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CONTROLE PID NEBULOSO COM ALOCAÇÃO DE PÓLOS: ESTUDO
APLICADO A ROBÔ MANIPULADOR COM ELO ÚNICO
G INALBER L. O. S ERRA1 , A DRIANO M. M AGALHÃES2
1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
Departamento de Eletroeletrônica
Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia
Av. Getúlio Vargas, 04 - Campus Monte Castelo 65030-005 - São Luís (MA)- Brazil
1
[email protected]
2
Faculdade Pitágoras
Coordenação de Engenharia Elétrica
Av. Daniel De La Touche, 23 - Olho D’água 65045-250 - São Luís (MA)- Brazil
2
[email protected]
RESUMO. Neste artigo é proposta uma metodologia para projeto de controle PID nebuloso para processos industriais
não-lineares via método de alocação de pólos. A abordagem adotada diz respeito inicialmente à linearização do processo
industrial não-linear em torno de alguns pontos de operação essenciais para determinar as características dinâmicas do
processo em questão a partir da obtenção de modelos lineares do processo industrial nos pontos de operação, de modo
a representar o comportamento dinâmico do processo industrial não-linear naquela região. Em seguida, será realizado o
projeto de controladores PID baseados nos modelos lineares obtidos, a partir da especificação dos pólos do sistema de
controle em malha-fechada. Os controladores PID projetados serão agrupados em uma estrutura de inferência nebulosa
do tipo Takagi-Sugeno, a qual admite uma ação de controle ponderada de cada controlador PID considerando a região
de operação do processo industrial não-linear. Resultados de simulação do controle de posição angular em um robô
manipulador são apresentados de forma a ilustrar a eficiência da metodologia proposta.
PALAVRAS-CHAVE: Controle Baseado em Modelo, Sistemas Nebulosos, Controlador PID, Sistemas Não-Lineares,
Processos Industriais, Tecnologia em Sistemas.
ABSTRACT. In this paper a methodology for fuzzy PID control for nonlinear industrial processes via pole placement
method, is proposed. The approach is initially adopted with respect to the linearization of the nonlinear industrial
process around some operating points essential to determine the dynamic characteristics of the process in question from
the linear models of the industrial process at the point of operation, to represent the dynamic behavior of nonlinear
industrial process in that region. The design of the PID controllers are based on linear models obtained from the
specification of poles for closed-loop fuzzy control system. The designed PID controllers are grouped in an inference
fuzzy Takagi-Sugeno type structure, which admits a weighted control action of each PID controller considering the
region of operation of the nonlinear industrial process. Simulation results of the angular position control of a robotic
manipulator are presented to illustrate the efficiency of the proposed methodology.
KEYWORDS: Model Based Control, Fuzzy Systems, PID Controller, Nonlinear Systems, Industrial Processes, Technology Systems.
1
INTRODUÇÃO
As malhas dos sistemas de controle para processos industriais atuais incluem, em sua maioria,
controladores do tipo Proporcional, Integral e
Submetido em 10/04/2014; Revisado em 26/05/2014. Artigo aceito sob recomendação do Editor Associado prof. Dr.
Carlos Cesar T. Ferreira.
Derivativo (PID) (CHAN; CHAN; MOK, 2009;
EMAMI; WATKINS, 2010).
Este tipo controlador tem sido largamente utilizado em muitas
áreas diferentes, tais como a área aeroespacial,
controle de processos, robótica e sistemas de automação (CHANDER; AGARWAL; GUPTA, 2010;
WANG; ZHAO; LIAO, 2011). Os controladores
PID também são especialmente aplicáveis a pro-
Revista INNOVER, volume 1, número 2, Junho 2014
61
Controle PID Nebuloso com Alocação de Pólos: Estudo Aplicado a Robô Manipulador com Elo Único
cessos industriais lineares e invariantes no tempo
(RUBAAI; CASTRO-SITIRICHE; OFOLI, 2007).
Eles são projetados para alcançar certos critérios de
desempenho que atendam às necessidades de estabilidade e robustez e, neste contexto, uma abordagem
largamente usada nos últimos anos é a alocação de
pólos (IOANNOU; SUN, 1995; PREITL et al., 2008;
SRIDHAR et al., 2009).
Contudo, do ponto de vista prático, os processos industriais apresentam, em sua maioria, um
comportamento dinâmico caracterizado por incertezas e não-linearidades, aumentando a complexidade das malhas de controle e comprometendo o
projeto e a implementação dos controladores PID
convencionais (CHAN; CHAN; MOK, 2009; CHEN,
2008; XIU; WANG, 2006). Para suprir estas dificuldades, vários métodos tem sido desenvolvidos para definir os parâmetros de controladores P,
PI e PID, baseados em inteligência computacional, especialmente aqueles que combinam a estrutura destes controladores com o sistema de inferência nebuloso, definindo, assim, os conhecidos
controladores PID nebulosos, garantindo estabilidade e desempenho robusto superiores aos controladores PID convencionais (JINGYI; YINHAI, 1994;
LI; SHEN, 2009; MEZA; SOTO; ARRIAGA, 2009;
TANG et al., 2001; YAO, 2010; VICK; COHEN,
2009; ZHAO; ZHU; LIU, 2009).
Neste artigo é proposta uma metodologia para projeto de controle PID nebuloso para processos industriais não-lineares via método de alocação de pólos.
A abordagem adotada diz respeito aos seguintes aspectos de interesse:
Os controladores PID projetados serão agrupados em uma estrutura de inferência nebulosa do tipo
Takagi-Sugeno, a qual admite uma ação de controle
ponderada de cada controlador PID considerando a
região de operação do processo industrial não-linear.
Resultados de simulação do controle de posição angular em um robô manipulador são apresentados de
forma a ilustrar a eficiência da metodologia proposta.
2 MODELO NEBULOSO TAKAGI-SUGENO
Dentre os vários tipos de sistemas nebulosos, o Modelo do Sistema Nebuloso de
Takagi-Sugeno (MNTS) vem ganhando destaque na literatura (TAKAGI; SUGENO, 1985;
THEESAR; BALASUBRAMANIAM, 2010), porque a estrutura da regra do modelo deste sistema
permite uma equação no lugar da proposição do
consequente. Geralmente esta estrutura é expressa
da seguinte maneira (TAKAGI; SUGENO, 1985;
BABUŠKA, 1998; SUGENO; KANG, 1988):
ei1 E x2 é A
ei2 E . . . E xl é A
eil
SE x1 é A
ENTÃO y i = f i (x1 , x2 , . . . , xl )
(1)
ei1 , A
ei2 , . . . , A
eil são os conjuntos nebulosos das
onde A
repectivas variáveis linguísticas de entrada x1 , x2 , x3
