3 estrutura cristalina

Transcrição

Estrutura e Propriedades dos Materiais
3
3.1
Estrutura Cristalina
ESTRUTURA CRISTALINA
Introdução
A estrutura física dos materiais sólidos depende fundamentalmente dos átomos, íons
ou moléculas que o formam. Para todos os tipos de sólidos (metálicos, iônicos, covalentes
ou moleculares) a energia de ligação é mínima para uma distância de equilíbrio ao (ou ro)
conforme demonstrado no capítulo anterior.
Um sistema de átomos, íons ou moléculas, interagindo para formar um sólido,
tenderá a minimizar a sua energia de ligação, adotando uma distância de equilíbrio ao (ro).
Isto só poderá ocorrer se for assumida uma estrutura altamente ordenada, caracterizada por
uma distribuição regular periódica dos átomos, íons ou moléculas.
A maioria dos materiais comumente utilizados em engenharia, particularmente os
metálicos, exibe um arranjo geométrico de seus átomos bem definido, constituindo uma
estrutura cristalina.
Um material cristalino, independentemente do tipo de ligação encontrada no mesmo,
caracteriza-se por apresentar um agrupamento de seus átomos, íons ou moléculas, que se
repete tridimensionalmente. A repetição tridimensional nos cristais é devida à coordenação
atômica no interior do material, a qual, como já mencionado anteriormente, decorre de
condições geométricas que são impostas por ligações direcionais e compacidade.
Quando os átomos não têm direções específicas de ligação, como os metais ou os
compostos iônicos, eles se comportam como esferas rígidas de raio definido e tendem a
maximizar os contatos com outros átomos (esferas), ou seja, tendem a preencher o volume
disponível, maximizando a densidade.
A Figura 3.1 ilustra três padrões diferentes de se arrumar o mesmo volume de esferas
rígidas em um recipiente (A, B e C). Pode-se verificar visualmente, que o padrão “B” é
aquele que apresenta maior densidade, pois ocupa menos espaço no recipiente; esta é a
forma mais comum de arranjo entre os elementos metálicos.
Figura 3.1 – Arranjos possíveis de esferas de mesmos tamanhos em um recipiente.
UFPA – ITEC – FEM
30
Prof. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Em um sólido cristalino, os arranjos atômicos podem ser descritos usando, como
referência, os pontos de interseção de uma rede de linhas nas três dimensões, denominada
rede cristalina.
Uma rede cristalina pode ser definida como um arranjo infinito e tridimensional de
pontos, em que cada ponto tem idênticas vizinhanças, ou seja, o arranjo desses pontos em
torno de um ponto particular deve ser igual ao arranjo em torno de qualquer outro ponto da
rede cristalina. Cada ponto com idênticas vizinhanças é chamado nó da rede ou
simplesmente nó.
A estrutura cristalina resulta da associação de um motivo (ou base) a cada nó da rede
cristalina. Cada motivo (um átomo ou conjunto de átomos ou íons) pode ser obtido por
translação ao longo da reta que une os nós da rede.
A estrutura tem matéria, enquanto que a rede é um conceito geométrico, ou seja:
ESTRUTURA CRISTALINA = REDE CRISTALINA + MOTIVO
Como a estrutura cristalina perfeita é um agrupamento regular de átomos
distribuídos em uma rede cristalina, os arranjos atômicos podem ser descritos
completamente pela especificação das posições dos átomos em um modelo unitário
repetitivo da rede, denominado célula unitária.
A célula unitária é definida como a menor porção do cristal que ainda conserva as
características do mesmo.
Por meio da adoção de valores específicos, como parâmetros axiais e ângulos
interaxiais, podem ser obtidas células unitárias de diversas naturezas.
Existem somente sete arranjos que podem representar as estruturas de todas as
substâncias cristalinas conhecidas, denominados sistemas cristalinos. Esses sistemas são:
cúbico, tetragonal, ortorrômbico, monoclínico, triclínico, hexagonal e romboédrico. As
características dos sete sistemas cristalinos são dadas no quadro mostrado na Figura 3.2.
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Sistemas
Eixos
Ângulos entre eixos
Volume da célula unitária
Cúbico
a=b=c
Todos os ângulos = 90°
a3
Tetragonal
a=b≠c
a2.c
Ortorrômbico
a≠b≠c
a.b.c
Hexagonal
a=b≠c
2 ângulos = 90° e
1 ângulo ≠ 90°
0,866.a2.c
Romboédrico
a=b=c
Todos os ângulos diferentes
e nenhum igual a 90°
a.b.c. sinβ
Monoclínico
a≠b≠c
3 ângulos = 90° e
1 ângulo = 120°
a 3 ⋅ 1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α
Triclínico
a≠b≠c
Todos os ângulos iguais,
mas diferentes de 90°
V
V = a ⋅ b ⋅ c ⋅ 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
Figura 3.2 – Características dos sistemas cristalinos.
Dentro desses sete sistemas cristalinos, há um total de quatorze arranjos distintos nos
quais os pontos da rede podem se arrumar, conhecidos como redes de Bravais (Figura 3.3).
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CÚBICO
TETRAGONAL
SISTEMAS
ORTORRÔMBICO
Tetragonal
simples
Ortorrômbico
simples
Cúbico
simples
Monoclínico
simples
Tetragonal de
corpo centrado
Cúbico de
corpo centrado
MONOCLÍNICO
Ortorrômbico de
base centrada
ROMBOÉDRICO
Monoclínico de
base centrada
Ortorrômbico de
corpo centrado
TRICLÍNICO
Romboédrico
HEXAGONAL
Cúbico de
face centrada
Ortorrômbico de
face centrada
Triclínico
Hexagonal
Figura 3.3 – Células unitárias convencionais das 14 redes de Bravais
agrupadas por sistemas cristalográficos.
Os eixos da célula unitária definem um sistema de coordenadas com origem em um
dos seus vértices. Isso fornece um conjunto de coordenadas que permitem definir a posição
dos átomos na célula. Na Figura 3.4 são dados alguns exemplos de posições atômicas:
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Origem: 0,0,0
Centro da célula: ½,½,½
Centro das faces: 0,½,½; ½,0,½; ...
z
z
z
y
y
y
x
x
0,0,0
z
x
x
½,0,½
½,½,½
y
1,1,1
Figura 3.4 – Exemplos de posições atômicas em células cúbicas.
- Observação: Os átomos podem ter qualquer posição na célula, não correspondendo
necessariamente aos nós da rede.
Número de átomos por célula unitária
Um número específico de nós da rede define cada uma das células unitárias. Por
exemplo, os vértices das células cúbicas são facilmente identificados, assim como as
posições “corpo centrado” (centro da célula) e “face centrada” (centro dos seis lados).
Quando se conta os números de nós da rede pertencente a cada célula unitária, fica
fácil reconhecer quais deles podem ser repartidos por mais de uma célula. Por exemplo, no
sistema cúbico, um nó da rede localizado em um dos vértices de uma célula unitária é
dividido por 7 células adjacentes (o nó pertence, portanto, a 8 células); logo, somente 1/8
de cada uma das posições dos vértices pertence a uma célula em particular (o número de
fração de nós localizados em todas as posições do vértice em uma célula unitária cúbica é
equivalente a um nó da rede); assim:
1

