tensão e deformação III - com gabarito e resolução

Licenciatura em Física
Mecânica dos Sólidos e Fluidos (MCFZ2)
Professor Osvaldo Canato Júnior –2º semestre de 2015
Questões – tensão e deformação - III
1. A distorção das placas da crosta terrestre é um exemplo de cisalhamento em grande escala. Um tipo particular de rocha da
crosta tem um módulo de cisalhamento de 1,5.10 10 N/m2. Qual a tensão de cisalhamento operante quando uma camada de
rocha de 10 km sofre um cisalhamento de 5 m?
2. (a) Estimar a força com que um mestre de caratê atinge uma tábua, se a velocidade no instante do impacto for de 10 m/s e
diminuir, no intervalo de tempo de 0,002 s de contato com a tábua, até 1 m/s. A massa da mão e do braço, operacional, é de 1
kg. (b) Estimar a tensão de cisalhamento se essa força for exercida sobre uma tábua de pinho com 1 cm de espessura e 10 cm
de largura. (c) Se a tensão máxima de cisalhamento suportada pela tábua de pinho sem se quebrar for de 3,6.10 6 N/m2, a tábua
será partida pelo golpe acima descrito?
3. Quando a tensão de cisalhamento no aço excede 4.10 8 N/m2, o material se rompe. Determine a força cisalhante necessária
para (a) cortar um tarugo de aço de 1 cm de diâmetro e (b) puncionar um furo de 1 cm de diâmetro em uma chapa de aço de 0,5
cm de espessura.
4. Uma punção com diâmetro de 20 mm abre furos numa chapa de aço de 4 mm de espessura, exercendo uma força de 12000
kgf. Calcular (a) a tensão média de compressão na punção, (b) a tensão média de cisalhamento da chapa e (c) a deformação de
cisalhamento sofrida pela chapa. Dado Gaço = 83 GPa.
5. Um corpo de prova cilíndrico de uma liga metálica hipotética é tensionado em compressão. Sabendo que seus diâmetros
original e final são respectivamente de 20,000 mm e 20,025 mm, que seu comprimento final é de 74,96 mm, que os módulos
de elasticidade e de cisalhamento para esta liga são respectivamente de 105 GPa e 39,7 GPa e que a deformação foi totalmente
elástica, calcule (a) o coeficiente de Poisson dessa liga metálica, (b) a deformação de tração sofrida pelo corpo de prova e (c)
seu comprimento original.
6. Um bastão cilíndrico com 100 mm de comprimento e diâmetro de 10,0 mm deve ser deformado utilizando-se uma carga de
tração de 27.500 N. Ele não deve experimentar deformação plástica ou redução em diâmetro superior a 7,5.10 -3 mm. Dos
materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique a(s) sua(s) escolha(s).
Material
Liga de alumínio
Liga de latão
Liga de aço
Liga de titânio
Módulo de Elasticidade (GPa)
70
101
207
107
Limite de Escoamento (MPa)
200
300
400
650
7. Considere a liga de latão com comportamento tensão deformação
mostrado na Fig. 2, ao lado. Um corpo de prova cilíndrico feito deste
material, com 6 mm de diâmetro e 50 mm de comprimento, é puxado em
tração com uma força de 5000 N. Tendo-se conhecimento de que essa liga
apresenta um coeficiente de Poisson de 0,30, calcule: (a) o alongamento
do corpo de prova e (b) a redução no diâmetro do corpo de prova.
8. Um cabo de elevador deve sofrer uma tensão máxima de 10 9 N/m2 para
ficar dentro da margem de segurança. Se ele deve sustentar um elevador
carregado de 10000 kg de massa total e uma aceleração máxima para cima
de 1,5 m/s2, qual deverá ser o diâmetro do cabo?
9. Um bíceps relaxado requer uma força de 25 N para aumentar 5cm no
comprimento. O mesmo músculo em tensão máxima requer 500 N para a
mesma elongação. Imaginando o músculo como um cilindro uniforme de
0,2 m de comprimento e 50 cm2 de área de secção reta, achar o módulo de
Young para o tecido muscular nas duas condições.
Coeficiente de Poisson
0,33
0,35
0,27
0,36
Gabarito
1. 7,5 MPa
2. a) 4,5 kN; b) 4,5 MPa; c) Sim.
3. a) 31,4 kN; b) 125,6 kN
4. a) 374,5 MPa; b) 468,15 MPa; c) 5,64.10-3
5. a) 0,32; b) 0,0039; c) 75,25 mm
6. Somente o aço
7. a) 0,1 mm; b) 0,036 mm
8. 12 mm
9. 0,02 MPa e 0,4 MPa
Resolução:
1.
 t  G. t  G.
x
0
 1,5.1010
5
 7,5.106  7,5 MPa
10.103
2.
a)
I  p  F .t  m.v  F 
m.v
1.9

