p - Universidade Federal do Paraná

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas
Disciplina: GEODÉSIA MARINHA
1° Semestre - 2013
CAPÍTULO 2 - TEORIA DAS MARÉS TERRESTRES
Prof° Sílvio Rogério Correia de Freitas
Organizado por: Ruth da Maia Moreira
INTRODUÇÃO
• Maré Terrestre: resultado da interação gravitacional da
Terra com a Lua e o Sol, que resulta em esforços
diferenciais significativos, produzindo deformações no
corpo planetário e variações no geopotencial. É
dividida em:
• Maré gravimétrica (componente vertical)
Afeta g, H
• Maré extensométrica (componente horizontal)
Afeta φ, λ
• Maré clinométrica (inclinação produzida na superfície)
Atenuada, efeito pequeno
• Se a terra fosse perfeitamente rígida, a força de
maré produziria uma variação máxima da
gravidade da ordem de 250 microGal;
• Mas a Terra é um corpo deformável e as
deformações produzidas devido às marés
gravimétricas podem chegar a 50 cm segundo a
direção vertical e 15 cm segundo a horizontal;
• Estas deformações produzem redistribuição de
massas e consequentemente um efeito de
alteração no geopotencial.
• As variações afetam o posicionamento
horizontal com GNSS na medida em que sejam
utilizadas linhas de base longas (~300km).
• O IERS fornece modelos e correções para tratar
esses efeitos.
• A gravimetria também é afetada; gravímetros
modernos já incorporam rotinas para eliminação
deste efeito;
• No nivelamento os efeitos são usualmente
desconsiderados, pois tendem a ser anulados
ao longo do circuito.
• O potencial gravitacional que produz o
fenômeno de maré é determinado com
precisão, a partir da dinâmica orbital dos
sistemas Terra-Lua e Terra-Sol;
• Para o estudo das marés, são estabelecidos
modelos estruturais, a partir dos quais pode
ser estimada a resposta da Terra aos esforços
(maré teórica) e as interações com o potencial
da gravidade terrestre.
• Em que situações a maré terrestre deve ser
considerada?
- Na mensuração de grandezas que sejam
afetadas pela variação temporal do potencial da
gravidade, da inclinação de suas superfícies
equipotenciais e deformações produzidas na
superfície.
• No início da década de 80 os modelos oceânicos
possibilitaram a determinação precisa do efeito
oceânico em grande parte da crosta terrestre;
• Desta forma iniciou-se o estudo do efeito das
marés
terrestres
e
do
efeito
oceânico
separadamente sobre as porções continentais;
• A resposta real obtida com a observação
instrumental da deformação superficial produzida
pela maré sólida, quando comparada com a
resposta prevista para determinado modelo
estrutural, possibilita a investigação da resposta
visco-elástica da Terra aos esforços das marés
terrestres e suas consequências geodinâmicas..
• A existência de um conjunto de observações
coerente, com distribuição e resolução adequadas, é
um requisito para o teste de modelos estruturais e de
heterogeneidades em relação a estes, que é atendido
pelo TWTGP;
• O Trans World Tidal Gravity Profile – TWTGP- tem
cerca de meia centena de estações de marés
gravimétricas distribuídas em todos os continentes
sobre diferentes províncias estruturais;
• O TWTGP é coordenado pelo International Centre for
Earth Tides – ICET da International Association of
Geodesy – IAG.
Atribuições do ICET
as World Data Centre C, to collect all available measurements on
Earth tides;
- to evaluate these data by convenient methods of analysis in order to
reduce the very large amount of measurements to a limited number
of parameters which should contain all the desired and needed
geophysical information;
- to compare the data from different instruments and different stations
distributed all over the world, evaluate their precision and accuracy
from the point of view of internal errors as well as external errors;
- to help solving the basic problem of calibration by organizing
reference stations or realizing calibration devices;
- to fill gaps in information and data;
- to build a data bank allowing immediate and easy comparison of earth
tides parameters with different Earth models and other geodetic and
geophysical parameters ;
-to ensure a broad diffusion of the results and information to all
interested laboratories and individual scientists.
