“A Modelagem Matemática no Estudo das Sociedades”

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O texto a seguir é fundamentado principalmente pela
obra espanhola “Introducción a la Sociologia Matemática1”, de
Antonio Alaminos.
Antonio Alamino é professor da Universidade de Alicante, na
Espanha, além de ser pesquisador na área de estudos sociais e autor
de vários trabalhos dentro da área sociológica. Nessa obra ele faz um histórico do
surgimento, da expansão, das caracterizações e aplicações de modelos matemáticos nas
ciências sociais, bem como explica os vários procedimentos em uma pesquisa científica
envolvendo o estudo das sociedades e aplicação da modelação matemática como
contribuição no conhecimento científico.
Um bom estudo para todos nós....
“A Modelagem Matemática no Estudo das Sociedades”
As ciências sociais constituem-se num ramo do conhecimento científico, que estuda
os aspectos sociais do mundo humano2. A Sociologia é uma ciência que estuda a sociedade,
estuda o comportamento humano em função do meio e os processos que interligam os
indivíduos em associações, grupos e instituições3.
1ALAMINOS, A. Introducción a la sociología matemática. Seminário Permanente de Estudios Sociales – Universidad de Alicante –
España. CEE Limencop CEE. Ano: 2000.
2 Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_sociais, acesso: 17 de out. de 2008.
3
Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sociologia, acesso: 17 de out. de 2008.
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Segundo Miguel (2005)4, a expressão Sociologia da Matemática parece ter sido
empregada, na década de 40, no século XX, através de um artigo de autoria do historiador
da matemática Dirk J. Struik, publicado em 1942, na revista Sciense and Society, sob o
título “On The Sociology of Mathematics”. A partir dessa época, abordagens sociais,
culturais e socioculturais da matemática começam a se tornarem mais freqüentes. Dentre
elas, destacam-se: A base cultural da matemática, escrita por Raymond Wilder em 1950;
os trabalhos de David Bloor (Uma abordagem naturalista da matemática; Negociação do
pensamento lógico e matemático e Poderá existir uma matemática alternativa?), que
começaram a ser publicados na década de 70 do século XX; e a obra mais recente de Sal
Rostivo, que começou a ser publicada a partir da década de 90 do século XX, da qual
desstacam-se os artigos:”As raízes sociais da matemática pura”. E também na década de
70 do século XX, o sugestivo “Sociology of Mathematics and Mathematicias, de J. Frang e
K. P. Takayama.
Ainda, segundo Miguel (2005), a matemática desde a Antiguidade tem sido objeto de
reflexões e de estudos filosóficos isolados. Com suas raízes na matemática, na psicologia e
na prática cotidiana de sala de aula, pode-se dizer que a educação matemática é envolvida
pela ideologia do individualismo (...). A educação matemática provém da era da Guerra
Fria, quando o individualismo, supremo, ditava as regras no Ocidente e o comunitarismo e
as perspectivas sociais ocupavam um segundo plano. Até a década de 80 do século XX,
estudos que reconheciam o complexo caráter da sociologia, eram virtualmente inexistentes
em educação matemática. O movimento feminista fez uma crítica social da matemática, até
o surgimento de trabalhos como os de Walkerdine (The Mastery of Reason, publicada em 1988).
Da mesma forma, os movimentos multiculturalista e etnomatemáticos produziram
valiosos insigths sociais para o ensino da matemática e têm se tornado veículos
amplamente reivindicadores de uma reforma da educação matemática.
Diante desse quadro, rico e complexo, existem grandes proliferações de pesquisas
no âmbito da aplicação da matemática em sala de aula.
Aproximar a matemática do contexto social, aplicável, como uma ciência de
resultados, torna-se a razão de muitos estudos. Nesse contexto falaremos a seguir sobre as
ciências sociais e a modelagem matemática, segundo o livro de Alaminos (2000).
4
A. Almarcha, A. de Miguel, J. de Miguel y J. L. Romero. La documentación y organización de los datos em la investigación sociologica.
Madrid, Confederación Española de Cajas de Ahorros, 1969.
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A ciência é definida por vários autores com base em seu método e suas
características de seu conteúdo.
Wallace (1976)5 define a ciência como “...um modo de gerar enunciados acerca de
acontecimentos do mundo da experiência humana em contraste com a sua verdade”.
A ciência como resultado, pode ser definida, em sentido estrito, como um conjunto
de conhecimentos sobre a realidade observada, em forma de conceitos, enunciados...
obtidos mediante um método científico.
