Título: Problema da Agulha de Buffon

AGULHA DE BUFFON
Verônica Yumi Kataoka
Miriam Cardoso Utsumi
O número π (pi) é uma constante matemática, que está representada, por exemplo, na
razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Atualmente existem muitos
métodos computacionais que permitem calcular o valor de π de forma precisa, utilizando
bilhões de casas decimais.
Podemos identificar também a presença do π
na expressão que determina a
probabilidade que uma agulha de comprimento l, lançada ao acaso, intercepte um dos
segmentos de retas paralelas (traçadas num tabuleiro de madeira ou num papel) afastadas a
uma distância d (sendo l≤d). Esta situação é conhecida como o “Problema da Agulha de
Buffon”, proposta pelo matemático e filósofo George Louis Leclerc e essa probabilidade,
denominada de probabilidade geométrica1, é determinada pela expressão p = π d 2l .
Usando esse problema de Buffon é possível realizar um experimento aleatório para o
lançamento da agulha e estimar o valor de π pela associação entre a probabilidade geométrica
e a probabilidade frequentista (determinada pela razão entre o número de sucessos – intercepta
o segmento de reta - e o número de lançamentos). Mas por que estimar, com erro, uma
constante que pode ser calculada de forma totalmente precisa?
Para responder a tal questionamento, deve-se considerar que é importante no ensino de
Probabilidade que o professor propicie situações em que os alunos possam realizar
experimentos
e
observar
eventos,
explorando
assim
conceitos
fundamentais
para
Probabilidade, tais como: aleatoriedade, independência, variação, previsibilidade e incerteza.
De acordo com. Gal (2005) esses conceitos estão presentes no cotidiano dos alunos, já que a
maioria dos fenômenos é de natureza aleatória, sendo também conceitos constantemente
utilizados nos processos de cálculos probabilísticos. Esse mesmo autor afirma que o aluno que
é capaz de ler e interpretar criticamente informações probabilísticas, bem como tomar decisões
com base nas mesmas, pode ser considerado letrado em Probabilidade.,
Buscando desenvolver o letramento probabilistico, essa sequência de ensino (SE)
propõe o trabalho tanto com experimentos determinísticos, determinando o valor de π de forma
clássica, isto é, medindo o diâmetro e a circunferência de um objeto cilíndrico; como com
1
. Nesta concepção de probabilidade, os espaços amostrais são descritos por figuras geométricas,
sendo não-enumeráveis, podendo ser finitos, como no caso da região delimitada por um quadrado ou um
cubo; ou infinitos como a região delimitada por duas retas (TUNALA, 1995).
1
experimentos aleatórios, estimando o valor de
π
por meio do problema da agulha de Buffon.
Dessa forma o aluno poderá explorar os conceitos supracitados, além de diferenciar esses dois
tipos de experimentos e os tipos de erros originados pelos mesmos, quais sejam: erros
sistemáticos nos experimentos determinísticos e erros aleatórios no experimento aleatório.
A proposta de se trabalhar com esses dois tipos de erros (sistemático e aleatório),
advém do fato que o aluno pode explorar a idéia de variabilidade de diferentes perspectivas,
concordando com Makar & Confrey (2004) que afirmam que comparar grupos pode estimular
aos aprendizes a considerar não só medidas de dispersão dentro de cada grupo, mais entre os
grupos, e, por conseguinte, considerar variação entre (tanto com os erros sistemáticos como
aleatórios) e dentro (erros sistemáticos) das próprias medidas.
Objetivo Geral
Explorar as diferenças que existem entre um experimento determinístico e um
experimento aleatório, e, por conseguinte, discutir os conceitos de erros sistemáticos e
aleatórios, utilizando como medida o valor de π .
Objetivos específicos

Estimar o valor de π pelo método do Buffon;

Determinar um valor aproximado para π pelo método Clássico;
 Explorar as ideias de variabilidade entre e dentre das próprias medidas;
 Discutir os conceitos de erros sistemáticos, erros aleatórios, experimento, replicação
(repetição), amostra, parâmetro, estimativa;
 Visualizar o fenômeno da convergência por meio da simulação computacional no AVALE;
Material necessário
• Tabuleiros de madeira ou cartolina com feixe de segmentos de retas paralelos, sendo a
distância “d” entre esse segmentos fixa;
• Palitos de dente ou palitos de fósforo ou varetas de madeira de comprimento l ;
• Cartaz em papel madeira para sistematizar os resultados.
