1 Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores Área de

Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
miento, pero no ambas cosas". Determine, si la
clase resulta “retante” o no para ellos. (Explique
MUY CLARAMENTE su razonamiento)
PROPOSICIONES, RELACIONES Y
OPERACIONES
1. Sean p1, p2, … , pn proposiciones primitivas.
Sea P una proposición compuesta que contiene
al menos una ocurrencia de cada pi, para
1  i  n ( y no contiene otra proposición
primitiva ). ¿Cuántas filas se necesitan para
construir la tabla de verdad de P? Justifique
claramente su respuesta.
2. Diga cual es la diferencia entre una
implicación lógica y una equivalencia lógica.
8. Identifica las proposiciones primitivas en las
siguientes proposiciones. Bautiza las primitivas
con letras como p, q, r y reescribe las
proposiciones originales usando estas letras y los
conectivos lógicos.
a) Ya sea que Cynthia venga a la fiesta y Liliana
no, o que Cynthia no venga y Liliana sea feliz.
b) Paul irá al cine solo si pasan una comedia.
c) Es necesario que Mariana sonría para que su
mamá sea feliz.
9. Sean p, q y r las siguientes proposiciones:
p: Agustín no cena.
q: Agustín no duerme bien
c: Al día siguiente Agustín estará desvelado
Escribe en forma simbólica:
a) “Si Agustín no cena no dormirá bien”.
b) “Si Agustín no duerme bien, al día siguiente
estará desvelado”.
c) “Agustín no cena”.
d) “Agustín no duerme bien y al día siguiente
estará desvelado”.
3. Explique la diferencia entre una tautología ,
una contingencia y una falacia, hablando de
proposiciones compuestas.
4. ¿ Cuándo se dice que una implicación de la
forma p  q es cierta por vacuidad y cuando
que es trivialmente verdadera ?
5. ¿Cuándo se dice que dos proposiciones son
iguales y cuándo que son lógicamente
equivalentes?
10. Construye la tabla de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
a) (p  q  q)  p; b) (p  q  q)  p
c) p  q  p; d) p  q  p; e) (p  q)  p
6. Considere las siguientes proposiciones
compuestas :
P :  p  ( q  r ) 
Q:  r  ( p  q ) 
Utilice tablas de verdad para explicar
CLARAMENTE cuales de las siguientes
opciones son correctas:
A) P  Q ,
B) Q  P ,
C) Q  P
D) Ninguna de las tres anteriores.
11. Supón que p es una proposición verdadera y
que q es una proposición falsa. ¿Para qué valores
de verdad de r y s es verdad que
r  s  (p  r)  (q  s)?
7. En un salón de clases de la Universidad hay
un grupo de 10 estudiantes tomando clase,
cuatro de ellos son hombres y seis de ellos son
mujeres. Las mujeres de la clase siempre dicen
la verdad, mientras que los varones siempre
mienten. Al llegar el director de la Facultad a la
clase y preguntar a uno de los estudiantes si la
clase resulta “retante” para ellos, éste responde
de manera algo extraña, le dice: "La clase
resulta “retante” para nosotros ó yo nunca
1
12. Use el álgebra de proposiciones (leyes de la
lógica) para verificar que la siguiente proposición
es una tautología (p, q , r son proposiciones
primitivas).
( p  q )  r    r   ( p  q )
13. Justifica cada paso en la siguiente
simplificación:
(p  q)  q  (r  q)
 (p  q)  q
 (p  q)  q
 q  (p  q)
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 (q  p)  (q  q)
 (q  p)  F
 q  p
 (q  p)
x
y
14. Define nand como pq  (p  q).
Representa las siguientes proposiciones usando
únicamente la conectiva nand:
a) p
b) p  q
e) p  q
z
19. Escriba la proposición dual de cada una de
las siguientes proposiciones ( JUSTIFIQUE cada
uno de sus pasos ).
a) p  ( q  r ).
b) p  q.