Bunge (1972)6 destaca as seguintes características da ciência:
- objetividade: adaptar o objeto mediante uma adequação da realidade. Em virtude
do critério de objetividade, devem descrever os detalhes da investigação de um modo
preciso e exaustivo, destacando a lógica e as técnicas de observação, de tal forma, que o
resto dos investigadores podem replicar e avaliar a investigação. Em geral, esse caráter
público e aberto dos procedimentos de investigação facilita a evolução do critério
objetividade;
- racionalidade: na medida em que a ciência está integrada por princípios e leis
científicas e por imagens, sensações, hábitos de conduta, etc. A racionalidade também
entra na possibilidade de buscar conceitos de acordo com leis lógicas e que criem novos
conceitos e descobrimentos;
- sistematicidade: todo o conhecimento científico tem relação uns com os outros.
Bunge estabelece outra série de características do conhecimento científico. Ele afirma que
se trata de um conhecimento factível, na medida que parte de trechos da realidade e se
assenta como filho dela. Também afirma que o conhecimento é transcendente, que vai
além das aparências e ainda, o conhecimento é analítico, porque centra-se em um
determinado aspecto da realidade e se esforça em conhecer profundamente os objetos de
estudo. Com precisão e qualidade de linguagem, os conceitos e problemas científicos têm
que ser definidos de uma maneira clara e precisa. O conhecimento científico é
comunicável, na medida em que não está reduzido a um núcleo de pessoas, mas aberto a
todo aquele que através de sua formação está disposto a compreendê-lo;
- verificável: toda a produção científica deve ser submetida à prova, de modo que
não se aceita nada que não se molde à realidade;
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W. L. Wallace, La lógica de la ciencia em sociología, Madrid, Alianza, 1976, p. 18.
M. Bunge, Teoría y realidad, Barcelona, Ariel. 1981 (1. ed. Castellana, 1972). p.9.
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- metódico: o conhecimento científico se procede através da obtenção de conclusões
particulares e gerais e na disposição dos procedimentos que levaram a dedução;
- explicativo: o conhecimento científico não se aceita unicamente de trechos tal
como se dão: ele investiga suas causas e planeja explicações dos trechos em função das leis
e princípios;
- aberto: os objetos de estudo das ciências, seus conceitos, métodos e técnicas não
são definidos, se encontram em constante mudança. O pensamento científico não é
dogmático e sim aberto a discussões, em razão de que suas estruturas são capazes de
progredir;
- útil: não existem explicações últimas na atividade científica. Não existem teorias
falsa ou verdadeira, mas totalmente “úteis” para explicar uma configuração de trechos e
para contribuir para o progresso humano.
Outras características que pregam no conhecimento científico são a lentidão e/ou
morosidade, a abstração e a generalidade.
- morosidade e/ou lentidão: se define essencialmente como economia do
pensamento. A necessidade de simplificar ou resumi, podem acarretar confusos
fenômenos sociais, fugindo daqueles que se pretende explicar.
- abstração: o progresso e a estrutura das teorias científicas revelam a presença de
uma hierarquia de explicações donde o acabado é explicado por leis, que por sua vez são
explicadas por teorias. Estas teorias podem ser também explicadas por outras teorias com
um grau maior de abstração. Por traz do processo de abstração tem-se a idéia de uma
compreensão mais profunda das estruturas que explicam os fenômenos sociais. Esta
compreensão é, geralmente, o produto da conseqüência de descrever corretamente o
processo causal que conecta os sucessos entre si.
- generalidade: intimamente ligada à noção de abstração, normalmente se associa
uma ampliação do foco de visibilidade da sociedade. Quanto mais se amplia o repertório de
fenômenos que é capaz de explicar e predizer uma teoria, é mais preciso e confiável as
predições e mais útil será a teoria.
Para Pardiñas (1969) 7o “...método de trabalho científico é uma sucessão de passos
que devem dar para descobrir novos conhecimentos, ou em outras palavras, para
7
F. Pardiñas, Metodología y técnicas de investigación en las Ciencias Sociales, Mexico, Siglo XXI, 1969.
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comprovar hipóteses que implicam e predizem condutas dos fenômenos desconhecidos no
momento”.
Enfocando nesse sentido, o método científico consiste em formular questões e
problemas sobre o mundo e os homens, partindo da observação da realidade e das teorias
já existentes; em antecipar soluções à estes problemas, mediante observações que ofereça a
classificação e a sua análise.
