x - PET Engenharia Elétrica
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Plano Básico Equações Diferenciais PET ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL ORIENTADOR: LEONARDO OLÍMPIO LOPES Felipe Pontes Samara Fava Rafael Martins Hydelo Wagner Robson Cardoso Fortaleza, 02 de fevereiro de 2007. TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUÇÃO - TL Ferramenta utilizada na resolução de muitos problemas práticos de engenharia envolvendo sistemas mecânicos ou elétricos em que atuam agentes impulsivos ou descontínuos. Utilidade decorrente da necessidade de representar funções temporais no domínio da freqüência complexa; Por meio da mesma, as equações diferenciais que descrevem um modelo físico podem ser resolvidas através de uma manipulação algébrica; INTRODUÇÃO DEFINIÇÕES IMPORTANTES A Transformada de Laplace de f(t), que será simbolizada por L{f(t)} = F(s) se define pela equação L{ f (t )} F ( s) e st f (t )dt. 0 A Integral imprópria acima deve convergir para um valor limite. Tal convergência ocorre para determinadas condições. Uma função f(t) é seccionalmente contínua num intervalo qualquer se o intervalo puder se dividido num número finito de pontos de modo que: - f(t) seja contínua em cada subintervalo aberto - f(t) tem um limite finito nas fronteiras de cada subintervalo. DEFINIÇÕES IMPORTANTES Teorema: A transformada de Laplace de uma função existe se for convergente. Para tal, é suficiente que satisfaça as seguintes condições: f(t) seja seccionalmente contínua no intervalo 0 ≤ t ≤ A para qualquer A positivo. |f(t)| ≤ Keat quando t ≤ M. Nesta desigualdade, K, a e M são constantes reais, K e M necessariamente positivas (ordem exponencial). Teorema da Unicidade: Sejam f(t) e g(t) funções convergentes, então: L{ f (t )} L{g (t )} f (t ) g (t ) EXEMPLOS Seja f(t) = 1, t ≥ 0. Então 1 L{e } e dt e st dt , s 0 s 0 0 st at Seja f(t) = eat, t ≥ 0. Então L{e } e e dt e ( s a )t dt at st at 0 0 1 ,s0 sa Seja f(t) = sen(at), t ≥ 0. Então L{sen(at )} F ( s) e st sen(at )dt 0 e st cos at A s A a st st F ( s) lim e sen(at )dt lim e cos atdt A0 A0 a a0 s ² a ² 0 0 A PROPRIEDADES DA TL 1. Linearidade (Operador Linear): L{c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )} c1L{ f1 (t )} c2 L{ f 2 (t )}. 2. Ao sofrer um Deslocamento: L{ f (t a)} e at F (s) 3. Ao sofrer uma Mudança de escala: L{ f (at )} 1 s F , a 0 a a SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL A utilidade da TL na resolução de problemas de valor inicial com equações diferenciais de coeficientes constantes baseia-se no fato de a transformada f´ ter uma relação simples com a transformada de f. Teorema 1: Seja f uma função contínua e f ´ uma função seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 ≤ t ≤ A. Supondo, além disso, que existem as constantes K, a e M tais que |f(t)| ≤ Keat para t ≥ M. Então L{f ´(t)} existe para s > a e, além disso, L{ f ´(t )} sL{ f (t )} f (0), df L sF ( s) f (0). dt SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Se f´ e f´´ satisfazem as mesmas condições impostas por f e f’, a transformada de Laplace para f´´ também existe (para s> a) e é dada por: L{ f ´´(t )} s² L{ f (t )} sf (0) f ´(0) Teorema 2: Sejam f´, f´´, ..., f(n-1) funções contínuas e f(n) seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 ≤ t ≤ A. Supondo, além disso, que existem as constantes K, a e M tais que |f(t)| ≤ Keat, |f´(t)| ≤ Keat, ..., |f (n-1)(t)| ≤ Keat para t ≥ M. Então L{f (n)(t)} existe para s >a e é dada por TL{ f ( n) (t )} s nTL{ f (t )} s n1 f (0) ...sf ( n2) (0) f ( n1) (0). SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Exemplo: Seja o seguinte modelo de um sistema: y´´ ay´ by r(t) y(0) k0; y´(0) k1 r(t) entrada do sistema y(t) resposta à entrada do sistema 1° Passo: Aplicar a transformação de laplace da derivada (Teorema 2, com n = 2): s²Y (s) sy(0) y´(0) a[sY (s) y(0)] bY (s) R(s) SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 2° Passo: Resolução algébrica da equação obtida no primeiro passo e Substituição dos valores iniciais: (s² as b)Y (s) (s a) y(0) y´(0) R(s) Y ( s) (as b)k 0 ak 1 R( s ) as 2 bs c as 2 bs c 3° Passo: Decomposição da equação em frações parciais, cujas transformadas inversas tabeladas permitem obter a resposta desejada. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Exemplo de Cálculo da Transformada Inversa: Calcule a Transformada Inversa de: F ( s) Expandindo em frações parciais: s3 A B F ( s) ( s 1)( s 2) s 1 s 2 A 2; B 1 Podemos escrever F(s) como sendo: F ( s) 2 1 s 1 s 2 A partir de valores tabelados, temos que: f (t ) 2et e2t s3 s ² 3s 2 TABELA - TRANSFORMADAS FUNÇÕES DEGRAU Algumas entre as mais interessantes aplicações elementares do método da transformadas aparecem na resolução de equações diferenciais lineares com funções de entradas descontínuas ou impulsivas. A função degrau unitário é definida por: 0, uc (t ) 1, t c, t c, c 0. FUNÇÕES DEGRAU Em termos da função degrau podemos escrever uma função g(t) correspondente a f(t) da forma conveniente: g (t ) uc(t ) f (t c) A Transformada de Laplace de uc é fácil de determinar: e sc L{uc(t )} e uc(t )dt e .1dt s 0 c st st Teorema 3: Se F(s) = L{f(t)} existe para s >a e se c é uma constante positiva: uc(t ) f (t c) L1{ecs F (s)} FUNÇÕES IMPULSO o Em algumas aplicações, é necessário tratar fenômenos de natureza impulsiva, por exemplo, forças de módulo grande que atuam por um curto período de tempo. o O impulso unitário não-deslocado é 0, exceto para t = 0, onde seu valor tende a infinito. Porém, a sua área tende a 1. (t ) 0, t 0 (t )dt (t )dt 1 FUNÇÕES IMPULSO A transformada de Laplace para o impulso em t = 0 é dada por: 0 L{ (t )} (t )e st dt (t )e s 0 dt 1 O impulso pode ser deslocado e a transformada de Laplace é dada por: L{ (t a)} (t a)e dt 0 st a a sa sa ( t a ) e dt ( t a ) e dt e a st a FUNÇÕES IMPULSO Exemplo: Encontre a solução do problema de valor inicial: 2 y´´ y´2 y (t 5) y(0) 0; y´(0) 0 Aplicando a transformada de Laplace para a equação diferencial: (2s ² s 2)Y (s) e5s Assim, e 5 s 1 Y ( s) 2 ( s 1 / 4)² 15 / 16 FUNÇÕES IMPULSO Cálculo da Transformada Inversa: De valores tabelados, sabemos que: 1/ 2 2 t / 4 4 L { } e sen( t) ( s 1 / 4)² 15 / 16 15 15 1 Do Teorema 3 visto anteriormente, concluímos que: 2 ( t 5 ) / 4 15 L {Y ( s)} u 5(t ) e sen (t 5) 4 15 1 CONVOLUÇÃO Teorema: Se ambas F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)} existem para s>0, então: H ( s) F ( s )G ( s) L{h(t )}, s a h(t ) f (t ) g (t ) t t 0 0 h(t) f (t ) g ( )d g (t ) f ( )d A função h é conhecida como a convolução de f e g. De acordo com este teorema, a transformada da convolução de duas funções, ao invés da transformada do produto usual f(t)g(t), é dada pelo produto das transformadas separadas. CONVOLUÇÃO Propriedades da Convolução: f *g g* f (comutatividade) f * ( g1 g 2) f * g1 f * g 2 (distributi vidade) ( f * g ) * h f * ( g * h) (associativ idade ) As convoluções aparecem em diversas aplicações onde o comportamento do sistema em qualquer instante t não depende apenas do estado no instante t, mas também da história de seus estados passados. APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS Problema: Determinar a tensão nos terminais do capacitor para uma entrada impulsiva, vez que a Vc(0) = 0 e I(0) = 0. APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS As equações diferenciais que descrevem o circuito são as seguintes: di Vc L Ri 0 dt Vc Vi dVc iC 0 R dt As transformadas de Laplace das 2 equações acima são dadas por: Vc ( s) Vi ( s) I ( s) C[ sVc( s) v(0)] R R Vc ( s) L[ sI ( s) i(0)] 2 I ( s) 0 APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS Substituindo equações: os valores de R,L,C e rearranjando as Vc ( s) 1 Vi ( s) v(0) I ( s) sVc( s) (1) 2 2 R 2 V ( s) Li(0) I ( s) (2) 2s 2 Substituindo 2 em 1: s 1 s 1 2 V ( s) Vi ( s) v(0) i(0) s ² 2s 2 s ² 2s 2 s ² 2s 2 APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS Uma vez que v(0)=0 e i(0)=0 (condições iniciais dadas) e Vi(s) = 1: s 1 V ( s) s ² 2s 2 Calculando, em seguida, a inversa da transformada obtemos: V (t ) exp( t ) cos(t ) Aplicação - Laplace Apresentação do motor de corrente contínua Equacionamento no domínio do tempo Equacionamento no domínio da freqüência (Transformada de Laplace) Obtenção da função de transferência Simulação Apresentação do motor de corrente contínua Equacionamento no domínio do tempo Equação elétrica do M.C.C. dia (t ) va (t ) Ra ia (t ) La e(t ) dt •va (t) = tensão de armadura •Ra = Resistência de armadura •Ia (t) = corrente de armadura •La= Indutância de armadura •e(t) = Força contra-eletromotriz Equacionamento no domínio do tempo Equação mecânica do M.C.C. d (t ) T (t ) J f (t ) dt T(t) = Torque J = Momento de inércia ω(t) = Velocidade angular f = coeficiente de atrito viscoso Equacionamento no domínio do tempo Equações eletromecânicas do M.C.C. T (t ) kia (t ) e(t ) k (t ) kΦ = Constante da força contra-eletromotriz Equacionamento no domínio da freqüência (Transformada de Laplace) Aplicando-se a transformada de Laplace nas equações no domínio do tempo, obtiveram-se as equações no domínio da freqüência: Va (s) Ra I a (s) sLa I a (s) E(s) T (s) Js(s) f(s) T ( s) kI a ( s) E ( s) k ( s) Obtenção da função de transferência Função de transferência de um sistema é a representação das equações elétricas e mecânicas obtida através da relação entre a saída e a entrada do sistema. Das equações anteriores, tem-se que: I a ( s) 1 Va ( s) E ( s) sLa Ra ( s) T ( s) 1 Js f T (s) k I a (s) E ( s) k ( s) Obtenção da função de transferência Unindo os blocos anteriores, chega-se ao seguinte diagrama de blocos: Sendo a entrada do sistema a tensão aplicada à armadura do motor e a saída que se queira, a velocidade, tem-se que a função de transferência é: ( s) k Va ( s) La Js 2 ( Ra J La f ) s Ra f (k ) 2 Simulação Utilizando-se o Matlab/Simulink, foi simulado o sistema do motor de corrente contínua mostrado anteriormente. Os valores utilizados foram: Ra = 2.17Ω, La = 46.34mH, J = 1.87, f = 0.1 e kΦ = 1.9 Simulação Simulação Simulação Simulação Agora, os valores utilizados foram: Ra = 0.217Ω, La = 46.34mH, J = 1.87, f = 0.1 e kΦ = 1.9 Simulação Simulação Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier Apresentação Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com Dois Pontos Séries de Fourier Teorema de Convergência de Fourier Condução de Calor em uma Barra Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com Dois Pontos y’’+ p(x)y’ + q(x)y = g(x) Condições de contorno: y(α) = y0 , y(β) = y1 . Resolução: Encontrar y como função de x (solução geral da equação diferencial) e usar as condições de contorno para determinar os valores das constantes arbitrárias. Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com Dois Pontos Problemas de contorno lineares: - Homogêneos: se g(x) = 0 para todo x e se y0 e y1 também são nulos. Pode ter somente a solução trivial ou outras soluções não-triviais. - Não-homogêneos: caso contrário. Pode ter só uma solução, nenhuma ou infinitas soluções. Séries de Fourier Se uma função f(x) é periódica de período 2L e é integrável de no intervalo [-L,L], ela pode ser expressa como uma série infinita de senos e/ou cossenos: a0 mx mx f ( x) am cos bm sen 2 m1 L L A série de Fourier associa-se com o método de separação das variáveis e com as equações diferenciais parciais. - Propriedades das funções seno e cosseno: Periodicidade As funções sen e cos(mπx/L) têm período fundamental T = 2L/m. L 0, m n mx nx cos dx cos L L L, m n L L mx nx sen dx 0 (u, v) u ( x)v( x)dx 0 cos L L L L 0, m n mx nx sen sen dx L L L L, m n Ortogonalidade Produto interno nulo: - - As fórmulas de Euler-Fourier Se a série de Fourier converge para uma função f(x), tem-se que a0 mx mx am cos bm sen f(x) = 2 m1 L L Como conseqüência das condições de ortogonalidade, pode-se encontrar a relação entre os coeficientes am, bm e f(x): 1 mx am f ( x) cos dx, m 0,1,2,... L L L 1 mx bm f ( x) sen dx, m 1,2,3,... L L L Funções pares e ímpares - Função par: f(-x) = f(x) - Função ímpar: f(-x) = -f(x) Pelas propriedades das funções pares e ímpares, tem-se que: - a0 mx am cos f par: f ( x) 2 m1 L - mx f ímpar: f ( x) bm sen L m 1 Exemplo Fazer o desenvolvimento de Fourier para a função periódica f(x) = |x|, definida sobre [−π , π]. Solução: Período = 2π => L = π. 0 Pela fórmula: 1 0.x 1 1 1 a0 | x | cos dx | x |dx xdx xdx 0 0 1 mx 1 1 4 am | x | cos dx x cos(mx)dx x cos(mx)dx 2 , para m 0 n ímpar ou zero para m par. bm 1 | x | sen mx dx 1 0 1 xsen(mx)dx xsen(mx)dx 0. 0 a0 mx mx 4 1 mx am cos bm sen Assim, f(x) = 2 cos 2 m1 L L 2 m1 m f ( x) 2 4 1 1 (cos( x) cos(3x) cos(5 x) ...) 