universidade federal de itajubá instituto de engenharia de produção

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E GESTÃO
CÁLCULO DA COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES QUE MINIMIZA
O RISCO PARA UM RETORNO ESPECIFICADO
Mário Henrique da F. Oliveira
Orientador: Professor Dr. Edson de Oliveira Pamplona
Universidade Federal de Itajubá, Instituto de Engenharia de Produção e Gestão
Cx. P. 50 – 37500-000 – Itajubá, MG, Brasil – [email protected]
Resumo. Este artigo aborda a utilização de uma metodologia financeira e estatística com o
intuito de compor um portfolio de ações com risco reduzido, mediante a um retorno desejado
escolhido pelo investidor. Foram realizadas análises das variações do valor de mercado das
ações, seguido da utilização de conceitos de pesquisa operacional para composição do
portfolio.
Palavras-chave: CAPM, Markowitz, Solver.
1. INTRODUÇÃO
As aplicações em ações estão se tornando cada vez mais comuns e existe uma tendência
que cada vez mais empresas obtenham capital através do lançamento de ações e/ou títulos no
mercado.
Considerando o crescimento econômico objetivado pelo atual governo, é de se esperar
uma maior movimentação na economia, fazendo com que os setores produtivos que estão em
aquecimento possam vir a apresentar lucros maiores, o que faz com que o mercado de capitais
seja ainda mais atrativo.
Para o investidor, a aplicação em ações é uma maneira, já comprovada, de obter
rendimentos muito acima daqueles que não apresentam risco, como poupança e fundos de
renda fixa.
2. OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é montar uma carteira de ações que apresente um risco mínimo
para um retorno determinado.
3. MERCADO DE CAPITAIS
O Mercado de Capitais assume um papel dos mais relevantes no processo de
desenvolvimento econômico. É o grande municiador de recursos permanentes para a
economia, em virtude da ligação que efetua entre os que tem capacidade de poupança, ou
seja, os investidores, e aqueles carentes de recursos de longo prazo, ou seja, que apresentam
déficit de investimento (ASSAF, 2002).
3.1. Ações e seus mercados
Uma ação é um valor mobiliário, emitido pelas companhias, representativo de parcela do
capital. Representa a menor parcela que se divide o capital da companhia (BOVESPA, 2004).
Empresas emitem ações com o intuito de financiar suas atividades. O portador de uma
ação é, na verdade, um dos donos da empresa, pois ações não são títulos de dívida e sim
capital próprio da empresa.
O mercado de ações pode ser dividido em dois:
•
Mercado Primário
Refere-se à emissão de novas ações no mercado. A empresa procura uma instituição
financeira capacitada para a operação e oferece lotes de venda das novas ações a serem
emitidas. Esta operação é dominada subscrição de ações ou underwritting.
É importante ressaltar que o lançamento de novas ações no mercado deve ser um
processo bem analisado, pois influencia no volume de ações da empresa em oferta no
mercado, o que em alguns casos pode acarretar diminuição em seu valor.
•
Mercado Secundário
Consiste na negociação mútua das ações entre investidores, identificada nas negociações
que se efetuam nos pregões das bolsas de valores.
O Mercado Secundário é de fundamental importância, pois é o grande responsável pelo
valor de mercado de ações e conseqüentemente do valor da empresa. Pode-se dizer que o
mercado é quem dita todo o comportamento das ações de uma empresa, pois através da oferta
e da procura das ações negociadas o preço do ativo ganha ou perde valor.
3.2. Remuneração das Ações
As empresas remuneram os portadores de suas ações de duas maneiras, seja através de
recompra ou pelo pagamento de dividendos por ação.
Como o próprio nome sugere a recompra consiste na compra das ações do portador pela
empresa.
Dividendos são parcelas pagas por ação considerando os resultados obtidos pela empresa
no período.
Para o investidor uma das formas de remuneração mais comum é a negociação de ações
no mercado secundário, onde a relação entre a compra de ações e sua venda podem gerar
lucros bastante satisfatórios no tempo, além da facilidade de liquidez.
