Curso de Estruturas – Estruturas rígidas – Eldon L. Mello – PhD

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Curso de Estruturas – Estruturas rígidas – Eldon L. Mello – PhD – 6.2
5. Tensões normais na salsiquim e no tuboquim.
Suponhamos que a salsiquim e o tuboquim estejam submetidos à mesma carga P. Em
conseqüência, estarão submetidos ao mesmo esforço normal N = P. O estresse será o
mesmo?. Por menor que seja a área da seção transversal, como a da lata de guaraná, ela
nunca será nula. Por razões óbvias.
A madame autoriza o quociente da força normal N numa seção transversal
pela área A dessa seção. O resultado é um número  (sigma) que os
L

engenheiros denominam de tensão normal. Sua unidade é a de uma força por
área: N / cm 2 ; kN / cm 2 ; MPa ; etc.
A área da seção transversal da salsiquim será A s  D 2 / 4 . A seção transversal do
tuboquim é uma coroa de círculo de espessura t (thickness). Se seu diâmetro externo for
igual a D e , a área da coroa de círculo poderá ser calculada pela expressão
A c  (D e  t )t .
As tensões normais na salsiquim e no tuboquim serão iguais se as áreas de suas seções
transversais forem iguais, o que acontecerá quando o diâmetro D da salsiquim for igual a
D  2 (D e  t ) t . Para um tuboquim com D e = 5 mm e t = 1 mm, o diâmetro da salsiquim
terá de ser igual a 4 mm.
Se a força N for expressa em kN e a área A em cm2, a tensão normal  será expressa em
kN/cm2. Ela indica que o esforço solicitante N será distribuído igualmente em cada cm 2 da
seção transversal – uma distribuição uniforme.
1 MPa = 1 N/mm2
1 MPa = 1 MN/m2
1 MPa = 10 kgf/cm2
Departamento de Engenharia Civil – pág. 1/17/
N
A
Os dois corpos rígidos reagirão com esforços normais resistentes de igual magnitude, mas
de sentidos opostos. Esses esforços deverão ser gerados pelas tensões resistentes de cada
um dos dois corpos. Resistência é o que não falta a um corpo rígido!
6. Recreação no reino da madame – tensões no lápis.
O lápis é fabricado com dois materiais diferentes: a madeira e a grafite. Por hipótese, cada
um deles é perfeitamente homogêneo. Mas, suas propriedades mecânicas são diferentes – a
madeira é mais rígida que a grafite. Portanto, o lápis é um material heterogêneo constituído
de dois materiais homogêneos.
O lápis rígido, sem a ponta e sem peso será denominado de lapisquim. Uma, e somente uma
propriedade do lapisquim será relaxada – um pseudo-lapisquim. Embora rígidos, os dois
materiais terão a nossa permissão de reagirem com tensões diferentes. Mas, não terão
liberdade plena - deverão obedecer às nossas regras. Afinal, quem é que dá a última
palavra? Vamos exigir que os dois materiais resistam ao esforço normal N de acordo com a
média ponderada de suas áreas. Vejamos, inicialmente, um assunto que todo estudante
aprecia!
Duas provas de pesos diferentes
Seu colega fez duas provas. As provas tinham pesos p1 e p2. Seu colega lhe disse que
obteve média ponderada ‘m’ nas duas provas. Pergunta: você é capaz de determinar as
notas N1 e N2 das provas que seu colega fez?
Como você conhece a regra do jogo, escreverá:
N1 p1  N 2 p 2  N
{nota ponderada}
p  p1  p 2
{soma dos pesos}
m  N/p
N1
{média ponderada}
p1
p
 N2 2  m
p
p
Você obteve uma equação a duas incógnitas. Na falta de uma dica, a madame poderá lhe
sugerir a seguinte solução:
N1 
pp1
m
p  p 22
N2 
2
1
pp2
m
p  p 22
2
1
Se seu colega disser que deu água, você poderá fazer algumas hipóteses. Poderá supor que
seu colega tenha obtido notas iguais: N 2  N1 Da equação resultará que as notas deverão
ser iguais à média ponderada: N1  N 2  m . Deu água?
