Simetria quiral em meio magnético quente e denso

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - UFSC
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS - CFM
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Simetria quiral em meio magnético quente e denso
Gabriel Neves Ferrari
Orientador: Prof. Dr. Marcus Benghi Pinto
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), como parte
dos requisitos para obtenção do tı́tulo de Mestre em Fı́sica.
UFSC - Florianópolis
12 de Março de 2012
Simetria quiral em meio magnético quente e denso
Gabriel Neves Ferrari
Esta Dissertação foi julgada adequada para a obtenção do tı́tulo de Mestre em Fı́sica, e aprovada em
sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Fı́sica da Universidade Federal de Santa Catarina.
Prof. Dr. Luis Guilherme do Carvalho Rego
(Coordenador do Curso)
Banca Examinadora
Prof. Dr. Marcus Emmanuel Benghi Pinto
(Presidente - FSC/UFSC)
Prof. Dr. Eduardo de Souza Fraga
(IF/UFRJ)
Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini
Prof. Dr. Luis Guilherme do Carvalho Rego
(FSC/UFSC)
(FSC/UFSC)
Resumo
Um dos temas de pesquisa mais importantes para a Fı́sica contemporânea está relacionado com a determinação da estrutura de fases da cromodinâmica quântica (QCD). Tem-se sugerido que em altas temperaturas (T ) e/ou potenciais quı́micos (µ) os quarks possam passar da fase hadrônica para uma fase
aproximadamente livre (transição de fase quiral) representada pelo plasma de quarks e glúons (QGP), que
provavelmente teria existido no universo primodial.
Em geral, devido às dificuldades técnicas de se trabalhar com transições de fase na QCD, abre-se uma
oportunidade para o uso de modelos efetivos como Gross-Neveu (GN), Nambu- Jona-Lasinio (NJL), MIT
Bag Model, Modelo Sigma-Linear acoplado a quarks (MSLq), etc. Os parâmetros de controle, T e µ, regem
a transição quiral. O regime µ = 0 em altas temperaturas tem sido amplamente estudado, havendo um
consenso quanto ao caráter da restauração da simetria quiral com a maioria das previsões estipulando a
existência de um crossover.
Por outro lado, conjectura-se que fortes campos magnéticos (B ' 1019 G) possam ser gerados em colisões
não centrais que ocorrem em experimentos realizados no RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider, [1]) e no
LHC (Large Hadron Collider, [2]), cujo grande objetivo é a criação do QGP. Para estudar os efeitos deste
campo na restauração da simetria quiral, várias implementações com diferentes modelos mostraram que
com B 6= 0 e µ = 0 tem-se um crossover para altos valores de T ([3]), sendo que o valor da temperatura
pseudo-crı́tica Tpc para µ = 0 aumenta com o campo magnético.
Pelo fato de nossa teoria conter férmions sob campo magnético e estudarmos a simetria quiral, analisaremos como o fenômeno da catálise magnética influencia a transição quiral. Estudaremos também a dependência térmica das massas mesônicas e desenvolveremos a termodinâmica do sistema sem e com campo
magnético, a fim de também analisarmos observáveis fı́sicos. Utilizando o MSLq em µ 6= 0 estenderemos
os resultados da literatura, explorando o diagrama de fases em todo plano T − µ. Analisaremos o comportamento do ponto crı́tico na ausência de campo magnético, verificando qual a influência exercida pelo
vácuo da teoria. Face ao consenso que se tem a campos nulos, investigaremos os efeitos do campo magnético
no diagrama de fases e contrastaremos nossos resultados com aqueles em que se tomou apenas densidades
bariônicas nulas.
Palavras-chave: Transições de Fase em Teoria Quântica de Campos, Simetria Quiral, Diagrama de
Fases da QCD, Campo Magnético.
ii
iii
Abstract
One of the most relevant research subjects of contemporary physics is related to the determination of
the phase structure of the quantum-chromodynamics theory (QCD). Is has been suggested that at finite
temperatures (T ) and/or chemical potentials (µ) quarks could leave the hadronic phase to reach the quarkgluon plasma (QGP), that probably existed in the early universe.
In general, due to technical difficulties associated with phase transitions in QCD, many effective models
have been used (e.g. Gross-Neveu (GN), Nambu-Jona-Lasinio (NJL), MIT Bag Model, Sigma Linear Model
coupled to quarks (LSMq), etc.). The control parametres T and µ rule the chiral transition, and the regime
µ = 0 at high temperatures has been largely studied. There is a consensus with respect to the character of
the restoration of the chiral symmetry with most studies estipulating the existence of a crossover.
On the other hand, it has been conjectured that strong magnetic fields (B ' 1019 G) could be created in
non-central collisions that occur in experiments realized at RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider, [1]) and
at LHC (Large Hadron Collider, [2]), in which the goal is the creation of the QGP. To study the effects of
this magnetic field in the restoration of the chiral symmetry, many developments in different models showed
that with B 6= 0 and µ = 0 there is a crossover for high values of T ([3]). The magnitude of T for µ = 0
appears to grow with the magnetic field in most of these works.
Due to the fact that our theory has fermions under a magnetic field and that we are studying the chiral
symmetry, we will analyse how the phenomenum of the magnetic catalysis influences the chiral transition.
Here, we also study the thermal dependence of the mesonic masses and develop the thermodynamics of the
system with and without magnetic fields, with the purpose of analyzing physical observables. Considering
the LSMq at µ 6= 0, we will extend the results found on the literature, exploring the phase diagram in whole
plane T − µ. We will analyze the behavior of the critical point with vanishing magnetic fields, verifying
the influence exerted by the fermionic vacuum. As we have a consensus about B = 0, we will investigate
its effects on the phase diagram and will contrast our results with those in which only vanishing baryonic
densities were taken into account.
Keywords: Phase Transitions in Quantum Field Theory, Chiral Symmetry, QCD Phase Diagram,
Magnetic Fields.
Sumário
1 Introdução
1.1
1.2
9
O que é o ponto crı́tico da QCD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1
9
O diagrama de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde está o ponto crı́tico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1
Influências do campo magnético
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Simetria Quiral e MSLq
2.1
Bases da teoria quântica de campos
2.1.1
2.2
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Simetria quiral e PCAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1
Transformação quiral de mésons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3
Quebra espontânea da simetria quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4
O modelo sigma-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5
2.4.1
Limite quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2
Quebra explı́cita da simetria quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Lagrangeana do MSLq na aproximação de campo médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Teoria quântica de campos a temperatura e densidade finitas
35
3.1
O potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2
As fases da QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3
QCD a temperatura e densidade finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1
Cálculo do potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
2
SUMÁRIO
4 Gás de férmions livres em meio quente e denso com B 6= 0
4.1
43
Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 RSQ na ausência de campo magnético
49
5.1
Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2
Diagrama de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Efeitos do campo magnético na transição quiral
6.1
6.2
57
Potencial efetivo na presença de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.1
Catálise Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.2
Análise do potencial efetivo para diversas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Considerando o vácuo fermiônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1
Parâmetro de ordem em função da temperatura e massas mesônicas . . . . . . . . . . 63
6.3
Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4
Diagramas de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Conclusões
75
A Técnicas de Matsubara
79
A.1 Matriz densidade e médias térmicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2 Formalismo de Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.3 Frequências de Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.4 Campo magnético nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.5 Campo magnético finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B Cálculo da integral de vácuo na ausência de campo magnético
87
C Equações de movimento com campo magnético
89
C.1 Campos bosônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.2 Campos fermiônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
D Cálculo da integral de vácuo sob campo magnético
93
Lista de Figuras
1.1
Esboço do diagrama de fases da QCD: perceba o regime em que valem os experimentos do
RHIC, LHC e FAIR. O parâmetro de ordem da simetria quiral distingue qualitativamente
duas fases: a hadrônica, quando este é finito, e a de quarks, quando este tende a zero. . . . . 10
1.2
O parâmetro de ordem pela temperatura em um ferromagneto de Curie sem e com campo
magnético. Correspondência com a QCD: M → ψ̄ψ 0 e H → mc . A linha clara corresponde
a um crossover ; a escura, a uma transição de segunda ordem (Tc determinada com exatidão). 13
1.3
A transição de segunda ordem apresenta descontinuidade da primeira derivada do parâmetro
de ordem pela temperatura exatamente em Tc . Crossovers, por outro lado, indicam uma faixa
de temperaturas, e é chamada de temperatura pseudo-crı́tica Tpc o máximo desta faixa. . . . 14
2.1
Potenciais efetivos: (a) Sem quebra espontânea de simetria. (b) Com quebra espontânea de
simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2
Potencial clássico do modelo sigma linear no limite quiral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3
Potencial do modelo sigma linear com quebra explı́cita de simetria, portanto fora do limite
quiral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1
A forma do potencial efetivo para transições descontı́nuas (primeira ordem, gráfico superior)
e contı́nuas (segunda ordem). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1
Equação de estado do gás livre para µ = 0. A razão P/ é 1/3 para eB = 0 (linha pontilhada)
e 1/2.6 para eB = 5m2π (linha cheia). O campo magnético “endurece” a equação de estado. . 46
3
4
LISTA DE FIGURAS
4.2
Pressão em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha pontilhada) e eB = 5m2π ,
linha cheia. A pressão para ambos os casos é praticamente a mesma até T ≈ 250 MeV, sendo
que é maior para B 6= 0. A partir desta temperatura o comportamento dos gases diverge e a
pressão para B = 0 é maior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3
Densidade de entropia em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha pontilhada)
e eB = 5m2π , linha cheia. A densidade de entropia para ambos os casos é praticamente a
mesma até T ≈ 200 MeV, sendo que é maior para B 6= 0. A partir desta temperatura o
comportamento dos gases diverge e s para B = 0 é maior.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4
Densidade de energia em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha pontilhada) e
eB = 5m2π , linha cheia. Até T ≈ 185 MeV os gases se comportam da mesma maneira. . . . . 47
4.5
Parâmetro da equação de estado em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha
pontilhada) e eB = 5m2π , linha cheia. Após um pico em T ≈ 30 MeV, a partir de T ≈ 200 MeV
os gases se comportam da mesma maneira.
5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Potencial efetivo sem vácuo no limite quiral e µ = 0. A baixas temperaturas (95 MeV e
120 MeV, linha preta e pontilhada respectivamente), hσi0 ainda quebra consideravelmente
a simetrial quiral. Em Tpc ≈ 150 MeV (linha clara) este ponto já se encontra em torno de
2 MeV, o que satisfaz nossas previsões visto que estamos fora do limite quiral. Esta mudança
suave do valor de hσi0 caracteriza um crossover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2
Potencial efetivo sem vácuo e com µ = 280 MeV. A tendência a mı́nimos degenerados (um
próximo da origem e outro próximo de 100 MeV) revela caráter de primeira ordem à transição.
A linha preta corresponde a uma temperatura em que há predominância da fase hadrônica,
enquanto a clara apresenta coexistência de fases. A linha pontilhada indica predominância
de QGP. A temperatura crı́tica Tc ≈ 47 MeV é menor que que Tpc para µ = 0.
5.3
. . . . . . . . 50
Pressão versus densidade de energia (µ = 0, variando a temperatura) - como esperado, temos
uma dependência praticamente linear entre as duas grandezas. A linha pontilhada refere ao
gás livre, o que indica maior velocidade do som quando interações fortes são desprezadas. . . 51
5.4
Pressão normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite de Stefan4
Boltzmann atingido em P/Tmax
≈ 2, 25 (linha preta). A linha pontilhada refere ao gás livre. . 52
LISTA DE FIGURAS
5.5
5
Densidade de entropia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite
3
de Stefan-Boltzmann atingido em s/Tmax
≈ 9, 25 (linha preta). A linha pontilhada refere ao
gás livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.6
Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite
4
de Stefan-Boltzmann atingido em /Tmax
≈ 7 (linha preta). A linha pontilhada refere ao gás
livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.7
Parâmetro da equação de estado versus temperatura fora do limite quiral. Como µ = 0, tanto
a linha preta (sem vácuo) quanto a clara representam um crossover. Tpc aumenta quando o
vácuo é considerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8
Medida da interação versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. O pico, pronunciado
apenas para o caso sem vácuo (linha preta), indica Tc . Como µ = 0, tanto a linha preta (sem
vácuo) quanto a clara representam um crossover. Tpc aumenta quando o vácuo é considerado. 54
5.9
Diagrama de fases T versus µ na ausência de campo magnético. A linha inteiramente pontilhada (crossover ) refere-se ao caso com vácuo fermiônico, enquanto a linha em que há ponto
crı́tico foi gerada desconsiderando este termo. Veja que CP desaparece quando consideramos
vácuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1
Catálise magnética. Quanto maior o valor de B, mais anti-alinhadas ficam as helicidades do
consensado quiral, fazendo com que este assuma altos valores. A figura indica a magnitude
dos campos gerados nos aceleradores RHIC e LHC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2
Potencial efetivo sem vácuo, fora do limite quiral e eB = 5m2π (µ = 0). A tendência a
mı́nimos degenerados significa que a transição é de primeira ordem. A linha preta sinaliza
predominância da fase hadrônica, enquanto a clara apresenta coexistência de fases. A linha
pontilhada indica predominância de QGP. A temperatura crı́tica é de Tc ≈ 195 MeV. . . . . . 61
6.3
Potencial efetivo sem vácuo, fora do limite quiral e eB = 15m2π (µ = 0). A linha indica
predominância da fase hadrônica, equanto a clara apresenta coexistência de fases. A linha
pontilhada indica predominância de QGP. A temperatura crı́tica é de Tc ≈ 85 MeV. . . . . . 61
6.4
Dependência térmica do parâmetro de ordem para crossover (linha cheia, eB = 0) e transição
de primeira ordem (linha pontilhada, eB = 5m2π sem vácuo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6
LISTA DE FIGURAS
6.5
Comparativo do comportamento térmico do parâmetro de ordem (linha preta: eB = 0 e
linha clara (verde) eB = 5m2π com vácuo fermiônico) para µ = 0 fora do limite quiral.
(0)
Ambas as linhas são tı́picas de um crossover, e infere-se indiretamente que Tpc ≈ 200 MeV
(5)
e Tpc ≈ 200 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6
Dependência térmica da massa do méson σ na ausência e presença de campo magnético (sem
vácuo) para µ = 0 fora do limite quiral. Na temperatura crı́tica, o campo magnético provoca
descontinuidade em Mσ (linha pontilhada) e tanto a partir de Tc como de Tpc o crescimento
da massa com a temperatura é linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.7
Dependência térmica da massa do méson σ na ausência e presença de campo magnético (com
vácuo) para µ = 0 fora do limite quiral. A presença do termo de vácuo faz desaparecer a
descontinuidade (linha clara), e tanto a partir de Tc como de Tpc o crescimento da massa com
a temperatura é linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.8
Dependência térmica da massa do méson π na ausência e presença de campo magnético (sem
vácuo) para µ = 0 fora do limite quiral. Na temperatura crı́tica, o campo magnético provoca
descontinuidade em Mπ (linha pontilhada) e tanto a partir de Tc como de Tpc o crescimento
da massa com a temperatura é linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.9
Dependência térmica da massa do méson π na ausência e presença de campo magnético (com
vácuo) para µ = 0 fora do limite quiral. A presença do termo de vácuo faz desaparecer a
descontinuidade (linha clara), e tanto a partir de Tc como de Tpc o crescimento da massa com
a temperatura é linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.10 Pressão versus densidade de energia (linha preta: MSLq, linha pontilhada: gás livre) - a
equação de estado do gás livre é mais “dura”. O pico em torno de = 800 MeV, que só
aparece para o MSLq, sinaliza a existência de uma temperatura crı́tica. . . . . . . . . . . . . 66
6.11 Pressão normalizada versus temperatura (µ = 0) no MSLq (eB = 5m2π ). . . . . . . . . . . . . 67
6.12 Pressão normalizada versus temperatura (µ = 0) no gás de férmions livres (eB = 5m2π ). . . . 67
6.13 Densidade de entropia normalizada versus temperatura (µ = 0) no MSLq (eB = 5m2π ). . . . . 67
6.14 Densidade de entropia normalizada versus temperatura (µ = 0) no gás de férmions livres
(eB = 5m2π ).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.15 Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) no MSLq (eB = 5m2π ). . . . . 68
6.16 Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) no gás de férmions livres
(eB = 5m2π ).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
LISTA DE FIGURAS
7
6.17 Pressão versus densidade de energia para o MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha clara:
eB = 0) - a equação de estado com campo magnético é mais “dura”. . . . . . . . . . . . . . . 68
6.18 Pressão normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o MSLq (linha
preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.19 Densidade de entropia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o
MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.20 Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o
MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.21 Parâmetro da equação de estado versus temperatura fora do limite quiral para o MSLq (linha
preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). Como µ = 0, ambas as linhas representam um
crossover. Tpc aumenta com o campo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.22 Medida da interação versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o MSLq (linha
preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). Como µ = 0, ambas as linhas representam um
crossover. Tpc aumenta com o campo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.23 Comparativo entre os diagramas T versus µ para eB = 0, eB = 4m2π , eB = 5m2π e eB = 15m2π
sem vácuo fermiônico. O valor de T para µ = 0 é maior para B 6= 0 do que para B = 0,
entretanto descesce com o campo magnético. Em T = 0, µ decresce com o campo magnético.
Só há ponto crı́tico para eB = 0, as demais linhas são todas de primeira ordem. . . . . . . . . 72
6.24 Comparativo entre os diagramas T versus µ para eB = 0, eB = 3m2π , eB = 5m2π e eB = 15m2π
com vácuo fermiônico. O valor de T para µ = 0 é maior para B 6= 0 do que para B = 0,
e cresce com o campo magnético. Em T = 0, µ aumenta com o campo magnético. Não há
ponto crı́tico, todas as linhas são de crossover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8
LISTA DE FIGURAS
Capı́tulo 1
Introdução
A cromodinâmica quântica é uma das mais marcantes teorias da fı́sica. Além de sua matemática ser concisa,
sua vasta aplicabilidade permite que estudemos os mundos macro e microscópico. A fenomenologia da QCD
a temperatura e densidade bariônica finitas, à qual tem sido dedicados muitos experimentos, é um dos
regimes mais explorados na atualidade. Atavés desta teoria, estuda-se majoritariamente a fı́sica do interior
das estrelas de nêutrons e o grande assunto dos atuais programas experimentais, a fı́sica das colisões de ı́ons
pesados.
Na literatura encontra-se muito material acerca de aspectos que não trataremos aqui necessariamente
([4] - [9]). Nosso foco será o estudo do ponto crı́tico (CP ) da QCD e a termodinâmica envolvida nas suas
transições de fase.
Há muitas questões abertas no que diz respeito ao ponto crı́tico do diagrama de fases da QCD, e muitos
resultados teóricos ou até experimentais estão atualmente sendo discutidos.
1.1
1.1.1
O que é o ponto crı́tico da QCD?
O diagrama de fases
A fig. 1.1 mostra um esboço do possı́vel diagrama de fases da QCD caracterizado pelos valores dos parâmetros
de controle, T e µ (densisade bariônica), através do qual colhemos informações sobre as transições e as
situações fı́sicas delimitadas pelas linhas de transição. Estas transições são singularidades termodinâmicas
do sistema, aqui considerado fortemente interagente e em equilı́brio térmico e quı́mico. A faixa de baixas
temperaturas e altas densidades bariônicas do diagrama de fases representa regiões no interior de uma estrela
9
10
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
de nêutrons ([10]), enquanto altos valores de T e baixos valores de µ representam a quente e densa “bola
de fogo”criada pelas colisões relativı́sticas de ı́ons pesados que ocorrem nos experimentos do RHIC e do
LHC com energias que podem chegar a 200 GeV/nucleon. A região do diagrama mais comprovada pelas
colisões de ı́ons pesados é aquela acima de T ' 100 MeV e de pequenos a médios valores de densidade
(µ ' 0 − 70 MeV) - esta faixa do diagrama também inclui o universo primordial. Também chamado de
potencial quı́mico, µ está relacionado à diferença entre o número de partı́culas (NP ) e de anti-partı́culas
(NAP ) em um sistema (µ ' NP − NAP ). Teoricamente espera-se que esta região tenha uma propriedade
interessante - o ponto final da linha de primeira ordem, chamado de ponto crı́tico (fig. 1.1). A figura ainda
mostra que experimentos como o FAIR e o HIC situam-se nas regiões de valores intermediários de µ e T e
que a fase de supercondutores de cor aparece para altı́ssimos valores de µ e baixas temperaturas.
Figura 1.1: Esboço do diagrama de fases da QCD: perceba o regime em que valem os experimentos do RHIC,
LHC e FAIR. O parâmetro de ordem da simetria quiral distingue qualitativamente duas fases: a hadrônica,
quando este é finito, e a de quarks, quando este tende a zero.