• Fita adesiva.
• Laboratório de informática com acesso à Internet.
• Calculadora.
• Réguas, barbante, fita métrica de costureira;
• Diferentes objetos cilíndricos.
2
Tempo estimado: Três aulas de 50 minutos cada.
Desenvolvimento da atividade no ambiente de aprendizagem papel e lápis
1ª etapa: Método Clássico
Nessa etapa o professor deve solicitar que cada dupla de alunos escolha pelo menos
dois objetos cilíndricos (Figura 1) e uma das partes dos objetos (por exemplo, tampa, fundo do
copo) em seja possível medir o comprimento (C) e o diâmetro da circunferência (D), e em
(
)
seguida calcular, com o auxílio de uma calculadora, os valores aproximados de π π EC = C D ,
anotando os resultados numa cartaz em papel madeira colado na lousa (Figura 2).
O professor pode discutir com os alunos que o valor de π será designado como
aproximado nesse experimento, justamente porque o esperado é que o valor encontrado seja
bem próximo de π por se tratar de um experimento determinístico, isto é, o valor de π de
fato pode ser determinado pela razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência,
sendo então o resultado de uma relação teórica já existente.
Figura 1. Exemplos de objetos cilíndricos para experimento com o método clássico
Dupla
Método Clássico
π EC
Objeto
C
D
1
1
27,0 8,5
3,1765
2
1
27,5 8,6
3,1977
3
2
28,2 8,6
3,2791
4
3
24,0 7,3
3,2877
5
2
28,1 8,6
3,2674
6
3
23,6 7,2
3,2778
7
1
27,0 8,5
3,1765
Figura 2. Exemplo da planilha de dados do método clássico utilizando régua e barbante
Ressalta-se que o professor deve levar certa quantidade de objetos cilíndricos de forma
que pelos menos duas duplas de alunos meçam o mesmo objeto, no exemplo da figura 2 foram
três duplas medindo o objeto 1, duas duplas o objeto 2 e duas duplas o objeto 3.
Na medição do mesmo objeto se forem encontradas diferenças nos valores aproximados
de π , o que geralmente acontece, permitirá a discussão da existência de erros sistemáticos,
3
como por exemplo, medidas feitas em partes diferentes no objeto, ou medidas feitas na mesma
parte, mas com grau de precisão diferente. No caso do exemplo da figura 2, os alunos mediram
o comprimento e a circunferência na mesma parte, e para o objeto 1 observa-se que a dupla 2
encontrou um valor aproximado de π diferente das duplas 1 e 7, o mesmo acontecendo com os
objetos 2 e 3 medidas pelas demais duplas.
Na medição de objetivos diferentes, se forem encontradas diferenças nos valores
aproximados de π , poder-se-á discutir o erro sistemático advindo da facilidade (ou dificuldade)
de medir alguns objetos por serem maiores ou menos escorregadios, como é o exemplo do
valor π EC do objeto 1 é o que mais se aproxima do valor de π , porque ele era um objeto médio,
de alumínio e que tinha uma marcação no centro da tampa superior, o que pode ter auxiliado no
diâmetro da circunferência.
A utilização de diferentes instrumentos de medição por dupla, por exemplo, régua e
barbanteou com a fita métrica de costureira, ou barbante e escalímetro, ou ainda usar um
paquímetro, também podem gerar erros sistemáticos
Em seguida o professor deve solicitar às duplas que realizem o experimento aleatório.
2ª etapa: Método Buffon
O professor deve distribuir para cada dupla um pequeno tabuleiro de madeira ou
cartolina com um feixe de segmentos paralelos (Figura 3), sendo a distância “d” entre esse
segmentos fixa.