-
Fonte: http://www.gfy.ku.dk/~iag/Travaux_99/sec5_icet.htm
Teoria das Marés
• Equilíbrio da ação gravitacional entre os corpos
com a ação inercial da rotação, no movimento
orbital kepleriano de um sistema planetário =
força centrífuga;
• Para a descrição do campo dos esforços
internos nos corpos, devem ser consideradas as
desigualdades instantâneas em cada porção
elementar entre o campo das forças
gravitacionais e o campo das forças centrífugas.
• A força resultante entre essas desigualdades
locais é denominada de força de maré, a qual
produz deformações visco-elásticas variáveis
espacial e temporalmente;
• No caso terrestre, o campo de forças devido às
marés pode ser determinado com precisão,
desenvolvendo-se o potencial de maré em
componentes harmônicos.
Força e Potencial de Maré
• Sejam dois corpos de massa M1 e M2
constituindo um sistema planetário:
Figura 2.1 – Interação gravitacional entre dois corpos
FG = ação gravitacional resultante de cada um dos corpos sobre
o outro
FC = força centrífuga resultante do movimento de rotação, com
velocidade angular ω de cada um dos corpos em torno do
centro de massa CM do sistema.
• O equilíbrio orbital estabelece que nos centros de
massa de cada um dos corpos devem ser
observadas as identidades:
(2.1)
e
(2.2)
com
(2.3)
e módulos dados por
(2.4)
d = R1+R2 = distância entre os centros de massa dos dois
corpos
G = constante universal da gravitação
Se os corpos descrevem órbitas circulares, FC é
dada por:
(2.5)
Então, pelas (2.1 a 5) pode ser escrito o sistema:
(2.6)
• Movimento dos dois corpos em torno do centro de
massa do sistema:
Figura 2.2 – Centros instantâneos de rotação para cada elemento de
massa de um corpo em movimento orbital.
CONSIDERAÇÕES:
• A rotação de cada um dos corpos em torno do
centro de massa do sistema ocorre de tal forma
que não existe rotação de cada um dos corpos
em torno de si mesmo com respeito a um
sistema
de
referência
fixado
(rotação
kepleriana);
• Cada elemento de massa de um corpo descreve
sua rotação em torno de diferentes centros
instantâneos, porém com mesmo raio e
velocidade angular.
Figura 2.3 – Força de maré em cada elemento de massa de um
corpo celeste sujeito à perturbação de um segundo corpo.
Figura 2.4 – Efeito das forças de maré sobre um corpo celeste
elástico.
CONSIDERAÇÕES:
• Pela igualdade dos raios de rotação e velocidades
angulares de cada um dos elementos de massa, a
intensidade da força centrífuga por unidade de
massa é constante em todos os elementos de um
mesmo corpo;
• Das figuras 2.2 e 2.3, verifica-se que todos os
vetores da força centrífuga são paralelos, de mesmo
sentido e com intensidade igual à atração
gravitacional exercida pelo corpo 2 no centro do
corpo 1.
• Na figura 2.3 são apresentadas as resultantes da
adição vetorial entre a força de atração
gravitacional e a força centrífuga; observa-se
também resultantes opostas nos pontos Q e Q’,
as quais possuem somente componentes
verticais;
nos
demais
pontos
existirão
componentes horizontais.
• À resultante da adição vetorial da força centrífuga
com a gravitacional, em qualquer ponto do corpo,
denomina-se força de maré.
• Sendo o corpo 1 esférico e o sistema em equilíbrio,
as seguintes expressões são válidas:
(2.7)
sendo
(2.8)
e
(2.9)
então, das (2.7 a 9) resulta:
(2.10)
Potencial de Maré
• A força de maré deriva da interação de dois campos
conservativos, portanto pode ser derivada de um
potencial.
• Em um ponto genérico P de um corpo de massa M,
sujeito à ação gravitacional de um segundo corpo
“perturbador”, a força de interação relaciona-se com
o potencial gravitacional pela expressão:
(2.11)
• O potencial produzido pelo corpo perturbador de
massa MP é dado por:
(2.12)
r = distância do ponto P ao centro de massa do corpo
perturbador
μ = relação entre MP e M.