3.3. Tipos de Ações Negociadas
•
Ações Ordinárias
São aquelas que dão o direito a seus proprietários de votar na escolha do conselho de
administração da empresa.
•
Ações Preferenciais
Não apresentam direito a voto, porém em caso de falência os proprietários desse tipo de
ação tem a preferência em receber a parte do capital que lhes é de direito. Muitas discussões
são feitas em relação às preferências que estas ações apresentam, pois em casos de falência o
dinheiro muitas vezes não é suficiente para o pagamento dos acionistas preferenciais, já que
os credores são pagos antes.
A nova lei em vigor exige que a cada ação ordinária lançada, também seja lançada uma
preferencial para que seja mais fácil uma mudança no controle da empresa.
4. RISCO E RETORNO
Quando se investe em ações, ao contrário de investimentos de renda fixa, não se sabe ao
certo quanto será seu retorno, isto é, se houver retorno. Nada garante que a quantia investida
seja recompensada por um bônus esperado. O investimento em ações apresenta risco. Afinal
de contas se fosse possível receber sempre exatamente o que se espera, tal investimento seria
perfeitamente previsível, portanto, livre de risco.
O risco de um investimento é formado por dois elementos: o risco sistemático ou não
diversificável e o risco não sistemático ou diversificável. O risco sistemático é aquele que
influencia, em maior ou menor grau, um grande número de ativos. Incertezas sobre condições
econômicas gerais, como taxas de juros ou inflação são exemplos de riscos sistemáticos. Já o
risco não sistemático, é definido como um risco que afeta no máximo um pequeno número de
ativos (ROSS, 2002).
Segundo conceitos financeiros, o risco não sistemático pode ser eliminado pela
diversificação de ativos, assim num mercado perfeito só haverá prêmios pelos riscos
sistemáticos que o investidor corre.
4.1. Indicadores
Para quantificar valores e comportamentos financeiros, indicadores estatísticos são
utilizados pela administração financeira.
4.1.1. Retorno Esperado – E(R)
O Retorno Esperado é a expectativa futura de um ativo com risco (ROSS, 2002). Para
efeito de cálculo utiliza-se a média de rentabilidade deste ativo em determinado período.
Em cada ponto no tempo os investidores estimam o Retorno Esperado, E(R)- o retorno
que se espera obter sobre dado ativo durante um horizonte de tempo infinito (GITMAN,
2002).
E(R)= Benefício Esperado durante cada período
Preço Atual do Ativo
(1)
ou como foi utilizado neste trabalho,
E(R) = Σ (Retornos em diferentes períodos)
Número de períodos
(2)
4.1.2. Risco (σ)
O indicador risco quantifica o risco sistemático e o risco não sistemático presente em um
ativo.
Para se calcular o risco de um investimento deve-se inicialmente calcular sua variância,
que é o quadrado da diferença em relação ao retorno esperado. A seguir, multiplica-se cada
quadrado de diferenças por sua probabilidade. Soma-se e obtém-se como resultado a variância
(ROSS, 2002). O desvio-padrão ou risco é igual a raiz quadrada da variância.
A variância de X , denotada por σ2 ou V(X), de acordo com MONTGOMERY (2003), é
dada por:
σ2 = V(X) = E(X – µ)2 = Σ (x – µ)2 f(x)
(3)
σ2 = Σ x2f(x) – µ2
O desvio-padrão ou Risco de X é: σ = [V(X)] ½.
(4)
4.1.3. Coeficiente de Variação (CV)
O Coeficiente de Variação é uma medida de dispersão relativa usada na comparação do
risco de ativos que diferem nos retornos esperados.
CV =
σ
E(R)
(5)
Onde:
σ = desvio padrão
E(R) = retorno esperado
Quanto mais alto o coeficiente de variação maior será o risco (GITMAN,2002).
4.1.4. Beta (β)
O coeficiente beta, β, é usado para medir o risco não-diversificável. É o índice que mede
o grau de movimento do retorno de um ativo em resposta à mudança do retorno de mercado.
