Aula 7 _ Identidades Trigonométricas

1
MATEMÁTICA II
Aula 7
Identidades Trigonométricas
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo
funções trigonométricas que é verdadeira para todos os valores
das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre
que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser
simplificadas.
EXEMPLO:
Considere a igualdade sen x . sec x = tg x , demonstre que ela é
verdadeira.
SOLUÇÃO:
sen x/
sen x . sec x
sen x . (1/cos x)
cos x = tg x
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
1 – Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
e) 1 + tg2 x = sec2x
a) cos x . tg x . cossec x =1
f) 1 + cotg2x = cossec2 x
b) tg x . cos x = sen x
c) (1 + senx).(1 − senx) = cos2 x
d)
3
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para embasarmos melhor esse assunto, vejamos um tópico da
Geometria Analítica: y
C(7, 5)
Distancia entre
dois pontos
A(3, 2)
Qual a distância entre os pontos:
a) A e B?
b) B e C?
c) A e C?
B(7, 2)
x
4
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
y
B(xB, yB)
A(xA, yA)
C(xC, yC) =C(xB, yA)
x
Generalizando:
Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira
que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras:
(dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²
(dAB)² = (dAC)² + (dBC)²
(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Observe a figura abaixo:
Calculando a distância entre os ponto P e Q, temos:
Agora sim!
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo OPQ, temos:
Igualando os dois resultados, temos:
Portanto:
5
6
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Com a fórmula do cosseno da diferença, podemos determinar:
a) cos (a + b)
b) cos (a – π/2)
c) cos (a + π/2 )
d) sen (a – b)
Considere a – b = x
e) sen (a + b)
Por enquanto, admita
como verdadeira essas
expressões e depois
vamos demonstrá-las.
7
RESUMO:
Temos as quatro fórmulas:
“Minha Terra tem palmeiras onde canta o sabiá,
Seno A, cosseno B, seno B, cosseno A.”
Observe que no seno, conservamos o sinal, enquanto no
cosseno, o sinal central é invertido.
Demonstre que
e
Determine tg(a + b) e tg(a – b).
8
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FÓRMULAS DO ARCO DUPLO
Determine:
a) sen (2a)
b) cos (2a)
c) Utilizando a Relação Fundamental da trigonometria
determine outras duas respostas para cos (2a)
d) tg (2a)
9
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FÓRMULAS DO ARCO METADE
Determine:
a) sen (a/2)
b) cos (a/2)
10
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.
2 – (UFSP) Calcule o valor da expressão:
Gabarito:
2) 2
11
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
3 – (FGV) Determine a função trigonométrica equivalente a
4 – (PUC) Determine a igualdade da expressão:
Gabarito:
3) tg x
4) 2.cossec x
12
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – Prove que 2tg(x)/1 + tg2(x) é idêntica a sen 2x
4 – Calcule seno, cosseno e tangente de:
a) 15º
b) 75º
c) 105º
d) 165º
e) 195º
f) 255º
g) 285º
h) 345º
Sendo assim, já sabemos calcular os valores de 15º em 15º graus.
Vá correndo acessar...
Você só paga R$ 5,00
(Brincadeirinha... É de graça!)