diferentes métodos de ajuste do modelo volumétrico de schumacher

DIFERENTES MÉTODOS DE AJUSTE DO MODELO VOLUMÉTRICO DE
SCHUMACHER E HALL
SintiaValerio Kohler 1, Fabiane Aparecida de Souza Retslaff 2, Rômulo Môra 3, Afonso Figueiredo Filho4,
Neumar Irineu Wolff II5
Resumo
Foram avaliadas diferentes alternativas para estimação dos coeficientes do modelo de Schumacher e Hall na
forma linear pelo método de mínimos quadrados ordinários e não linear, pelos algoritmos iterativos: GaussNewton, Levenberg-Marquardt, Steepest descent e pelo suplemento Solver do Excel. Os dados deste estudo
foram oriundos de plantios de Pinus taeda da empresa Remasa Reflorestadora Ltda, localizada no Centro-Sul do
estado do Paraná, com idades entre 6 e 18 anos. Os dados foram agrupados em três sítios, sendo realizado um
ajuste para cada sítio. A escolha do melhor método de ajuste baseou-se no coeficiente de determinação, erro
padrão de estimativa e análise de resíduos. O ajuste do modelo volumétrico de Schumacher e Hall por meio de
regressão linear apresentou estatísticas menos precisas aos ajustes por regressão não-linear, mas não apresentou
tendenciosidade nas estimativas. Já o ajuste pelo método Steepest descent e o pelo Solver resultaram estimativas
com tendenciosidades nas menores classes de diâmetros para estimar os volumes nos sítios avaliados. O ajuste
do modelo pelos métodos de Marquardt e Gauss-Newton convergiram para valores próximos dos coeficientes,
resultando estimativas similares. Estes dois métodos apresentaram as melhores estatísticas de ajuste e precisão
para estimar o volume de Pinus taeda nos três sítios.
Palavras-chave: regressão, volume, Pinus taeda
Abstract
It was evaluated different alternatives to estimate the coefficients of Schumacher and Hall volume model in
linear form by the ordinary least square method and nonlinear form, by the iterative algorithms: Gauss-Newton,
Levenberg-Marquardt, steepest descent and the Excel Solver. Data of this study came from Pinus taeda belong to
company Remasa Reforestation Ltda, located in central-southern state of Parana, with aged between 6 and 18
years old. The data were grouped into three sites, with an adjustment for each site. The best method of
adjustment was based on the coefficient of determination, standard error of estimation and residual analysis. The
fitting of the Schumacher and Hall volume model by linear regression showed statistics less accurate than those
estimated by nonlinear regression, but showed no bias in the estimates. Moreover, the adjustment by steepest
descent and the Solver methods resulted in bias estimates on the smallest diameter classes to estimate the
volumes on the sites evaluated. The fit of the model by the Marquardt and Gauss-Newton methods converged to
similar values of the coefficients, these two methods showed the best fitting and precision statistics to estimate
the volume of Pinus taeda in the three sites.
Keywords: linear e nonlinear regression, volume, Pinus taeda
Introdução
O Pinus taeda é uma espécie nativa dos Estados Unidos, sendo a mais plantada do gênero Pinus no
Brasil (SHIMIZU, 2005), abrangendo aproximadamente um milhão de hectares, no planalto da Região Sul, para
a produção de celulose de fibra longa, papel, madeira serrada, chapas, laminados e compensados.
Dentre as variáveis dendrométricas estudadas na floresta, tanto nativa quanto plantada, o volume se
constitui em uma das informações de maior importância para o conhecimento do potencial florestal em uma
região, sendo que o volume individual fornece um ponto de partida para avaliação do conteúdo lenhoso dos
povoamentos florestais (MACHADO et al., 2005).
A medição de todas as árvores de uma floresta, com a finalidade de conhecer seu volume é, muitas
vezes uma tarefa impraticável. Por isso, quase sempre ela é inventariada por amostragem (MACHADO &
1
Engenheira Florestal, Mestranda em Engenharia Florestal. Universidade Federal do Paraná – UFPR, [email protected]
Engenheira Florestal, Doutoranda em Engenharia Florestal. Universidade Federal do Paraná – UFPR, [email protected]
3
Engenheiro Florestal, MSc. Professor da Faculdade de Engenharia Florestal da Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT e
Doutorando em Engenharia Florestal pela Universidade Federal do Paraná – UFPR, [email protected]
4
Engenheiro Florestal, Dr., Professor do Departamento de Engenharia Florestal do Curso de Engenharia Florestal da UNICENTRO e
Professor Sênior do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Florestal da UFPR, [email protected].