para a i-ésima regra. O grau de ativação da regra βi é
por definição (BABUŠKA, 1998):
β i (x1 , . . . , xl ) , µAei1 (x1 ) ∧ . . . ∧ µAeil (xl )
(2)
• linearização do processo industrial não-linear
em torno de alguns pontos de operação essenciais para determinar as características dinâmicas
do processo em questão;
onde as operações de ∧ são normas T (WANG, 1996),
ou ainda:
• obtenção de modelos lineares do processo industrial nos pontos de operação, de modo a representar o comportamento dinâmico do processo
industrial não-linear naquela região de operação;
onde · é operador de multiplicação muito utilizado
como norma T em modelagens de MNTS (WANG,
1996).
O MNTS é composto pelos seguintes sistemas: fuzificador, base de conhecimentos e máquina de inferências (TAKAGI; SUGENO, 1985;
SUGENO; TANAKA, 1991). Um exemplo de como
• projeto de controladores PID baseados nos modelos lineares obtidos, a partir da especifica62
ção dos pólos do sistema de controle em malhafechada.
β i (x1 , . . . , xl ) , µAei1 (x1 ) · . . . · µAeil (xl )
(3)
G INALBER L. O. S ERRA , A DRIANO M. M AGALH Ã£ ES
µ[θ = −90 graus](θ)
µ
(θ)
[θ = −60 graus]
µ[θ = −30 graus](θ)
µ
(θ)
[θ = 0 grau]
µ[θ = 30 graus](θ)
Grau de Pertinência µ(θ)
µ
A equação da máquina de inferência do
MNTS pode ser definida da seguinte maneira
(TAKAGI; SUGENO, 1985; BABUŠKA, 1998):
(θ)
[θ = 60 graus]
µ[θ = 90 graus](θ)
1
ỹ = f (x1 , x2 , . . . , xl ) =
0.5
L
X
0
−150
0
−100
2
−50
6
50
8
100
θ(t) [°]
i=1
4
0
150
10
t [s]
L
X
=
k
β (x1 , x2 , . . . , xl )
k=1
Figura 1: Ilustração da inferência
como aproxi
de um MNTS
π
2π
.
t+
mador da função θ(t) = 120 sin
10
2
funciona a inferência de um MNTS como aproximador de uma função não-linear, é ilustrado na Figura
(1).
A base de conhecimentos é a parte do sistema nebuloso responsável pela inserção da linguística da incerteza do conhecimento do especialista, bem como
das regras que o mesmo define para que o sistema
nebuloso possa funcionar adequadamente. A linguística da incerteza (termos linguísticos) definida pelas
regras sintáticas, assim como as regras semânticas
que associam os conjuntos nebulosos aos termos linguísticos são definidas em um subsistema chamdado
base dos dados. Um outro subsistema, a base de regras, armazena as regras segundo uma estrutura definida pelo especialista, como mostrado na Eq. (1), a
qual fornecerá a maneira como o sistema nebuloso
comportar-se-á diante de um conjunto de entradas
(variáveis linguísticas).
A máquina de inferência recebe as funções de pertinência que definem os respectivos conjuntos nebulosos do fuzificador e realiza o processamento matemático relativo às operações de inferência lógica das
regras estipuladas pelo especialista (base de regras),
resultando na equação de saída (no caso do MNTS).
O grau de ativação, que é calculado da proposição
do antecedente da regra, é propriamente computado
neste bloco. Se a proposição do antecedente for simples, ou seja, só existir uma variável linguística, então
a Eq. (3) pode ser reescrita como sendo:
β i (x) = µAei1 (x1 ) = µAei (x)
β i (x1 , x2 , . . . , xl )y i (x1 , x2 , . . . , xl )
(4)
=
β 1 (x1 , x2 , . . . , xl )y 1 (x1 , x2 , . . . , xl )
+
L
X
β k (x1 , x2 , . . . , xl )
k=1
2
β (x1 , x2 , . . . , xl )y 2 (x1 , x2 , . . . , xl )
+ ...
L
X
β k (x1 , x2 , . . . , xl )
k=1
β L (x1 , x2 , . . . , xl )y L (x1 , x2 , . . . , xl )
... +
L
X
β k (x1 , x2 , . . . , xl )
(5)
k=1
para proposições compostas, onde L é o número total
de regras e β i (x1 , x2 , . . . , xl ) é dado pela Eq. (3).
Para proposições simples a Eq. (5) pode ser reescrita
como sendo:
ỹ = f (x) =
L
X
β i (x)y i (x)
i=1
L
X
=
β k (x)
k=1
2
β 1 (x)y 1 (x)
+
L
X
β k (x)
k=1
L
2
β (x)y (x)
β (x)y L (x)
+
.
.
.
+
L
L
X
X
β k (x)
β k (x)
k=1
(6)
k=1
Podemos definir a grandeza grau de ativação normazado da regra γ i (x1 , x2 , . . . , xl ) como sendo uma
fração do grau de ativação da regra da Eq. (5) para
proposição composta, tal que
γ i (x1 , x2 , . . . , xl ) ,
β i (x1 , x2 , . . . , xl )
L
X
β k (x1 , x2 , . . . , xl )
(7)
k=1
63
para proposição simples tem-se:
γ i (x) ,
β i (x)
L
X
β k (x)
(8)
k=1
É possivel que o somatório das ativações das regras resulte em um valor maior que 1. De fato para as
proposições compostas, em dado instante de tempo é
provável obter os graus de pertinência das variáveis
linguísticas no máximo iguais a 1, implicando que o
somatório das ativações para todas as regras naquele
instante resultará em um valor maior do que 1. No
caso das proposições simples, dependendo de como
as funções de pertinência estejam dispostas no universo de discurso de sua variável numérica, também
é possível obter um somatório que ultrapasse a unidade. Por isso que em ambos os casos há a necessidade de normalizar o grau de ativação de ativação
instantânea das regras, resultando nas Eqs. (7 e 8).
Assim, podemos reescrer as Eqs. (5 e 6) como sendo:
ỹ = f (x1 , x2 , . . . , xl ) =
γ (x1 , x2 , . . . , xl )y 1 (x1 , x2 , . . . , xl ) +
+γ 2 (x1 , x2 , . . . , xl )y 2 (x1 , x2 , . . . , xl ) +
. . . + γ L (x1 , x2 , . . . , xl )y L (x1 , x2 , . . . , xl )
L
X
ỹ =
γ i (x1 , x2 , . . . , xl )y i (x1 , x2 , . . . , xl )
1
i=1
ỹ = f (x) = γ 1 (x)y 1 (x) + γ 2 (x)y 2 (x) +
L
X
L
L
. . . + γ (x)y (x) =
γ i (x)y i (x)
(9)
i=1
que são as equações que se podem utilizar para se
obter os modelos matemáticos das máquinas de inferência de qualquer sistema nebuloso.
Basicamente as Eqs. (4, 8 e 9) são suficientes para
se projetar um MNTS de uma variável linguística a
partir de um MLVP. De posse do MNTS da planta em
questão, praticamente qualquer técnica de controle
pode ser aplicada para desenvolver o MNTS do controlador. A técnica a ser usada neste artigo será a alocação de pólos, visto que é simples a associação entre os pólos malha-fechada no plano de Laplace com
64
as especificações de desempenho da resposta temporal do sistema de controle que o projetista estabelece
para o projeto.
3 PROBLEMA DE CONTROLE NEBULOSO
POR ALOCAÇÃO DE PÓLOS
Na seção 1 foi vista uma fundamentação matemática
acerca de sistemas nebulosos Takagi-Sugeno, bem
como as partes que o compõe. É sabido que o conjunto de vários modelos encontrados a partir de uma
aproximação por série de Taylor, é linear e variante
nos parâmetros (MLVP). Aqui observamos que cada
y i (x) pode ser associada com cada Modelo Linear e
Invariante no Tempo (MLIT) oriundo de um MLVP.