Da (2.12) e da figura 2.5, verifica-se que:
(2.13)
z = distância zenital do corpo perturbador, ou o ângulo entre a
reta definida por OP e OCMP
Como o fator (r’/r) é menor que 1, a (2.13) pode ser
desenvolvida na série convergente:
(2.14)
Pn (cos z) são os polinômios de Legendre e a cada termo
Wn corresponde um harmônico de ordem n.
A força de maré é dada por:
(2.15)
Como os campos da força gravitacional e da força
centrífuga são conservativos e portanto dotados de
potencial, em qualquer ponto é válida a relação:
(2.16)
Pela (2.10), a resultante no centro do corpo
representado na figura 2.4 é dada por:
(2.17)
Da (2.11 e 16), resulta:
(2.18)
O valor do potencial no centro de massa é
arbitrário. Se considerado como igual a zero, o
potencial da força centrífuga em um ponto
genérico P do corpo será igual ao trabalho da
força centrífuga desde O até P:
(2.19)
Na adição dos potenciais gravitacional e da força
centrífuga, os dois primeiros termos do
potencial gravitacional (W0 e W1) são
cancelados pelos termos
(2.20)
ou
(2.21)
sendo:
(2.22)
(2.23)
• Triângulo de posição PN-P-CMP
coordenadas geográficas
φ latitude
λ longitude
coordenadas equatoriais
α ascensão reta
δ declinação
Figura 2.5 – Triângulo de posição para definir a posição do astro
perturbador relativamente a um ponto onde pretende-se avaliar a
força de maré.
A distância zenital do astro perturbador é expressa
por:
(2.24)
O ângulo horário local de P é expresso por:
(2.25)
H = ângulo horário do astro perturbador
t’ = hora sideral do meridiano de origem
ω = velocidade angular de rotação da terra
No desenvolvimento de Laplace para o potencial,
a expressão do potencial de maré em um
ponto em termos dos polinômios associados
de Legendre Pnm é:
(2.26)
A qual é obtida a partir da (2.20, 24 e 25), sendo:
(2.27)
(2.28)
(2.29)
com m = 1,2,....,n
e
(2.30)
A (2.24) envolve as três classes de harmônicos
para o potencial:
m=0
m=n
0<m<n
harmônicos zonais
harmônicos sectoriais
harmônicos tesserais
O desenvolvimento do potencial de maré para o
grau 2 resulta:
(2.31)
Os harmônicos consistem na base para todos os estudos de
maré.
• harmônicos sectoriais - espectro de ondas semi – diurnas
f(2H(P)), com amplitude máxima no Equador (φ=0°)
quando a declinação do astro perturbador é igual a zero e
nula nos polos para qualquer declinação do astro
perturbador.
• harmônicos tesserais – f(H(P)) – espectro de ondas
diurnas, são nulos no equador e nos polos e têm
amplitude máxima para φ=45° quando a declinação do
astro perturbador é máxima.
• harmônicos zonais – espectro de longo período, variando
em um ponto apenas com a declinação.
- Se astro perturbador = lua, período = 14 dias
- Se astro perturbador = sol, período = 6 meses
Harmônicos setoriais
m=n; n≠0
Fonte: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/
Harmônicos tesserais
m≠n; m≠0; m<n
Fonte: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/
Harmônicos zonais
m=0; n=0,1,2....
Fonte: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/
Constante de Doodson
Sejam:
c = distância geocêntrica média da Lua
g = gravidade sobre uma esfera de raio a com
massa e volume iguais aos da Terra
Π = paralaxe equatorial da Lua
De acordo com o procedimento de Doodson, para
a estimação dos efeitos de maré, é conveniente
a definição da constante:
(2.32)
• A Terra é representada por um elipsóide de
revolução com semi-eixo equatorial a e semieixo polar b e com:
• A constante de Doodson para o Sol, D’,
relaciona-se com a constante D para a Lua pela
expressão:
(2.37)
As (2.22 e 23) podem ser reescritas para o
sistema Terra-Lua em função da constante de
Doodson como:
(2.38)
(2.39)
da (2.21), o potencial de maré pode ser expresso
pelo desenvolvimento até o grau 3 como:
(2.40)
com
Principais Componentes do Espectro das
Marés Terrestres
• Os movimentos orbitais dos sistemas Terra-Lua e
Terra-Sol podem ser separados para expressar o
potencial e grandezas derivadas em ondas senoidais,
tendo como argumento somente funções lineares do
tempo e expressos com grande precisão a partir dos
dados orbitais;
• São importantes a fixação dos requisitos de precisão
para o modelamento da maré sobre o corpo
planetário, bem como a unificação da apresentação
do desenvolvimento da força e potencial de maré com
respeito a diversos sistemas de coordenadas.