15. Refute la siguiente proposición y exprese
su resultado correctamente en español:
“Si Homero aprueba su curso de Pascal
y termina su proyecto de estructura
de datos, se graduará finalmente“
20. Escribe una proposición en las tres variables
p, q, r, de modo que su tabla de verdad tenga como
columna principal a la columna marcada con el
símbolo “?”:
P
q
r
?
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
Escribe, explica como la desarrollaste y verifica
que es correcta.
16. Sea n = 9. Determine el valor de n
después ejecutar todas las siguientes
instrucciones ( El valor de n después de la
ejecución del enunciado (1) se convierte en el
valor de n para el enunciado (2) y así
sucesivamente. La operación Div devuelve la
parte entera de un cociente, por ejemplo, 6 Div
2 = 3, 7 Div 2 = 3, 8 Div 3 = 2 ):
(1) Si n > 5 entonces ponga n := n + 2;
(2) Si ( ( n + 2 = 12 ) o ( n – 3 = 8 ) ),
entonces ponga n := 2n +1;
(3) Si ( ( n + 3 = 14 ) y ( n Div 6 = 1 ) ),
entonces ponga n := n +3;
(4) Si ( ( n  21 ) y ( n -7 = 9 ) ),
entonces ponga n := n - 4;
(5) Si ( ( n Div 5 = 2 ) o ( n + 1 = 20 ) ),
entonces ponga n := n+1.
21. Obtenga la proposición que representa a la
siguiente red de conmutación. Simplifique su
proposición al máximo, mencionando en cada
paso la ley o propiedad utilizada. Dibuje la red
correspondiente a su proposición final ( la ya
simplificada ).
p
q
r
17. Determine todas las asignaciones de
valores de verdad ( si es que existen ) para las
proposiciones primitivas p, q, r, s, que hacen
que la proposición compuesta sea falsa:
[ ( p  q )  r ]  ( s  r ).
T1
T2
p
18. Obtenga la proposición que representa a la
siguiente red lógica. Simplifique su proposición
al máximo, mencionando en cada paso la ley o
propiedad utilizada. Dibuje la red
correspondiente a su proposición final ( la ya
simplificada ).
2
r
r
q
22.Determinar el valor de verdad de cada una de
las siguientes afirmaciones. Convenir en que x es
un número real y f representa una función real:
a) Si f ( x)  x 2 , entonces f ( x)  2 x .
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b) Si x = 0 ó x = 1, entonces x  x 2 .
c) Si x  3 , entonces 3  x  3 .
d) (  es irracional )  (  es real ).
e) (e es racional )  (e es un entero ).
la relación: aRb  (por definición) “b tiene la
misma edad  2 años que a”, por ejemplo, con un
estudiante de 20 años se relacionarán todos los
estudiantes que tengan de 18 a 22 años. Demuestre
si R es o no una relación de equivalencia en S; de
serlo, dé las clases de equivalencia que R genera.
23.Escribir cuatro negaciones diferentes de
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) P: 2 = 3; b) P : e es irracional.
29. Sean m, n números enteros. Definamos la
relación R así: m R n  m  n( mod 5 ).
Demuestre que R es una relación de equivalencia.
Obtenga todas sus clases de equivalencia.
24.Escribir una expresión equivalente a cada
una de las siguientes negaciones, que no
involucre el símbolo de negación:
a)  ( x  y ) .
30. Demuestre si la siguiente relación R en el
conjunto S = { 1, 2, 3, 4 } es o no de equivalencia;
de serlo, dé las clases de equivalencia:
R = { ( 1,1 ), ( 1, 3 ), ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ), ( 3, 1 ),
( 3 , 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ) }
b)  ( z 2  1  x) .
25.Expresar cada una de las siguientes
afirmaciones en la forma “si P, entonces Q” y
PQ, identificando el antecedente y el
consecuente:
a) No existe factorización de n cuando n
es primo.
b) r  1 implica que
31. Sea  una relación de equivalencia en un
conjunto S. Demuestre que para t y s en S se
cumple que si s  t   entonces s  t.
32. Demuestre que la relación de contención
entre conjuntos (  ) es una relación de
implicación y no una relación de equivalencia.
a
.