O coeficiente β de um ativo pode ser encontrado examinando-se os retornos históricos do
mercado (GITMAN, 2002).
O β corresponde à inclinação de uma linha de tendência. Tal linha é obtida através da
plotagem dos retornos de mercado versus os retornos do ativo ou grupo de ativos no qual se
deseja investir, para um determinado período de tempo.
O índice β pode ser definido matematicamente pela seguinte relação:
β = cov (Rn, Rm)
σm2
Onde:
cov (Rn, Rm) = covariância do ativo e a carteira de mercado
Rn = retorno sobre o ativo em questão
Rm = retorno do mercado
σm2 = variância do retorno sobre a carteira de mercado
(6)
No Brasil muito se discute como deve ser utilizado o retorno de mercado. Comumente
utiliza-se como variação do mercado o comportamento do índice bovespa, porém alguns
estudos mostram que o ideal seria utilizar um índice que considerasse a participação em
volume de papéis no mercado, ao invés da liquidez dos títulos no mercado, como é calculado
o índice bovespa (PENTEADO, 2002).
Para efeito de simplificação de cálculos, optou-se em usar como base para avaliação do
retorno de mercado o próprio índice bovespa.
5. COMPOSIÇÃO DE UM PORTFOLIO COM RISCO MÍNIMO
5.1. Empresas Analisadas
Para a confecção da carteira otimizada foram escolhidas ações ordinárias de empresas
nacionais de grande porte:
• Sadia
• Perdigão
• Banco do Brasil
• Itaú
• Bradesco
• Embraer
• Petrobras
• CSN
• Multibrás
• Marcopolo
5.1.1. Coleta de Dados
Os dados foram coletados no site www.yahoo.com.br/finance. O período escolhido para
análise foi de 03/jun./2003 a 03/set/2004, onde foram considerados os valores de fechamento
ajustados mensais das empresas citadas, representados pela última coluna da tabela.
Tabela 1. Marcopolo.
Date
Sep 04
Aug 04
jul/04
jun/04
May 04
Apr 04
mar/04
Feb 04
jan/04
Dec 03
nov/03
Oct 03
Sep 03
Aug 03
jul/03
jun/03
Open
6.00
5.50
5.11
4.90
4.90
5.15
4.90
5.00
4.51
3.75
3.80
4.00
3.80
3.00
3.66
3.85
High
6.00
6.00
5.50
5.43
4.90
5.15
5.20
5.00
5.00
4.51
3.80
4.00
4.01
3.81
4.00
3.85
Low
6.00
5.40
5.11
4.90
4.90
4.90
4.90
5.00
4.50
3.75
3.75
3.78
3.80
3.00
3.00
3.00
Close
6.00
6.00
5.50
5.11
4.90
4.90
5.15
5.00
5.00
4.51
3.75
3.80
4.00
3.81
3.00
3.70
Volume
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
Adj.
Close*
6.00
6.00
5.50
5.11
4.90
4.90
5.15
4.73
4.73
4.27
3.55
3.60
3.79
3.61
2.84
3.50
A tabela a seguir apresenta os valores de fechamento das ações de todas as empresas
selecionadas e os valores de fechamento do índice Bovespa.
Tabela 2. Valores de fechamento das empresas e índice bovespa.
