Sistemas de equações lineares Uma equação linear nas incógnitas
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Sistemas de equações lineares Uma equação linear nas incógnitas
Sistemas de equações lineares Definição: Equação linear Uma equação linear nas incógnitas x1, …, xn é uma equação do tipo a1x1 + … + anxn = b onde a1, …, an são os coeficientes da equação e b o termo independente. Um sistema de equações lineares é uma colecção finita de equações lineares todas nas mesmas incógnitas. Um sistema genérico com m equações e n incógnitas representa-se na forma matricial por Au = b onde A é a matriz dos coeficientes (m x n), u é a matriz-coluna das incógnitas (n x 1) e b é a matriz-coluna dos termos independentes(m x 1). Uma solução do sistema é uma sequência ordenada de n números que satisfaz todas as equações do sistema. Uma solução também se pode apresentar na forma de uma matriz-coluna do tipo n × 1. Resolver um sistema de equações lineares é determinar todas as suas soluções ou provar que não existe nenhuma. Um sistema de equações lineares que tenha pelo menos uma solução diz-se: • possível e determinado se tiver um uma só solução •possível indeterminado se tiver infinitas soluções Um sistema de equações lineares que não tenha nenhuma solução diz-se impossível. Um sistema em que os termos independentes são todos iguais a 0 diz-se homogéneo. Um sistema homogéneo é sempre possível, pois possui sempre, pelo menos, a chamada solução nula. Os métodos usualmente utilizados para resolver sistemas de equações lineares são: 1- Método de substituição 2- Método da adição ordenada O algoritmo de eliminação de Gauss Dado um sistema de m equações lineares e n incógnitas, Au=b, constrói-se a matriz ampliada do sistema, [A⏐b]. Condensando a matriz ampliada obtemos uma nova matriz [C⏐d], que é a matriz ampliada do sistema Cv=d. Então os dois sistemas são equivalentes (têm as mesmas soluções). Este sistema é mais fácil de resolver, uma vez que a matriz ampliada é uma matriz em escada de linhas. Notas 1. Sempre que surja um zero na posição em que devia estar um pivot, procura-se resolver o problema mediante a troca dessa linha com a que se lhe segue. Se também essa tiver um zero na posição em causa tenta-se a seguinte, etc. 2. Se nenhuma troca de linhas resolver o problema, o pivot passa a ser procurado entre as colunas seguintes. Por essa razão, no sistema condensado Cv=d, representou-se a matriz das incógnitas por v, pois essa troca de colunas, implica troca de posição entre as incógnitas. Podemos afirmar que: Um sistema de m equações e n incógnitas é possível, se e só se, a característica da matriz simples é igual à da matriz ampliada. Classificação de sistemas Dado um sistema de n incógnitas, Au=b tem-se : • car A ≠car [A⏐b] → sistema impossível • car A =car [A⏐b] → sistema possível • car A=n → s.p. determinado • car A< n → s.p. indeterminado, com grau de indeterminação=n- car A.