Porque deveria existir um ponto crı́tico?
Antes de tratarmos teoricamente acerca de sua existência, vejamos como acontece uma transição de fase
sob o ponto de vista experimental: acredita-se que todos os bárions sejam compostos de três quarks, estes
ligados por glúons. Teoricamente, ainda, espera-se que no universo primordial não tenha havido nucleons,
mas somente quarks e glúons livres. Todavia, como o universo se expandiu e esfriou, estes quarks e glúons
1.1. O QUE É O PONTO CRÍTICO DA QCD?
11
interagiram de tal forma que, em instantes de µs, tornaram-se inseparáveis. Os aceleradores de partı́culas
procuram, hoje, levar-nos “de volta ao passado” para que vejamos como a matéria teria se comportado no
universo primordial. No RHIC, especificamente, dois feixes de ı́ons de Au ou P b viajam em direções opostas
ao longo de um anel cujo comprimento é de 3, 8 km e colidem quando atingem velocidades próximas de c.
Tais colisões ocorrem milhares de vezes por segundo, em que estão envolvidos centenas1 de MeV. A dinâmica
das transições de fase na QCD é relevante para estes experimentos, onde a matéria é formada praticamente
sem potencial quı́mico. Na fig. 1.1.1 temos o esquema do que acontece no interior dos aceleradores quando
dois núcleos de Au colidem a velocidades relativı́sticas. Em seus referenciais, estes núcleos são de forma
aproximadamente esférica, contudo no referencial do laboratório é percebida a contração de Lorentz, que
achata suas formas. A figura mostra a evolução temporal do evento, que culmina com a formação do QGP,
quando surge uma nova forma de matéria.
Ainda que não constitua uma prova, o argumento para que deva existir o ponto crı́tico é baseado em um
pequeno número de suposições. Os dois fatos básicos em que esta ideia se apoia são:
i) A temperatura de transição a densidade bariônica nula não é uma singularidade termodinâmica. Ao
invés disso, é um leve crossover de um regime descritı́vel por um gás de hádrons para outro dominado por
graus de liberdade internos da QCD - quarks e glúons. Este é o resultado de cálculos na rede a T finita
([11]).
ii) A transição a µ finito e temperatura nula é de primeira ordem, conforme mostram diversos modelos
efetivos ([12] e [13] - [19]).
iii) Finalizamos o argumento com base nas proposições acima, pois como a linha de primeira ordem
1
Temperaturas da ordem da temperatura do Sol: TSol ≈ 5778 K ≈ 400 MeV.
12
originada em T = 0 não pode terminar no eixo µ = 0 devido a i, portanto deve terminar em algum ponto,
o chamado ponto crı́tico CP , em uma região de valores intermediários de T e µ do diagrama de fases.
A existência de um ponto crı́tico certamente é o mais comum fenômeno crı́tico da matéria condensada.
Muitos lı́quidos possuem tal singularidade, inclusive a água. A linha de evaporação termina na pressão
p = 218 atm e T = 374o C. Ao longo desta linha, as fases coexistentes (água e vapor) tornam-se cada vez
menos distintas a medida que se aproxima do ponto crı́tico (a densidade da água diminui e a de vapor
aumenta), resultando em uma única fase neste ponto e além dele.
Na QCD as fases coexistentes são a de um gás de hádrons (baixas temperaturas), e o plasma de quarks
e gluons (altas temperaturas). O que as distingue? Como no caso da água e seu vapor, a distinção é apenas
quantitativa, e tão mais óbvia ela se faz quanto mais se aproxima do ponto crı́tico. Rigorosamente, não há
um bom parâmetro de ordem que possa distinguir as fases qualitativamente. O condensado quiral ( ψ̄ψ 0 ),
que se aproxima de um parâmetro de ordem, é não nulo em ambas as fases devido à massa nua dos quarks
ser finita.
Temperatura crı́tica ou pseudo-crı́tica?
Este trabalho fundamenta-se no regime da QCD em que quarks são massivos (mc ≈ 4 MeV), que corresponde
ao caso real. Neste limite da QCD com 2 quarks - up (mu ≈ 2MeV) e down (md ≈ 6MeV) -, a simetria quiral
é aproximada2 . É o parâmetro de ordem que dita a fase em que se encontra determinado sistema. A uma
temperatura suficientemente alta, este parâmeteo é suprimido como em outros sistemas (desordenamento
do ferromagneto na temperatura de Curie, por exemplo). A simetria quiral é restaurada. As duas fases
devem ser separadas por uma singularidade termodinâmica - uma transição de fase.
Tomando como exemplo o caso µ = 0, consideremos o parâmetro de ordem ψ̄ψ 0 , chamado de condensado de quarks no vácuo, que representa a probabilidade de se encontrar um par quark-antiquark no
vácuo. Este condensado como função de T é aproximadamente nulo para todas as temperaturas acima de
um valor crı́tico (Tc ) e assume valores altos abaixo desta (quebra de simetria). Considerando-se a situação
aproximadamente realista em que mc = 0, ψ̄ψ 0 se anula a altas temperaturas, e sua dependência térmica
claramente não pode ser analı́tica, devendo aparecer uma singularidade em Tc . Na QCD, cálculos na rede e
em modelos efetivos mostram que esta singularidade é uma transição de segunda ordem caso se atinja Tc a
µ = 0 ([12] e [20] - [27]).
No caso real, onde mc é finita, a distinção entre as fases simétrica e quebrada torna-se menos clara. A
2
Estes valores de massa são uma média daquilo que se obtém através de experimentos.
1.1. O QUE É O PONTO CRÍTICO DA QCD?
13
situação é análoga a um ferromagneto - um campo magnético de baixa intensidade (análogo a mc ) retira
a singularidade de Curie (fig. 1.2). A figura ainda nos mostra que transições de segunda ordem revelam
uma temperatura crı́tica Tc bem definida, o que não ocorre para crossovers, e por isso estas não são de fato
transições de fase, e sim processos em que o parâmetro de ordem tende a zero como função de um parâmetro
termodinâmico.
Figura 1.2: O parâmetro de ordem pela temperatura em um ferromagneto de Curie sem e com campo
magnético. Correspondência com a QCD: M → ψ̄ψ 0 e H → mc . A linha clara corresponde a um
crossover ; a escura, a uma transição de segunda ordem (Tc determinada com exatidão).
Enquanto se tem Tc para transições de fase, aos crossovers podemos associar temperaturas pseudocrı́ticas. A fig. 1.3 evidencia esta diferença, pois transições de segunda ordem possuem descontinuidade na
derivada do parâmetro de ordem justamente em Tc ; já para crossovers esta derivada é contı́nua, o que nos
permite aferir uma faixa de temperaturas, e a escolha de uma destas especificamente a caracteriza como
sendo uma temperatura pseudo-crı́tica Tpc , em geral o máximo do gráfico com linha mais clara.
14
-
dM
dT
Tpc p crossover
Tc p 2a ordem
T
Figura 1.3: A transição de segunda ordem apresenta descontinuidade da primeira derivada do parâmetro de
ordem pela temperatura exatamente em Tc . Crossovers, por outro lado, indicam uma faixa de temperaturas,
e é chamada de temperatura pseudo-crı́tica Tpc o máximo desta faixa.
1.2
Onde está o ponto crı́tico?
Como no mundo real mc 6= 0, esperamos que a linha de primeira ordem, cujo inı́cio é em T = 0, termine
em um CP , onde começam os pontos de crossover. Há controvérsias quanto à localização e até a existência
deste ponto, entretanto, acredita-se realmente que ele exista e esteja localizado em uma região intermediária
do diagrama, conforme mostra a primeira previsão da rede quanto à sua localização [28].
Em [12] encontra-se uma comparação entre o MSLq e o modelo de Nambu-Jona-Lasinio (NJL): para o
primeiro, T = 99 MeV e µ = 207 MeV; para o segundo, T = 46 MeV µ = 332 MeV. Contudo, o MSLq tem
dupla abordagem, pois este modelo permite a consideração ou não de seu vácuo fermiônico3 , o que muda
drasticamente o caráter da transição quiral conforme podemos ver em [29]: detectou-se o ponto crı́tico em
(T = 90 MeV e µ = 220 MeV) sem vácuo4 , enquanto apenas uma linha de crossover foi obtida quando
este foi considerado. A seguir trataremos do campo magnético para que então discutamos o que se tem
encontrado neste regime.
3
4
Os autores de [12] desconsideraram o vácuo no emprego do LSMq.
Correções quânticas ao potencial efetivo independentes de T e µ.
1.2. ONDE ESTÁ O PONTO CRÍTICO?
1.2.1
15
Influências do campo magnético
Dentre os fenômenos que exercem influência direta neste processo de quebra de simetria está a catálise
magnética. No limite T → 0 e µ → 0, modelos efetivos prevêem que a presença de um campo B anti-alinha
as helicidades do par ψ̄ψ 0 , ligado pela interação forte. Por outro lado, sabe-se que no estado fundamental
de um supercondutor B favorece o alinhamento dos spins de um par de elétrons, desfavorecendo sua formação.
Como consequência da catálise magnética, o condensado quiral assume altı́ssimos valores quando B cresce.
No modelo de NJL, por exemplo, sugere-se que o valor do condensado cresça de 30 a 40% quando B vai
√
de aproximadamente 0, 05m2π a 20m2π ([30] e [31]), onde e = 1/ 137 é a carga fundamental do elétron
e mπ ≈ 138 MeV a massa do pı́on (1m2π ≈ 1019 G). De fato, a maioria dos modelos efetivos concorda
que a quebra da simetria é favorecida pelo crescimento de B ([32] - [36]). Conjectura-se que a variação
do parâmetro de acoplamento sob a presença de campos magnéticos possa reverter esta catálise magnética
([37]). Todavia, nosso foco neste trabalho é tomar T 6= 0 e µ 6= 0 e analisar como a simetria quiral é afetada.
As propriedades da QCD sob campos magnéticos fortes são relevantes para pelo menos três importantes
situações fı́sicas. Primeiro, modelos cosmológicos sugerem que campos extremamente fortes (eB ' 0, 2 m2π )
poderiam ter sido produzidos durante transições de fase no universo primordial ([38]). Este efeito poderia
também ter impacto nos processos subsequentes de interações fortes ([39]). Segundo, campos da ordem
de eB ' 1MeV2 ' 5 × 10−5 m2π estão presentes no interior de estrelas de nêutron densas (magnetares5 ,
[40]). Finalmente, em colisões ultrarrelativı́sticas não centrais de ı́ons pesados, os espectadores - dois raios
de cargas positivas movendo-se em direções opostas - também criam um intenso campo magnético o qual,
dependendo da centralidade e dos momentos envolvidos, chega a eB ' 5 m2π para o RHIC e eB ' 15 m2π para
o LHC ([41]). Este campo, uma vez que é produzido pelos espectadores, é externo e tem um tempo de vida
muito curto (da ordem de 1 fm/c). O “impulso” magnético coincide com a geração do plasma de quarks
de gluons e pode ter um efeito significante nas propriedades da transição. No interior dos aceleradores,
embora estes campos sejam de pouca duração para energias muito altas, tem um papel importante em
possı́veis assinaturas experimentais ([42] - [44]). Como quarks e hádrons carregados interagem com o campo
magnético, ao contrário das partı́culas neutras, este parâmetro de controle pode afetar a estrutura de fase
da QCD de uma maneira não-trivial.
Devido a esta fenomenologia altamente relevante, o efeito de um campo finito nas interações fortes tem
5
Não se sabe ao certo a origem dos campos magnéticos de um magnetar, porém conjectura-se que o momento de spin das
partı́culas elementares que o compõem possa ser um grande responsável.
16
sido estudado extensivamente nos últimos anos, tanto via modelos quanto por simulações na rede. Em
particular, a estrutura do diagrama de fases B versus T da QCD tem chamado a atenção recentemente.
Para µ = 0, a presença de um campo magnético faz a temperatura de transição aumentar em modelos como o
de Sakai-Sugimoto para teorias de gauge ([45]) sob aproximação de campo médio, GN em poucas dimensões
e na QED (2+1)-dimensional quando descrita pelas equações de Schwinger-Dyson. Este comportamento
foi também observado no NJL ([46]) e no MSLq ([3] e [47]). Vale ressaltar que um decréscimo em Tc foi
observado em três situações: no MSLq quando contribuições de vácuo são negligenciadas ([3]), na rede
quando tomado o limite contı́nuo ([48]) e no MIT Bag Model ([49]).
Todavia, pouco se trabalhou no diagrama de fases T versus µ sob campo magnético. Sabe-se que no
NJL a existência do CP é mantida [50]) e que Tpc aumenta com o campo magnético para µ = 0, enquanto
para T = 0 nada se pode afirmar sobre µc , pois são observadas oscilações em sua dependência com o campo
magnético. Por exemplo (em T = 0): eB = 9m2π → µc ≈ 360 MeV, eB = 15m2π → µc ≈ 280 MeV e
eB = 30m2π → µc ≈ 300 MeV. Um estudo do ponto tricrı́tico (limite quiral, mc = 0) encontra-se em
[21], onde aparentemente este ponto desloca-se de modo a aumentar a linha de primeira ordem quando se
aumenta o campo magnético. No MSLq, [51] não observa a existência de CP : o diagrama de fases T versus
µ apresenta uma linha de crossover quando o vácuo fermiônico foi considerado e um linha de primeira ordem
quando este foi negligenciado. Além disso, tanto Tc para µ = 0 quanto µc para T = 0 aumentam com o
campo magnético.
Neste trabalho estenderemos resultados do MSLq para densidades bariônicas finitas, inicialmente reproduziremos resultados de [3], [29] e [51] para campo magnético nulo e finito e analisaremos sua influência no
ponto crı́tico da QCD. Além disso, pelo fato de podermos ter acesso à termodinâmica dos processos que
envolvem as interações fortes através dos colisores ultrarrelativı́sticos, obtivemos observáveis como pressão e
densidade de energia, e etc. Calculamos a dependência térmica de cada uma destas quantidades com e sem
vácuo fermiônico em cada um dos casos (sem e com campo magnético) para analisarmos as diferenças entre
cada abordagem e concluirmos se é realmente viável a até então usual negligência deste termo. Evidenciamos
numericamente a catálise magnética para que pudéssemos comparar com o que se tem para o NJL ([46]). A
dependência térmica das massas dos mésons e ~π na ausência de campo magnético foi obtida em [12]. Aqui,
calculamos estas dependências sob campo magnético para que pudéssemos analisar sua influência uma vez
que em [47] encontra-se a dependência térmica da massa do méson sigma empregando o MSLq com loop de
Polyakov e levando em conta contribuições mesônicas.
A dissertação está organizada como segue: tendo discorrido acerca da fenomenologia da QCD tratamos,
1.2. ONDE ESTÁ O PONTO CRÍTICO?
17
no capı́tulo 2, das bases da teoria quântica de campos e da simetria quiral. Ainda neste capı́tulo apresentamos
o MSLq, estudando quebra e restauração da simetria quiral (RSQ) neste modelo. No capı́tulo 3 incluimos
temperatura e potencial quı́mico à teoria de campos, abordando as fases da QCD e estudando seu diagrama
a altas temperaturas. Nossos primeiros resultados aparecem no capı́tulo 4 em que, ainda sem interação,
obtemos a termodinâmica de um gás de férmions livres. O capı́tulo 5 contém uma revisão do cálculo
do potencial do efetivo, diagrama de fases e a termodinâmica para o MSLq com B = 0. Considerando
campo magnético, seguimos para o capı́tulo 6, onde pudemos comparar a termodinâmica de nosso sistema
com os resultados do capı́tulo anterior para analisar os efeitos da catálise magnética no diagrama de fases.
Apresentamos um comparativo (com e sem campo magnéticoo) das massas dos mésons presentes na teoria
e também dos diagramas de fases para ambos os casos. Nossas conclusões finais se encontram no capı́tulo
7, e cálculos relevantes nos apêndices.
18
Capı́tulo 2
Simetria Quiral e MSLq
A simetria quiral é a simetria apresentada pela QCD no limite de quarks não-massivos. Sabemos, no entanto,
que as massas de corrente dos quarks é finita. Mas, ao compararmos com as escalas de massa dos hádrons
(ordem de 1000 MeV), a massa dos quarks mais leves (up e down, ordem de 5 MeV) torna-se desprezı́vel, e
considera-se a simetria quiral como sendo uma simetria aproximada das interações fortes 1 .
Antes ainda que a QCD fosse formulada como uma teoria para as interações fortes o decaimento beta
já dava indı́cios fenomenológicos da existência da simetria quiral. Estes estudos preliminares revelaram que
as constantes de acoplamento fracas para as correntes hadrônicas vetoriais e axiais (CV e CA ) não diferem
das (para a CV ) ou concordam em 75% (em se tratando da CA ) com as leptônicas. Consequentemente, não
se tem correções quânticas da interação forte para as cargas vetorial e axial. O mesmo é verdade para o
caso mais conhecido da carga elétrica, cuja conservação sabemos impedir de ser quanticamente conservada.
Analogamente, esperamos que tanto a carga vetorial como a axial (de forma mais geral, as correntes) sejam
conservadas via alguma simetria da interação forte. No caso da corrente vetorial, a simetria fundamental
é a bem conhecida simetria de isospin das interações fortes, e a corrente hadrônica vetorial é identificada
com a corrente de isospin. Por outro lado, a identificação da corrente axial não é tão direta. Isto ocorre
devido a uma caracterı́stica muito importante e interessante da interação forte, que é o fato de a simetria
associada com a corrente axial conservada ser espontaneamente quebrada (ou seja, enquanto a lagrangeana
tem tal simetria, o estado fundamental não tem). Uma importante consequência de uma simetria contı́nua
espontaneamente quebrada é a existência de um modo sem massa, o bóson de Goldstone. Em nosso caso,
caso a simetria quiral fosse exata, o pı́on deveria ser não-massivo, correspondendo ao bóson de Goldstone.
1
Um estudo formal e completo acerca de simetrias de um modo geral é encontrado em [52]
19
20
CAPÍTULO 2. SIMETRIA QUIRAL E MSLQ
Como esta é apenas aproximada, o pı́on de fato aparece massivo na teoria; contudo, sua massa é pequena
(mπ /MN ≈ 0, 14), em que MN ≈ 1 GeV é a massa do núcleon.
A altas temperaturas ou densidades (potencial quı́mico), espera-se que a simetria quiral seja restaurada,
ainda que aproximadamente. Isto é, contrariamente ao estado fundamental, estados a altas temperaturas ou
densidades poderão compartilhar a simetria com a lagrangeana. Como uma consequência desta restauração
quiral, esperamos a ausência de qualquer bóson de Goldstone e então os pı́ons, se ainda presentes, deverão
tornar-se massivos como todos os outros hádrons. Criar um sistema, no laboratório, com a simetria quiral
aproximadamente restaurada, é um dos maiores objetivos dos experimentos ultra-relativı́sticos com ı́ons
pesados.
A menos de uma convenção alternativa previamente assinalada, recorreremos sempre às unidades naturais
(~ = c = 1) e às convenções de Bjorken e Drell ([53]) para a métrica e as matrizes γ de Dirac.
2.1
Bases da teoria quântica de campos
Em geral, utiliza-se o formalismo lagrangeano para trabalhar a teoria quântica de campos. Comecemos com
aquilo que conhecemos da mecânica clássica, em que se obtém as equações de movimento via princı́pio de
R
Hamilton e se exige que a ação S = L(q, q̇, t) seja mı́nima ([54] - [58]):
∂S = 0 →
d ∂L ∂L
−
= 0,
dt ∂ q̇
∂q
(2.1)
onde L = T − V (lagrangeana) é a função de Lagrange. Por exemplo, as equações de movimento
newtonianas para um potencial V (q) saem de
1
∂V
∂V
L = mq̇ 2 − V (q) ⇒ mq̈ +
= 0 ⇔ mq̈ = −
=F.
2
∂q
∂q
(2.2)
Em se tratando de campos, as coordenadas q e as velocidades q̇ são substituı́das, respectivamente, pelos
campos Φ(x) e pelas derivadas covariantes ∂µ Φ(x):
q → Φ(x) ,
∂Φ(x)
q̇ → ∂µ Φ(x) ≡
.
∂xµ
Além disso, a lagrangeana é dada por uma integração espacial de uma densidade lagrangeana
2
2
(L):
A partir de agora, por simplificação, a esta densidade também chamaremos lagrangeana, visto que L não será mais utilizada.
2.1. BASES DA TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS
Z
d3 xL(Φ(x), ∂µ Φ(x), t) ,
Z
d4 xL(Φ(x), ∂µ Φ(x), t) .