Figura 3. Exemplo do tabuleiro e da agulha (vareta) com o resultado de sucesso
Em seguida, cada aluno deve lançar uma agulha (vareta, palito de dente etc), de
comprimento l ( l ≤ d ) , 50 vezes (n) (perfazendo uma amostra de 100 lançamentos por dupla)
e, a cada lançamento (replicação), anotar se a agulha intercepta um dos segmentos (como o
exemplo na Figura 3), determinado assim o número de k sucessos. Os alunos devem medir
também o comprimento da agulha l , já que pode haver uma pequena variação na medida. Com
esses resultados, o professor deve solicitar aos alunos que calculem o valor estimado para o
4
parâmetro π utilizando a fórmula da probabilidade geométrica - p = π d 2l . Nessa fórmula os
alunos devem substituir o valor de p pelo resultado da freqüência relativa k n (probabilidade
frequentista) obtendo assim o valor para a estimativa2 de π - p = π d 2l →
k πˆ d
2lk
=
→ πˆ =
2
l
n
nd
(Figura 4).
Dupla
Método Buffon
πˆ
n
k
l
D
1
100
47
5,00
8
2,6596
2
150
63
5,10
8
3,0357
3
100
51
5,15
8
2,5245
4
100
40
5,00
8
3,1250
5
100
41
5,15
8
3,1402
6
100
30
5,00
8
4,1667
7
100
45
5,10
8
2,8333
Figura 4. Exemplo da planilha de dados do método Buffon com 100 lançamentos por dupla
Salienta-se que não será discutida neste tutorial a solução deste problema por meio da
probabilidade geométrica3 por envolver, por exemplo, o conceito de integral que foge do escopo
da educação básica. Mesmo não apresentando a demonstração para a obtenção da expressão
da probabilidade geométrica para os alunos, acreditamos que a atividade é muito relevante,
pois consideramos que o mais importante é apresentar para os alunos outra forma prática de
obter uma estimativa para o valor de π .
Obtidos os valores aproximados de π ( π EC ) pelo método clássico - experimento
determinístico e os valores estimados de π ( πˆ ) pelo método do Buffon – experimento aleatório,
o professor pode discutir com os alunos os erros encontrados nos dois tipos de experimentos,
passando para a 3ª etapa da SE.
3ª etapa: Comparação entre os métodos
A partir da planilha de dados preenchida com os resultados dos dois métodos, o
professor pode discutir com os alunos as diferenças entre os dois experimentos, solicitando que
Quando substituímos o valor da probabilidade pela freqüência relativa, o valor de π passa a ser
estimado é representado na Estatística com o símbolo πˆ e denominado de estimativa do parâmetro π .
Destaca-se que a estimativa é diferente do que designamos de valor aproximado, isto é o valor
aproximado, como dito, é o valor obtido de um experimento determinístico, ou seja de uma relação já
existente teoricamente.
3
Para ter acesso à demonstração do cálculo desta probabilidade, consulte Tunala (1995); Kataoka;
Rodrigues; Oliveira (2007).
2
5
sejam calculados os erros experimentais, que no caso do método clássico são denominados de
erros sistemáticos, por serem provenientes de erros de medição (quer seja originado pelo
instrumento utilizado, que seja pela pessoa que está medindo) ( Erro 1 = π EC − π ) ; e no método
Buffon são denominados erros aleatórios ( Erro 2 = πˆ − π ) (Figura 5).
Ressalta-se que teoricamente se um experimento é aleatório não devem existir erros
sistemáticos, mas no caso do Problema da Agulha de Buffon, se o lançamento da agulha ou
sua medida forem feitos de forma incorreta podem estar inclusos também erros sistemáticos no
valor do erro 2. Sendo assim é importante que o professor esteja atento a forma como os
alunos estejam lançando a agulha e procedendo às medições.
Dupla
1
2
3
4
5
6
7
Método Clássico
Objeto
C
D
1
1
2
3
2
3
1
27,0
27,5
28,2
24,0
28,1
23,6
27,0
8,5
8,6
8,6
7,3
8,6
7,2
8,5
π EC
Método Buffon
Erro 1
n
K
l
πˆ
Erro 2
2,6596
3,0357
2,5245
3,1250
3,1402
4,1667
2,8333
-0,4820
-0,1059
-0,6171
-0,0166
-0,0013
1,0251
-0,3083
D
3,1765
0,0349
100
47
5,00
8
3,1977
0,0561
150
63
5,10
8
3,2791
0,1375
100
51
5,15
8
3,2877
0,1461
100
40
5,00
8
3,2674
0,1258
100
41
5,15
8
3,2778
0,1362
100
30
5,00
8
3,1765
0,0349
100
45
5,10
8
Figura 5. Exemplo da planilha de dados dos dois métodos
Calculado os dois erros, é importante discutir com os alunos que alguns valores
encontrados no experimento super ou subestimam o valor de π , e que há uma tendência dos
erros sistemáticos serem mais próximos de zero (só ocorrem por falta de precisão no processo
de medição), comparativamente com os erros aleatórios (principalmente quando o número de
lançamento é reduzido), pelo menos teoricamente esse é um resultado esperado.