Assim o modelo matemático gerado pela Eq. (9), em
termos práticos, nada mais é do que um somatório de
vários MLITs que resulta em uma função de transferência instantaneamente ponderada pela variável linguística em questão, que neste caso está no domínio
da frequência. A importância desta equação, quando
se tratando de um modelo nebuloso de uma planta,
está no que diz respeito ao MLVP que ela fornece
para o projeto de controle. Por ser linear, este modelo pode ser colocado em cascata com a função de
transferência do controlador genérico, e em malhafechada implementa um MLVP do controlador em
questão. Usando a mesma base de conhecimentos e
a mesma base de regras do modelo nebuloso TakagiSugeno da planta é possível encontrar o modelo nebuloso Takagi-Sugeno do controlador, ao realizar-se
alguma análise algébrica da malha-fechada.
Em projetos de controle é comum a necessidade
de implementação de alguns parâmetros de desempenho pelos quais se deseja que a planta assuma quando
controlada. Para isso é importante usar uma técnica
de controle que associe estes parâmetros com os pólos da malha-fechada de controle. A forma mais simples de fazer o projeto de controle de malha-fechada
para este caso é usando a técnica de alocação de pólos. Essa técnica consiste basicamente em analisar o
formalismo da dinâmica linear da planta mais controlador em malha-fechada, para que seja estipulado
pólos que atendam as especificações de desempenho
anteriormente estabelecidas pelo projetista.
A seguir, apresentam-se alguns esquemas que ilustraram a metodologia do projeto de controlador nebuloso Takagi-Sugeno a partir da alocação de pólos. O
propósito destes esquemas é ilustrar a possibilidade
de encontrar o formalismo matemático do controlador nebuloso Takagi-Sugeno a partir do modelo nebuloso Takagi-Sugeno de uma planta qualquer, utilizando a técnica de alocação de pólos segundo algumas condições pré-estabelecidas.
reescrever aquela equação como sendo:
L
X
Y (s)
e
= G(s)
=
γ i (y, u)Gi (s, y, u)
U (s)
i=1
(11)
o que produz
Y (s) =
L
X
γ i (y, u)Y i (s, y, u)
(12)
i=1
3.1
Esquemas Simples de Controle por Alocação
de Pólos
Nesta seção serão usados alguns exemplos para ilustrar o projeto e análise de esquemas de controle por
alocação de pólos no contexto nebuloso.
3.1.1
Esquema 1: Alocação de Pólos Simples
Considere uma planta complexa G (com nãolinearidade, incerteza, etc). Seja o Modelo Nebuloso
e
Takagi-Sugeno (MNTS) G(s)
tal que:
i
e
G(s)
=
L
X
i=1
γ i (y, u)
bi (y, u)
s − ai (y, u)
(10)
com
Gi (s, y, u) =
bi (y, u)
Y i (s, y, u)
=
U (s)
s − ai (y, u)
(13)
o que nos permite escrever um Y i (s, y, u) para cada
MLVP de cada regra do modelo nebuloso da Eq. (10).
Sendo assim, é possível encontrar um ganho de controlador associado à i-ésima regra K i , mantendo o
mesmo sinal de referência r = r(t) e u = u(t), ao
fechar a malha de controle, de tal forma que todos
os ganhos K i estejam associados com o mesmo pólo
alocado em s = −am .
O sinal de controle U (s) pode ser escrito como
sendo:
U (s) = −K i Y i (s, y, u) + R(s)
(14)
i
onde a (y, u) e b (y, u) são os parâmetros do Modelo
Linear e Variante nos Parâmetros (MLVP) associados
ao consequente da i-regra Gi (s, y, u) deste modelo,
os quais são diretamente relacionados com a planta
G; γ i (y, u) é o grau de ativação normalizado da iésima regra da Eq. (10). O sinal u = u(t) é o sinal
de controle aplicado a planta G e o sinal y = y(t) é
o sinal de saída da planta. Ambos u e y são supostos limitados, tal que u seja supostamente conhecido
e y converge para zero quando t → ∞. O objetivo
deste exemplo é apresentar uma estrutura de controle
no contexto nebuloso que apresente o pólo de malhafechada localizado em −am , onde am > 0 é uma
constante dada.
Seja a Eq. (10) uma função polinomial da mesma
entrada e da mesma saída da planta G. A Transformada de Laplace (TL) de u(t) e y(t) é respectivamente U (s) = L[u(t)] e Y (s) = L[y(t)]. Podemos
Substituindo a Eq. (13) na Eq. (14) tem-se:
U (s)
=
R(s)
1
bi (y, u)
1 + Ki
s − ai (y, u)
(15)
o que resulta em:
s − ai (y, u)
U (s)
=
R(s)
s − [ai (y, u) − K i bi (y, u)]
(16)
onde a Eq. (16) apresenta um zero em s = ai (y, u)
e um pólo em s = ai (y, u) − K i bi (y, u). De acordo
com o objetivo proposto, tem-se que o pólo que se
deseja alocar para a Eq. (16) é por definição s =
−am . Fazendo
s = ai (y, u) − K i bi (y, u) = −am
(17)
65
qual no domínio da frequência complexa é calculado
da seguinte maneira:
tem-se:
κi (y, u) = K i =
am + ai (y, u)
bi (y, u)
(18)
que é a equação do ganho do controlador para o consequente da i-ésima regra (ou o i-ésimo ponto de operação) do contexto nebuloso, conforme a Eq. 16. Seja
o modelo matemático da máquina de inferência do
Modelo Nebuloso Takagi-Sugeno (MNTS) do Controlador conforme a seguinte equação:
e=
K
L
X
i
i
γ (y, u)κ (y, u)
(19)
i=1
E(s) = Y i (s, y, u) − R(s)
(24)
Substituindo-se a Eq. (23) na Eq. (24) tem-se:
E(s) =
bi (y, u)
c
U (s) −
i
s − a (y, u)
s
(25)
o que resulta na seguinte equação:
sE(s) = ai (y, u)E(s) − c +
ai (y, u)c
+
s
bi (y, u)U (s)
(26)
Substituindo a Eq. (18) na Eq. (19) tem-se:
e=
K
L
X
i
γ i (y, u)
i=1
am + a (y, u)
bi (y, u)
(20)
a qual está no domínio da frequência complexa. No
domínio do tempo esta equação pode ser reescrita
como sendo:
que é o modelo nebuloso do controlador, conforme a
alocação de pólo desejada para s = −am .
ė(t) = ai (y, u)e(t) − cδ(t) + ai (y, u)c1(t) +
bi (y, u)u(t) (27)
3.1.2 Esquema 2: Alocação de Pólos para Rastreamento
do Sinal de Referência
onde δ(t) é o sinal conhecido como delta de dirac,
matematicamente definido em (LATHI, 2007). Para
t ≥ 0 tem-se δ(t) = 0 e então:
Considere a planta complexa G (com nãolinearidade, incerteza, etc), cujo MNTS é dado
pela Eq. (10) do esquema 1. Usando a mesma
definição polinomial da entrada e da saída de G para
esta equação, encontra-se a Eq. (13), que pode ser
reescrita como sendo:
Y i (s, y, u) =
bi (y, u)
U (s)
s − ai (y, u)
(21)
Seja um sinal de referência definido por
r = r(t) , c1(t)
(22)
onde o sinal 1(t) é degrau unitário matematicamente
definido em (LATHI, 2007), e c é uma constante conhecida tal que c ∈ R e c < ∞. A Transformada de
Laplace da Eq. (22) é dada pela seguinte equação:
R(s) = L[r(t)] =
c
s
(23)
Pode-se definir o sinal de erro como sendo a diferença entre o sinal de saída e o sinal de referência, o
66
ė = ai (y, u)e + ai (y, u)c + bi (y, u)u