1 r
c) Un entero es un número racional.
d) Una condición necesaria para que las
líneas l1 y l2 sean paralelas es que
l1  l2   .
e) 3x  3 y puesto que x = y.
lim( a  ar  ...  ar n ) 
n 
FUNCIONES PROPOSICIONALES E
INFERENCIA
33. ¿Cuándo ( bajo qué condiciones ) resulta falso
decir que “para toda x real, existe una x natural, tal
que se cumple p(x,y) ?
26.Traducir las siguientes afirmaciones usando
, ,  , ,  .
a) Si un triángulo es isósceles, entonces
debe tener dos lados iguales, y
recíprocamente.
b) Si p y q son enteros y q  0 ,
entonces p/q es un número racional.
c) Si a  , entonces a es par o a es
impar.
d) 2x – 1 = 0 es equivalente a x = ½.
34. Sean p(x), q(x) y r(x) las siguientes
proposiciones abiertas:
p(x) : x2 - 7x + 10 = 0,
q(x) : x2 - 2x - 3 = 0,
r(x) : x es negativo.
a) Demuestre la verdad o falsedad de las
siguientes proposiciones, en las que el universo
está formado por todos los números enteros:
1. x,  p(x)  r(x) 
2. x :  q(x)  r(x) 
3. x :  p(x)  r(x) 
b) Determine la respuesta de la parte ( a ) si
el universo consta de todos los enteros positivos.
27. En general, ¿ qué es lo que hace una
relación de equivalencia con los elementos del
conjunto en el que está definida ?
28. Sea S = { todos los estudiantes de la
Universidad Anáhuac Norte }. Definamos en S
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35.Determinar el conjunto solución y el
conjunto de verdad para cada una de las
siguientes afirmaciones, en base al conjunto
universal indicado:
a) x  1  3 ; U = { 0, 1, 2, 3 }.
b) ( x  1)( x  2)  1 ; U = { -2, -1, 0, 1, 2
}.
c) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =   .
d) 2 x 2  3x  1  0 ; U =  .
e) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =  .
f) 2 x 2  3 x  1  0 ; U =  .
40.Considere la proposición cuantificada
x, y : [ x - y = 10 ]. Determine un universo para
las x y otro distinto para las y, de modo que la
proposición dada sea a) falsa, b) verdadera.
Justifique muy claramente sus respuestas.
36.a) ¿Cuál debe ser el conjunto universal para
que la proposición abierta x, x = 0 sea verdad?
¿Y cuál debe ser el conjunto universal para que
x, x2 + 5x + 6 = 0 sea verdad?
b). Si U =  , encuentre el conjunto de verdad
de
la
proposición
abierta
siguiente:
 x, x2  5x  6 = 0. Nótese que a  b significa
(a + b)  (a  b).
37.Demuestre que es cierta la implicación x
y, p(x, y)  y  x, p(x, y), pero en cambio,
la proposición recíproca y  x, p(x, y) 
x y, p(x, y) es falsa. Explique por qué pasa
eso, usando algún ejemplo concreto.
38.Para n, m números enteros, sea p(n, m) la
proposición abierta “n divide a m” la cual se
escribe así: nm; por ejemplo 24, 05,
315. La negación se escribe así:3 16 (léase 3
no divide a 16). Formalmente, se dice que n
divide a m si y sólo si existe algún entero k tal
que m = kn. En los siguientes incisos determina
el valor de verdad de cada proposición (las
letras representan números enteros):
a) p(3, 7)
b) p(7, 3)
e) x p(x, 0)
f) x p(x, x)
g) y x, p(x, y)
h) y x, p(x, y)
j) x y z [p(x, y)  p(y, z)  p(x, z)]
41.Para el universo de los números reales,
determine el valor de verdad de la siguiente
proposición. Escriba las proposiciones
contrapositiva, recíproca e inversa y para cada una
de ellas determine su valor de verdad. Si una
proposición es falsa dé un contraejemplo. Si una
proposición es verdadera, explique
CLARAMENTE por qué lo es: x , (x < -2) 
(x2 > 4 .