Não sendo iguais, serão diferentes! Uma nota poderá ser igual a zero! Seu colega terá de
lhe dizer a relação ‘r’ entre as notas.
Supondo-se N1  0 , a outra deverá ser N 2  r N1 . Da equação resultarão as duas notas:
N1 
p
m
p1  r p 2
N2 
rp
m
p1  r p 2
Submeteremos o pseudo-lapisquim à mesma tortura. Ipsis litteris.
Identificação com o lápis
p1  A 1
área da coroa de círculo da madeira
p2  A2
área do círculo da grafite
A1  A 2  A
pA
área da seção transversal do lápis
N1  1A1
resultante das tensões normais resistentes da coroa de círculo de madeira
N 2   2 A 2 resultante das tensões normais resistentes do círculo de grafite
As tensões resistentes da madeira e da grafite, ponderadas pelas respectivas áreas, deverão
produzir o esforço normal solicitante N:
N1  N 2  N
1A1   2 A 2  N .
Dividindo-se essa expressão pela área A da seção transversal do pseudo-lapisquim, obtémse a relação da tensão na seção transversal:
1
A1
A
N
 2 2   
A
A
A
Com 1  0 e  2  r 1 , as tensões serão distribuídas de acordo com as expressões:
1 
A

A1  r A 2
2 
rA

A1  r A 2
Qual é a diferença entre os dois problemas? É que no lápis nós não arbitramos a relação ‘r’
entre as tensões. Exigimos que ela seja igual à relação entre os módulos de elasticidade da
grafite e da madeira. Em estrita obediência às leis decretadas pelos pesquisadores doutores
Hooke (135-202 ddb) e Young (273-329 ddb). A grafite e a madeira deverão ser muito
íntimas para não haver um escorregão entre elas. O deslizamento de uma em relação à outra
não é permitido. Curioso(a)? É assunto liberado apenas para os estudantes que cursam a
disciplina Mecânica dos Sólidos. Até lá.
7. Apoios e Articulações
A união de duas barras metálicas pode ser feita por meio de solda ou de parafusos. O
movimento de rotação de uma barra em relação à outra será praticamente eliminado. Até
prova em contrário, você preferiria uma barra inteiriça com o comprimento desejado. Mas,
e o transporte da barra? E sua montagem?
Freqüentemente a união de duas barras deve permitir o movimento de rotação de uma em
relação à outra. Isso é possível por meio de dispositivos denominados de articulações. Os
exemplos caseiros mais simples são a dobradiça, o alicate e o canivete.
A dobradiça é um dispositivo muito utilizado para a fixação de portas e janelas. Ela é
constituída de duas chapas (abas ou orelhas) e um pino metálicos. As abas de uma boa
dobradiça são perfeitamente encaixadas no pino. Não apresentam folga perceptível entre as
abas e o pino, e podem ser abertas e fechadas livremente.
No alicate o pino é fixado a uma haste (cabo). A outra haste pode girar facilmente em torno
do pino. A amplitude do movimento de rotação dos cabos do alicate é menor que a da
dobradiça. Mas isso não vem ao caso. O importante é que haja a possibilidade do
movimento de rotação de uma peça em relação à outra. Esse movimento poderá nem se
realizar. Basta manter uma janela permanentemente fechada!
Considere um canivete de uma única lâmina. Um canivete suíço terá um plano de simetria
longitudinal. O fio da sua lâmina estará nesse plano durante os movimentos de abertura e de
fechadura (sic), digo, de fechamento. A lâmina executará um movimento plano de rotação –
seu movimento de rotação em torno do pino do canivete.
Para abrir a lâmina você segura o corpo (cabo) do canivete. E se o cabo fosse aparafusado
(um desperdício!) no piso com a lâmina para cima? E se a mola que controla o movimento
da lâmina fosse retirada? Você teria simulado um apoio simples ideal no plano.
