Pilares 1 - Editora DUNAS

Transcrição

Volume 3
PILARES
Prof. José Milton de Araújo - FURG
1
1- INTRODUÇÃO
Fd
M1d
Fd
M1d = momento fletor
de primeira ordem
M 2d = Fd e2 = momento fletor
de segunda ordem
l
e2
=
e2 e1=M1d/Fd
M d = M 1d + M 2d = momento total
Dimensionar para M d e N d = Fd
(Problema de flexo-compressão)
M1d
Fd
Fd
2
Simplificações das normas de projeto
• Nos pilares curtos
(λ ≤ λ1 ) :
pode-se desprezar M 2 d
• Nos pilares moderadamente esbeltos (λ1 < λ ≤ 90) : pode-se
calcular M 2 d por algum processo simplificado
• Nos pilares esbeltos (λ > 90) : exige-se o cálculo rigoroso de
M 2d (através de métodos numéricos iterativos e incrementais;
exemplo: software JM PILAR 2009).
• Nos pilares intermediários e pilares de
dimensionamento à flexo-compressão normal.
extremidade:
• Nos pilares de canto: dimensionamento à flexo-compressão
oblíqua.
3
Para os pilares curtos e moderadamente esbeltos: calculamos
M 2 d por processo aproximado e dimensionamentos a seção à
flexo-compressão.
2- DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO
NORMAL
O problema
h/2
h
Nd
e
Md
x
c
h/2
Nd
c
LN
4
Domínios de dimensionamento da flexo-compressão
κ = 1− εo εu
f ck ≤ 50 MPa
f ck > 50 MPa
ε o (o oo ) = 2,0
ε o (o oo ) = 2,0 + 0,085( f ck − 50)0,53
ε u (o oo ) = 3,5
⎛ 90 − f ck ⎞
ε u o oo = 2,6 + 35⎜
⎟
⎝ 100 ⎠
( )
4
5
Seções típicas dos pilares dos edifícios
h
b
• O processo de solução é iterativo: para encontrar a
profundidade da linha neutra.
• Podemos usar um programa de computador (ex. PACON),
tabelas de dimensionamento, diagramas de interação ou
fórmulas aproximadas.
6
Tabelas para dimensionamento de seções retangulares
(Apêndice 1)
Com δ = d ′ h e a disposição das barras ⇒
identificar a tabela
f yk
f ck
; f yd =
σ cd = 0,85 f cd ; f cd =
;
1,4
1,15
ν =
Nd
;
bhσ cd
μ=
Md
bh 2σ cd
Ler a taxa mecânica de armadura ω .
Calcular a área total da armadura
As = ω bh
σ cd
f yd
As tabelas são restritas aos concretos do Grupo I
(concretos com f ck ≤ 50 MPa).
7
Exemplo:
Nk
4
40
Aço CA-50: f yk = 500 MPa.
e
N k = 410 kN; e = 25 cm;
c
f ck = 20 MPa;
4
20cm
(Seção com duas camadas de
armadura)
f ck 20
=
≅ 14 MPa ⇒ f cd = 1, 4 kN/cm2
1, 4 1, 4
= 0,85 f cd = 12 MPa ⇒ σ cd = 1, 2 kN/cm2
f yk
50
=
=
= 43, 48 kN/cm2
1,15 1,15
f cd =
σ cd
f yd
8
N d = 1, 4 N k = 1, 4 x 410 ⇒ N d = 574 kN
M d = N d e = 574 x 25 ⇒ M d = 14350 kNcm
ν=
μ=
574
Nd
=
⇒ν ≅ 0, 60
bhσ cd 20 x40x1, 2
Md
=
14350
⇒ μ = 0,37
bh σ cd 20 x 40 x1, 2
d′ 4
δ = = ⇒ δ = 0,10 ⇒
h 40
Tabela A1.2: Interpolando ω = 0,71.
2
As = ωbh
σ cd
f yd
2
= 0,71x 20 x 40 x
1, 2
43, 48
⇒
As = 15,7 cm2
9
Interpolação linear
Se μ = 0,37:
ω = anterior + diferença x 0,70
Regra prática
10
Tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2):
8 barras de 16 mm (Ase = 16,08 cm2).
4φ16
40
4φ16
20cm
Solução
11
Exemplo com três interpolações (caso geral):
ν = 0,63 e μ = 0,37
Tabela A1.2 para ν = 0,60: ω = 0,53+(0,79-0,53)x0,70=0,71
Tabela A1.2 para ν = 0,70:
ω = 0,59+(0,86-0,59)x0,70=0,78
Interpolando para ν = 0,63 (multiplicador igual a 0,30):
ω = 0,71+(0,78-0,71)x0,30 = 0,73
12
3- DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXOCOMPRESSÃO NORMAL
• Em vez de tabelas de dimensionamento, podem-se empregar
gráficos denominados diagramas de interação.
• Para elaborar um diagrama, utiliza-se o mesmo processo
iterativo.