Verificando os erros no exemplo na figura 5, observa-se que na coluna do π EC , todos os
valores superestimam o valor de π , como conseqüência, todos os valores do Erro 1 são
positivos. Já em relação ao πˆ , temos tanto valores super (resultado da dupla 6) como
subestimando (resultado da dupla 1) o π , originando nos valores do Erro 2 tanto positivos
como negativos. Percebe-se também que de fato os valores do Erro 1 são mais próximos do
zero que os do Erro 2 (com exceção das duplas 4 e 5).
Em síntese, o professor ao trabalhar com os dois tipos de erros (sistemáticos e
aleatórios), possibilita ao aluno perceber que a natureza dos mesmos é distinta, isto é, os erros
sistemáticos podem ser controlados, utilizando-se, por exemplo, aparelhos mais precisos, e que
os erros aleatórios são inerentes aos fenômenos que envolvem sorteios, lançamentos ao
acaso, ou seja, não podem ser controlados.
6
Retomando o que afirma Makar & Confrey (2004) é importante que o aluno explore a
idéia de variabilidade desde diferentes perspectivas: comparando resultados de diferentes
duplas para um mesmo objeto (no caso do método clássico), oportuniza-se aos alunos
perceberem a variação dentro das próprias medidas comparando os erros sistemáticos. E tanto
no caso do método clássico, quando os objetos são diferentes, como o do Buffon, é possível
que os alunos percebam a variação entre as medidas por meio, respectivamente, dos erros
sistemáticos e aleatórios. A importância de se explorar a ideia de variabilidade nesses dois tipos
de experimento, pode se apoiar ainda no que afirmam Pfannkuch (1997), Shaughnessy
(1997), que a variabilidade é o coração da Estatística e é o componente fundamental do
pensamento estatístico.
Caso a escola possua um laboratório de informática com acesso a internet, os alunos
podem utilizar vários applets que realizam a simulação do problema de Buffon, para aumentar o
número de lançamentos. No caso desse tutorial, a proposta é desenvolver essa sequência de
ensino também no Ambiente Virtual de Apoio ao Letramento Estatístico para a Educação
Básica – AVALE-EB.
Desenvolvimento da atividade no ambiente de aprendizagem virtual – AVALE-EB
O AVALE-EB oferece um sistema de entrada de dados personalizado (Figura 5),
gerando uma planilha eletrônica dinâmica e em tempo real, disponibilizando ferramentas
estatísticas para o tratamento dos dados (Figura 6).
Figura 6. Planilha
estatísticas
Figura 5 . Entrada de dados personalizados
eletrônica
e
ferramentas
No caso dessa sequência de ensino é possível, por exemplo, comparar os resultados
dos dois métodos de qualquer dupla utilizando o gráfico de barras ou o boxplot dos erros
experimentais. (Figura 7).
7
Figura 7. Exemplos de resultados obtidos no AVALE-EB para a sequência de ensino
Uma vantagem do ambiente virtual em comparação com o ambiente papel e lápis é a
opção da simulação em Java, em que os resultados se referem à estimativa de probabilidade
para 10, 100, 1000 ou 10.000 lançamentos. Para tal, acesse Simulação Buffon – Java na aba
Buffon
do
AVALE-EB,
que
você
será
direcionado
para
o
site
http://www.galileu.esalq.usp.br/applet.php?id=4. Professor, você, pode discutir com a turma o
fenômeno da convergência, ou seja, a aproximação da estimativa de Pi ( πˆ ) do valor do Pi à
medida que o número de lançamentos aumenta (Figura 8).
Figura 8. Estimativas de probabilidade da simulação com 10.000 lançamentos para a SE Agulha do
Buffon com comprimento da agulha de 0,5 unidade de comprimento – u.c. e distância entre os segmentos
de 1 u.c.
