2,45050 1,274260 0,662615200 1 0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 0,0459165024 0,024794911296 0,01338925209984 0,0072301961339136 9,3750 5,0625 2,73375 1,476225 0,797161500 1 0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 0,0550731776 0,030840979456 0,01727094849536 0,0096717311574016 9,6875 5,4250 3,03800 1,701280 0,952716800 1 0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 0,0656356768 0,038068692544 0,02207984167552 0,0128063081718016 10,0000 5,8000 3,36400 1,951120 1,131649600 1 0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 0,0777600000 0,046656000000 0,02799360000000 0,0167961600000000 10,2500 6,1500 3,69000 2,214000 1,328400000 1 0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 0,0916132832 0,056800235584 0,03521614606208 0,0218340105584897 10,6500 6,6030 4,09386 2,538193 1,573679784 1 0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 0,1073741824 0,068719476736 0,04398046511104 0,0281474976710657 11,1000 7,1040 4,54656 2,909798 1,862270976 1 0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 0,1252332576 0,082653950016 0,05455160701056 0,0360040606269697 11,8000 7,7880 5,14008 3,392453 2,239018848 1 0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 0,1453933568 0,098867482624 0,06722988818432 0,0457163239653378 12,5500 8,5340 5,80312 3,946122 2,683362688 1 0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 0,1680700000 0,117649000000 0,08235430000000 0,0576480100000002 13,5000 9,4500 6,61500 4,630500 3,241350000 1 0,72 0,5184 0,373248 0,26873856 0,1934917632 0,139314069504 0,10030613004288 0,0722204136308736 14,5500 10,4760 7,54272 5,430758 3,910146048 1 0,74 0,5476 0,405224 0,29986576 0,2219006624 0,164206490176 0,12151280273024 0,0899194740203776 15,5000 11,4700 8,48780 6,280972 4,647919280 1 0,76 0,5776 0,438976 0,33362176 0,2535525376 0,192699928576 0,14645194571776 0,1113034787454980 16,8500 12,8060 9,73256 7,396746 5,621526656 1 0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 0,2887174368 0,225199600704 0,17565568854912 0,1370114370683140 18,0000 14,0400 10,95120 8,541936 6,662710080 1 0,80 0,6400 0,512000 0,40960000 0,3276800000 0,262144000000 0,20971520000000 0,1677721600000000 19,5000 15,6000 12,48000 9,984000 7,987200000 1 0,82 0,6724 0,551368 0,45212176 0,3707398432 0,304006671424 0,24928547056768 0,2044140858654970 21,0000 17,2200 14,12040 11,578728 9,494556960 1 0,84 0,7056 0,592704 0,49787136 0,4182119424 0,351298031616 0,29509034655744 0,2478758911082490 23,0000 19,3200 16,22880 13,632192 11,451041280 1 0,86 0,7396 0,636056 0,54700816 0,4704270176 0,404567235136 0,34792782221696 0,2992179271065850 25,0000 21,5000 18,49000 15,901400 13,675204000 1 0,88 0,7744 0,681472 0,59969536 0,5277319168 0,464404086784 0,40867559636992 0,3596345248055300 27,5000 24,2000 21,29600 18,740480 16,491622400 1 0,90 0,8100 0,729000 0,65610000 0,5904900000 0,531441000000 0,47829690000000 0,4304672100000000 30,5000 27,4500 24,70500 22,234500 20,011050000 30 31 18,60 12,152 8,481600 6,21737984 4,7244595200 3,686808949760 2,93545792819200 2,3738652910751700 398,4375 273,0235 199,02560 151,530058 118,938885800 j=0 110 