 do ponto da rede / vértice  ⋅ (8 vértices / célula ) = 1 ponto da rede / célula
8

3.2
Principais Estruturas Cristalinas
A maioria dos elementos metálicos solidifica assumindo as estruturas a seguir, por
elas serem altamente densas (compactas): cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face
34
centrada (CFC) ou hexagonal compacta (HC). A Figura 3.5 mostra os modelos didáticos
dessas estruturas.
CCC
CFC
HC
Figura 3.5 – Modelos didáticos das estruturas cristalinas mais comuns.
Estes arranjos compactos ocorrem, porque energia é liberada com a aproximação dos
átomos até a distância de equilíbrio. Assim, uma estrutura compacta apresenta um nível de
energia mais baixo e, portanto, é mais estável.
A estrutura hexagonal compacta, mostrada na Figura 3.5, é uma modificação da
estrutura hexagonal simples, ilustrada na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Modelo da estrutura hexagonal simples.
a) Cristais Cúbicos
35
A estrutura cúbica é a de maior ocorrência nas substâncias cristalinas. Entre os
exemplos de materiais que cristalizam segundo essa estrutura, incluem-se a maior parte dos
metais comuns e alguns dos compostos mais simples, tais como o MgO, o NaCl e o TiC.
Dependendo da posição que os átomos ocupam na estrutura cúbica, esta pode ser
classificada em um dos três tipos: cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC)
ou cúbica de face centrada (CFC).
a.1) Estrutura cúbica simples (CS)
A célula unitária deste arranjo atômico, mostrada na Figura 3.7, possui um átomo
posicionado em cada vértice de um cubo.
a
(a)
(b)
(c)
Figura 3.7 – Estrutura cúbica simples (CS) ): Modelo didático (a);
célula unitária (b); esquema das distâncias interatômicas (c).
Nesta estrutura, cada átomo apresenta seis vizinhos mais próximos; logo, o seu
número de coordenação (NC) é igual a 6.
O parâmetro da rede (a) é dado pelo tamanho da aresta do cubo, neste caso:
a = 2r
A forma de classificar o nível de ocupação efetiva de uma célula unitária por átomos
é o fator de empacotamento atômico (FE), o qual é dado por:
FE =
N ⋅ VA
,
VC
onde N = número de átomos que ocupam efetivamente a célula, VA = volume do átomo
(esfera rígida de raio definido) = 4.π.r3/3, r = raio do átomo, e VC = volume da célula
unitária.
Para a célula cúbica simples, o fator de empacotamento é:
36
1
átomo / vértice ⋅ 8 vértices = 1
8
4
VA = π r 3
3
VC = a 3 = ( 2r )3 = 8 r 3
N=
4
1⋅ π r3
FE = 3 3 = 0 ,52
8r
Ou seja, apenas 52% da célula cúbica simples são efetivamente preenchidos por
átomos. Como este índice de ocupação é muito baixo, a célula cúbica simples não é estável
e, portanto, os metais puros não apresentam esse tipo de arranjo, o que ocorre somente para
compostos, em virtude da diferença entre os raios dos elementos que os formam.
a.2) Estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
A célula unitária deste arranjo estrutural apresenta um átomo posicionado em cada
vértice de um cubo e um átomo no centro do mesmo, conforme mostrado na Figura 3.8.
4r
(a)
a
(c)
(b)
a
Figura 3.8 – Estrutura cúbica de corpo centrado (CCC): Modelo didático (a);
Nessa estrutura, cada átomo possui oito vizinhos mais próximos e, desta forma, o seu
O parâmetro da rede (a), nesse caso, é calculado a partir do valor da diagonal
principal do cubo (valor conhecido) e da diagonal de uma de suas faces. Assim tem-se:
a 2 + ( a 2 )2 = ( 4 r ) 2 ∴ a =
37
4r
3
O fator de empacotamento atômico (FE) desta célula é dado por:
1
átomo / vértice ⋅ 8 vértices + 1 átomo = 2
8
4
VA = π r 3
3
N=
3
64 r 3
 4r 
VC = a = 
 =
3 3
 3
4
2 ⋅ π r3
FE = 3 3 = 0 ,68
 64 r 


3
3


3
Ou seja, 68% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos. Com a
elevação do índice de ocupação da célula, vários metais já cristalizam na estrutura CCC,
entre eles o lítio (Li), o vanádio (V), o cromo (Cr), o molibdênio (Mo) e o tungstênio (W).
a.3) Estrutura cúbica de face centrada (CFC)
A célula unitária deste arranjo estrutural apresenta um átomo posicionado em cada
vértice do cubo e um no centro de cada face, conforme mostrado na Figura 3.9.
a
(a)
(b)
4r
a
(c)
Figura 3.9 – Estrutura cúbica de face centrada (CFC): modelo didático (a);
Cada átomo apresenta doze vizinhos mais próximos; portanto, o número de
coordenação (NC) dessa estrutura é igual a 12.
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O parâmetro da rede (a), neste caso, é calculado a partir do valor da diagonal de uma
de suas faces, que é o valor conhecido:
a 2 + a 2 = ( 4 r )2 ∴ a =
4r
2
O fator de empacotamento atômico (FE) é dado por:
1
1
N = ( átomo / vértice ) ⋅ 8 vértices + ( átomo / face ) ⋅ 6 = 4
8
2
4
VA = π r 3
3
3
32r 3
 4r 
VC = a = 
 =
2
 2
4
4 ⋅ π r3
FE = 3 3 = 0 ,74
 32r 