9 25 Análise da aproximação: Teorema de Convergência de Fourier Suposições: f e f’ são seccionalmente contínuas no intervalo –L ≤ x < L; f está definida fora do intervalo –L ≤ x < L; f é periódica com período 2L. Teorema: A série de Fourier converge para f(x) em todos os pontos onde f é contínua e converge para [f(x+) + f(x-)]/2 em todos os pontos onde f é descontínua. Exemplo 0, L x 0 Seja f ( x) e seja f definida fora desse intervalo L,0 x L de forma que f(x+2L) = f(x) para todo x. Encontrar a série de Fourier dessa função e determinar onde ela converge. Solução: Análise da continuidade. Converge? Pela fórmula, L L 1 a0 f ( x)dx dx L L L 0 1 mx mx am f ( x) cos dx cos dx 0, m 0 L L L L 0 L L 1 mx mx L 2 L , para m ímpar ou bm f ( x) sen dx sen dx (1 cos m ) L L L L m m 0 L zero para m par. Portanto, L Fenômeno de Gibbs. Condução de Calor em uma Barra Problema: Barra de seção reta uniforme e material homogêneo; Lados perfeitamente isolados; u(x,0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L, onde f é uma função dada; u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0. Equação do calor: α2uxx = ut 0 < x < L, t >0, onde α2 é uma constante conhecida como difusividade térmica e depende apenas do material do qual é feita a barra. Por hipótese: u(x,t) = X(x)T(t). Mas como α2uxx = ut → α2X’’T = XT’. Separando variáveis: X '' 1 T' 2 X T Obtém-se, então, as seguintes equações diferenciais ordinárias: '' X X 0(1) ' 2 T T 0(2) Com as condições iniciais, encontra-se que X(0) = 0 e X(L) = 0. Resolvendo-se (1), encontra-se que as soluções não-triviais são as Autofunções X n ( x) sen(nx / L), n 1,2,3,... Associadas aos autovalores λn = n2π2/L2, n = 1, 2, 3, ... Substituindo λ na equação (2), observa-se que T(t) é proporcional a exp(-n2π2α2t/L2). Dessa forma, concluiu-se que u ( x, t ) c e n 1 n 2 2 2t / L2 n nx sen( ) L Ora, mas como u(x,0) = f(x), encontram-se os coeficientes cn em função de f(x) pela seguinte relação: 2 nx cn f ( x)sen( )dx L0 L L Que é exatamente a série de Fourier em senos de f. Exemplo Encontrar a temperatura u(x,t) em qualquer instante em uma barra de metal de comprimento é de 50cm, que está a uma temperatura uniforme inicial de 20°C em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a 0°C para todo t > 0. Solução: Seja L = 50 e f(x) = 20 para 0 < x < 50. Logo, aplicando diretamente na fórmula de u(x,t) e cn, tem-se que e Exemplo Substituindo cn em u(x,t), encontra-se: Para α2 = 1: Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem Apresentação Conceitos Básicos Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes Constantes 1º Caso: Autovalores Reais Distintos 2º Caso: Autovalores Complexos 3º Caso: Autovalores Repetidos Conceitos Básicos Seja um sistema de equações lineares de primeira ordem: x'1 p11(t ) x1 ... p1n (t ) xn g1 (t ) x' p (t ) x ... p (t ) x g (t ) n1 1 nn n n n Esse sistema pode ser escrito na forma matricial: x'1 p11 p1n x1 g1 (t ) x' p p x g (t ) nn n n n n1 Conceitos Básicos De forma simplificada: x' P(t)x G(t) Considere a equação homogênea: x' P(t)x Resolvendo-a, as soluções serão: x11(t ) x1k (t ) (1) (k) x (t) ,, x (t) x (t ) x (t ) n1 nk Conceitos Básicos Teorema: Se as funções vetoriais x(1) e x(2) são soluções do sistema, então a combinação linear c1x(1) + c2 x(2) também é solução quaisquer que sejam c1 e c2. Pelo princípio da superposição, x também é solução: x = c1x(1) + c2 x(2) + ... + ck x(k) Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes Constantes Seja uma matriz constante n x n. Então, tem-se o sistema: x' Ax Note que se n=1, o sistema se reduz a uma única equação de primeira ordem: dx ax dt Sua solução é: x ce at Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes Constantes Procedendo por analogia ao tratamento de equações diferenciais de segunda ordem, deve-se encontrar uma solução da forma: rt x ξe Em que o vetor ξ e o expoente r são constantes e devem ser determinados. Substituindo a solução na equação x’ = Ax: rξe rt Aξe rt Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes Constantes Cancelando o termo não nulo ert, tem-se: (A rI)ξ 0 Em que I é a matriz identidade n x n. Essa última equação determina os autovalores e os autovetores da