A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO NO

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO
NO TERCEIRO ANO DO CICLO
Claudia Gomes Araujo
Gabriela Barbosa
Faculdade de Educação da Baixada Fluminense – FEBF/UERJ
Programa de Pós-Graduação em Educação, Cultura e Comunicação
Eixo: Pesquisa e Práticas Educacionais
Categoria: Pôster
RESUMO: Neste trabalho apresentamos os resultados parciais da pesquisa intervencionista
que está sendo realizado junto aos alunos do 3º ano do ciclo em uma escola pública do
município de Duque de Caxias, Rio de Janeiro. Fundamentadas na Teoria dos Campos
Conceituais de Gérard Vergnaud, criamos e analisamos uma intervenção de ensino
constituída por jogos visando compreender os procedimentos empregados pelos alunos na
resolução de problemas aditivos e colaborando para que os mesmos avancem nesse
conhecimento. A intervenção foi precedida por um teste diagnóstico em que foi constatada a
necessidade de atividades que integrem a construção do conceito de número e dos
principais conceitos pertencentes ao campo aditivo. Entre os resultados obtidos até o
momento, destacamos que na medida em que os alunos compreendem as propriedades do
sistema de numeração decimal e as empregam efetuando cálculos mentais ocorrem
também avanços nos processos de resolução de problemas aditivos.
Palavras-chave: Teoria dos Campos Conceituais; Problemas Aditivos; Cálculo mental;
Sistema de Numeração Decimal.
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO
NO TERCEIRO ANO DO CICLO
Atuando nos últimos anos, como professora e formadora no ensino da matemática,
na Rede Municipal de Duque de Caxias em contato professoras e alunos, professoras
relatam que os alunos chegam ao terceiro ano do ciclo ainda sem saber ler e escrever e que
sua maior preocupação é alfabetizar seus alunos no que diz respeito à Língua Portuguesa.
Acreditam que eles só serão capazes de resolver problemas quando já tiverem se
apropriado da leitura e da escrita, deixando, por assim dizer, o trabalho de matemática de
lado. A escola tem um grande desafio pela frente: trabalhar desde cedo os conhecimentos
matemáticos para que no terceiro ano se possam realmente aprofundar os conteúdos em
relação ao trabalho com problemas aditivos.
Buscamos em nossa pesquisa investigar: Como se caracterizam os processos
desenvolvidos pelos alunos do terceiro do ciclo na resolução de problemas do campo
aditivo?
As intervenções através dos jogos contribuem como ferramentas para a
aprendizagem do cálculo mental e, por conseguinte, para resolução das Estruturas Aditivas?
Fundamentação teórica:
Este trabalho teve como objetivo desenvolver, analisar e avaliar uma proposta de
ensino centrada nos problemas de estrutura aditiva (EA) associada aos Campos Conceituais
(CC). Para desenvolver este projeto, buscamos apoio importante na Teoria dos Campos
Conceituais (TCC).
Ela foi desenvolvida na década de 70 pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud e tem
uma forte herança da teoria de Piaget. Essa teoria trata da conceitualização no campo da
Didática das Ciências.
Segundo Vergnaud (1986, p.84), “Um campo conceitual pode ser definido como um
conjunto de situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e
representações simbólicas em estreita conexão.”
Um Campo Conceitual é, ao mesmo tempo, um conjunto de situações e um conjunto
de conceitos. A aquisição do sentido ou significados de um conceito ou conhecimento é
realizada a partir da confrontação das situações-problema. As crianças constroem um
campo conceitual através de experiências vividas na escola ou no seu meio social, por meio
de interações com objetos e sujeitos. A aprendizagem acontece com ou sem a interferência
da escola. Como afirma Santana (2010, p.29)
...a aprendizagem é um fator que atua na construção do conhecimento da
criança. Por exemplo, no âmbito escolar, muitas vezes ela depende
diretamente da atuação do professor (suas escolhas, planejamento e
desenvolvimento de experimentos didáticos). No âmbito social, depende de
fatores alheios à vontade ou interferência do professor ou da escola, dentre
eles: a alimentação, a estrutura familiar, o apoio da família.
A TCC não é somente uma teoria de ensino de conceitos explícitos e formalizados. Trata-se
de uma teoria psicológica do processo de conceitualização do real, que permite localizar e
estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo
conceitual, Vergnaud (1990, p. 133).
Segundo Vergnaud (1986), a Terna de sustentação de um conceito se apresenta em
três conjuntos:
S – As situações que tornam os conceitos significativos. (combinação de tarefas)
I - Os invariantes (objetos, propriedades e os conhecimentos contidos nos
esquemas.)
R - As representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar
esses invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos.
Para que os estudantes se apropriem de um determinado conceito faz-se necessária
a apropriação dessa terna. E é por meio das situações a resolver que um conceito adquire
significado para a criança. Neste particular Barbosa, (2008, p.45) registrou que:
Na verdade, estabelece-se uma relação dialética entre as características
específicas do conceito e tais situações e problemas. Afinal, também,
podemos afirmar que são justamente as características específicas do
conceito a ser construído que irão orientar o trabalho do professor na
escolha de situações a serem enfrentadas pela criança.
As aprendizagens matemáticas se baseiam nas relações estabelecidas pelos
problemas e não em que operação aplicar ao problema proposto. O Campo Conceitual
abrange os problemas de estrutura multiplicativa e aditiva. Em nossa pesquisa, analisamos
os procedimentos utilizados para resolver problemas aditivos. Vergnaud (2009, p. 197)
compreende:
Por “problemas de tipo aditivo”, estamos entendendo todos aqueles cuja
solução exige tão somente adições ou subtrações, do mesmo modo pelo
qual entendemos por “estruturas aditivas” as estruturas em que as relações
em jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações.
Na escola, muitas vezes, a adição e a subtração são entendidas apenas como
operações opostas: ganhar e juntar corresponde à adição; já perder e tirar, à subtração. Os
processos de adição e subtração apresentam diversas situações que dão sentido aos
conceitos bem como os invariantes e as representações. Vergnaud (2009, p. 200) apresenta
seis categorias no Campo Aditivo:

