Aryabhatta foto
Transcrição
Aryabhatta foto
ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS PROGRESSÕES Leia e descubra que eu não vim do além ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1 As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Por essa razão, encontramos registros de problemas envolvendo diversos tipos de seqüências nos principais documentos das civilizações antigas. Os babilônios (aproximadamente 2000 a.C) possuíam tábuas de cálculo onde era comum encontrar seqüências de quadrados e cubos de números inteiros. Nesse mesmo período, os egípcios utilizavam seqüências numéricas para fazer a decomposição de frações em somas de outras frações, como indicam os registros encontrados no papiro de Ahmés (entre 2000 e 1700 a.C.) ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 2 Na civilização grega, encontramos diversos exemplos de seqüências numéricas notáveis. Entre elas destacam-se aquelas estudadas pela escola Pitagórica (século VI a.C) que envolviam os números denominados figurados e o crivo de Eratóstenes, processo pelo qual se obtém a seqüência dos números primos. Também entre os chineses, hindus e árabes, encontramos diversos exemplos de estudos de seqüências numéricas. No século XIII, na Europa, o italiano Leonardo de Pisa (11751240), também conhecido como Fibonacci, publicou a obra Liber Abacci, na qual apresenta seqüências numéricas que também se tornaram notáveis. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 3 Até hoje em dia, diversos matemáticos desenvolvem estudos sobre seqüências numéricas, aplicando-as aos mais diversos campos de atividade. Na natureza encontramos uma grande variedade de padrões geométricos e numéricos. Há muitos séculos o homem contempla e estuda a beleza desses padrões. Os padrões geométrico são diretamente observáveis na flora, na fauna e em diversos fenômenos naturais. As espirais encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol, os favos hexagonais de um de uma colméia, o padrão hexagonal dos flocos de neve e as diversas simetrias poligonais que se observam nas carapaças de certos habitantes dos mares são exemplos de padrões geométricos. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 4 Os padrões numéricos, por sua vez, nem sempre são observação direta, pois dependem, em geral, de uma interpretação da natureza e de uma posterior associação de valores numéricos ao fenômeno estudado. Um bom exemplo de padrão numérico é a seqüência de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Fibonacci em seu livro Liber Abacci (1202), propôs um problema que consiste em determinar de que forma varia o número de casais de coelhos que se originam de um casal inicial, supondo que este gere um casal a cada mês. Cada casal gerado dá origem a um novo casal, após dois meses de seu nascimento, e, assim, sucessivamente.. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 5 A solução do problema proposto por Fibonacci deu origem à seqüência numérica que se tornou célebre: 1,1,2,3,5,8,13,... A lei de formação desta seqüência por ser escrita por: ⎧a1 = 1, a 2 = 1 ⎨ ⎩an +1 = an + an −1 (n ∈ Ν * e n ≥ 2 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 6 Além do problema dos coelhos, a seqüência de Fibonacci pode ser associada a outros fenômenos naturais. A genealogia do zangão (macho da abelha), a disposição das folhas nos ramos das plantas para obtenção do máximo de iluminação para cada folha e o crescimento dos galhos de certas espécies botânicas são exemplos desses fenômenos: o caule inicial dá origem a 2 outros; estes desdobram-se em 3, dos quais surgem 5, que originam 8, e assim por diante. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 7 Em relação às progressões temos registros que o termo foi utilizado pela primeira vez, em 1249, para designar determinados tipos de seqüências, por J. Holiwood – conhecido por Sacrobosco -, em sua obra Tractatus de Arte Numerandi, publicado somente em 1488. Apesar de o nome ter sido introduzido apenas no século XIII, progressões elementares já eram conhecidas dos babilônios e dos egípcios, encontrando-se registros no papiro de Ahmés (século XVII a.C.). ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 8 Os pitagóricos (século VII a.C.), estudando o comportamento de cordas vibrantes, descobriram que os sons por elas produzidos tinham freqüências de vibração que formavam seqüências matemáticas. Euclides (século III a.C.) apresentou no livro IX de Os Elementos uma regra que se destinava ao cálculo da soma dos termos de determinadas seqüências, que hoje são denominadas progressões geométricas. Diofanto de Alexandria (século III d.C.) desenvolveu uma fórmula para o cálculo da soma dos termos de progressões que hoje chamamos de progressões aritméticas. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 9 Em 499 d.C., o matemático hindu Aryabhata publicou um livro intitulado Aryabhatiya no qual trata especificamente de progressões, sem justificar, contudo, as regras que propõe. No século XIII, Fibonacci, em seu livro Liber Abacci, também apresenta estudos sobre as progressões. Estudos mais completos, com fundamentações mais precisas, foram publicados durante o século XVIII pelo matemático francês: Abraham De Moivre e pelos suícos Daniel Bernonilli e Leonhard Euler. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 10 Não podemos esquecer do notável matemático alemão, Johann Friedrich Carl Gauss (1777-1885) que conforme registros históricos em 1787, em sua pequena escola da aldeia do principado alemão de Braunschweig, seu professor Büttner para desafiar seus alunos propôs-lhes um problema fácil, porém trabalhoso; pediu-lhes que obtivessem a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 11 Com essa tarefa, esperava ele manter os alunos ocupados por um bom espaço de tempo. No entanto, após três minutos um menino de 10 anos aproximou-se da mesa do mestre e apresentou-lhe o valor correto da soma: 5.050 Para chegar a esse resultado, o menino não percorreu o trabalhoso caminho que consiste em dispor as parcelas um abaixo da outra e depois somá-las. Ao invés disso, raciocinando sobre o problema, ele percebeu que: somando o primeiro e o último número, obtinha: 1 + 100 = 101; somando o segundo e o penúltimo número, obtinha: 2 + 99 = 101; somando o terceiro e o antepenúltimo número, obtinha: 3+ 98 = 101; e assim por diante. Logo, o problema pede a soma de 50 parcelas iguais a 101, a última das quais é: 50 + 51 = 101. Calculando-a, obtemos: 50 . 101 = 5 050 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 12 Embora aborrecido com o menino que sabotara seu estratagema, o professor Büttner percebeu seu invulgar talento e estimulou-o a estudar Matemática. Seus grandes feitos não parou por aí, em 1796 foi o primeiro a construir um polígono regular de 17 lados com o auxílio de régua e compasso. Em 1798 doutorou-se em Matemática; em sua tese fazia a demonstração do teorema fundamental da álgebra, segundo o qual toda equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 13 No começo do século XIX optou por dedicar-se à Astronomia e passou a estudar as órbitas dos satélites, o que lhe valeu o cargo de diretor do observatório de Göttingen. Deixou também contribuições nos campos da Geodésia e do Eletromagnetismo. Em 1885, ano do falecimento de Gauss, o rei Jorge V de Hannover fez cunhar, em sua homenagem, uma moeda com os dizeres: Mathematicorum princeps (“príncipe dos matemáticos”). O brilhante raciocínio que Gauss empregou para obter a soma 1 + 2 + 3 + ...+ 99+ 100, pode ser generalizado para qualquer seqüência de um determinado tipo. Essas seqüências são denominadas progressões aritméticas. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 14 ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS I SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA NUMÉRICA ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 15 Seqüência Definição: Denomina-se seqüência qualquer função f cujo domínio é N*. (0,2,4,6,8,10,...) an= 2n (1,3,5,7,9,11) an =2n+1 Existe uma lei de formação dos termos de uma seqüência ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 16 Duas formas diferentes de definir uma seqüência -Pelo termo geral – Nesse caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo an em função de sua posição n na seqüência Exemplo: an= (2n -1)/4 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 17 Duas formas diferentes de definir uma seqüência -Por recorrência – Nesse caso, a seqüência é definida atribuindo determinado valor a um de seus termos (geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo o valor do termo anterior da seqüência. Exemplo: a1= 5 e an + 1 = an +2 , n ≥ 1 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 18 ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS I PROGRESSÃO ARITMÉTICA ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 19 Representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) an +1 = an + r , ∀n ∈ N * Razão de uma progressão aritmética é a quantidade que acrescenta-se a cada termo para obter o seguinte ou a diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. a2 − a1 = a3 − a2 = ... = an +1 − an = r ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 20 Progressão Aritmética Definição: Progressão Aritmética ( PA ) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado de razão da progressão ( r ). Termo Geral: ⎧an : n - ésimo termo. ⎪a : primeiro termo. ⎪ 1 an = a1 + ( n − 1).r onde : ⎨ ⎪n : número de termos. ⎪⎩r : razão ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 21 Soma de Termos: ( a1 + an ).n Sn = 2 Três termos em P.A.: x − r, x , x + r ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 22 ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS I Progressão Geométrica ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 23 Progressão Geométrica Definição: é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão. Termo Geral: ⎧an : termo geral ⎪a : primeiro termo ⎪ 1 n −1 an = a1.q onde : ⎨ ⎪n : número de termos ⎪⎩q : razão ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 24 Progressão Geométrica Classificação de uma P.G. Crescente: Decrescente: Quando a1 >0 e q>1 Quando a1 >0 e 0<q<1 Quando a1 <0 e 0<q< 1 Quando a1 <0 e q > 1 Alternante: Constante: Quando q<1 Quando q=0 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 25 Progressão Geométrica Soma de Termos de uma P.G. finita: 1o caso : q = 1 ⇒ Sn = n.a1 n a q − 1) ( o 1 2 caso : q ≠ 1 ⇒ Sn = ou q −1 ( an .q − a1 ) Sn = q −1 ` Obs. Quando a P.G. é infinita e −1 < q < 1 e q ≠ 0, a soma dos