2


3
Ou seja, 74% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos, que é o
valor máximo do índice de ocupação que pode ser conseguido quando se considera o
átomo como uma esfera rígida de raio definido. Desta forma, o empacotamento da célula
unitária CFC é o mais eficiente possível.
O níquel (Ni), o cobre (Cu), o alumínio (Al), o ouro (Au), a prata (Ag), a platina (Pt)
e o chumbo (Pb), são exemplos de metais que apresentam a estrutura CFC.
b) Cristais Hexagonais
Existem dois tipos de arranjo hexagonal: o hexagonal simples (HS) e o hexagonal
compacto (HC).
b.1) Estrutura hexagonal simples (HS)
A célula unitária deste arranjo estrutural é formada por dois hexágonos sobrepostos,
os quais apresentam um átomo em cada vértice e um átomo nos seus centros, conforme
mostrado na Figura 3.10.
39
120°
60°
c
a
a
a
Figura 3.10 – Estrutura hexagonal simples (HS).
A estrutura cristalina HS apresenta ângulos basais de 120° e verticais de 90°, e
também pode ser representada pelo arranjo mostrado à direita da figura.
Nesta estrutura, cada átomo apresenta oito vizinhos mais próximos; portanto, o seu
Os parâmetros da rede (a, c) são dados por:
a = c = 2r
1
1
N = ( átomo / vértice ) ⋅ 12 vértices + ( átomo / face ) ⋅ 2 = 3
6
2
4
VA = π r 3
3
3
VC = 3a 2 c ⋅ cos 30 ° = 3( 2r )2 ( 2r )
= 12 r 3 3
2
4 3
3⋅ π r
FE = 3 3
= 0 ,60
12r 3
Ou seja, 60% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos. Este
valor também é um muito baixo, o que justifica os metais não cristalizarem na estrutura
HS.
40
b.2) Estrutura hexagonal compacta (HC)
A célula unitária do arranjo estrutural HC é formada por dois hexágonos sobrepostos
que apresentam um átomo em cada vértice e um átomo nos seus centros, e também por um
plano intermediário de três átomos, conforme mostrado na Figura 3.11.
c
a
Figura 3.11 – Estrutura hexagonal compacta (HC).
Esta estrutura é caracterizada pelo fato de que cada átomo de uma dada camada está
diretamente abaixo ou acima dos interstícios formados entre três átomos das camadas
adjacentes.
Cada átomo apresenta doze vizinhos mais próximos; logo, o seu número de
coordenação (NC) é igual a 12.
Os parâmetros da rede (a, c) são dados por:
a = 2r
c ≈ 1,633a
1
1
N = ( átomo / vértice ) ⋅ 12 vértices + ( átomo / face ) ⋅ 2 + 3 átomos = 6
6
2
4 3
VA = π r
3
3
VC = 3a 2 c ⋅ cos 30 ° = 3( 2r )2 ( 1,633 ⋅ 2r )
= 19 ,596 r 3 3
2
4 3
6⋅ π r
3
FE =
= 0 ,74
19 ,596 r 3 3
41
Ou seja, 74% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos. Como
essa estrutura é compacta, diversos metais solidificam segundo a mesma, como por
exemplo: magnésio (Mg), zinco (Zn), cádmio (Cd), cobalto (Co), titânio (Ti) e berílio (Be).
Cálculo do parâmetro c
O parâmetro c da célula hexagonal compacta pode ser calculado a partir dos
esquemas mostrados na Figura 3.12.
Vista de topo
d
a
a/2
c/2
d
a
a
2
c
a = d +  ;
2
2
2
2
d=
30o
a
a
a
=
o
2 ⋅ cos 30
3
2
a2 c2
a2 c2 2 2 c2
 a  c
a =
+ ∴ a2 −
= ∴ a = ∴
 +   ∴ a2 =
3
4
3
4 3
4
 3  2
2
c2 =
8 2
a ∴c =
3
8
⋅ a ∴ c ≈ 1,633a
3
Figura 3.12 – Posicionamento de átomos na célula da estrutura HC.
3.3
Seqüência de Empilhamento
A estrutura cúbica de face centrada e a estrutura hexagonal compacta têm o mesmo
fator de empacotamento atômico (FE = 0,74), o que é esperado, pois ambas possuem o
mesmo número de coordenação (NC = 12).
Os arranjos atômicos de planos cristalinos na direção da diagonal do cubo da
estrutura CFC, e na direção perpendicular à base no caso da HC, são de mesma natureza; o
que muda entre as duas estruturas é o posicionamento dos átomos destes planos em relação
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a um ponto de referência. Os planos do cristal HC apresentam apenas duas variações de
posicionamento e, desta forma, obedecem a uma seqüência do tipo “ABABAB...”, já os
cristais CFC apresentam três variações no posicionamento de planos, exibindo assim, a
seqüência
“ABCABCABC...”.
A
Figura
3.13
representa
essas
seqüências
de
empilhamento.
A
A
B
B
A
C
HC
CFC
Figura 3.13 – Seqüências de empilhamento de planos para as estruturas HC e CFC.
3.4
Alotropia
Alotropia (ou polimorfismo) é o fenômeno que ocorre quando dois cristais têm
estruturas cristalinas diferentes, mas apresentam a mesma composição.
Dependendo de condições como pressão e temperatura, diversos elementos e
compostos químicos podem apresentar mais de uma forma cristalina. O Quadro 3.1 fornece
alguns casos de alotropia.
43
Quadro 3.1 - Exemplos de alotropia para alguns elementos.
TEMPERATURA
OUTRAS
METAL
AMBIENTE
TEMPERATURAS
Ca
CFC
CCC (> 447°C)
Co
HC
CFC (> 427°C)
Hf
HC
CFC(> 1742°C)
Fe
CCC
CFC (912°C a 1394°C)
CCC(> 1394°C)
Li
CCC
HC (< - 193°C)
Na
CCC
HC (- 233°C)
Ti
HC
CCC (> 883°C)
Y
HC
CCC (> 1481°C)
Zr
HC
CCC(> 872°)
Um dos exemplos mais conhecidos e importantes de polimorfismo nos metais é o
que ocorre com o ferro, visto que esta variação alotrópica possibilita a realização de
tratamentos térmicos no aço e, assim, permite modificar as propriedades desse material.
O ferro apresenta mudanças alotrópicas desde a temperatura ambiente até a
temperatura de fusão (1539°C). Na temperatura ambiente esse elemento possui estrutura
cristalina CCC e recebe a denominação de ferro α; ao atingir a temperatura de 912°C, o
ferro modifica a sua estrutura tornando-se CFC, e passa a ser denominado de ferro γ; se
continuar sendo aquecido, ao atingir 1394°C esse metal volta a ter a estrutura CCC, porém
com um parâmetro de rede maior do que a primeira, e é chamado de ferro δ, permanecendo
com esta estrutura até a fusão. Essas mudanças na estrutura do ferro podem ser
visualizadas por meio da curva de resfriamento do elemento mostrada na Figura 3.14.
44
Figura 3.14 – Curva de resfriamento aproximada do ferro.
Outro exemplo de polimorfismo é a variação alotrópica do carbono. Este elemento
constitui o diamante, que é o material mais duro na natureza, mas também forma a grafita,
que é um material de dureza bastante reduzida, o que possibilita o seu uso como
