Apostila Conhecimentos Básicos - Sindicato dos Trabalhadores no

Transcrição

APOSTILA
CONCURSO
CARGO:
TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR
Português - Matemática
INDÍCE
PORTUGUÊS
Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos................................................................ 03
Tipologia Textual....................................................................................................................... 11
Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo.......................................................................................14
Significação Literal e Contextual de Vocábulos.........................................................................17
Processos Coesivos de Referência..............................................................................................20
Coordenação e Subordinação......................................................................................................21
Emprego, Estrutura, Formação e Representação de Palavras.................................................... 27
Ortografia Oficial........................................................................................................................33
Pontuação.................................................................................................................................. .41
Concordância..............................................................................................................................48
Regência.................................................................................................................................... 60
Crase ..........................................................................................................................................72
Significação das palavras (Semântica).......................................................................................80
Colocação pronominal................................................................................................................81
MATEMÁTICA
Conjuntos Numéricos................................................................................................................79
Sistema Legal de Medidas........................................................................................................ 92
Razões e Proporções..................................................................................................................96
Equações e Inequações do 1º e de 2 º Graus............................................................................121
Sistemas Lineares.....................................................................................................................146
Funções e Gráficos...................................................................................................................113
Noções de Estatística...............................................................................................................154
Progressões Aritméticas e Geométricas...................................................................................157
Matemática Financeira.............................................................................................................171
Princípios de Contagem e Probabilidade.................................................................................174
Geometria Plana.......................................................................................................................179
Geometria Espacial..................................................................................................................203
Álgebra e Trigonometria Básicos.............................................................................................247
2
Compreensão, Interpretação e Reescritura
de Textos
As questões de interpretação de textos vêm ganhando
espaço nos concursos públicos. Também é a partir de
textos que as questões normalmente cobram a
aplicação das regras gramaticais nos grandes
concursos de hoje.
Por isso, é cada vez mais importante observar os
comandos das questões. Normalmente o candidato é
convidado a:
• idenficar:
Reconhecer elementos fundamentais apresentados no
texto.
• comparar:
Descobrir as relações de semelhanças ou de diferenças
entre situações apresentadas no texto.
• comentar:
Relacionar o conteúdo apresentado com uma realidade,
opinando a respeito.
• resumir:
Concentrar as idéias centrais em um só parágrafo.
• parafrasear:
Reescrever o texto com outras palavras.
• continuar:
Dar continuidade ao texto apresentado, mantendo a
mesma linha temática.
Por isso, consideramos que são condições básicas
para o candidato interpretar textos: o conhecimento
histórico (aí incluída a prática da leitura), o
conhecimento gramatical e semântico (significado das
palavras, aí incluídos homônimos, parônimos,
sinônimos, denotação, conotação), e a capacidade de
observação, de síntese e de raciocínio.
Erros comuns de interpretação:
EXTRAPOLAÇÃO (viagem):
•
Ocorre quando o candidato sai do contexto,
acrescentando idéias que não estão no texto,
normalmente porque já conhecia o tema por uso de
sua imaginação criativa.
•
Portanto, é proibido viajar.
REDUÇÃO:
•
É o oposto da extrapolação.
•
Dá-se atenção apenas a um ou outro aspecto,
esquecendo-se de que o texto é um conjunto de
idéias.
CONTRADIÇÃO:
•
É comum as alternativas apresentarem idéias
contrárias às do texto, fazendo o candidato chegar a
conclusões equivocadas, de modo a errar a questão.
•
Portanto, internalize as idéias do autor e ponhase no lugar dele.
•
Só contradiga o autor se isso for solicitado no
comando da questão. Exemplo: “Indique a alternativa
que apresenta idéia contrária à do texto”.
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS
Roteiro para interpretar textos:
.
1. Ler atentamente todo o texto, procurando focalizar
sua idéia central.
2. Interpretar as palavras desconhecidas através do
contexto.
3. Reconhecer os argumentos que dão sustentação
à idéia central.
4. Identificar as objeções à idéia central;
5. Sublinhar os exemplos que forem empregados
como ilustração da idéia central.