A Expansão dos Modelos
A década de 60 foi um período de intensa atividade e criatividade na elaboração de
modelos matemáticos. Citamos alguns:
- Modelo estocástico de processos: este tipo de modelo foi bastante popular entre os
sociólogos orientado na formalização de teorias.
A obra pioneira de Coleman8 em 1964 Na introduction to mathematical sociology,
produziu um impacto notável em oferecer novas formas de matemática implementada na
análise da sociedade. Coleman se aproxima dos dados sociológicos pensando em dois tipos
concretos: os dados da natureza sociométrica e os provenientes de pesquisa da medição de
posturas e atitudes. A inovação foi aplicada a agregados de indivíduos de processos de
Markov (com tempo contínuo), mantendo estados discretos na matriz de probabilidades de
transição. Neste sentido, o modelo de Cohen9 (1963) se formulava sobre a base das cadeias
de Markov.
A contribuição de Coleman é um exemplo no sentido de transmitir com eficiência e
de modo compreensível o emprego da matemática na formulação de modelos. O emprego
de processos de Poison, assim como os processos de Markov (empregando o tempo em
medição contínua), facilita as ferramentas básicas para compreender e modelar diferentes
processos sociais.
- Modelos estruturais com tratamento estocástico: foram modelos expansivos na
década de 60. Destaca-se especialmente os trabalhos de Anatol Rapoport10. Aparecem de
J. Coleman, An introduction to mathematical sociology, New York: The Free Press, 1964.
B. P. Cohen, Conflict and comformity: A probability model and its application. Cambridge, MA: The MIT Press, 1963.
10 A. Rapoport y N. J. Horvath, “A study of large sociogram: I”. Behavioral Sciense 6. Pp. 279-291.1961.
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uma forma mais simples. Destacam-se Rapoport y Horvath11; Foster, Rapoport y Orwant12;
Fararo y Sunshine13. Posteriormente, estes modelos foram desenvolvidos de forma
importante, por Maythew14 e analisadas as propriedades das estruturas por estatísticos
como Holland, Wasserman y Frank em colaboração científica social como Holland y
Leinhardt15.
- Modelos estruturais com tratamento algébrico: esta aproximação matemática
experimenta considerávelmente o avanço da obra de Harrison White(1963)16, que
desenvolve abordagens matemáticas anteriores e que experimentam um maior
desenvolvimento com outras obras. A álgebra torna-se uma matemática útil para modelar
sistemas de listas.
Durante a década de 70 se consolidam os modelos lineares. Segundo Fararo(1984)17,
o período dos anos 70 e princípio de 80 se caracterizam por uma proliferação importante
de pesquisas técnicas, com métodos e técnicas de análises de redes, o refinamento e
aplicação dos modelos de análise estocástica, assim como alguns com caráter
determinístico e estocástico.
O objeto da sociologia matemática é uma aplicação de regularidades sociológicas de
métodos matemáticos para gerar modelos formais de carácter explicativo e preditivo.
A observação é muito importante, dado que a função da análise lógica se
circunscreve a elaboração dos modelos. É evidente que o emprego e desenvolvimento de
modelos dentro de uma teoria ajuda na sua formalização. Essa tarefa constitui-se numa
aproximação metodológica bastante definida com a realidade social.
Segundo Allais18 (1994), “...quando se analisam fenômenos sociais sobre os
econômicos, se revela a existência de regularidades tão surpreendentes como as que
encontramos nas ciências físicas (...). Toda a ciência se baseia em modelos, descritivos ou
explicativos, destinados á elaborar prognósticos ou tomadas de decisões.
11
A. Rapoport y N. J. Horvath, “A study of large sociogram: I”. Behavioral Sciense 6. Pp. 279-291.1961.
C. Foster; A. Rapoport y C. Orwant. “A study of large sociogram: II”. Behavioral Sciense 8. Pp.56-65. 1963.
T. Fararo y M. Sunshine, A study of a biased friendship net. Syracuse, NY: The Syracuse University. 1964.
14 B. H. Maythew, “Baseline models of sociological phenomena”. Journal of Mathematical Sociology, 9. Pp. 259-281.1984.
15 P. W. Holland y S. Leinhardt. “An exponencial family of probability distributions for direct ed grafs”. Journal of the American
Statistical Association, 76, (1981), Pp. 33-65.
