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UNISANTA
-
ELETROMAGNETlSMO
11 -
Prof. Hugo Santana
EQUAÇÕES DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO VÁRlÁ VEL NO TEMPO
LISTA DE EXERCÍCIOS
- PI
1) A figura abaixo mostra uma barra condutora paralela ao eixo y, que completa uma malha
através de contatos deslizantes com os condutores em y = O e em y = 0,05 [m].
a) Calcular
a tensão induzida
quando a barra está parada
em x
0,05
[rn] e
4
B = 0,30sen10 t
[T].
b) Repita o item acima supondo que a barra desloca-se com velocidade
v = 150 a x
y
B
/7'
0,05
B
/
/~-
v)
...•..v
,
tem
L--------+----~~~----------·x
Resolução:
fem
a)
-J .-ctL
= 'jJ(v x B)
_ \~
Sentido de circulação (Regra do saca-rolhas)
.(.ôB ~
4 - J.-dS-;-ond B~-0-se
n-I-O-'-1:a z
s ôl
Barra parada => ; = O =>
.. fem = -
fem = -
i(;
x B) • dL
ôR f·dS,
s ôt
0,050,05
. L
=
-
v
(01)
O
-
onde dS = dxdy a-
;:J
4
c/
fy=o x=of --ôt (0,30 sen
-
io t)az.
-
dxdy a ,
0,050,05
fem
=- f
f (0,30.104
. COSI04t)dxdy
y=Ox=O
fem = -0,30.104
b)
•
i(v x R). dL
Cálculo de v x R :
fem =
vxR
=
vB
. COS104t· (0,05)2
-7,5·
COSI04t,
sen 90 (-ãy)
0
=>
=>Iffem = --7,5- .-~~~-I04-;---[vT\I
onde dL = dy;y
vxR
= -45 senl04tãy
Substituindo (03) em (02), temos:
0,05
fem
=-45senl04t·
fãy
.dyãy
-7,5,COSI04t
y=O
fem = -45 sen 104t· (0,05) -7,5·
IIfem
=
-2,25 sen 104t -7,5·
COS 104t
COS 104t
[V] ~
- Página}-
(02)
[T]
(03)
UNISANTA
-
EQUAÇÕES
ELETROMAGNETISMO
II
-
Prof. Hugo Santana
DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO
V ÁRIÁ VEL NO TEMPO
2) Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 20 [cnr'] e gira em torno de um eixo situado em
um plano perpendicular
a um campo magnético uniforme de 40 [mT].
a) Considerando
que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcular o fluxo
máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina;
b) Considerando
que a bobina está em repouso e seu plano é perpendicular
ao campo,
determinar o valor médio da fem induzida na bobina, quando se retira o campo em t =
0,004 [s];
c) Considerando
que a bobina não se move e que seu plano forma um ângulo de 60° com a
direção do campo de indução, calcular o valor médio da fem induzida na bobina,
supondo que o campo de 40 [mT] se anula em t = 0,004 [s].
Resolução:
a)
/
,
,
}
~
N
\
\E S
H+-1S_-:'!"
'
,
\
o'
Posição para rft=
•
,
~nax
Posição para rft=
o.
rPmax = 80
[fLWb]
Cálculo de tPmax:
rPmax = BS
:::::>
.20.10-4
rPmax = 40.10-3
:::::>
Cálculo do valor médio da fem:
femmed
=
-N . I":.rP , onde I":.té o tempo gasto para o fluxo variar de
~max
até zero.
(01)
ót
•
Cálculo de Ót:
1
360· - voltas ~ 1s
60
:::::>.M
=-
1
- volta ~ ót
4
1
(02)
[s]
24
Substituindo (02) em (01), temos:
6
femmed = -50.
(O - 80 .10- )
1
~I
femmed = 96 [mv]~
24
b)
femmed
Posição para r/l=
timx
- Página 2-
=
I":.rjJ
-N·I":.t
UNISANTA
-
ELETROMAGNETISMO
EQUAÇÕES
DE MAXWELL
11 -
Prof. Hugo Santana
E CAMPO MAGNÉTICO
=
4':
lemmed
V ÁRIÁ VEL NO TEMPO
-N . (qJfinal - qJinicial )
.ó.t
=
4':
lemmed
-N . (O - qJmax)
.ó.t
femmed
=
(O - 80 . 10-6
-50· -'-------'4.10-3
)
= 1 [V] ~
~femmed
c)
.ó.qJ
=
fel11med
-N .-
.ó.t
(O 1)
•
Cálculo de qJinicial :
=
qJinicial
fR.
dS ~
qJinicial
fB' d S· cos 30° ~
=
s
do...
1"1I11cla
I
qJinicial
B· S· cos 30°
=
(02)
s
= 40 . 10-3
.
20 . 10-4
O, 866 ~
.
I
do ...
1"1I11cla
= 69,282
[IIWb]
r
Substituindo (02) em (01), temos:
I~
6
(O - 69,282.10- )
femmed =-50·
3)
~ ~mllled
4 . 10- 3
~
[V]
=0,866
'I::::::==========='=!J_
Na figura abaixo, B é constante com o tempo, mas não é uniforme
leitura VI2 do voltímetro no instante t = 0,2 [s] se L = 0,4 [m] e:
a)
[m]e li = (Ji'}z [T];
b) Y ~ 50t' [rnl e li ~(~i}z [Tl;
c)
y
= 10t
y = 50i
[m] e
R=~
y);z
(x -
no espaço. Encontrar
E
Z
[T].
V
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Resolucão:
VI2 = fem para t
fem =
= 0,2 [s]
1(v x B).