L=
Z
S=
dtL =
21
A invariância de Lorentz implica que a ação S e a densidade lagrangeana L transformam-se como
invariantes de Lorentz. As equações de movimento para os campos são novamente obtidas sob o requerimento
de que S seja mı́nima, cuja variação se dá nos campos:
Φ → Φ + ∂Φ∂µ Φ → ∂µ Φ + δ(∂µ Φ) ,
(2.3)
δ(∂µ Φ) = ∂µ (Φ + δΦ) − ∂µ Φ = ∂µ (δΦ) .
(2.4)
com
Usando este último resultado,
Z
δS =
Z
=
d4 xL(Φ + δΦ, ∂µ Φ + δ(∂µ Φ)) − L(Φ, ∂µ Φ)
d4 xL(Φ, ∂µ Φ) +
∂L
∂L
δΦ +
δ∂µ Φ − L(Φ, ∂µ Φ)
∂Φ
∂(∂µ Φ)
Z
∂L
∂L
= d4 x
δΦ +
∂µ (δΦ)
∂Φ
∂(∂µ Φ)
Impondo a minimização,
∂L
∂L
− ∂µ
,
0=
∂Φ
∂(∂µ Φ)
(2.5)
que são as equações de movimento.
2.1.1
Simetrias
Uma grande vantagem da formulação lagrangeana é que as simetrias da lagrangeana conduzem a quantidades
conservadas (correntes). Assumamos que L é simétrica sob uma transformação dos campos Φ → Φ + δΦ,
ou seja,
L(Φ) = L(Φ + δΦ)
∂L
∂L
0 = L(Φ + δΦ) − L(Φ) =
δΦ +
δ(∂µ )Φ
∂Φ
∂(∂µ Φ)
Usando resultados preliminares, podemos chegar diretamente em
∂L
0 = ∂µ
δΦ ,
∂(∂µ Φ)
(2.6)
22
isto é, existe uma corrente Jµ conservada tal que
Jµ =
∂L
δΦ .
∂(∂µ Φ)
(2.7)
Como um exemplo, tomemos a lagrangeana de dois sabores de férmions não-massivos. Os seguintes
resultados tem aplicabilidade na QCD sem massa, pois trataremos apenas das transformações dos férmions.
A lagrangeana é dada por
L = iψ¯j ∂/ψj ,
(2.8)
em que o ı́ndice j refere-se a, por exemplo, quarks up e down e ∂/ ≡ ∂µ γ µ . Consideremos a transformação
~τ ~
~
− 2i ~
τ ·Θ
TV : ψ → e
(2.9)
ψ ' 1−i ·Θ ψ,
2
em que ~τ são as matrizes de Pauli. De modo semelhante,
~τ ~
~
+ 2i ~
τ ·Θ
ψ̄ → e
ψ̄ ' 1 + · Θ ψ̄
2
Observe que a lagrangeana é invariante sob TV :
~ ψ¯j i∂/ ~τ ψ − ψ¯j ~τ i∂/ψ = iψ¯j ∂/ψj
iψ¯j ∂/ψj → iψ¯j ∂/ψj − iΘ
2
2
(2.10)
(2.11)
E existe uma corrente associada a esta transformação:
Vµa = ψ̄γµ
τa
ψ,
2
(2.12)
conhecida como corrente vetorial.
Agora, consideremos a transformação
~τ
ψ ' 1 − iγ5
TA : ψ → e
2
i
~τ
~
ψ̄ → e− 2 γ5 ~τ Θ ψ̄ ' 1 − iγ5
2
~
τΘ
− 2i γ5 ~
~
·Θ ψ
~
· Θ ψ̄
E também pode-se mostrar a invariância da lagrangeana frente a esta transformação. Surge então uma
corrente axial:
Aaµ = ψ̄γµ γ5
τa
ψ,
2
(2.13)
e concluimos que a lagrangeana de férmions não-massivos, assim como a QCD sem massa, são invariantes
frente ambas as transformações. Esta simetria (tanto com relação a TV como a TA ) é chamada de simetria
quiral.
2.2. SIMETRIA QUIRAL E PCAC
23
Acrescentemos agora um termo de massa:
δL = −mc ψ̄ψ ,
(2.14)
de onde infere-se diretamente invariância sob transformações vetoriais (TV ) mas não sob as axiais TA :
~τ
~
TA : mψ̄ψ → ψ̄ψ − 2iΘ ψ̄ γ5 ψ
(2.15)
2
Portanto, a transformação axial não é adequada no caso de quarks massivos; contudo, para massas
pequenas o suficiente em comparação com as escalas de energia da teoria, podemos dizer que esta é aproximadamente simétrica com relação a TA .
No caso da QCD, a massa dos quarks mais leves é da ordem de 5 MeV, enquanto que a escala de energia
vale aproximadamente 1 GeV. Tem-se, portanto, que TA representa uma simetria aproximada, enquanto que
a corrente axial Aaµ é parcialmente conservada. Esta ligeira quebra de simetria devida à massa dos quarks é
a base da famosa hipótese da Corrente Axial Parcialmente Conservada (PCAC, do inglês Partial Conserved
Axial Current).
2.2
2.2.1
Simetria quiral e PCAC
Transformação quiral de mésons
Para que nos habituemos com o significado das transformações TV e TA , vejamos como pı́ons e mésons ρ se
transformam sob estas. A fim disto, consideremos combinações de campos fermiônicos:
~π = iψ̄~τ γ5 ψ
(pseudo − escalar)
σ = ψ̄ψ
ρ
~µ = ψ̄~τ γµ ψ
(vetorial)
~a1µ = ψ̄~τ γµ γ5 ψ
(escalar)
(pseudo − vetorial)
Aplicando a transformação vetorial (TV ):
τj
τj
πi : iψ̄τi γ5 ψ → iψ̄τi γ5 ψ + Θj ψ̄τi γ5 ψ − ψ̄ γ5 τi ψ
2
2
= iψ̄τi γ5 ψ + iΘj ijk ψ̄γ5 τk ψ ,
em que se usou [τi , τj ] = 2iijk τk . Agrupando os pı́ons:
~ × ~π ,
~π → ~π + Θ
(2.16)
~ ×ρ
ρ
~→ρ
~+Θ
~.
(2.17)
o mesmo que se obtém para o méson ρ:
24
Ou seja, a direção do isospin dos mésons é rotacionada de Θ. Consequentemente, TV pode ser identificada
como as rotações do isospin e a corrente vetorial conservada com a corrente de isospin, cuja conservação é
comprovada nas interações fortes.
Por outro lado, a transformação axial TA gera
τj
τj
πi : iψ̄τi γ5 ψ → iψ̄τi γ5 ψ + Θj ψ̄τi γ5 γ5 ψ + ψ̄γ5 γ5 τi ψ
2
2
= iψ̄τi γ5 ψ + Θi ψ̄ψ ,
onde se utilizou tanto {γi , γj } = 2δij como γ5 γ5 = 1. Agora,
~ ,
~π → ~π + Θσ
(2.18)
o que significa que o eixo de rotação dos pı́ons é dado pelo méson σ e vice-versa. O mesmo acontece entre
o méson ρ e a~1 :
~ × a~1µ .
ρ~µ → ρ~µ + Θ
2.3
(2.19)
Quebra espontânea da simetria quiral
Os desenvolvimentos anteriores conduzem-nos a uma contradição, pois enquanto o espectro mesônico de
massa não reflete a simetria axial, o decaimento fraco do pion é consistente com uma corrente axial parcialmente conservada. Além disso, a relação de Goldberger-Treiman aponta para uma corrente axial conservada,
tornando TA uma simetria da interação forte. Isto é resolvido quando entendemos a simetria axial como
sendo espontaneamente quebrada, ou seja, esta é obedecida pela lagrangeana mas não pelo estado fundamental. Isto é melhor ilustrado por uma analogia com a mecânica clássica. Na fig. 2.1 temos dois potenciais
invariantes por rotação:
Em (a) o estado fundamental encontra-se exatamente no centro, e tanto o potencial como o estado
fundamental são invariantes por rotação. Em (b), o estado fundamental é degenerado e encontra-se a uma
distância finita do centro, que é um máximo local do potencial e, portanto, instável. Ao escolhermos um
ponto qualquer do estado fundamental de (b), a simetria rotacional é imediatamente quebrada e o conjunto
potencial-estado fundamental já não é mais simétrico. A simetria foi espontaneamente quebrada pela escolha
de um estado fundamental especı́fico. Contudo, efeitos de simetria ainda estão presentes: o percurso radial
custa energia, o que não ocorre no percurso que se dá ao longo do vale.
Vejamos como o parágrafo acima elucida a quebra espontânea da simetria axial da interação forte.
Assuma que a lagrangeana da QCD a temperatura zero tenha a forma da fig. 2.1b, em que os campos
2.3. QUEBRA ESPONTÂNEA DA SIMETRIA QUIRAL
25
Figura 2.1: Potenciais efetivos: (a) Sem quebra espontânea de simetria. (b) Com quebra espontânea de
simetria.
(σ, ~π ) assumem as coordenadas (x, y). As rotações espaciais são, portanto, análogos mecânicos da atuação
de TA , conforme explicitado na eq.(2.18). Como o estado fundamental não se encontra no centro, mas a
uma distância finita deste, um dos campos deverá ter valor esperado não nulo. Este campo será o σ, pois
carrega os números quânticos do vácuo. Na linguagem de quarks, isto significa que deveremos ter um valor
finito para o condensado de quarks ( ψ̄ψ 6= 0). Neste cenário, a excitação piônica corresponderá a pequenas
rotações em torno do vácuo ao longo do vale, o que não custa energia. Consequentemente, a massa do pı́on
deverá ser zero. Por outro lado, exitações na direção de σ são radiais e custam energia, portanto deve-se
atribuir massa a estes mésons.
Anteriormente, com outra linguagem, já havı́amos obtido estes resultados. Agora pode-se dizer que a
quebra espontânea da simetria axial conduz a diferentes massas para o pı́on e o méson σ. Contudo, uma vez
que o potencial permanece simétrico, pı́ons tornam-se não massivos, o que concluimos exatamente da relação
PCAC. Logo, vemos que o espectro de massa, assim como a PCAC e a relação de Goldberger-Treiman são
26
consistentes com a quebra espontânea da simetria axial. O pı́on aparece como um modo sem massa (bóson
de Goldstone) como resultado da simetria do potencial.
Assumir tal quebra de simetria também explica a diferença de massa entre os mésons ρ e a1 , o que
√
prevê uma relação ma1 = 2mρ , em boa concordância experimental. A derivação deste resultado, porém, é
demasiadamente exaustiva para ser feita aqui e pode ser encontrada em ([59] e [60])
Espera-se que, a altas temperaturas ou densidades, o valor do condensado quiral diminua até que isto,
em certo ponto, resulte em um sistema em que não haja mais quebra espontânea da simetria quiral. Assim,
na fase quiralmente restaurada, o pı́on perde sua identidade como bóson de Goldstone, adquirindo massa.
O potencial efetivo terá uma forma como a da fig. 2.1a, e é um grande objetivo experimental de programas
ultra-relativı́sticos com ı́ons pesados a criação e identificação de amostras macroscópicas de tal fase.
Vejamos agora como o conceito de quebra espontânea da simetria quiral se aplica em um modelo efetivo
da QCD.
2.4
2.4.1
O modelo sigma-linear
Limite quiral
Este modelo foi primeiramente introduzido por Gell-Mann e Levy em 1960 ([61]) muito antes de a QCD
surgir como a teoria das interações fortes. Para construi-lo, precisamos de uma lagrangeana invariante frente
às transformações de Lorentz e também às transformações vetoriais TV e axial TA . Já vimos como o pı́on
se transforma frente a estas operações, e podemos semelhantemente mostrar que
TV : σ → σ
TA : σ → σ − Θi πi .
TV nada mais é do que uma rotação do isospin, o que torna os quadrados dos campos invariantes:
TV : π 2 → π 2
σ2 → σ2 ,
enquanto sob TA
TA : π 2 → π 2 − 2σΘi πi
σ 2 → σ 2 + 2σΘi πi ,
2.4. O MODELO SIGMA-LINEAR
27
e este sinal faz com que, para ambas as transformações, tenhamos
TV , TA : (π 2 + σ 2 ) → (π 2 + σ 2 ) .
(2.20)
Uma vez que esta combinação é um escalar de Lorentz, podemos construir uma lagrangeana quiralmente
invariante em torno desta estrutura.
Interação pı́on-quark
A interação padrão entre estes campos se dá pelo produto de uma combinação pseudo-escalar do campo do
quark com o campo do pı́on:
g(iψ̄γ5 τ ψ)~π ,
(2.21)
em que g é o acoplamento da interação. Quiralmente, esta transforma-se como π 2 , pois o termo entre
parênteses possui os mesmos números quânticos que o pı́on. Ainda, por precisarmos de uma estrutura como
a da eq.(2.20), constrói-se o seguinte termo3 :
g(ψ̄ψ)σ ;
(2.22)
logo, o termo de interação entre quarks e mésons é
Lint = −g[(iψ̄γ5 τ ψ)~π + (ψ̄ψ)σ] .
(2.23)
Termo de massa do quark
Já vimos que um termo explı́cito de massa do quark quebra a invariância quiral. A maneira mais simples
de se dar massa a um quark sem quebrar a simetria quiral é explorar o acoplamento deste com o campo σ,
o que requere um valor esperado finito deste no vácuo:
hσi0 = fπ ,
(2.24)
em que fπ = 93 MeV é a constante de decaimento do pı́on. Já foi discutido que um valor esperado finito de σ
imediatamente implica em uma quebra espontânea da simetria quiral. Por isso devemos ter, na lagrangeana,
um potencial para o campo σ que tenha o mı́nimo em hσi0 = fπ .
3
Por ψ̄ψ comportar-se da mesma maneira que o campo σ frente à transformação quiral, este acoplamento adequa-se à
lagrangeana que buscamos.
28
Potencial clássico
O potencial que gera o valor esperado de σ deve ser função da conhecida estrutura invariante da eq.(2.20)
para ser quiralmente invariante. A escolha mais simples é
U (σ, π) =
λ 2
[(π + σ 2 ) − fπ2 ]2 ,
4
(2.25)
plotado abaixo para π = 0 (observe os mı́nimos em σ = fπ ):
Figura 2.2: Potencial clássico do modelo sigma linear no limite quiral.
Termos cinéticos
À lagrangeana precisamos adicionar, ainda, os termos cinéticos para os quarks e os mésons; trivialmente, a
parte cinética será iψ̄∂/ψ (férmions) e 12 (∂µ π∂ µ π + ∂µ σ∂ µ σ), ambos invariantes quiralmente. Agrupando os
termos, a lagrangeana do modelo sigma-linear fica
L = iψ̄∂/ψ − g[(iψ̄γ5 τ ψ)~π + (ψ̄ψ)σ] −
λ 2
1
1
((π + σ 2 ) − fπ2 )2 + (∂µ π∂ µ π) + (∂µ σ∂ µ σ)
4
2
2
(2.26)
Como já mencionado, o estado fundamental do campo σ tem um valor esperado finito, e o quark adquire sua massa via interação com este campo. Expandindo o potencial da eq.(2.25) em torno do estado
29
fundamental (aproximação de campo médio),
σ = hσi + σ 0
π = hπi + π 0 = π 0 ,
em que fizemos ~π = 0 pelo fato de que ignorá-lo não afeta consideravelmente o processo de transição
([62]). Como, em geral, termos de massa bosônicos são de ordem quadrática na lagrangeana, expandimos
o potencial até a ordem quadrática das flutuações (os termos lineares vão a zero, pois expande-se em torno
de um mı́nimo):
U (σ, π) ' λfπ2 (σ 0 )2 ,
(2.27)
em que se usou hσi0 = fπ . Comparando com uma lagrangeana bosônica livre, identifica-se a massa de σ
como
m2σ = λfπ2 ,
(2.28)
e o pı́on, como esperado por ser um bóson de Goldstone não massivo da simetria quiral espontaneamente
quebrada, tem a massa nula. Resumindo, as propriedades de vácuo do modelo sigma-linear são
hσi0 = fπ ,
hπi = 0 ,
Mq = g hσi0 = gfπ ,
m2σ = λfπ2 ,
mπ = 0
Por último, calculemos a corrente axial conservada e vejamos se a relação de PCAC é satisfeita nesse modelo.
Já sabemos que o quark, o pı́on e o σ transformam se assim:
τa a
Θ ψ,
2
π → π + Θa δ a σ ,
ψ → ψ − iγ5
σ → σ − Θa π a ,
.
30
Pode-se ainda atuar com a transformação axial em cada campo:
τa a
Θ ψ,
2
T a π = iσδ a ,
T a ψ = γ5
T a σ = −iπ a .
A corrente axial conservada é dada por
Aaµ = ψ̄γµ
τa
ψ − π a ∂µ σ + σ∂µ π a .
2
(2.29)
Expandindo os campos em torno do estado fundamental:
τa
ψ − (π 0a )∂µ (σ 0 ) + (σ 0 )∂µ (π 0a ) + fπ ∂µ (π 0a ) .
(2.30)
2
Como a relação de PCAC envolve o elemento de matriz 0|Aaµ |π , apenas o último termo da equação acima
Aaµ = ψ̄γµ
contribui, pois os demais exigem quarks ou mésons σ nos estados inicial ou final. A corrente axial fica,
portanto,
Aaµ (x)P CAC = fπ ∂µ π(x) ,
(2.31)
em concordância com os resultados da PCAC.
2.4.2
Quebra explı́cita da simetria quiral
Até aqui assumimos que a simetria axial é exata para as interações fortes, contudo sabemos que pequenas
massas de corrente dos quarks up e down quebram a simetria axial explicitamente. Esta quebra explı́cita não
pode ser confundida com a espontânea em que, contrariamente ao primeiro caso, a lagrangeana permanece
simétrica.
O fato de fazer ou não sentido agora o conceito de quebra espontânea de simetria, uma vez que a
lagrangeana já é assimétrica, depende das escalas de energia envolvidas. Se a quebra explı́cita de simetria é
pequena, ou seja, se as massas dos quarks são pequenas comparadas à escala de energia da QCD (e assim
se espera), então podemos aplicar a noção de quebra espontânea de simetria - Mq ≈ MN /3 ≈ 330 MeV é a
massa de um quark no interior de um nucleon de massa MN , enquanto mc = 4 MeV é sua massa de corrente
(sem interações).
Lembremo-nos do análogo mecânico que introduzimos anteriormente. Uma quebra explı́cita de simetria
implicaria na não invariância por rotação de ambos os potenciais da fig. 2.1. Conseguimos isso inclinando
31
suavemente o potencial na direção x, por exemplo. Consequentemente, o estado fundamental do potencial
(a) ficará deslocado do centro, ainda que seja pouco ao compararmos com a distância provocada pela quebra
espontânea. Além disso, como a inclinação é suave, a excitação rotacional (pı́ons) no potencial (b) continua
sendo menos relevante que a excitação radial (σ). Espera-se, portanto, que a quebra espontânea domine a
dinâmica, enquanto que a explı́cita é pequena.
Sabemos, na QCD, que a simetria é explicitamente quebrada por um termo de massa quarkiônico:
Lq = −mc ψ̄ψ .
(2.32)
Se identificamos a combinação escalar ψ̄ψ com o campo σ, aparecerá o seguinte termo de quebra explı́cita
no modelo :
LQE = hσ ,
(2.33)
sendo h o parâmetro de quebra explı́cita. Este termo não é invariante frente a TA , somente a TV . Incluindo
este termo e aplicando campo médio, o potencial clássico dado por 2.25) ficará
U (hσi) =
λ 2
[( σ − v 2 ]2 − h hσi ,
4
(2.34)
em que substituimos fπ por v 2 , que se reduz à constante de decaimento no limite h → 0. O efeito do termo
linear adicional é inclinar o potencial na direção de σ e então quebrar a simetria (fig. 2.3). A adição deste
termo desloca sutilmente o mı́nimo do potencial.
Os parâmetros da lagrangeana são escolhidos de modo que o modelo efetivo reproduza corretamente a
fenomenologia da QCD a baixas energias e no vácuo. Segundo ([63] e [64]), podemos fixar os parâmetros
impondo que:
i) hσi no vácuo é a constante de decaimento do pı́on (fπ = 93 MeV), ou seja,
∂U (hσi) = 0;
∂ hσi (2.35)
hσi0 =fπ
ii) Via PCAC,
h = fπ m2π = (93 MeV)(138 MeV)2 ,
(2.36)
onde mπ é a massa do pı́on.
iii) A massa de corrente calculada na rede é mc = 4.1 MeV, sendo uma média entre os valores estimados
de mu e md ; entretanto, desde o inı́cio das contas não estamos levando-a em conta para que possamos
comparar nossos resultados com a literatura.