6. Antes de responder às questões, ler mais de uma
vez todo o texto, fazendo o mesmo com o enunciado
de cada questão.
7. Evite responder “de cabeça”. Procure localizar a
resposta no texto.
8. Se preferir, faça anotações à margem ou
esquematize o texto.
9. Se o comando pede a idéia principal ou tema,
normalmente deve situar-se no primeiro parágrafo
(introdução) ou no último (conclusão).
10. Se o comando busca argumentação, deve
localizar-se os parágrafos intermediários
(desenvolvimento).
A Interpretação de Textos e os Modernos
Vestibulares
Interpretar exige raciocínio, discernimento e
compreensão do mundo.
A interpretação de textos é de fundamental
importância para o vestibulando. Você já se perguntou
por quê? Há alguns anos, as provas de Português,
nos principais vestibulares do país, traziam uma frase,
e dela faziam-se as questões. Eram enunciados
soltos, sem conexão, tão ridículos que lembravam
muito aquelas frases das antigas cartilhas: "Ivo viu a
uva". Os tempos são outros, e, dentro das modernas
tendências do ensino de línguas, fica cada vez mais
claro que o objetivo de ensinar as regras da gramática
normativa é simplesmente o texto. Aprendem-se as
regras do português culto, erudito, a fim de melhorar a
qualidade do texto, seja oral, seja escrito.
Nesse sentido, todas as questões são extraídas de
textos, escolhidos criteriosamente pelas bancas, em
função da mensagem/conteúdo, em função da estrutura
gramatical. Ocorrem casos de provas contextualizadas,
em que todos os textos abordam o mesmo assunto, ou
seja, provas monotemáticas - exemplo adotado pela
PUC/RS. Por sua vez, a Unisinos prefere o tema único
nas 50 questões de humanas (Português, Língua
Estrangeira, Geografia e História ).
Dessa maneira, fica clara a importância do texto como
objetivo último do aprendizado de língua.
três textos desse gênero. Geralmente um deles tratará
de política; outro, de economia; um outro, de temas
internacionais. A diferença em relação ao artigo é que
o autor, o editorialista, não expressa sua opinião,
apenas serve de intermediário para revelar o ponto de
vista da instituição, da empresa, do órgão de
comunicação. Muitas vezes, esses editoriais são
produzidos por mais de um profissional. O editorialista
é, quase sempre, antigo na casa e, obviamente, da
confiança do dono da empresa de comunicação. Os
temas, por evidente, são a pauta do momento, os
assuntos da semana.
Quais são os textos escolhidos?
Textos retirados de revistas e de jornais de circulação
nacional têm a preferência. Portanto, o romance, a
poesia e o conto são quase que exclusividade das
provas de Literatura (que também trabalham
interpretação, por evidente). Assim, seria interessante
observar as características fundamentais desses
produtos da imprensa.
Os Artigos
São os preferidos das bancas. Esses textos autorais
trazem identificado o autor. Essas opiniões são de
expressa responsabilidade de quem as escreveu chamado aqui de articulista - e tratam de assunto da
realidade objetiva, pautada pela imprensa. Vejamos um
exemplo: um dado conflito eclode em algum ponto do
planeta (a todo o instante surge algum), e o professor
Décio Freitas, historiador, abordará, em seu artigo em
ZH, os aspectos históricos do embate. Portanto, os
temas são, quase sempre, bem atuais.
Trata-se, em verdade, de texto argumentativo, no qual o
autor/emissor terá como objetivo convencer o
leitor/receptor. Nessa medida, é idêntico à redação
escolar, tendo a mesma estrutura: introdução,
desenvolvimento e conclusão.
Exemplo de Artigo
“Os nomes de quase todas as cidades que chegam ao fim
deste milênio como centros culturais importantes seriam
familiares às pessoas que viveram durante o final do século
passado. O peso relativo de cada uma delas pode ter variado,
mas as metrópoles que contam ainda são basicamente as
mesmas: Paris, Nova Iorque, Berlim, Roma, Madri, São
Petesburgo.”