lubrificante sólido. A alta dureza do diamante é devido ao fato de todas as suas ligações
serem covalentes, apresentando uma estrutura cristalina tridimensional; por outro lado, a
grafita possui ligações covalentes apenas nos planos lamelares, e esses planos são
agregados a outros por meio das forças secundárias (estrutura lamelar), que por serem
fracas proporcionam a facilidade de deslizamento dessas lamelas.
3.5
Posições, Direções e Planos em Cristais
Freqüentemente, é necessário identificar posições, direções e/ou planos em um
cristal. Isto é particularmente importante no caso dos metais e ligas metálicas que
apresentam propriedades que variam com a orientação cristalográfica, chamados de
materiais anisotrópicos.
A existência de determinados conjuntos de planos e direções definidos como
compactos, por exemplo, é de suma importância durante o processo de deformação plástica
45
de materiais metálicos, o que leva à necessidade de identificá-los para melhor compreender
esses processos.
a) Posições em cristais cúbicos
Certos pontos tais como as posições atômicas na rede ou em uma célula unitária,
podem ser localizados pela construção de um sistema de eixos cartesiano.
Em cristalografia, o eixo x é a direção perpendicular ao plano do papel, o eixo y é a
direção à direita do papel e o eixo z é a direção para cima; as direções negativas destes
eixos são as opostas às direções mencionadas.
A distância é medida em termos do número de parâmetros de rede contados em cada
direção, a partir da origem até o ponto em questão.
As coordenadas das posições são os três números correspondentes às distâncias
medidas, separados por vírgulas.
A Figura 3.15 mostra alguns exemplos de identificação de posições em cristais
cúbicos.
z
-1,-1,1
0,0,1
1,1,1
0,-1,1
0,0,0
-1,1,0
y
-½,-1,0
½,1,0
x
1,0,0
z
-y
1,1,0
-x
-1,0,0
0,-1,0
Figura 3.15 – Identificação de posições na estrutura cúbica.
b) Direções em cristais cúbicos
As direções cristalográficas são usadas para indicar uma orientação específica em um
cristal simples ou em um material policristalino. O conhecimento de como descrever as
direções cristalográficas é de grande utilização em muitas aplicações; os metais, por
46
exemplo, deformam mais facilmente nas direções ao longo das quais os átomos estão em
contato mais próximo (direções mais compactas).
Isso mostra que certas direções na célula unitária são de particular importância, e a
notação usada para descrever essas direções é denominada índices de Miller.
No sistema cúbico, as direções cristalográficas são obtidas a partir de seus
componentes relativos aos três eixos cartesianos.
Uma direção na célula unitária é representada por um vetor que parte da origem e
atinge a posição definida pelas coordenadas consideradas; portanto, para se referenciar
uma determinada direção em um cristal, devem ser observadas as seguintes orientações:
• Os eixos cristalinos são utilizados como direções básicas;
• As coordenadas de um ponto são medidas em relação ao parâmetro de cada eixo, assim
não representam valores reais de distância;
• As direções com índices negativos são indicadas com um traço sobre os mesmos;
• Uma direção é representada por índices entre colchetes.
Desta forma, para se encontrar os índices de Miller de direções cristalográficas, o
seguinte procedimento deve ser seguido:
1. Determinar as coordenadas das duas posições que orientam a direção (origem e
extremidade), utilizando um sistema de coordenadas cartesiano;
2. Subtrair as coordenadas das posições finais e iniciais da direção, para obter o número de
parâmetros da rede correspondente à extensão da referida direção relativa a cada eixo do
sistema de coordenadas (índices da direção);
3. Eliminar os índices fracionários ou reduzir os índices obtidos para o menor inteiro;
4. Colocar os índices entre colchetes, observando que, se algum deles for negativo, deve
ser representado com uma barra sobre ele.
A Figura 3.16 mostra alguns exemplos de identificação de direções em cristais cúbicos.
47
z
0,0,1
1,0,1
E
C
0,1,1
1,1,1
B
A
0,0,0
D
1,0,0
x
0,1,0
y
½,1,0
1,1,0
Direção A
1. Os dois pontos são 0,1,0 e 0,0,0
2. 0,1,0 – 0,0,0 = 0,1,0
3. Não existem índices fracionários
ou inteiros para reduzir
4. A notação da direção é [010]
Direção B
2. 1,1,1 – 0,0,0 = 1,1,1
Direção C
1. Os dois pontos são 0,0,1 e ½,1,0
2. 0,0,1 – ½,1,0 = –½,–1,1
3. 2(–½,–1,1) = –1,–2,2
Direção D
2. 1,1,0 – 1,0,1 = 0,1, –1
Direção E
2. 1,0,1 – 0,1,1 = 1,–1,0
Figura 3.16 - Exemplos de direções cristalográficas em cristais cúbicos.
Alguns aspectos sobre o uso dos índices de Miller para direções
1. Como as direções são vetores, uma direção e sua negativa não são idênticas; elas
representam a mesma linha, mas possuem sentidos opostos.
- Exemplo: [ 100 ] ≠ [ 100 ]
2. Direções proporcionais são idênticas; por este motivo é que se devem reduzir os índices
para menores inteiros.
- Exemplo: [100] = [200] = [300] = ...
3. Direções de certos conjuntos são equivalentes; elas possuem índices específicos em
virtude da maneira como o sistema de coordenadas foi construído.
- Exemplo: No sistema cúbico, [100] se torna [010] se o sistema de coordenadas for
redefinido (rotacionado 90° para a esquerda, por exemplo); portanto, diz-se que estas
48
direções são equivalentes ([100] ≡ [010] ). Isto é importante, pois eventualmente é
necessário expressar um conjunto de direções com as mesmas características na
estrutura cristalina, como a diagonal da face do cubo; neste caso, existem 12 direções,
e uma representação geral de todas elas é dada por <100>, que é chamada família de
direções das diagonais das faces do cubo.
− Exemplos:
[ 110 ] [ 101 ] [ 011 ] [ 110 ] [ 101 ]
< 110 > = 
 [ 110 ] [ 101 ] [ 011 ] [ 110 ] [ 101 ]
= família das diagonais das faces do cubo
[ 100 ]
< 100 > = 
[ 100 ]
[ 111 ]
< 111 > = 
[ 111 ]
[ 011 ] 
=
[ 011 ] 
[ 010 ]
[ 001 ] 
 = família das arestas do cubo
[ 001 ] 
[ 111 ]
[ 111 ]
[ 111 ]
[ 111 ]
[ 010 ]
[ 111 ] 