32
Figura 2.3: Potencial do modelo sigma linear com quebra explı́cita de simetria, portanto fora do limite
quiral.
iv) Usando a massa vestida do quark como sendo 1/3 da massa do nucleon (MN = 938 MeV), podemos
fixar o acoplamento de Yukawa (g):
1
g=
fπ
1
MN − mc
3
= 3.3 ;
v) Já a massa vestida do campo σ é dada pelo valor experimental da massa do méson σ:
∂ 2 U (hσi) ≈ (600 MeV)2 ;
∂ hσi2 hσi0 =fπ
(2.37)
(2.38)
As condições (2.36) a (2.37) fixam h, mc e g, sendo independentes da correção quântica do potencial; as
equações (2.35) e (3.32) são acopladas e determinam v e λ.
Feitas as operações acima, obtemos
h = fπ m2π ,
v 2 = fπ2 −
(2.39)
m2π
,
λ
(2.40)
m2σ = 2λfπ2 + m2π ,
(2.41)
isto é, λ ≈ 20, h = 1771092 MeV3 e v ≈ 87, 73 MeV.
A massa efetiva do quark ficará:
Mq = g hσi = g v +
h
2λfπ2
(2.42)
2.5. LAGRANGEANA DO MSLQ NA APROXIMAÇÃO DE CAMPO MÉDIO
33
e, como agora a simetria quiral está explicitamente quebrada, a corrente axial não será mais conservada.
O principal efeito da quebra explı́cita da simetria quiral é dar massa ao pı́on, mas podemos utilizá-la para
derivar algumas relações úteis entre os valores esperados do condensado de quarks ( ψ̄ψ ) e quantidades
mensuráveis como fπ e mπ .
Quando nosso modelo incorporou a simetria quiral, exigimos que este, frente às transformações quirais,
se comportasse da mesma maneira que a QCD o faz. A intensidade da quebra de simetria (h) foi ajustada
para que reproduzisse as propriedades do estado fundamental, como a massa do pı́on. Portanto esperamos
que, no vácuo, os termos de quebra explı́cita de simetria da QCD e de nosso modelo se igualem:
h0|hσ|0i = 0|(−mc ψ̄ψ)|0 .
(2.43)
Caso coloquemos h = fπ m2π e utilizemos h0|σ|0i = fπ , chegamos à relação de Gell-Mann-Oakes-Renner ([65]
e [66]):
m2π fπ2 = −
mu + md ¯
0|ūu + dd|0
,
2
(2.44)
que é muito útil pelo fato de relacionar o condensado de quarks com a constante de decaimento do pı́on e
a massa do pı́on com a massa de corrente dos quarks. Observe que na realidade a massa dos pı́ons mπ é
finita, assim como a constante de decaimento do pı́on fπ ; além disso como nestas condições o valor esperado
do condensado no vácuo é finito, os quarks devem possuir massas de corrente finitas (mc 6= 0).
2.5
Lagrangeana do MSLq na aproximação de campo médio
Rearranjando os termos de (2.26), esta é a lagrangeana do MSLq:
1
LM SLq = ψ̄[i∂/ − g(σ + iγ5~τ · ~π )]ψ + (∂µ σ∂µσ + ∂µ~π · ∂µ~π ) − U (σ, ~π ) ,
2
onde U (σ, ~π ) =
λ
2
4 (σ
(2.45)
+ ~π 2 − v 2 )2 − hσ. Relembrando: o primeiro termo do potencial clássico U (σ, ~π )
contém a quebra espontânea da simetria, em que um dos vácuos tem de ser escolhidos (fig. 2.2); o termo
linear em σ quebra explicitamente a simetria quiral, fazendo com que o potencial se incline nesta direção (fig.
2.3); o valor esperado do campo escalar σ é, aproximadamente, um parâmetro de ordem para a transição
quiral, sendo exato para o caso de quarks e pions4 não massivos.
A quebra de simetria quiral associa-se à transformação:
4
O pı́on é um campo pseudo-escalar ~π = (π 0 , π + , π − ).
34
ψ → [exp (iγ5 )]ψ .
(2.46)
Inicialmente não-nulo, este valor esperado indica a quebra de simetria. No próximo capı́tulo introduziremos a temperatura neste modelo, de modo a analisarmos seus efeitos na restauração desta simetria no
capı́tulo 5.
Anteriormente havı́amos aplicado a aproximação de campo médio para analisarmos a PCAC (2.27).
Agora, na lagrangeana original do MSLq (2.45), fazemos a ~π = h~π i + ~π 0 e σ = hσi + σ 0 , sendo h~π i e hσi
os valores esperados dos mésons no vácuo; ~π 0 e σ 0 são suas flutuações quânticas. Na aproximação clássica
fazemos ~π 0 = σ 0 = 0 e, ainda, tomamos h~π i = 0 conforme já argumentado. Sob tais modificações, fica-se
com
LM SLq = ψ̄[i∂/ − g hσi]ψ − U (hσi) ,
(2.47)
No vácuo g hσi0 = gfπ . Tomar h = 0 resultará no potencial da fig. 2.2, onde se está no limite quiral. Do
contrário, fica-se com o caso que aparece na fig. 2.3 e que será tratado aqui (fora do limite quiral, h 6= 0).
Devido à aproximação de campo médio não há propagação de mésons, pois termos cinéticos que apareciam na eq.(2.45) anularam-se e não mais aparecem na lagrangeana modificada (2.47).
Como nosso interesse está nos efeitos de temperatura, densidades bariônicas e campos magnéticos na
restauração da simetria quiral, veremos inicialmente, no próximo capı́tulo, como incluir T e µ no MSLq.
Capı́tulo 3
Teoria quântica de campos a temperatura
e densidade finitas
Descreveremos o contexto das fases e de suas transições na QCD, algo relevante tanto para a cosmologia
quanto para a astrofı́sica. Os fenômenos que mais chamam a atenção são os experimentos realizados em
aceleradores como o LHC e o RHIC. Discutiremos também o papel realizado por densidades bariônicas na
QCD.
Consideraremos apenas estados de equilı́brio, pois a mecânica estatı́stica nestas condições é suficiente
para caracterizar muitos aspectos da transição; além disso, as técnicas e os resultados de equilı́brio estão
muito consolidados, o que não acontece com o caso fora do equilı́brio.
Alguns trabalhos realizados em teoria de campos de clara interface com este trabalho constam em ([67] [71]). Referimos o leitor para [72] e [73] caso se interesse por fenômenos fora do equilı́brio; desenvolvimentos
sob expansão de altas temperaturas na QCD estão em [74]; cálculos além do modelo padrão, em [73] e [75].
Lembrando das frequências de Matsubara (apêndice A), podemos expandir em modos os campos bosônicos:
φ(x, t) =
X
eiωn t φn (x)
(3.1)
ωn =2nπT
e fermiônicos:
ψ(x, t) =
X
ωn =(2n+1)πT
35
eiωn t ψn (x) .
(3.2)
36 CAPÍTULO 3. TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA E DENSIDADE FINITAS
Na ação:
Z
1/T
Z
dt
S(φ, ψ) =
dd xL(φ, ψ) ,
(3.3)
0
a integral temporal pode ser entendida como uma soma sobre os modos, portanto conclui-se que uma teoria
em d + 1 dimensões a T > 0 equivale a uma teoria em d dimensões com infinito número de campos.
3.1
O potencial efetivo
Muitas vezes se faz necessária a consideração de uma descrição do sistema derivada de sua dinâmica e da
análise de suas simetrias. Suponhamos que sejamos capazes de inferir ou calcular uma função do parâmetro
de ordem e dos campos externos que descrevem o estado do sistema. Tal função convém que seja o potencial
efetivo (Vef f ), cujo conhecimento é extremamente útil no estudo da quebra dinâmica de simetria, pois leva
em conta correções quânticas que podem produzir quebra de simetria em teorias onde a aproximação clássica
não indica tal quebra.
Consideremos uma simples teoria de campos com um único campo vetorial, cuja dinâmica é descrita pela
densidade lagrangeana L(σ, ∂µ σ). Podemos adicionar a esta densidade lagrangeana um acoplamento linear
do campo σ a uma fonte externa j(x), onde j(x) é um número complexo que depende do espaço-tempo:
L(σ, ∂µ ) → L(σ, ∂µ σ) + j(x)σ(x) .
(3.4)
O gerador funcional Z[j] para as funções de Green é dado em termos da amplitude de transição do
estado de vácuo no passado remoto ao estado de vácuo no futuro distante na presença da fonte j(x) por
Z
Z[j] = 0 T exp i dn xσ(x)j(x) 0 = 0+ |0− j .
(3.5)
O gerador funcional das funções de Green conectadas é definido ([56]) como o logaritmo do gerador funcional
de todas as funções de Green:
W [j] = −i ln Z[j] .
(3.6)
W [j] pode ser também expandido funcionalmente em série de Taylor na forma
W [j] =
∞ n Z
X
i
n=1
n!
dn x1 ...dn xn Gnc (x1 , ..., xn )j(x1 )...j(xn ) ,
(3.7)
onde Gnc (x1 , ..., xn ) representa as funções de Green de todos os diagramas de Feynman com n pernas externas.
Definamos o campo clássico como sendo o valor esperado do operador σ(x) na presença da fonte j(x):
3.1. O POTENCIAL EFETIVO
37
+
δW [j]
h0 |σ(x)|0− i
=
.
δj(x)
h0+ |0− i
j
hσ(x)i −
(3.8)
O gerador funcional das funções de Green irredutı́veis é a transformada de Legendre Γ[hσ(x)i] do gerador
funcional das funções de Green conectadas:
Z
Γ[hσ(x)i] = W [j] −
dn xj(x) hσ(x)i .
(3.9)
Diferenciando com relação a hσi,
δΓ[hσ(x)i]
= −j(x) .
δ hσ(x)i
(3.10)
Esta equação é fundamental no estudo da quebra dinâmica de simetria.
A ação efetiva pode ser expandida em uma maneira similar à da eq.(3.7):
Z
∞
X
1
Γ[hσ(x)i] =
dn x1 ...dn xn Γn (x1 , ..., xn ) hσ(x1 )i ... hσ(xn )i ,
n!
(3.11)
n=1
onde Γn é a soma de todos os diagramas de Feynman irredutı́veis com n pernas externas. Estes são diagramas
conectados que não podem ser desconectados pela remoção de uma linha. Convenciona-se que tais diagramas
sejam calculados sem propagadores nas pernas externas.
Há uma maneira alternativa de expandirmos a ação efetiva: ao invés de serem tomadas potências de hσi,
podemos expandir em potências do momento (ao redor do ponto onde todos os momentos se anulam). No
espaço de configurações a expansão fica
Z
Γ[hσ(x)i] =
1
2
d x −Vef f (hσi) + (∂µ hσi) Z(hσi) + ... ,
2
n
(3.12)
onde Vef f (hσi), uma função ordinária (não um funcional) é chamado de potencial efetivo. Note a
semelhança da expressão (3.12) com a densidade de energia funcional de Landau de um ferromagneto com
~ [56]:
magnetização M
Z
F =
1
1
2
2
~
~
~
~
~
d x F(M ) + KL (M )(∇ · M ) + KT (M )(∇ × M ) + ... ,
2
2
3
(3.13)
onde
~)=N
F(M
T − Tc ~ 2
2
2
~ ) + ... ,
M + ξ(M
Tc
com N sendo um fator de normalização e ξ > 0, é a densidade de energia livre para este modelo.
(3.14)
Supondo que nossa densidade lagrangeana (3.4) tenha simetria interna, a quebra dinâmica de simetria ocorre se valor esperado do campo quântico σ(x) é não-nulo, ainda que a fonte j(x) se anule. Por
simplicidade, denotemos h0+ |σ(x)|0− i = hσi0 . De 3.8 e 3.10 vemos que, para j(x) = 0, hσi0 é solução para
δΓ[hσ(x)i] = 0.
δ hσ(x)i hσi
(3.15)
0
Como estamos interessados somente nos casos em que este valor esperado é invariante por translação
(campos homogêneos) (hσ(x)i = hσi), podemos escrever 3.12 como
Γ[hσ(x)i] = −VVef f (hσi) ,
(3.16)
onde V é o elemento de volume. Logo, 3.15 torna-se
dVef f (hσi) = 0.
d hσi hσi
(3.17)
0
A importância do potencial efetivo é clara: através dele podemos determinar o verdadeiro estado fundamental
de uma teoria quando flutuações quânticas são levadas em conta. No cálculo de Vef f podemos usar técnicas
de Matsubara para introduzir T , µ e B, e seu cálculo é feito aqui com a aproximação não-perturbativa de
campo médio, também chamada de 1-loop ou large-N. Veja, na fig. 3.1, sua dependência nos campos para
diversos valores de campo externo (no nosso caso, temperatura).
O mı́nimo deste potencial revela o valor mais provável do parâmetro de ordem logo, indiretamente, estes
gráficos mostram a dependência térmica do parâmetro de ordem. Também, para qualquer temperatura, podemos saber se o sistema está em um estado puro (um mı́nimo) ou misto (dois mı́nimos), este correspondente
a transições de primeira ordem.
No gráfico superior da figura 3.1, a baixas temperaturas o sistema está em uma fase caracterizada
por um valor não nulo do parâmetro de ordem. Quando T = T ∗ (primeiro ponto espinodal) temos a
primeira ocorrência de um mı́nimo secundário correspondendo a um valor zero do parâmetro de ordem,
isto é, o surgimento de fases mistas (nesta coexistência de fases, o mı́nimo de maior valor absoluto sempre
corresponderá a uma fase com densidade superior àquela da fase representada pelo de menor valor). Na
temperatura crı́tica T = Tc os mı́nimos são iguais, e além deste valor o mı́nimo em zero é o dominante
(global). Em T = T ∗∗ (segundo ponto espinodal) o mı́nimo secundário (relativo ao valor não nulo do
parâmetro de ordem) desaparece, não mais existindo a fase mista. Na QCD, em que se passa de uma fase
hadrônica para uma fase de QGP, o mı́nimo próximo da origem corresponde à fase do QGP, onde quarks
3.1. O POTENCIAL EFETIVO
39
Figura 3.1: A forma do potencial efetivo para transições descontı́nuas (primeira ordem, gráfico superior) e
contı́nuas (segunda ordem).
estão livres, e o outro mı́nimo corresponde à fase hadrônica, cujas interações levam o quark a ter uma massa
efetiva Mq = g hσi0 .
Os pontos de mı́nimo Vef f (hσi0 ) correspondem à pressão do sistema em uma dada temperatura, o que
diretamente nos dá acesso às demais quantidades termodinâmicas como entropia e densidade de energia.
3.2
As fases da QCD
3.3
QCD a temperatura e densidade finitas
Consideremos os efeitos induzidos pela temperatura e pela densidade bariônica na restauração da simetria
quiral. Partindo da lagrangeana do modelo MSLq (eq.2.47), usaremos as técnicas da seção 3.1 juntamente
com o apêndice A (formalismo de Matsubara) para que cheguemos a uma expressão do potencial efetivo que
inclua estes parâmetros termodinâmicos.
3.3.1
Cálculo do potencial efetivo
Vimos, no capı́tulo anterior, que os quarks adquirem uma massa efetiva Mq = g hσi0 . Como o valor
esperado do campo diminui com a temperatura, espera-se que em determinado momento a simetria quiral seja
aproximadamente restaurada. Para que saibamos o valor da temperatura em que isto ocorre (temperatura
crı́tica), corrige-se termodinamicamente o potencial clássico U (hσi). O resultado desta correção é o potencial
efetivo.
A obtenção de Vef f será dada por integração funcional, encontrando a função de partição e depois o
gerador de todas as funções de Green conectadas e irredutı́veis, conforme vimos para uma teoria geral na
seção 3.1. A princial integral funcional que devemos saber calcular é a seguinte
Z
Dψ̄Dψei
If unc =
R
d4 x(L+µψ̄ψ)
,
(3.18)
onde µ é o potencial quı́mico ([12]).
Calculamos a função de partição:
Z
Z=
Dψ̄Dψei
R
d4 x(L+j ψ̄ψ)
(3.19)
logo
Z = exp
−VU (hσi)
T
Z
Dψ̄Dψei
R
d4 x(ψ̄[i∂
/−ghσi)]ψ)+j ψ̄ψ)
,
em que V é o volume do sistema, pois o potencial clássico independe dos campos e
(3.20)
R
d4 x =
R 1/T R
0
d3 x.
Calculemos a integral funcional, que pode ser pensada como representando um gás de férmions livres de
massa g hσi0 (podemos ignorar a fonte j pelo fato de ela nos servir apenas para a obtenção das regras de
Feynman):
3.3. QCD A TEMPERATURA E DENSIDADE FINITAS
Z
Dψ̄Dψei
R
d4 x(ψ̄[i∂
/−ghσi]ψ)
41
= det (i∂/ − g hσi)
(3.21)
usando det (i∂/ − g hσi) = exp [T r ln(i∂/ − g hσi)]
mas
Z
T r ln (i∂/ − g hσi) =
1
d4 xd4 p ln(p/ − g hσi) ,
(2π)4
(3.22)
em que se fez distinção entre o traço tomado no espaço funcional incluindo os ı́ndices de Dirac (T r) e
aquele tomado somento sobre os ı́ndices de Dirac (tr). Agora notemos que
1
(3.23)
p
/2 = γ µ γ ν pµ pν = (γ µ γ ν + γ ν γ µ )pµ pν = g µν pµ pν = p2 ,
2
p
p
p
p
também, onde p
/ é diagonal, p
/ = diag ( p2 , ..., p2 , − p2 , ..., − p2 ). Como estamos em 3+1 dimensões,
as matrizes diagonais serão 4 × 4. Portanto, somando sobre as diversas possibilidades de cores e sabores,
p
p
1
tr ln(p/ − g hσi) = (4Nc Nf ) [ln( p2 − g hσi) + ln(− p2 − g hσi)] = 2Nc Nf ln[−p2 + (g hσi)2 ] .
2
(3.24)
Logo, podemos voltar à função de partição:
Z
−VVef f (hσi)
1
exp 2Nc Nf
d4 xd4 p ln[−p2 + (g hσi)2 ] ,
Z = exp
T
(2π)4
R
R 1/T R 3
d x = V/T quando os termos independem do espaço-tempo,
como d4 x = 0
Z
2
−VVef f (hσi)
V
1
4
2
Z = exp
exp 2Nc Nf
d p ln −p + (g hσi)
.
T
T
(2π)4
(3.25)
(3.26)
A termodinâmica para este sistema partirá do potencial efetivo:
Vef f (hσi) =
−T ln Z
= U (hσi) + Vψ̄ψ = U (hσi) − 2Nc Nf
V
Z
1
d4 p ln −p2 + (g hσi)2
4
(2π)
(3.27)
Sendo Vψ̄ψ = Vvacuo + Vmeio a contribuição dos quarks, sendo Vvacuo a contribuição de vácuo e Vmeio a
contribuição termodinâmica. Por Matsubara (eq.A.26):
Z
h
i
h
io
d3 p n
−(Ep +µ)/T
−(Ep −µ)/T
Vmeio = −2Nc Nf
E
+
T
ln
1
+
e
+
T
ln
1
+
e
,
p
(2π)3
p
em que Ep = p2 + (g hσi)2 .
(3.28)
O modelo MSLq é renormalizável, portanto podemos resolver a primeira integral (divergente) por regularização dimensional. Os cálculos estão no apêndice1 B.
A expressão do termo de vácuo é dada por
Z
Vvacuo =
d3 p
Ep
(2π)3
(3.29)
e, lembrando que a integral de vácuo que tı́nhamos é o dobro da que aparece na eq.(B.10), escrevemos o
potencial efetivo renormalizado:
(g hσi)4 3
(g hσi)2
Vef f (T, µ, hσi) = U (hσi) + Nc Nf
− ln
− 2Nc Nf I(T, µ) ,
64π 2
2
Λ2
(3.30)
em que
Z
I(T, µ) =
i
d3 p h
−(Ep +µ)/T
−(Ep −µ)/T
T
ln[1
+
e
]
+
T
ln[1
+
e
]
,
(2π)3
(3.31)
converge numericamente. Sempre trabalharemos com Nf = 2, Nc = 3 e fora do limite quiral (h 6= 0). O
parâmetro Λ é a escala de energia no sistema MS de renormalização e aparece somente quando correções
quânticas ao vácuo são consideradas. Seu valor é fixado pelo resultado da rede
∂V (hσi) = −2(225 MeV)3 ,
∂mq vacuo,hσi
(3.32)
e no nosso caso Λ ≈ 16.5 MeV.