matriz A. 1º Caso: Autovalores Reais Distintos Considere o sistema: Procura-se uma solução na forma: 1 1 x x' 4 1 x ξe rt Substitiuindo na equação: 1 1 0 1 r ( A rI)ξ 0 4 1 r 2 0 1º Caso: Autovalores Reais Distintos Fazendo o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero: 1 r 1 0 r 2 2r 3 0 4 1 r Então, os autovalores são r1=3 e r2 = -1. Assim: 1 r1 3 2 21 ξ 2 1 (2) r2 1 2 21 ξ 2 (1) 1º Caso: Autovalores Reais Distintos Assim, as soluções são: x (1) x (2) 1 3t e 1 3t 1 t 2 x c1 e c2 e 1 t 2 2 e 2 x1 c1e3t c2 e t x2 2c1e3t 2c2 e t 1º Caso: Autovalores Reais Distintos Assim, pode-se traçar o plano de fases, plano x1x2, do sistema com suas trajetórias. Cada trajetória corresponde a uma solução com suas constantes c1 e c2 correspondentes. c1 e c2 dependem das condições iniciais do sistema. 1º Caso: Autovalores Reais Distintos 1 1 x x' 4 1 r1=3 r2=-1. Autovalores têm sinais opostos x=0 Ponto de sela Ponto de sela assintoticamente instáveis. Por exemplo, quando c1 = 1 e c2 = 0: x1 e3t reta x1 2 x2 3t x2 2e 1º Caso: Autovalores Reais Distintos 3 2 x x' 2 2 r1=-1 r2=-4. Autovalores são distintos e têm mesmo sinal x=0 Nó Sinal negativo Nós assintoticamente estáveis. Sinal positivo Nós assintoticamente instáveis. 2º Caso: Autovalores Complexos Seja o autovalor r e seu autovetor associado: r i (1) a ib Tem-se que a solução x(1) é: x (1) a ib e i t a ib e t (cos t i sin t ) x (1) e t (a cos t b sin t ) ie t (a cos t b sin t ) x (1) u (t ) iv (t ) t u(t) Re{x } e (a cos t b sin t ) (1) t v(t) Im{x } e (a cos t b sin t ) (1) 2º Caso: Autovalores Complexos Exemplo: Seja o sistema: 1 x' 2 1 1 x 1 2 Os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes são: 1 1 (1) r1 i ξ 2 i 1 1 ( 2) r2 i ξ 2 i 2º Caso: Autovalores Complexos Um conjunto fundamental de soluções é: x x (1) 1 ( 1/ 2i )t e i x (2) 1 ( 1/ 2i )t e i Para encontrar um conjunto de soluções reais, deve-se achar a parte real e imaginária de x(1) ou de x(2). (1) e t / 2 cos t e t / 2 sin t 1 t / 2 i t / 2 e (cos t i sin t ) t / 2 e cos t i e sin t t / 2 cos t t / 2 sin t v(t ) e ' u(t ) e sin t cos t 2º Caso: Autovalores Complexos Então, tem-se a solução real: x c1u(t ) c2 v(t ) x c1e t / 2 cos t t / 2 sin t c2 e sin t cos t x1 e t / 2 (c1 cos t c2 sin t ) x2 e t / 2 (c1 sin t c2 cos t ) 2º Caso: Autovalores Complexos 1 x' 2 1 r1=-1/2+i r2=-1/2-i. Autovalores são complexos com parte real negativa: 1 x 1 2 x=0 Ponto espiral, assintoticamente estável. Se Autovalores são complexos com parte real positiva: x=0 Ponto espiral, assintoticamente instavel. 2º Caso: Autovalores Complexos 0 1 x x' 1 0 r1=i r2=-i. Autovalores são complexos com parte real nula: x=0 Centro, estável, mas não assintoticamente. 3º Caso: Autovalores Repetidos Seja o sistema: A matriz dos coeficientes possui um autovalor r = 2 com multiplicidade 2. 1 1 x x' 1 3 Assim, só possui um autovetor associado: r1 r2 2 ξ (1) 1 1 3º Caso: Autovalores Repetidos Então, tem-se uma primeira solução: x (1) 1 2t e 1 A segunda solução será da forma: x ξte 2t ηe2t Substituindo na equação x’=Ax: 2ξte 2t (ξ 2ηe2t ) A(ξte 2t ηe2t ) 3º Caso: Autovalores Repetidos Igualando os coeficientes de te2t e e2t: ( A 2I)ξ 0 (I) ( A 2I) η ξ (II) (I) é satisfeita se ξ for um autovetor associado ao autovalor 2 da matriz A. Assim: (II): 1 ξ 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 1 1 3º Caso: Autovalores Repetidos Então: 1 2 1 Se 1 k 2 k 1 k 0 1 k η 1 k 1 1 E a solução será: 1 2t 0 2t 1 2t x te e k e 1 1 1 3º Caso: Autovalores Repetidos 1 2t 0 2t 1 2t x te e k e 1 1 1 O último termo é um múltiplo do primeiro termo, podendo ser ignorado. Então, a segunda solução é: 1 2t 0 2t x (t) te e 1 1 ( 2) 3º Caso: Autovalores Repetidos A solução geral é: x c1x (1) (t) c2 x ( 2) (t) 1 2t 0 2t 1 2t x c1 e c2 te e 1 1 1 2º Caso: Autovalores Complexos 1 1 x x' 1 3 r1=2 r2=2. Autovalores repetidos x=0 Nó Impróprio Sinal negativo Nós assintoticamente estáveis. Sinal positivo Nós assintoticamente instáveis. Equações Diferenciais Não-Lineares e Estabilidade O Plano de Fases Sistemas Autônomos e Estabilidade Sistemas Quase-lineares A Equação Predador-Presa Atratores Estranhos O Plano de Fase x' Ax Autovalores r1 r2 0 r1 r2 0 r2 0 r1 r1 r2 0 r1 r2 0 r1 , r2 