um método de medição da potência ativa utilizando

UM MÉTODO DE MEDIÇÃO DA POTÊNCIA ATIVA UTILIZANDO SOMENTE
VALORES EFICAZES
André Luiz Gontijo, Luciano Martins Neto
Laboratório de Máquinas Elétricas, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia
CEP 38400-902, C.P. 593, Uberlândia – MG, Brasil
e-mail: [email protected]
Resumo – Este artigo apresenta uma nova abordagem
no cálculo da potência ativa consumida por uma carga,
através de sinais de tensão proporcionais aos valores
eficazes da tensão e da corrente juntamente com o valor
eficaz da soma ou da diferença destes dois sinais. Esta
abordagem é interessante quando a obtenção de valores
eficazes é simples e econômica comparada com a
obtenção dos valores instantâneos. A análise matemática
é apresentada em detalhe, bem como o funcionamento de
um protótipo, e testes que permitem a confrontação
teórica experimental.
Palavras-Chave – Fator de Potência, Potência Ativa e
Valor Eficaz.
A METHOD OF MEASURING ACTIVE
POWER ONLY USING RMS VALUES
Abstract – This paper shows a new approach in the
calculus of the active power consumed by a load through
signals of voltage, that are proportional to the RMS
values of the voltage and of the current, together with
RMS value of the sum or difference of these signs. This
approach it’s interesting when the attainment of the RMS
values it’s simple and economic compared with the
attainment of instantaneous values. The mathematical
analysis is presented in details, as the operating principle
of the prototype and the tests realized allow the
confrontation of the theory and the pratics.
Keywords – Active Power, Power Factor and RMS
Value.
NOMENCLATURA
V(t)
I(t)
Vv(t)
Vi(t)
S(t)
D(t)
Vv
Vi
S
D
T
P
Ps
Kv
Ki
Tensão Instantânea.
Corrente Instantânea.
Sinal de tensão proporcional a V(t)
Sinal de tensão proporcional a I(t)
Soma Instantânea.
Diferença Instantânea.
Valor Eficaz de Vv(t)
Valor Eficaz de Vi(t)
Valor Eficaz de S(t)
Valor Eficaz de D(t)
Período.
Potência Ativa.
Valor proporcional à P
Constante de proporcionalidade de Vv(t)
Constante de proporcionalidade de Vi(t)
I. INTRODUÇÃO
Um trabalho de grande interesse para a economia nacional
se refere a análise tecnicamente mais aprimorada da
conservação de energia notadamente nas áreas industrial e
comercial. Talvez o maior problema que se enfrenta quando
se pretende fazer uma análise desse tipo está relacionado
com as medições de potência, principalmente com a potência
ativa. Para se realizar um trabalho eficiente se faz necessário
monitorar a potência ativa em diversos pontos da instalação
elétrica, de forma concomitante. Quando se trata de uma
indústria ou mesmo de um comércio, facilmente se depara
com dezenas de pontos de medição simultânea, e a utilização
de medidores atualmente disponíveis no mercado torna-se
inviável economicamente. Mesmo supondo que uma empresa
de consultoria venha fazer esta análise, o investimento inicial
para a própria empresa é elevado, considerando o custo
unitário de tais medidores.
Atualmente existem vários medidores de potência ativa
disponíveis no mercado e, quase todos eles se utilizam do
método mais genérico de cálculo da potência ativa que
consiste em obter os valores instantâneos de tensão e
corrente em um determinado circuito, e integrar o seu
produto ao longo de um período.
Muitos desses medidores são caros, pois necessitam
amostrar com precisão os valores instantâneos de tensão e de
corrente, ou seja, o número de amostras por período deve ser
grande o suficiente para que o sinal seja aquisicionado
corretamente, e ao mesmo tempo armazenar estes valores em
uma memória para posterior análise. Para realizar todas essas
funções são necessários processadores muito rápidos, e às
vezes até dois processadores funcionando em paralelo, daí o
seu encarecimento.
Alguns desses medidores se utilizam deste método
porque são construídos não só para analisar a potência ativa,
mas também para realizar outras medidas para análises mais
apuradas, por exemplo, em qualidade de energia. Mas
existem aplicações em que estas medições são
desnecessárias, como é o caso de análise de demanda ou
quando é necessário apenas medir a potência ativa em
determinada carga.
Este trabalho vem procurar contribuir para o
desenvolvimento de um método simples e eficaz de medir a
potência ativa, se desvinculando da forma tradicional. Visa
fornecer uma forma alternativa para o cálculo da potência
ativa nos casos em que somente ela é necessária, o que
acarretaria em um medidor mais econômico e dimensionado
corretamente para a tarefa em questão.