16 H. White, An anatomy of kinship. Engle Wood Cliffs, NJ: Prentice – Hall, 1063.
17 T. J. Fararo, “Neoclassical theorizing and formalization”, em T. J. Fararo Mathematical Ideas and Sociological Theory, Special Issue of
The Journal of Mathematical Sociology. London: Gordon and Breach. 1884, Pp. 156-157.
18 M. Allais, “La passion por la investigación”en M. Szenberg (ed.) Grandes economistas de Hoy, Madrid, Debate, 1994.
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Modelos e Representações
Os modos de representação implicam modos de estabelecer perguntas sobre o
fenômeno em estudo. Buscar a melhor representação, dos modos como se formulam as
perguntas tem muita importância, dado que conduzem umas às outras representações. O
“marco de referência”determina uma conjunção dos fenômenos do mundo real, com os
problemas científicos que vão ser tratados. O problema conduzirá à construção do modelo.
Segundo Jiménez Blanco 19(1971), em geral, se aceita que a investigação deva estar
orientada por uma teoria e que essa teoria deva ser formulada com base em termos
verificáveis.
Um matemático especialista se constrói em torno das formas de representação dos
fenômenos, incluindo a atividade do “marco de referência”, e outro matemático
estritamente teórico, se especializa em torno da explicação do fenômeno de estudo.
Modelos e Formalização
As representações se formalizam na construção dos modelos. Isto implica o
emprego da matemática à diferentes níveis de complexidade teórica e operacional.
Podemos plantar vários níveis de uso da matemática, segundo a fase que se está
desenvolvendo dentro de uma área concreta modelada.
Os modelos podem ser definidos como construções teóricas hipotéticas, suscetíveis
de matematização, com as que se pretendem representar um setor da realidade, os efeitos
do estudo e a verificação da teoria.
Cabe destacar, que os modelos, em sua origem, são um conjunto de equações sobre
a realidade. Um conjunto de enunciados teóricos sobre relações e variáveis que
caracterizam um setor da realidade. O término do modelo têm diversos significados e serve
para diferentes propósitos.
Uma das chaves para construir um modelo útil, reside em selecionar os elementos
mais importantes e estabelecer corretamente as relações fundamentais entre eles. O
critério de validação dos modelos é que será útil para os fins para o qual foi construído.
19 J. Jiménez Blanco, “Bases para uma metodologia sociológica “, em Sociologia Española de los Años 70, Madrid, Confederación
Española de Cajás de Ahorro, 1971, p. 761.
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Os modelos devem constituir em primeiro lugar, como o nome do que significa
modelo. Modelo significa, representações típicas, ou, exemplos ou imagens da realidade.
São instrumentos de investigação e estudo da realidade, obtendo dados pertinentes sobre
as variáveis que o formam, com certo grau de exatidão com que se ajustam ou representam
à realidade.
Como assinala Fararo20 (1984), a formalização matemática nos modelos requerem
que se incorporem presunções teóricas. O trabalho científico se caracteriza por uma
simplificação da realidade empírica. Toda simplificação implica presunções em respeito a
estados, processos e sua inter-relações.
Um aspecto importante na formalização das teorias em términos matemáticos, é
que permite diagnosticar através de testes estatísticos, se podem estar mais além do que a
teoria contrastada permite. Nesse sentido, a explicação formal em términos matemáticos
da teoria, permite controlar sua pertinência com os resultados estatisticamente obtidos.
Assim, se uma análise produz resultados não contemplados para a teoria, implica que algo
vai mal com a teoria, com as presunções teóricas e com os dados.
Vale ainda lembrar que os modelos estáticos são àqueles em que não figuram
implicitamente a variável tempo. São quase todos os chamados modelos de equilíbrio
econômico ou sociológicos. Quase todos os modelos de programação linear ou não linear,
jogos de estratégia e outros tantos.
Contrapõem-se os modelos dinâmicos, que são modelos matemáticos que incluem a
variável tempo. Esta inclusão do tempo no modelo equivale a associar com todas as
interações que aparecem nos modelos. A simulação tem aqui sua mais ampla aplicação.
Samuelson (1947)21, tem proposto classificar os modelos dinâmicos em seis grupos:
estáticos, estacionários, estáticos históricos, dinâmicos causais, dinâmicos históricos,
estocásticos não históricos, estocásticos históricos.
A primeira categoria, “estáticos estacionários”, correspondem a que Bugeda (ibidem
21) definia como modelos de equilíbrio.