i det A rI 0 det A 0 Tipo de Ponto Crítico Estabilidade Nó Nó Ponto de Sela Nó Pr. Ou Impr. Nó Pr. Ou Impr. Ponto Espiral Instável Assim. Estável Instável Instável Assim. Estável Instável Assim. Estável Estável 0, 0 r1 i , r2 i Centro O Plano de Fase r1 r2 0 r1 r2 0 r1 r2 0 r1 i , r2 i r1 , r2 i r2 0 r1 2 1 2 0 0 -1 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 r1 r2 0 1.5 Sistemas Autônomos e Estabilidade •Sistemas autônomos têm F e G sem a variável t explicitamente. dx F x, y dt dy G x, y dt •O caso mais simples de Sistemas autônomos é o sistema abaixo em que a matriz A é constante. x' Ax •A interpretação imediata para o comportamento de sistemas autônomos. Sistemas Autônomos e Estabilidade Observe o comportamento de um sistema autônomo: 4 3.5 3 2.5 2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Observe o comportamento de um sistema que não é autônomo: 15 t=.5 t=1 10 t=.25 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Sistemas Autônomos e Estabilidade •Ponto Crítico Estável •Ponto Crítico Assintoticamente Estável •Ponto Crítico Instável Sistemas Quase-lineares •Observemos um caso especial em que o ponto crítico é ligeiramente modificado O r1 i , r2 i PERTURBAÇÃ r1 , r2 i 2 1 0 -1 -2 -1.5 0 Instável 0 Estável -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Sistemas Quase-lineares x' Ax Autovalores r1 r2 0 r1 r2 0 r2 0 r1 r1 r2 0 r1 r2 0 r1 , r2 i 0, 0 r1 i , r2 i det A rI 0 det A 0 Tipo de Ponto Crítico Estabilidade Nó Nó Ponto de Sela Nó Pr. Ou Impr. Nó Pr. Ou Impr. Ponto Espiral Instável Assim. Estável Instável Instável Assim. Estável Instável Assim. Estável - - Sistemas Quase-lineares •Considere o sistema não linear abaixo x' f (x) •Nosso objetivo é analisar os pontos críticos do sistema não-linear x' Ax g(x) •Ponto crítico (origem) u x x0 •Então deve acontecer || g(x) || || x || 0 F x, y e Gx, y forem quando x 0 diferencia veis duas vezes •O sistema que obedece essa relação é denominado quase-linear Sistemas Quase-lineares Desenvolvimento em série de Taylor F x, y dx dy , Gx, y dt dt F x, y F x0 , y0 FX x0 , y0 x x0 FY x0 , y0 y y0 1 x, y Gx, y Gx0 , y0 GX x0 , y0 x x0 GY x0 , y0 y y0 2 x, y Observa-se que F x0 , y0 , Gx0 , y0 0 1 x, y ,2 x, y Desprezíveis perto do ponto crítico Ficamos com d x x0 FX x0 , y0 FY x0 , y0 x x0 dt x x0 GX x0 , y0 GY x0 , y0 x x0 Este é o sistema linear que aproxima o sistema não-linear na vizinhança do ponto crítico A equação Predador-Presa •Este é o modelo em que uma espécie se alimenta da outra espécie mais vulnerável. Há muitas aplicações para estes modelos, principalmente em estudos ecológicos. •No mundo real, poderíamos entender o comportamento das populações de coelhos e raposas em uma floresta fechada. •Existem várias formas do modelo predador-presa. No entanto estamos interessados no modelo em que, na ausência do predador, a população da presa se comporta segundo uma equação logística. A equação Predador-Presa A equação logística tem a forma: dy dy y r ay y r 1 y dt dt K r Taxa intrínseca de crescimento K Capacidade ambiental de sustentação 6 Exemplo Numérico ( r 0,71 / ano; K 80,5.10 Kg ) 7 y (kg) 15 x 10 Massa da população em função do tempo 0 1 10 5 0 2 3 4 t (anos) 5 6 7 A equação Predador-Presa 1. Na ausência do predador, a presa cresce segundo a equação logística dx x xa x ax1 , y 0 dt K 2. Na ausência da presa dy cy , x 0 dt 3. O número de encontros do predador e da presa é proporcional ao produto das respectivas populações dx xa xx xy xa x y dt dy cy xy y c x dt a Observação: c A equação Predador-Presa Encontrar os pontos críticos: xa x y 0 y c x 0 Vemos claramente que existem três pontos críticos: 0,0 a ,0 c a c , As derivadas parciais serão( F FX a 2x y FY x G X y GY c x dx dy ,G dt dt ): A equação Predador-Presa •Temos três pontos críticos do sistema linear para analisar. O primeiro deles é a origem. d x a dt y 0 0 x c y Os autovalores e autovetores são: r1 a, (1) 1 ; 0 r2 c, ( 2) 0 1 O ponto crítico em questão é um ponto de sela instável. •O segundo ponto crítico é o ponto a ,0 . a d u a dt v 0 u a v c Os autovalores são: r1 a a c r2 0 (hipótese) O ponto crítico em questão é um ponto de sela instável. A equação Predador-Presa •O terceiro e mais