Física Matemática 1 - Lista 06

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Fı́sica Matemática 1 - 2013.1 - Lista de Probelmas 06
Fı́sica Matemática 1
Lista de Problemas 06
Prof. Marco Polo
Questão 01: Transformadas de Fourier
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções:
2
1√+ ω 2
i
π h −(ω−1)2 /4
2
e
+ e−(ω+1) /4
Resp: f˜(ω) =
2
iπ
Resp: f˜(ω) =
[δ(ω + 2) − δ(ω − 2)]
2
Resp: f˜(ω) =
(a) f (t) = e−|t|
2
(b) f (t) = e−t cos t
(c) f (t) = sin t cos t
(d)
f (t) =
(
e−t cos(t),
0,
t>0
t<0
1
1
1
˜
+
Resp: f (ω) =
2 1 − i + iω 1 + i + iω
Questão 02: Cavidade óptica
Em uma cavidade de um laser, uma oscilação eletromagnética de frequência ω0 é dada por
E(t) = E0 e−ω0 t/2Q e−iω0 t , para t > 0
Considere E(t) = 0 para t < 0. E0 é a amplitude do campo e o parâmetro Q é uma medida da
razão entre a energia armazenada e perda de energia por ciclo (fator de qualidade da cavidade).
2
Calcule a distribuição de frequência da oscilação, dada por Ẽ(ω) , chamado de espectro de
potência.
2
Resp: Ẽ(ω) =
A20
(ω − ω0 )2 + (ω0 /2Q)2
Questão 03: Propriedade da transformada de Fourier
Demonstre que
F {f (t + a)} = e−aω F {f (t)},
onde F denota a transformada de Fourier, isto é, F {f (t)} = f˜(ω).
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Questão 04: Transformada de Fourier do produto de duas funções
Demonstre que
1
F [f (t)g(t)] =
2π
Z
∞
−∞
f˜(η)g̃(ω − η)dη.
Este é o teorema da convolução.
Questão 05: Transformada de Fourier de derivadas
Demonstre a fórmula para a transformada de Fourier da derivada enésima:
n
d f (t)
= −(iω)n F {f (t)}.
F
dtn
Essa propriedade torna a transformada de Fourier útil para resolver alguns tipos de equações
diferenciais.
Questão 06: Relação de Parseval
Demonstre a relação de Parseval :
Z ∞
Z ∞
∗
˜
f (t)g ∗ (t)dt
f (ω)g̃ (ω)dω = 2π
−∞
−∞
Questão 07: Relação de Parseval
(a) Um pulso retangular é descrito por
(
1, |t| < a
f (t) =
0, |t| > a
Mostre que sua transformada de Fourier é
2 sin aω
f˜(ω) =
ω
(b) Use a relação de Parseval para mostrar que
Z ∞
sin2 x
dx = π
2
−∞ x
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Fı́sica Matemática 1 - 2013.1 - Lista de Probelmas 06
Questão 08: Trem de pulsos de laser
O campo elétrico de um trem de pulsos de laser, isto é, uma sequência de pulsos idênticos com
relação de fase bem definida, pode ser escrito aproximadamente, quando a quantidade de pulsos
é grande, por
E(t) = E0
∞
X
m=1
cos
mt
,
T
onde T é o intervalo de tempo entre dois pulsos consecutivos.
∞
X
m
.
(a) Desprezando as frequências negativas, mostre que Ẽ(ω) = πE0
δ ω−
T
m=1
(b) Represente graficamente o espectro de potência do trem de pulsos (ver Questão 02). Essa
estrutura é conhecida como pente de frequências ópticas.
Obs: Em 2005, Theodor W. Hänsch e John L. Hall compartilharam metade do Prêmio Nobel
pelas contribuições à espectroccopia de precisão com laser, incluindo a técnica do pente de
frequências ópticas.
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