5
Engenheiro Florestal, Especialista em Geoprocessamento, Mestrando em Engenharia Florestal. Universidade Estadual do Centro Oeste –
Unicentro, [email protected].
2
FIGUEIREDO FILHO, 2006). Os diâmetros e as alturas de todas as árvores da amostra são medidos e a partir
deles os volumes podem ser estimados por meio de equações de volume, fator de forma e funções de afilamento.
Muitos modelos matemáticos foram criados e testados para o ajuste de equações de volume. Apesar
de o uso ter consagrado alguns desses modelos, nenhum deles será sempre o de melhor desempenho para todas
as espécies e condições. Por isto, é recomendável testar vários modelos e por meio de análises estatísticas,
identificar o melhor para cada caso (MACHADO et al., 2002).
O volume de árvores tem sido estimado com certa facilidade e acuracidade, empregando-se equações
de volume, ajustadas quase sempre a partir de medições do diâmetro à altura do peito e da altura total
(FIGUEIREDO FILHO et al. 1993). Em geral, utilizam-se os modelos de simples e dupla entrada. As equações
de simples entrada, em que o volume é função somente do diâmetro das árvores, são normalmente aplicadas
quando a correlação entre o diâmetro e a altura é muito forte; as equações de dupla entrada, em que o volume é
função do diâmetro e da altura, são aplicadas para povoamentos em que há maior heterogeneidade no
desenvolvimento da altura das árvores com mesmo diâmetro (SCOLFORO, 1988).
Entre os vários modelos existentes para expressar o volume de madeira em função do diâmetro e da
altura, o modelo proposto por Schumacher e Hall (1933) é um dos mais difundidos na área florestal, devido às
suas propriedades estatísticas, uma vez que resulta em estimativas quase sempre não tendenciosas (CAMPOS &
LEITE, 2006). Geralmente, esse modelo tem sido ajustado na forma aproximada (linearizado por transformação
logarítmica) pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MMQO). Quando o ajuste é feito por Método dos
Mínimos Quadrados Não Lineares, os algoritmos Levenberg-Marquardt e Gauss-Newton tem sido os mais
utilizados. O ajuste de modelos não lineares pode ser feito utilizando diferentes algoritmos ou métodos iterativos
(SILVA et al., 2009).
Este trabalho teve como objetivo avaliar o ajuste do modelo volumétrico de Schumacher e Hall por
diferentes alternativas, na sua forma linear, pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários e na forma nãolinear pelos métodos de Marquardt, Steepest descent, Gauss-Newton e pelo suplemento Solver do Excel,
buscando definir qual método estima mais apropriadamente, os volumes de Pinus taeda na Região Centro-Sul do
estado do Paraná.
Material e Métodos
Os dados para este estudo são oriundos de plantios de Pinus taeda da empresa Remasa Reflorestadora
Ltda, localizada na região Centro-Sul do estado do Paraná, com idades variando entre 6 e 18 anos.Os dados
foram separados em três sítios (I, II, II), com o uso de curvas de sítio existentes para o local.
Métodos de ajuste testado
O modelo de Schumacher e Hall, linearizado pelo processo de transformação das variáveis (modelo
logarítmico), foi ajustado por regressão linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Este mesmo
modelo em sua forma original foi ajustado por regressão não-linear por meio de quatro diferentes métodos:
Marquardt, Steepest descent, Gauss-Newton e pelo Solver*, os três primeiros disponíveis no Statgraphics
Centurione o último no suplemento “solver” no Microsoft Excel. O modelo de Schumacher e Hall em sua forma
linearizada e não linear está apresentado a seguir:
Schumacher e Hall linearizado
Schumacher e Hallnão-linear
em que:
v = volume estimado (m³); ln = logaritmo neperiano; d = diâmetro a 1,30 m do solo (cm); h =altura total da
árvore (m); bi = parâmetros dos modelos.
Ajuste e seleção do melhor método
O melhor método para o ajuste do modelo de Schumacher e Hall para estimar volume foi escolhido
com base no coeficiente de determinação, erro padrão de estimativa e análise de resíduos. O modelo linearizado
teve seu erro recalculado para ser comparado com o modelo não-linear.
Visando ainda comparar as diferenças entre os métodos de ajuste do modelo de Schumacher e Hall,
para os sítios I, II e III, na estimativa do volume total, foi utilizado o procedimento de análise de variância
(ANOVA).