importante ponto crítico é o ponto c a c , . c c u d u dt v a c v 0 Devemos resolver a equação do segundo grau para encontrar os autovalores c c a c c c a c 2 r r 0 r r 0 Os autovalores são: c r c 2 2 a c c c 4c 4ca r 2 2 A equação Predador-Presa Isso implica em: Autovalores reais e negativos se c 2 4ca 0 Autovalores complexos se c 2 4ca 0 Em ambos os casos o ponto é assintoticamente estável. No primeiro, temos um nó; no segundo, temos uma expiral. Este resultado mostra que o número de predadores e de presas tende a se equilibrar no terceiro ponto. A equação Predador-Presa Exemplo numérico dx xa x y x1 0,05 x 0,5 y dt dy y c x y 0,75 0,25 x dt Observação: a c 20 3 Pontos críticos: 0,0; 20,0; 3,1.7 d x 1 dt y 0 0 x r1 0,75, r2 1 Ponto de Sela 0,75 y d u 1 10 u r1 1, r2 4,25 Ponto de Sela dt v 0 4,25 v d u 0,15 dt v 0,425 1,5 u r 0,075 0,7949i, 1 0 v r2 0,075 0,7949i Espiral A equação Predador-Presa 0,0 20,0 3,1.7 Equação Predador-Presa Equação Predador-Presa Equação Predador-Presa 4 3 1 1 0 -1 2 predador predador predador 2 0 0 -2 -2 -1 -3 -4 -10 -5 0 presa 5 10 -2 -1 0 1 presa 2 3 -5 0 presa 5 A equação Predador-Presa Comparação entre os pontos críticos do sistema linear com o não-linear Equação Predador-Presa predador 6 4 2 0 0 5 Equação Predador-Presa 10 presa 15 Equação Predador-Presa 3 1 1 4 0 -1 2 -2 -3 -10 -5 0 presa 5 10 predador Equação Predador-Presa predador predador 2 0 -1 0 -2 -2 -4 -5 0 presa 5 -1 0 1 presa 2 3 A equação Predador-Presa Vejamos o comportamento das populações ao longo do tempo. Equação Predador-Presa 8 presa predador predador,presa 6 4 2 0 0 10 20 30 40 tempo t 50 60 70 Caos e Atratores Estranhos •Apesar de usarmos sempre exemplos do plano, os conceitos aplicados anteriormente podem ser generalizados para espaços com três ou mais dimensões. •A diferença é que o número de casos é bem maior e ainda temos dificuldades em entender um plano de fases com três eixos •Como se isso não bastasse, ainda existem fenômenos estranhos e complicados que passam a aparecer mais freqüentemente à medida em que o espaço aumenta. Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz Um problema de meteorologia consiste em analisar o comportamento de uma camada de fluido entre duas isotermas. A camada de baixo é mais quente que a camada de cima. Edward N. Lorenz propusera o modelo descrito a seguir: dx / dt x y dy / dt rx y xz dz / dt bz xy A variável x está relacionada ao movimento do fluido enquanto que as variáveis y e z estão relacionadas a variação de temperatura na horizontal e na vertical. Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz Como de costume, devemos encontrar os pontos críticos. x y 0 y x rx y xz 0 xr 1 z 0 bz xy 0 bz x 2 0 Vemos que existem três pontos críticos: P1 0,0 br 1, br 1, r 1, r 1 P br 1, br 1, r 1, r 1 P2 3 Utilizaremos 10 e menos cansativa. b 8 / 3 para tornar essa análise Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz O primeiro ponto crítico x 10 d y r dt t 0 10 1 0 x y 8 / 3 t 0 0 Que tem os seguintes autovalores: 1 8 3 2 11 81 40r 2 3 11 81 40r 2 Quando r<1, a origem é assintoticamente estável. No entanto quando r>1, o terceiro autovalor torna-se positivo. Então a origem passa a ser instável. Esse momento em que r passa a ser maior que um indica o começo do movimento convectivo no fluido. Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz O segundo ponto crítico 10 u d 1 v dt w 8r 1 / 3 0 u 8r 1 / 3 v w 8r 1 / 3 0 Que tem os autovalores com raízes da equação: 10 1 33 412 8r 10 160r 1 0 A solução desta equação depende de r da seguinte forma: 1<r<1,3456, existem três autovalores reais negativos (estável na origem) 1,3456 <r<24,737, existe um autovalor real negativo e dois complexos com a parte real negativa (estável em P1 ou P2) 24,737 <r, existe um autovalor real negativo e dois complexos com a parte real positiva (instável) Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz Parece que o problema está resolvido. Pois sabemos quais condições levam o movimento do fluido a uma instabilidade. Poderíamos pensar que no caso de r>24,737 a partícula colocada no campo de trajetórias seria jogada longe, tendendo ao infinito do plano de fases. No entanto, para o modelo não linear, verifica-se