A dobradiça pode simular tanto apoios quanto articulações estruturais. Você pode unir duas
tábuas de madeira por meio de uma dobradiça nelas encaixadas e aparafusadas. Pode fixar a
extremidade da tábua inclinada no piso por meio de outra dobradiça. Pode fixar rigidamente
a tábua horizontal num suporte rígido vertical.
y
Articulação
Articulação
Eixo
Rótula
Rígido
Engaste
Eixo
Rígido
Rótula Apoio simples
x
Os eixos dos pinos das dobradiças serão paralelos ao eixo ‘z’ (perpendiculares ao plano xy)
do sistema Oxyz. O plano ‘xy’ coincidirá com o plano vertical médio das tábuas alinhadas.
As interseções dos planos médios das tábuas com o plano ‘xy’ definirão os eixos das
tábuas. Os pinos serão, então, denominados de rótulas.
8. Tipos de apoio
Apoios são, em geral, estruturas de fundação. Sapatas, blocos, estacas e tubulões são os
representantes mais comuns. As deformações dessas estruturas devem ser imperceptíveis.
Devem, de preferência, ser muito pouco deformáveis. São idealizadas, em primeira
aproximação, como corpos rígidos.
Apoios rígidos são dispositivos que impedem movimentos. Só existem no
reino da madame. O mais simples de descrever com palavras e de representar
graficamente é o engaste perfeito. Ele impediria todos os seis movimentos
relativos a um sistema fixo Oxyz. As três translações e as três rotações seriam z
nulas. Um corpo rígido imobilizado!
y
x
Quais são as combinações possíveis? Você concluirá que não é possível descrever todas
elas com uma ou duas palavras. Algumas teriam de ser representadas em perspectiva, o que
não é nada prático. Como transmitir essas informações para um computador? Basta fazer
uma lista codificada.
Freqüentemente os dígitos 1 e 0 são utilizados para representarem impedimento e liberdade,
respectivamente, de um determinado movimento. Uma tabela conteria uma lista para cada
apoio.
Tx
Ty
Tz
Rx
Ry
Rz
Translações (T) e rotações (R)
1
1
1
1
1
1
Todos os movimentos impedidos - engaste
0
0
0
0
0
0
Todos os movimentos livres
1
0
0
0
0
0
Somente a translação na direção x é impedida
0
0
0
1
0
0
Somente a rotação em torno de x é impedida
?
?
1
1
1
?
Apoio genérico definido no plano xy
Apoios que impedem a translação na direção do eixo ‘z’ e as rotações em torno dos eixos
‘x’ e ‘y’, são apoios definidos no plano ‘xy’ do sistema de referência fixo Oxyz.
Além do engaste perfeito, há os seguintes tipos de apoios no plano ‘xy’.
y
Tx Ty Rz
0 1
1
Tx Ty Rz
1 0
1
Apoios móveis
Tx Ty Rz
1 1
0
Tx Ty Rz
1 1
0
Apoios fixos ou
simples.
Tx Ty Rz
0 1
0
Tx Ty Rz
1 0
0
Apoios móveis
Charriot (carrinho)
x
Há apoios que são inclinados em relação aos eixos do sistema Oxyz. Para defini-los é
necessário introduzir um sistema de referência local Ouvw.
Para os apoios inclinados no plano ‘xy’, o eixo w será paralelo ao eixo z, e terão as
seguintes representações e codificações.
v
u
v
Tu Tv Rw
1 0
1
u
Tu Tv Rw
1 0
0
9. Uma dobradiça sobre a mesa – forças de contacto
Ponha uma dobradiça nova na mesa, como ilustrado ao lado.
Dependendo da abertura(ângulo) a dobradiça permanecerá
em pé ou não. Dependerá do atrito de contacto das abas com
a mesa.
As forças horizontais geradas pelo atrito deverão ser
maiores(folga)
ou
iguais(situação
limite)
às
forças
horizontais geradas pelo peso da dobradiça.
As forças que impedem ou limitam movimentos são
denominadas de forças reativas ou, simplesmente, reações.
O que acontecerá se a superfície da mesa for tão lisa a ponto
de não haver nenhum atrito no contacto das abas da
dobradiça com ela? E se houver atrito no contacto de uma
das abas com a mesa? Essas situações físicas são
representadas pelo apoio móvel. Em ambas as situações a
dobradiça não ficará em pé.