13
Fórmulas aproximadas para flexo-compressão normal
Fórmulas apresentadas por Montoya: válidas para seções
retangulares com duas camadas de armadura.
f ck ≤ 50 MPa
ν ≤ 1 ⇒ μ = ( 0, 5 − δ )βω + 0,468ν (1 − ν )
ν > 1 ⇒ μ = (0,5 − δ )β (ω + 1 −ν )
ν
β
0
1,00
0,5
1,00
Valores de β
0,6
0,7
0,93 0,88
0,8
0,88
(1)
(2)
0.9
0,90
≥ 1,0
0,93
Resolvendo o exemplo anterior com a fórmula:
ν = 0, 60 ⇒ β = 0,93 ; μ = 0,37 ; δ = 0,10
De (1): ω =
μ − 0, 468ν (1 −ν )
σ
= 0,693 ⇒ As = ωbh cd = 15,3 cm2
( 0,5 − δ )β
f yd
14
4- A FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
O problema fica mais
complicado, pois a
inclinação da linha neutra
passa a ser incógnita.
y
xo
Nd
α
x
LN
Empregando o diagrama
retangular, devemos
trabalhar com
σ cd = 0,80 f cd .
σ cd = α c f cd , se a largura não diminuir
Temos os dois casos
Adotar ⇓
σ cd = 0,95α c f cd
σ cd = 0,9α c f cd , se a largura diminuir
Se f ck ≤ 50 MPa, obtém-se σ cd = 0,80 f cd .
15
Esforço normal: N d
y
ex
Nd
Momentos fletores:
M xd = N d e x e
M yd = N d e y
ey
xsi
ysi
x
Acc = área comprimida com
a tensão σ cd
σ sdi = tensão de cálculo na
barra i
Asi = área da barra i
16
Equações de equilíbrio:
n
N d = ∫ σ cd dA + ∑ Asiσ sdi
i =1
n
Acc
M xd = ∫ σ cd xdA + ∑ Asiσ sdi x si
i =1
Acc
n
M yd = ∫ σ cd y dA + ∑ Asiσ sdi y si
i =1
Acc
Dimensionamento: dadas as coordenadas dos vértices da seção e
das barras de aço; dados os três esforços solicitantes de cálculo:
obter a área total de aço na seção.
Verificação: dada a seção já dimensionada e dado o esforço
normal: determinar os momentos fletores de cálculo que levam a
seção à ruína.
Os dois problemas são resolvidos com o software PACON.
17
Tabelas para dimensionamento de seções retangulares
(Apêndice 2)
Entrada:
Nd
;
ν =
Ac σ cd
M xd
;
μx =
Ac hx σ cd
μy =
M yd
Ac hy σ cd
onde Ac = hx h y é a área da seção transversal e σ cd = 0,80 f cd .
Ler: ω e calcular
As =
ω Ac σ cd
f yd
As tabelas são restritas aos concretos do Grupo I
(concretos com f ck ≤ 50 MPa).
18
Exemplo:
y
4
4
40
x
Concreto: f ck = 20 MPa
Aço CA-50 ( f yk = 50 kN/cm2)
Dados:
N k = 800 kN ;
M xk = 2000 kNcm
M yk = 4000 kNcm
20cm
f ck
≅ 14 MPa;
1,4
= 0,80 f cd = 11,2 MPa;
f yk
=
= 43,48 kN/cm2;
1,15
f cd =
σ cd
f yd
σ cd = 1,12 kN/cm 2.
h x = 20 cm;
h y = 40 cm.
19
Ac = h x h y = 20x 40 ⇒ Ac = 800 cm2
N d = 1, 4 N k = 1, 4 x800 ⇒ N d = 1120 kN
M xd = 1, 4M xk = 1, 4 x2000 ⇒ M xd = 2800 kNcm
M yd = 1,4 M yk = 1, 4 x4000 ⇒ M yd = 5600 kNcm
Nd
1120
=
⇒ν = 1, 25
Ac σ cd 800 x1,12
2800
M xd
μx =
=
⇒ μ x ≅ 015
Ac hxσ cd 800 x 20x1,12
M yd
5600
μy =
=
⇒ μ y ≅ 0,15
Ac h yσ cd 800x 40 x1,12
ν=
20
Tabela A2.2: Interpolando ⇓
Para ν = 1, 2 : ω = 0,85
Para ν = 1, 4 : ω = 1, 02
Interpolando novamente para ν = 1,25 :
As =
ωAcσ cd
f yd
=
ω = 0,89 .
0, 89 x800 x1,12
⇒ As = 18,34 cm2 .
43, 48
21
5- ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS
• Subestrutura de contraventamento
- Função principal: resistir às ações horizontais (vento).
- Também recebe cargas verticais.
- Deve garantir a indeslocabilidade horizontal do edifício.
- Os seus pilares são denominados de pilares de
contraventamento.
• Subestrutura contraventada
- Função principal: resistir às cargas verticais.
- Os seus pilares são denominados de pilares
contraventados.
- Esses pilares podem ser calculados como se fossem
apoiados no nível das lajes de piso.