A segunda categoria engloba os modelos que as perturbações são introduzidas
exclusivamente por via exógena ou por causas que não tem que ver com a mesma natureza
T.J. Fararo “Neoclassical theorizing and formalization” en T. J. Fararo, “Mathematical ideas and sociologic al theory, Special Issue of
the Journal of Mathematical Sociology. London: Gordon an Breach. 1984.p.149.
21 P. A. Samuelson, Foundation of economics analysis, Harvard Univ. Press, 1947, págs. 315-317. Citado en J. Bugeda, Manual de
sociología matemática, Madrid, IEP, 1976.
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do modelo considerado. A mobilidade social pode ser efeito do índice de natalidade, e este
pode depender de causas não considerados, como a guerra, por exemplo.
Samuelson(ibidem 21), ainda chama de “históricas”, porque a descrição do sistema
depende do intervalo de tempo considerado, não porque o tempo em si é considerado uma
variável. A análise só é válida pelo intervalo considerado. Os sistemas “dinâmicos causais”
são os que habitualmente são chamados processos climáticos de mudanças.
A partir de um conjunto de inter-relação inicial, podemos predizer o
comportamento do sistema depois de n estados de tempo. Por exemplo, o modelo
multiplicador-acelerador de Samuelson (ibidem21). Se temos os valores da renda nacional
para os períodos iniciais, poderemos estimar a renda nacional, a inversão e o consumo
para qualquer período futuro por uma simples análise diferencial. Todas as inter-relações
do modelo dependem de variáveis iniciais.
Os Procedimentos do Modelo Matemático
O modelo matemático parte da idéia de que é factível estabelecer um conjunto de
afirmações matemáticas que expressem uma teoria acerca de um conjunto de fenômenos.
Se a comparação indica diferenças importantes entre a formulação matemática e as
observações, o modelo matemático deve ser revisado e novamente testado. Um modelo
pode ser uma representação formalizada das regularidades sociais em estudo. Nesse
sentido, as regularidades podem ser representadas pode diversos modelos. A eleição do
tipo de modelo será de acordo com a experiência do observado, a finalidade do estudo e os
meios disponíveis.
P. Doreian (1996)22, oferece uma sistematização dos procedimentos dos modelos
matemáticos.
Para Doreian (ibidem 22), os modelos matemáticos se encontram catalogados
mediante as seguintes distinções: a primeira diferencia entre processos e estruturas; a
segunda entre modelos estocásticos e modelos deterministas e a terceira se diferencia entre
modelos que empregam variáveis com um nível discreto de medição e variáveis com um
nível de medição contínuo.
22
P. Doreian, “Modelos matemáticos”, en A. Kuper y J. Kuper, The social sciense enciclopedia, Routedge, London, 1996.
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Os modelos que se baseiam em processos intentam modelar mudanças do modo que
se revelam os possíveis mecanismos que produzem ou conduzem. Entre os procedimentos
empregados e as equações com base nas diferenças. Por outro lado, os modelos de
estruturas intentam representar e compreender os sistemas de relações sociais. Entre os
procedimentos matemáticos, a teoria de grafos, assim como álgebras booleanas,
incorporando teoria de grupos e outros.
Segundo Bartholomew (1982)23, os modelos estocásticos se empregam em toda a
pesquisa cujo resultado está regido por mecanismos estocásticos. São muito abundantes os
exemplos deste tipo de modelo. Os modelos determinísticos colocam uma relação certa e
exata entre os elementos do modelo. Nesse sentido, o processo pode ser modelado com um
erro (além da medição), porque a lógica que subentende o modelo é determinista. “Se
considerarmos a produção, o modelo de processos de mudança social são determinísticos
ou probabilísticos. O modelo de estruturas tendem a ser do tipo determinista. Os modelos
do tipo discreto empregam variáveis que só podem adotar um número relativamente
pequeno de estados, enquanto os modelos do tipo contínuo se apóiam sobre variáveis que
podem ser consideradas como tais. Esta distinção entre discreto e contínuo é extensível a
variável tempo nos modelos de processos”.
Uma segunda questão importante é o tipo de matemática utilizada. Uma tendência
importante é adotar modelos matemáticos empregados e desenvolvidos em outras
disciplinas. Isto não supõe nenhum problema se o modelo recorre de aspectos teóricos
essenciais , assim como os elementos empíricos suficientes para tratar da realidade que se
quer modelar. Um modelo pode ser empregado em diferentes áreas de investigação de
forma proveitosa. Um aspecto destacável é que a matemática desenvolve seus modelos
desde as ciências físicas (a invenção do cálculo diferencial por Newton e Leibniz) e
raramente desde as ciências sociais (com algumas exceções, como a teoria dos jogos, teoria
de decisão e algumas áreas da inteligência artificial). Ademais, este tipo de matemática é
bastante dependente da aproximação. Deste modo, a determinação de funções de utilidade
propicia a economia matemática (empregando cálculo diferencial).