Para valores de σ em que Vef f é mı́nimo, ou seja, Vef f (T, µ, hσi0 ) - veja a figura 3.1, tem-se a importante
relação P = −Vef f (T, µ, hσi0 ), em que P é a pressão.
Tendo obtido uma expressão para o potencial efetivo, no próximo capı́tulo estudaremos a termodinâmica
de um gás de férmions livres com B = 0 e B 6= 0, derivando observáveis a partir da pressão e comparando
ambos os casos.
1
Os primeiros estudos do vácuo deste modelo estão em [76].
Capı́tulo 4
Gás de férmions livres em meio quente e
denso com B 6= 0
Neste capı́tulo obteremos a termodinâmica de um gás relativı́stico de férmions não interagentes na ausência
e presença de um campo magnético forte. Para isso, partiremos dos cálculos realizados no capı́tulo 3, em
que chegou-se na expressão (3.30) para o potencial efetivo do MSLq. A densidade lagrangeana de um gás
livre é
L = ψ(x)(i∂/ − mc )ψ(x) ,
(4.1)
que corresponde ao primeiro termo da lagrangeana do MSLq (2.47) a menos dos mésons presentes neste
modelo. Como vimos, é este termo o responsável pela contribuição fermiônica do meio (3.28). Sob estas
considerações, concluimos que o potencial efetivo Vef f (T, µ) do gás livre é dado por
Z
Vef f (T, µ) = −2Nc Nf
em que E =
h
h
i
io
d3 p n
−(E+µ)/T
−(E−µ)/T
E
+
T
ln
1
+
e
+
T
ln
1
+
e
,
(2π)3
(4.2)
p
p~2 + m2c . Observe que a integral na energia nada mais é do que um shift no potencial
efetivo, uma constante que não interferirá na dependência térmica das quantidades termodinâmicas. Por
isso, faremos o desenvolvimento desconsiderando este termo:
Z
Vef f (T, µ) = −2Nc Nf
h
i
h
io
d3 p n
−(E+µ)/T
−(E−µ)/T
T
ln
1
+
e
+
T
ln
1
+
e
.
(2π)3
(4.3)
Como não há interação entre as partı́culas, não há diferença entre as massas de corrente e efetiva, além do
43
CAPÍTULO 4. GÁS DE FÉRMIONS LIVRES EM MEIO QUENTE E DENSO COM B 6= 0
44
que Vef f não depende dos campos. Sendo assim, a pressão do gás é simplesmente o negativo da energia
livre, P = −F, de modo que as demais grandezas termodinâmicas como densidade e entropia (densidade de
entropia seria a denominação mais correta) podem ser calculadas imediatamente:
ρ=
∂P
∂µ
e
s=
∂P
∂T
(4.4)
A densidade de energia é = −P + µρ + T s, de modo que a equação de estado do gás, P = P () fica
determinada. Estudaremos apenas o caso µ = 0 e T 6= 0 para que possamos comparar posteriormente com
a termodinâmica do MSLq, que também será obtida nestas condições no próximo capı́tulo.
Tomando µ = 0 em (4.3) obtemos imediatamente
Z
Vef f (T ) = −2Nc Nf
d3 p
{E + 2T ln [1 + exp (−E/T )]} .
(2π)3
(4.5)
Como nosso objetivo é o estudo da transição quiral sob campo magnético, convém inserirmos B neste
modelo de gás de férmions livres para que depois possamos comparar tanto os resultados a B = 0 quanto a
B 6= 0 do MSLq. As substituições a serem feitas nos momentos são as seguintes1 (A.28):
p0 → i(ων ) , p~2 → p2z + (2n + 1 − s)|qf |B ,
(4.6)
sendo s = ±1, n = 0, 1, ... e qf a carga dos quarks (qu = 2e/3, qd = −e/3). O potencial efetivo assume a
forma
Vef f (T, B) = −
X
Z
(|qf |B)T
s,n,f
em que Nf →
P
f
e Ep (B) =
dpz
ln [1 + exp (−Ep (B)/T )]} ,
2π
(4.7)
p
p2z + (2n + 1 − s)|qf |B + m2c é a energia modificada. Podemos simplificar
este somatório utilizando αk = 2 − δk,0 , um coeficiente de degenerescência; segundo [30], a expressão final
do potencial efetivo fica
Vmeio = −2T Nc
X
k,f
Z
αk (|qf |B)
i
dpz h
ln 1 + e−(Ep,k (B))/T ,
2π
(4.8)
onde agora
Ep,k (B) =
1
p
p2z + 2k|qf |B + (g hσi)2 . Em geral obteremos nossos resultados indo até o nı́vel k = 23.
A implementação do campo magnético encontra-se mais detalhada no capı́tulo 6.
4.1. TERMODINÂMICA
4.1
45
Termodinâmica
A equação de estado (EoS) é uma relação entre diferentes quantidades fı́sicas que caracterizam o estado
crı́tico de um sistema. Usaremos a equação de estado geral
= −P + T s + µρ ,
em que s é a densidade de entropia s =
dP
dT
e ρ=
dP
dµ
(4.9)
.
No caso µ = 0 a densidade de energia é simplesmente = −P + T s, onde P = −Vef f . As figuras de
4.2 a 4.4 mostram o comportamento de pressão, densidade de entropia e densidade de energia como função
da temperatura2 para eB = 0 e eB = 5m2π . Note que, além de as grandezas assumirem valores maiores na
presença de um campo magnético, estas aumentam com a temperatura conforme o esperado.
A figura 4.1 é um gráfico da equação de estado do gás, que é simplesmente P = /3 para o gás livre sem
campo magnético e P = /2.6 com eB = 5m2π . A velocidade do som define-se por
Vs2 =
(0)
então Vs
(5)
≈ 0.58 com eB = 0 e Vs
dP
,
d
(4.10)
≈ 0.62 com eB = 5m2π nas unidades em que c = 1. Logo, o campo
magnético “endurece” a equação de estado3 . Este mesmo efeito é observado no modelo de NJL quando se
toma T = 0 e varia-se µ.
2
3
As implementações numéricas foram desenvolvidas no software Mathematica, segundo [77] e [78].
Este jargão é empregado segundo o análogo mecânico, em que quanto mais sólido for um corpo/meio, mais rapidamente o
som se propagará.
46
200
P @MeVfm3D
150
100
50
0
0
100
200
300
400
500
3
Ε @MeVfm D
Figura 4.1: Equação de estado do gás livre para µ = 0. A razão P/ é 1/3 para eB = 0 (linha pontilhada)
e 1/2.6 para eB = 5m2π (linha cheia). O campo magnético “endurece” a equação de estado.
Enquanto o comportamento da pressão é praticamente o mesmo para os gases até T ≈ 250 MeV, para
a entropia isto acontece em temperaturas mais baixas (T ≈ 200 MeV).
Finalmente temos, na figura 4.4, um comparativo da densidade de energia como função da temperatura.
As linhas divergem em valores de temperatura menores do que aqueles para P e s (T ≈ 185 MeV).
Podemos pensar o gás na presença de B como apenas aproximadamente livre, visto que pelo fato de
os quarks serem carregados, existe interação destes com o campo magnético, o que confere um desvio do
comportamento de gás livre quando consideramos B. Tal desvio desaparece quando atingimos determinadas
temperaturas.
O parâmetro da equação de estado (w = P/) para B = 5m2π desenvolve um pico em T ≈ 30 MeV mas
revela que este gás se aproxima do gás livre até T ≈ 200 MeV, sendo que superada esta temperatura os
comportamentos divergem (fig. 4.5).
47
6000
5000
1500
s @1fm3D
P @MeVfm3D
2000
1000
4000
3000
2000
500
1000
0
0
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
T @MeVD
150
200
250
300
T @MeVD
Figura 4.2: Pressão em função de tempe-
Figura 4.3:
Densidade de entropia em
ratura (µ = 0) para eB = 0 (linha pon-
função de temperatura (µ = 0) para eB =
tilhada) e eB = 5m2π , linha cheia.
A
0 (linha pontilhada) e eB = 5m2π , linha
pressão para ambos os casos é praticamente
cheia. A densidade de entropia para am-
a mesma até T ≈ 250 MeV, sendo que é
bos os casos é praticamente a mesma até
maior para B 6= 0. A partir desta tempe-
T ≈ 200 MeV, sendo que é maior para
ratura o comportamento dos gases diverge
B 6= 0.
e a pressão para B = 0 é maior.
comportamento dos gases diverge e s para
A partir desta temperatura o
B = 0 é maior..
7000
Ε @MeVfm3D
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
50
100
150
200
250
300
T @MeVD
Figura 4.4: Densidade de energia em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha pontilhada) e
eB = 5m2π , linha cheia. Até T ≈ 185 MeV os gases se comportam da mesma maneira.
48
1.0
0.8
w
0.6
0.4
0.2
0.0
0
100
200
300
400
T @MeVD
Figura 4.5: Parâmetro da equação de estado em função de temperatura (µ = 0) para eB = 0 (linha
pontilhada) e eB = 5m2π , linha cheia. Após um pico em T ≈ 30 MeV, a partir de T ≈ 200 MeV os gases se
comportam da mesma maneira.
Com base nas figuras acima podemos inferir que ao inserirmos campo magnético no modelo de gás de
férmions livres estamos conferindo certa interação ao sistema, fazendo com que observemos os desvios do
comportamento de gás livre para determinados valores de temperatura. No próximo capı́tulo estudaremos
os efeitos de T e µ na restauração da simetria quiral através do MSLq, cuja termodinâmica também será
obtida e comparada ao que vimos no presente capı́tulo.
Capı́tulo 5
RSQ na ausência de campo magnético
Neste capı́tulo revisaremos a restauração de simetrial quiral (RSQ) através do MSLq, introduzido no capı́tulo
2 e estendido a temperaturas e densidades finitas no capı́tulo 3. O termo Vvacuo de 3.29, que representa
o vácuo fermiônico, costuma não ser levado em consideração quando se trabalha na ausência de campos
magnéticos ([12]). Procedemos assim para gerar a fig. 5.1, onde temos a forma do potencial para diversas
temperaturas (µ = 0), sendo Tpc ≈ 150 MeV a temperatura pseudo-crı́tica. Na fig. 5.2 consideramos
µ = 280 MeV e passamos a uma transição de fase de primeira ordem, observando que de fato a temperatura
crı́tica diminui, como indica o diagrama de fases da fig. 1.1. As mesmas considerações acerca de coexistência
de fases feitas no capı́tulo 3 (fig. 3.1) valem aqui.
49
50
CAPÍTULO 5. RSQ NA AUSÊNCIA DE CAMPO MAGNÉTICO
1
0
Veff
T4
-1
T = 95 MeV
-2
T = 120 MeV
-3
-4
0
Tpc » 150 MeV
20
40
60
80
100
120
140
XΣ\ @MeVD
Figura 5.1: Potencial efetivo sem vácuo no limite quiral e µ = 0. A baixas temperaturas (95 MeV e 120 MeV,
linha preta e pontilhada respectivamente), hσi0 ainda quebra consideravelmente a simetrial quiral. Em
Tpc ≈ 150 MeV (linha clara) este ponto já se encontra em torno de 2 MeV, o que satisfaz nossas previsões
visto que estamos fora do limite quiral. Esta mudança suave do valor de hσi0 caracteriza um crossover.
5
Veff
T4
0
T = 42 MeV
-5
Tc » 47 MeV
-10
T = 55 MeV
-15
0
20
40
60
80
100
120
XΣ\ @MeVD
Figura 5.2: Potencial efetivo sem vácuo e com µ = 280 MeV. A tendência a mı́nimos degenerados (um
próximo da origem e outro próximo de 100 MeV) revela caráter de primeira ordem à transição. A linha preta
corresponde a uma temperatura em que há predominância da fase hadrônica, enquanto a clara apresenta
coexistência de fases. A linha pontilhada indica predominância de QGP. A temperatura crı́tica Tc ≈ 47 MeV
é menor que que Tpc para µ = 0.
5.1
51
Termodinâmica
Podemos explorar a termodinâmica deste sistema1 começando, por exemplo, com a obtenção do gráfico
versus P.
O potencial efetivo descreve o sistema microscopicamente, porém é interessante obtermos informações
macroscópicas do parâmetro de ordem nas vizinhanças da criticalidade ([81]).
Todas as quantidades termodinâmicas básicas podem ser derivadas da pressão, e é conveniente trabalharmos diretamente em termos da pressão normalizada PN (T, µ) = P (T, µ) − P (0, 0), fazendo com que a
densidade de energia se anule em T = 0 e µ = 0. Por simplicidade, o ı́ndice N será suprimido.
As figuras de 5.3 a 5.8 foram obtidas fazendo-se µ = 0 fora do limite quiral. Na fig. 5.3, o comportamento
aproximadamente linear da relação entre P e já era esperado, pois para o gás livre P = /3. Aqui, todavia,
temos uma média entre os casos com e sem vácuo de P = /5.4 para o MSLq; ou seja, Vs ≈ 0.43 no MSLq
e Vs ≈ 0.58 para o gás livre. Logo, a equação de estado do MSLq é mais “mole” do que a do gás livre.
4
P @MeV fm3D
3
2
1
0
0
5
10
15
20
3
Ε @MeV fm D
Figura 5.3: Pressão versus densidade de energia (µ = 0, variando a temperatura) - como esperado, temos
uma dependência praticamente linear entre as duas grandezas. A linha pontilhada refere ao gás livre, o que
indica maior velocidade do som quando interações fortes são desprezadas.
As figuras de 5.4 a 5.6 mostram, respectivamente, a dependência térmica da pressão, densidade de
1
Em [79] foi feito este procedimento para o modelo de Nambu-Jona-Lasinio ([80]) também na ausência de campo magnético.
52
energia e entropia normalizadas com a temperatura. Note que a densidade de energia é uma combinação
entre pressão e entropia, com pontos de inflexão destas duas grandezas gerando um pico em para o MSLq
(linhas pretas cheias). As linhas pontilhadas referem-se ao gás livre, e de fato para altas temperaturas é
atingido o limite de Stefan-Boltzmann (comportamento semelhante ao de um gás livre), a partir do qual não
4
3
há mais variação das quantidades termodinâmicas com a temperatura: P/Tmax
≈ 2, 25, s/Tmax
≈ 9, 25 e
4
/Tmax
≈ 7. Por motivos de comparação, em ambos os modelos o vácuo fermiônico foi negligenciado, visto
que o havı́amos feito previamente no capı́tulo anterior.
2.5
2.0
P
T4
1.5
1.0
0.5
0.0
0
50
100
150
200
250
300
T @MeVD
Figura 5.4: Pressão normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite de Stefan4
Boltzmann atingido em P/Tmax
≈ 2, 25 (linha preta). A linha pontilhada refere ao gás livre.
53
10
8
s
T3
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
T @MeVD
Figura 5.5: Densidade de entropia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite de
3
Stefan-Boltzmann atingido em s/Tmax
≈ 9, 25 (linha preta). A linha pontilhada refere ao gás livre.
8
Ε
T4
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
T @MeVD
Figura 5.6: Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral. Limite de
4
Stefan-Boltzmann atingido em /Tmax
≈ 7 (linha preta). A linha pontilhada refere ao gás livre.
As figuras 5.7 e 5.8 contém, respectivamente, a medida da interação
∆=
− 3P
T4
(5.1)
54
e o parâmetro da equação de estado P/, em que agora linhas claras referem-se ao caso com vácuo
fermiônico. Como a velocidade do som se mede via
Vs2 =
dP
d
(5.2)
e temos a quantidade P/ para cada temperatura, através do parâmetro da equação de estado podemos
inferir a velocidade do som do sistema. Por sua vez, a medida da interação é útil pois mede o desvio de um
sistema com relação ao comportamento do gás livre. Temos, portanto, uma clara definição de Tpc através de
∆, pois corresponde ao ponto de máximo desta função. Além disso, note que Tpc aumenta quando o vácuo
é considerado. Nas figuras 5.7 e 5.8 temos um crossover para ambos os casos, visto que µ = 0.
3.5
0.30
3.0
0.25
2.5
0.20
2.0
w
D
0.35
0.15
1.5
0.10
1.0
0.05
0.5
0.00
0
50
100
150
200
250
T @MeVD
300
0.0
0
100
200
300
T @MeVD
Figura 5.7: Parâmetro da equação de es-
Figura 5.8: Medida da interação versus
tado versus temperatura fora do limite qui-
temperatura (µ = 0) fora do limite qui-
ral. Como µ = 0, tanto a linha preta (sem
ral. O pico, pronunciado apenas para o caso
vácuo) quanto a clara representam um cros-
sem vácuo (linha preta), indica Tc . Como
sover. Tpc aumenta quando o vácuo é con-
µ = 0, tanto a linha preta (sem vácuo)
siderado.
quanto a clara representam um crossover.
Tpc aumenta quando o vácuo é considerado.
400
5.2. DIAGRAMA DE FASES
5.2
55
Diagrama de fases
Para que possamos mapear os pontos (T, µ) em que a simetria quiral é aproximadamente restaurada, devemos
obter um diagrama de fases (fig. 6.24). Convém compararmos os casos com e sem vácuo fermiônico, conforme
se encontra em [29].
200
T @MeVD
150
100
CP
50
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Μ @MeVD
Figura 5.9: Diagrama de fases T versus µ na ausência de campo magnético. A linha inteiramente pontilhada
(crossover ) refere-se ao caso com vácuo fermiônico, enquanto a linha em que há ponto crı́tico foi gerada
desconsiderando este termo. Veja que CP desaparece quando consideramos vácuo.
De acordo a fig. 5.9, o pico desenvolvido nas figuras 5.7 5.8 representa de fato a temperatura crı́tica em
µ = 0. O comportamento da transição se assemelha com o que se vê, por exemplo, no capı́tulo 3: existe um
ponto crı́tico CP (Tcp ≈ 82 MeV µcp ≈ 250 MeV), que separa uma linha de primeira ordem de uma linha de
crossover. A região à sua esqueda, em que hσi0 ≈ 93 MeV, corresponde aos hádrons; aquela à sua direita,
em que hσi0 ≈ 2 MeV, refere-se aos quarks livres. A temperatura pseudo-crı́tica em µ = 0 aumenta quando
consideramos vácuo, o mesmo acontecendo para µ quando T = 0.
Vimos, tanto pela termodinâmica quanto pelos diagramas de fases, que Tpc para µ = 0 aumenta quando
o vácuo é considerado. Além disso, apenas quando se desconsidera este termo observa-se a existência de CP ,
o que significa que a coexistência de fases desaparece para quaisquer pares (T, µ) quando o vácuo fermiônico
não é negligenciado (apenas crossover ). No próximo capı́tulo veremos as influências de campos magnéticos
intensos neste sistema, mantendo T e µ finitos. Analisaremos como estes campos alteram a localização de
CP e as quantidades termodinâmicas aqui obtidas, além de calcularmos as massas dos mésons σ e ~π .
56
Capı́tulo 6
Efeitos do campo magnético na transição
quiral
Como já visto, quando ocorrem colisões não-centrais no interior dos aceleradores, fortes campos magnéticos
podem ser gerados. Os autores de [3] realizaram amplo estudo do MSLq sob campo magnético, observando
que a temperatura pseudo-crı́tica Tpc cresce com o campo quando há vácuo fermiônico e a temperatura
crı́tica Tc diminui com o campo quando o vácuo é negligenciado (transição de primeira ordem). Porém,
apenas em trabalhos como [51] vemos este modelo sendo estendido para valores finitos de µ. Apesar de
muito ter sido desenvolvido até aqui em termos de diagramas de fases e análises de Tc , a termodinâmica
quanto a dependência térmica das massas mesônicas com B finito não foram exploradas. Neste capı́tulo
pretendemos expor resultados desta natureza.
No apêndice C vemos como o campo magnético é inserido na teoria, e a seguinte relação de dispersão
para os quarks torna-se o ponto de partida para a modificação nas integrais relevantes para a implementação
numérica:
p20n = (2n + 1)|q|B + p2z + Mq2 .
(6.1)
Os nı́veis de Landau impõem uma nova forma às integrais de 4-momenta, e as relações (C.21) e (C.22)
levam-nos a
p2xn
=
p2yn
1
|q|sB
= n+
|q|B −
.
2
2
57
(6.2)
58
CAPÍTULO 6. EFEITOS DO CAMPO MAGNÉTICO NA TRANSIÇÃO QUIRAL
Logo, perpendicularmente ao campo apenas alguns modos são permitidos, e nesta direção a integral se
transforma em um somatório:
Z
d4 p
=
(2π)4
Z
∞ Z
dp0 dpz dp2⊥
|q|B X dp0 dpz
=
.