Banco
do
ibovespa Sadia Perdigão Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo
Date Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close*
Close*
Sep 04
22415
5,05
33,25
24,1
114
257
15,05
91,5 45,97
0,45
6
Aug 04
22803
4,7
33,25 24,25
116
255
14,84
90,4 45,35
0,81
6
jul/04
22337
4,05
31,5
23
116
250
16,15
85,7 43,99
0,81
5,5
jun/04
21149
3,85
27
22,5
115,02 254,89
16,6
85,7 37,88
0,81
5,11
May 04
19545
3,7
27
20,8
107,77 235,9
14,23
80,49
36,5
0,81
4,9
Apr 04
19607
4
28,5
19,1
99,67 183,84
14,5
82,24 139,5
0,81
4,9
mar/04
22142
4
30 23,28
115,75 249,68
17,85
94,55 170,44
0,81
5,15
Feb 04
21755
4,05
28 21,06
120,45 258,82
16,82
87,88 159,39
0,81
4,73
jan/04
21851
4,08
27,19 19,84 1191,94 202,36
17,89
80,12 140,11
0,8
4,73
Dec 03
22236
3,98
20,39 23,35
129,28 251,11
19,11
79,27 134,28
0,8
4,27
nov/03
20184
3,58
15,63 23,83
118,21 221,18
14,36
67,11 114,83
0,83
3,55
Oct 03
17982
3,32
15,54 18,29
96,67 209,65
13,17
63,34 101,1
0,83
3,6
Sep 03
16011
3,48
15,54 15,56
89,66 198,62
11,29
62,07 88,43
0,83
3,79
Aug 03
15174
2,68
15,54 14,98
96,18 201,6
11,64
61,93 85,26
0,44
3,61
jul/03
13572
1,75
24,28 13,41
93 182,31
10,35
57,22 69,41
0,01
2,84
jun/03
12973
1,45
24,28 12,36
87,49 170,49
10,25
52,41 60,16
0,44
3,5
Com os dados levantados calculou-se a variação percentual mensal de cada empresa.
Tabela 3. Variação Percentual.
variação
variação variação variação
variação variação variação variação variação variação
Banco do
ibovespa Sadia Perdigão
Bradesco
Itaú
Embraer Petrobras CSN
Multibras
Brasil
-1,70%
2,09%
5,62%
8,21%
-0,32%
-11,45%
1,78%
-0,44%
-1,73%
10,17%
12,25%
12,31%
5,52%
11,80%
4,62%
7,45%
0,00%
16,05%
5,56%
5,19% 16,67%
4,05%
0,00%
-7,50% -5,26%
0,00% -5,00%
-1,23%
7,14%
-0,74%
2,98%
2,51% 33,35%
11,17% 30,45%
7,83%
0,58%
-4,60%
0,00%
29,85%
0,00%
53,14% -36,00%
20,69%
0,00%
-0,62%
-1,72% 0,78%
1,42%
1,22% 1,37% -44,44%
5,43%
0,00% 2,00%
-8,11%
5,48% 3,09%
0,00%
2,22%
0,85% -1,92%
-2,71%
0,00% 16,13%
0,00%
8,17%
6,73% 8,05% 16,65%
6,47% 3,78%
0,00%
8,90%
8,13% 28,32%
-1,86% -2,13% -73,84%
0,00%
-17,96% -13,89% -26,37% -18,77% -13,02% -18,15%
0,00%
10,54%
-3,90% -3,53%
6,12%
7,59% 6,93%
0,00%
6,15% -89,89% 27,90%
-5,98%
9,69% 13,76%
1,25%
-15,03% 821,98% -19,41%
-6,38%
1,07% 4,34%
0,00%
-2,01%
9,36% 13,53% 33,08% 18,12% 16,94%
-3,61%
30,29% 22,28% 5,50%
9,04%
5,95% 13,58%
0,00%
17,54%
7,82% 5,55% 16,65%
2,05% 14,33%
0,00%
3,87%
-6,78% -1,48%
-3,01%
0,23% 3,72%
88,64%
11,71%
3,42% 10,58% 12,46%
8,23% 22,84% 4300,00%
8,50%
6,30% 6,93%
0,98%
9,18% 15,38% -97,73%
variação
Marcopolo
0,00%
9,09%
7,63%
4,29%
0,00%
-4,85%
8,88%
0,00%
10,77%
20,28%
-1,39%
-5,01%
4,99%
27,11%
-18,86%
5.1.2. Indicadores Calculados
Os dados levantados servem de base para os cálculos dos indicadores apresentados
anteriormente:
Tabela 4. Indicadores
Sadia Perdigão
E(R)
Banco do
Bradesco
Brasil
Itaú
Embraer Petrobras
9,59%
3.36%
5,18%
51,38% 3,76%
3,30%
Risco 15,56%
16,01%
11,74%
214,68% 14,74%
12,75%
-0,31
1,31
β
0,91
-6,05
0,93
1,53
4,01%
CSN
Multibras
Marcopolo ibovespa
2,95%
282,94%
4,20%
3,91%
6,96% 23,36%
1111,90%
10,91%
6,60%
56,12
0,48
1,00
0,67
1,74
O retorno esperado (E(R)) foi calculado pela média aritmética dos retornos das ações no
período analisado. O risco é o desvio padrão das variações das ações; assim é interessante
observar a tabela notando que na maioria dos casos, investimentos com maiores retornos
esperados são quase sempre os mais arriscados.