(Nelson Archer - caderno Cidades, Folha de S. Paulo,
02/05/99)
Os Editoriais
Novamente, são opinativos, argumentativos e possuem
aquela mesma estrutura. Todos os jornais e revistas têm
esses editoriais. Os principais diários do país produzem
As Notícias
Aqui temos outro gênero, bem diverso. As notícias
são autorais, isto é, produzidas por um jornalista
claramente identificado na matéria. Possuem uma
estrutura bem fechada, na qual, no primeiro parágrafo
(também chamado de lide), o autor deve responder às
cinco perguntinhas básicas do jornalismo: Quem?
Quando? Onde? Como? E por quê?
Essa maneira de fazer texto atende a uma regra do
jornalismo moderno: facilitar a leitura. Se o
leitor/receptor desejar mais informações sobre a
notícia, que vá adiante no texto. Fato é que, lendo
apenas o parágrafo inicial, terá as informações
básicas do assunto. A grande diferença em relação ao
artigo e ao editorial está no objetivo. O autor quer
apenas "passar" a informação, quer dizer, não busca
convencer o leitor/receptor de nada. É aquele texto
que os jornalistas chamam de objetivo ou isento,
despido de subjetividade e de intencionalidade.
Exemplo de Notícia
“O juiz aposentado Nicolau dos Santos Neto, ex-presidente
do Tribunal Regional do Trabalho de São Paulo, negou-se a
responder ontem à CPI do judiciário todas as perguntas
sobre sua evolução patrimonial. Ele invocou a Constituição
para permanecer calado sempre que era questionado sobre
seus bens ou sobre contas no exterior.”
(Folha de S. Paulo, 05/05/99)
As Crônicas
Estamos diante da Literatura. Os cronistas não
possuem compromisso com a realidade objetiva. Eles
retratam a realidade subjetiva. Dessa maneira, Rubem
Braga, cronista, jornalista, produziu, por exemplo, um
texto abordando a flor que nasceu no seu jardim. Não
importa o mundo com suas tragédias constantes, mas
sim o universo interior do cronista, que nada mais é do
que um fotógrafo de sua cidade. É interessante
verificar que essas características fundamentais da
crônica vão desaparecendo com o tempo. Não há, por
4
exemplo, um cronista de Porto Alegre (talvez o último
deles tenha sido Sérgio da Costa Franco).
Se observarmos o jornal Folha de S. Paulo, teremos,
junto aos editoriais e a dois artigos sobre política ou
economia, uma crônica de Carlos Heitor Cony,
descolada da realidade, se assim lhe aprouver (Cony,
muitas vezes, produz artigos, discutindo algo da
realidade objetiva). O jornal busca, dessa maneira,
arejar essa página tão sisuda. A crônica é isso: uma
janela aberta ao mar. Vale lembrar que o jornalismo, ao
seu início, era confundido com Literatura. Um texto
sobre um assassinato, por exemplo, poderia começar
assim: " Chovia muito, e raios luminosos atiravam-se à
terra. Num desses clarões, uma faca surge das trevas..."
Dá-se o nome de nariz de cera a essas matérias
empoladas, muito comuns nos tempos heróicos do
jornalismo.
Sobre a crônica, há alguns dados interessantes.
Considerada por muito tempo como gênero menor da
Literatura,
nunca
teve
status
ou
maiores
reconhecimentos por parte da crítica. Muitos autores
famosos, romancistas, contistas ou poetas, produziram
excelentes crônicas, mas não são conhecidos por isso.
Carlos Drummond de Andrade é um belo exemplo. Pela
grandeza de sua poesia, o grande cronista do cotidiano
do Rio de Janeiro foi abafado. O mesmo pode-se falar
de Olavo Bilac, que, no início do século passado,
passou a produzir crônicas num jornal carioca, em
substituição a outro grande escritor, Machado de Assis.
Essa divisão dos textos da imprensa é didática e
objetiva esclarecer um pouco mais o vestibulando. No
entanto, é importante assinalar que os autores
modernos fundem essa divisão, fazendo um trabalho
misto. É o caso de Luis Fernando Veríssimo, que ora
trabalha uma crônica, com os personagens conversando
em um bar, terminando por um artigo, no qual faz
críticas ao poder central, por exemplo. Martha Medeiros,
por seu turno, produz, muitas vezes, um artigo,
revelando a alma feminina. Em outros momentos, faz
uma crônica sobre o quotidiano.