Resultados e discussão
Os resultados para o ajuste do modelo de Schumacher por meio dos diferentes métodos para o sítio I são
apresentados na Tabela 1. Observa-se que todas as formas de ajustes para o modelo apresentaram estatísticas
similares, com R² altos e erros menores de 10%. Os métodos de Marquardt e Gauss-Newton convergiram para
coeficientes com valores muito aproximados, obtendo-se estatísticas semelhantes. Isto também ocorreu para o
ajuste nos sítios II e III (Tabelas 2 e 3, respectivamente).
Tabela 1: Coeficientes e estatísticas do modelo para o sítio I
b0
b1
b2
R²
Syx%
-10,61570
1,77377
1,32506
0,99304
9,31
Schumacher não-linear (Marquardt)
2,5809E-05
1,86000
1,21319
0,99351
8,99
Schumacher não-linear (Steepest descent)
1,8155E-05
1,91218
1,26256
0,99272
9,52
Schumacher não-linear (Gauss-Newton)
2,5811E-05
1,86000
1,21315
0,99351
8,99
Schumacher não linear (Solver*)
*suplemento “solver” do Microsoft Excel
2,4498E-05
1,90527
1,17819
0,99342
9,06
Modelo/Método
Schumacher linearizado
Por meio da análise gráfica dos resíduos (Figura 1), nota-se que o modelo de Schumacher ajustado pelo
método de Steepest descent e pelo Solver, tem certa tendência em subestimar os volumes. Os métodos de
Marquardt e Gauss-Newton, como convergiram para os mesmos coeficientes, os resíduos são, por consequência,
similares. Já o ajuste linear do modelo de Schumacher apresentou uma leve superioridade na distribuição dos
resíduos nas menores classes, sendo mais homogêneos que os obtidos pelos ajustes não-lineares.
Schumacher Linearizado
Schumacher não-linear - Marquardt
50
40
30
Resíduos %
Resíduos %
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
40
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
50
10
10
20
30
DAP (cm)
30
40
50
Schumacher não-linear - Gauss-Newton
Resíduos %
Resíduos %
Schumacher não-linear - Steepest descent
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
20
DAP (cm)
DAP (cm)
40
50
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
DAP (cm)
40
50
Resíduos %
Schumacher não-linear - Solver*
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
40
50
DAP (cm)
Figura 1: Gráficos de distribuição dos resíduos para o modelo de Schumacher ajustado pelos diferentes métodos
para estimar o volume para o sítio I.
As estatísticas para o ajuste do modelo de Schumacher para o sítio II foram inferiores às obtidas para os
dados dos sítios I e III. O maior erro foi obtido no ajuste linear do modelo de Schumacher, seguido do ajuste
pelo método Steepest descent e pelo Solver (todos acima de 14%) (Tabela 2).
Tabela 2: Coeficientes e estatísticas do modelo para o sítio II
Modelo/Método
Schumacher linearizado
Schumacher não-linear (Marquardt)
Schumacher não-linear (Steepest descent)
Schumacher não-linear (Gauss-Newton)
Schumacher não linear (Solver*)
*suplemento “solver” do Microsoft Excel
b1
1,85108
1,72734
1,91421
1,72723
1,919548
b0
-10,44890
1,7359E-05
1,8288E-05
1,7359E-05
1,7059E-05
b2
1,18775
1,49837
1,26533
1,49849
1,285706
R²
0,97872
0,98279
0,97915
0,98279
0,97950
Syx%
14,37
12,92
14,22
12,92
14,10
Na análise gráfica dos resíduos apresentada na Figura 2, observa-se que o modelo de Schumacher
ajustado pelo método Steepest descent e pelo Solver tem tendência em subestimar os volumes nas primeiras
classes diamétricas. Esta tendência também é observada no ajuste pelos métodos de Marquardt e Gauss-Newton,
no entanto é menor que nos outros dois citados anteriormente. Já, o ajuste linear apresenta uma distribuição de
resíduos mais homogênea, principalmente nas menores classes onde o ajuste não-linear não estima bem os
volumes. Esta característica pode ser interessante quando o objetivo é obter volumes para árvores nas menores
classes diamétricas, oriundas de um desbaste, por exemplo.