 = família das diagonais do cubo
[ 111 ] 
c) Planos em cristais cúbicos
O conhecimento de determinados planos de átomos em um cristal, também é de
suma importância; os metais deformam-se ao longo de planos de átomos que apresentam
compacidade mais alta (planos mais densos).
Para identificar planos cristalinos em cristais cúbicos, a notação dos índices de Miller
deve ser usada. Nesse caso, os índices de Miller são definidos como sendo os inversos das
coordenadas de interceptação do plano de interesse com os eixos x, y e z.
O procedimento básico para determinar os índices de Miller de planos em um cristal
cúbico deve seguir a seguinte orientação:
1. Identificar os pontos nos quais o plano intercepta os eixos x, y e z em termos do número
de parâmetros de rede; deve ser observado que se o plano passa na origem, essa deve ser
movida (ou utiliza-se um plano paralelo que não passe pela origem);
2. Obter os inversos das interseções;
3. Eliminar os índices fracionários, mas não reduzi-los ao menor inteiro;
4. Colocar os índices entre parênteses, observando que, se algum deles for negativo, deve
ser representado com uma barra sobre ele.
Genericamente, as letras h, k e l entre parêntese são usadas para indicar os índices de
Miller de um plano, ou seja, (hkl).
49
A Figura 3.17 mostra a identificação de alguns planos em cristais cúbicos.
z
C
A
B
y
y =2
x
Plano B
1. x = 1, y = 2, z = ∞
2. 1/x = 1, 1/y = 1/2, 1/z = 0
3. Elimina frações: 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0
4. A notação do plano (210)
Plano A
1. x = 1, y = 1, z = 1
2. 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1
3. Não existem frações
Plano C
1. O plano passa na origem, logo,
temos que movê-lo um parâmetro
de rede na direção y; então:
x = ∞, y = –1, z = ∞
2. 1/x = 0, 1/y = –1, 1/z = 0
Figura 3.16 – Exemplos de identificação de planos em cristais cúbicos.
Alguns aspectos com relação ao uso dos índices de Miller para planos
1. Um plano e seus negativo são idênticos;
- Exemplo: (020) = (020)
2. Planos e seus múltiplos não são idênticos;
3. Em cada célula unitária, uma família de planos representa o conjunto de planos
equivalentes, que têm seus índices específicos por causa da orientação das coordenadas;
os conjuntos de planos equivalentes são apresentados com a notação entre chaves ({}).
- Exemplo: No sistema cúbico, os planos da família {110} são mostrados abaixo:
{ 110 } = ( 110 ) ( 101 ) ( 011 ) ( 110 ) ( 101 ) ( 011 )
4. No sistema cúbico, uma direção que tem os mesmos índices de um plano é
perpendicular ao plano (Figura 3.17).
- Exemplo: [100] ⊥ (100) .
50
(100)
[100]
Figura 3.17 – Perpendicularidade entre a Direção [100] e o plano (100).
c) Direções em cristais hexagonais
Por causa da simetria única do sistema hexagonal, algumas direções cristalográficas
equivalentes não têm os mesmos índices de Miller. Para resolver este problema foi criado
um sistema de coordenadas que usa quatro eixos (a1, a2, a3 e c), denominado sistema de
Miller-Bravais, mostrado na Figura 3.18.
Neste sistema, três eixos (a1, a2 e a3) estão contidos no plano basal e fazem ângulos
de 120° entre si. O quarto eixo (z ou c) é perpendicular ao plano basal. Como no espaço se
necessita apenas de três eixos, o eixo a3 é redundante.
Figura 3.18 – Sistema de coordenadas para a célula hexagonal.
As direções são indicadas, então, pelos índices u, v, t e w, apresentados entre
colchetes; os índices u, v e t são relativos aos eixos a1, a2 e a3, respectivamente, e o índice
w é relativo ao eixo c.
Por causa da redundância do eixo a3 e da geometria especial do sistema hexagonal,
os três primeiros índices na designação, u, v e t, satisfazem a relação u + v = –t.
51
Basicamente, o procedimento a ser seguido para encontrar esses índices consiste na
obtenção dos menores inteiros que representem a direção e que satisfaçam a relação acima,
conforme apresentado a seguir na Figura 3.19.
Direção A
1. a1 = –½, a2 = 1, a3 = –½, c = 0
2. Elimina frações (reduz ao
menor inteiro)
3. A notação da direção [1210]
Figura 3.19 – Esquema de eixos e representação da direção A na estrutura hexagonal.
Uma determinada direção cristalográfica representada pelos índices de Miller [u’ v’
w’] pode ser convertida para o sistema de Miller-Bravais com índices [u v t w] com auxílio
das seguintes equações:
u=
1
(2u' −v' )⋅ n;
3
v=
1
(2v' −u' )⋅ n;
3
t = −(u + v );
w = w' ⋅n
onde n é um número inteiro. Por exemplo, os índices de Miller [010] são convertidos em
índices de Miller-Bravais [1210] .
A Figura 3.20 apresenta alguns exemplos desta conversão.
52
Figura 3.20 - Alguns exemplos de conversão de índices de Miller em índices de MillerBravais (Padilha, 2000).
d) Planos em cristais hexagonais
Os planos em cristais hexagonais são identificados também pelo uso de quatro eixos;
neste caso, os índices empregados são representados pelas letras h, k, i e l entre parênteses,
ou seja, (h k i l).
Estes índices devem satisfazer a relação h + k = –i, por causa da redundância do eixo
a3 e da geometria especial do sistema hexagonal.
O procedimento para encontrar os índices dos planos é o mesmo que o utilizado no
caso dos cristais cúbicos; entretanto, desde que o sistema é formado por quatro eixos, serão
necessárias quatro interseções para gerar os índices h, k, i e l.
Na estrutura hexagonal, o plano basal é considerado muito importante, por ser um
plano compacto; como o plano basal superior é paralelo aos eixos a1, a2 e a3, a interseção
deste plano com tais eixos se dará no infinito, e a com o eixo c em 1; logo, a representação
dos planos basais é dada por (0001).
As Figuras 3.21 a 3.24 mostram a notação para os planos especiais da estrutura
hexagonal: basal, prismáticos e piramidais.
53
c
Plano A (Basal)
1. a1 = a2 = a3 = ∞, c = 1
2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1
4. (0001)
A
a3
-a1
-a2
a2
B
a1
-a3
Plano B (Prismático tipo I)
1. a1 = 1, a2 = ∞, a3 = -1, c = ∞
2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 0, 1/a3 = -1, 1/c = 0