Exemplo de Crônica
“Quando Rubem Braga não tinha assunto, ele abria a janela e
encontrava um. Quando não encontrava, dava no mesmo, ele
abria a janela, olhava o mundo e comunicava que não havia
assunto. Fazia isso com tanto engenho e arte que também dava
no mesmo: a crônica estava feita.
Não tenho nem o engenho nem a arte de Rubem, mas tenho a
varanda aberta sobre a Lagoa - posso não ver melhor, mas
vejo mais. Otto Maria Carpeaux não gostava do gênero
"crônica", nem adiantava argumentar contra, dizer, por
exemplo, que os cronistas, uns pelos outros, escreviam bem.
Carpeaux lembrava então que escrever é verbo transitivo, pede
objeto direto: escrever o quê? Maldade do Carpeaux. (...)
Nelson Rodrigues não tinha problemas. Quando não havia
assunto, ele inventava. Uma tarde, estacionei ilegalmente o
Sinca-Chambord na calçada do jornal. Ele estava com o papel
na máquina e provisoriamente sem assunto. Inventou que eu
descia de um reluzente Rolls Royce com uma loura suspeita,
mas equivalente à suntuosidade do carro. Um guarda nos
deteve, eu tentei subornar a autoridade com dinheiro, o
guarda não aceitou o dinheiro, preferiu a loura. Eu fiquei
sem a multa e sem a mulher. Nelson não ficou sem assunto.”
A interpretação serve para Química!
Responda rápido a uma pergunta: O que há em
comum entre os vestibulandos aprovados nos
primeiros lugares? Será que possuem semelhanças?
Sim, de fato, o que os identifica é a leitura e a
curiosidade pelo mundo que os cerca. Eles lêem
bastante, e lêem de tudo um pouco. As instituições de
ensino superior não querem mais aquele aluno que
decora regrinhas. Elas buscam o cidadão que possui
leitura e conhecimento de mundo. Nesse aspecto, as
questões, inclusive das provas de exatas, muitas
vezes pedem criticidade e compreensão de
enunciados. Quantas vezes você, caro vestibulando,
não errou uma questão de Física ou de Biologia por
não entender o que foi pedido. Pois estamos falando
de interpretação de textos. A leitura e a interpretação
tornam-se, dessa maneira, exigência de todas as
disciplinas. E não pense que essa capacidade crítica
de entender o texto escrito (e até falado) é
exclusividade do vestibular. Quando você for buscar
uma vaga no mercado de trabalho, a criticidade, a
capacidade de comunicação e de compreensão do
mundo
serão
atributos
importantes
nessa
concorrência. Lembre-se disso na hora de planejar os
estudos para os próximos vestibulares.
Instruções Gerais
Em primeiro lugar, você deve ter em mente que
interpretação de textos em testes de múltipla escolha
pressupõe armadilhas da banca. Isso significa dizer
que as questões são montadas de modo a induzir o
incauto e sofrido vestibulando ao erro. Nesse sentido,
é importante observar os comandos da questão (de
acordo com o texto, conforme o texto, segundo o
autor...). Se forem esses os comandos, você deve-se
limitar à realidade do texto. Muitas vezes, as
alternativas extrapolam as verdades do texto; ou ainda
diminuem essas mesmas verdades; ou fazem
afirmações que nem de longe estão no texto.
Exemplo de Editorial
UFRGS - 1998
Em 1952, inspirado nas descrições do viajante Hans
Staden, o alemão De Bry desenhou as cerimônias de
canibalismo de índios brasileiros. São documentos de alto
valor histórico (...)
Porém não podem ser vistos como retratos exatos: o artista,
sob influência do Renascimento, mitigou a violência
antropofágica com imagens idealizadas de índios, que
ganharam traços e corpos esbeltos de europeus. As índias
ficaram rechonchudas como as divas sensuais do pintor
holandês Rubens.