Os retornos de mercado podem ser representados pelo retorno de um índice de ações, no
caso o índice Bovespa. O β de mercado é igual a 1. Ativos com β maior que 1 possuem risco
maior que o de mercado, e conseqüentemente maior retorno esperado, sendo denominados
ativos agressivos. Ativos com β menor que 1 possuem risco menor que o do mercado, e
conseqüentemente menor retorno esperado, sendo denominados ativos defensivos (ROSS,
2002). Os investimentos considerados sem risco apresentam β igual a 0.
5.2. Modelo de Precificação CAPM - Capital Asset Price Model
A teoria básica que associa o risco e o retorno para todos os ativos é comumente chamada
de modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) (GITMAN, 2002).
5.2.1. Equação do CAPM
E(Ri) = E(Rm) + [E(Rm) – Rf] x βi
Onde:
E(Ri) = retorno exigido pelo ativo
E(Rm) = retorno de mercado; retorno sobre a carteira de ativos
βi = índice de risco não diversificável para o ativo j
Rf = taxa de retorno livre de risco
(7)
5.2.2. Aplicação da equação com base nos dados da empresas
A taxa livre de risco utilizada foi a CDB, em torno de 0,6% ao mês, não descontada a
inflação no período.
A tabela a seguir mostra os retornos esperados e os retornos calculados pelo CAPM.
Tabela 5. Comparação entre retorno esperado e exigido através do CAPM.
Sadia Perdigão
E(R) 9,59% 3,36%
CAPM-E(Ri) 3,63% -0,42%
Banco do
Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo
5,18%
51,38% 3,76% 3,30%
4,01% 2,95% 282,94%
4,20%
4,94%
-19,46% 3,68% 5,68%
2,81% 6,35% 186,57%
2,18%
Comparando os retornos médios com os retornos exigidos (calculados pela equação do
CAPM), percebe-se que algumas empresas superam as expectativas de risco e retorno, ou
seja, seu retorno esperado é maior do que o retorno exigido. São elas:
•
•
•
•
•
•
•
•
Sadia
Perdigão
Banco do Brasil
Bradesco
Itaú
Petrobras
Multibras
Marcopolo
5.3. Seleção das Empresas que irão compor o Portfolio
Para simplificar os cálculos serão escolhidas cinco empresas para formação do portfolio.
Algumas empresas já foram previamente eliminadas, pois apresentam seus retornos
menores do que o estimado pela equação do CAPM.
Das empresas restantes, cabe uma análise de seus indicadores e valores para uma tomada
de decisão mais atenta.
Tabela 6. Empresas selecionadas.