Se as abas da dobradiça forem soldadas ao pino, elas não
poderão mais girar em torno dele. Não poderão ser abertas
ou fechadas. A dobradiça ficará em pé porque haverá
resistência ao movimento relativo das abas.
10. A dobradiça rígida
No reino da madame existe a dobraquim - a dobradiça rígida. Somente seu pino tem peso.
Ela tem a aparência e funcionalidade de uma dobradiça comum. A diferença é que ela é
indestrutível. Nada será capaz de amassar, flexionar e empenar suas abas, de dobrar seu
pino ou alterar suas dimensões. E o peso do pino?
Índice de massa corporal
Recentemente, os médicos estabeleceram um índice para avaliar a nossa obesidade. É
denominado de índice de massa corporal: IMC  P / h 2  (P / h) / h Nesse índice, P é o
nosso peso em Kg e ‘h’ é nossa altura em metros. Sua unidade será, portanto, Kg / m 2 . Não
importa se estamos deitados ou não. Para as pessoas de mesma altura h, o índice dependerá
apenas dos seus pesos.
De há muito que os engenheiros utilizam um índice semelhante para as lajes e paredes. Não
para estimar a obesidade delas! Mas, para estimar sua carga por unidade de área. No caso
de lajes ou paredes com comprimento e largura iguais (quadradas), os dois índices
coincidirão perfeitamente. Em vez de IMC, os engenheiros utilizam os símbolos ´g´ e ´q´.
Não temos necessariamente de pesar as paredes e lajes!. As normas técnicas fornecem
valores aproximados das suas massas específicas em Kg / m 3 . A NBR 6118-2003
recomenda para o concreto simples 2400 Kg / m 3 , para o concreto armado 2500 Kg / m 3 e
para o aço 7850 Kg / m 3 . Se você multiplicar esses valores pela espessura, em metros, de
uma laje ou chapa de aço obterá seu peso por metro quadrado. Melhor que isso...
Para as barras (elementos 1D) de seção transversal constante, o índice é calculado
dividindo-se seu peso pelo seu comprimento. Não importa também sua posição.
Alternativamente, basta multiplicar a massa específica do material da barra pela área de sua
seção transversal, expressa em metros quadrados. Em qualquer caso você terá seu peso por
metro linear (medido ao longo do seu comprimento).
Como a dobraquim é muito pequena, a unidade adequada será o centímetro. Basta dividir o
peso P do pino pelo seu comprimento, expresso em centímetros. Estará supondo uma carga
uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento.
E se o comprimento do pino for exatamente igual a 1 cm? O valor da carga uniforme
coincidirá com o valor do seu peso P. Você terá uma carga concentrada no centro do pino.
Nas ilustrações a seguir a dobraquim tem 1 cm de comprimento (imagine uma!) e o pino
age sobre suas abas com a carga concentrada P.
A dobraquim na mesa
Sua geometria pode variar de acordo com os parâmetros ‘a’ e ‘c’. Sua largura é constante e
igual à hipotenusa do triângulo de catetos variáveis ‘a’ e ‘c’.
y
As reações verticais (direção do eixo y) serão
P
c
a b
b=a
Pa
2c
iguais à metade da carga P. As reações horizontais
Pa
2c
(direção do eixo x) indicam as forças de atrito
necessárias entre as abas e a mesa, para manter a
P/2
P/2
dobraquim na posição planejada.
x
Quando o vão ‘2a' for nulo, as abas serão verticais e as reações horizontais serão nulas.
Nessa situação a dobraquim poderá tombar facilmente. A posição vertical será muito
instável – um sopro e a dobraquim vai pro brejo!
Peso    V
Seção transversal constante: V  A  L
Peso    A  L
Peso / L  q    A
Quando a abertura ‘a’ for igual a ‘c’ as abas estarão inclinadas de 45 graus e as reações
horizontais serão iguais à metade da carga P. Para a = 2c as reações horizontais serão iguais
à carga P.
