distribuicao de weibull

LUIZ CLAUDIO BENCK
KEVIN WONG
TAMARA CANDIDO
DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL
CONCEITOS BÁSICOS
APLICAÇÕES
Trabalho apresentado para avaliação na
disciplina de Estatística e Métodos
Numéricos do Curso de Administração de
Empresas
da
Escola
Superior
de
Engenharia e Gestão - ESEG.
Prof. Alexandre Borges
SÃO PAULO
2008
AGRADECIMENTOS
- A Deus pela vida, saúde e pelas oportunidades.
ii
SUMÁRIO
DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS ............................................. 5
PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS ................................................................... 5
Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação. .................................... 5
Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo "t"de operação
(Confiabilidade). ............................................................................................................................................. 5
Tempo Médio Entre falhas (MTTF)................................................................................................................. 5
Desvio Padrão................................................................................................................................................. 6
Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull................................................................................. 6
Observações relativas ao Fator de Forma " β "............................................................................................. 7
WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO............................................................................ 8
MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO..................................................... 8
I- Cálculos:...................................................................................................................................................... 8
II Traço o gráfico da confiabilidade. .............................................................................................................. 8
III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo de manutenção
preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para executar a manutenção
preventiva? Em caso afirmativo, que período é este? ..................................................................................... 8
I-1 Para determinar “ t0 ”, há três métodos: .................................................................................................. 9
Para os itens I-2 e I-3.................................................................................................................................... 10
I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):...................................................................................... 12
I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em operação (t=1350
horas): ........................................................................................................................................................... 13
I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400 horas): ............................ 13
I-7 MTTF (tempo médio sem falha): ............................................................................................................. 13
I-8 Desvio Padrão: ........................................................................................................................................ 14
I-9 Coeficiente de variação: .......................................................................................................................... 14
Item II – Representação gráfica:................................................................................................................... 14
III - Intervalo de manutenção preventiva ...................................................................................................... 15
iii
INTRODUÇÃO
O objetivo do presente trabalho é apresentar as principais características da
Distribuição de Weibull, seus parâmetros e aplicações.
Também são desenvolvidos os cálculos relativos a um exemplo hipotético de testes
de falhas em equipamentos de bombeamento.
Devido ao reduzido material para consulta, ou pela sua pouca profundidade,
tomamos por base o excelente material “Weibull Passo a Passo”, disponível em
http://www.qualytek.com.br (em inglês) 1.
5
DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS
Expressão semi-empírica desenvolvida por Ernest Hjalmar Wallodi Weibull (18871979), físico sueco, que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre
fadiga de material. Sua utilidade decorre do fato de permitir:
•
representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas aleatórias e
falhas devido ao desgaste.
•
obter parâmetros significativos da configuração das falhas.
•
representação gráfica simples.
Um outro fato importante relacionado a distribuição de Weibull é que na presença de
co-variáveis, tem-se um modelo de riscos proporcionais e de falha acelerada. A distribuição
de Weibull é a única distribuição de probabilidade que pode ser escrita na forma de um
modelo de riscos proporcionais3.
PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS
Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação.
β
  t − t β 
0
= 1 − exp  − 
 
  β  
F(t)⇒ Função Distribuição cumulativa
F (t ) = 1 − e
 t −t 
− 0 
 η 
Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo
"t"de operação (Confiabilidade).
  t − t β 
0
R(t ) = 1 − F (t ) = exp  − 
 
  η  
Tempo Médio Entre falhas (MTTF)
TMEF = t0 + η .Γ(1 + β −1 )
6
Desvio Padrão
σ = η Γ(1 + 2β ) − Γ (1 − β ) 
−1
2
−1
1
2
" Γ " => Símbolo da Função Gama
Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull
•
" t0 " => Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca (tempo de operação a
partir do qual o equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de
tempo que o equipamento não apresenta falhas).
•
" η " => Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo entre
" t0 " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de
itens sem falhar).
•
" β " => Fator de Forma (indica a forma da curva e a característica das
falhas).
•
•
•
" β < 1" mortalidade infantil
" β = 1" falhas aleatórias (função exponencial negativa)
" β > 1" falhas por desgaste
O parâmetro β é adimensional, enquanto η está na mesma escala dos dados3.