E(R)
Risco
β
variação %
variação % variação % Banco do variação % variação % variação % variação % variação %
Sadia
Perdigão
Brasil
Bradesco
Itaú
Petrobras Multibras Marcopolo
7,45%
0,00%
-0,62%
-1,72%
0,78%
1,22%
-44,44%
0,00%
16,05%
5,56%
5,43%
0,00%
2,00%
5,48%
0,00%
9,09%
5,19%
16,67%
2,22%
0,85%
-1,92%
0,00%
0,00%
7,63%
4,05%
0,00%
8,17%
6,73%
8,05%
6,47%
0,00%
4,29%
-7,50%
-5,26%
8,90%
8,13%
28,32%
-2,13%
0,00%
0,00%
0,00%
-5,00%
-17,96%
-13,89%
-26,37%
-13,02%
0,00%
-4,85%
-1,23%
7,14%
10,54%
-3,90%
-3,53%
7,59%
0,00%
8,88%
-0,74%
2,98%
6,15%
-89,89%
27,90%
9,69%
1,25%
0,00%
2,51%
33,35%
-15,03%
821,98%
-19,41%
1,07%
0,00%
10,77%
11,17%
30,45%
-2,01%
9,36%
13,53%
18,12%
-3,61%
20,28%
7,83%
0,58%
30,29%
22,28%
5,50%
5,95%
0,00%
-1,39%
-4,60%
0,00%
17,54%
7,82%
5,55%
2,05%
0,00%
-5,01%
29,85%
0,00%
3,87%
-6,78%
-1,48%
0,23%
88,64%
4,99%
53,14%
-36,00%
11,71%
3,42%
10,58%
8,23% 4300,00%
27,11%
20,69%
0,00%
8,50%
6,30%
6,93%
9,18%
-97,73%
-18,86%
9,59%
3,36%
5,18%
51,38%
3,76%
4,01%
282,94%
4,20%
15,56%
16,01%
11,74%
214,68%
14,47%
6,96% 1111,90%
10,91%
0,91
-0,31
1,31
-6,05
0,93
0,67
56,12
0,48
Analisando os valores de modo geral, é possível concluir que o banco Bradesco e a
Multibrás possuem riscos muito elevados, o que não é atrativo, já que dados ,tão dispersos,
podem ser muitas vezes inconclusivos.
Outra empresa que será excluída é a Perdigão, pois é do mesmo setor que a Sadia,
podendo haver uma tendência de comportamento sazonal entre tais empresas, além de que a
Perdigão apresenta alto risco para um pequeno retorno esperado.
Assim as empresas selecionadas para a composição do portfolio foram:
•
•
•
•
•
Sadia
Banco do Brasil
Itaú
Petrobras
Marcopolo
5.4. Otimização do Portfolio de Ações – Método Markowitz
Segundo MARKOWITZ (1952), é possível diminuir consideravelmente o risco do
investimento em ações através da utilização de carteiras com vários ativos. O estudo aqui
proposto objetiva mostrar e aplicar essa metodologia usando ferramentas de pesquisa
operacional.
5.4.1. Cálculo
De acordo com MONTGOMERY (2003), a covariância descreve como duas ou mais
variáveis aleatórias variam em conjunto.
Para o cálculo do retorno de uma carteira é necessário que seja montada uma matriz de
covariância, assim é possível analisar o risco dos ativos em conjunto.
Tabela 7. Matriz utilizada no cálculo de variância do portfolio.
1
ação
1
2
X1 σ1
2
2
X1X2Cov(R2,R1)
2
3
...
N
X1X2Cov(R1,R2)
X1X3(CovR1,R3)
X1XNCov(R1,RN)
2
X1X3Cov(R1,R3)
X1X4Cov(R1,R4)
2
X2X4Cov(R2,R4)
X2 σ2
2
X3 σ3
2
X2X2Cov(R3,R1)
X3X2Cov(R3,R2)
XNX1Cov(RN,R1)
XNX2Cov(RN,R2) XNX3Cov(RN,R3)
...
N
XN2σN2
σi é o desvio-padrão da ação i.
Cov (Ri,Rj) é a cobariância entre a ação i e ação j.
(ROSS, 1995).
Para o cálculo do risco da carteira é efetuada a soma e produto entre as variâncias dos
ativos e a composição percentual de cada ativo na carteira.
5.5. Utilização do Excel
5.5.1. Solver
O Microsoft Excel possui uma ferramenta chamada Solver. Através dela é possível
encontrar valores de minimização ou maximização baseados em restrições adotadas.
Para que os cálculos sejam efetuados, deve-se inserir as seguintes definições na janela
referente ao Solver no Excel:
• A Função Objetivo será minimizar o risco conjunto entre as ações dado retorno
esperado.