2π 2π (2π)2
2π
2π 2π
(6.3)
n=0
Caso desejemos considerar o campo magnético, as substiuições a serem feitas nos momentos são as
seguintes (A.28):
p0 → i(ων ) , p~2 → p2z + (2n + 1 − s)|qf |B ,
(6.4)
sendo s = ±1, n = 0, 1, ... e qf a carga dos quarks (qu = 2e/3, qd = −e/3).
6.1
Potencial efetivo na presença de campo magnético
Para o MSLq o potencial efetivo tem a forma
i
Vef f (σ) = U (hσi) + tr
2
Z
d4 p
ln (−p2 + σ 2 + ~π 2 ) .
(2π)4
(6.5)
Até aqui descartamos os pı́ons sem maiores implicações, contudo devemos atentar de que, por serem
carregados, estes interagem com o campo magnético. As contribuições de vácuo e quânticas de π + e π −
foram devidamente desenvolvidas em [63], em que se concluiu que a parte térmica dos pı́ons é desprezı́vel
(exponencialmente suprimida) fente à fermiônica, tendo sido descartada. A contribuição de vácuo foi levada
em conta1 , e na mesma referência observa-se que esta contribuição nada mais é do que um shift no potencial
efetivo, sem dependência nos campos fermiônicos. Portanto, podemos desconsiderar as contribuições de
vácuo dos pı́ons.
Para desenvolvermos os cálculos da parte fermiônica, reescrevemos a integral da eq.(6.5) em termos da
temperatura e potencial quı́mico. Tomando o traço na aproximação de campo médio no limite clássico
(σ → hσi e ~π → 0):
Vef f (T, µ, B, hσi) = U (hσi)+
X
s,n,f
(|qf |B)I1 −T Nc
X
s,n,f
Z
(|qf |B)
i
h
i
dpz h
ln 1 + e−(Ep (B)+µ)/T +ln 1 + e−(Ep (B)−µ)/T ,
2π
(6.6)
1
O desenvolvimento deste termo se dá a partir do segundo termo da equação 6.5.
6.1. POTENCIAL EFETIVO NA PRESENÇA DE CAMPO MAGNÉTICO
59
onde
Z
I1 =
dpz
Ep (B) =
2π
Z
0
∞
dpz
2π
q
p2z + (2n + 1 − s)|qf |B + (g hσi)2 .
(6.7)
Ficamos com a seguinte expressão após a inserção do campo magnético:
Vef f (T, µ, B, hσi) =
λ
(hσi4 + v 4 − 2 hσi2 v 2 ) − h hσi + Vvacuo + Vmeio ,
4
(6.8)
q
π
onde Vvacuo = Vvacuo
+ Vvacuo
, sendo esta última a contribuição de vácuo dos quarks:
q
Vvacuo
=
X
(|qf |B)I1 .
(6.9)
s,n,f
Por ora descartaremos esta contribuição, o que nos deixa com os mesmos parâmetros do capı́tulo 5,
tendo em vista que estes dependem apenas do potencial no vácuo. A contribuição do meio na aproximação
de campo médio pode ser escrita como [30]
Vmeio = −T Nc
X
Z
αk (|qf |B)
k,f
em que Nf →
i
i
h
dpz h
ln 1 + e−(Ep,k (B)+µ)/T + ln 1 + e−(Ep,k (B)−µ)/T ,
2π
(6.10)
P
f . Na expressão acima, αk = 2 − δk,0 é um coeficiente de degenerescência e Ep,k (B) =
p
p2z + 2k|qf |B + (g hσi)2 . Em geral obteremos nossos resultados indo até o nı́vel k = 10, a partir do qual
atinge-se satisfatória convergência.
Assim, o potencial efetivo torna-se
m2 eB
λ
Vef f (T, B, hσi) = (hσi4 + v 4 − 2 hσi2 v 2 ) − h hσi − 2 π 2 ln 2 −
4
32π
Z
i
h
i
X
dpz h
−(Ep,k (B)+µ)/T
−(Ep,k (B)−µ)/T
.
ln 1 + e
+ ln 1 + e
T Nc
αk (|qf |B)
2π
(6.11)
k,f
6.1.1
Catálise Magnética
Na introdução discorremos acerca do fenômeno da catálise magnética, através do qual vemos o aumento
do condensado quiral hσi e, portanto, da massa dos quarks (Mq = g hσi) com o campo magnético para
T = 0 = µ. Agora obteremos os valores desta dependência (fig. 6.1) para que possamos comparar com o
que se observou no NJL.
60
160
XΣ\0 @MeVD
140
RHIC
120
LHC
100
80
0
5
10
15
eB
20
25
30
@m2ΠD
Figura 6.1: Catálise magnética. Quanto maior o valor de B, mais anti-alinhadas ficam as helicidades do
consensado quiral, fazendo com que este assuma altos valores. A figura indica a magnitude dos campos
gerados nos aceleradores RHIC e LHC.
No modelo de NJL, por exemplo, sugere-se que o valor do condensado cresça de 30 a 40% quando B
vai de aproximadamente 0, 05m2π a 20m2π ([30] e [31]). Nossos cálculos com o MSLq mostraram que, nesta
mesma faixa de campo magnético, hσi0 vai aproximadamente de 92.99 MeV a 123.2 MeV; ou seja, o aumento
é aproximadamente de 32%, dentro do intervalo previsto pelo NJL.
6.1.2
Análise do potencial efetivo para diversas temperaturas
Para eB = 5m2π (escala do RHIC), por exemplo, temos uma transição de fase de primeira ordem (fig.
6.2). Anteriormente, quando B = 0, havı́amos visto este comportamento apenas para µ 6= 0. Aumentando
o campo magnético para eB = 15m2π (escala do LHC), este comportamento se mantém com a diferença
que a temperatura pseudo-crı́tica diminui (fig. 6.3). Este comportamento é observado ao longo de todo o
diagrama T versus B sem vácuo fermiônico em trabalhos como [3], sob o MSLq e [48], sob a QCD na rede.
Evidentemente, as mesmas considerações do capı́tulo 5 acerca da estabilidade dos estados valem aqui.
Podemos plotar o parâmetro de ordem (hσi0 ) pela temperatura (fig. 6.4). A temperatura pseudocrı́tica é obtida indiretamente pela mudança de curvatura da linha preta, que ocorre aproximadamente em
(0)
Tpc = 150 MeV, cujo ı́ndice superior (0) indica que eB = 0. A transição de primeira ordem já nos permite
6.1. POTENCIAL EFETIVO NA PRESENÇA DE CAMPO MAGNÉTICO
61
0.04
0.02
Veff
T4
0.00
T = 175 MeV
-0.02
-0.04
Tc » 195 MeV
-0.06
T = 230 MeV
-0.08
0
20
40
60
80
100
120
XΣ\ @MeVD
Figura 6.2: Potencial efetivo sem vácuo, fora do limite quiral e eB = 5m2π (µ = 0). A tendência a mı́nimos
degenerados significa que a transição é de primeira ordem. A linha preta sinaliza predominância da fase
hadrônica, enquanto a clara apresenta coexistência de fases. A linha pontilhada indica predominância de
QGP. A temperatura crı́tica é de Tc ≈ 195 MeV.
2
Veff
T4
0
T = 75 MeV
-2
Tc » 85 MeV
T = 110 MeV
-4
0
20
40
60
80
100
120
XΣ\ @MeVD
Figura 6.3: Potencial efetivo sem vácuo, fora do limite quiral e eB = 15m2π (µ = 0). A linha indica
predominância da fase hadrônica, equanto a clara apresenta coexistência de fases. A linha pontilhada indica
predominância de QGP. A temperatura crı́tica é de Tc ≈ 85 MeV.
62
uma determinação mais direta de Tc , sendo definida como a temperatura em que hσi muda abruptamente
de valor, o ponto de descontinuidade da linha pontilhada (Tc ≈ 200 MeV).
100
XΣ\0 @MeVD
80
60
40
eB = 0
eB = 5m2Π
20
0
0
50
100
150
200
250
T @MeVD
Figura 6.4: Dependência térmica do parâmetro de ordem para crossover (linha cheia, eB = 0) e transição
de primeira ordem (linha pontilhada, eB = 5m2π sem vácuo).
Observe a abrupta e tı́pica construção do caso eB = 5m2π , enquanto no crossover o parâmetro de
ordem se altera suavemente. Por estarmos fora do limite quiral, por mais altas que sejam as temperaturas
atingidas nunca teremos exatamente hσi = 0, pois mc 6= 0. Caso contrário, tanto a linha vermelha quanto
a preta encontrariam o eixo das abcissas nos pontos de temperatura crı́tica, sendo que agora a linha preta
corresponderia a uma transição de segunda ordem. No regime em que nos encontramos, a linha de crossover
irá assintoticamente a zero, enquanto a de primeira ordem está estabilizada em um valor finito de hσi.
6.2. CONSIDERANDO O VÁCUO FERMIÔNICO
6.2
63
Considerando o vácuo fermiônico
Vejamos o que ocorre quando o termo
Z
Nc X
qf B
2π
s,n,f
p
p~2 + (2n + 1 − s)qf B + M 2
2π
é levado em conta (em que Nf foi substutuido por
P
f
(6.12)
para que somássemos sobre as cargas dos quarks
up e down). Fizemos o desenvolvimento deste potencial no apêndice D, em que concluimos que o termo
que continha a escala Λ do modelo pôde ser suprimido visto que não tinha dependência nos campos, sendo
apenas um shift no potencial efetivo [3]. A contribuição de vácuo fermiônica se dá por (D.11)
q
Vvacuo



 1 X
2
1
x
,
= −2
(|qf |B)2 ζ (1,0) (−1, x) − (x2 − x) ln x +
 2π 2
2
4 
(6.13)
f
onde x =
(ghσi)2
2|qf |B
e ζ (1,0) (−1, x) é a derivada da função zeta com relação ao primeiro argumento avaliada
no ponto −1.
6.2.1
Parâmetro de ordem em função da temperatura e massas mesônicas
A fim de analisarmos os efeitos de B e T na variação de hσi, comparemos o comportamento térmico do
parâmetro de ordem em µ = 0 e B 6= 0 com vácuo fermiônico com o caso em que este é desconsiderado
(figura 6.5). Repare na sutilidade da transição, contrariamente ao que havı́amos obtido na figura 6.4. A
linha clara revela um crossover, que restaura aproximadamente a simetria de maneira satisfatória por volta
(5)
de Tpc = 200 MeV, cujo ı́ndice superior (5) indica que eB = 5m2π .
Como o valor esperado do campo, σ, é o parâmetro de ordem da transição quiral, sua massa deve atingir
um mı́nimo nos pontos em que há transição de fase; caso estivéssemos no limite quiral, este mı́nimo seria
zero. Em µ = 0 e B 6= 0 sem vácuo fermiônico, assim como obtivemos comportamento térmico descontı́nuo
na massa dos quarks, também esperamos para a massa do méson σ.
Através de
2
Mhσi
∂ 2 Vef f =
∂ hσi2 ,
hσi0
podemos calcular a massa do méson σ a partir do potencial efetivo [12].
(6.14)
64
100
XΣ\0 @MeVD
80
60
eB = 0
40
eB = 5m2Π Hvá
cuoL
20
0
0
50
100
150
200
250
T @MeVD
Figura 6.5: Comparativo do comportamento térmico do parâmetro de ordem (linha preta: eB = 0 e linha
clara (verde) eB = 5m2π com vácuo fermiônico) para µ = 0 fora do limite quiral. Ambas as linhas são tı́picas
(0)
(5)
700
700
600
600
500
500
MΣ @MeVD
MΣ @MeVD
de um crossover, e infere-se indiretamente que Tpc ≈ 200 MeV e Tpc ≈ 200 MeV.
400
300
2
eB = 5mΠ Hvá
cuoL
200
eB = 5mΠ
300
eB = 5mΠ 2 Hvá
cuoL
200
2
eB = 0
100
0
0
400
100
50
100
150
200
250
300
0
0
50
T @MeVD
100
150
200
250
T @MeVD
Figura 6.6: Dependência térmica da massa
do méson σ na ausência e presença de
do méson σ na ausência e presença de
campo magnético (sem vácuo) para µ =
campo magnético (com vácuo) para µ = 0
0 fora do limite quiral. Na temperatura
fora do limite quiral. A presença do termo
crı́tica, o campo magnético provoca descon-
de vácuo faz desaparecer a descontinuidade
tinuidade em Mσ (linha pontilhada) e tanto
(linha clara), e tanto a partir de Tc como
a partir de Tc como de Tpc o crescimento da
de Tpc o crescimento da massa com a tem-
massa com a temperatura é linear.
peratura é linear.
300
6.2. CONSIDERANDO O VÁCUO FERMIÔNICO
65
Observe, nas figuras 6.6 que de fato a negligência do vácuo fermiônico torna descontı́nua a dependência
térmica de Mσ . Por outro lado, considerá-lo faz com que apareça um crossover novamente, desaparecendo
as descontinuidades (fig. 6.7).
Do mesmo modo calcula-se a massa do méson π:
2
Mhπi
∂ 2 Vef f =
∂ hπi2 ,
(6.15)
hσi0
Como mostram as figuras de fig. 6.8 a 6.9 para Mπ , os resultados obtidos aqui são análogos aos de cima
com relação à descontinuidade/continuidade, conforme esperado. Além disso, a massa do pı́on não se altera
significativamente a temperaturas inferiores a Tc ou Tpc , mas cresce rapidamente acima desta, aproximandose da massa do méson σ e indicando a restauração, ainda que aproximada, da simetrial quiral. T → ∞
implica em um aumento linear das massas com T .
700
600
eB = 0
700
eB = 5mΠ 2
eB = 5mΠ 2 Hvá
cuoL
600
eB = 0
400
500
MΠ @MeVD
MΠ @MeVD
500
300
200
400
300
200
100
100
0
0
50
100
150
200
250
300
0
0
50
100
T @MeVD
150
200
250
300
T @MeVD
do méson π na ausência e presença de
do méson π na ausência e presença de
campo magnético (sem vácuo) para µ =
campo magnético (com vácuo) para µ = 0
0 fora do limite quiral. Na temperatura
fora do limite quiral. A presença do termo
crı́tica, o campo magnético provoca descon-
de vácuo faz desaparecer a descontinuidade
tinuidade em Mπ (linha pontilhada) e tanto
(linha clara), e tanto a partir de Tc como
a partir de Tc como de Tpc o crescimento da
de Tpc o crescimento da massa com a tem-
massa com a temperatura é linear.
peratura é linear.
66
6.3
Termodinâmica
Segundo as mesmas idéias e equações do capı́tulo anterior, igualmente em µ = 0 podemos obter as quantidades termodinâmicas deste sistema sob campo magnético com vácuo e compará-las ao caso de férmions
livres, ambos com eB = 5m2π . Vejamos as figuras de 6.10 a 6.12, onde linhas pretas referem-se ao MSLq e,
linhas pontilhadas, ao gás de férmions livres. Optamos por comparar as quantidades normalizando pressão
e densidade de energia por eB × T 2 e densidade de entropia por eB × T , para que ficassem adimensionais
e assumissem ordens de grandeza menores, sendo que para eB = 0 observa-se que s ' T 3 e P ' T 4 ; para
eB 6= 0, s ' eBT e P ' eBT 2 .
500
P @MeVfm3D
400
300
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
3
Ε @MeVfm D
Figura 6.10: Pressão versus densidade de energia (linha preta: MSLq, linha pontilhada: gás livre) - a
equação de estado do gás livre é mais “dura”. O pico em torno de = 800 MeV, que só aparece para o
MSLq, sinaliza a existência de uma temperatura crı́tica.
Note que considerar interações faz com que a velocidade do som diminua. De fato, na faixa de temperaturas escolhida, Vs ≈ 0.68 (gás livre) e Vs ≈ 0.57 (eB = 5m2π ). Além disto, a equação de estado para o
MSLq contém um pico em torno de = 800 MeV, o que não acontece para o gás livre pois este pico sinaliza
justamente a existência de uma temperatura crı́tica.
As figuras de 6.13 a 6.16 mostram a dependência térmica da pressão, densidade de entropia e densidade
de energia normalizadas com a temperatura para os casos com e sem interacão. Observe que para ambos
os casos todas as grandezas crescem linearmente em altas temperaturas. Para o MSLq, isto ocorre para a
pressão a partir de T ≈ 60 MeV e para s e a partir de T ≈ 40 MeV; para o gás livre, a pressão cresce
67
linearmente com a temperatura a partir de T ≈ 100 MeV, enquanto s e comportam-se assim a partir de
T ≈ 80 MeV.
0.4
0.06
0.3
P
0.04
0.03
IeB ´ T 2M
P
IeB ´ T 2M
0.05
0.2
0.02
0.1
0.01
0.00
0
20
40
60
80
0.0
0
100
20
40
T @MeVD
60
80
100
T @MeVD
Figura 6.11: Pressão normalizada versus
temperatura (µ = 0) no MSLq (eB =
temperatura (µ = 0) no gás de férmions
5m2π ).
livres (eB = 5m2π ).
0.4
1.0
0.8
s
HeB ´ TL
s
HeB ´ TL
0.3
0.2
0.6
0.4
0.1
0.2
0.0
0.0
0
20
40
60
80
T @MeVD
100
0
20
40
60
80
T @MeVD
Figura 6.13: Densidade de entropia norma-
Figura 6.14: Densidade de entropia norma-
lizada versus temperatura (µ = 0) no MSLq
lizada versus temperatura (µ = 0) no gás
(eB = 5m2π ).
de férmions livres (eB = 5m2π ).
100
68
0.7
0.30
0.6
0.15
IeB ´ T 2M
0.5
0.20
Ε
IeB ´ T 2M
Ε
0.25
0.4
0.3
0.10
0.2
0.05
0.1
0.0
0.00
0
20
40
60
80
100
0
20
T @MeVD
40
60
80
100
T @MeVD
Figura 6.15: Densidade de energia normali-
Figura 6.16: Densidade de energia norma-
zada versus temperatura (µ = 0) no MSLq
lizada versus temperatura (µ = 0) no gás
(eB = 5m2π ).
de férmions livres (eB = 5m2π ).
Para analisarmos a influência do campo magnético na termodinâmica do MSLq, vejamos os comparativos
entre os casos eB = 0 e eB = 5m2π deste modelo nas figuras de 6.17 a 6.22.
6000
P @MeVfm3D
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
2000
4000
6000
8000
10 000
12 000
14 000
3
Ε @MeVfm D
Figura 6.17: Pressão versus densidade de energia para o MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0)
- a equação de estado com campo magnético é mais “dura”.
69
6000
10 000
5000
s @1fm3D
P @MeVfm3D
8000
4000
3000
2000
6000
4000
2000
1000
0
0
0
100
200
300
400
0
100
T @MeVD
200
300
400
T @MeVD
Figura 6.19: Densidade de entropia nor-
temperatura (µ = 0) fora do limite quiral
malizada versus temperatura (µ = 0) fora
para o MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha
do limite quiral para o MSLq (linha preta:
clara: eB = 0).
eB = 5m2π , linha clara: eB = 0).
O pico que aparece nas densidades de entropia e energia parece indicar o valor Tpc para µ = 0, o que de
fato é comprovado quando plotamos ∆ e w.
14 000
Ε @MeVfm3D
12 000
10 000
8000
6000
4000
2000
0
0
100
200
300
400
T @MeVD
Figura 6.20: Densidade de energia normalizada versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o
MSLq (linha preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0).
70
0.30
0.25
w
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
50
100
150
200
250
T @MeVD
Figura 6.21: Parâmetro da equação de estado versus temperatura fora do limite quiral para o MSLq (linha
preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). Como µ = 0, ambas as linhas representam um crossover. Tpc
aumenta com o campo magnético.
12
10
D
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
T @MeVD
Figura 6.22: Medida da interação versus temperatura (µ = 0) fora do limite quiral para o MSLq (linha
preta: eB = 5m2π , linha clara: eB = 0). Como µ = 0, ambas as linhas representam um crossover. Tpc
aumenta com o campo magnético.
6.4. DIAGRAMAS DE FASES
6.4
71
Diagramas de fases
Conforme já dito, o fato de campos magnéticos induzirem a catálise magnética, favorecendo a quebra de
simetria quiral, leva-nos a questionar como estes campos influenciariam as transições de fases a temperaturas e potenciais quı́micos finitos. Diagramas de fases utilizando o modelo MSLq com campo magnético
encontram-se em [51], onde desconsiderar o vácuo revelou uma única linha no diagrama (ausência de CP ),
sendo esta de primeira ordem; por outro lado, considerá-lo fez com que também não se observasse CP,
porém devido à presença de uma linha de segunda-ordem (resultado obtidos no limite quiral, onde mc = 0).