7
Observações relativas ao Fator de Forma " β "
A escolha apropriada de " t0 ", " β " e " η " na Distribuição de Weibull podem ser
usadas para representar uma larga faixa de distribuições, incluindo tanto distribuições
randômicas (exponencial negativa) quanto distribuições aproximadamente normal.
Embora a experiência tenha mostrado que a distribuição de Weibull possa ser usada
para representar a grande maioria de modelos de falha, é essencial notar que é uma função
semi-empírica, e pode não ser capaz de representar algumas distribuições particulares
encontradas na prática.
Com relação ao Fator de Forma " β ", temos que:
•
Se " β = 1" (taxa de falha constante), pode ser uma indicação que modos de
falhas múltiplos estão presentes ou que os dados coletados dos tempos para
falhar são suspeitos. Este é freqüentemente o caso dos sistemas nos quais
diferentes componentes têm diferentes idades, e o tempo individual de
operação dos componentes não estão disponíveis. Uma taxa de falhas
constante pode também indicar que as falhas são provocadas por agentes
externos, tais como: uso inadequado do equipamento ou técnicas inadequadas
de manutenção.
•
O modo de falhas por desgaste é caracterizado por " β > 1", mas podem
ocorrer situações nas quais as falhas por desgaste ocorram depois de um
tempo finito livre de falhas, e um valor de " β = 1" é obtido. Isto pode
ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de itens imperfeitos,
acarretando falhas antes de um tempo finito livre de falhas. Os parâmetros da
Distribuição de Weibull dos modos de falhas por desgaste podem ser
deduzidos se forem eliminados os itens imperfeitos e analisados os seus
dados separadamente.
WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO
MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO
Cem bombas idênticas estão em operação continuamente até falharem. Anotados os
tempos de falha de cada uma, obtemos a seguinte tabela:
Tempo até falhar
(horas)
1000 => 1100
1100 => 1200
1200 => 1300
1300 => 1400
1400 => 1500
1500 => 1600
1600 => 1700
1700 => 1800
1800 => 1900
Frequência
observada
2
6
16
14
26
22
7
6
1
I- Cálculos:
1. O tempo livre de vida mínima ou da falha intrínseca " t0 "=> da confiabilidade " t0 ".
2. O parâmetro característico da vida ou da escala ( η ).
3. O parâmetro da forma ( β ) e falha característica.
4. O coeficiente de correlação ( r ).
5. A probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas.
6. A confiabilidade em um intervalo de funcionamento de 1400 horas.
7. MTTF (tempo médio sem falha).
8. O desvio padrão ( σ ).
9. O coeficiente de variação ( σ / µ ).
II Traço o gráfico da confiabilidade.
III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo
de manutenção preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para
executar a manutenção preventiva? Em caso afirmativo, que período é este?
9
Solução:
Tempo até falhar
(horas)
1000 => 1100
1100 => 1200
1200 => 1300
1300 => 1400
1400 => 1500
1500 => 1600
1600 => 1700
1700 => 1800
1800 => 1900
Total
Frequência
Freq.
Freq. Rel.
observada Relativa Acumulada
2
0,02
0,02
6
0,06
0,08
16
0,16
0,24
14
0,14
0,38
26
0,26
0,64
22
0,22
0,86
7
0,07
0,93
6
0,06
0,99
1
0,01
1,00
100
1,00
I-1 Para determinar “ t0 ”, há três métodos:
•
Pela experimentação;
•
Gráfico;
•
Simulação computacional;
Experimentação: consiste em selecionar valores arbitrários a “ t0 ”. O valor que
obtiver o melhor coeficiente de correlação, será o mais adequado.
Gráfico: através da utilização do gráfico que representa a Freqüência acumulada e
do uso da fórmula abaixo.
10
Simulação computacional: diversos valores candidatos a “ t0 ” são testados, escolhese o que apresenta o melhor coeficiente de correlação.
Em nosso caso, a melhor opção é “ t0 = 900 horas”.