Primeira Categoria: Duas medidas se compõem para resultar em uma
terceira

Segunda Categoria: Uma transformação opera sobre uma medida para
resultar em outra medida.

Terceira Categoria: Uma relação liga duas medidas.

Quarta Categoria: Duas transformações se compõem para resultar em uma
transformação.

Quinta Categoria: Uma transformação opera sobre um estado relativo (uma
relação) para resultar em um estado relativo.

Sexta Categoria: Dois estados relativos (relações) se compõem para resultar
em um estado relativo.
A partir das categorias que Vergnaud estabeleceu, Magina (1997) propôs outra
organização: protótipos e mais quatro extensões: 1ª, 2ª, 3ª. e 4ª, cuja ordem é tomada
segundo a apropriação que as crianças fazem dos problemas do campo aditivo. Quanto
mais complexo o problema, maior o grau de sofisticação de suas estruturas. Seguem os
exemplos:
Protótipos- São problemas em cuja resolução a maioria das crianças bem novas (5 ou 6
anos) não apresenta dificuldade. Já está relacionada com suas primeiras experiências com
a no campo aditivo (juntar, ganhar, perder, dar). São os problemas simples em busca do
todo a partir do valor de suas partes (composição), ou em que são dados os estado inicial,
uma transformação, e pede-se o estado final (transformação). Seguem exemplos de
problemas protótipos.
•
Na gaveta de Antônio tem 6 balas de chocolate e 4 de morango. Quantas balas há
na gaveta? (Em busca do todo através da adição)
•
Carol tinha 12 adesivos comprou 4 adesivos. Com quantos adesivos Carol ficou?
(Em busca do estado final através da adição)
•
Carol tinha 12 adesivos. Perdeu 4 adesivos na escola. Com quantos adesivos ficou?
(Em busca do estado final através da subtração)
1ª extensão – Trata dos problemas de transformação, com a transformação desconhecida e
composição, com uma das partes desconhecidas.

Carol tinha 8 adesivos deu alguns e ficou com 4 adesivos. Quantos adesivos ela
deu? (Em busca do valor da transformação, onde o estado inicial é maior que o
estado final).

Carol tinha 4 adesivos comprou alguns e ficou com 8 adesivos. Quantos adesivos ela
comprou? ((Em busca do valor da transformação, onde estado inicial é menor que o
estado final)

Na gaveta de Antônio tem 12 balas de chocolate e morango. 8 balas são de
morango. Quantas são as balas são de chocolate? (Em busca do valor de uma das
partes)
2ª extensão – São os problemas de comparação, cujas situações são estabelecidas na
relação entre uma terna: o referente, o referido e a relação. Nessa extensão é explorada a
busca pelo valor do referido.

Vicente tem 5 anos. Tais tem 7 anos a mais que ele. Quantos anos tem Tais? (em
busca do valor do referido através de uma adição)

Taís tem 7 anos e Vicente 5 anos a menos que ela. Quantos anos tem Vicente? (em
busca do valor do referido através de uma subtração)
3ª extensão – Envolve também problemas de comparação, onde referente e o referido são
conhecidos. O que se busca é o valor da relação.