No século XX, o pintor brasileiro Portinari trabalhou o
mesmo tema. Utilizando formas densas, rudes e nada
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idealizadas, Portinari evitou o ângulo do colonizador e
procurou não fazer julgamentos. A Antropologia persegue a
mesma coisa: investigar, descrever e interpretar as culturas em
toda a sua diversidade desconcertante.
Assim, ela é capaz de revelar que o canibalismo é uma
experiência simbólica e transcendental - jamais alimentar.
Até os anos 50, waris e kaxinawás comiam pedaços dos
corpos dos seus mortos. Ainda hoje, os ianomâmis misturam
as cinzas dos amigos no purê de banana. Ao observar esses
rituais, a Antropologia aprendeu que, na antropogafia que
chegou ao século XX, o que há é um ato amoroso e religioso,
destinado a ajudar a alma do morto a alcançar o céu. A
SUPER, ao contar toda a história a você, pretende superar os
olhares preconceituosos, ampliar o conhecimento que os
brasileiros têm do Brasil e estimular o respeito às culturas
indígenas. Você vai ver que o canibalismo, para os índios, é
tão digno quanto a eucaristia para os católicos. É sagrado.
(adaptado de: Superinteressante, agosto, 1997, p.4)
Questão 15 da prova de 98
Considere as seguintes informações sobre o texto:
I - Segundo o próprio autor do texto, a revista tem como
único objetivo tornar o leitor mais informado acerca da
história dos índios brasileiros.
II - Este texto introduz um artigo jornalístico sobre o
canibalismo entre índios brasileiros.
III - Um dos principais assuntos do texto é a história da
arte no Brasil.
Quais são corretas?
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas I e III
e) Apenas II e III
Resposta correta: B
Comentários:
A afirmação I usa a palavra único, o vestibulando deve
cuidar muito com essa palavrinha, geralmente ela traz
uma armadilha. A afirmação reduz o texto, que vai bem
além de ter como único objetivo informar sobre a história
dos índios. Aliás, não é a história dos índios, mas sim da
antropofagia deles.
A afirmação III está erradíssima, pois a história da arte
está longe de ser um dos assuntos principais do texto.
Essas afirmações da banca merecem algumas
observações. Em primeiro lugar, a afirmação I diz:
"Segundo o próprio autor do texto". Mas quem é esse
autor, tendo em vista que se trata de editorial? Não há
um autor expresso. A afirmação II, considerada como
certa, traz uma imprecisão. O texto não introduz um
artigo jornalístico. Como vimos, artigo é bem diferente.
O editorial introduz matéria ou reportagem, nunca um
artigo. Percebe-se aqui que os professores que
elaboraram o texto desconhecem a tipologia e a
nomenclatura textual do moderno jornalismo.
Testes
Vamos aproveitar os textos das provas da UFRGS
2000 e 1999, para formularmos algumas questões
bem emblemáticas em relação à interpretação de
textos.
Questão 1
Qual das alternativas abaixo é a correta:
UFRGS 2000
No Brasil colonial, os portugueses e suas autoridades
evitaram a concentração de escravos de uma mesma etnia
nas propriedades e nos navios negreiros.
A) Os portugueses impediram totalmente a concentração de
escravos de mesma etnia nas propriedades e nos navios
negreiros.
Essa política, a multiplicidade lingüística dos negros e as
hostilidades recíprocas que trouxeram da África
dificultaram a formação de núcleos solidários que
retivessem o patrimônio cultural africano, incluindo-se aí a
preservação das línguas.
B) A política dos portugueses foi ineficiente, pois apenas a
multiplicidade cultural dos negros, de fato, impediu a
formação de núcleos solidários.
Os negros, porém, ao longo de todo o período colonial,
tentaram superar a diversidade de culturas que os dividia,
juntando fragmentos das mesmas mediante procedimentos
diversos, entre eles a formação de quilombos e a realização
de batuques e calundus. (...)
C) A única forma que os negros encontraram para impedir
essa ação dos portugueses foi formando quilombos e
realizando batuques e calundus.