(28)
que é a equação da velocidade de decaimento do erro
(taxa de variação do erro) referente ao sistema representado pela Eq. (21).
O sinal do erro está relacionado às características
da resposta dinâmica temporal do sistema em malhafechada, já que foi definido como a diferença entre o
sinal de entrada e o sinal de saída. De fato, em malhafechada, ao passo que o sinal de saída está rastreando
o sinal de referência, para t → ∞, o erro tende ao
valor nulo, isto é, qualquer comportamento dinâmico
estabelecido pelas especificações temporais para o sinal de saída é refletido diretamente no sinal de erro,
até este convergir para zero, supondo que o sistema
em questão seja assintoticamente estável. Isso caracteriza uma boa abordagem de projeto, porque as especificações temporais de desempenho estariam "correlacionadas"com o sinal do erro, e não à saída da
planta. Então, neste esquema, deseja-se alocar o pólo
em s = −am de tal forma que se possa controlar a velocidade do decaimento do erro. Supondo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) para o erro, com
t ≥ 0, da seguinte maneira:
ė(t) + am e(t) = d1(t)
d
am
(31)
cuja solução completa é equivalente a solução homogênea da Eq. (29), ou seja,
e(t) = Ce−am t
(32)
cuja queda exponencial pode ser controlada pelo valor do pólo −am . É exatamente neste ponto onde
se faz o projeto para a inserção das especificações
temporais de desempenho. Usando-se esta proposta
de controle de rastreamento através do erro, quanto
maior o valor absoluto de am , mais rápido o erro cai
para zero, supondo o sistema assintoticamente estável, o que é desejável. Assim, igualando-se as Eqs.
(28 e 31), tem-se:
ai (y, u)e + ai (y, u)c + bi (y, u)u = −am e
ai (y, u) + am
ai (y, u)
e
−
c
bi (y, u)
bi (y, u)
≡ −K1i e − K2i c
(34)
que é o sinal de controle no domínio do tempo. Como
r(t) → c, quando t → ∞, então os ganhos K1i e K2i
são obtidos como sendo:
ai (y, u) + am
,
bi (y, u)
ai (y, u)
K2i = i
b (y, u)
K1i =
(35)
(36)
(30)
onde C é uma constante encontrada segundo as condições iniciais da EDO. Observa-se que quando t →
d
∞, e(t) →
, ou seja, o erro será constante, o que
am
é indesejável. Então, para que a EDO da Eq. (29)
de tal forma que o erro vá para zero, quando o tempo
tender para infinito, deve-se considerar a abordagem
da solução homogênea, pelo que podemos reescrever
a Eq. (29), como sendo:
ė(t) + am e(t) = 0
u=−
(29)
onde d é uma constante supostamente conhecida, tal
que d ∈ R e d < ∞, a solução completa desta EDO
é uma combinação linear de duas soluções: a solução
homogênea, responsável por uma parte exponencial,
em função do tempo e de am , e a solução particular
que, neste caso, é uma constante. Matematicamente,
a solução da Eq. (29), t ≥ 0, é dada por:
e(t) = Ce−am t +
o que resulta em:
(33)
Semelhante ao esquema 1, os controladores nebulosos relativos aos ganhos K1 e K2 na forma do MNTS
são definidos, respectivamente, como segue:
e1 =
K
L
X
i=1
e2 =
K
4
γ i (y, u)
L
X
i=1
ai (y, u) + am
,
bi (y, u)
(37)
ai (y, u)
bi (y, u)
(38)
γ i (y, u)
FORMULAÇÃO DINÂMICA E RESULTADOS COMPUTACIONAIS
Nesta seção, será proposto um MNTS com estrutura
Proporcional, Integral e Derivativa para controle baseao em modelo de um robô manipulador com elo
único. Inicialmente será deduzida uma formulação
matemática que apresentará a equação dinâmica do
manipulador. Em seguida encontrar-se-á o MNTS da
planta, através do processo de linearização local. Do
MNTS da planta será possível encontrar a lei de controle PID nebulosa TS, usando o método de alocação
pólos, semelhante aos esquemas da seção 3. Por fim,
um conjunto de resultados será apresentado das simulações realizadas com o modelo de controlador PID
TS mais a planta, em malha-fechada com realimentação unitária, a fim de analisar dinamicamente esta
proposta de controle.
67
4.1 Equação Dinâmica do Robô Manipulador
Seja a planta do estudo de caso conforme a Figura
2 e sua respectiva visão tridimensional mostrada na
Figura 3.
Figura 3: Visão tridimensional projetada na visão bidimensional do robô manipulador.
Figura 2: Planta do estudo de caso: robô manipulador de elo
único.
A partir da Figura 2, tem-se a seguinte nomenclatura:
• hm , é a altura da carga acoplada ao braço, a ser
considerado com valor de 30 cm;
• Tc , é o conjungado de motor aplicado ao braço;
• hb , é a altura da carga acoplada ao braço, a ser
considerado com valor de 10 cm;
• Ts , é o contra resistente de ventilação sobre o
conjunto braço + carga;
• w, é a largura do conjunto braço + carga com
valor de 10 cm;
• Pcm , é a força peso atuando no centro de massa
do conjunto braço + carga;
• ax , ay , az , são vetores unitários que orientam o
sistema cartesiano de coordenadas;
• g, é a aceleração gravitacional, cuja intensidade
a ser considerada é de 9,81 m/s2 ;
Um conjunto de considerações iniciais são tomadas para que se possa fazer as modelagens, a seguir:
• aρ , aϕ , az , são vetores unitários que orientam o
sistema cilíndrico de coordenadas.
• Seja o sistema cilíndrico de coordenadas. O movimento está acontecendo na direção tangencial
ao giro, ou seja, na direção aϕ ;
A partir da Figura 3, tem-se a seguinte nomenclatura:
• mb , é a massa do braço, a ser considerada com
valor de 0,5 kg;
• mm , é a massa da carga acoplada ao braço, a ser
considerada com valor de 1 kg;
• θ, é o deslocamento angular do conjunto braço
+ carga;
• lb , é o comprimento do braço robótico, a ser considerado com valor de 52 cm;
68
• lm , é o comprimento da carga acoplada ao braço,
a ser considerado com valor de 15 cm;
• Tanto o braço quanto a carga tem distribuições
lineares contínuas e uniformes em duas das três
direções do sistema cartesiano de coordenadas,
ou seja:
dm
Mx
=
dx
l
dm
My
ρly =
=
dy
h
ρlx =
(39)
(40)
onde Mx e My são as massas totais ao longo das
distribuições lineares das respectivas direções ax
e ay , l é o comprimento e h é a altura, todos do
conjunto em questão.
4.1.1
Cálculo do Centro de Massa do Conjunto Braço +
Carga
A definição matemática do centro de massa
de
um
sistema
contínuo
de
partículas
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, c2002), no
plano xy, é dado como segue:
Z
1
xcm =
x dm
(41)
Mx
Z
1
y dm
(42)
ycm =
My
Tendo em vista as considerações anteriormente citadas, no que diz respeito as densidades lineares e que
a envoltória do movimento é coplanar ao giro, tem-se:
Z lb +lm
1
ρlx
x dx =
xcm =
Mx
0