Quando ‘a’ tender para a largura da aba, a altura ‘c’ da dobraquim tenderá para zero e as
reações horizontais tenderão para o infinito. Não haverá apoio que suporte a dobraquim em
pé!
Quando a altura ‘c’ for pequena em relação ao vão ‘2a’ a dobraquim terá, na linguagem dos
engenheiros, uma geometria abatida (todo o cuidado é pouco!). Os arcos seriam abaulados
porque teriam a forma da tampa de um baú (cuidado ao subir na tampa!). É outra situação
de instabilidade.
P
As abas da dobraquim são soldadas ao pino. Não haverá reação
horizontal, mas o apoio simples tem condição de impedir o
0
movimento horizontal. Um sopro não será capaz de mover a
P/2
P/2
dobraquim na horizontal.
Para o vão ‘2a' igual a zero permanecerá o problema da instabilidade por tombamento.
Quando a altura ‘c’ for nula, o vão será igual a ‘2a'. Sobre os dois apoios, a dobraquim
poderá simular uma viga larga ou uma laje apoiada em duas bordas paralelas. A carga P
poderá simular uma parede erguida sobre a laje na direção do pino. A resistência da
conexão soldada será crucial.
P
A situação é análoga à do caso anterior. Agora, porém, a dobraquim
poderá mover-se livremente pela mesa. Um sopro e a dobraquim vai pro
brejo!
P/2
P/2
Agora, tanto a soldada quanto o atrito das abas na mesa
P
contribuirão para manter a dobraquim em pé. Mas, qual será a
contribuição de cada? Pela simetria, as reações horizontais
??
??
deverão ter sentidos opostos e a mesma intensidade.
P/2
P/2
Os valores das reações horizontais serão indeterminados. Será necessário relaxar a hipótese
de corpo rígido. É necessário conhecer como ela se deforma. Os valores das reações
dependerão das propriedades mecânicas da dobradiça e da solda. As soluções do tipo ‘8 ou
80’ foram apresentadas nos casos anteriores: a)pino e apoios fixos; b)solda e um apoio
móvel.
11. Comentários
 Protótipos são viáveis apenas na industria mecânica, naval e aeronáutica. Quando
destinados ao público, devem ser exaustivamente testados para receberem o certificado de
aprovação para a sua produção em série. É que os materiais reais teimam em não obedecer
às leis impostas pelos pesquisadores. Testar é preciso. Esses testes são extremamente
valiosos para a calibração dos modelos teóricos. A mecânica computacional agradece.
A extrapolação pura e simples desses modelos para as estruturas das construções civis é
uma temeridade. Para não dizer uma irresponsabilidade. Protótipos são inviáveis na
construção civil. A não ser de pequenas construções, quando então são dispensáveis. Há os
que acham que as normas técnicas são exageradas. Acham que suas leis, admiravelmente
executadas pelos softwares, seriam suficientes! Se esquecem de que são elaboradas por
renomados pesquisadores doutores no mundo inteiro. Que sabem da necessidade de
construir portos, túneis, pontes, viadutos e hangares seguros para a utilização e abrigo dos
produtos da indústria! De construir edifícios seguros e econômicos para seus ocupantes. E
que os responsáveis pelos projetos devem responder por insucessos eventuais. Se esquecem
de que o PROCON está cada vez mais ativo!
 Voltando à passarela da vitória, os projetistas sabiam que as vibrações poderiam ocorrer.
Eles sabiam que as rudimentares passarelas indígenas tremiam. Menosprezaram o
adversário? Extrapolaram? A mecânica computacional usurpou o lugar da Mecânica
Estrutural?. Da Mecânica dos grandes mestres. Da Mecânica dos ensaios. Da Mecânica da
intuição de R. Courant. É possível resgatar a Mecânica Estrutural?