que a estabilidade existe e é complexa. Equação de Lorenz x 20 0 -20 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz A fim de descobrir a razão desse fenômeno, seria interessante investigar casos com r’s menores. Veja os gráficos abaixo para r=21 e r = 23. Equação de Lorenz x 20 0 -20 0 5 10 15 t 20 25 30 Equação de Lorenz x 20 0 -20 0 10 20 30 t 40 50 60 Caos e Atratores Estranhos As Equações de Lorenz A figura abaixo mostra diversas situações no campo de direções do problema. r=5 r=10 5 8 4 6 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 r=15 5 6 7 10 20 r=25 15 40 20 10 0 5 -20 0 0 5 10 15 -40 -20 -10 0 Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville Objetivo Motivação Conceitos Básicos Aplicação: Problemas de Valores de Contorno Não-Homogêneos Objetivo Generalizar o método de separação de variáveis para resolução de equações diferenciais parciais Motivação Modelagem de Fenômenos Físicos: Estudo de condução de calor em uma barra: Propriedades Variáveis; Presença de fontes de calor. Conceitos Básicos Determinação dos autovalores e autofunções de edo's Teoria de Sturm-Liouville Determinação dos autovalores e autofunções de edo's Motivação: Estudo de vibrações (freqüências naturais) transversais de uma barra elástica; Estudo da tensão de cisalhamento numa coluna elástica; Determinação de soluções não-triviais de edo's (autofunções). Determinação de soluções nãotriviais de edo's (autofunções) "Definição" Seja a equação matricial Ax λx. Esta admite a solução x 0 para todo valor de λ, mas, para alguns valores de λ, chamados autovalores, a equação tamb émadmite soluções não nulas, chamadas autofunções. Determinação de soluções não-triviais de edo's (autofunções) Exemplo: Seja o problema y' ' λy 0 com condiçõesde contorno y(0) 0 e y( ) 0. Considereos casos λ 0, λ 0 e λ 0. Para λ 0, considerando λ μ 2 , temos y' ' μ 2 y 0 . O polinômiocaracterístico é r 2 μ 2 0, com raízes r i Assim, a solução geral assume a forma y c1 cos (x) c2 sen(x). Aplicandoas condiçõesde contorno, obtemos c1 0 e c2 sen( ) 0. Já que procuramos por soluções não nulas,c 2 0. Daí sen() 0. Portanto, n, n 1,2,3,...e, assim, n n 2 , n 1,2,3,...Finalmente, obtemos as autofunções y n sen(nx). Teoria de Sturm-Liouville Motivação: Teoria de Sturm-Liouville Definição Seja a equação diferencial [p ( x) y ' ] 'q( x) y r ( x) y 0 definida no intervalo 0 x 1, junto com as condições de contorno do tipo a y (0) a y ' (0) 0, 1 2 b y (1) b y ' (1) 0 1 2 Teoria de Sturm-Liouville Propriedades: 1.Todos os autovalores do problema de Sturm - Liouville são reais. 2. Se 1 e 2 são duas autofunções do prob lemade Sturm - Liouville e 1 e 2 os respectivos autovalores, 1 então r ( x) 1 ( x) 2 ( x)dx 0. 0 3. Sejam Φ1 , Φ2 , ..., Φn as autofunçõe s normalizad as do problema de Sturm - liouville.Suponha que f(x) sejam uma função tal que f e f' sejam seccionalmente contínuas em 0 x 1, então f(x) pode ser expandida em termos das autofunçõe s do problema de Sturm - Liouville. Aplicação: Problemas de Valores de Contorno Não-Homogêneos Considere o problema de equações diferencia is parciais o qual representa a condução de calor numa barra a qual possui propriedad es variáveis e está submetida a uma fonte de calor. Aplicação: Problemas de Valores de Contorno Não-Homogêneos Como o problema (4), (6) é um problema de Sturm - Liouville, obtemos uma seqüência de autovalore s e autofunçõe s normalizad as correspond entes. Supondo que a solução u(x, t) possa ser expressa na forma de uma série de autofunçõe s , obtemos u ( x, t ) bn (t ) n ( x) (7). Substituin do u(x, t) em (1), obtemos n 1 [b' (t ) b (t ) (t ) ] ( x) 0, n n 1 n n n (8) n 1 em que n (t ) F ( x, t ) n ( x)dx. 0 Para a igualdade em (8) ser respeitada , é preciso que a quantidade dentro dos colchetes seja nula para todo n. Então b'n (t ) n bn (t ) n (t ) 0, n 1,2,3,.... (9) Para determinar completame nte bn (t ), precisamos de uma condição inicial bn (0) n , n 1,2,3,... (10) Fazendo t 0 em (7) e usando (3), temos n 1 n 1 u ( x,0) bn (0) n ( x) n n ( x) f(x) (11) 1 Portanto, n r ( x) f ( x) n ( x)dx, n 1,2,3,.... , e, apos resolver (9), 0 como já conhecemos bn (t ), obtemos a solução u ( x, t ) bn (t ) n ( x) . n 1