2  lb + lm
1 Mx x 
lb + lm
(43)
=

Mx l b + l m 2 
2
0
Z hm
1
ρly
y dy =
ycm =
My
0


2  hm
1 My y 
hm
(44)
=

My h m 2 
2
0
Substituindo-se os valores numéricos da Figura 2
nas Eqs. (43) e (44), tem-se:
52 + 15
lb + lm
=
∴ xcm = 33, 5 cm(45)
2
2
hm
30
ycm =
=
∴ ycm = 15 cm
(46)
2
2
xcm =
4.1.2
Cálculo do Momento de Inércia do Conjunto Braço
+ Carga
Segundo Hibbeler (c2005), o momento de inércia resultante, com relação a um eixo de rotação, de um
corpo composto por vários corpos, é a soma de todas
as contribuições dos momentos de inércia de cada um
destes corpos, calculado com relação ao mesmo eixo
de rotação. Neste caso, são dois corpos: o braço e a
carga. Para o braço, tem-se a seguinte equação:
1
Jb = mb lb2
3
(47)
Já para a carga, o momento de inércia é
calculado conforme o teorema dos eixos paralelos (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, c2002;
HIBBELER, c2005):
2
1
lm
2
2
Jm = mm (lm + hm ) + mm lb +
(48)
12
2
Portanto, a definição do momento de inércia do
conjunto é dada como segue:
1
1
2
J = Jb + Jm = mb lb2 + mm (lm
+ h2m ) +
3
12
2
lm
m m lb +
(49)
2
Substituindo-se os valores numéricos da Figura 2
na Eq. (49), tem-se:
J=
4.1.3
1
1
· 0, 5 · 0, 522 +
· 1 · (0, 152 + 0, 32 ) +
3
12
2
0, 15
= 0, 40847 m2 · kg(50)
1 · 0, 52 +
2
Modelagem da Dinâmica do Conjunto Braço +
Carga
Pela 2.a lei de Newton para movimento circular de um sistema de partículas, a dinâmica
do robô manipulador é descrita como segue
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
c2002;
HIBBELER, c2005):
x
+
P
T = J θ̈ ⇒ Tc + TPcm + Ts = J θ̈ (51)
Ainda, o vetor da aceleração da gravidade g é definido no sistema cilíndrico de coordenadas como segue:
g = |g|[sin (90◦ − θ)aρ + cos (90◦ − θ)aϕ ].
(52)
Como a parcela de g que realiza o giro é a componente vetorial que tangencia a envoltória do deslocamento angular, então a Eq. (52) fica:
g = |g| cos (90◦ − θ)aϕ =
= |g| sin (θ)aϕ
(53)
69
Aplicando-se a Eq. (53) na definição da força peso
no centro de massa, tem-se:
4.1.4 Modelagem Linear e Variante nos Parâmetros
(MLVP) do Robô Manipulador
Pcm = [mb + mm ]g = [mb + mm ]|g| sin (θ)aϕ . (54)
Aplicando a aproximação por série de Taylor na função senoidal da Eq. (61), tem-se:
Conforme a definição matemática de conjugado
(ou torque) como sendo
x
+ T , r × F,
(55)
onde r é o braço da alavanca da força F, pode-se observar, pela regra da mão direita, que a direção do
conjugado é perpendicular ao plano formado pelos
dois vetores do produto vetorial, ou seja, o conjugado é perpendicular ao plano delimitado pela envoltória do giro. De fato, seja o vetor r definido como
r , xcm aρ . Substituindo-se a Eq. (54) na Eq. (55),
tem-se:
x
+ TPcm = xcm aρ × {[mb + mm ]|g| sin (θ)aϕ }. (56)
Das propriedades de produto vetorial, aρ × aϕ = az .
Logo, a Eq. (56) resulta em:
x
+ TPcm = xcm [mb + mm ]|g| sin (θ)az
(57)
O conjugado de ventilação Ts e o conjugado aplicado para manipular o braço Tc , pelo que foi dito
anteriormente a respeito da direção do conjugado, é
definido por:
x
+ Ts , b|θ̇|az
x
+ Tc , − |Tc |az
(58)
(59)
onde b é o coeficiente de atrito viscoso com o ar.
Substituindo-se as Eq. (57), (58) e (59) na Eq.
(51), tem-se:
−|Tc |az + xcm [mb + mm ]|g| sin (θ)az +
b|θ̇|az = −J|θ̈|az
(60)
Seja Tc , |Tc |, g , |g|, θ̇ , |θ̇| e θ̈ , |θ̈|.
Reescrevendo-se a Eq. (60), tem-se:
θ̈ +
b
xcm [mb + mm ]g
1
θ̇ +
sin (θ) = Tc , (61)
J
J
J
que é a equação que descreve a dinâmica do conjunto
braço + carga.
70
θ̈ +
b
xcm [mb + mm ]g
{sin (θ0 )+
θ̇ +
J
J
1
cos (θ0 ) [θ − θ0 ]} = Tc
J
(62)
o que resulta em:
xcm [mb + mm ]g
b
cos (θ0 ) θ =
θ̈ + θ̇ +
J
J
xcm [mb + mm ]g
1
Tc −
[sin (θ0 ) − θ0 cos (θ0 )] (63)
J
J
onde θ = θ(t) e Tc = Tc (t) para t ≥ 0. Fazendo
b
=B
(64)
J
xcm [mb + mm ]g
cos (θ0 ) = C(θ0 ) (65)
J
1
=D
(66)
J
xcm [mb + mm ]g
[sin (θ0 ) − θ0 cos (θ0 )] = E(θ(67)
0)
J
e substituindo na Eq. (63), tem-se:
d2 θ
dθ
+
B
+ C(θ0 )θ = DTc (t) − E(θ0 )
dt2
dt
(68)
que é propriamente dito o MLVP do robô manipulador no domínio do tempo contínuo, para t ≥ 0. Seja
u(t, θ0 ) , [DTc (t) − E(θ0 )]
(69)
onde E(θ0 ), assim como C(θ0 ), é uma constante para
o tempo, cujo valor é função somente do ponto de
operação θ0 e, portanto, só existirá quando a simulação começar a rodar, ou seja, ∀ t ≥ 0; então podemos
concluir que E(θ0 ) é na verdade E(θ0 )1(t), onde 1(t)
é a representação do sinal degrau unitário definido em
Lathi (2007). Assim, podemos reescrever a Eq. (69)
no domínio da frequência como sendo:
E(θ0 )
U (s, θ0 ) = L[u(t, θ0 )] = DTc (s) −
(70)
s
Substituindo-se a Eq. (69) na Eq. (68) e
aplicando-se a Transformada de Laplace, tem-se:
s2 Θ(s) + BsΘ(s) + C(θ0 )Θ(s) = U (s, θ0 )
(71)
o que resulta em:
Θ(s) =
1
U (s, θ0 )
s2 + Bs + C(θ0 )
(72)
Substituindo-se U (s, θ0 ) pela Eq. (70) na Eq. (72),
tem-se:
1
E(θ0 )
Θ(s) = 2
DTc (s) −
(73)
s + Bs + C(θ0 )
s
Como os parâmetros da Eq. (73) determinam o
comportamento linear em torno do ponto de operação, no qual aqueles são supostamente constantes,
então a saída do modelo também será relativa a este
ponto de operação. Logo, pode-se reescrever Θ(s)
como sendo Θ(s, θ0 ) na Eq. (73), obtendo-se a seguinte equação:
E(θ0 )
1
DTc (s) −
Θ(s, θ0 ) = 2
s + Bs + C(θ0 )
s
(74)
que é a equação que define o MLVP do robô manipulador no domínio da frequência em um ponto de
operação genérico.
4.1.5
Modelo Nebuloso Takagi-Sugeno do Robô Manipulador
Nesta subseção serão ilustrados um conjunto de
etapas necessárias para obter o Modelo Nebuloso
Takagi-Sugeno do robô manipulador a partir do Modelo Linear e Variante nos Parâmetros (MLVP) conforme a Eq. (74). Ainda, serão obtidos os Modelos
Lineares e Invariantes no Tempo (MLITs) oriundos
deste MLVP, quando aplicado em cada ângulo pertencente ao conjunto dos pontos de operação, os quais
serão úteis para o projeto controlador nebuloso.
Etapa 1: Definição dos pontos de operação.
Inicialmente, deve-se estabelecer os pontos de
operação aos quais desejamos que o MNTS
atue. Pela Figura 2 pode-se dividir o espaço
Figura 4: robô manipulador: pontos de operação.
percorrido pelo robô manipulador em 7 partes,
resultando em 7 pontos de operação, conforme
a Figura 4.
Etapa 2: Definição das variáveis linguísticas.
Nesta etapa, serão estabelecidas as regras
sintáticas, os termos linguísticos e as regras
semânticas (que dão a definição matemática
dos termos linguísticos na forma de conjuntos
nebulosos), as quais associam um conjunto de
variáveis numéricas ao seu respectivo conjunto
de variáveis linguísticas. Como utilizamos um
MLVP, então o MNTS atuará no seu conjunto de
MLITs obtidos quando aplicado em cada ponto
de operação definido, resultando em uma única
variável numérica (e uma única variável linguística) relativa à variável a ser computada pelo
MNTS. É importante observar que a variável
pela qual se determinou os pontos de operação é
a mesma variável numérica, e portanto variável
linguística que o MNTS atuará. Para os 7 pontos
de operação definidos na variável Θ para o
MLVP da Eq. (74), são definidos 7 MLITs nos
seus pontos de operação e consequentemente 7
termos linguísticos, conforme a Tabela 1.
Para cada termo linguístico é interessante
definir uma regra semântica que se obtenha
funções de pertinência tal que garanta um grau
de pertinência de 50% quando a variável θ
estiver na bissetriz delimitada entre dois ângulos
de pontos de operação. Também é interessante
ter outra regra semântica que defina o centro
das funções de pertinência como sendo o valor
71
Termos Linguísticos θ̃i
Ângulo [graus]
Modelos Lineares e Invariantes no Tempo (MLITs)
θ̃1
−90
1
12, 0560
Θ(s, −90 ) = 2
2, 4482Tc (s) +
s + 2, 4482s
s
θ̃2
−60
1
4, 1283
Θ(s, −60 ) = 2
2, 4482Tc (s) +
s + 2, 4482s + 6, 0280
s
θ̃3
−30
0, 5612
1
2, 4482Tc (s) +
Θ(s, −30 ) = 2
s + 2, 4482s + 10, 4408
s
θ̃4
0◦
θ̃5
30
0, 5612
1
2, 4482Tc (s) −
Θ(s, 30 ) = 2
s + 2, 4482s + 10, 4408
s
θ̃6
60
4, 1283
1
2, 4482Tc (s) −
Θ(s, 60 ) = 2
s + 2, 4482s + 6, 0280
s
θ̃7
90
1
12, 0560
Θ(s, 90 ) = 2
2, 4482Tc (s) −
s + 2, 4482s
s
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Θ(s, 0◦ ) =
1
2, 4482Tc (s)
s2 + 2, 4482s + 12, 0560
◦
◦
◦
Tabela 1: Lista de MLITs obtidos do MVLP da Eq. (74).
numérico de cada ponto de operação. Uma outra
regra semântica é tal que se tenha uma função
de pertinência que se comporte de maneira
constante para pontos do universo de discurso
que estão muito distantes dos pontos extremos
de operação. A classe das funções de pertinência triangulares e trapezoidais atendem aos
requisitos destas regras semânticas, conforme
respectivamente as Eqs. (75 e 76), a seguir:
72

