Problema das Agulhas de Buffon
Transcrição
Problema das Agulhas de Buffon
Problema das Agulhas de Buffon Conceito Principal O problema de Buffon se refere a uma questão primeiramente colocada por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon: "Suponha que temos um chão feito de palitos paralelos de madeira, cada um com o mesmo comprimento. Se nós deixarmos cair uma agulha no chão, qual é a probabilidade de que a agulha irá cair em uma linha entre dois palitos?" O caso no qual o comprimento da agulha é menor ou igual à espessura de cada palito de madeira pode ser usada para montar uma aproximação para no estilo de Monte Carlo. Funções de Densidade de Probabilidade Seja l o comprimento da agulha, d a distância entre as linhas paralelas, x a distância a partir do centro da agulha à menor reta, e o ângulo agudo entre a agulha e a reta. A densidade de probabilidade uniforme de x entre 0 e é . A função de densidade de probabilidade uniforme de entre 0 e é . Então, a densidade de probabilidade conjunta das variáveis independentes x e é o produto de suas densidades de probabilidade individuais: A agulha vai cruzar a reta apenas se . . Uma Solução ao Caso "Agulha Curta" usando Integral Interada Esta solução pode ser encontrada simplesmente usando uma integral interada. Assumindo que , integrando a função de densidade de probabilidade conjunta dá a probabilidade que a agulha irá cruzar a reta: Uma Solução ao Caso "Agulha Curta" usando Cálculo Elementar Nós podemos também calcular a probabilidade, , da agulha cruzar a reta como o produto de e , onde é a probabilidade de que o centro da agulha irá cair perto o bastante de uma reta para possivelmente cruzá-la e P é a probabilidade de que a agulha realmente cruza a reta, dado que o seu centro é alcançado. Seja representando o comprimento da agulha e representa a largura de cada pedaço de madeira (ou seja, a distância entre duas retas). A agulha pode possivelmente cruzar a reta se seu centro é Então, adicionando de qualquer lado da reta. para dar conta para a agulha caindo em qualquer lado da reta, então dividindo pela distância total entre essa reta e a próxima, , temos . Agora assuma que o centro é perto de cruzar a reta, significando que ela está da reta. ou menos Relembre que a agulha irá atravessar a reta para um dado quando , ou . A probabilidade de isso ocorrer é portanto assumimos que vai uniformemente entre 0 e todos os valores de entre 0 e , tal que , independentemente de . Tomando a média de , encontramos que: Colocando tudo junto, obtemos . A fórmula a partir da solução ao caso da "agulha pequena" pode ser rearrumado para . Então, se conduzirmos um experimento para estimar , podemos também encontrar uma aproximação para . Vamos dizer que o nosso experimento envolve largar N agulhas no chão e observamos que n delas cruzam a linha, tal que a probabilidade observada de uma agulha cruzando a linha é . . Uma Solução ao Caso "Agulha Longa" Usando Geometria Integral Esta solução pode ser também encontrada simplesmente usando uma integral interada. Assumindo , integrando a densidade de probabilidade conjunta nos fornece a probabilidade de que a agulha irá cruzar a reta: , onde e é o mínimo de , obtemos: . Separando nos casos = . Portanto, quando . Ajuste: o número de agulhas sendo largadas; o comprimento de cada agulha; a distância entre as retas para comparar a probabilidade esperada de uma agulha cruzar uma reta com a probabilidade observada. Se o comprimento de cada agulha é menor ou igual à distância entre as retas paralelas, observe a Número de Agulhas = 0 200 400 600 800 1000 Distância entre Retas Paralelas (cm) = 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Comprimento de Cada Agulha (cm) = 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Largue Novamente! Resultados: Probabilidade Observada de cruzar uma Reta: .62000000 Aproximação de Pi: 3.225806452 Valor Real de Pi: 3.1415927