 Os resultados dos ensaios variam muito de acordo com a composição físico-química do
aço e do processo de fabricação. Normas técnicas específicas padronizam, então, os tipos
de aço a serem produzidos pelas siderúrgicas. Outras normas elaboram as especificações
para a utilização desses aços nas construções. Alguns aços são mais adequados para os
elementos estruturais das construções metálicas: perfis laminados ou soldados e perfis de
chapas dobradas. Outros são recomendados para a confecção dos elementos estruturais de
concreto armado: lajes, vigas e pilares. Outros são mais indicados para as lajes e vigas de
concreto protendido.
 Ao presenciar o ensaio de tração de uma barra de aço no laboratório, você verá que será
necessário fazer uma idealização do comportamento da barra. Será necessário cozinhar o
galo! E um galo cozido pode não ser saboroso, mas que é útil...
 Há várias propriedades relacionadas às superfícies planas originadas dos cortes
transversais das barras: a área da seção, o centro de gravidade da seção, os momentos
estáticos, os momentos de inércia, os eixos principais, etc. Essas propriedades são
coletivamente denominadas de momentos de área. Até lá.
 O benefício da expansão da seção transversal de um pilar comprimido é apenas marginal
na sua resistência. Acaba por se tornar um malefício porque complica a formulação teórica
e a interpretação de ensaios, principalmente na região dos apoios dos pilares. As normas
técnicas sintetizam os resultados das experiências e elaboram as recomendações técnicas
para o projeto de pilares que tenham características semelhantes. Os engenheiros utilizam
as recomendações gerais das normas ou realizam ensaios em casos mais específicos.
 O corpo de prova cilíndrico pode também ser utilizado para a determinação da resistência
à tração do concreto. O ensaio direto, como no caso da barra de aço, é de difícil execução.
Ponha a salsicha deitada na mesa. Apertando o fundo de um prato de vidro sobre ela você
verá que ela tende a se achatar. O diâmetro no plano vertical diminuirá e o do plano
horizontal aumentará. Foi Lobo Carneiro, renomado pesquisador e engenheiro brasileiro,
quem estabeleceu o método para a determinação da resistência à tração por meio da
compressão diametral do corpo de prova. É mundialmente conhecido como Brazilian
Method.
 Algumas árvores desenvolvem uma couraça (casca) para sobreviverem aos incêndios.
Prevenir é o melhor remédio. Essa casca não se incendeia em contacto com o fogo. É capaz
de resistir a altas temperaturas. É um material refratário. A argila refratária é utilizada nos
altos fornos das siderúrgicas para a produção dos aços. Ela é capaz de resistir a
temperaturas bem mais elevadas que a temperatura de fusão do ferro. Materiais cerâmicos
refratários já foram (ou são) utilizados até nos motores dos carros de Fórmula 1. O amianto
é um material refratário. É muito utilizado na confecção da vestimenta dos bombeiros
encarregados de debelar incêndios. É também empregado na proteção dos elementos
estruturais das construções metálicas e de concreto armado. Principalmente nas construções
muito altas. A prevenção é o melhor remédio.
 Há madeiras mais apropriadas que outras para as construções. A função estrutural pode
ser exercida apenas pelas madeiras que satisfazem aos ensaios padronizados pelas normas
técnicas, como as madeiras de lei. Esses ensaios visam determinar as madeiras que
apresentem um índice adequado de segurança. A confiabilidade de uma construção depende
da confiabilidade dos seus elementos.
 A probabilidade de ruína deveria ser a mesma nas construções metálicas, de concreto
armado, de concreto protendido, de madeira e nas construções mistas. Apesar dos avanços
ocorridos nas últimas décadas, ainda não é possível estimá-la mesmo para as estruturas
consideradas simples. Pesquisar é preciso - a Mecânica Estrutural agradece. Você topa o
desafio?
 Há corpos que não sustentam seu próprio peso. Você conseguirá segurar um pedaço de
papel comum na posição vertical. E um pedaço da goma elástica de amarrar cédulas? Por
que? Até lá.
 São os achismos abalizados que propiciam a evolução das ciências. Leonardo da Vinci
(48 adb- 19 ddb), Galileu (64-142 ddb), Mariotte (120-184 ddb), Hooke (135-202 ddb), J.