Os autores de [51] utilizaram apenas eB = 5m2π . Por outro lado, os autores de [50] obtiveram, via modelo
de NJL, diagramas para diversos valores de B, mostrando que este modelo mantém o CP observado para
campos magnéticos, sendo deslocado de acordo com o valor de B. Em ambas as abordagens viu-se que a
temperatura crı́tica a µ = 0 é maior do que o que se tem quando eB = 0, o que já pudemos inferir através
das quantidades termodinâmicas e das massas mesônicas que plotamos acima; além disso, o comportamento
térmico do parâmetro de ordem já indicava um aumento em Tpc para µ = 0. Com relação ao valor de µc
para T = 0, o MSLq indica seu aumento quando se considera campo magnético ([29] e [51]). Já o modelo
de NJL apresenta uma oscilação na dependência de µc com B em T = 0.
Portanto, extrapolemos para µ 6= 0 os resultados de Tc e Tpc que até então tı́nhamos somente para
µ = 0, inferidos pela termodinâmica. Na fig. 6.23 comparamos os diagramas para eB = 0, eB = 4m2π ,
eB = 5m2π e eB = 15m2π sem vácuo fermiônico.2 Observe como não há oscilações do valor de µ para
T = 0; contrariamente ao modelo de NJL ([50]), µ diminui com o campo magnético. Também em desacordo
com esta referência, tomando µ = 0 e valores iniciais de B, T é maior do que em B = 0; entretanto,
a temperatura descesce com o campo magnético de tal maneira que para campos magnéticos mais fortes
esta torna-se menor do que na ausência destes campos. Este decréscimo também é encontrado por cálculos
na rede ([48]) e no MIT Bag Model ([49]). Só se observa ponto crı́tico para eB = 0 (Tcp ≈ 82 MeV e
µcp ≈ 250 MeV). Concordamos com [29] e [51] com relação ao comportamento de T em µ = 0 quando
comparamos eB = 0 e eB = 5m2π , enquanto discordamos a respeito do valor de µ em T = 0, pois nestas
referências este valor é menor para eB 6= 0 do que para eB = 5m2π .
Incluindo vácuo fermiônico e comparando os diagramas de fases para eB = 0, eB = 3m2π , eB = 5m2π e
eB = 15m2π (figura 6.24), observamos apenas crossover para todos estes valores3 , o que está de acordo com
2
Por razões numéricas, estes diagramas foram obtidos tomando-se apenas o nı́vel de Landau k = 0. Este procedimento está
rigorosamente justificado em [63], que conclui ser este o termo dominante no somatório.
3
Tomamos o somatório no nı́veis de Landau até k = 10, a partir de onde atinge-se satisfatória convergência numérica.
72
250
eB = 4 mΠ2
eB = 5 mþ2
T @MeVD
200
150
eB = 0
100
CP
50
eB = 15 mþ2
0
0
50
100
150
200
250
300
Μ @MeVD
Figura 6.23: Comparativo entre os diagramas T versus µ para eB = 0, eB = 4m2π , eB = 5m2π e eB = 15m2π
sem vácuo fermiônico. O valor de T para µ = 0 é maior para B 6= 0 do que para B = 0, entretanto descesce
com o campo magnético. Em T = 0, µ decresce com o campo magnético. Só há ponto crı́tico para eB = 0,
as demais linhas são todas de primeira ordem.
[51] pelo menos para eB = 5m2π . Assim como nesta referência, µpc em T = 0 é maior para o caso B 6= 0
do que para B = 0. Logo, continuamos sem observar as oscilações de [50] para µ em T = 0. Contudo,
nossos resultados agora concordam com esta referência quanto a Tpc em µ = 0, que é maior na presença de
campo magnético. Por outro lado, na rede ([48]) e no MIT Bag Model ([49]) obteve-se um decréscimo da
temperatura crı́tica com o campo magnético.
Conforme a análise de [3], onde também se utilizou o MSLq, a contribuição de vácuo assume valores
consideravelmente superiores aos da contribuição do meio, o que nos leva a inferir que o vácuo domina a
posição do mı́nimo do potencial efetivo, sendo a parte responsável por levar a transição a um crossover.
Ainda, esta contribuição parece suprimir os efeitos de restauração da parte térmica, logo a temperatura
pseudo-crı́tica da transição quiral quando calculada levando em conta o meio e o vácuo torna-se uma função
crescente do campo magnético ([3]). Além disso, vimos que o campo magnético é responsável por anti
alinhar o par ψ̄ψ , reforçando o valor de hσi; portanto, a catálise magnética possui papel importante na
determinação de Tpc , pois tanto maior deve ser esta quanto maior o valor de B para que se restaure a
6.4. DIAGRAMAS DE FASES
73
300
eB = 15 mþ2
250
eB = 5 mþ2
T @MeVD
200
150
100
eB = 3 mΠ2
eB = 0
50
0
0
100
200
300
400
500
Μ @MeVD
Figura 6.24: Comparativo entre os diagramas T versus µ para eB = 0, eB = 3m2π , eB = 5m2π e eB = 15m2π
com vácuo fermiônico. O valor de T para µ = 0 é maior para B 6= 0 do que para B = 0, e cresce com o
campo magnético. Em T = 0, µ aumenta com o campo magnético. Não há ponto crı́tico, todas as linhas
são de crossover.
simetria quiral. Além disso, note que aumentar o valor do campo magnético não fez com que aparecesse
uma linha de primeira ordem e, consequentemente, ponto crı́tico para o MSLq com vácuo fermiônico.
Em se tratando da influência de campos magnéticos fortes na termodinâmica e nas transições de fases da
QCD através do MSLq, aqui vimos claramente que a dependência térmica das massas mesônicas concordam
com a quebra de simetria, sinalizando inclusive os valores de Tpc . Ainda, verificamos que as quantidades
termodinâmicas crescem linearmente com a temperatura para altos valores de T em ambos os casos (MSLq
e gás livre com eB = 5m2π ). A equação de estado quando eB 6= 0 é mais dura do que quando eB = 0.
Comparando diferentes valores de campo magnético no MSLq e considerando o vácuo fermiônico, também
notou-se o aumento de Tpc com B, resultados que estão de acordo com a maioria dos encontrados na literatura
([3], [47] e [51]). Concordamos com cálculos na rede ([48]) e com o MIT Bag Model ([49]) apenas quando
negligenciamos o vácuo fermiônico, regime no qual Tpc para µ = 0 diminui com B. Tomando T = 0, em
nenhum dos dois casos encontramos as oscilações de µ assinaladas em [50].
74
Capı́tulo 7
Conclusões
O cenário das colisões relativı́sticas em aceleradores de partı́culas tem levantado inúmeras questões acerca
da matéria em escalas de energia até então inacessı́veis. Tais experimentos foram capazes de explorar as
condições do universo em seus primeiros microssegundos, em que se acredita que a matéria encontrava-se
na forma de QGP. Desde então muito se trabalhou, teoricamente, para que resultados numéricos da QCD
fossem obtidos em modelos efetivos e na rede. A quebra ou restauração da simetria quiral, existente na
lagrangeana destes modelos, é um aspecto diretamente ligado à forma de matéria em que os quarks se
encontram. Quando a lagrangeana está quiralmente quebrada, a matéria está na forma hadrônica; enquanto
sua restauração, ainda que aproximada, indica QGP. Como espera-se que no universo primordial tenha
havido formação de fortes campos magnéticos e que colisões não-frontais de ı́ons pesados também sejam
capazes de gerar estes campos, convém que se considere sua influência na restauração da simetria quiral.
Nesta dissertação estudamos a termodinâmica e as transições de fase na QCD sob a influência de campos
magnéticos através do MSLq. Para que pudéssemos convenientemente comparar os resultados com casos
não interagentes, calculamos a termodinâmica de um gás de férmions livres. Sob técnicas de teoria quântica
de campos, obtivemos o gerador funcional das funções de Green conectadas e irredutı́veis, conhecido como
potencial efetivo, que nos permite acesso à termodinâmica do sistema quando aplicamos o formalismo de
Matsubara. Desprezamos o termo de vácuo, visto que corresponderia apenas a um shift nas quantidades
termodinâmicas, independendo de T . Tratando tanto o caso eB = 0 como eB = 5m2π e tomando µ = 0,
observamos um desvio do comportamento de gás livre a partir de determinados valores de temperatura
quando B 6= 0. Podemos, então, pensar que a aplicação de B confere certa interação a um gás de férmions
pelo fato de os quarks serem eletricamente carregados, interagindo com o campo magnético. O limite de
75
76
CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES
Stefan-Boltzmann não é atingido a altas temperaturas.
Do mesmo modo, incluindo temperatura no MSLq e mantendo µ = 0, obtivemos sua termodinâmica
e a comparamos com o gás livre. Como o MSLq permite que negligenciemos ou não o vácuo fermiônico,
assim como no gás livre nossos primeiros cálculos o desprezaram. Atingiu-se satisfatoriamente o limite de
Stefan-Boltzmann para altos valores de T e vimos que, diferentemente do caso não-interagente, para valores
intermediários de T as quantidades termodinâmicas desenvolvem um pico nas proximidades da temperatura
pseudo-crı́tica Tpc . Constatamos que a equação de estado para o gás livre é mais “dura” do que a do MSLq.
Incluindo, finalmente, campos magnéticos no MSLq, a equação de estado permaneceu mais “mole” do
que a do gás livre. No entanto, para ambos os casos todas as grandezas cresceram linearmente em altas
temperaturas. Comparamos também com o MSLq com B = 0 e B 6= 0, observando que a equação de estado
neste modelo é mais “dura” para o segundo caso.
A massa dos quarks, assim como as massas dos mésons σ e ~π foram calculadas para µ = 0 como função
de T em três situações relevantes: eB = 0 sem vácuo e eB = 5m2π com e sem vácuo. Para eB = 0 e
eB = 5m2π com vácuo obtivemos os já esperados comportamentos suaves destas massas como função de T ,
sinalizando Tpc em ambos os casos. Para eB = 5m2π sem vácuo vimos a descontinuidade das massas em Tc ,
onde a massa dos quarks abruptamente assumia valores próximos de mc e as massas mesônicas assumiam
valores maiores, de acordo com a restauração da simetria quiral, e cresciam linearmente com T superada a
criticalidade.
A maioria dos trabalhos encontrados na literatura utilizam modelos efetivos da QCD tomando apenas
µ = 0. Aqui, analisamos todo o plano T − µ do diagrama de fases. Primeiramente, tratamos o MSLq
sem vácuo fermiônico e tomamos eB = 0, eB = 4m2π , eB = 5m2π e eB = 15m2π , observando ponto crı́tico
(Tcp ≈ 82 MeV e µcp ≈ 250 MeV) apenas para o primeiro caso, sendo que para os demais o que se tem
é apenas uma linha de primeira ordem, em acordo com [51] pelo menos para eB = 5m2π , o único valor
utilizado nesta referência. Os autores de [50] observaram uma oscilação nos valores de µ para T = 0 com
diferentes valores de B, entretanto neste trabalho obtivemos um decrescéscimo desta quantidade com o
campo magnético. Também contrariamente a esta referência, tomando µ = 0 e valores iniciais de B, T é
maior do que em B = 0; entretanto, a temperatura descesce com o campo magnético de tal maneira que
para campos magnéticos mais fortes esta torna-se menor do que na ausência destes campos. Este decréscimo
também é encontrado por cálculos na rede ([48]) e no MIT Bag Model ([49]). Concordamos com [29] e [51]
com relação ao comportamento de T em µ = 0 quando comparamos eB = 0 e eB = 5m2π , enquanto
discordamos a respeito do valor de µ em T = 0, pois nestas referências este valor é menor para eB 6= 0 do
77
que para eB = 5m2π .
Incluindo vácuo fermiônico e comparando os diagramas de fases para eB = 0, eB = 3m2π , eB = 5m2π e
eB = 15m2π (figura 6.24), observamos apenas crossover para todos estes valores, o que está de acordo com
[51] pelo menos para eB = 5m2π . Assim como nesta referência, µpc em T = 0 é maior para o caso B 6= 0 do
que µc para o caso B = 0. Logo, continuamos sem observar as oscilações de [50] para µ em T = 0. Contudo,
nossos resultados agora concordam com esta referência quanto a Tpc em µ = 0, que é maior na presença de
campo magnético. Por outro lado, na rede ([48]) e no MIT Bag Model ([49]) obteve-se um decréscimo da
temperatura crı́tica com o campo magnético.
Pelo fato de a interação dos quarks com o campo magnético ser largamente superada pela interação
forte (haja vista a conhecida diferença de magnitude entre a interação eletromagnética e a interação forte),
aparentemente não é plausı́vel que eB 6= 0 faça desaparecer o ponto crı́tico, assim como a consideração do
vácuo, um termo do potencial efetivo, também o faça. Devemos aguardar até que os aceleradores atuais
possam fornecer resultados para valores de µ aqui estudados.
Como perspectivas futuras, pode ser de grande proveito abordarmos o modelo além das aproximações
de campo médio. Esta extrapolação poderia fazer com que observássemos CP no MSLq. Além disso,
poderı́amos verificar se, assim como na rede, a temperatura pseudo-crı́tica para µ = 0 diminuiria com o
campo magnético. Sendo assim, variando o valor de B poderia ser possı́vel observarmos as oscilações da
linha de primeira ordem manifestas em [50]. Tendo desenvolvido o MSLq além de campo médio, uma
comparação com o NJL nestas mesmas condições nos permitiria uma análise mais rigorosa das limitações e
vantagens de cada modelo.
78
CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES
Apêndice A
Técnicas de Matsubara
A.1
Matriz densidade e médias térmicas
No equilı́brio térmico, o comportamento estatı́stico de um sistema quântico é estudado em um ensemble
apropriado. Em geral, define-se uma matriz densidade do sistema como
H
ρ(T ) = e− T ,
(A.1)
onde H é a hamiltoniana apropriada segundo a escolha do ensemble. No grande-canônico, por exemplo:
H = H − µN ,
(A.2)
em que H e N representam, respectivamente, a hamiltoniana dinâmica e o operador número do sistema.
No ensemble canônico:
H=H.
(A.3)
Esta escolha de ensemble é arbitrária, até porque aspectos qualitativos do sistema a tempertura finita não
dependem da natureza do ensemble.
Dada a matriz densidade, define-se a função partição do sistema como
H
Z(T ) = T rρ(T ) = T re− T .
(A.4)
A média térmica da função correlação entre dois operadores A e B, com diferentes coordenadas, escreve-se
como
hABiT = Z −1 (T )T rρ(T )AB .
79
(A.5)
80
APÊNDICE A. TÉCNICAS DE MATSUBARA
Também podemos definir operadores segundo Heisenberg: para um operador de Schrödinger A, temos o
operador de Heisenberg definido como
AH (t) = eiHt Ae−iHt .
(A.6)
Após alguns passos, facilmente chega-se na média térmica nesta representação:
AH (t)BH (t0 ) T =
1
0
BH (t )AH (t + i )
.
T T
(A.7)
Estas igualdade, chamada de relação KMS (Kubo-Martin-Schwinger), serve tanto para bósons como para
férmions.
A.2
Formalismo de Matsubara
Em geral, a função de partição de um sistema estatı́stico não pode ser calculada exatamente. O formalismo
que apresentaremos consiste em um método diagramático, análogo ao que se usa em teorias quânticas
convencionais a temperatura zero. A maneira mais usual de se entender o formalismo de Matsubara é por
integrais de trajetória mas, antes disto, veremos o método operacional. Em ambas abordagens, é crucial
observarmos que a matriz densidade tem a forma de um operador de evolução temporal para instantes de
tempo imaginários e negativos.
Da eq.(A.1) vemos que, se a hamiltoniana total H for separada em duas partes (uma livre e outra de
interação):
H = H0 + H0 ,
(A.8)
a matriz densidade se escreverá
H
ρ(T ) = e− T = ρ0 (T )S(T ) ,
(A.9)
onde claramente
ρ0 (T ) = e
H0
T
.
(A.10)
1
ρ(T ) .
T
(A.11)
Também,
S(T ) =
ρ−1
0
A matriz densidade satisfaz a equação de Bloch, que pode ser pensada como sua evolução temporal com
0≤τ ≤
1
T:
A.2. FORMALISMO DE MATSUBARA
81
∂ρ0
= −H0 ρ0 (τ )
∂τ
(A.12)
∂ρ
= −(H0 + H0 )ρ(τ ) ;
∂τ
(A.13)
de acordo com o que temos acima, fica fácil obtermos a equação de evolução satisfeita por S(τ ) após certo
algebrismo:
∂S(τ )
= −HI0 (τ )S(τ ) ,
∂τ
(A.14)
0
τ H0 0 −τ H0
HI0 (τ ) = ρ−1
He
.
0 (τ )H ρ0 (τ ) = e
(A.15)
onde
E esta última igualdade reconhecemos como a representação de interação (ou de Dirac) da mecânica quântica.
Se τ fosse complexo então, para valores imaginários dele, a transformação seria unitária. Ou seja, o operador
de evolução coincidirá com o usual caso identifiquemos t = −iτ no eixo imaginário negativo. Por isso o
formalismo de Matsubara é também conhecido como formalismo de tempo imaginário.
Integrando a eq.(A.14):
R 1/T
0
S(T ) = Pτ e− 0 dτ HI (τ ) .
(A.16)
No caso de temperatura zero encontramos uma forma semelhante, porém sem esta integral ao longo do eixo
imaginário. Assim como neste caso a exponencial pode ser expandida, e cada termo daria origem a um
diagrama de Feynman termicamente corrigido.
Diagramas a temperatura finita tem, obviamente, um paralelo com aqueles a temperatura zero. Caso
definamos (para τ1 > τ2 )
S(τ1 , τ2 ) = S(τ1 )S −1 (τ2 ) ,
(A.17)
veremos que este operador compartilha propriedades do caso sem temperatura:
S(τ ) = S(τ, 0)
S −1 (τ ) = S(0, τ )
S(τ1 , τ2 )S(τ2 , τ3 ) = S(τ1 , τ3 ) para τ1 > τ2 > τ3 .
As funções de Green de dois pontos podem ser definidas na representação de Heisenberg:
D
E
GT (τ, τ 0 ) = Pτ (φH (τ ))φ†H (τ 0 )) = Z −1 (T )T re−H/T Pτ (φH (τ )φ†H (τ 0 )) ;
T
(A.18)
82
tanto bósons quanto férmions obedecem a isto.
Usando de algumas propriedades e explorando a relação entre as representações de Dirac e de Heisenberg,
reescreve-se a função de Green de dois pontos (com 0 ≤ τ, τ 0 ≤
D
GT (τ, τ 0 ) =
1
T ):
E
Pτ (φI (τ )φ†I (τ 0 )S(T ))
T,0
hS(T )iT,0
,
(A.19)
e o ı́ndice 0 significa uma média calculada em um ensemble livre de interações.
Uma grande diferença deste caso para o de temperatura zero é a variável tempo sendo integrada em
um intervalo finito; com isto, ao percorrermos mais e mais ordens da expansão, o número de regiões de
integração cresce rapidamente e já não se sabe mais se as evoluções diagramáticas são calculáveis.
A.3
Frequências de Matsubara
Objetivamos tratar do cálculo de diagramas a temperatura finita, mas notemos que, mesmo a temperatura
nula, isto é feito com muito mais facilidade no espaço dos momentos. Procuremos saber, então, se ir ao
espaço de momentos nos ajudará no cálculo de diagramas a temperatura finita.
As funções de Green são conhecidas por dependerem apenas de (τ − τ 0 ). Além disto, (0 ≤ τ, τ 0 ≤
logo, o argumento da função de Green está no intervalo (− T1 ≤ τ − τ 0 ≤
1
T ).
G1/T (0, τ ) = ±G 1 (T, τ ) .
1
T );
Pode-se mostrar que
(A.20)
T
Como as funções de Green são definidas em um intervalo de tempo finito, a transformação de Fourier
correspondente envolve apenas frequências discretas. Logo,
GT (τ ) = T
GT (ωn ) =
1
2
Z
X
e−iωn τ GT (ωn )
n
1/T
dτ eiωn τ GT (τ ) ,
−1/T
onde ωn = nπT , com n = 0, ±1, ±2... Matematicamente, todos os inteiros são permitidos na expansão,
porém a fı́sica exige que os pares contribuam nos setores bosônicos e os ı́mpares nos fermiônicos. Vejamos:
após alguma manipulação, obtém-se
1
GT (ωn ) = [1 ± (−1)n ]
2
Z
0
1/T
dτ eiωn τ GT (τ ) ;
(A.21)
A.3. FREQUÊNCIAS DE MATSUBARA
83
como o sinal positivo está relacionado com bósons, a função de Green se anula para n ı́mpar neste caso e,
quando se trata de férmions, anula-se para n par. Portanto, concluimos que a transformada de Fourier, no
caso da função de dois pontos, fornece
GT (τ ) = T
X
Z
e−iωn τ GT (ωn ) e
n
1/T
GT (ωn ) =
dτ eiωn τ GT (τ ) ,
0
onde
ωn =


2nπT
para bosons

(2n + 1)πT
para fermions
,
e estas são as frequências de Matsubara.