0,




θ
−
a


,
b−a
µθ̃i (θ) =
θ−c


,



 b−c
0,
∀θ<a
∀a≤θ<b
(75)
∀b≤θ<c
∀θ≥c

0,




θ−a



 b − a,
1,
µθ̃i (θ) =


θ−d


,



 c−d
0,
∀θ<a
∀a≤θ<b
∀b≤θ<c
(76)
∀c≤θ<d
∀θ≥d
Etapa 3: Definição da base de regras do MNTS.
Observa-se que a Tabela 1 mostra exatamente
as partes da <proposição antecedente> e <proposição consequente> da estrutura da regra
do MNTS. Assim, obtem-se a base de regras
conforme a Tabela 2.
Etapa 4: Definição da inferência do MNTS.
R1 :
1
12, 0560
SE θ é θ̃1 ENTÃO Θ(s, −90 ) = 2
2, 4482Tc (s) +
s + 2, 4482s
s
R2 :
4, 1283
1
2, 4482Tc (s) +
SE θ é θ̃2 ENTÃO Θ(s, −60 ) = 2
s + 2, 4482s + 6, 0280
s
R3 :
1
0, 5612
SE θ é θ̃3 ENTÃO Θ(s, −30 ) = 2
2, 4482Tc (s) +
s + 2, 4482s + 10, 4408
s
R4 :
SE θ é θ̃4 ENTÃO Θ(s, 0◦ ) =
R5 :
1
0, 5612
2,
4482T
(s)
−
c
s2 + 2, 4482s + 10, 4408
s
R6 :
4, 1283
1
2,
4482T
(s)
−
c
s2 + 2, 4482s + 6, 0280
s
R7 :
12, 0560
1
2,
4482T
(s)
−
c
s2 + 2, 4482s
s
◦
◦
◦
1
2, 4482Tc (s)
s2 + 2, 4482s + 12, 0560
Tabela 2: Lista de regras do MNTS.
Observa-se que o MLVP em questão se trata de
uma única variável linguística. Logo, a <proposição antecedente> do conjunto de regras da
Tabela 2 pode ser formulada pela Eq. 4, como
sendo:
β i (x) = β k (x) = µAei (x) = µAek (x) =
µθ̃i (θ) = µθ̃k (θ)
(77)
Da Eq. 77 e da Tabela 2, a Eq. (8) pode ser
reescrita por:
γ i (θ) ,
µθ̃i (θ)
7
X
µθ̃k (θ)
k=1
(78)
Das Tabelas 1 e 2, tem-se:
1
1
γ (θ) [2, 4482Tc (s)+
s2 + 2, 4482s
12, 0560
+
s
2
1
γ (θ) [2, 4482Tc (s)+
s2 + 2, 4482s + 6, 0280
4, 1283
+ ... +
s
7
1
γ (θ) [2, 4482Tc (s)−
s2 + 2, 4482s
12, 0560
(79)
s
θ̃ =
que é a equação da máquina de inferência do
MNTS do robô manipulador com elo único.
73
4.2 Projeto do Controlador PID Nebuloso via
Alocação de Pólos
A Eq. (74) descreve o Modelo Linear e Variante
nos Parâmetros (MLVP) necessário para a formulação do Modelo Nebuloso Takagi-Sugeno (MNTS) da
Planta em questão, conforme a Eq. (79). Seguindo
uma metodologia semelhante aos esquemas da seção 3, pode-se desenvolver o MNTS do Controlador
PID nebuloso. Antes, devem ser destacados alguns
pontos importantes acerca destas duas equações. O
MLVP da Eq. (74) fundamentalmente é de segunda
E(θ0 )
ordem com duas entradas, porque o termo
é
s
tido com uma entrada tipo degrau de ganho E(θ0 ),
já que este ganho só passará a existir para a simulação a partir do momento em que esta começar a ser
simulada. Aplicando-se o Teorema do Valor Final
(FRANKLIN; POWELL; EMAMI-NAEINI, c1994;
PHILLIPS; HARBOR, c1996) apenas na contribuiE(θ0 )
ção da entrada
, tem-se a seguinte equação em
s
regime permanente:
θE(θ0 ) (t → ∞, θ0 ) = lim s ΘE(θ0 ) (s, θ0 ) =
s→0
E(θ0 )
E(θ0 )
1
=
(80)
lim s 2
s→0
s + Bs + C(θ0 ) s
C(θ0 )
ou seja, este termo fornece um ganho DC para a saída.
Supõe-se que este MLVP esteja em cascata com um
controlador PID e em uma malha-fechada com um
sinal de referência de degrau unitário tal que:
R(s) , L[r1(t)] =
r
s
(81)
onde r é um valor real constante. Em regime permanente deseja-se que o sinal de saída siga o sinal de
referência, produzindo um erro nulo. Então, é necessário aplicar um degrau de entrada Tc (s) no MLVP.
Seja este degrau definido como:
Tc (s) , L[x1(t)] =
x
s
(82)
então para ter o erro nulo R(s) = Θ(s, θ0 ), ou seja:
x E(θ0 )
1
r
D −
(83)
= 2
s
s + Bs + C(θ0 )
s
s
74
Aplicando-se o Teorema do Valor Final nos dois
membros da Eq. (83), tem-se
r=
D
E(θ0 )
x−
C(θ0 )
C(θ0 )
(84)
Observa-se que o ganho DC da Eq. (80) está presente
na Eq. (84). Reescrevendo-se esta equação tem-se:
x=
rC(θ0 ) + E(θ0 )
D
(85)
que é o valor de ganho necessário ao degrau aplicado na entrada do MLVP da planta, conforme a Eq.
(82). Mais precisamente isso acontecerá depois de
t ≈ ts segundos de acomodação do sinal, onde este
começa a entrar em regime permanente. Portanto,
reescrevendo-se a Eq. (82), tem-se:
Tc ss (s, θ0 , ts ) =
rC(θ0 ) + E(θ0 ) e−ts s
D
s
(86)
onde Tc ss é a ação de controle aplicada à planta em
regime permanente. Portanto, eis a importância do
valor DC: por fazer parte do MLVP, que é uma aproximação linear da complexidade da dinâmica do robô
manipulador, o valor DC é tal que o controlador necessita aplicar uma ação compensatória, a ponto de se
ter Θ(s, θ0 ) = R(s) em regime permanente, ou seja,
erro nulo.
Os MLVP do controlador PID nebuloso
será obtido diretamente do MLVP da planta
(GUO; HUNG; NELMS, 2009).
Isso significa
que a mesma base de conhecimentos usada no
MNTS do robô manipulador deve ser usada para o
MNTS do controlador, diferenciando-se apenas no
consequente, que é a saída do controlador.
Sejam θref. ss , θss e erross , respectivamente, os
valores de regime permanente das posições de referência e de saída, bem como do sinal de erro. Se
θref. ss = θss , então erross = 0, ou seja,
Z
Tc ss = KP (θ0 )erross + KI (θ0 ) erross dt +
KD (θ0 )
d
[erross ] (87)
dt
resulta em:
Tc ss = KI (θ0 )α
(88)
onde α é uma constante. A Eq. (88) é o ganho DC
constante que o controlador deverá fornecer para a
planta depois de t ≈ ts segundos de acomodação do
sinal, onde este começa a entrar em regime permanente. Assim, esta equação pode ser reescrita como
sendo:
Tc ss (s, θ0 , ts ) = L [KI (θ0 )α1(t − ts )] =
e−ts s
KI (θ0 )α
s
(89)
que é a mesma ação de controle da Eq. (86), ou seja,
e−ts s
rC(θ0 ) + E(θ0 ) e−ts s
≡ KI (θ0 )α
D
s
s
(90)
resultando em:
α=
rC(θ0 ) + E(θ0 )
KI (θ0 )D
(91)
com KI (θ0 ) a ser encontrado pela alocação de pólos.