22
FV = soma de todas as
cargas verticais de
serviço
n = número de andares
htot = altura total da
edificação
E cs I c = rigidez à flexão
dos elementos verticais
(Deslocável)
(Indeslocável)
na direção considerada
α = parâmetro de
instabilidade
A estrutura pode ser considerada indeslocável quando:
FV
α = htot
≤ 0, 2 + 0,1n , se n ≤ 3
E cs I c
elemento rígido
CEB/78
α ≤ α lim , se n ≥ 4
23
Segundo a NBR-6118:
contraventamento por pilares-parede: α lim = 0,7
contraventamento por pórticos: α lim = 0, 5
associação de pórticos e pilares-parede: α lim = 0,6
Pilar-parede de seção constante
Pilar-parede de seção
variável ou pórtico de
contraventamento
13
Aplicamos
uma
força
⎛ f ck + 8 ⎞
E cs = 0,85x 21500⎜
⎟ MPa horizontal F no topo e
⎝ 10 ⎠
calculamos o deslocamento
horizontal U no topo da
Ic = momento de inércia da seção estrutura.
transversal de concreto sem a
inclusão das armaduras.
Rigidez equivalente:
3
F H htot
EIeq =
3U
24
A rigidez equivalente também pode ser determinada considerando
uma carga horizontal p , uniformemente distribuída.
EI eq
4
phtot
=
8U
(modelo de carga uniforme)
PROCEDIMENTO RECOMENDADO
A) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por
paredes estruturais e/ou pilares-parede
α = htot
FV
E cs I c
≤ α lim
(estrutura indeslocável)
(6.2.6)
E cs = módulo secante do concreto, I c = momento de inércia da
seção de concreto simples.
25
O coeficiente α lim é função do número de andares n do edifício e
do estado de fissuração do elemento de contraventamento.
• para elementos não fissurados:
α lim = 0, 67 1 −
0,60
n
(6.2.7)
• para elementos fissurados:
α lim = 0, 47 1 −
0,60
n
(6.2.8)
• Determinam-se as tensões de tração no concreto, para as cargas
horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento
estrutural (problema de flexão composta da Resistência dos
Materiais).
26
• Comparam-se as tensões de tração máximas em cada andar com a
resistência à tração característica inferior do concreto, f ctk ,inf , para
saber o estado de fissuração do elemento de contraventamento.
• Pode-se fazer uma interpolação linear entre os valores dados nas
equações (6.2.7) e (6.2.8), com base no tamanho do trecho do pilarparede que se encontra fissurado.
B) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por
pórticos
• Determina-se a rigidez equivalente EI eq dos pórticos com o
modelo de carga uniforme.
• Na análise dos pórticos para cálculo do deslocamento horizontal
U , considera-se a rigidez EI = 0,70 E cs I c , para os pilares, e
EI = 0,35E cs I c , para as vigas.
27
α = htot
FV
≤ α lim
EI eq
α lim = 0, 66 1 −
0,39
≤ 0, 62
n
(6.2.9)
(6.2.10)
C) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito pela
associação de pórticos com paredes e/ou pilares-parede
• A rigidez equivalente da associação é obtida como para os
pórticos.
• A princípio, considera-se EI = 0,70 E cs I c para uma parede ou
pilar-parede. Porém, se ficar comprovado que esse elemento está
fissurado para as cargas de cálculo, deve-se repetir a análise do
conjunto considerando EI = 0,35E cs I c para o mesmo.
28
α = htot
FV
≤ α lim
EI eq
(6.2.9)
0,53
≤ 0,72
n
(6.2.11)
α lim = 0, 74 1 −
29
Tabela 6.2.1 – Valores limites para o parâmetro de instabilidade
( α lim )
Parede e pilar-parede *
Pórtico e
Pórtico
parede
não
fissurada
**
**
fissurada
n
1
2
3
4
5
10
20
α max
* α = htot
0,42
0,56
0,60
0,62
0,63
0,65
0,66
0,67
0,30
0,39
0,42
0,43
0,44
0,46
0,46
0,47
0,52
0,59
0,62
0,62
0,62
0,62
0,62
0,62
0,51
0,63
0,67
0,69
0,70
0,72
0,72
0,72
FV
FV
≤ α lim ; ** α = htot
≤ α lim
E cs Ic
EIeq
30
Exemplo 1:
Verificar se o pilar-parede da fig. 6.2.2 é suficiente para garantir a
indeslocabilidade de um edifício de 8 andares, cuja altura total desde
a fundação é igual a 25 m. A soma de t odas as cargas verticais de
serviço é igual a 25.000 kN e o concreto possui f ck = 20 MPa.
y
xc
0,15
yc
c
1,50
x
0,15
0,15
0,50
2,70m
0,50
0,15
Fig. 6.2.2 - Pilar-parede de contraventamento
31
xc = 2 m ; y c = 0, 63 m. (coordenadas do centróide)
I x = 3,02 m4 (em torno de y ) ; I y = 0,54 m4 (em torno de x )
13
E cs
⎛ 20 + 8 ⎞
= 0,85 x 21500⎜
⎟
⎝ 10 ⎠
≅ 25760 MPa
Ecs = 25760 x10 3 kN/m2
•
•
Substituindo n = 8 nas equações (6.2.7) e (6.2.8), obtém-se:
pilar-parede não fissurado: α lim = 0, 64 ;
pilar-parede fissurado:
α lim = 0,45 .