Taís tem 7 anos e Vicente tem 5 anos. Quem tem mais anos? Quantos a mais? (em
busca do valor da relação através de uma adição)

Taís tem 7 anos e Vicente tem 5 anos. Quem tem menos anos? Quantos a menos?
(em busca do valor da relação através de uma subtração)
4ª extensão – Apresentam-se os problemas que envolvem transformação, em que se
desconhece o valor do estado inicial e de comparação, em que se desconhece o valor do
referente.

Francisca tem alguns chaveiros em sua coleção e ganhou 7 chaveiros de sua filha,
ficando com 18. Quantos chaveiros Francisca tinha antes? (Problema de
transformação em busca do valor do estado inicial, através de uma subtração)

Francisca tem alguns chaveiros em sua coleção deu 7 chaveiros para sua filha,
ficando com 18. Quantos chaveiros Francisca tinha antes? (Problema de
transformação em busca do valor do estado inicial, através de uma adição)

Pedro tem algumas balas e João tem 9 balas a mais que Pedro. Sabendo que João
tem 17 balas, quantas balas tem Pedro? (Problema de comparação em busca do
valor do referente a partir dos valores do referido e da relação, através de uma
subtração.)

Pedro tem algumas balas e João tem 9 balas a menos que Pedro. Sabendo que
João tem 17 balas, quantas balas tem Pedro? (Problema de comparação em busca
do valor do referente a partir dos valores do referido e da relação, através de uma
adição.)
Para cada um dos tipos de problemas, a escolha sobre a operação a ser usada depende
do que é pedido no enunciado. A incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado. Não
precisamos dar importância ao uso de palavras-chave. As crianças devem analisar os dados
do problema para decidir o melhor procedimento a ser usado. Com várias possibilidades de
chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia e criatividade. Para resolver os
problemas, eles analisam os dados e usam procedimentos próprios. O professor propõe
discussões em grupo, o aluno aprende a argumentar para justificar o resultado obtido e
mostrando que procedimentos foram utilizados. O percurso do raciocínio é valorizado, seja
ele feito por meio de procedimentos próprios ou de algoritmos. Vergnaud (2011, p. 16)
afirma que a aquisição das Estruturas Aditivas é um processo que demanda tempo.
Longo prazo” refere-se inevitavelmente a uma perspectiva de desenvolvimento: não é em alguns dias ou em algumas semanas que uma criança
adquire uma competência nova ou compreende um conceito novo, mas,
sim, ao longo de vários anos de escola e de experiência. É a esse processo
que a teoria dos campos conceituais se refere. Entre as primeiras
competências adquiridas pelas crianças de quatro ou cinco anos relativas
ao espaço e aos raciocínios sobre grandezas, por exemplo, e as
competências que ainda trazem dificuldades à parte dos adolescentes de
quinze anos, observam-se numerosas etapas e processos, filiações e
rupturas.
Optamos por trabalhar com os problemas tipo protótipo e os de 1ª e 2ª extensão, porque
que são categorias que os alunos podem levar um tempo mais curto para se apropriar,
enquanto que as de 3ª e 4ª extensão exigem mais complexidade e podem ser trabalhadas
no 4º e 5º ano.
Metodologia
A trajetória de nossa pesquisa ajudou-nos a compreender que adotar a pesquisaação como concepção metodológica seria a melhor forma de compreender a realidade, agir
sobre ela e envolver ativamente os alunos, pois segundo Thiollent (1994), é um processo
que se modifica continuamente pela ação e reflexão da prática do pesquisador.
Primeiramente diagnosticamos o problema que pretendemos melhorar, formulamos as
estratégias de ação, desenvolvemos essas estratégias, avaliamos sua eficiência, ampliamos
a compreensão da nova situação e, por fim, traçamos os mesmos passos para a nova
situação prática. A pesquisa-ação tem se constituído um procedimento voltado para a
resolução de problemas práticos, tornando o pesquisador um participante que intervém nos
rumos da ação de acordo com o decorrer da pesquisa, ajustando, avaliando modificando os
procedimentos se necessário.
Os dados apresentados neste trabalho foram suscitados a partir de um pré-teste em
que participaram 15 alunos do terceiro ano do ciclo, organizados em dois momentos
distintos. No primeiro momento os alunos resolveram 8 problemas do campo aditivo do tipo
protótipos, 1ª e 2ª extensão (Magina, 2001) com números de ordem de grandeza menor e
num segundo momento resolveram problemas do mesmo tipo com números de ordem de
grandeza das dezenas. A tabela abaixo mostra o percentual de acertos em cada tipo de
problema.