As coordenadas espaciais, por outro lado, são contı́nuas tanto a temperatura zero como a finita, logo
X Z d3 k
~˙
GT )(~x, τ ) = T
e−i(ωn τ −k~x) GT )(~k, ωn )
3
(2π)
n
Z 1/T
Z
~˙
~
GT (k, ωn ) =
dτ d3 xei(ωn τ −k~x) GT )(~x, τ ), ;
0
e agora podemos derivar o propagador para qualquer teoria. Por exemplo, caso estivermos em Klein-Gordon
a temperatura zero, a função de Green satisfaz
(∂µ ∂ µ + m2 )G(x) = −δ 4 (x) .
Considerando a variável tempo (t → −iτ , p0 → ip4 , G → −G),
2
∂
2
2
+ ∇ − m GT (~x, τ ) = −δ 3 (x)δ(τ )
∂τ 2
(A.22)
(A.23)
e, utilizando a eq.(A.22), a função de Green no espaço dos momentos fica
GT (~k, ωn ) =
ωn2
1
.
~
+ k 2 + m2
(A.24)
As funções fermiônicas são obtidas da mesma maneira.
A análise dos propagadores no espaço de momentos simplifica os cálculos diagramáticos a temperatura
finita. Os cálculos tornam-se paralelos ao caso de temperatura zero, e os vértices de interação são definidos
de maneira equivalente. Apenas a forma exata dos propagadores se altera, carregando agora dependência
térmica.
84
A.4
Campo magnético nulo
Como podemos ver em detalhes em [63] e [82], o formalismo de Matsubara admite a seguinte relação:
Z
2i
+∞ Z
X
d4 p
d3 p~
2
2
ln(−p
+
M
)
=
−2T
ln[(ω − iµ)2 + E 2 ] ,
3
(2π)4
(2π)
−∞
(A.25)
onde Ep2 = p~2 + M 2 e ω = (2n + 1)πT e n = 0, ±1, ±2... são as frequências de Matsubara para férmions. O
quadrivetor momento: p = i(ω − iµ, p~), e p2 = p20 − p21 − p22 − p23 .
Sob a importante igualdade
T
+∞
X
i
i
h
h
ln[(ωn − iµ)2 + Ep2 ] = E + T ln 1 + e−(E+ µ)/T + T ln 1 + e−(E− µ)/T ;
(A.26)
n=−∞
a integral que aparece em nossos cálculos torna-se
Z
A.5
1
d4 p ln(−p2 + M 2 ) =
(2π)4
Z
i
i
h
h
d3 p~
−(Ep −µ)/T
−(Ep +µ)/T
].
+
T
ln
1
+
e
[E
+
T
ln
1
+
e
p
(2π)3
(A.27)
Campo magnético finito
Caso desejemos considerar o campo magnético, as substiuições a serem feitas nos momentos são as seguintes
(eq.(C.9)):
p0 = i(ων ) , p~2 = p2z + (2n + 1 − s)|qf |B ,
sendo s = ±1, n = 0, 1, ... e f o sabor do quark (|qu | =
2
3
(A.28)
e |qd | = 13 ).
Ainda, a integral se transforma da seguinte maneira:
Z
Z
Z
XX 1 Z
d4 p
=T
dpx dpy dpz ln (ων2 + Ep2 ) ,
3
(2π)4
(2π)
ν
n
(A.29)
Os nı́veis de Landau (LL, do inglês Landau levels) estão representados por n, e s são os estados de
spin. Entendamos estas substituições lembrando que a mecânica quântica afirma que a energia associada
ao movimento circular no plano x − y é quantizada em unidades de 2qB caso o campo esteja na direção z,
enquanto a energia associada ao movimento linear em z é tomada como um contı́nuo. Todos estes nı́veis
para os quais os valores de p2x + p2y estão entre 2qBn e 2qB(n + 1) pertencem, portanto, a um único nı́vel
caracterizado por n, dado por
A.5. CAMPO MAGNÉTICO FINITO
85
S
(2π)2
Z Z
dpx dpy =
SqB
,
2π
(A.30)
em que S é a área no plano x−y e fazemos q → |qf | para que a cada sabor seja associada sua devida carga.
Usando, portanto, as mesmas substituições que fizemos para B = 0 quando somamos sobre as frequências
de Matsubara e tomamos o traço da integral (ocorre frequentemente nestas teorias),
Z
Z
h
i
h
i
Nc X
d4 p
dpz
2
2
−(Ep (B)+µ)/T
−(Ep (B)−µ)/T
ln
(−p
+
M
)
=
(|q
|B)
[E
(B)+T
ln
1
+
e
+T
ln
1
+
e
],
p
f
(2π)4
2π
2π
s,n,f
(A.31)
p
onde agora Ep (B) = p2z + (2n + 1 − s)|qf |B + M 2 .
86
Apêndice B
Cálculo da integral de vácuo na ausência
de campo magnético
Tomemos a seguinte integral:
Z
∞
I=
0
d3 p
(2π)3
p
p2 + (g hσi)2
2
(B.1)
podemos reescrevê-la:
1 −1
I=
(2π)3 2
Z
Z
M dM
d3 p
p
,
p2 + M 2
(B.2)
onde M = g hσi. Logo
M
∂α
=
∂m
2(2π)3
Z
d3 p
p
= ML .
p2 + M 2
(B.3)
Levando para 3 + 1 dimensões:
Z
L=
d4 p
,,
(2π)4 (p2 + M 2 )
(B.4)
e esta integral está tabelada ([83]) na forma
d( 2ω)p
Γ(A − ω)
1
=
,;
(2π)( 2ω)(p2 + M 2 )A
(4π)( ω)Γ(A) (M 2 )( A − ω)
(B.5)
no nosso caso A = 1 e ω = 2 − . Com estas substituições, inserindo a escala do esquema M S Λ2
(simplesmente multiplica a integral acima) e após certo algebrismo:
L=
Λ2 4π
M2
M
4π
2
2
Γ(−1 + )
4πΛ2
M
Γ(−1 + ) .
= exp ln
2
Γ(1)
M
4π
87
(B.6)
88APÊNDICE B. CÁLCULO DA INTEGRAL DE VÁCUO NA AUSÊNCIA DE CAMPO MAGNÉTICO
Ao final dos cálculos faremos = 0, e como na expansão da exponencial não haverá termos com no
demoninador, expandiremos a função gama até a ordem 1/. Com as duas expansões:
L≈
M
4π
2 2 1
4πΛ2
M
1
4πΛ2
− − 1 + γE 1 + ln
≈
− − ln
− 1 + γE ,
M2
4π
M2
(B.7)
em que foi ignorado o termo linear em . No esquema M¯S a escala se modifica segundo Λ2M¯S = Λ2 e4π
γE .
Embora tenhamos redefinido a escala, permaneceremos com a notação livre de ı́ndices. Sendo assim (a
igualdade lê-se como uma aproximação),
L=
M
4π
2 1
− − 1 + ln
M2
Λ2
.
(B.8)
Agora podemos calcular a integral da eq.B.1:
Z
I=
2 M3
1
M
− − 1 + ln
dM
2
(4π)
Λ2
(B.9)
No Mathematica:
2 1
M
M4
− − 3/2 + ln
I=
2
64π
Λ2
(B.10)
A divergência foi eliminada pela adição de uma constante cosmológica (ξ) à lagrangeana da seguinte
maneira [84]:
L0LSM = Ψ̄[i∂/ − g hσi]Ψ − V (hσi) + ξ = Ψ̄[i∂/ − g hσi]Ψ −
λ
(hσi2 − v 2 )2 + h hσi + ξ ,
4
(B.11)
e este contratermo fará com que, ao final das contas, o termo divergente 1/ desapareça.
A lagrangeana, consequentemente:
B
hσi4 = Ψ̄[i∂/ − g hσi]Ψ −
4
λ
g 4 hσi4
(hσi2 − v 2 )2 + h hσi −
,
4
32π 2 L0LSM = Ψ̄[i∂/ − g hσi]Ψ − V (hσi) +
(B.12)
Apêndice C
Equações de movimento com campo
magnético
C.1
Campos bosônicos
Partiremos da equacao da Klein-Gordon
( + m2 )φ = 0,
(C.1)
conquanto que alteremos a derivada covariante para que seja embutido o campo magnético:
∂µ → ∂µ + iqAµ .
(C.2)
[(∂µ − iqAµ )(∂ µ + iqAµ ) + m2 ]φ = 0 .
(C.3)
Como ≡ ∂µ ∂ µ , a equação fica
~ = 0) e campo magnético orientado da seguinte maneira: B
~ = B ẑ.
Suporemos ausência de campo elétrico (E
~ ×A
~ = B ẑ, chegamos a
Impondo as condições A0 = 0 e nabla
∂2 A3 − ∂3 A2 = 0
∂3 A1 − ∂1 A3 = 0
∂1 A2 − ∂2 A1 = B
Pela forma do campo, ∂3 Ai = 0, em que 1 ≤ i ≤ 3. Aplicando isto ao conjunto acima, teremos
89
90
APÊNDICE C. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO COM CAMPO MAGNÉTICO
∂i A3 = 0
∂1 A2 − ∂2 A1 = B
A0 = 0
~ = (0, −By, 0, 0). A equação (C.3) fica
Usaremos, portanto, o gauge de Landau: Aµ = (A0 , A)
[∂0 ∂ 0 − (∂1 + iqA1 )2 − ∂2 ∂ 2 − ∂3 ∂ 3 + m2 ]φ = 0
Supondo uma solução da forma φ(X) = φ(y)ei(p
com
00
φ(y) + 2m
"
0 x0 −p
p20 − p2z − m2
2m
z z−px x)
(C.4)
, aplicamos os operadores de modo a ficarmos
q2B 2
−
2m
#
px 2
y+
φ(y) = 0
qB
(C.5)
onde o primeiro termo é a segunda derivada com relação a y.
Compreendamos a origem destes termos: podemos pensar no lado esquerdo da equação (C.4) como sendo
a atuação de cinco operadores sobre a função φ(X) = φ(y)ei(p
0 x0 −p
z z−px x)
e ver como cada um atua.
0 0
∂0 ∂ 0 φ(X) = p20 φ(y)ei(p x −pz z−px x)
∂2
0 0
−∂2 ∂ 2 φ(X) = 2 φ(X) = φ(y)00 ei(p x −pz z−px x)
∂y
−∂3 ∂ 3 φ(X) = p2z φ(y)ei(p
0 x0 −p z−p x)
z
x
0 0
m2 φ(X) = m2 φ(y)ei(p x −pz z−px x)
2
px
0 0
2
1
2
1
2
−(∂1 + iqA1 ) φ(X) = [∂1 ∂ + (qBy) + 2qBy∂ ]φ(X) = (qB)
+ y φ(y)ei(p x −pz z−px x)
qB
portanto, φ(X) é autovetor de cada operador acima. Como a exponencial nunca se anula, podemos
desconsiderá-la frente à igualdade. Rearranjando os termos, ficamos com a eq.(C.5).
Em uma dimensão, o oscilador harmônico possui a seguinte equação de Schrödinger (lembrando que a
equação de Klein-Gordon nada mais é do que uma extensão relativı́stica da equação de Schrödinger):
1
φ00 (x) + 2m E − mω 2 x2 φ(x) = 0 .
2
(C.6)
Isto nos permite associar termos da eq.(C.5) com esta última, pois a energia (n ) será o primeiro termo entre
colchetes e o coeficiente que multiplica o parênteses do segundo termo será 21 mω 2 .
C.2. CAMPOS FERMIÔNICOS
91
Sendo assim,
1
q2B 2
|q|B
mω 2 =
⇒ω=
,
2
2m
m
e como n = n +
1
2
(C.7)
ω,
p20 − p2z − m2
2m
=
1 |q|B
n+
.
2
m
(C.8)
Disto, sai que
p20n = (2n + 1)|q|B + p2z + m2 ,
(C.9)
onde n são os nı́veis de Landau.
C.2
Campos fermiônicos
Pelo fato de agora os campos assumirem spin, partiremos da equação de Dirac:
(i∂/ − m)ψ = 0 ,
(C.10)
e a derivada se transformará da mesma maneira:
(i∂/ − qA/µ − m)ψ = 0 .
(C.11)
A escolha do gauge será a mesma (Aµ = (0, −By, 0, 0)), ou seja, A/µ = γ 1 A1 . Abrindo a eq.(C.11),
(iγ 0 ∂0 + iγ i ∂i − qγ 1 A1 − m)ψ = 0
(C.12)
e supondo uma solução do tipo
ψ(x) = e
ip0 x


χ
(~
x
)
1
0 
,
χ2 (~x)
(C.13)
podemos multiplicar a equação por γ0 para que apareça um termo de momento livre:
[−p0 + iγ0 γ i ∂i − qγ0 γ 1 A1 − mγ0 ]ψ = 0 .
Na forma matricial, resgatamos as matrizes de Pauli e efetuamos as devidas operações:
A partir disto, podemos inferir
−(p0 + m)χ1 + (iσ i ∂i − qA1 σ 1 )χ2
−(p0 − m)χ2 + (iσ i ∂i − qA1 σ 1 )χ1
(C.14)
92
APÊNDICE C. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO COM CAMPO MAGNÉTICO
em termos de χ1 :
[−(p20 − m2 ) + (iσ i ∂i − qσ 1 A1 )2 ]χ1 = 0 ,
(C.15)
~ = ~σ · ~π .
iσ i ∂i − qσ i Ai = ~σ · p~ − q~σ · A
(C.16)
1
1
(~σ · ~π )2 = σi σj πi πj = [σi , σj ] [πi , πj ] + ~π 2
2
2
(C.17)
~,
(~σ · ~π )2 = ~π 2 − q~σ · B
(C.18)
e sob a definição π i = pi − qAi ,
Portanto,
ou, ainda,
uma vez que apenas a componente A1 do quadrivetor é não-nula. Voltando à eq.(C.15),
~ 1.
[−(p20 − m2 ) + (~σ · ~π )2 ]χ1 = 0 = [−(p20 − m2 ) + ~π 2 − q~σ · B]χ
(C.19)
Como no primeiro caso (escalar), escolheremos a seguinte forma para a solução da equação acima:
χ1 (X) = χ1 (y)ei(p
0 x0 −p
z z−px x)
.
(C.20)
Assim como passamos da eq.(C.4) para a eq.(C.5) via a aplicação dos operadores, podemos traduzir a
eq.(C.19):
00
χ(y) + 2m
"
p20 − p2z − m2 + qBs
2m
q2B 2
−
2m
px
y+
qB
2 #
χ(y) = 0
(C.21)
Como no caso escalar, podemos associar os termos acima com aqueles da equação do oscilador harmônico,
o que gera a seguinte relação de dispersão:
p20ns = (2n + 1 − s)|q|B + p2z + m2 ,
em que n continua sendo os nı́veis de Landau e s = ±1 é a projeção do spin da partı́cula.
(C.22)
Apêndice D
Cálculo da integral de vácuo sob campo
magnético
Temos o potencial
Z
Z
o
Ep (B) Nc T X
dpz n
Nc X
qf B
+
(qf B)
ln 1 + e−[Ep (B)+µ]/T +(D.1)
Vef f (T, µ, B, hσi) = V (hσi) +
2π
2π
2π
2π
s,n,f
s,n,f
o
n
ln 1 + e−[Ep (B)−µ]/T ,
p
p2z + (2n + 1 − s)qf B + (g hσi)2 . Trocaremos n por k e adicionaremos o coeficiente de
p
degenerescência αk = 2 − δk0 . A energia passa a ser Ep (B) = p2z + 2kqf B + M 2 e ficamos com1
sendo Ep (B) =
Vef f (T, µ, B, M ) = V (M ) +
Z
E
Nc X
(qf B)αk
+ Ωψ̄ψ ,
2π
2π
(D.2)
k,f
onde
Ωψ̄ψ
Z
i
h
i
Nc T X
dpz h
=
(qf B)αk
ln 1 + e−(E+µ)/T + ln 1 + e−(E−µ)/T
2π
2π
(D.3)
k,f
passa por um tratamento algébrico ([63]) até chegar em
Ωψ̄ψ
Nc T B
=
2π 2
Z
i
h
i
h
dp ln 1 + e−(E+µ)/T + ln 1 + e−(E−µ)/T ,
resolvida numericamente.
1
Por simplicidade, E(hσi , B) ≡ E e g hσi ≡ M
93
(D.4)
94
APÊNDICE D. CÁLCULO DA INTEGRAL DE VÁCUO SOB CAMPO MAGNÉTICO
Queremos agora separar o vácuo (parte divergente) da contribuição magnética (finita). Será da seguinte
maneira: em
q
Vvacuo
=
Z
Nc X
E
qf B(2 − δk0 ) dpz
,
2π
2π
(D.5)
k,f
o termo δk0 impede fatorações. Podemos mascará-lo adicionando e subtraindo o termo energético correspondente ao nı́vel mais baixo de Landau:
q
Vvacuo
Z
E − E20
Nc X
qf B dpz
,
=−
π
2π
(D.6)
k,f
√
e devemos calcular
R
dpz
2π
p
R
p2z + M 2 + 2qkB e
dpz
2π
p2z +M 2
.
2
Utilizando regularização dimensional, [83]
nos fornece
Z
dd p 2
Γ(A − d/2)
,
(q + J 2 )−A =
d
d/2
2π
(4π) Γ(A)(M 2 )A−d/2
(D.7)
em que d = 1 − e A = −1/2.
Ficamos, portanto com
q
Vvacuo
Nc X
qf B
=−
π
k,f
Γ(−1 + /2)
Γ(−1/2)(4π)
Rearranjando a expressão acima e fazendo x =
q
Vvacuo
2Nc X
(qf B)2
=−
π
k,f
!
1−
2
1 1
1
−
/2−1
2
2 M −2
(M + 2qf kB)
.
(D.8)
M2
2qf B :
Γ(−1 + /2)
Γ(−1/2)(4π)
1−
2
!
1 /2−1 1 1 /2−1
−
,
x+k
2x
(D.9)
e quando somamos sobre os nı́veis de Landau, obtemos a derivada da função zeta com relação ao primeiro
argumento avaliada no ponto −1 + /2 (ζ (1,0) (−1 + /2, x)):
q
Vvacuo
=−
Nc X
1
(qf B)2 (Γ(−1 + /2)ζ (1,0) (−1 + /2, x) − 1−/2 ,
2
2π
x
k,f
(D.10)
que podemos expandir em torno de = 0:
q
Vvacuo
=−
2
Nc X
x2
x
2 x
(1,0)
(q
B)
+
(1
−
γ
)
−
ln
x
−
ζ
(−1,
x)
E
f
2π 2
2
2
k,f
Sumimos com esta divergência ao introduzirmos a já conhecida integral de vácuo:
(D.11)
95
Z
Ivacuo (B = 0) = −2Nc Nf
d3 p 2
(p + M 2 )1/2 .
(2π)3
(D.12)
Como já calculado,
d3 p~ 2
M 4 −1 3
M2
2 1/2
(D.13)
(~
p +M ) =
− + ln 2 ,
(2π)3
32π 2
2
Λ
P
mas devemos trocar Nf por
~2 e M 2 devem se tornar, respectivamente, p~2 /2qB e
f ; além disso, p
Z
M 2 /2qB = x para que os termos se identifiquem.
Feito isto, substituı́mos o termo divergente na eq.(D.11) e ficamos com a expressão final para a contribuição de vácuo fermiônica:
q
Vvacuo



 1 X
2
2
1
x
1
Λ
= −2Ivacuo (B = 0) − 2
(|qf |B)2 ζ (1,0) (−1, x) − (x2 − x) ln x +
+
ln
(D.14)
;
 2π 2
2
4
12
2|qf |B 
f
contudo, como queremos apenas a contribuição de B 6= 0, negligenciamos o termo correspondente a
B = 0. Além disso, note que o último termo da expressão acima não tem dependência nos campos, sendo
apenas um shift no potencial efetivo; logo, podemos descartá-lo sem que os resultados finais para as transições
de fase se alterem. A contribuição de vácuo fica dada por
q
Vvacuo



 1 X
2
1
x
(|qf |B)2 ζ (1,0) (−1, x) − (x2 − x) ln x +
.
= −2
 2π 2
2
4 
f
(D.15)
96
APÊNDICE D. CÁLCULO DA INTEGRAL DE VÁCUO SOB CAMPO MAGNÉTICO
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Simetria quiral em meio magnético quente e denso

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