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 31a0 + 18,6a1 + 12,152a2 + 8,4816a3 + 6,21737984a4 = 398,4375 18,6a0 + 12,152a1 + 8,4816a2 + 6,21737984a3 + 4,72445952a4 = 273,0235 12,152a0 + 8,4816a1 + 6,21737984a2 + 4,72445952a3 + 3,68680894976a4 = 199,0256 4,72445952a2 + 3,68680894976a3 + 2,935457928192a4 = 151,530058 8,4816a0 + 6,21737984a1 + 6,21737984a0 + 4,72445952a1 + 3,68680894976a2 + 2,935457928192a3 + 2,37386529107517a4 = 118,9388858 Resolvendo este sistema, temos: a0 = -0,103507768172 a1 = 6,42724180862 a2 = 99,5502341747 a3 = -252,138896127 a4 = 194,761521740 Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será: H ≅ P (B) = -0,103507768172 + 6,42724180862B + 99,5502341747B2 – 252,138896127B3 + 194,761521740B4 111 • Ajuste de curva do trecho 2 do ferro-níquel Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 H (A/m) 30,50 33,75 37,50 41,75 47,00 52,00 58,00 66,00 75,00 85,00 B (T) 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 H (A/m) 99,00 115,00 137,00 160,00 185,00 210,00 235,00 270,00 B (T) 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 H (A/m) 305,00 340,00 375,00 425,00 480,00 535,00 610,00 675,00 Partindo da equação exponencial: H = a0. eai.B Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação exponencial, obtemos o sistema de 26 equações a 2 incógnitas: ln Hi = ln a0 + a1. Bi Obtemos o sistema incompatível: P (0,90) ≅ ln 30,50 = ln a0 + 0,90.a1 P (0,92) ≅ ln 33,75 = ln a0 + 0,92.a1 P (0,94) ≅ ln 37,50 = ln a0 + 0,94.a1 P (0,96) ≅ ln 41,75 = ln a0 + 0,96.a1 P (0,98) ≅ ln 47,00 = ln a0 + 0,98.a1 P (1,00) ≅ ln 52,00 = ln a0 + 1,00.a1 P (1,02) ≅ ln 58,00 = ln a0 + 1,02.a1 112 P (1,04) ≅ ln 66,00 = ln a0 + 1,04.a1 P (1,06) ≅ ln 75,00 = ln a0 + 1,06.a1 P (1,08) ≅ ln 85,00 = ln a0 + 1,08.a1 P (1,10) ≅ ln 99,00 = ln a0 + 1,10.a1 P (1,12) ≅ ln 115,00 = ln a0 + 1,12.1 P (1,14) ≅ ln 137,00 = ln a0 + 1,14.a1 P (1,16) ≅ ln 160,00 = ln a0 + 1,16.a1 P (1,18) ≅ ln 185,00 = ln a0 + 1,18.a1 P (1,20) ≅ ln 210,00 = ln a0 + 1,20.a1 P (1,22) ≅ ln 235,00 = ln a0 + 1,22.a1 P (1,24) ≅ ln 270,00 = ln a0 + 1,24.a1 P (1,26) ≅ ln 305,00 = ln a0 + 1,26.a1 P (1,28) ≅ ln 340,00 = ln a0 + 1,28.a1 P (1,30) ≅ ln 375,00 = ln a0 + 1,30.a1 P (1,32) ≅ ln 425,00 = ln a0 + 1,32.a1 P (1,34) ≅ ln 480,00 = ln a0 + 1,34.a1 P (1,36) ≅ ln 535,00 = ln a0 + 1,36.a1 P (1,38) ≅ ln 610,00 = ln a0 + 1,38.a1 P (1,40) ≅ ln 675,00 = ln a0 + 1,40.a1 Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem: 3,41772668361337 = a2 + 0,90.a1 3,51898041731854 = a2 + 0,92.a1 3,62434093297637 = a2 + 0,94.a1 3,73169945129686 = a2 + 0,96.a1 113 3,85014760171006 = a2 + 0,98.a1 3,95124371858143 = a2 + 1,00.a1 4,06044301054642 = a2 + 1,02.a1 4,18965474202643 = a2 + 1,04.a1 4,31748811353631 = a2 + 1,06.a1 4,44265125649032 = a2 + 1,08.a1 4,59511985013459 = a2 + 1,10.a1 4,74493212836325 = a2 + 1,12.a1 4,91998092582813 = a2 + 1,14.a1 5,07517381523383 = a2 + 1,16.a1 5,22035582507832 = a2 + 1,18.a1 5,34710753071747 = a2 + 1,20.a1 5,45958551414416 = a2 + 1,22.a1 5,59842195899838 = a2 + 1,24.a1 5,72031177660741 = a2 + 1,26.a1 5,82894561761021 = a2 + 1,28.a1 5,92692602597041 = a2 + 1,30.a1 6,05208916892442 = a2 + 1,32.a1 