• Doodson (1922) – desenvolvimento com 386
componentes com coeficientes ≥ 0,0001D.
• Cartwright & Tayler, 1971 e Cartwright & Edden,
1973 – desenvolvimento para mais de 500
componentes; descrição da amplitude teórica da
maré com uma precisão de cerca de ± 0,03 μGal.
• Tamura (1987) e Xi (1989 e 1991) – Atual – mais
de 3000 componentes com precisão de ± 0,005
μGal.
• Variáveis com incrementos praticamente lineares
no tempo adotadas por Doodson:
τ = tempo lunar médio
s = longitude trópica média da Lua;
h = longitude trópica média do Sol;
p = longitude trópica média do perigeo lunar;
N’= -N = longitude trópica média do nodo
ascendente lunar (mudança de sinal devido a
variável ser negativa em função da retrogressão
do nodo)
Pg= longitude trópica média do periélio
As velocidades angulares (em graus por hora
solar média) e respectivos períodos são:
Para os argumentos h, N’ e Pg correspondem
respectivamente períodos de um ano trópico,
18,613 e 20,940 anos.
A frequência sideral é dada por:
(2.41)
• Da (2.31 e 32), a função geratriz semi-diurna,
correspondente
à
função
sectorial
correspondente ao W2, para o sistema Terra-Lua,
pela conversão do ângulo horário da Lua em
tempo solar médio é:
(2.42)
Requisitos de precisão para a avaliação
das marés gravimétricas
• A perturbação média na distância Terra-Lua é a
elipticidade ɛ da órbita lunar. Então:
(2.43)
onde
(2.44)
A declinação da Lua tem um período igual a st. Então:
(2.45)
A associação das (2.44 e 45) com a (2.42) geram uma
série de número infinito de componentes, os quais
têm suas frequências simetricamente distribuídas
em torno da semi-frequência do dia lunar.
A (2.42) pode ser reescrita como:
(2.46)
As componentes lunares semi-diurnas são obtidas
da (2.46).
Da (2.41) obtém-se
e de forma
análoga que para o efeito lunar, obtém-se para o
efeito solar:
(2.47)
Também das (2.31 e 32) decorrem as funções
geratrizes para as demais famílias de ondas. A
função geratriz para a família diurna de W2 é
dada por:
(2.48)
A família de ondas de longo período é obtida a
partir da função geratriz:
(2.49)
No desenvolvimento da (2.49), as ondas
principais
são
as
declinacionais
com
argumento 2s. Também destacam-se as ondas
elípticas com argumento s - p.
Principais componentes normalmente empregadas
na análise das marés terrestres:
Principais ondas:
M2 = onda lunar principal
S2 = onda solar principal
Componentes da Força de Maré
Considerando o desenvolvimento do potencial até o
grau 3 na (2.40), tem-se:
componente radial
(2.50)
componente meridiana
(2.51)
componente primeiro vertical
(2.52)
sendo c = D / a-2
ψ = latitude geocêntrica
As (2.50 a 2.52) podem ser dadas para um
referencial geodésico como:
(2.53)
(2.54)
(2.55)
Maré Permanente
• O potencial gerador de maré pelo astro
perturbador (Sol ou Lua) sobre a Terra é dado por:
(2.56)
G = constante universal da gravitação
Mj = massa do astro perturbador
lj = distância geocêntrica ao centro do astro perturbador
r = distância geocêntrica ao ponto de cálculo
Pi = polinômio de Legendre de grau i
ϑ = ângulo geocêntrico entre o ponto de cálculo e o astro
perturbador
• Desenvolvendo a expressão para o grau 2, existem
efeitos médios não nulos para o Sol e a Lua =
componentes S0 e M0.
• S0 + M0 = potencial permanente de maré W2,
podendo ser expresso em função da latitude φ.