Tabela 1- Desempenho dos alunos de acordo de com o tipo de problema
Tipo de situação-problema
% de acertos
% de acertos
Números <
Números >
Protótipo composição (Todo desconhecido)
93%
40%
Protótipo transformação ( adição/estado final desconhecido)
93%
47%
Protótipo transformação (subtração/ estado final desconhecido
93%
60%
Composição ( uma das partes desconhecida) 1ªextensão
87%
27%
Transformação desconhecida (adição F>I) 1ª extensão
80%
20%
Transformação desconhecida (subtração F<I) 1ª extensão
87%
40%
Comparação (adição) Referido desconhecido 2ª extensão
80%
27%
Comparação (subtração) Referido desconhecido 2ª extensão
60%
20%
Após a aplicação do pré-teste, foi possível verificar que o maior número de acertos está nas
situações-problema com números de ordem de grandeza menor, mas quando a ordem de
grandeza destes aumentou, o número de acertos diminuiu consideravelmente. Analisando
melhor essa questão, foi constatado que os alunos ainda não compreendiam o Sistema de
Numeração Decimal e suas propriedades, principalmente o valor posicional dos algarismos,
o que dificultava a resolução de problemas na hora de utilizar procedimentos próprios
(cálculo mental) ou fazer algoritmos. Percebeu-se que seria necessário um trabalho que
desenvolvesse essas habilidades de cálculo, para que fosse possível começar um trabalho
com resolução de problemas.
Além das dificuldades envolvidas no ensino das Estruturas Aditivas, não foi possível
realizar as intervenções com toda a turma, como era nossa primeira intenção, devido ao
grande número de falta dos alunos e da estrutura da escola. Selecionamos então, um grupo
de quatro alunos que desde então participa de encontros sob nossa intervenção.
Nesses encontros buscamos utilizar estratégias que levassem os alunos a autonomia
para resolução de problemas, preparando-os para um espaço de diálogo e interação.
Facilitando assim a aprendizagem, e permitindo que construíssem seu conhecimento com
participação ativa e a cooperação de todos os envolvidos, oferecendo oportunidades para
discussão, reflexão e o encorajamento para arriscar e descobrir em grupo.
Com esse objetivo, utilizamos o jogo como uma atividade de intervenção na qual os
alunos pudessem interagir com as situações vivenciadas, gerando representações
simbólicas que os auxiliassem na compreensão das estruturas aditivas.
Acreditamos que a dificuldade de compreensão de problemas aditivos tem um forte
componente representacional e, por isso, ensinar o aluno a representar problemas aditivos
em contextos que lhes são familiares como um jogo pode auxiliá-los na compreensão dos
mesmos. Nossa opção pelo trabalho com jogos se dá por seu grande potencial didático, que
extrapola o âmbito do conteúdo Matemático propriamente dito, conforme apontado por
Macedo (2000, p. 23)
[...]a discussão desencadeada a partir de uma situação de jogo, mediada
por um profissional, vai além da experiência e possibilita a transposição das
aquisições para outros contextos. Isto significa considerar que as atitudes
adquiridas no contexto de jogo tendem a tornar-se propriedade do aluno,
podendo ser generalizadas para outros âmbitos[...]
Esta pesquisa utilizou o jogo “Rouba Monte” Starepravo (2006) como recurso
didático, que provou ser um jogo bastante atrativo para crianças de nove anos e está
oportunizando a criação de várias situações-problema.
Em nossa versão do jogo, utilizamos baralhos com cartas de Às a 10, retirando as
cartas figuradas e mantendo o Às com valor de 1 e confeccionamos também cartas de 11 a
99. No jogo o número de participantes é de quatro alunos. Na mesa ficam dois montes de
cartas e cada jogador retira uma carta de cada monte e coloca-as à sua frente com as faces
numeradas para baixo. Dando início ao jogo, cada um vira suas cartas e soma ou subtrai os
valores (conforme o combinado). Aquele que obtiver o valor mais alto fica com as todas as
cartas. Em caso de empate, cada jogador abre mais duas cartas e quem tiver a maior
resultado da soma ou subtração na rodada fica com as cartas. Vence aquele que no final do
jogo, tiver ganhado mais cartas.
O objetivo é que os estudantes desenvolvessem estratégias de cálculos de adições e
subtrações, podendo utilizar os dedos para a contagem, decompor os números em
diferentes parcelas ou outros procedimentos. Primeiramente, utilizamos as cartas de Às a 10
e, posteriormente, introduzimos as cartas de valor maior (11 a 99) para que se apropriassem
gradativamente do cálculo mental, memorizando as somas mais simples para aumentar seu
repertório de cálculos simples que servem como base para fazer o cálculo pensado ou