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f_Ô_B •
(01)
X
.
as: B = c-te----
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- Página 3-
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-
Sentido de circulação
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a
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- ELE.TRO~1AG ETISMO II - Prof. Hugo Santana
sou ÇÚE DE tAXWELL E CAMPO MAG ÉTICO VÁRlÁ VEL NO TEMPO
(02)
a)
Cálculo de V(t):
V(t)
•
=
dy -ay
dt
=:> V(t)
=
d
-(IOt)ay
dt
=:> V(t)
10ay
=
[is]
ms
Cálculo de v x B :
y-v x B = 1Oay x "2 a z =:> v x B = 5ya x
(03)
Substituindo (03) em (02), temos:
fem
=
L
f 5y;x
J- 5ydx
=
=:> fem
• (- dx;x)
=:> fem
= -5yL
x=O
= -50tL [V]
Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:
(04)
:. fem
fem
=
=
-4,0
(
50t
2)-ay
-50 . 0,2 . 0,4 =:> fem
[V]
(05)
Substituindo (05) em (01), temos:
b)
Cálculo de v(t):
v(t)
=
dy -ay
dt
=:> v(t)
= -d
dt
=:> v(t)
=
-
100tay
•
•
Cálculo de v x B :
yv x B = 100t ay x - az =:> v x B
2
=
50tyax
(03)
Substituindo (03) em (02), temos:
fem
=
L
f 50ty;x
• (- dx;x)
=:> fem
=
f - 50tydx
=:> fem
= -50tyL
x=O
.. fem
=
Substituindo t
3
-2500t
=
L
[V]
(04)
0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:
(05)
Substituindo (05) em (01), temos:
- Página 4-
UNISANTA
EQUAÇÕES
c)
ELETROMAGNETISMO
DE MAXWELL
II
-
Prof. Hugo Santana
E CAMPO MAGNÉTICO
V ÁRlÁ VEL NO TEMPO
Cálculo de v(t):
v(t) = dy;y
dt
•
-
Cálculo de v x
v x
fi =
fem
=
=> v(t) = ~ (50t2 );y => v(t) = 100t;y
[m/ ]
/s s
dt
fi :
100t;y
x ~(x - y);z
2
Substituindo (03) em (02), temos:
f 50t(x
=> v x
fi =
50t(x - y);x
(03)
L
- Y);x • (- dX;x) => fem
f - 50t(x
=
- y)dx
x=O
fem
= 50tyL - 25tL2 =>
Substituindo t
fem
=
fem
=
2500t3 L - 25tL2
[v]
(04)
= 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:
2500· (0,2)3 ·0,4 - 25 ·0,2· (0,4)2 => fem
Substituindo (05) em (01), temos:
- Página 5-
=
8,0 - 0,8 z> fem
=
7,2
[v] (05)
UNISANTA
-
ELETROMAGNETISMO
11 -
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EQUAÇÕES DE MAXWELL E CAMPO MAGNÉTICO VÁRIÁ VEL NO TEMPO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
B
1) Sendo no espaço livre
VxB
=
-
l.Ocosú» t -3x) ay
=[ÔBz _ ÔBY)ã.
+(ÔB&x _ ÔBz)ã
+[ÔB&
&
x
&
y
ôy
ÔBx)ã
_
y
2) Sendo no espaço livre B
?
=
3) Sendo no espaço livre
B=
4) Sendo no espaço livre
E=
ôy
-
5 y- cos(m t -x) a , - 40
-
-
50sen(2áJ t - x) az
-
35y2 z sen(m t - 2x);z
-
75 z senit» t - 2x) az
determinar
z senitu
-
2x) a.
t-
[T], determinar
6) Uma corrente
-
[T], determinar
o campo elétrico
[Vim], determinar
E
o campo elétrico
E
o campo magnético
reto e infinito, colocado no vácuo, possui uma corrente
de campo magnético a uma distância de 2 metros do fio.
(wt)] H/m
H = 0,238cos
B= 0,3.10-<; cos(wt)]
E
z
5) Um condutor filamentar
intensidade
o campo elétrico
H
1= 3cos(wt)
A. Qual densidade
e a
T
uniforme
Sendo a condutividade
de 10A flui por um condutor
do material
= 5,8.10 7
O'
de cobre de raio r =1 Omm, sem isolamento
S/ m , pede-se
e posicionado
no ar.
determinar:
a) A intensidade de campo magnético a 0,5metro da borda do condutor.
b) O campo elétrico de provoca a corrente de condução.
7) Uma bobina de 100 espiras tem uma área de 25 [crrr'] e gira em torno de um eixo situado em um plano perpendicular a
um campo magnético uniforme de 60 [mT]. Considerando que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcule o
fluxo máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina;
Posição
Posição para
para ~~=Y\t\~
q.,= o.
8) Determine a amplitude da densidade da corrente de deslocamento:
(a) próximo à antena de um carro onde a intensidade de campo magnético de um sinal FM é :
H,
=
0,15cos[2,12
(3.108t-y)]
Alm
(b) no espaço livre, em um ponto no interior de um transformador
By
=
O,8cos[1,257.10-6
8
(3.l0 t-x)]
de distribuição de grande potência onde:
T
(c) no interior de um capacitor de grande potência preenchido com óleo, no qual
E=Ex = O,9cos[1,257.10-ó (3.10 t-z.J5)]
8
(d) em um condutor metálico em 60Hz, se
J=Jx
=
sen (377t-117,lz)]
Resp: 0,318 Alm2
G
= G o'
MV/m
fl
= flo
e O' = 5,8.1
°
7
S/
me:
2
MAlm
- 0,800 A/m2 - 0,01502 Alm2
- Página 6-
- 57,6 pA/m2
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