32
25000
α x = 25
3
= 0, 45
25760 x10 x3,02
O pilar-parede sozinho é suficiente para garantir a indeslocabilidade
nesta direção, independentemente do seu estado de fissuração.
α y = 25
25000
3
= 1, 06
25760 x10 x 0, 54
O pilar-parede sozinho não é suficiente para garantir a
indeslocabilidade na direção y , mesmo que ele se encontre não
fissurado.
33
Exemplo 2:
Determinar a rigidez equivalent e do pórtico
15
f ck = 25 MPa
4m
Vigas: 20cm x 60cm
Pilares: 20cm x 50cm
E cs = 27200 MPa
htot = 60 m
2
1
4m
4m
5m
5m
Pilares: EI = 0, 70 E cs I c ;
Vigas: EI = 0, 35E cs I c
34
Rodando PACON:
Modelo de carga concentrada:
EI eq = 27,34 x10 6 kNm2
EI eq = 21,90 x10 6 kNm2
Modelo de carga uniforme:
Observações:
• Ao usar o procedimento recomendado anteriormente, deve-se
empregar o modelo de carga uniforme, pois os valores de α lim
foram determinados com base nesse modelo.
•A
rigidez
dos
três
pilares
isoladamente
é
de
apenas
3x 0, 70 E cs I c = 0,12 x10 6 kNm2, o que mostra a grande influência
das vigas na rigidez do conjunto.
35
6- ÍNDICE DE ESBELTEZ
λ = le i
le = comprimento de
flambagem do pilar;
Para as seções retangulares:
i = I c Ac = raio de giração da
l
seção transversal;
λ = e 12
h
I c = momento de inércia;
Ac = área.
Normalmente, consideramos os pilares birrotulados: le é a
distância entre os eixos das vigas de dois andares vizinhos.
Deve-se limitar: λ ≤ 200 .
36
7- PROCESSO SIMPLIFICADO PARA
CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA
ORDEM
Fd
M 1d=Fd e1
ec
l
Fd
(Válido para λ ≤ 90 )
Excentricidade de segunda
ordem:
e2
l
0,005
e2 =
10 (ν o + 0,5 )h
2
e1
νo =
Fd
≥ 0,5
Ac f cd
M 1d
Fd
Fd
Ac = área da seção de concreto;
h = altura na direção
considerada
37
Excentricidade de fluência:
⎡ ϕ∞ Fk
⎤
P
−
F
ec = e1 ⎢e e k − 1⎥ , se λ > 50
⎢
⎥
⎣
⎦
e= base do logaritmo neperiano;
ϕ ∞ = coeficiente final de fluência;
Carga de Euler:
Pe =
π 2 Ecs I c
le2
Pode desprezar a fluência se λ ≤ 50
Esforços para dimensionamento:
N d = Fd e M d = Fd (e1 + e2 + ec ) .
38
8- EXCENTRICIDADE ACIDENTAL E
EXCENTRICIDADE MÍNIMA
Excentricidade acidental
l
ea = e
400
Excentricidade mínima
e1,min = 1,5 + 0,03h , cm
(cobre os erros de avaliação do
(leva em conta as imperfeições momento inicial)
do eixo do pilar)
M
Excentricidade de primeira ordem: e1 = ei + ea ; ei = i
F
39
9- SITUAÇÕES DE PROJETO DOS PILARES
canto
extremidade
intermediário
Pilar intermediário: podemos
desprezar os momentos iniciais
transmitidos pelas vigas;
situação de projeto: compressão
centrada.
Pilar de extremidade:
considerar os momentos
iniciais; situação de projeto:
flexo-compressão normal.
Pilar de canto: considerar os
momentos iniciais nas duas
direções; situação de projeto:
flexo-compressão oblíqua.
40
Cálculo aproximado dos momentos iniciais (NBR-6118)
rvig=4I vig/l vig
q
0,5lsup
Msup
Minf
Isup
rsup=6Isup/l su
Ivig
nó
Meng
0,5l in f
rinf=6I inf/l inf
I inf
l vig
M inf = M eng
rinf
rinf
+ rsup + rvig
M sup = M eng
rsup
rinf + rsup + rvig
M eng = momento de engastamento perfeito;
r = coeficiente de rigidez.
41
10- SITUAÇÕES DE CÁLCULO DOS PILARES
A) Pilares intermediários
y
y
y
Primeira situação de
cálculo:
e x = e1x + e2 x + ecx
Fd
hy
ey
Fd
Fd
x
ex
lex
; eix = 0
400
e1x,min = 1,5 + 0, 03hx
e ax =
x
x
(c)
hx
(b)
(a)
Segunda situação de cálculo:
e y = e1 y
⎧eix + eax
e1 x ≥ ⎨
⎩ e1 x,min
+ e2 y + ecy
Realizar dois dimensionamentos à flexo-compressão normal e
adotar a maior armadura.