 4,5.103 N
t
0, 002
b)
t 
Ft
Atangencial

4,5.103
 4,5.106  4,5 MPa
2
1
10 .10
c)
Sim, pois a tensão de cisalhamento aplicada excede o valor indicado como máxima tensão cisalhante suportada.
3.
a)
t 
Ft
Atangencial
 Ft   t . Atangencial  4.108. .r 2  4.108.3,14.(0,5.102 ) 2  3,14.10 4 N
b)
t 
Ft
Atangencial
 Ft   t . Atangencial  4.108.2 r.h(área da cavidade cilíndrica)  4.108.2.3,14.0,5.10 2.0,5.10 2  6, 28.10 4 N
4.
a)
n 
Fn
Anormal
12000.9,8

 . 10.103 
2
 374,52 MPa
b)
t 
Ft

Atangencial
12000.9,8
 2 rh área da cavidade cilíndrica

12000.9,8
 468,15 MPa
2 10.103.4.103
c)
 t  G. t   t 
t
G
=
468,15.106
 5, 64.103
9
83.10
5.
a)
Y  2G (1  )  (1  ) 
b)
 
Y
Y
105.109
 
1 
 1  0,32
2G
2G
2.39,7.109
 tangencial

w / w0
0, 025.103 / 20.103
  normal   tangencial  

 0, 0039
 normal


0,32
c)
Tratando-se de tensão de compressão, é importante observar que no cálculo da deformação tangencial
deve-se considerar um sinal negativo à frente do valor da variação de comprimento:
 tangencial  


0

0


( tangencial  1)

0

0
. tangencial   
0

0
. tangencial 
0
 
0
( tangencial  1)   
0

74,96.103
 75, 25.103 m  75, 25 mm
(0, 0039  1)
6.
Teste para o aço (maior Y dentre os materiais listados):
F . 0 F . 0 / A 27500 100.103 / 3,14.(5.103 ) 2 35, 031 106
 



 0,17.103 m  0,17 mm 
9
9
Y .A
Y
207.10
207.10
 .w0  0, 27.10.0,17
 w 

 0, 0046mm  4, 6.103 mm  7,5.103 mm  satisfaz as condições.
100
0
Teste para o titânio (segundo maior Y dentre os materiais listados):
F . 0 F . 0 / A 35, 031106
 


 0,33mm 
Y .A
Y
107.109
 .w0  0,36.10.0,33
 w 

 0, 012mm  12.103 mm  7,5.103 mm  não satisfaz as condições 
100
0
 demais materiais também não satisfazem as condições.
Sendo o aço o único material que tem módulo de Young e coeficiente de Poisson compatíveis com a
máxima redução de diâmetro permitida para a carga de tração indicada, resta verificar se essa carga
corresponde a uma tensão abaixo do limite de escoamento do material:
F
27500
De fato,   
 350 MPa < 400 MPa, justificando plenamente sua escolha como o
A 3,14.(5.103 ) 2
único material apropriado para a referida escolha.
7.
a)
n 
Fn
Anormal

5000
 .  3.103 
 n  0,002 

2
 176,93 MPa 
 0, 002 
0
  50.103.0, 002  0,1.103 m  0,1 mm
b)
 
w / w0

0,1.103
 w   .w0 .
 0,3.6.103.

 / 0
50.103
0
w  0, 036.10 3m  0, 036 mm
8. Um cabo de elevador deve sofrer uma tensão máxima de 109 N/m2 para ficar dentro da margem de segurança. Se ele deve
sustentar um elevador carregado de 10000 kg de massa total e uma aceleração máxima para cima de 1,5 m/s 2, qual deverá ser o
diâmetro do cabo?
FR  ma  N  P  ma  N  P  ma  10000.9,8  10000.1,5  113000 N
F
F
F
F
113000
 n  n  Anormal  n   .r 2  n  r 2  n 
 35987.109  3, 6.105 m 
9
Anormal
n
n
 . n  .10
r  0, 006 m  6 mm  d  12 mm
9.
 n Fn / An 25 / 50.104


 0, 02.106  0, 02MPa
2
 n  / 0 5.10 / 0, 2

F / A 500 / 50.104
 n  Y . n  Y  n  n n 
 0, 4.106  0, 4MPa
2
 n  / 0 5.10 / 0, 2
 n  Y . n  Y 