Para os itens I-2 e I-3
Sabemos que a freqüência cumulativa de falha em uma distribuição de Weibull, é
dada por:
Transformando a função para a forma Y=aX + b, obtemos:
Conseqüentemente, nós podemos construir a seguinte tabela:
t
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
F(t)
0,02
0,08
0,24
0,38
0,64
0,86
0,93
0,99
1,00
Y=Ln{-Ln[1F(t)]}
-3,9019
-2,4843
-1,2930
-0,7381
0,0214
0,6761
0,9780
1,5272
-----
X=ln(t-to)
to=900h
5,2983
5,7038
5,9915
6,2146
6,3969
6,5511
6,6846
6,8024
6,9078
11
Agora, nós podemos aplicar a regressão linear para determinar o “ β ” e o “ η ”:
Tabela para facilitar os cálculos
Ord.
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ
Yi
Xi
-3,9019
-2,4843
-1,2930
-0,7381
0,0214
0,6761
0,9780
1,5272
-5,2147
5,2983
5,7038
5,9915
6,2146
6,3969
6,5511
6,6846
6,8024
49,6432
Yi 2
15,2251 28,0722
6,1719 32,5331
1,6719 35,8976
0,5447 38,6214
0,0005 40,9207
0,4571 42,9167
0,9566 44,6840
2,3323 46,2726
27,3601 309,9183
Determinação do coeficiente angular ( β ):
n
a=β =
n
n
n.∑ X i .Yi − ∑ X i .∑ Yi
i =1
i =1
i =1
2


n.∑ X i2 −  ∑ X i 
i =1
 i =1 
n
n
8(−25, 6855) − 49, 6432(−5.2146)
8(309, 9183) − (49, 6432) 2
−205, 4840 + 258,8694 53,3854
=
= 3, 5831
β=
2479,3464 − 2464, 4473 14,8991
β=
β =3,5831
X i2
X iYi
-20,6737
-14,1701
-7,74717
-4,58681
0,137023
4,428913
6,53787
10,38848
-25,6855
12
Determinação do coeficiente angular (- β .Ln η ):
n
b = − β .Lnη =
∑Y
i =1
i
n
− a.
∑X
i =1
n
= −0, 6518 − 22, 2347
n
i
=
5, 2146
49, 6432
− 3, 5831.
8
8
= −22,8865
Conseqüentemente:
− β .Lnη = −22,8865
3, 5831.Lnη = 22,8865
Lnη =
22,8865
= 6, 3873
3,5831
η = e6,3873
n = 594, 28 horas - Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo
entre " t0 " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de
itens sem falhar).
I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):
13
I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em
operação (t=1350 horas):
Assim, com t=1350, temos:
I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400
horas):
Assim, com t=1400, temos:
I-7 MTTF (tempo médio sem falha):
MTTF = 1435,35 HORAS
14
I-8 Desvio Padrão:
I-9 Coeficiente de variação:
Item II – Representação gráfica:
15
III - Intervalo de manutenção preventiva
Valores:
As seguintes equações serão usadas:
# Existe um tempo finito para executar manutenção preventiva sistematicamente,
quando:
Nós igualmente podemos usar o gráfico abaixo:
# Se a equação acima é verdadeira, o intervalo de tempo ótimo para executar a
manutenção preventiva, é dado por:
16
Entrando com os valores, nós obtemos:
Condição:
Intervalo ótimo:
T=1.257,12 horas
17
CONCLUSÃO
A Distribuição de Weibull tem sido usada extensivamente na engenharia de
confiabilidade como modelo de tempo de falha para componentes e sistema elétricos e
mecânicos4, e também para estimar a sobrevivência humana e de outros mamíferos, pássaros,
rotíferos até insetos5.
Com a escolha apropriada dos parâmetros " t0 ", " β " e " η " da Distribuição de
Weibull, pode-se representar uma larga faixa de distribuições de modelos de falhas, podendo
explicar a sua grande aplicação em vários campos, da engenharia às ciências biológicas.
REFERÊNCIAS
1 http://www.qualytek.com.br Acesso em 08/11/2008.
2 http://www.bobabernethy.com/bios_weibull.htm Acesso em 10/11/2008
3 SILVA, WALDIR S. J. Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança
Assintótico, p-Bootstrap e t-Bootstrap, Para Alguns Parâmetros da Distribui¸cão
Weibull. Monografia de Conclusão de Curso – Centro de Ciências Exatas – Universidade
Estadual de Maringá . Maringá – PR, 2005.
4 MONTGOMERY, DOUGLAS C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4.
ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.
5 http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0301-80591997000300005&script=sci_arttext
Acesso em 08/11/2008.