4. (1010)
Figura 3.21 – Plano basal e plano prismático tipo I, e a determinação de suas notações.
c
C
a3
-a1
-a2
a2
a1
Plano C (Plano prismático tipo II)
1. a1 =1, a2 = 1, a3 = -½, c = ∞
2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 0
3. Não existem frações a eliminar
4. (1120)
-a3
Figura 3.22 – Plano prismático tipo II e a determinação de sua notação.
54
c
a3
-a1
-a2
a2
D
a1
Plano D (Piramidal tipo I)
5. a1 =1, a2 = ∞, a3 = -1, c = 1
6. 1/a1 = 1, 1/a2 = 0, 1/a3 = -1, 1/c = 1
8. (1011)
-a3
Figura 3.23 – Plano piramidal tipo I e a determinação de sua notação.
c
a3
-a1
-a2
a2
E
a1
Plano E (Piramidal tipo II)
1. a1 =1, a2 = 1, a3 = -½, c = 1
2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1
4. (1021)
-a3
Figura 3.24 – Plano piramidal tipo II e a determinação de sua notação.
3.6
Planos e Direções Compactos
No estudo da relação entre raios atômicos e parâmetros de rede, uma direção
compacta e um plano compacto são aqueles onde os átomos que os formam estão em
contato contínuo. O Quadro 3.2 mostra os índices de Miller das direções e dos planos
compactos nas estruturas cristalinas mais comuns (modificada de ASKELAND & PHULÉ,
2003).
55
Quadro 3.2 – Direções e planos compactos das principais estruturas
DIREÇÕES E PLANOS COMPACTOS
Estrutura
Direções
Planos
CS
CCC
CFC
HC
<100>
<111>
<110>
< 1120 >
Nenhum
Nenhum
{111}
(0001), (0002)
As células unitárias CFC e HC são as mais compactas, e cada uma apresenta planos
compactos.
A célula unitária HC apresenta dois planos compactos, (0001) e (0002), os quais são
paralelos entre si, mas com orientações diferentes, e recebem o nome especial de planos
basais.
A estrutura HC pode ser formada a partir do empilhamento dos planos compactos em
uma seqüência ... ABABAB .... Conforme ilustrado na Figura 3.25, os átomos do plano B,
(0002), ajustam-se nos vales entre os átomos do plano A, (0001); se um outro plano com a
mesma orientação do plano A é ajustado nos vales do plano B, uma estrutura HC é
formada.
Figura 3.25 – Empilhamento dos planos compactos na estrutura HC.
Na estrutura CFC, os planos compactos são da família {111}; esses planos são
paralelos, mas orientados diferentemente um em relação aos outros.
A estrutura CFC pode ser formada a partir do empilhamento desses planos
compactos, obedecendo a seqüência ... ABCABCABC .... Conforme mostrado na Figura
3.26, os planos compactos são empilhados de tal forma que os átomos do plano B ajustamUFPA – ITEC – FEM
56
se nos vales do plano A, e os do plano C ajustam-se nos vales do plano B e sobre os vales
não ocupados de A.
Figura 3.26 – Empilhamento dos planos compactos na estrutura CFC.
3.7 Sistemas de Deslizamento
O deslizamento ocorrerá mais facilmente em certos planos e direções do que em
outros. Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos compactos, que preservam sua
integridade. O deslizamento é mais provável em planos e direções compactas, porque
nestes casos a distância que a rede precisa se deslocar é mínima (Figura 3.27).
Distância
Direção
compacta
Distância
Direção não
compacta
Figura 3.27 - Distâncias de deslocamentos de planos compactos em direções
compactas e não compactas.
57
Dentro de um plano de deslizamento existirão direções preferenciais para o
deslizamento. A combinação entre os planos e as direções forma os sistemas de
deslizamento (slip systems), característicos das diferentes estruturas cristalinas.
Dependendo da simetria da estrutura, outros sistemas de deslizamento podem estar
presentes
A Figura 3.28 mostra os sistemas de deslizamento das três redes básicas.
Figura 3.28 – Sistemas de deslizamento das redes básicas (Paciornik, 2007).
3.8 Comportamentos Isotrópico e Anisotrópico
As diferenças no arranjo atômico dos planos e direções no cristal proporcionam
variações nas propriedades do material com a direção em que são medidas.
Um material é cristalograficamente anisotrópico se suas propriedades dependem da
direção cristalográfica em que são medidas. Por outro lado, se suas propriedades são
idênticas em todas as direções, o material é dito ser cristalograficamente isotrópico.
A Figura 3.29 destaca as direções mais importantes da estrutura CCC, que
obviamente são diferentes; logo, as propriedades medidas nestas direções também serão
diferentes.
58
a=a
c
b=a 2
b
c=
a 3
2
a
Figura 3.29 – Direções mais importantes da estrutura CCC.
Os cristais são basicamente anisotrópicos; entretanto, uma amostra policristalina
poderá ser considerada, idealmente, como isotrópica, se os seus cristais estiverem
orientados ao acaso, pois sob o ponto de vista macroscópico, a anisotropia dos cristais será
compensada mutuamente.
Materiais monocristalinos ou nos quais os grãos são orientados ao longo de certas
direções, natural ou deliberadamente, normalmente apresentam anisotropia mecânica,
ótica, magnética e propriedades dielétricas.
3.9 Espaçamento e Ângulos Interplanares
No sistema cúbico, a distância entre dois planos de átomos, paralelos e adjacentes,
com os mesmos índices de Miller, é denominada espaçamento interplanar (dhkl), e sua
equação geral é dada por:
d hkl =
a
h2 + k 2 + l 2
onde a é o parâmetro da rede e h, k e l representam os índices de Miller dos planos
considerados. Por exemplo, as distâncias interplanares (111) da célula unitária do chumbo
(Pb), que é CFC, é dada por:
o
rPb = 0 ,175 nm , aCFC
4r
4 ,95 A
=
= 0 ,495 nm → d 111 =
= 0 ,286 nm
2
12 + 12 + 12
59
O cálculo das distâncias interplanares para materiais não cúbicos envolve equações
mais complexas, as quais não serão estudadas neste curso.
O Quadro 3.3 apresenta as relações entre o espaçamento interplanar (dhkl), os
parâmetros de reticulado (a, b, c), os ângulos entre planos (α, β, γ) e os planos (h k l).
Quadro 3.3 – Espaçamentos interplanares para os diversos reticulados.
Reticulado
Relações
1
h2 + k 2 + l 2
=
Cúbico
2
d hkl
a2
1
h2 + k 2 l 2
=
+ 2
2
d hkl
a2
c
Tetragonal
Hexagonal
Romboédrico
1
4  h 2 + hk + k 2  l 2