O método a ser proposto é aplicável quando é possível se
obter facilmente o valor eficaz de um sinal qualquer, ou um
valor proporcional a ele, caso contrário, se fosse preciso
calcular os valores eficazes da tensão e da corrente da forma
tradicional o método já não se torna atrativo.
Uma vez suposto fácil a obtenção do valor eficaz de um
sinal qualquer, o método apresentado aqui facilita a obtenção
da potência ativa, tornando-se possível, por exemplo, a
construção de analisadores de demanda de potência e
também de wattímetros digitais mais baratos.
Para instalações onde se pode considerar a forma de onda
senoidal para tensão e corrente, a obtenção dos valores
eficazes é simples e econômica, pois esses valores são
proporcionais aos valores máximos, e estes por sua vez, são
facilmente obtidos através de uma simples retificação.
Quando as formas de onda não são senoidais, na grande
maioria das instalações, a tensão é muito próxima da senóide,
enquanto que a corrente geralmente tem maiores distorções.
Neste caso o cálculo da potência ativa considerando apenas
as componentes fundamentais de tensão e de corrente é
muito próximo do valor exato. Este fato possibilita a
aplicação do método proposto para instalações dessa
natureza.
II. ANÁLISE MATEMÁTICA
Neste capítulo será discutida toda a análise matemática,
incluindo o desenvolvimento dos métodos da soma e da
diferença, bem como o estudo da sensibilidade dos métodos e
a influência do erro de conversão nos métodos. Com base na
discussão em torno desses erros será mostrado que o método
da diferença é melhor que o da soma.
A. Métodos
Existem dois métodos possíveis a serem mostrados, o da
soma e o da diferença. O desenvolvimento matemático dos
dois métodos será mostrado paralelamente. Após a análise
matemática será discutido qual método é o melhor.
Supondo que se queira obter a potência ativa em jogo no
bipolo da figura 1, pode-se inicialmente dispor de dois sinais
de tensão, Vv(t) e Vi(t), respectivamente proporcional à
tensão V(t) e à corrente I(t) nos terminais do mesmo. Estes
sinais de tensão são obtidos através de sensores de tensão e
corrente, como por exemplo, um divisor de tensão e um
“shunt” de corrente, ou sensores de efeito “Hall”.
Dados os sinais proporcionais à tensão e à corrente
instantâneas podemos achar os valores da soma e da
diferença instantâneas entre estes dois valores. Elevando
estes valores ao quadrado temos (1) e (2).
Fig. 1. Tensão, corrente e seus respectivos sinais sensoriados.
(1)
(2)
(Vv (t ) + Vi (t ) )2 = S (t ) 2
(Vv (t ) − Vi (t ) )2 = D (t ) 2
Desenvolvendo (1) e (2) chega-se às equações (3) e (4).
(3)
(4)
Vv (t ) + Vi (t ) − 2 ⋅ Vv (t ) ⋅ Vi (t ) = D (t )
Supondo todos os sinais como sendo periódicos, pode-se
integrar as equações (3) e (4) dentro de um período T, e
dividir cada parcela das equações pelo próprio período
gerando (5) e (6).
1 T
1 T
2 T
1 T
Vv (t ) 2 dt +
Vi (t ) 2 dt +
Vv (t )Vi (t ) dt =
S (t ) dt (5)
Vv (t ) 2 + Vi (t ) 2 + 2 ⋅ Vv (t ) ⋅ Vi (t ) = S (t ) 2
2
T
1
T
∫
0
T
T
1
2
∫0 Vv (t ) dt + T
2
2
∫
T ∫0
T ∫0
T
2 T
1 T
2
∫0 Vi (t ) dt − T ∫0 Vv (t )Vi (t )dt = T ∫0 D (t )dt (6)
0
Sabe-se que a definição do cálculo da potência ativa é
dada por (7), onde Kv e Ki são as constantes de
proporcionalidade da tensão e da corrente, respectivamente, e
a definição do calculo do valor eficaz de uma forma de onda
periódica qualquer é dado por (8), assim chega-se às
equações (9) e (10).
1 T
KvKi T
P = ∫ V (t ) I (t ) dt =
Vv (t )Vi (t ) dt = KvKi ⋅ Ps (7)
0
T
T ∫0
1 T
W (t ) 2 dt
T ∫0
Vv 2 + Vi 2 + 2 Ps = S 2
Vv 2 + Vi 2 − 2 Ps = D 2
W=
(8)
(9)
(10)
Isolando o valor da potência Ps nas equações (9) e (10)
tem-se (11) e (12), que são as formas finais das equações
utilizadas neste trabalho, sendo que (11) representa o método
da soma e (12) o método da diferença.