42
B) Pilares de extremidade
y
y
y
e ia
a
Fd
+
ey
e ix
Fd
hy
x
Fd
x
x
ex
(c)
Direção x
Excentricidades
iniciais
eia > | e ib |
-
(b)
hx
b
e ib
(a)
B.1) Dimensionamento segundo a direção x
• Seção de extremidade:
e x = eia + eax ≥ e1x,min (1)
• Seção intermediária:
e x = e1x + e 2 x + ecx
(2)
⎧0,6eia + 0, 4eib
eix ≥ ⎨
0, 4eia
⎩
43
⎧eix + ea x
e1x ≥ ⎨
⎩ e1x , min
Dimensionar para o maior
valor de e x resultante das
equações (1) e (2).
⎤
⎡ ϕ∞ Fk
P
−
F
ecx = (eix + e ax )⎢ e ex k − 1⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
B.2) Dimensionamento segundo a direção y
eiy = 0
;
⎧eiy + eay
e1 y ≥ ⎨
⎩ e1 y , min
e y = e1 y + e2 y + ecy
Realizar dois dimensionamentos à flexo-compressão normal e
adotar a maior armadura.
44
C) Pilares de canto
y
+
+
eix
hy
topo
eiy,t
eix,t
eiy
x
x
hx
y
-
-
eix,b
eiy,b
base
• Há momentos iniciais segundo as duas direções
• Todas as seções do pilar estão sob flexo-compressão oblíqua
• Devemos considerar 6 (seis) situações de cálculo: duas na seção
do topo, duas na seção da base e duas na seção intermediária.
45
Situações de cálculo na seção de topo do pilar
• Situação de cálculo 1:
y eix,t
2
Fd
y
y
eix,t
ex
hy
eiy,t
Fd
x
eiy,t
ey = eiy ,t
x
x
(b)
;
e1x = eix ,t + eax ≥ e1x ,min
ey
1
Fd
e x = e1x
(c)
hx
e x = eix ,t
;
ey = e1y
(a)
e1 y = eiy ,t + eay ≥ e1 y ,min
46
Situações de cálculo na seção da base do pilar
y eix,b
4
Fd
y
y
eix,b
ex
ey
3
Fd
hy
e x = e1x
e1x = eix ,b + eax ≥ e1x ,min
Fd eiy,b
eiy,b
x
ey = eiy ,b
;
x
x
(b)
(c)
e x = eix ,b
hx
(a)
;
e y = e1y
e1 y = eiy ,b + eay ≥ e1 y ,min
47
Situações de cálculo na seção intermediária do pilar
y eix
6
Fd
y
y
eix
ex
ey
5
Fd
hy
Fd
eiy
x
eiy
x
x
(b)
(c)
hx
Admitindo que as maiores
excentricidades, em valor
absoluto, ocorrem na
seção de topo.
(a)
Excentricidades iniciais na seção intermediária:
⎧0,6 e + 0,4 eix ,b
eix ≥ ⎨ ix ,t
0,4eix ,t
⎩
;
⎧0,6eiy ,t + 0,4eiy ,b
eiy ≥ ⎨
0,4eiy ,t
⎩
48
e x = e1x + e2 x + ecx
ey = eiy
;
e1x = eix + eax ≥ e1x ,min
e x = eix
;
e y = e1y + e2 y + ecy
e1 y = eiy + eay ≥ e1 y ,min
A princípio, devem ser feitos 6 dimensionamentos à flexo-compressão
oblíqua (usando PACON, por exemplo).
O trabalho é excessivo, quando o dimensionamento é feito por meio de
tabelas. Nesses casos, deve-se analisar a ordem de grandeza das
excentricidades, para eliminar as situações de cálculo irrelevantes.
49
OBSERVAÇÕES:
1. Em todos os casos, deve-se ter λ ≤ 90 . Se λ > 90 , o pilar é
esbelto, devendo-se empregar um processo rigoroso (Capítulo 9
do Volume 3 e software JM PILAR).
2. Nos edifícios consideramos le = l , admitindo que os pilares são
birrotulados.
3. No cálculo da excentricidade de fluência, não respeitamos a
excentricidade mínima. A excentricidade de fluência é calculada
como
⎡ ϕ∞ Fk
⎤
P
−
F
e cx = (eix + e ax ) ⎢e ex k − 1⎥ (exemplo para a direção x)
⎢
⎥
⎣
⎦
Nos pilares intermediários, eix = 0 .
50
11- EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
Nos exemplos a seguir:
Cálculos preliminares:
f ck = 20 MPa
Aço CA-50
( f yk = 50 kN/cm2 )
f cd =
ϕ ∞ = 2, 5
f yd
le = 4m
(nas duas direções)
γ f = 1,4
γ c = 1, 4
γ s = 1,15
Ecs
2
2
≅ 1,4 kN/cm
1, 4
50
=
= 43, 48 kN/cm2
1,15
⎛ f +8 ⎞
= 0 ,85 x21500 ⎜ ck
⎟
10
⎝
⎠
E cs = 2576 kN/cm
1
3
MPa
2
Excentricidades acidentais:
l
400
= 1cm
e ax = e ay = e =
400 400
Fk = 857 kN
⇒ Fd = 1, 4Fk = 1200 kN
51
Exemplo 1: Pilar intermediário
Solução: Iniciar pela direção de maior esbeltez
y
50
1) Dimensionamento segundo a direção x
x
a) Índice de esbeltez:
l ex
l
12 400 12
λx =
= ex
=
= 69
I cx Ac
hx
20
b) Excentricidade de segunda ordem
20cm
νo =
Fd
Ac f cd
=
1200
= 0,86
20 x50 x1, 4
Como ν o > 0,5 , adota-se o
valor calculado ν o = 0,86 .