• As Restrições:
1. A soma das porcentagens das ações na carteira é igual a 100%;
2. O Retorno encontrado deve ser maior ou igual ao desejado;
3. O valor percentual de cada empresa que faz parte do portfolio deve ser maior
ou igual a zero;
• As Células Variáveis serão as referentes à composição percentual de ações de cada
empresa no portfolio.
As tabelas envolvidas na resolução, juntamente às definições necessárias com relação à
utilização do Solver estão especificadas nos itens 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4 e 5.5.5 a seguir.
5.5.2. Matriz de Covariância
A matriz de covariância foi montada a partir da variação percentual calculada das
empresas, segundo o modelo mostrado anteriormente (item 5.4.1).
Tabela 8. Matriz de covariância.
Sadia
Banco do Brasil
Itaú
Petrobrás
Marcopolo
Sadia
0,022611
0,002
0,0005
0,0028
0,007
B. Brasil
0,002049
0,012861
0,009
0,0031
-0,0013
Itaú
Petrotbras Marcopolo
0,000482 0,0028166 0,007025
0,008967 0,0030909 -0,001334
0,019548 0,005221 0,0005101
0,0052
0,0045267 0,0024514
0,0005
0,0025
0,0111179
A matriz de covariância é utilizada no cálculo dos termos de variância que representam o
risco do portfolio.
5.5.3. Composição do Portfolio e Retorno Esperado
Tabela 9. Composição do portfolio.
Portfolio %
Retorno Esperado Médio
Sadia
B. Brasil
Itaú
30,55%
23,07%
0,00%
Petrobras Marcopolo
38,25%
8,13%
9,59%
5,18%
3,76%
4,01%
4,20%
Total
100,00%
Os valores da primeira linha da tabela representam a porcentagem de cada empresa na
composição do portfolio. Essas células foram definidas como variáveis na utilização da
função Solver, ou seja, podem mudar de valor a cada retorno desejado especificado.
A segunda linha da tabela são os retornos esperados médios anteriormente calculados
(Tabela 6).
5.5.4. Termos de Variância e Termos de Retorno
Os termos de variância e de retorno são cálculos necessários para encontrar a variância e
o retorno da carteira. A somatória dos termos de variância de cada empresa resulta na
variância da carteira, enquanto a somatória dos termos de retorno resulta retorno da carteira.
Tabela 10. Termos de variância e termos de retorno.
Termos de Variância
Sadia
0,28%
B. Brasil
0,11%
Termos do Retorno
2,93%
1,20%
Itaú
Petrotbras Marcopolo
0,00%
0,13%
0,03%
0,00%
1,53%
0,34%
O cálculo do termo de variância de determinada empresa foi efetuado multiplicando sua
correspondente porcentagem na composição do portfolio com a soma dos produtos entre as
primeiras linhas das tabelas 8 e 9. Por exemplo, o cálculo do termo de variância da Sadia (de
acordo com os valores das tabelas 8 e 9) é:
Termo de variância Sadia = 30,55 % [(0,022611 x 30,55%) + (0,002049 x 23,07%) +
(0,000482 x 0,00%) + (0,0028166 x 38,25%) + (0,007025 x 8,13%)]
Os termos de variância, apesar de não terem sido definidos como células variáveis,
poderão ter seus valores alterados com a utilização do Solver, haja visto que este cálculo é
dependente dos valores percentuais de cada empresa na composição do portfolio.
Os termos de retorno foram calculados através da multiplicação da porcentagem de cada
empresa na composição do portfolio com o retorno esperado de cada empresa (Tabela 9).
5.5.5. Risco, Retorno Desejado e Retorno do Portfolio
Tabela 11. Dados da carteira.
Variância
Desv. Padrão
Retorno Desejado
Retorno
0,0054719
7,40%
6,00%
6,00%
A variância da carteira foi obtida através da somatória dos termos de variância (Tabela
10). Esta célula foi selecionada para ter seu valor minimizado com a utilização do Solver.
O desvio-padrão ou risco da carteira é a raiz quadrada da variância.