 + 2
=
2
d hkl
3 
a2
 c
2
2
2
2
1
(h + k + l )sen α + 2(hk + kl + hl )(cos 2 α − cos 2 α )
=
2
d hkl
a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α )
1
h2 l 2 l 2
= 2+ 2+ 2
2
d hkl
a
b
c
Ortorrômbico
Monoclínico
1
1
=
2
d hkl sen 2 β
 h 2 k 2 sen 2 β l 2 2hl cos β
 2 +
+ 2−
b2
c
ac
a



1
1
= 2 (S 11 h 2 + S 22 k 2 + S 33 l 2 + 2 S 12 hk + 2 S 23 kl + 2 S 13 hl )
2
d hkl V
S11 = b 2 c 2 sen 2α ;
Triclínico
S 22 = a 2 c 2 sen 2 β ;
S 33 = a 2 b 2 sen 2γ ;
S12 = abc 2 (cos α cos β − cos γ );
S 23 = a 2 bc(cos β cos γ − cos α );
S13 = ab 2 c(cos γ cos α − cos β )
Fonte: Padilha, 2000.
O ângulo Ø entre dois planos pode ser determinado com o auxílio das equações
contidas no Quadro 3.4.
60
Quadro 3.4 – Ângulos interplanares para os diversos reticulados.
Reticulado
Relações
h1 h2 + k 1 k 2 + l1l2
cos φ =
Cúbico
2
(h1 + k12 + l12 ) ⋅ (h22 + k 22 + l22 )
h1 h2 + k1 k 2 l 2
+ 2
2
a
c
cos φ =
2
2
2
2
 h1 + k 1 l1   h2 + k 22 l 22 

+ 2  ⋅ 
+ 2 
2
c   a2
c 
 a
2
(l l )
h1 h2 + k 1 k 2 + 1 (h1 k 2 + h2 k 1 ) + 3a
2
4c 2 1 2
cos φ =
 2
3a 2  
3a 2 
 h1 + k12 + h1 k1 + 2 l12  ⋅  h22 + k 22 + h2 k 2 + 2 l 22 
4c
4c

 

Tetragonal
Hexagonal
Romboédrico
cos φ =
a 4 d1d 2
V2
Ortorrômbico
Monoclínico
Triclínico
 sen 2α (h1 h2 + k1 k 2 + l1l 2 ) +



2
+ cos α − cos α ⋅ (k 1l 2 + k 2 l1 + l1 h2 + l 2 h1 + h1 k 2 + h2 k 1 )
h1 h2 k1 k 2 l1l 2
+ 2 + 2
2
a
b
c
cos φ =
2
2
2
2
 h1 k 1 l1   h2 k 22 l 22 
 2 + 2 + 2  ⋅  2 + 2 + 2 
b
c  a
b
c 
a
(
)
d 1 d 2  h1 h2 k1 k 2 sen 2 β l1l2 (l1 h2 + l 2 h1 )cos β 
+
+ 2 −


sen 2 β  a 2
b2
c
ac

d d  S 11 h1 h2 + S 22 k1 k 2 + S 33 l1l 2 + S 23 (k 1l 2 + k 2 l1 ) + 
cos φ = 1 2 2 