52
e 2x
le2x
0, 005
=
10 (ν o + 0, 5)hx
e 2x
400 2
0, 005
=
⇒ e 2 x = 2,94 cm
10 (0,86 + 0,5 )20
c) Excentricidade de fluência (λ x > 50 )
h y h3x
50 x 203
I cx =
=
= 33. 333 cm4
12
12
π 2 E cs I cx π 2 x 2576 x33. 333
Pex =
=
= 5297 kN
2
2
l ex
400
e cx
⎡ ϕ∞ Fk
⎤ ⎡ 2 ,5 x857
⎤
⎢
⎥
Pex − Fk
5297
−
857
= eax e
− 1 = 1⎢ e
− 1⎥ ⇒ ecx = 0, 62 cm
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎦
⎣⎢
⎦⎥ ⎣
53
d) Excentricidade mínima
y
e1x , min = 1,5 + 0, 03h x ⇒ e1 x, min = 2,1cm
d'=4
ex
e) Situação de cálculo
⎧ eax = 1,0
e1x ≥ ⎨
⇒ e1 x = 2,1cm
e
=
2
,
1
⎩ 1 x , min
b=50
Excentricidade total na direção x :
e x = e1x + e2 x + ecx .
e x = 2,1 + 2,94 + 0, 62 ⇒ e x = 5, 66 cm
Fd x
h=20cm
Primeira situação
de cálculo
54
Dimensionamento para a primeira situação de cálculo:
N d = Fd = 1200 kN;
M d = N d e x = 1200x5,66 = 6792 kNcm.
Tabela A1.4 do Apêndice 1: As = 25,67 cm2
Tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2): 8 barras de 20mm
(área = 25,13cm2, praticamente igual à área calculada).
4
4φ20
4φ20
50
Solução obtida
para a primeira
situação de cálculo
4
20cm
As=25,13 cm2
55
y
2) Dimensionamento segundo a direção y
Fd
e ay = 1 cm; e1 y , min = 3 cm ⇒ e1 y = 3 cm;
ey
e 2 y = 1,18 cm; ecy = 0 (pois λ y = 28 < 50 ).
h=50
x
Logo, e y = 3 + 1,18 = 4,18 cm.
d'=4
Dimensionamento:
N d = 1200 kN; M d = 1200x4,18 = 5016 kNcm.
Tabela A1.10 do Apêndice 1: As = 5,80 cm2
b=20cm
Segunda situação
de cálculo
Como na seção já existe uma armadura com área de 25,13cm2,
exigida pelo dimensionamento segundo a direção x , conclui-se
que essa armadura satisfaz com bastante folga as exigências para
a direção y . Portanto, a direção x é a crítica.
56
Exemplo 2: Pilar de extremidade
y
20kNm
+
direção x
50
x
15kNm
20cm
Momentos iniciais de serviço
segundo a direção x
Iniciar pela direção x: direção de maior esbeltez
57
1) Dimensionamento segundo a direção x
a) Índice de esbeltez: λ x = 69 (ver exemplo 1).
b) Excentricidades iniciais
eia =
2000
1500
= 2,33 cm ; eib = −
= −1, 75 cm.
857
857
c) Excentricidade mínima
e1 x, min = 1,5 + 0,03 x 20 ⇒ e1x , min = 2,1cm
Seção de extremidade:
⎧eia + e ax = 2, 33 + 1 = 3,33
ex ≥ ⎨
e1x, min = 2,1
⎩
⇒ e x = 3,33 cm
58
d) Excentricidade inicial na seção intermediária
⎧0, 6eia + 0, 4eib = 0,6 x 2,33 + 0, 4(−1, 75) = 0, 70cm
eix ≥ ⎨
0, 4eia = 0, 4 x2,33 = 0,93cm
⎩
Logo, eix = 0,93 cm.
e) Excentricidade de segunda ordem:
e 2 x = 2, 94 cm (ver exemplo 1).
f) Excentricidade de fluência: Pex = 5297 kN (ver exemplo 1).
ecx
⎡ ϕ∞ Fk
⎤
P
−
F
e cx = (eix + eax )⎢e ex k − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎡ 2 ,5 x857
⎤
= (0,93 + 1)⎢ e 5297 − 857 − 1⎥ = 1,20 cm.
⎢
⎥
⎣
⎦
59
Seção intermediária:
⎧eix + eax = 0,93 + 1 = 1,93
e1 x ≥ ⎨
e1 x, min = 2,1
⎩
⇒ e1 x = 2,1 cm
e x = e1 x + e2 x + ec x = 2,1 + 2,94 + 1, 20 ⇒ e x = 6, 24 cm
Logo, deve-se dimensionar a seção intermediária com uma
excentricidade e x = 6,24 cm.