Ao digitar Retorno Desejado na planilha e aplicar a função Solver, a composição de
carteira com o menor risco será calculada.
O termo Retorno refere-se ao retorno efetivo conseguido pelas iterações realizadas pela
função Solver é o retorno calculado. Neste caso o retorno desejado e o retorno calculado são
exatamente iguais, porém dependendo do retorno desejado a ser inserido, pequenas alterações
podem ocorrer entre esses dois valores.
6. ANÁLISE DE RESULTADOS
Nota-se que ao ser utilizado um Retorno Esperado de 6% é possível obter um portfolio
com Risco de 7,4%. Portfolio esse formado por cerca de 31 % de ações da Sadia, 23% de
ações do Banco do Brasil, 38% da Petrobras e 8% de ações da Marcopolo (vide Tabela 9).
Marcopolo
8%
Sadia
31%
Petrobras
38%
Itaú
0%
B. Brasil
23%
Figura 1. Composição do portfolio
Tabela 12. Comparação entre valores obtidos.
E(R)
Risco
Carteira
6,00%
7,40%
Sadia
B. do Brasil
9,59%
5,18%
15,56%
11,74%
Itáu
Petrobras Marcopolo
3,76%
4,01%
4,20%
14,47%
6,96%
10,91%
Utilizando a abordagem anteriormente descrita do CV (Coeficiente de Variação) é
possível uma nova comparação com base nos valores da tabela acima.
Tabela 13. Comparação entre valores obtidos utilizando o CV.
CV
Carteira
1,23
Sadia
B. do Brasil
1,62
2,26
Itáu
Petrobras Marcopolo
3,84
1,73
2,59
Observando os valores contidos na tabela, fica claro que a carteira composta apresenta
um risco relativo muito menor do que os ativos individuais.
7. CONCLUSÃO
A metodologia proposta apresentada utiliza-se dos da equação do CAPM e conceitos de
Markowitz aliados a pesquisa operacional, montando assim a carteira ótima para um
investidor em potencial.
Dentre todas as empresas dez empresas selecionadas, quatro foram selecionadas para a
carteira, composta por 31 % de ações da Sadia, 23% de ações do Banco do Brasil, 38% da
Petrobras e 8% de ações da Marcopolo. O retorno calculado é de 6%.
Destaca-se a funcionalidade do modelo, pois apresenta versatilidade no cálculo de novas
composições de carteiras, apenas alterando o retorno desejado pelo cliente.
É possível observar que ao se utilizar de modelos não lineares de programação pode-se
obter uma carteira de risco mínimo. Através desse modelo o investidor pode encontrar a
composição ideal para seu portfolio dado seu retorno desejado.
Levando em conta que mecanismos similares são encontrados em caros softwares, este
tipo de metodologia contribui como uma solução eficiente e de baixo custo.
REFERÊNCIAS
ASSAF Neto, A. 2003, Mercado Financeiro, Atlas, 5ªedição.
BOVESPA, Dicionário de Finanças da Bovespa, capturado em 20 de outubro de 2004
[http://www.bovespa.com.br/Dicionario.htm].
GITMAN, L. J. 2002, Princípios de Administração Financeira, Harbra 7ªedição.
MARKOWITZ, HARRY, Portfolio Selection Journal of Finance,7 p77-91, março 1952.
MONTGOMERY, D. C., & RUNGER, G. C., 2003, Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros, LTC, 2ªedição.
PENTEADO, M. A. B. e FAMA, R. Será que o beta que temos é o beta que queremos?
Caderno de Pesquisas em Administração, São Paulo, V 09, 03, julho/setembro de 2002.
ROSS, S.A., & WESTERFIELD, R.W., & JORDAN B. D, 2002, Princípios de Administração
Financeira, Atlas 2ªedição.
ROSS, S.A., & WESTERFIELD, R.W., & JAFFE F. J, 1995, Administração Financeira, Atlas
1ª edição.
YAHOO, Yahoo Finanças, capturado em 05 de setembro de 2004.
[http://www.yahoo.com.br/finance.htm].