42. Explique por qué es un trabajo excesivo el
demostrar un argumento por medio de una tabla de
verdad.
43. Escribe el siguiente argumento en forma
simbólica, verifica si es o no válido. El universo es
el de todos los adultos mayores de 18 años que
residen en la ciudad de Las Cruces, como Roxana
e Inés:
Todos los empleados de la unión de crédito deben
saber Cobol.
Todos los empleados de la unión de crédito que se
encargan de solicitudes de préstamo deben
conocer Quattro.
Roxana trabaja para la unión de crédito pero no
sabe usar Quattro
Inés sabe Quattro pero no Cobol
Por lo tanto Roxana no se encarga de solicitudes
de préstamo e Inés no trabaja para la unión de
crédito.
44. Use el método de premisas verdaderas para
demostrar o refutar el siguiente argumento, según
sea el caso.
Premisa 1:
pq
Premisa 2:
rq
Premisa 3:
r
Conclusión sugerida:  p
45. Supongamos ahora que lo que Pedro dijo fue
esto: “Amo a Adriana o amo a Beatriz, o a ambas.
Además, si amo a Adriana es porque amo a
39.Niega y simplifica:
c) x [p(x)  q(x)]
d) x [(p(x)  q(x))  r(x)]
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Beatriz también”. a) Averigua si realmente
Pedro ama o no a Adriana y b) si ama o no a
Beatriz. c) Averigua también si es cierto que
ama a ambas o d) si será que no ama a ninguna
de las dos mujeres en cuestión.
Paso 13. q  s
49. Suponga que a, b y c son enteros. Demuestre
que si ab y dc, entonces adbc.
50. Demuestre que un entero es impar sí y sólo sí
es la suma de dos enteros consecutivos.
46. Demuestre por CONTRADICCIÓN el
siguiente argumento. Escriba CLARAMENTE
su desarrollo y no olvide justificar cada uno de
sus pasos.
( p  q )  r
r  (st)
s  u
u  t
-----------------p
51. Refute: Un entero x es negativo sí y sólo sí
x-1 es negativo.
52. Describa con cuantificadores la existencia
única del inverso aditivo en los números reales y
demuestre su unicidad.
53. Demuestre que el número real x
= 12 7  4 3  12 7  4 3 es racional.
47. Muestre con un contraejemplo que el
siguiente argumento no es válido. Escriba
CLARAMENTE su desarrollo y no olvide
justificar cada uno de sus pasos.
p
pr
p  ( q  r )
q  s
--------------- s
Indicación: Haga a = 7  4 3 y b = 7  4 3 .
Empiece por calcular (a + b)2.
54. Demuestre, por contradicción, que dos
enteros consecutivos no pueden ser impares
( ambos ).
55. Demuestre por casos, que para todo n
natural, n2 – n es par.
48. Da las razones de cada paso para justificar
el siguiente argumento:
pq
r  s
pr
------------------- q  s
56. Demuestre, empleando el método de la
contrapositiva, que si n 2 es un número par,
entonces necesariamente n es par.
57. Demuestre que 1.999... = 2, donde la
expresión 1.999...indica una cola infinita de
nueves, lo que también se puede escribir como
1.9 .
Paso 1. (q  s)
Paso 2. (q  s)
Paso 3. q  s
Paso 4. s
Paso 5. r  s
Paso 6. r
Paso 7. p  q
Paso 8. q
Paso 9. p
Paso 10. p  r
Paso 11. r
Paso 12. r  r
58. Demuestre que el conjunto de los números
irracionales no es cerrado con respecto a ninguna
de las cuatro operaciones aritméticas básicas (+, ,
, ).
59. Demuestra que si x , y son números reales y
x + y > 100 entonces x > 50 o bien y > 50.
60. Demuestre que existen dos números
irracionales a y b tales que a b es racional.
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61. Demuestre que 0x  x = 0.
acuerdo al tamaño:  A  B ,  B ,   ,
A  B,  U .

62. Se requiere demostrar por inducción
matemática que a 2 n 1  b 2 n 1 es divisible entre
a + b.