60
y
4
d'=4
ex
5φ20
5φ20
b=50
50
Fd x
4
20cm
h=20cm
Primeira situação de cálculo
As=31,42 cm2
Solução
N d = 1200 kN; M d = 1200 x6,24 = 7488 kNcm.
Tabela A1.4 do Apêndice 1: As ≅ 29,00 cm2.
Adotando 10φ 20 , tem-se uma área de aço igual a 31,42cm2(tabela
A3.2, Apêndice 3, Volume 2).
61
2) Dimensionamento segundo a direção y
eay = 1 cm; e1 y , min = 3 cm ⇒ e1 y = 3cm
e 2 y = 1,18 cm ; e cy = 0 (pois λ y = 28 < 50 ).
Excentricidade total:
y
Fd
e y = 3 + 1,18 = 4,18 cm.
N d = 1200 kN; M d = 1200x 4,18 = 5016 kNcm.
ey
h=50
x
d'=4
Tabela A1.14 do Apêndice 1: As = 6,07 cm2.
Como a seção já possui uma área de
aço igual a 31,42cm2, exigida pelo
dimensionamento segundo a direção x ,
conclui-se que a solução é aquela
indicada anteriormente (10 φ 20).
b=20cm
Segunda situação de cálculo
62
Exemplo 3: Pilar de canto
y
20kNm
40kNm
+
+
50
x
x
25cm
15kNm
y
20kNm
Seção transversal e momentos iniciais de serviço
63
Solução:
a) Excentricidades iniciais
No topo:
eix ,t =
Na base: eix ,b =
2000
4000
= 2,33 cm; eiy ,t =
= 4,66 cm
857
857
− 1500
− 2000
= −1,75 cm; eiy ,b =
= −2,33 cm
857
857
Na seção intermediária:
⎧0,6 x 2,33 − 0,4 x1,75 = 0,70
⇒ eix = 0,93 cm
eix ≥ ⎨
x
0
,
4
2
,
33
=
0
,
93
⎩
⎧0,6 x 4,66 − 0,4 x 2,33 = 1,86
⇒ eiy = 1,86 cm
eiy ≥ ⎨
x
0
,
4
4
,
66
=
1
,
86
⎩
64
b) Excentricidades mínimas
e1 x,min = 1,5 + 0 ,03x25 = 2,25 cm ; e1y ,min = 1,5 + 0,03 x50 = 3,00 cm
c) Situação de cálculo 1 (no topo)
⎧eix ,t + eax = 2,33 + 1,00 = 3,33
e1x ≥ ⎨
e1x,min = 2,25
⎩
⇒ e1x = 3,33 cm
Dimensionamento à flexo-compressão com as excentricidades:
¾ e x = 3,33 cm ; e y = 4,66 cm
65
d) Situação de cálculo 2 (no topo)
⎧eiy ,t + eay = 4,66 + 1,00 = 5,66
e1 y ≥ ⎨
e1 y ,min = 3,00
⎩
⇒ e1 y = 5,66 cm
¾ e x = 2,33 cm ; e y = 5,66 cm
66
e) Situação de cálculo 3 (na base)
⎧eix,b + eax = 1,75 + 1,00 = 2,75
e1x ≥ ⎨
e1x,min = 2,25
⎩
⇒ e1x = 2,75 cm
¾ e x = 2,75 cm ; e y = 2,33 cm
f) Situação de cálculo 4 (na base)
e1 y
⎧eiy ,b + eay = 2,33 + 1,00 = 3,33
≥⎨
e1 y ,min = 3,00
⎩
⇒ e1 y = 3,33 cm
¾ e x = 1,75 cm ; e y = 3,33 cm
67
g) Situação de cálculo 5 (na seção intermediária)
e1x
⎧eix + eax = 0,93 + 1,00 = 1,93
≥⎨
e1x,min = 2,25
⎩
⇒ e1x = 2,25 cm
l 12 400 12
Índice de esbeltez: λ x = ex
=
= 55
hx
25
Excentricidade de segunda ordem:
νo =
Fd
1200
=
= 0,69
Ac f cd 25 x50 x1,4
Como ν o > 0,5 , adota-se o valor calculado ν o = 0,69 .