Em outras palavras, α é a constante para a ação de
controle que se adapta ao ganho DC dos MLITs da
planta nos diferentes pontos de operação. Observase que ao desconsiderar E(θ0 ), α ainda se adapta ao
ganho DC da planta. Além disso, a própria característica da malha-fechada há de compensar facilmente
a entrada de E(θ0 ), porque esta é um degrau unitário,
cuja dinâmica também é compensada pelo termo integral do controlador. É possível encontrar uma função de transferência de malha-fechada, para qual será
feita a alocação de pólos. Assim, tem-se:
KI (θ0 )
+
Tc (s, θ0 ) = KP (θ0 ) +
s
KD (θ0 )s] [R(s) − Θ(s, θ0 )]
(92)
que é o sinal de controle (e atuação) que sai do MLVP
do controlador e entra no MLVP da planta, ou seja,
neste caso faz-se Tc (s) = Tc (s, θ0 ). Substituindo-se
a Eq. (92) na Eq. (74), tem-se:
1
(D
+ Bs + C(θ0 )
KD (θ0 )s2 + KP (θ0 )s + KI (θ0 )
[R(s)
s
E(θ0 )
(93)
−Θ(s, θ0 )]} −
s
Θ(s, θ0 ) =
s2
que é a função de transferência de malha-fechada
com realimentação unitária do MLVP do controlador
em cascata planta. Observa-se que o denominador
da função de transferência em malha-fechada é um
polinômio mônico de terceira ordem. Como o denominador de uma função de transferência é quem rege
a dinâmica do sistema, então isso sugere que a este
denominador se pode associar um polinômio de referência que também seja de terceira ordem com os três
pólos alocados intrinsecamente a este polinômio, segundo uma especificação de desempenho, conforme
foi visto no esquema da subseção 3.1.1. Sejam os seguintes pólos em s = −p1 , s = −p2 e s = −p3 , com
{p1 , p2 , p3 } ∈ R+ , os quais foram alocados segundo
alguma(s) especificação(ões) de desempenho. Se estes pólos são as raízes da equação polinomial, então
esta pode ser escrita como sendo:
(s + p1 )(s + p2 )(s + p3 ) = 0
(94)
o que resulta em:
s3 + (p1 + p2 + p3 )s2 + [p3 (p1 + p2 )+
p1 p2 ] s + p1 p2 p3 = 0
(95)
Atribuindo-se as seguintes definições
a , p1 + p2 + p3 ;
b , p3 (p1 + p2 ) + p1 p2 ;
c , p1 p2 p3 ;
(96)
(97)
(98)
a Eq. (95) pode ser reescrita por:
s3 + as2 + bs + c = 0
(99)
que é a equação que serve como polinômio de referência para o projeto do MNTS do controlador PID.
Fazendo-se
s3 + [B + DKD (θ0 )]s2 + [C(θ0 ) +
DKP (θ0 )]s + DKI (θ0 ) ≡ s3 + as2 + bs + c (100)
tem-se:
B + DKD (θ0 ) ≡ a
C(θ0 ) + DKP (θ0 ) ≡ b
DKI (θ0 ) ≡ c
(101)
(102)
(103)
75
o que resulta em:
(104)
As Figuras 5 e 6 ilustram, respectivamente, os resultados para diferentes especificações de pólos.
(105)
92
(106)
90
88
Substituindo-se os valores de a, b e c das Eqs. (96, 97
e 98) nas Eqs. (104, 105 e 106), tem-se:
(p1 + p2 + p3 ) − B
(107)
D
[p3 (p1 + p2 ) + p1 p2 ] − C(θ0 )
(108)
KP (θ0 ) =
D
p1 p2 p3
KI (θ0 ) =
(109)
D
86
θ [grau]
a−B
D
b − C(θ0 )
KP (θ0 ) =
D
c
KI (θ0 ) =
D
KD (θ0 ) =
4.3 Análise Computacional de Desempenho do
Sistema de Controle PID Nebuloso
KD (θ0 ) =
80
Referência
Pólos [−10,−5,−3.8889]
Pólos [−10,−3.1819,−2.6924]
Pólos [−10,−2.3334,−2.0589]
Pólos [−10,−1.8422,−1.6667]
76
74
72
20
22
24
26
28
30
t [s]
(a) 4 regras: referência variando de 85, 6◦ para 90◦
que é o MLVP do controlador PID projetado via alocação de pólos. E o MNTS do controlador PID é dado
por:
L
X
Tc (s) ,
γ i (θ)Tc (s, θi )
(111)
i=1
Fazendo-se Tc (s, θi ) = Tc (s, θ0 ) e substituindo-se na
Eq. (110), tem-se:
L
X
i=1
i
γ (θ)
[p3 (p1 + p2 ) + p1 p2 ]
−
D
C(θi ) p1 p2 p3 1
+
+
D
Ds
(p1 + p2 + p3 ) − B
s
ERRO(s)
D
(112)
que é a máquina de inferência do MNTS com L regras do controlador PID projetado via alocação de pólos.
92
90
88
86
θ [grau]
[p3 (p1 + p2 ) + p1 p2 ] − C(θ0 )
+
Tc (s, θ0 ) =
D
p1 p2 p3 1 (p1 + p2 + p3 ) − B
+
s ·
D s
D
·ERRO(s)
(110)
76
82
78
Logo, tem-se:
Tc (s) =
84
84
82
80
Referência
Pólos [−10,−5,−3.8889]
Pólos [−10,−3.1819,−2.6924]
Pólos [−10,−2.3334,−2.0589]
Pólos [−10,−1.8422,−1.6667]
78
76
74
72
20
22
24
26
28
30
t [s]
(b) 7 regras: referência variando de 85, 6◦ para 90◦
Figura 5: Desempenho 1 do controlador PID nebuloso.
Diante dos resultados obidos, verifica-se que o
tempo de subida e o tempo de acomodação aumentam ao passo que os dois pólos variáveis vão
aproximando-se de zero; o efeito contrário acontece
para o sobressinal. De fato, observa-se que quanto
maior for os pólos, menor fica as especificações de
tempo de subida e tempo de acomodação, ou seja, o
sistema atinge mais rapidamente a referência e entra mais rapidamente em regime. Porém para que
isso aconteça, é requerido muita energia do sistema,
fazendo com que sua resposta apresente um sobres-
92
sinal. Essas duas situações são antagônicas, porque
se por um lado o sistema fica muito rápido, por outro
lado uma grande quantidade de energia é necessária
para isso, fazendo com que aumente o sobressinal.
De outra forma se o sistema fica mais lento, menor a
quantidade de energia necessária para levá-lo para o
regime, menor o sobressinal, resultando tem dois objetivos a serem alcançados para a alocação de pólos:
menor sobressinal e tempo de acomodação.
90
88
θ [grau]
86
84
82
80
Referência
Pólos [−5,−2.5,−2.1875]
Pólos [−5,−1.9445,−1.75]
Pólos [−5,−1.5909,−1.4584]
Pólos [−5,−1.3462,−1.25]
78
76
74
72
20
22
24
26
28
5
30
CONSIDERAÇÕES FINAIS
t [s]
5.1
(a) 4 regras: referência variando de 85, 6◦ para 90◦
92
90
88
θ [grau]
86
84
82
80
Referência
Pólos [−5,−2.5,−2.1875]
Pólos [−5,−1.9445,−1.75]
Pólos [−5,−1.5909,−1.4584]
Pólos [−5,−1.3462,−1.25]
78
76
74
72
20
22
24
26
28
30
t [s]