Schumacher não-linear - Marquardt
Resíduos %
Resíduos %
Schumacher Linearizado
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
DAP (cm)
40
50
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
DAP (cm)
40
50
Schumacher não-linear - Gauss-Newton
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
Resíduos %
Resíduos %
Schumacher não-linear - Steepest descent
10
0
20
30
40
50
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
DAP (cm)
10
20
30
40
50
DAP (cm)
Resíduos %
Schumacher não-linear - Solver*
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
40
50
DAP (cm)
Figura 2: Gráficos de distribuição dos resíduos para o modelo de Schumacher e Hall ajustado pelos diferentes
métodos para estimar o volume para o sítio II.
As estatísticas obtidas para o ajuste do modelo de Schumacher pelos diferentes métodos para estimar o
volume para as árvores do sítio III foram intermediárias, entre as obtidas para o sítio I e II. Os métodos de
Marquardt e Gauss-Newton novamente apresentaram as melhores estatísticas de ajuste e precisão.
Tabela 3: Coeficientes e estatísticas do modelo para o sítio III.
Modelo/Método
b0
Schumacher linearizado
-10,21570
Schumacher não-linear (Marquardt)
5,2246E-05
Schumacher não-linear (Steepest descent)
1,8380E-05
Schumacher não-linear (Gauss-Newton)
5,2241E-05
Schumacher não linear (Solver*)
1,7208E-05
*suplemento “solver” do Microsoft Excel
b1
1,71166
1,89603
1,91570
1,89609
1,89003
b2
1,25287
0,92039
1,26694
0,92036
1,32372
R²
0,98034
0,98498
0,98097
0,98498
0,98078
Syx%
12,92
11,29
12,71
11,29
12,78
Observa-se, nos gráficos de distribuição de resíduos (Figura 3),que o modelo de Schumacher ajustado
pelo método Steepest descent e pelo Solver subestimam os volumes nas menores classes diamétricas, parecendo
ser uma característica dos métodos e não “problemas” nos dados, uma vez que, isto aconteceu para o ajuste nos
três sítios. O ajuste linear apresentou uma distribuição de resíduos similar aos obtidos pelos métodos de
Marquardt e Gauss-Newton. Os três últimos apresentam certa tendência em superestimar os volumes entre as
classes de 7,5 a 15,0 cm.
Schumacher não-linear - Marquardt
60
40
40
20
20
Resíduos %
Resíduos %
Schumacher Linearizado
60
0
-20
0
-20
-40
-40
-60
-60
0
5
10
15
20
DAP (cm)
25
30
35
40
0
5
10
15
20
DAP (cm)
25
30
35
40
Schumacher não-linear - Steepest descent
Schumacher não-linear - Gauss-Newton
60
40
40
20
20
Resíduos %
Resíduos %
60
0
-20
0
-20
-40
-40
-60
-60
0
5
10
15
20
25
30
35
0
40
5
10
15
20
25
30
35
40
DAP (cm)
DAP (cm)
Schumacher não-linear - Solver*
60
Resíduos %
40
20
0
-20
-40
-60
0
5
10
15
20
25
30
35
40
DAP (cm)
Figura 3: Gráficos de distribuição dos resíduos para o modelo de Schumacher e Hall ajustado pelos diferentes
métodos para estimar o volume para o sítio III.
Silva et al. (2009) ajustaram o modelo volumétrico de Schumacher e Hall nas formas linear e não linear,
com os seguintes algoritmos: Gauss-Newton, Quasi-Newton, Levenberg-Marquardt, Simplex, Hooke-Jeeves
Pattern, Rosenbrock Pattern, entre outros. Os autores avaliaram as estimativas dos volumes por gráficos de
volume estimado em função do volume observado e pelo teste estatístico L&O, concluindo que o ajuste do
modelo de Schumacher e Hall pode ser usado na sua forma linear, com boa representatividade e sem apresentar
tendenciosidade e que os algoritmos Gauss-Newton, Quasi-Newton e Levenberg-Marquardt mostraram-se
eficientes para o ajuste do modelo volumétrico de Schumacher e Hall. Estes resultados obtidos por Silva et al.
(2009) para estimar o volume para clones de eucalipto foram similares aos obtidos neste trabalho.
