Tabela Derivadas e integrais

Prof. Joaquim Rodrigues
TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS
01)
DERIVADAS
Se f ( x) = x , então f ′( x) = 1
INTEGRAIS
∫ 1 dx = 1 ∫ dx = ∫ dx = x + c
02)
Se f ( x) = ax , então f ′( x) = a
∫ adx = a ∫ dx = ax + c
03)
Se f ( x) = x n , então f ′( x) = n ⋅ x n − 1
04)
Se f ( x) = log a x , então f ′( x) =
05)
n
∫ x dx =
1
x ⋅ ln a
x n +1
+ c , n ≠ −1
n +1
1
∫ x ⋅ ln a dx = log
a
x+c
∫ x dx = ln x + c
06)
1
x
x
Se f ( x) = a , então f ′( x) = a x ⋅ ln a
07)
Se f ( x) = e x , então f ′( x) = e x
08)
Se f ( x) = sen x , então f ′( x) = cos x
09)
Se f ( x) = cos x , então f ′( x) = − sen x
10)
Se f ( x) = tg x , então f ′( x) = sec 2 x
11)
Se f ( x) = ctg x , então f ′( x) = − csc 2 x
12)
Se f ( x) = sec x , então f ′( x) = tg x ⋅ sec x
13)
Se f ( x) = csc x , então f ′( x) = −ctg x ⋅ csc x
∫ e dx = e + c
∫ cos x dx = sen x + c
∫ sen x dx = − cos x + c
∫ sec x dx = tg x + c
∫ csc x dx = −ctg x + c
∫ sec x ⋅ tg x dx = sec x + c
∫ csc x ⋅ ctg x dx = − csc x + c
14)
Se f ( x) = arc tg x , então f ′( x) =
15)
16)
17)
18)
1
Se f ( x) = ln x , então f ′( x) =
x
∫ a dx =
x
(
)
x
2
2
1
1+ x2
1
Se f ( x) = arc sen x , então f ′( x) =
1− x2
1
Se f ( x) = arc cos x , então f ′( x) = −
1− x2
Se f ( x) = ln x + x 2 + 1 , então f ′( x) =
ax
+c
ln a
1
∫1+ x
∫
∫−
1
1+ x2
1
1+ x 
1
Se f ( x) =  ⋅ ln
 , então f ′( x) =
1− x 
1− x2
2
2
dx = arc tg x + c
1
1− x2
1
dx = arc sen x + c
dx = arc cos x + c
1− x2
1
2
∫ 1 + x 2 dx = ln x + x + 1 + c
1
1
1+ x
∫ 1 − x 2 dx = 2 ⋅ ln 1 − x + c
Regra do produto:
Se f ( x) = u ⋅ v , então f ′( x) = u ′v + uv ′
Regra de L’Hospital
Seja lim f ( x) = 0 e lim g ( x) = 0 e se existe
Regra do quociente:
u ′ ⋅ v − u ⋅ v′
u
Se f ( x) = , então: f ′ ( x) =
.
v
v2
f ′( x)
f ( x)
lim
, então existe lim
e daí temos:
x → a g ( x)
x → a g ′( x )
f ( x)
f ′( x)
lim
= lim
x → a g ( x)
x → a g ′( x )
Regra da cadeia:
f ( x) = g [h ( x)] ⇒ f ′( x) = g ′ [h ( x)] ⋅ h ′ ( x)
x→a
x→a
Prof. Joaquim Rodrigues
INTEGRAÇÃO POR PARTE:
∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2
2. ( A − B) 2 = A 2 − 2 AB + B 2
3. A 2 − B 2 = ( A + B)( A − B)
4.
5.
6.
7.
( A + B) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3
( A − B) 3 = A3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3
A 3 − B 3 = ( A − B)( A 2 + AB + B 2 )
A 3 + B 3 = ( A + B)( A 2 − AB + B 2 )
EXPOENTES INTEIROS
1. a m ⋅ a n = a m + n
am
2.
= a m − n ( a ≠ 0 e m ≥ n)
n
a
( )
PRINCIPAIS BASES DOS LOGARITMOS
1. LOG A = LOG 10 A
2. LN A = LOG e A , onde e = 2 , 71
COLOGARITMO: COLOG B A = − LOG B A
ARCOS NOTÁVEIS
30º
45º
sen
1
2
2
2
cos
3
2
2
2
tg
3
1
3
60º
3
2
1
2
3
n
3. a m = a m ⋅ n
4. (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
a
a
5.   = n (b ≠ 0)
b
b
CICLO TRIGONOMÉTRICO
0o
90º 180º 270º
sen
0
1
0
−1
cos
1
0
0
−1
EXPOENTES FRACIONÁRIOS
1. n a ⋅ n b = n a ⋅ b
Vale lembrar que π rad → 180°
n
2.
3.
n
a
n
b
n
=n
n
a
b
am = a
(b ≠ 0)
m
n
FÓRMULA DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Dado Ax 2 + Bx + C = 0 , então
x=
360º
0
1
− B ± B 2 − 4 AC
2A
LOGARITMOS
1. LOG K A + LOG K B = LOG K (AB )
 A
2. LOG K A − LOG K B = LOG K  
B
n
3. LOG K A = n ⋅ LOG K A
MUDANÇA DE BASE
LOG K A
LOG B A =
LOG K B
IDENTIDADES FUNDAMENTAIS
1. sen 2 x + cos 2 x = 1
sen x
2. tg x =
cos x
cos x
3. cot g x =
sen x
1
4. sec x =
cos x
1
5. cos sec x =
sen x
FÓRMULAS PARA O ARCO DOBRO
1. sen 2a = 2 sen a ⋅ cos a
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a

2. cos 2a = 1 − 2 sen 2 a
cos 2a = 2 cos 2 a − 1