S 2 − Vv 2 − Vi 2
(11)
Ps =
2
Vv 2 + Vi 2 − D 2
(12)
Ps =
2
Com o valore de Ps pode ser achado o valor de P
através das constantes de proporcionalidade Kv e Ki,
obedecendo a relação que aparece na equação (7).
B. Estudo da sensibilidade dos métodos
Considerando-se sinais de tensão e corrente em regime
permanente senoidal pode-se estudar o efeito da variação do
fator de potência da carga nas fórmulas (13) e (14), que
foram desenvolvidas através das fórmulas (11) e (12), com
isto pode-se observar a sensibilidade dos métodos.
S 2 − Vv 2 − Vi 2
(13)
Cos (α ) =
2 ⋅ Vv ⋅ Vi
Vv 2 + Vi 2 − D 2
(14)
Cos (α ) =
2 ⋅ Vv ⋅ Vi
Mantendo os valores eficazes de tensão e corrente fixos e
variando os valores eficazes da soma e da diferença tem-se
uma variação do fator de potência da carga. Através desta
análise construímos o gráfico da figura 2.
Observando-se a figura 2 nota-se que para uma mesma
variação nos valores de S e D, próximo ao fator de potência
unitário, implica em uma grande variação no fator de
potência no caso da soma, e em uma pequena variação nesse
mesmo valor no caso da diferença.
Fig. 2. Gráfico do fator de potência em função de S ou D
Fig. 3. Mapa de erro (Método da Soma).
Como a maioria das cargas apresenta fator de potência
mais próximo da unidade do que de zero, conclui-se que o
método da diferença é melhor que o da soma para medir a
potência ativa, devido a sua alta sensibilidade a variações na
faixa onde o fator de potência é próximo da unidade.
C. Erro de conversão
O erro de conversão aparece somente em sistemas onde há
uma conversão de analógico para digital. Quando essa
conversão é feita alguma precisão é perdida. Para minimizar
este erro pode-se somente aumentar o número de bits
utilizados na conversão.
Devido à fórmula utilizada, o erro de conversão pode se
tornar grande e limitar o uso deste método para apenas uma
faixa de atuação. Sabendo que o erro varia com o tamanho da
corrente e com o ângulo de carga, foi utilizado um programa
feito no Matlab para prever o comportamento deste erro
utilizando os métodos da soma e da diferença. Este programa
foi feito considerando que as correntes e tensões estão em
regime permanente senoidal.
No cálculo foi fixado o valor da tensão em 127 Volts, o
valor do fundo de escala da tensão em 180 Volts e o número
de bits utilizado na conversão foi de 8 bits. Assim foram
gerados os mapas de erro da soma (figura 3) e da diferença
(figura 4). Através destas figuras podemos notar que:
• O método da diferença é melhor por ser menos
sensível à digitalização, como explicado no item anterior.
• Quanto mais longe a corrente está do fundo de escala
maior o erro apresentado. O mesmo vale para tensão, mas
como ela varia muito menos que a corrente é mais fácil
ajustar o fundo de escala de tensão para que ele fique o
mais próximo possível do valor medido.
Fig. 4. Mapa de erro (Método da Diferença).
III. O PROTÓTIPO
Foi construído um protótipo para medição de uma carga
trifásica em regime permanente senoidal. Este protótipo
obedece ao esquema da figura 5, sendo que cada medidor da
figura pode ser mostrado em detalhe no diagrama de blocos
da figura 6, onde pode ser observado que o protótipo foi
construído para trabalhar com o método da diferença, uma
vez que este foi comprovado como sendo o melhor.
Porém deve-se ressaltar que o sistema trifásico a ser
medido deve estar na área permitida em azul, na figura 4, nas
três fases para que o erro seja, com certeza, menor que 1%.
• Quanto maior o ângulo maior o erro. Isto devido à
não linearidade da fórmula, pois como já foi visto, pelo
método da diferença quanto maior o ângulo maior o erro
devido à não linearidade.
Fig. 5. Diagrama de Blocos do Protótipo.
Fig. 6. Diagrama de Blocos do Medidor.
Os transdutores utilizados na captação dos sinais
instantâneos de corrente foram sensores de efeito Hall. Este
tipo de transdutor foi escolhido por oferecer uma boa
isolação elétrica entre a carga e o circuito de medição, alem
de apresentar uma resposta rápida.