68
e2 x
2
2
lex
400
0,005
0,005
; e =
=
⇒ e2 x = 2,69 cm
2x
10 (ν o + 0,5)hx
10 (0,69 + 0,5)25
Excentricidade de fluência:
Pex =
π 2 Ecs I cx
2
lex
= 10345 kN
⎤
⎡ ϕ∞ Fk
ecx = (eix + eax )⎢e Pex − Fk − 1⎥
⎥
⎢
⎥⎦
⎣⎢
⎡ 2,5 x857
⎤
ecx = (0,93 + 1)⎢e 10345−857 − 1⎥ = 0,49 cm
⎢
⎥
⎣
⎦
e x = e1x + e2 x + ecx = 2,25 + 2,69 + 0,49 = 5,43 cm
69
¾ e x = 5,43 cm ; e y = 1,86 cm
h) Situação de cálculo 6 (na seção intermediária)
⎧eiy + eay = 1,86 + 1,00 = 2,86
e1 y ≥ ⎨
e1 y ,min = 3,00
⎩
Índice de esbeltez: λ y =
l ey 12
hy
=
⇒ e1 y = 3,00 cm
400 12
= 27 < 50
50
Excentricidade de segunda ordem:
e2 y
400 2
0,005
=
⇒ e2 y = 1,34 cm
10 (0,69 + 0,5)50
Excentricidade de fluência: ecy = 0 , pois λ y < 50
70
e y = e1 y + e2 y + ecy = 3,00 + 1,34 + 0,00 = 4,34 cm
¾ e x = 0,93 cm ; e y = 4,34 cm
Excentricidades para o dimensionamento
Excentricidades (cm)
Excentricidades relativas
Situação
de cálculo
e
e
e h
e h
x
3,33
2,33
2,75
1,75
5,43
0,93
1
2
3
4
5
6
⎛e
Raio: R = ⎜ x
⎜ hx
⎝
x
y
4,66
5,66
2,33
3,33
1,86
4,34
2
⎛e ⎞
⎞
⎟ +⎜ y ⎟
⎜⎜ h ⎟⎟
⎟
⎠
⎝ y⎠
x
0,1332
0,0932
0,1100
0,070
0,2172
0,0372
y
y
0,0932
0,1132
0,0466
0,0666
0,0372
0,0868
2
71
0.30
0.20
y
y
0.25
Situação de
cálculo crítica (o
raio R é muito maior
que os demais)
0.15
0.10
0.05
R
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
x
0.25
0.30
x
Representação das situações de cálculo em um
diagrama de interação adimensional hipotético
72
Neste exemplo, basta dimensionar para a situação crítica (número 5).
Havendo dúvidas, deve-se realizar o dimensionamento para outras
situações de cálculo.
Dimensionamento para a situação de cálculo 5:
N d = 1200 kN;
M xd = N d e x = 1200 x5,43 = 6516 kNcm;
M yd = N d e y = 1200 x1,86 = 2232 kNcm.
Empregando as tabelas de flexo-compressão oblíqua:
σ cd = 0,80 f cd = 0,80 x1,4 ⇒σ cd = 1,12 kN/cm2
Ac = hx h y = 25 x50 ⇒ Ac = 1250 cm2
73
Nd
1200
=
⇒ν = 0,86
Acσ cd 1250 x1,12
M xd
6516
μx =
=
⇒ μ x = 0,19
Ac hxσ cd 1250 x 25 x1,12
M yd
2232
μy =
=
⇒ μ y = 0,03
Ac h yσ cd 1250 x50 x1,12
ν=
Da Tabela A2.3 (Volume 3), obtém-se:
As =
ωAcσ cd
f yd
=
ω = 0,44
0,44 x1250 x1,12
⇒ As = 14,17 cm2
43,48
Tabela A3.2 (Apêndice 3, Volume 2):
8 barras de 16 mm: área de aço existente = 16,08 cm2.
74
4
4φ16
4φ16
50
4
25cm
As=16,08 cm2
Solução para o pilar de canto
75
Simplificações para o projeto dos pilares
contraventados dos edifícios
• Em geral, λ < 50 para os pilares dos edifícios: pode-se desprezar a
excentricidade de fluência.
• Em geral, os momentos iniciais são pequenos, de modo que a
excentricidade de primeira ordem é menor que a excentricidade
mínima e1,min.
• Nesses casos, basta considerar a excentricidade mínima e1,min e a
excentricidade de segunda ordem e2.
• Essas simplificações não se aplicam aos pilares de
contraventamento. Para eles, devem ser consideradas as situações
de cálculo corretas, como foi apresentado anteriormente.
76
y
ey=e1y,min+e2y
Fd 2
hy
Fd
ex=e1x,min+e2x 1
x
hx
Situações de cálculo simplificadas para os pilares intermediários
e para os pilares de extremidade contraventados.
Além disso, se hy é significativamente maior que hx, a segunda
situação de cálculo pode ser eliminada.
77
y
Fd 2a
e2y
1
e1y,min
e'y
2
Fd
e1x,min
e2x
1a
x
e'x
Situações de cálculo simplificadas para os pilares de canto
contraventados: situações 1 e 2 em flexo-compressão oblíqua
78
Simplificação adicional para os pilares de canto contraventados:
dimensionar em flexo-compressão normal para as situações de
cálculo 1a e 2a. Haverá um maior consumo de aço, em relação às
situações 1 e 2.
Situação 1a:
⎛h
e' x = (e1x,min + e2 x ) + e1 y ,min ⎜ x
⎜ hy
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Situação 2a:
⎛ hy
e' y = e1 y ,min + e2 y + e1x,min ⎜⎜
⎝ hx
⎞
⎟
⎟
⎠
(
)
As situações 1a e 2a são antieconômicas e devem ser evitadas.
79

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