63. Demuestre por medio del principio de
inducción matemática, cada una de las
siguientes fórmulas, relativas al conjunto de los
números naturales:
n
n(n  1)(4n  1)
c)   2i  12i 
3
i 1
68.¿Es necesario determinar el conjunto de verdad
de una proposición lógica, con objeto de
determinar el valor de verdad de dicha
proposición? Explique su respuesta.
l) 4 n  15n  1 siempre es divisible entre 9.
n
 n  1
m) n !  
 si n > 1.
 2 
n 
1 
n2
ñ)   1 

2
(k  1)  2  n  1
k 1 
p) sen nx  n sen x , si n es un entero positivo
y x es cualquier número real.
n n
n
q)  a  b      a ni bi , donde
i 0  i 
n!
 n 
. Sugerencia: Demuestre
 
 i  i !(n  i)!
k
k   k  1
primero que    

.
 r   r  1  r 
r)
67. A) ¿ Qué necesita un elemento para
pertenecer a la unión de 100 conjuntos diferentes ?
B) ¿ Cuándo se dice que un elemento pertenece a
la intersección de dos, tres o n conjuntos?
C) ¿ Dónde está un elemento del universo que no
está dentro de cierto subconjunto A de éste
universo ?
69.Determinar la verdad o falsedad de las
siguientes expresiones:
a) { x : x2 = 3 y x es par } = .
b) {  } = .
c)   { 0 }.
d) { 0 }  .
70.Efectuar las operaciones siguientes:
a) { x : x < 0 }  { x : x < -1 }
b) { x : x < 0 }  { x : x < -1 }
71.i) Expresar los siguientes conjuntos escribiendo
sus elementos
a)  0   x x   y x  3k donde k  
 cos  i sen  n  cos n  i sen n .
b) 1   x x   y x  3k  1 donde k  
3
64. Sea f: B  B la función booleana tal
que f(0,0,0) =1, f(0,0,1)=1, f(1,1,0)=1 y
f(a,b,c)=0 para los demás (a,b,c)  B3. Escriba
la expresión booleana en forma canónica en
términos mínimos para ésta función
65. Para cada una de las expresiones booleanas
en x,y,z escriba la función booleana
correspondiente y escriba la forma canónica en
términos mínimos: a) xy; b) xy  z.
CONJUNTOS, RELACIONES Y
OPERACIONES
66. Sea U un universo finito con A, B  U.
Ordene la siguiente lista, en orden creciente de
6
c)  2   x x   y x  3k  2 donde k  
ii) En base a los conjuntos determinados en i),
obtener los conjuntos siguientes:
a) 1   0
b) 1   2
d)  0  1   2
72. i) En términos de la notación de intervalo,
determinar los siguientes intervalos:
a) (,3)  [2, )
c) [1,2)  [1,4)
e) [n, n]  [( n  1), n  1] , donde n es entero.
f) [n, n]  [( n  1), n  1] , donde n es entero.
ii) Los intervalos determinados en i) expresarlos
gráficamente sobre el eje numérico.
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81. ¿Cuáles son verdaderas?



{}
{}
{}
73.Si A es un conjunto, entonces P(A) es el
conjunto de partes (conjunto potencia) de A y
P(P(A)) es el conjunto de partes (potencia) de
P(A). Determinar:
a) P (1,2) y P( P 1,2)
b) P (0) y P( P 0)
c) P() y P( P())
82. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son no
vacíos?
a) {xN│2x + 7 = 3}
b) {xR│x2 + 5 = 4}
74. Determine los conjuntos A y B si sabe
que : A \ B = { 1, 3, 7, 11 }; B \ A = { 2, 6, 8 };
A  B = { 4, 9 }.
c) {xN│x2 + 4 = 6}
75. Escriba la expresión dual de
[( A  B )  C]  ( A \ C ).
83. Demuestre cada una de las siguientes
propiedades relativas a la diferencia de conjuntos:
a) (A \ B) \ C = A \ (B  C);
c) A \ (A \ B) = A  B;
e) (A \ B)  B = . B \ A  Ac.
f) A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C).