No caso da obtenção dos sinais instantâneos de tensão,
foram utilizados amplificadores diferenciais, porque eram
mais práticos e atendiam os requisitos necessários para a
medição de tensão da rede. A disposição dos transdutores no
protótipo pode ser vista na figura 7.
Lembrar que foi necessário um conjunto de três
retificadores para cada fase, um para a tensão, outro para a
corrente e outro para o sinal da diferença.
Após esta fase, há a presença de um multiplaxador,
mostrado na figura 5, pois o microcontrolador que foi
utilizado possuía apenas oito conversores A/D e eram
necessários nove conversores, um para cada sinal. Para esta
tarefa foram utilizados três conjuntos de chaves analógicas
CMOS 4066.
Para a aquisição e armazenamento dos valores lidos foram
utilizados um microcontrolador PIC 16F877 e seis unidades
de memória I2C 24LC256. Os dados foram armazenados
para depois serem passados ao computador através de
comunicação serial.
Resumindo, o protótipo pega uma amostra da tensão
retificada, que é proporcional ao valor eficaz, da corrente
retificada e da diferença retificada em cada fase a cada 1
segundo e realiza os cálculos gerando uma curva com os
valores da potência instantânea em cada segundo de
medição.
A análise dos dados foi feita através de um programa feito
em Matlab.
IV. RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Foram realizados dois testes com o protótipo, o primeiro
utiliza uma carga monofásica Z ligada de forma a simular
uma carga trifásica equilibrada em estrela, conforme a figura
9. Neste primeiro teste foram feitos três ensaios, um para
cada valor de Z apresentado na tabela I. O outro teste
consiste em utilizar uma carga trifásica conectada em estrela.
Neste teste se repetem as medições para as duas cargas
mostradas na figura 10.
Fig. 7. Esquema dos transdutores.
Foram utilizados também, filtros butterworth de 3ª ordem
para filtrar os sinais de entrada de tensão e corrente, onde
somente a componente fundamental de 60Hz seja medida.
Isso porque, como se sabe, a tensão da rede sempre é muito
próxima a 60Hz e como a potência ativa depende da tensão, a
maior parte, senão toda, da potência ativa se encontra na
fundamental.
Após a obtenção dos três sinais (tensão, corrente e
diferença) filtrados, estes sinais foram retificados em dois
estágios. O primeiro estágio foi a retificação do sinal em
onda completa, já o segundo estágio foi o alisamento das
formas de onda obtidas. As etapas de filtragem retificação e
alisamento podem ser vistas na figura 8.
TABELA I
Valores de Z utilizados no 1º teste
Ensaio
1
2
3
Resistência (Ω)
31,3
31,3
31,3
Indutância (mH)
16,37
20,37
38,33
No primeiro teste foi utilizado um osciloscópio do tipo
THS 720 da Tektronic para medir a tensão, a corrente e a
potência ativa consumida pela carga monofásica Z, e assim
poder comparar com os resultados obtidos pelo medidor
proposto.
Fig. 8. Condicionamento de sinais.
Fig. 9. Conexão do primeiro teste.
Fig. 10. Cargas do segundo teste.
(a) primeiro ensaio. (b) segundo ensaio
(a)
(b)
(a)
(b)
Fig. 13. Segundo Ensaio (Medidas do Osciloscópio)
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 11. Primeiro Ensaio (Medidas do Osciloscópio)
(a)
(c)
(b)
(d)
Fig. 12. Potência Ativa Medida – 1º Ensaio – (a) Potência Total;
(b) Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C;
Na figura 11 são apresentadas as medidas obtidas através
do osciloscópio, onde a figura 11.(a) mostra a tensão e a
corrente amostradas e a figura 11.(b) mostra o produto da
corrente pela tensão e o valor da potência ativa, calculada
pelo osciloscópio como sendo a média do produto entre
tensões e correntes.
Como dito anteriormente, este primeiro teste simula uma
carga trifásica equilibrada, deste modo, será apresentado na
figura 12 os resultados obtidos com o protótipo, sendo que a
linha em azul representa o valor medido, e a linha vermelha o
valor real da potência, medida pelo osciloscópio.
As figuras 13, 14, 15 e 16 mostram as medições e os
resultados para os outros dois ensaios. Como pode ser visto
nas figuras 11.a, 13.a e 15.a, embora o sinal de tensão esteja
Fig. 14. Potência Ativa Medida – 2º Ensaio – (a) Potência Total;
(b) Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C;
senoidal, a corrente possui distorções, mas mesmo assim
as medições foram satisfatórias, e estas distorções não
afetaram de forma crítica a medição da potência ativa.