As autoridades procuraram evitar a formação desses núcleos
solidários, quer destruindo os quilombos, que causavam
pavor aos agentes da Coroa - e, de resto, aos proprietários de
escravos em geral -, quer reprimindo os batuques e os
calundus promovidos pelos negros. Sob a identidade
cultural, poderiam gerar uma consciência danosa para a
ordem colonial. Por isso, capitães-do-mato, o Juízo
Eclesiástico e, com menos empenho, a Inquisição foram
colocados em seu encalço.
D) A Inquisição não se empenhou em reprimir a cultura dos
negros, porque estava ocupada com ações maiores.
Porém alguns senhores aceitaram as práticas culturais
africanas - e indígenas - como um mal necessário à
manutenção dos escravos. Pelo imperativo de convertê-los
ao catolicismo, ainda, alguns clérigos aprenderam as línguas
africanas, como um jesuíta na Bahia e o padre Vieira, ambos
no Seiscentos. Outras pessoas, por se envolverem no tráfico
negreiro ou viverem na África - como Matias Moreira,
residente em Angola no final do Quinhentos -, devem
igualmente ter-se familiarizado com as línguas dos negros.
6
E) Apesar do empenho dos portugueses, a cultura africana
teve penetração entre alguns senhores e entre alguns clérigos.
Cada um, é bem verdade, tinha objetivos específicos para
tanto.
(Adaptado de: VILLALTA, Luiz Carlos. O que se fala e o que
se lê: língua, instrução e leitura. In: MELLO e SOUZA.
História da Vida Privada no Brasil. São Paulo: Cia. das
Letras, 1997. V1. P.341-342.)
Resolução da Questão 1
A) Observe o advérbio totalmente. Além disso, o
texto usa o verbo evitar, a afirmação utiliza
impedir. Eles são semanticamente bem
distintos. Logo, a afirmação exagera, extrapola
o texto. Cuidado com os advérbios.
B) A afirmativa b diz apenas a multiplicidade
cultural dos negros. No texto, foram a
multiplicidade e as hostilidades recíprocas.
Portanto, a afirmativa b reduz a verdade do
texto.
C) Na afirmativa, há a expressão a única forma, e o
texto usa entre eles. Novamente, temos uma
redução, uma diminuição da verdade textual.
D) O texto não explica a falta de empenho da
Inquisição, dessa maneira a afirmação não está
no texto. Trata-se de um acréscimo à realidade
textual.
E) Resposta Correta.
Questão 2
Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação
correta de acordo com o texto.
A) Sendo a cultura negra um mal necessário para a
manutenção dos escravos, sua eliminação foi um erro das
autoridades coloniais portuguesas.
B) Os religiosos eram autoritários, obrigando os escravos
negros a se converterem ao catolicismo europeu e a
abandonarem sua religião de origem.
C) As autoridades portuguesas conduziam a política
escravagista de modo que africanos de uma mesma origem
não permanecessem juntos.
D) As línguas africanas foram eliminadas no Brasil colonial,
tendo os escravos preservado apenas alguns traços culturais,
como sua religião.
E) A identidade cultural africana, representada pelos batuques
e calundus, causava danos às pessoas de origem européia.
A) O texto não classifica como erro das
autoridades coloniais. Essa é uma inferência
que o leitor poderá fazer por sua conta e risco.
B) O autoritarismo era dos proprietários de
escravos e das autoridades. Busca-se aqui
confundir o aluno dizendo que era o
autoritarismo dos religiosos. Há uma troca,
uma inversão das afirmações do texto.
C) Resposta Correta: Essa afirmação está no
texto.
D) A afirmação contradiz o que está no texto. As
línguas africanas foram, inclusive, aprendidas
por alguns clérigos.
E) A afirmação exagera a verdade textual. O
autor não chega a tanto. Se o vestibulando
chegar a essa conclusão é por sua conta e
risco.
Questão 03 ( UFRGS/99)
Marque a alternativa correta, segundo o texto
O avanço do conhecimento é normalmente concebido
como um processo linear, inexorável, em que as descobertas
são aclamadas tão logo venham à luz, e no qual as novas
teorias se impõem com base na evidência racional.
Afastados os entraves da religião desde o século 17, o
conhecimento vem florescendo de maneira livre, contínua.
a) O avanço do conhecimento sempre será por um processo
linear, do contrário não será avanço.
