Álgebra de Boole

Aula 3
Álgebra de Boole
Álgebra
SEL 0414 - Sistemas Digitais
Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
1.1. POSTULADOS
(a) Complemento
Ā = complemento de A
• A=0ÎĀ=1
• A=1ÎĀ=0
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
1.1. POSTULADOS
(b) Adição
0
0
1
1
+
+
+
+
0
1
0
1
=
=
=
=
0
1
1
1
Ö
A+0=A
A+1=1
Ö
A+A=A
A+Ā=1
1.1. POSTULADOS
(b) Adição
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
1.1. POSTULADOS
(c) Multiplicação
0
0
1
1
.
.
.
.
0
1
0
1
=
=
=
=
0
0
0
1
Ö
A.0=0
A.1=A
Ö
A.A=A
A.Ā=0
1.1. POSTULADOS
(c) Multiplicação
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
1.2. PROPRIEDADES
• A+B=B+A
(a) Comutativa
Ö
(b) Associativa
Ö•
• A·B = B·A
A + (B+C) = (A+B) + C
=A+B+C
• A · (BC) = (AB) · C = ABC
(c) Distributiva
Ö
A · (B+C) = AB + AC
2. ÁLGEBRA DE BOOLE
2.4. OUTRAS IDENTIDADES
(a) A = A
Lei da Dupla Inversão
(b) A + A·B = A
Lei da Absorção
(c) A + A B = A + B
(d) (A + B) (A + C) = A + B·C
(e) A·B + A·C = (A + B) · (A + C)
Lei da Dualidade
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
1° TEOREMA DE De Morgan
A·B = A+B
Ö
A
B
AB
A+B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1. ÁLGEBRA DE BOOLE
2° TEOREMA DE De Morgan
A+B = A·B
Ö
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
A+B A B
1
0
0
0
1
0
0
0
EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS
A
S
B
⇔
A
S
B
1º TEOREMA DE DE MORGAN: A·B = A + B
1
Colocando um inversor na saída obtém-se:
obtém se:
A
B
S
⇔
A
B
S
EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS
A
S
B
⇔
A
S
B
1º TEOREMA DE DE MORGAN: A + B = A · B
C l
Colocando
d um inversor
i
na saída
íd obtém-se:
b é
A
B
S
⇔
A
B
S
UNIVERSALIDADE DAS PORTAS NAND E NOR
z
Todas as expressões Booleanas consistem de
combinações de funções
f nções OR,
OR AND e NOT;
NOT
z
Portas NAND e NOR são universais, ou seja,
podem se “transformar” em qualquer outra
porta
t lógica
ló i
e podem,
d
portanto,
t t ser usadas
d
para
representar
qualquer
expressão
Booleana;
Porta NAND
1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
TABELA VERDADE
A
B
S
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
1
1
0
Porta NAND
1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
S=A
TABELA VERDADE
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
1
1
0
Porta NAND
1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
A
1
S=A
S=A
TABELA VERDADE
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
1
1
0
Porta NAND
1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
A
0
1
S=A
=
A
1
S=A
S
1
0
Porta NAND
2. Porta “AND” a partir de duas portas “NAND”
A
S1=AB
B
S2=AB = AB
=
Porta NAND
3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND”
Pelo Teorema de De Morgan temos:
( A · B ) = (A + B) = A + B
A
B
S
⇔
A
B
S
Porta NAND
3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND”
A
B
⇔
Inversores
A
B
S
Porta NOR
1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
TABELA VERDADE
A
B
S
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
0
0
0
Porta NOR
1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
S=A
TABELA VERDADE
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
0
0
0
Porta NOR
1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
A
0
S=A
S=A
TABELA VERDADE
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
0
0
0
Porta NOR
1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
A
0
1
S=A
=
A
0
S=A
S
1
0
Porta NOR
2. Porta “OR” a partir de duas portas “NOR”
A
S1=A+B
B
S2=A+B = A+B
=
Porta NOR
3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR”
Pelo Teorema de De Morgan temos:
( A + B ) = (A·B) = A·B
A
B
S
⇔
A
B
S
Porta NOR
3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR”
A
B
⇔
Inversores
A
B
S
Resumo
FIM
Exercícios:
Simplificar as expressões:
1.
S = ABC + ABC
2.
S = (A + B) · (A + B)
3.
S = ABC + AC + AB
4
4.
S = (A + C) · (A + D)
FIM