6,17378610390194 = a2 + 1,34.a1 6,28226674689601 = a2 + 1,36.a1 6,41345895716736 = a2 + 1,38.a1 6,51471269087253 = a2 + 1,40.a1 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j= 0 B kj + a 1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ...... + a m n j=0 B kj +m = n j= 0 B kj .H j 114 onde n+1 = 26 e m+1 = 2, n = 25 e m = 1, ou obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1: a2 a2 25 j= 0 25 j= 0 B 0j + a 1 B 1j + a 1 25 B 1j = j= 0 25 j= 0 B 2j = 25 j= 0 25 j=0 B 0j H j B 1jH j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: B 0j B 1j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 B 2j 0,8100 0,8464 0,8836 0,9216 0,9604 1,0000 1,0404 1,0816 1,1236 1,1664 1,2100 1,2544 1,2996 1,3456 1,3924 1,4400 1,4884 1,5376 1,5876 1,6384 1,6900 1,7424 1,7956 1,8496 1,9044 1,9600 B 0j H j 3,41772668361337 3,51898041731854 3,62434093297637 3,73169945129686 3,85014760171006 3,95124371858143 4,06044301054642 4,18965474202643 4,31748811353631 4,44265125649032 4,59511985013459 4,74493212836325 4,91998092582813 5,07517381523383 5,22035582507832 5,34710753071747 5,45958551414416 5,59842195899838 5,72031177660741 5,82894561761021 5,92692602597041 6,05208916892442 6,17378610390194 6,28226674689601 6,41345895716736 6,51471269087253 B 1jH j 3,07595401525203 3,23746198393306 3,40688047699778 3,58243147324499 3,77314464967586 3,95124371858143 4,14165187075735 4,35724093170748 4,57653740034849 4,79806335700954 5,05463183514805 5,31432398376684 5,60877825544406 5,88720162567124 6,16001987359242 6,41652903686096 6,66069432725587 6,94204322915798 7,20759283852534 7,46105039054107 7,70500383376153 7,98875770298023 8,27287337922860 8,54388277577857 8,85057336089095 9,12059776722154 25 j=0 26 29,90 34,9700 128,97755056454400 152,09516409333300 115 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 26a2 + 29,90a1 = 128,977550564544 29,90a2 + 34,970a1 = 152,095164093333 Resolvendo este sistema, temos: a2 = ln a0 = -2,45236443936 => a0 = 0,0860897915722535 a1 = 6,44612127051 Por conseguinte, a equação ajustada será: H ≅ P (B) = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B 116 • Ajuste de curva do trecho 3 do ferro-níquel. Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes. B (T) H (A/m) 1,40 1,42 1,44 1,46 675 1075 1350 1750 2400 3750 775 920 1,48 1,50 1,52 1,54 Partindo da equação de polinômio de 4o grau: H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4 Obtemos o sistema incompatível: P (1,40) ≅ 675 = a0 + 1,40.a1 +1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,84160000.a4 P (1,42) ≅ 775 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,06586896.a4 P (1,44) ≅ 920 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,29981696.a4 P (1,46) ≅ 1075 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,54371856.a4 P (1,48) ≅ 1350 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,79785216.a4 P (1,50) ≅ 1750 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,06250000.a4 P (1,52) ≅ 2400 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,33794816.a4 P (1,54) ≅ 3750 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,62448656.a4 Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da