• Por exemplo, para o GRS 80, W2 é expresso por:
(2.57)
• A variação na altura geoidal N - fórm. de Bruns
considerando a perturbação resultante do efeito
expresso em (2) é dada por:
(2.58)
T = potencial perturbador
ᵧ = gravidade normal
• As alterações e deformações no potencial da
gravidade do corpo planetário são classificadas
como:
Efeito direto: causadas pelos próprios astros
perturbadores
Efeito indireto: provenientes das deformações do
corpo planetário (alteração do geopotencial
pelas massas deslocadas)
• O tratamento destes efeitos envolve diferentes
Sistemas de Maré Permanente: – tide-free,
mean tide e zero-tide.
Sistemas de maré
• Maré Média (mean tide): Considera nas
posições o efeito da maré e o respectivo efeito
no geopotencial
Exemplo: sistema gravimétrico IGSN-71 (MAKINEN,
2000)
• Sistema de Maré Zero (zero-tide): Considera
apenas os efeitos da maré permanente de
forma indireta no geopotencial.
- Zero-tide é recomendado pela IAG – Resolução
n°16 (para observações geodésicas como a
gravidade e posições tridimensionais, os efeitos
indiretos não devem ser removidos).
- Sem maré (non-tidal ou tide-free): elimina
totalmente
os
efeitos
de
maré
nos
levantamentos (diretos e indiretos)
Aplicação das correções de maré
• Devido aos padrões de precisão atuais, todas as
variáveis, por exemplo, envolvidas no problema da
conexão de redes altimétricas ( posicionamento
GPS, medidas da gravidade e sistemas de altitudes
locais), devem ser reduzidas ao mesmo sistema de
maré permanente.
• O ITRFyyyy, bem como o SIRGAS 2000, fornecem
coordenadas no sistema tide-free; as altitudes da
Rede Altimétrica Fundamental do Brasil (RAFB) são
dadas no sistema mean-tide, uma vez que no
nivelamento não foram consideradas as correções
de maré.
• Em Ekman (1989), são apresentadas equações
para transformar valores de gravidade e altitude
entre sistemas de maré;
• As transformações entre a diferença de altitude ΔHz
acima do geóide zero, a diferença de altitude ΔHm
acima do geóide médio, e a diferença de altitude
ΔHn acima do geóide sem maré, entre uma estação
norte e uma estação sul, são dadas por:
(2.59)
(2.60)
(2.61)
φN, φS, = latitude
geodésica nos pontos
norte e sul
γ = constante
• Para os valores de gravidade, as diferenças
entre a gravidade zero gz, gravidade média gm e
gravidade sem maré gn são dadas por (Ekman,
1989):
(2.62)
(2.63)
(2.64)
onde δ é o fator gravimétrico (aprox. 1,16)
Referências Bibliográficas
•
DE FREITAS, S.R.C.; Considerações sobre o segmento brasileiro do “Trans World
Tidal Gravity Profile”. Tese submetida à banca examinadora do concurso para professor
titular do Departamento de Geociências da UFPR. Curitiba, 1992.
•
DE FREITAS, S.R.C.; DALAZOANA, R.; FERREIRA, V.G.; The Spatial Age and the new
paradigms in Geodesy: Implication on Surveying and Mapping in Brazil. Revista
Brasileira de Cartografia, N° 64/6, p. 845-861, 2012.
•
DE FREITAS, S.R.C.; FERREIRA, V.G.; PALMEIRO, A.S.; DALAZOANA, R.; LUZ, R.T.;
FAGGION, P.L. Modelagem do potencial anômalo no datum vertical brasileiro visando
sua nova definição. Boletim de Ciências Geodésicas, sec. Artigos, Curitiba, v. 13, no 2,
p.395-419, jul-dez, 2007
•
ICET
–
International
Centre
for
Earth
Tides.
http://www.gfy.ku.dk/~iag/Travaux_99/sec5_icet.htm. Acesso em 26.06.2013
•
ICET - International Centre for Earth Tides http://www.upf.pf/ICET/index.html.
Acesso em 27.06.2013
•
ICGEM – International Centre for Global Earth Models - http://icgem.gfzpotsdam.de/ICGEM. Acesso em 26.06.2013