Fonte: http://www.galileu.esalq.usp.br/applet.php?id=4
No resultado da simulação da Figura 8 é possível observar que:
8
•
na primeira imagem, no último lançamento, a agulha não tocou no segmento;
•
na segunda imagem, os pontos vermelhos que caem na região externa às duas curvas
azuis são considerados sucessos (a determinação da região favorável advém da
expressão de probabilidade que, como dito, não será demonstrada nesse tutorial), isto é,
a agulha toca no segmento;
•
na terceira imagem, o gráfico de barras comparando a probabilidade teórica
(Distribuição) e a frequência relativa (Simulação), tanto para as agulhas que não tocam
no segmento, fracasso, (Z = 0) como para as que tocam (Z=1). Salientando que essa
probabilidade teórica de sucesso é obtida substituindo o valor de Pi (3,141593...), do
comprimento da agulha (0,5 u.c.) e a distância entre as paralelas (1 u.c.) na expressão
p = πd
2l , e que a frequência relativa é determinada pela razão entre o número de
sucessos e o número de lançamentos.
•
na parte inferior (abaixo da primeira e segunda imagens) são apresentados os
resultados de cada simulação, com as coordenadas x e y para determinar o ponto no
gráfico da figura 3, e com a designação U = 0 se não tocou no segmento e U = 1 se
tocou. Por exemplo, no último lançamento a vareta não tocou no segmento, o que
resultou em U = 0
•
Na quarta imagem aparece o valor estimado de Pi (3,147) e o erro (0,005) que seria o
valor da estimativa subtraído do valor teórico do Pi (considerado nessa simulação como
sendo aproximadamente 3,142). Esse resultado indica que de fato quando aumentamos
o número de lançamento há uma redução do erro aleatório, que fica próximo de zero.
Considerações sobre a SE
Os resultados de aplicações dessa sequência de ensino nas escolas mostram que os
estudantes se sentem motivados e envolvidos, conseguem atribuir significado aos conceitos
desenvolvidos, percebendo as diferenças entre os experimentos e erros. Observou-se também
que eles ficaram mais interessados em saber como ou por que um valor constante e já
determinado como Pi pode ser gerado por um processo aleatório.
A estimativa do valor π na experimentação aleatória pode não ser tão próxima do valor
de π , por conta principalmente do número reduzido de lançamentos que é obtido em sala de
aula, mas simulando com o computador, os estudantes percebem essa aproximação, o que
possibilita também a discussão do fenômeno da convergência.
Acredita-se que a exploração de sequências de ensino como essa, pode auxiliar no
desenvolvimento do letramento probabilístico de alunos de diversas séries escolares.
9
Referências
Gal, I. Towards “Probability Literacy” for all citizens: Building Blocks and Instructional Dilemmas.
In Jones, G. A. (Ed), Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning.
pp. 39-63. 2005.
Makar, K.; Confrey, J. Secondary teachers’ statistical reasoning in comparing two groups. In:
Ben-Zvi, D.; Garfield, J. (Eds), The challenge of developing statistical literacy, reasoning
and thinking. Dordecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. pp. 353-374. 2004.
Kataoka, V. Y.; Rodrigues, A.; Oliveira, M. S. Utilização do conceito de Probabilidade
Geométrica como recurso didático no Ensino de Estatística. In: Encontro Nacional de
Matemática,
IX,
2007,
Belo
Horizonte,
Anais,
2007.
Disponível
em:http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC57002509500T.doc
Pfannkuch, M. (1997). Statistical thinking: One statistician’s perspective. In F. Biddulph & K. Carr
(Eds.), People in mathematics education (Proceedings of the 20th annual conference of the
Mathematics Education Research Group of Australasia) (pp. 406-413). Rotorua, New Zealand.
Shaughnessy, J. M. (1997). Missed opportunities in research on the teaching and learning of
data and chance. In F. Biddulph & K. Carr (Eds.), People in mathematics education
(Proceedings of the 20th annual conference of the Mathematics Education Research Group of
Australasia) (pp. 6-22). Rotorua, New Zealand.
Tunala, N. Determinação de probabilidades por métodos geométricos. Revista do Professor
de Matemática, v.20, p. 16-22, 1995.
10