(b) 7 regras: referência variando de 85, 6◦ para 90◦
Figura 6: Desempenho 2 do controlador PID nebuloso.
sinal considerável. Apesar disso, todas as especificações alcançaram as definições iniciais do projeto:
além dos tempos de acomodação estarem dentro do
intervalo predeterminado para o conjunto de pólos, o
tempo de subida foi rápido o suficiente para garantir um sobressinal máximo de 3, 1442%, na Figura 5,
e de 2, 6894% na Figura 5. Além disso, o fato dos
pólos serem reais negativos garantiram a condição de
estabilidade como critério de desempenho. Em termos de projeto, fica claro que o sobressinal e o tempo
de acomodação são as duas especificações de mérito
que definem o comportamento do sistema. Porém,
é notável que quanto mais rápido fica a resposta do
sistema, maior é o seu sobressinal; em contrapartida,
quanto mais lento fica o sistema, menor é o sobres-
Conclusões
A proposta apresentada na seção 4 foi baseada no
primeiro esquema da seção 3, porém a estrutura de
malha-fechada se diferencia porque o MLVP do controlador está formatado segundo o padrão do controlador PID, além de está em cascata (em série) com
o MLVP do robô manipulador a ser controlado. A
proposta consiste em apresentar um conjunto de procedimentos que vão desde a modelagem da planta a
ser controlada, passando pela obtenção do controlador nebuloso Takagi-Sugeno via alocação de pólos,
até a obtenção dos resultados da dinâmica do controlador através de simulações computacionais, para que
o leitor tenha, nestes procedimentos, um tipo de metodologia de projeto para sistemas nebulosos de controle, do tipo Takagi-Sugeno, que possa ser aplicada a
um processo industrial não-linear, matematicamente
modelável através de leis físicas, usando-se uma técnica de projeto de controle de processos, tal como a
alocação de pólos. Quanto aos resultados, observouse pelas Figuras 5 e 6 que o tempo de acomodação
e sobressinal estavam dentro do intervalo pretendido,
conforme o que foi proposto para projeto de acordo
com o conjunto de pólos alocados.
5.2
Propostas para Trabalhos Futuros
A partir dos resultados apresentados, consideram-se
algumas propostas para trabalhos futuros, com os seguintes aspectos de interesse:
• Projeto de controle adaptativo com critério
multi-objetivo em relação ao tempo de acomodação e sobressinal;
77
• Projeto de controle nebuloso baseado na metodologia proposta no contexto multivariável.
6 AGRADECIMENTOS
Agradecimentos à FAPEMA e ao CNPq pelo apoio
financeiro, e ao Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia (ICAT), do Departamento de Eletroeletrônica (DEE), do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
(IFMA), pela infraestrutura adequada para o desenvolvimento de todas as etapas deste projeto de pesquisa.
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2009. p. 428–432.
BIOGRAFIA DOS AUTORES
Dr. Ginalber L. O. Serra recebeu
os graus de Bacharelado e Mestre
em engenharia elétrica pela Universidade Federal do Maranhão, Maranhão, Brasil, em 1999 e 2001, respectivamente.
Ele recebeu o grau de Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas-SP, Brasil, em Setembro de 2005.
Ele terminou sua pesquisa de Pós-doutorado em controle adaptativo neuro-fuzzy multivariável de sistemas
79
não lineares, no Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes da Universidade Estadual de Campinas, Campinas, Brasil, em Setembro de
2006. Entre 2006 e 2007, foi pesquisador do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade de
Santiago (USACH), Chile. Atualmente é professor e
chefe do grupo de pesquisa em Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia, do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia (IFMA), São LuisMA, Brasil; e professor permanente do Programa
de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidade,
da Universidade Federal do Maranhão (UFMA), São
Luis-MA, Brasil. Dr. Serra é Editor do livro Frontiers in Advanced Control Systems (InTech, 2012),
e atua como revisor de várias conferências e revistas
de prestígio. Seu interesse de pesquisa inclui temas
sobre sistemas fuzzy, redes neurais, computação evolutiva, instrumentação para controle de alto desempenho, controle em tempo real, processamento de sinais, aplicações em automação e controle industrial.
Adriano M. Magalhães é especialista em Engenharia de Campo Qualidade pela Universidade Federal do Maranhão - UFMA, através
do Programa de Mobilização das Insdústrias de Petróleo e Gás Natural - PROMINP (Petrobras). Engenheiro Eletricista Industrial formado pelo Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão - IFMA. Encontra-se atualmente como professor do curso de Engenharia Elétrica da Faculdade
Pitágoras - FAMA. Participou do Programa de Formação Profissional, como Trainee Técnico Operacional na Oficina Central de Locomotivas da VALE, em
São Luís, Maranhão, onde primeiramente integrou o
Grupo de Análise de Falhas de Locomotivas - GAF,
efetuando análise de falhas de componentes elétricos
e eletrônicos, bem como participando de alguns estudos de confiabilidade da manutenção de componentes eletrônicos de locomotivas. Participou também
do corpo de colaboradores da Supervisão de Manutenção dos Componentes Elétricos, atuando na estruturação da célula de manutenção de módulos, painéis
e cartões eletrônicos de locomotivas.
80

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