76. Represente mediante un diagrama de Venn
la siguiente operación con conjuntos :
[ ( A  B )C ]  ( A \ C ).
77. Si A = [ 0 , 3 ] , B = ( 1 , 8 ] , C = [ -2 , 5 ) y
el universo son todos los números reales,
determine lo siguiente: ( Explique claramente )
a) ( A  B ) \ C; b) ( A  B )  C
78. Demuestra que la cardinalidad de la
diferencia de dos conjuntos se obtiene mediante
la fórmula siguiente, donde \ significa
diferencia de conjuntos, y n(A) es la
cardinalidad o el número de elementos del
conjunto A:
n(A \ B) = n(A)  n(A  B).
79. Demuestra con rigor el siguiente teorema
interesante: Si U es el conjunto universal y A,
B, C  U, entonces (A \ B)  C si y sólo si (A \
C)  B.
c. Demuestre A  A = ;
85. Sea el universo LOS NÚMEROS REALES
y sea el conjunto de índices los enteros positivos.
Para cada n entera positiva, sea An = [ -2n, 3n ].
80. Simplifique lo más que se pueda cada una
de las siguientes expresiones, empleando para
ello propiedades de conjuntos previamente
establecidas:
c) (A  B)  (Ac  B)  (Ac  Bc).
c
cc
d) [[(AB)C] B ]
e)
C
C
84. La diferencia simétrica dos conjuntos:
A  B = (A \ B)  (B \ A): contiene a todos los
elementos x que están exactamente en uno de los
dos conjuntos A o B (pero no en ambos).
Algunos autores usan otros símbolos para denotar
esta operación de conjuntos, tales como A  B, o
bien A  B. El estudiante debe estar atento a la
notación que use su profesor
a. Demuestre 1ue que A  B = (A  B) \ (A 
B).
b. Demuestre que la diferencia simétrica es
asociativa, es decir:
A  (B  C) = (A  B)  C = A  B  C.

Determine lo siguiente a) A3 ; b)  A n
n 1
86. Si U = { Atletas de una Delegación }
M = { Atletas que les gusta la música }
D = { Atletas que les gusta la danza }
T = { atletas que les gusta el teatro }
C
A (AB ) (ABC )
( A  B  C  DC )  . . .
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Tarea departamental #1 de Matemáticas Superiores
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
Escriba en lenguaje ordinario lo que se representa encartesiano de N X N. La relación deberá de tener
el siguiente diagrama:
más de 6 elementos.
U
D
91. Describa en notación de conjuntos, el
siguiente conjunto de puntos:
M
3
T
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
87. Al interrogar una delegación deportiva
formada por 250 atletas sobre su afición
respecto al Teatro, la Danza o la Poesía, se
encontró que 125 prefieren el Teatro, 180
prefieren la Danza, 65 la Poesía, 100 Teatro y
Danza, 25 Teatro y Poesía, 40 Danza y Poesía y
20 tenían las tres preferencias. Determinar
cuántos de estos atletas tienen:
a) Al menos una de las tres aficiones.
b) Ninguna de las tres aficiones.
c) Exactamente dos de las tres preferencias.
88.
Sea U = Z. Sean p(x), q(x) y r(x) las
siguientes proposiciones abiertas.
p(x) : x2 - 8x + 15 = 0,
q(x) : x es impar,
r(x) : x es positivo.
Use CONJUNTOS DE VERDAD para
demostrar si se cumple o no
A) x  ( r(x)  q(x) )  p(x) 
B) x  r(x)  q(x)  p(x) 
89. Sean P, Q y R respectivamente, los
conjuntos de verdad de ciertas proposiciones
p(x), q(x) y r(x), dadas en cierto universo U.
Explique muy claramente, en términos de los
conjuntos de verdad, cuándo ( bajo qué
condiciones ) son verdaderas las siguientes
proposiciones:
1. x,  p(x)  q(x) ]
2. x,  q(x)  ( r(x)  p(x) ) 
3. x,  ( p(x)  r(x) )  q(x) 
90. Defina una relación que sea reflexiva y
simétrica a partir de los elementos del producto
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