expressão genérica do sistema normal simétrico. a0 n j =0 onde ou B kj + a1 n j =0 B kj +1 + a 2 n j =0 B kj + 2 + ...... + a m n+1 = 8 e m+1 = 5, n=7 e m = 4, n j=0 B kj +m = n j=0 B kj .H j 117 obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2, 3, 4: a0 a0 a0 a0 a0 7 j =0 7 j =0 7 j =0 7 j =0 7 j =0 B 0j + a 1 B 1j + a 1 B 2j + a 1 B 3j + a 1 B 4j + a 1 7 j= 0 7 j= 0 7 j= 0 7 j= 0 7 j=0 B 1j + a 2 B 2j + a 2 B 3j + a 2 B 4j + a 2 B 5j + a 2 7 j=0 7 j= 0 7 j= 0 7 j=0 7 j=0 B 2j + a 3 B 3j + a 3 B 4j + a 3 B 5j + a 3 B 6j + a 3 7 j=0 7 j= 0 7 j=0 7 j=0 7 j =0 B 3j + a 4 B 4j + a 4 B 5j + a 4 B 6j + a 4 B 7j + a 4 7 j =0 7 j =0 7 j =0 7 j =0 7 j =0 B 4j = B 5j = B 6j = 7 B 0j .H j j= 0 7 B 1j.H j j =0 7 j= 0 B 7j= 0 = B 8j= 0 = B 2j .H j 7 j= 0 7 j= 0 B 3j .H j B 4j .H j Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem: B 0 j B 1 j B 2 j B 3 j B 4 j B 5 j B 6 j B 7 j B 8 j 0 j B H 1 j BH 2 j B H 3 j B H 118 B 4jH 1 1,40 1,9600 2,744000 3,84160000 5,3782400000 7,529536000000 10,5413504000000 14,7578905600000 675 945,0 1323,000 1852,20000 2593,0800000 1 1,42 2,0164 2,863288 4,06586896 5,7735339232 8,198418170944 11,6417538027405 16,5312903998915 775 1100,5 1562,710 2219,04820 3151,0484440 1 1,44 2,0736 2,985984 4,29981696 6,1917364224 8,916100448256 12,8391846454886 18,4884258895036 920 1324,8 1907,712 2747,10528 3955,8316032 1 1,46 2,1316 3,112136 4,54371856 6,6338290976 9,685390482496 14,1406701044442 20,6453783524885 1075 1569,5 2291,470 3345,54620 4884,4974520 1 1,48 2,1904 3,241792 4,79785216 7,1008211968 10,509215371264 15,5536387494707 23,0193853492167 1350 1998,0 2957,040 4376,41920 6477,1004160 1 1,50 2,2500 3,375000 5,06250000 7,5937500000 11,390625000000 17,0859375000000 25,6289062500000 1750 2625,0 3937,500 5906,25000 8859,3750000 1 1,52 2,3104 3,511808 5,33794816 8,1136812032 12,332795428864 18,7458490518733 28,4936905588474 2400 3648,0 5544,960 8428,33920 12811,0755840 1 1,54 2,3716 3,652264 5,62448656 8,6617093024 13,339032325696 20,5421097815718 31,6348490636206 3750 5775,0 8893,500 13695,99000 21091,8246000 7 8 11,76 17,3040 25,486272 37,57379136 55,4473011456 81,9011132275200 121,0904940355890 179,19981642356800 12695 18985,8 28417,892 42570,89808 63823,8330992 j=0 Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem: 8a0 + 11,76a1 + 17,3040a2 + 25,486272a3 + 37,57379136a4 = 12695 11,76a0 + 17,3040a1 + 25,486272a2 + 37,57379136a3 + 55,4473011456a4 = 18985,8 17,3040a0 + 25,486272a1 + 37,57379136a2 + 55,4473011456a3 + 81,9011132275200a4 = 28417,892 25,486272a0 + 37,57379136a1 + 55,4473011456a2 + 81,9011132275200a3 + 121,0904940355890a4 = 42570,89808 37,57379136a0 + 55,4473011456a1 + 81,9011132275200a2 + 121,0904940355890a3 + 179,19981642356800a4 = 63823,8330992 119 Resolvendo este sistema, temos: a0 = 90093554,9665743 a1 = -249495796,175507 a2 = 259102236,825694 a3 = -119595454,935834 a4 = 20702515,7313797 Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será: H ≅ P (B) = 90093554,9665743 – 249495796,175507B + 259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 + 20702515,7313797B4
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