Um pequeno livro agora publicado no Brasil mostra que
nem sempre é assim. Escrito na juventude (1924) pelo
romancista francês Louis-Ferdinand Céline, A Vida e a
Obra de Semmelweis relata aquele que é um dos episódios
mais lúgubres no crônica da estupidez humana e talvez a
pior mancha na história da medicina.
b) O episódio de Semmelweis é indiscutivelmente a pior
mancha na história da medicina.
c) O livro de Céline prova que nem sempre a racionalidade
preponderava no cientificismo.
Ignác Semmelweis foi o descobridor da assepsia. Médico
húngaro trabalhando num hospital de Viena, constatou que a
mortalidade entre as parturientes, então um verdadeiro
flagelo, era diferente nas duas alas da maternidade. Numa
delas, os partos eram realizados por estudantes; na outra, por
parteiras.
Não se conhecia a ação dos microorganismos, e a febre
puerperal era atribuída às causas mais estapafúrdias. Em
1846, um colega de Semmelweis se cortou enquanto
dissecava um cadáver, contraiu uma infecção e morreu.
Semmelweis imaginou que o contágio estivesse associado à
manipulação de tecidos nas aulas de anatomia.
Mandou instalar pias na ala dos estudantes e tornou
obrigatório lavar as mãos com cloreto de cal. No mês
seguinte, a mortalidade entre as mulheres caiu para 0,2%!
Mais incrível é o que aconteceu em seguida. Os dados de
Semmelweis foram desmentidos, ele foi exonerado, e as
pias - atribuídas à superstição -, arrancadas.
d) A ala dos estudantes apresentava menores problemas de
contágio.
7
Nos dez anos seguintes, Semmelweis tentou alertar os médicos
em toda a Europa, sem sucesso. A Academia de Paris rejeitou
seu método em 1858. Semmelweis enlouqueceu e foi
internado. Em 1865, invadiu uma sala de dissecação, feriu-se
com o bisturi e morreu infeccionado. Pouco depois, Pasteur
provou que ele estava certo.
e) A rejeição aos métodos de Semmelweis ocorreu em função
da inveja comum ao meio.
Para o leitor da nossa época, o interessante é que Semmelweis
foi vítima de um obscurantismo científico. Como nota o
tradutor italiano no prefácio agregado à edição brasileira,
qualquer xamã de alguma cultura dita primitiva isolaria
cadáveres e úteros por meio de rituais de purificação. No
científico século 19, isso parecia crendice.
(Adaptado de: FRIAS FILHO, Otávio. Ciência e superstição.
Folha de S. Paulo, São Paulo 30 abril de 1998.)
Vocabulário
Inexorável - inabalável - inflexível
Lúgubre - triste - sombrio - sinistro
Estapafúrdia - extravagante - excêntrico - esdrúxulo Obscurantismo - oposição ao conhecimento - política de
fazer algo para impedir o esclarecimento das massas
Atente para este texto: trata-se de um artigo
jornalístico. Observe como ele atende às características
assinaladas na tipologia textual do jornalismo.
A) Observe que o texto usa o advérbio
normalmente, mas a afirmação emprega
sempre, mudando a verdade do texto.
B) Novamente, se compararmos com o texto,
veremos que o autor afirma que o episódio
talvez seja a pior mancha da história. Na
afirmação,
foi
usado
o
advérbio
indiscutivelmente acrescido de a pior mancha.
Trata-se de um exagero, um acréscimo à
realidade do texto.
C) Resposta Correta: O texto afirma que nem
sempre o avanço do conhecimento é um
processo linear.
D) A ala dos estudantes apresentava maiores
problemas de contágio, pois as pias foram
instaladas lá, justamente para lavar as mãos
dos estudantes que trabalhavam na dissecação
de cadáveres.
E) A inveja não é abordada pelo texto, portanto
trata-se de uma exterioridade. O vestibulando
pode achar verdadeiro, mas a conclusão será
pessoal
Questão 04
Com base no texto, assinale a alternativa correta.
(A) Em relação aos povos primitivos, a Europa do século
passado praticava uma medicina atrasada.
(B) A comunidade científica sempre deixa de reconhecer o
valor de uma descoberta.