V  S 13 (l1 h2 + l 2 h1 ) + S 12 (h1 k 2 + h2 k1 )

cos φ =
Fonte: Padilha, 2000.
3.10 Sítios Intersticiais
Nas estruturas cristalinas existem pequenos espaços vazios entre os átomos da rede,
nos quais átomos menores podem se alojar. Essas regiões da estrutura são denominadas de
sítios intersticiais.
Um átomo quando se posiciona em um interstício toca dois ou mais átomos da rede.
O número de coordenação do interstício será, portanto, igual ao número de átomos que ele
toca.
De acordo com a localização, os sítios nas células unitárias cúbicas podem ser
definidos como (Figura 3.30):
• Sítio cúbico- apresenta número de coordenação igual a oito e fica localizado no centro
do cubo da estrutura CS;
61
• Sítios octaédricos - possuem um número de coordenação igual a seis (os átomos que
contatam o átomo intersticial formam um octaedro, com os átomos maiores ocupando as
posições regulares da rede) e ocorrem nas estruturas CCC (no centro das faces do cubo)
e CFC (no centro do cubo e no centro de suas arestas);
• Sítios tetraédricos - possuem número de coordenação igual a quatro, e ocorrem nas
estruturas CCC e CFC.
Cúbico
½,½,½
Octaédrico
½,1,½
Tetraédrico
1,½,¼
Octaédricos
½,½,½ ; 0,½,1
CS
CCC
Tetraédrico
¼,¾,¼
CFC
(a)
(b)
(c)
Figura 3.30 – Sítios nas células unitárias cúbicas: (a) Representação em todas as células;
(b) Sítios na célula CCC; (c) Sítios da célula CFC. Nas figuras (b) e (c) os sítios são
representados pelas esferas maiores.
62
Algumas considerações sobre átomos (ou íons) e interstícios da rede:
• Átomos (ou íons) cujos raios sejam um pouco maiores que o raio do sítio intersticial,
poderão se alojar neste sítio, deslocando levemente os átomos vizinhos;
• Átomos (ou íons) com raios muito menores que a cavidade do interstício, não poderão
ocupar o sítio intersticial, pois irão “chocalhar” em torno do sítio;
• Se o átomo intersticial for muito grande, ele prefere se alojar em um sítio com um alto
número de coordenação;
• Um átomo que apresente uma relação de raios entre 0,225 e 0,414, tenderá a se alojar
em um sítio tetraédrico (Quadro 3.4);
• Se essa relação for maior que 0,414, o átomo ocupará um sítio octaédrico;
• No caso de metais puros (átomos com o mesmo tamanho), a relação de raios é igual a 1
e o NC máximo é igual a 12; o arranjo, neste caso corresponderá às estruturas CFC e
HC.
Quadro 3.4 – Características dos interstícios na estrutura cúbica.
NC
Localização do interstício
Relação de raios
2
Linear
0 – 0,155
3
Centro do triângulo
0,155 – 0,225
4
Centro do tetraedro
0,225 – 0,414
6
Centro do octaedro
0,414 – 0,732
8
Centro do cubo
0,732 – 1
63
Representação
3.11 Espaçamento de Repetição (Vetor de Burgers)
Outra forma de caracterização de direções é o espaçamento de repetição, também
denominado vetor de Burgers, que é a distância entre átomos ao longo da direção. Por
exemplo, na direção [110] de uma célula unitária CFC (Figura 3.31), partindo-se da
posição 0,0,0, o próximo átomo é o do centro da face, ou a posição ½,½,0; a distância entre
esses dois pontos é, portanto, a metade da diagonal da face, ou
r
vetor de Burgers da direção [ 110 ] da estrutura CFC ( b ) =
2
a
2
z
y
0,0,0
½,½,0
Vetor de
Burgers
[110]
x
Figura 3.31 – Vetor de Burgers da direção [110].
3.12 Densidades Atômicas no Cristal
Nas estruturas cristalinas estudadas, verificou-se a existência de planos e direções
mais compactas que outros, isto é, planos e direções que possuem mais átomos por unidade
de área ou de comprimento, respectivamente.
Os planos e direções compactos são de grande importância por desempenharem um
papel significativo no processo de deformação plástica dos metais, pois os átomos de um
cristal solicitado mecanicamente escorregam (deslizam) ao longo de planos compactos,
seguindo direções compactas.
A definição de uma direção compacta envolve a definição de densidade linear de
átomos; assim, densidade linear de átomos é o número de átomos por unidade de
64
comprimento na direção. Na estrutura CS, por exemplo, a densidade linear de átomos da
família de direções <100> é calculada como (Figura 3.32):
número de átomos na direção [ 100 ]
=
comprimento da direção
0 ,5 + 0 ,5 1
=
=
a
2r
Dlinear =
Figura 3.32 – Densidade linear de átomos na direção [100] da estrutura CS.
Da mesma forma, um plano compacto é determinado calculando-se a sua densidade
planar, que é definida como o número de átomos por unidade de área no plano. Na
estrutura CS, por exemplo, a densidade planar de átomos da família de planos {100} é
calculada como (Figura 3.33):
D planar =
=
número de átomos no plano ( 100 )
=
área do plano
0 ,25 + 0 ,25 + 0 ,25 + 0 ,25
1
= 2
2
a
4r
Figura 3.33 – Densidade planar de átomos no plano (100) da estrutura CS.
Também é interessante definir a densidade volumétrica ou simplesmente densidade
da célula unitária. Considerando o material com uma estrutura perfeita, a densidade da
célula unitária (densidade teórica ou calculada) representa a densidade volumétrica do
material; portanto, densidade é definida como a massa por unidade de volume do material,
ou seja:
ρ=
( número de átomos na célula unitária ) x massa do átomo
volume da célula unitária
[g/cm3]
O cobre, por exemplo, possui estrutura CFC, massa atômica igual a 63,54g/mol e
raio atômico igual 1,278Å, sua densidade será igual a 8,93 g/cm3, conforme calculada na
65
Figura 3.34. Este valor é menor que a densidade obtida experimentalmente (densidade
verdadeira), a qual vale a 8,96 g/cm3 (SMITH, 1998).
Estrutura CFC : 4 átomos por célula unitária
4r
a=
2
63,54 

4

6 ,02x1023 

ρ=
= 8 ,93 g / cm3
3
 1,278x10−8 
 4

2


Figura 3.34 – Densidade volumétrica da estrutura CFC.
3.12 Referências Bibliográficas
ASKELAND, Donald R.; PHULÉ, Pradeep P. The science and engineering of materials.
4.ed. California: Brooks/Cole-Thomson Learning, 2003.
CALLISTER JR., William D. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. 5.ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2002.
PACIORNIK, Sidnei. Ciência e engenharia de materiais. Apostilha de aula. Rio de
Janeiro: Pontifícia Universidade Católica (PUC), 2007.
SMITH, William F. Princípios de ciência e engenharia de materiais. 3.d. New York:
McGraw-Hill, 1998.
66

3 estrutura cristalina

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