Bernoulli (154-205 ddb), Parent (166-216 ddb), D. Bernoulli (200-282 ddb), Euler (207283 ddb), Coulomb (236-306 ddb), Lagrange (236-313 ddb), Young (273-329 ddb), Navier
(285-336 ddb), Poisson (281-340 ddb), Green (293-341 ddb), Cauchy (289-357 ddb),
Clapeyron (299-364 ddb), Poncelet (288-367 ddb), Lamé (295-370 ddb), Clebsh (333-372
ddb), Duhamel (297-374 ddb), Maxwell (331-379 ddb), Saint-Venant (297-386 ddb),
Kirchoff (324-387 ddb), Phillips (321-389 ddb) e Airy(301-392 ddb) são os principais
cientistas que contribuíram para explicar a resistência das vigas e placas. Algumas teorias
foram inicialmente aceitas, mas se revelaram incorretas com o decorrer do tempo. Seus
autores reconheceram as falhas e as corrigiram em publicações posteriores. Aos súditos da
madame foi vedado o achismo – eles têm de apresentar uma demonstração irrefutável das
suas proposições. Dureza, heim?
 Num corpo rígido duas seções transversais paralelas, vizinhas ou não, nunca se
aproximariam ou se afastariam uma da outra, qualquer que fosse a magnitude do esforço
normal. Nunca deixariam de ser paralelas sob a ação de um momento fletor de qualquer
magnitude. Uma nunca giraria em relação à outra sob a ação de um momento de torção de
qualquer intensidade. Uma nunca deslizaria em relação à outra sob a ação de um esforço
cortante de qualquer intensidade.
 Um avião poderá executar qualquer movimento durante o vôo. Os controladores de
tráfego aéreo não estão nem aí quanto às deformações do avião. Se preocupam apenas com
a sua posição a cada instante. Para eles tudo se passa como se o avião fosse um corpo
rígido.
 Uma edificação é submetida a forças por todos os lados. Ela terá também os seis
movimentos distintos de um corpo rígido, só que eles deverão passar desapercebidos pelos
seus ocupantes. Pelo menos essa é a intenção dos engenheiros e dos ocupantes.
Descartando-se, evidentemente, as forças selvagens. Na presença delas a esperança é que a
edificação não desmorone – mesmo que chacoalhe e trinque (ou rache) à vontade! O
tombamento da edificação - como uma árvore que tomba - nem pensar!
 Lajes, vigas e pilares são elementos estruturais de uma edificação. As lajes são
sustentadas pelas vigas e estas são sustentadas pelos pilares. Os pilares são sustentados
pelas estruturas de fundação. É mais comum dizer que as lajes se ‘apóiam’ nas vigas, que as
vigas se ‘apóiam’ nos pilares e que os pilares se ‘apóiam’ na fundação. Há edificações que
prescindem das vigas: as lajes são sustentadas diretamente pelos pilares.
 Para você apreciar a sugestão da madame nas provas de pesos diferentes.
c  ax
b
ax  by  c
y
z  x 2  y2
z  x2 
dz
2a (c  ax )
 2x 
dx
b2
dz
0
dx
x
a
c
a  b2
2
d2z
a2
 22 2
dx 2
b
y
(c  ax ) 2
b2
b
c
a  b2
2
d2z
0
dx 2
A sugestão da madame minimiza a função z. Minimiza a soma dos quadrados das notas das
duas provas.
 Para uma degustação das maravilhas do reino da madame.
a
ax  by  c
A  a b
x 
u 
 y
Au  c
Minimizar | u |  (u T u)1 / 2  x 2  y 2
{norma euclidiana do vetor u }
A   A T (AA T ) 1
{inversa generalizada}
AA T  a 2  b 2
( AA T ) 1 
x
a
c
a  b2
2
AA   I
y
x 
b    c
 y
1
a  b2
2
u  A c
A 
1
a  b2
2
a 
b 
 
b
c
a  b2
2
(A  A) 2  A - A
{matriz idempotente}
A solução coincide com a anterior. Mas na solução matricial não foi efetuada nenhuma
derivação explícita! E agora José? Curioso(a)? Até lá.
***

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