Atualmente o desenvolvimento de modelos matemáticos é muito importante na
aplicação nas diversas áreas do conhecimento. Uma das principais vantagens do modelo
matemático é que ele tem um grau de especificação que pode determinar se o modelo está
23
D. J. Bartholomew, Stochastic models for social processes, New York, 1982.
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de acordo com o fenômeno estudado, permitindo através disso a sua correção. Nesse
sentido parte a utilidade de um modelo em ser construtivo.
Os modelos matemáticos podem distinguir-se da teoria geral das matemáticas em
virtude da sua proximidade com as áreas empíricas específicas. Em várias ocasiões o
modelo matemático destaca por ser aplicável a muitas áreas distintas. Na história se
constata que a matemática tem passado por etapas de crescimento e contribuição de idéias
a outras ciências ou ramos do saber. Convém destacar a relação da matemática com a
lógica, a cibernética, as ciências da computação, as ciências sociais.
A exatidão do modelo matemático depende do conhecimento de um maior número
de variáveis do fenômeno, a medida do seu valor exato em cada caso e o conhecimento da
exata função e relação matemática entre as variáveis.
A matemática se constitui em uma ciência formal que está muito desenvolvida. Por
isso, para uma relação empírica entre variáveis, existem múltiplas possíveis relações
matemáticas, que podem se tentar aplicando a mesma. Aí que se torna factível diversos
modelos matemáticas em relação a uma mesma teoria.
A Ajuda da Computação
Nos séculos XIX e XX se observa com claridade a necessidade de dispor de potentes
máquinas de cálculo.
Em geral, a computação, tem suas maiores potencialidades de recuperação e
processamento de grandes quantidades de informação, tanto quantitativa como
qualitativa, assim como a facilidade que proporciona para efetuar operações matemáticas
de forma automática e com grande velocidade. Muitos dos métodos estatísticos e
matemáticos que atualmente se empregam para analisar e construir modelos se
desenvolvem precisamente graças a essa facilidade de processo de informação.
Computação é praticamente sinônimo de algorítimo, é uma forma figurada e
sistemática de tratar a informação. Entre os tradicionais problemas está os de propagação
de erros; aproximação mediante séries; estruturas e redes; análise dinâmica de redes e
onde requer algorítimos computacionais complexos.
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Recentemente estão sendo incorporados algorítimos genéticos, inspirados na teoria
evolucionista. Estando de traz de aproximações como “redes neurais”e modelos não
lineares.
A palavra “algoritimo”utilizada desde antigamente tem conexão com a álgebra. Se
crê que surgiu com o algebrista árabe Al-Khuwarizmi (século IX). Hoje se utiliza para
simbolizar um método de cálculo finito associado à análise numérica. A partir das idéias
encerradas nos teoremas e suas demonstrações surgem muitos procedimentos de cálculo e
temas de discussão na informática. Estas motivações prevêem o mundo prático do cálculo
científico.
Em geral, se utilizam de pacotes de softwares que podem ser utilizados para
trabalhos e aplicações. A importância da utilização da aritmética finita com conseqüente
propagação dos erros no cálculo, assim como erros de truncamento inerente ao método
numérico formulado nos algorítimos são a base fundamental de estudo da análise
numérica.
A não linearidade de muitos modelos permite que surja com freqüência no cálculo
científico a necessidade de resolver equações não lineares. Por outro lado, a teoria da
aproximação em conexão com a modelização surge obviamente a representação das
funções no computador.
O desenvolvimento da computação têm conduzido à uma potencialização
importante da simulação de modelos. A simulação costuma partir de um modelo
matemático traduzido em programa que permite as sua ordenação. Essas simulações se
tem empregado com freqüência nas ciências físicas e cada vez mais no estudo demográfico
do comportamento eleitoral e econômico da população.
Fonte Bibliográfica:
ALAMINOS, A. Introducción a la sociología matemática. Seminário Permanente de Estudios Sociales
– Universidad de Alicante – España. CEE Limencop CEE. Ano: 2000.
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