Batista et al. (2004) ajustaram o modelo de Schumacher e Hall na sua forma não-linear, linearizado e na
forma geral para estimar o volume de Tabebuia cassinoides no estado do Rio de Janeiro e concluíram que o
método de ajuste pode ter forte efeito sobre o desempenho de certos modelos de equações de volume. O modelo
de Schumacher e Hall ajustado por regressão linear pelos autores apresentou menor valor para o coeficiente de
determinação e maior erro padrão (R² = 0, 9189 e Syx = 115,84 dm³), já o modelo de Schumacher e Hall, ajustado
por meio de regressão não-linear, apesar do bom desempenho (R² = 0,9696 e Syx = 61,81dm³), apresentou
tendências para o ajuste do volume comercial até 12 cm.
Como os resultados obtidos nos diferentes métodos de ajustes foram semelhantes, realizou-se o
procedimento de análise de variância para verificar se houve diferença estatística entre eles. O resultado da
ANOVA foi não significativo ao nível de 5% de probabilidade para os três sítios analisados em relação à
comparação entre os métodos de ajuste e entre estes e o volume obtido por Smalian. Desse modo não houve
necessidade de realizar os demais testes e pelos resultados encontrados, pode-se concluir que não houve
diferença estatística entre os métodos de ajuste para o volume total e entre estes e o volume cubado.
Conclusões
As estatísticas para o ajuste do modelo de Schumacher para o sítio I foram superiores às obtidas para os
dados dos sítios II e III. Isto pode estar relacionado à maior homogeneidade dos dados do sítio melhor.
O ajuste do modelo volumétrico de Schumacher e Hall por meio de regressão linear apresentou
estatísticas um pouco inferiores aos ajustes por regressão não-linear, mas não apresentou tendenciosidade nas
estimativas. Fator muito importante quando se avalia a qualidade do ajuste de um modelo.
O ajuste pelo método Steepest descent e o pelo Solver resultaram em estimativas com tendenciosidades
nas menores classes de diâmetros para estimar os volumes nos três sítios avaliados.
Os métodos de ajuste não-linear de Marquardt e Gauss-Newton convergiram para valores próximos dos
coeficientes, obtendo estimativas similares. Estes dois métodos apresentaram as melhores estatísticas de ajuste e
precisão para estimar o volume de Pinus taeda nos três sítios avaliados.
Pelos resultados da ANOVA, em média o volume estimado pelos diferentes métodos de ajuste nos sítios
I, II e III são estatisticamente iguais à média do volume real.
Referências
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cassinoides) no Estado de São Paulo e sul do Estado do Rio de Janeiro. Scientia Forestalis, n. 65, p. 162-175, jun.
2004.
CAMPOS, J. C. C.; LEITE, H. G. Mensuração florestal: perguntas e respostas. 2.ed. Viçosa,MG: Universidade
Federal de Viçosa, 2006. 470p.
FIGUEIREDO FILHO, A.; OLIVEIRA, C. G.; MOURA, J. B.; CUNHA, U. S. Conversão de equações de
volume em equações de forma compatíveis para Pinus elliottii. In: CONGRESSO FLORESTAL
PANAMERICANO (1.: 1993: Curitiba) E CONGRESSO FLORESTAL BRASILEIRO (7.: 1993: Curitiba).
Anais… Curitiba: SBS/SBEF, v.2, p. 501-503. 1993.
HUSCH, B.; MILLER, C. I.; BEERS, T. E. Forest mensuration. 2° ed. New York: Ronald Press, 1972. 410 p.
MACHADO, S. A.; CONCEIÇÃO, M. B. da; FIGUEIREDO, D. J. Modelagem do volume individual para
diferentes idades e regimes de desbaste em plantações de Pinus oocarpa. Revista Ciências Exatas e Naturais,
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MACHADO, S. A.; URBANO, E.; CONCEIÇÃO, M. B. da. Comparação de métodos de estimativa para
Pinus oocarpa em diferentes idades e diferentes regimes de desbastes. Boletim de pesquisa florestal Unidade Regional de Pesquisa Florestal, Colombo - PR, v. 50-nº1, n. 1, p. 81-98, 2005.
MACHADO, S. A.; FIGUEIREDO FILHO, A. Dendrometria. 2. ed. Guarapuava: Editora Unicentro, 2006. v.
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SCOLFORO, J. R. S.; MACHADO, S.A. Curvas de índice de sítio, para plantações de Pinus elliottii nos Estados
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SILVA, M. L. M. DA; BINOTI, D. H. B.; GLERIANI, J. M.; LEITE, H. G. Ajuste do modelo de Schumacher e
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SHIMIZU, J. Y. Cultivo do Pinus. Embrapa Florestas. Versão eletrônica, 2005. Disponível em:
http://sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br. Acesso em 26/06/2012.