refletido. O cálculo mental tem papel importante na construção dos conhecimentos
matemáticos. E como Parra (1996, p. 189) afirma:
Os procedimentos de cálculo mental se apoiam nas propriedades do
sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações, e
colocam em ação diferentes tipos de escrita numérica, assim como
diferentes relações entre os números.
Através do jogo, como situação-problema sugerimos que os alunos tentassem
resolver as situações e registrassem seus procedimentos. No decorrer do jogo fazíamos
intervenções para que as crianças refletissem sobre seus procedimentos de cálculo e sobre
as propriedades dos números envolvidos no jogo.
.
Resultados Parciais
Parra (1996, p. 195) afirma que as aprendizagens no terreno do cálculo mental
influem na capacidade de resolver problemas. Nossa pesquisa tem demonstrado que o jogo
Rouba Monte é recurso valioso para o avanço dos alunos nesse terreno. Durante o jogo os
alunos se depararam com várias situações-problema. Nos primeiros encontros, os
estudantes calculavam o valor da soma ou da subtração contando os dedos. E agora já se
apropriam do cálculo mental para resolver os problemas. Sob nossa intervenção as crianças
socializam seus procedimentos e ajudam seus parceiros a avançar no conhecimento da
adição e da subtração. Após o jogo, realizam problemas aditivos em outro contexto e
discutem seus procedimentos com o grupo. Concordamos com Vergnaud (2011, p.26)
quando afirma que:
O professor é um mediador essencial, evidentemente, mas seu papel não
se limita a acompanhar a atividade dos alunos, tutelando-os: a presente
contribuição tenta mostrar que, na profissionalização do professor, são
essenciais as duas funções, a da escolha das situações a serem propostas
aos alunos, e a da representação de sua estrutura conceitual por meio de
formas simbólicas acessíveis.”
Para que o professor possa ser um mediador eficaz assegurando que seus alunos
realmente aprendam a resolver problemas de diversas extensões, seja utilizando
procedimentos próprios, é necessário que ele se aproprie desse conhecimento. Estamos
constatando que o conhecimento docente em relação aos Campos Conceituais e ao cálculo
mental é adstrito e há um longo caminho a ser percorrido, pois a aquisição desses
conhecimentos demanda tempo e investimento por parte dos professores.
É responsabilidade da escola, criar espaços de auto-formação, onde os professores
estudem e troquem experiências com seus pares, instrumentalizando-os a fazer um trabalho
consistente na matemática.
No cotidiano escolar percebemos que há um divórcio entre os alunos e a
matemática, o que nos parece sugerir que a escola não está cumprindo seu papel de
promover uma aprendizagem verdadeira nessa área de conhecimento. Acreditamos que a
Matemática, além de beneficiar no indivíduo a capacidade de resolver problemas da vida
cotidiana, contribui com a construção de conhecimento em outras áreas.
Referências
BARBOSA, G . O Teorema Fundamental da Aritmética: Jogos e problemas com alunos do
sexto ano do Ensino Fundamental. 2008. 45f. Tese (Doutorado em Educação Matemática)
– Faculdade de Educação, Pontifícia Universidade Católica São Paulo, São Paulo.
MACEDO, L. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.
MAGINA, S.; CAMPOS,T; NUNES,T., GITIRANA,V. Repensando Adição e Subtração:
Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, Ed. PROEM Ltda, São Paulo, 2001
PARRA, C. Cálculo Mental na escola primária. In: PARRA, Cecilia. Didática da Matemática.
Porto Alegre: Artmed, 1996, p. 186 a 226.
SANTANA, E. Estruturas Aditivas - O suporte didático influencia a aprendizagem do
estudante. 2010. 29f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Faculdade de
Educação, Pontifícia Universidade Católica São Paulo, São Paulo.
STAREPRAVO, A. Jogos para ensinar e aprender matemática. Curitiba: Coração Brasil,
2006.
THIOLLENT, M. Metodologia da pesquisa-ação. São Paulo: Cortez, 1994.
VERGNAUD, G. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das matemáticas. Um
exemplo: as estruturas multiplicativas. Análise Psicológica, 1, 1986, p.75-90.
___ La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathématiques, 1990,
vol 10, n°2.3, pp. 133-170. Pensée Sauvage: Grenoble, França.
___ A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola
elementar. Curitiba: Ed UFRP, 2009.
___ O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática - Educar em Revista, Curitiba,
Brasil, n. Especial, jan. 2011. Disponível em:
<http://www.scielo.br/pdf/er/nse1/02.pdf >
Acesso em: 25 de março de 2014.
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