O método de medição utilizado no segundo teste foi
análogo ao método dos três wattímetros[1], onde o ponto
comum foi colocado no neutro e as cargas, como pode ser
visto nas figuras 10 e 11, não são conectadas no neutro.
Para uma melhor aferição foi utilizada uma placa de
aquisição de dados conectada em paralelo com a carga e
sincronizado, de forma que a primeira medição do protótipo
corresponda ao valor medido pela placa de aquisição.
O software utilizado pela placa de aquisição foi feito em
LabView pelos professores Luciano Vieira Lima e Alcimar
Barbosa Soares, e calcula as tensões e correntes eficazes bem
como a potência ativa e reativa consumida pela carga.
(a)
(b)
Fig. 15. Terceiro Ensaio (Medidas do Osciloscópio)
V. CONCLUSÃO
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 16. Potência Ativa Medida – 3º Ensaio – (a) Potência Total;
(b) Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C;
Os parâmetros utilizados na placa de aquisição foram de
seis canais, sendo três correntes e três tensões, 500 amostras
por canal e uma freqüência de amostragem de 5020 Hz. Essa
freqüência de amostragem se mostrou satisfatória, pois tira
os ruídos de alta freqüência presentes nos sinais dos sensores,
o que não prejudicou em nada a aferição porque o protótipo
somente lida com as componentes fundamentais.
TABELA II
Resultados da primeira medição
Grandeza
Va
Vb
Vc
Ia
Ib
Ic
Potência
Sistema de Aquisição
127,15 V
129,28 V
129,62 V
1,79 A
1,84 A
1,81 A
697,8 W
Erro de 0,30%
Protótipo
127,05 V
129,67 V
128.36 V
1,77 A
1,84 A
1,82 A
699,91 W
TABELA III
Resultados da segunda medição
Sistema de Aquisição
127,30 V
128,87 V
129,94 V
2,25 A
2,73 A
1,86 A
857,99 W
Erro de 0,998%
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Kerchner, Russel M., Corcoran, George F. (1977).
Circuitos de Corrente Alternada, Vol. I
[2] COUCH II, L. W.; Digital and Analog Communication
Systems. 5 ed. New Jersey, Prentice Hall, 1997.
[3] COTRIM, A. A. M. B.; Instalações Elétricas. 3 ed. São
Paulo, MAKRON Books.
[4] GARDNER, N.; Siegesmund M. PIC C - An
Introduction to programming the Microchip PIC in CCS
C. Bluebird Eletronics, UK, 1998. Character Press
Limited.
DADOS BIOGRÁFICOS
Na tabela II, estão os resultados da primeira medição,
onde são mostrados todos os parâmetros medidos e as
comparações com os valores obtidos pelo protótipo.
Temos também a tabela III que nos mostra uma
comparação das medidas realizadas pela placa de aquisição e
pelo protótipo no ensaio com carga desequilibrada.
Grandeza
Va
Vb
Vc
Ia
Ib
Ic
Potência
Diante dos estudos teóricos realizados e do
desenvolvimento prático apresentado nesta dissertação
chegou-se a várias conclusões importantes, dentre elas o fato
de que, dos dois métodos apresentados e desenvolvidos o
método da diferença foi o que mostrou melhores resultados
no calculo da potência ativa, sendo que o método da soma
foi, por este motivo, descartado.
Outra conclusão que se pode obter com o trabalho
apresentado é que, assim como no caso dos medidores
digitais tradicionais, o medidor construído também possui as
limitações de número de bits de conversão e de fundo de
escala. Porém, uma diferença apresentada entre o medidor
construído e os medidores tradicionais foi a influência do
fator de potência da carga na sensibilidade do medidor, sendo
que quanto mais longe o fator de potência está da unidade
menor será a sensibilidade do medidor, o que pode inserir
erro na medição.
Por fim, conclui-se que, com o método da diferença,
apresentado nesta dissertação, foi possível construir um
medidor mais barato que os tradicionais e que fornece
resultados satisfatórios, dentro das limitações já
mencionadas.
Protótipo
127,05 V
128,36 V
129,01 V
2,24 A
2,72 A
1,84 A
866,56 W
André Luiz Gontijo, nascido em 12/10/1977 em AraguariMG é engenheiro eletricista (2002) e mestre (2005) pela
Universidade Federal de Uberlândia.
Luciano Martins Neto, nascido em 22/05/1948 em
Botucatu-SP é engenheiro eletricista (1971), mestre (1976) e
doutor (1980) pela Escola de Engenharia de São Carlos-USP.
Atualmente é professor titular na Universidade Federal de
Uberlândia nas áreas de máquinas elétricas e aterramentos
elétricos.