termos fica: a S= 1− q 1 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 26 Aplicações 1.Um pintor consegue pintar uma área de 5 m2 no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m2 a mais do que pintou no dia anterior. a) Quantos metros quadrados ele pintará no nono dia? b) Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2? R: 21 m2 e 14º dia ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 27 Aplicações 2. Numa folha de papel cartão, estão desenhados n quadrados. No primeiro, colocam-se 3 grãos de arroz; no segundo, 7 grãos; no terceiro, 11 grãos e assim sucessivamente até o quadrado de ordem n. a) Qual o número de grãos do décimo segundo quadrado? b) Qual o número de grãos do enésimo quadrado? R: 47 grãos ; 4n - 1 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 28 Aplicações 3. Duas pequenas fábricas de calçados A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares mensais, a partir de que mês a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 29 Resolução Fabrica A: a1= 3000; r = 70 e a Fabrica B: a1= 1100; r =290 Para a fábrica B superar a produção de A, devemos ter: anB ≥ an A 1100 + ( n − 1 ). 290 ≥ 3000 + ( n − 1 ). 70 220 n ≥ 2120 ⇒ n ≥ 9 , 6 * Como n ∈ N , então n = 9 , que equivale ao mês de setembro. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 30 Aplicações 4. O fichário da clinica médica de um hospital possui 10.000 clientes cadastrados em fichas numeradas de 1 a 10.000. Um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre as pessoas que procuravam a clínica, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham os números múltiplos de 15. Qual o número de fichas não analisadas? R: 9.334 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 31 Aplicações – Interpolação Aritmética 5. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. R: 8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78 e 83 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 32 Aplicações – Interpolação Aritmética 6. Uma harpa deverá ser construída tendo 13 cordas eqüidistantes. Os comprimentos da maior e da menor são, respectivamente, 1,8 m e 0,6 m. Sabendo-se que os comprimentos das cordas estão em P.A., determine-os. R: 1,8 m; 1,7 m; 1,6 m;...; 0,7 m; 0,6 m ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 33 Aplicações – Soma dos termos de uma P.A. 7. O dono de uma fábrica pretende produção com 2000 unidades mensais mês, produzir 175 unidades a mais. essas condições, em um ano quantas a fábrica terá produzida no total? R: 35.550 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva iniciar a e, a cada Mantidas unidades 34 Aplicações – Soma dos termos de uma P.A. 8. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas? R: 8 dias ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 35 Aplicações – Soma dos termos de uma P.A. 9. Um ônibus de excursão percorre no primeiro dia de viagem uma distância x; no segundo dia, o dobro do que percorreu no primeiro; no terceiro dia, o triplo do primeiro dia e assim por diante. Ao final de 10 dias, percorreu 5500 km. Que distância o ônibus percorreu no primeiro dia? R: 100 km ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 36 Aplicações 10. Um agricultor precisa regar 30 árvores que se encontram em linha reta, situando-se 3 m uma da outra. A fonte d’água encontra-se alinhada com as árvores, situando-se 10 m antes da primeira. Ao encher seu regador na fonte, o agricultor só consegue regar 3 árvores de cada vez, considerando que o agricultor começou e terminou na fonte, determine o tipo de progressão que será constituída a partir da seqüência das distâncias percorridas a cada viagem, a distância percorrida na última viagem e o total percorrido, em metros, para regar todas as árvores. R: P.A. ; 194 m e 1130 m ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 37 Aplicações 11. Um painel luminoso circular contém 60 lâmpadas em sua moldura. Às 20 horas, quando o painel é ligado, são acesas as lâmpadas de números 1,5,9,13, ... A partir daí, para dar a impressão de movimento, a cada segundo apagam-se as lâmpadas acesas e acendem-se as lâmpadas seguintes a elas. Seja S a soma dos números correspondentes às lâmpadas que são acessas às 22h 33 min 13 s. Calcule o valor de S/5. R: 90 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 38 Resolução Às 22h 33 min 13 s, passaram-se 9193 s desde que o painel foi ligado. Conclui-se do enunciado que o painel apresenta quatro configurações distintas no decorrer do tempo: ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 39 Resolução Tempo (s) NO das lâmpadas acesas 0,4,8,...,9184,9188,9192 1,5,9,...,9185,9189,9193 2,6,10,...,9186,9190,9194 3,7,11,...,9187,9191,9195 1,5,9,...,53,57 2,6,10,...,54,58 3,7,11,...,55,59 4,8,12,...,56,60 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 40 Resolução Logo, os números das lâmpadas acesas em t= 9193 s forma uma P.A. com a1 = 2 ; an= 58 e r = 4 58 = 2 + ( n − 1).4 ( 2 + 58).15 S 450 n = 15 ⇒ S15 = = 450 ∴ = = 90 2 5 5 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 41
Documentos relacionados
se cancelam e obtemos a=2.
ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS NÚMEROS COMPLEXOS Leia e descubra que eu não vim do além ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva
Leia mais