(C) A higiene das mãos com cloreto de cal reduziu
moderadamente a incidência de febre puerperal.
(D) Semmelweis feriu-se com o bisturi infectado porque
queria provar a importância de sua descoberta.
(E) Ignorar a redução nas estatísticas obituárias resultante
da introdução da assepsia foi uma grande estupidez.
Questão 05
A partir da leitura do texto, é possível concluir que
(A) o livro A Vida e a Obra de Semmelweis recebeu
recentemente uma cuidadosa tradução para o italiano.
(B) a teoria de Semmelweis foi rejeitada porque propunha a
existência de microorganismos, que não podia ser provada
cientificamente.
(C) a nacionalidade húngara do médico pode ter sido um
empecilho para sua aceitação na Europa do século passado.
(D) Semmelweis foi execrado pelos seus pares porque
transformou a assepsia numa obsessão.
(E) Semmelweis enlouqueceu em conseqüência da rejeição
de sua descoberta.
Instruções:
As questões 4 e 5 devem merecer atenção. Estamos
diante de questões de inferências. As alternativas
corretas não estão propriamente no texto, mas
poderemos chegar facilmente a elas, ou seja, o autor
nos autoriza a concluir por elas.
A) O autor não classifica de atrasada a medicina
européia da época.
B) Novamente o advérbio colocado para trair a
atenção do aluno: sempre. Trata-se de um
acréscimo, de um exagero.
C) Não foi moderadamente. De novo o advérbio.
Veja como as armadilhas são sempre as
mesmas. Se você as conhecer, ficará bem
mais fácil chegar à resposta correta.
D) O texto simplesmente diz que ele se feriu.
Não dá as causas.
E) Resposta Correta: Foi de fato uma
estupidez. Essa é uma conclusão possível
do texto. Observe que o autor declara:
"Mais incrível é o que aconteceu em
seguida".
8
A) O livro foi recentemente publicado no Brasil.
B) Os microorganismos eram desconhecidos à
época. Essa alternativa é perigosa, pode
confundir o aluno.
C) Não há referência sobre essa afirmação. Os
motivos, como já vimos, foram outros.
D) Semmelweis foi execrado por ter sido
desmentido e por suas descobertas serem
atribuídas à superstição.
E) Resposta Correta: Pode-se, tranqüilamente
chegar a esse conclusão.
empregadas do estado. O funcionalismo público terá uma
nova categoria: a dos reprodutores.
09
Este exercício de futurologia foi apresentado
seriamente pelo professor do Instituto de Biociências da
USP Osvaldo Frota Pessoa, em palestra no colóquio Brasil
Alemanha - Ética e Genética, quarta-feira à noite. [...] Nas
conferências de segunda e terça, a eugenia foi citada como
um perigo 24 das novas tecnologias, uma idéia que não é
cientificamente e muito menos eticamente defensável.
(TEIXEIRA, Jerônimo. Brasileiro apresenta a visão do
horror. Zero Hora, 6.10.95, p. 5, 2º Caderno)
Questão 06
Supondo que o leitor não saiba o significado da palavra
xamã, o processo mais eficiente para buscar no próprio
texto uma indicação que elucide a dúvida consistirá em
Questão 07 (UFRGS/96-1)
(A) considerar que a palavra encontra sua referência na cultura
italiana, já que foi empregada pelo tradutor da obra para o
italiano.
I. O autor do texto é favorável à eugenia como solução
para a futura queda no crescimento demográfico,
como indica o primeiro parágrafo.
II. O autor trata as idéias do professor Osvaldo FrotaPessoa com certa ironia, como demonstra o uso da
palavra seriamente na linha 09.
III. Ao relatar posições contraditórias por parte dos
cientistas com relação à eugenia humana, o autor
revela que esta é uma concepção controversa.
Quais estão corretas?
(A) Apenas I.
(B) Apenas II.
(C) Apenas III.
(D) Apenas II e III.
(E) I, II e III.
(B) Observar o contexto sintático em que ela ocorre: depois de
pronome indefinido e antes de preposição.
(C) Relacionar o seu significado às palavras leitor e prefácio.
(D) Relacionar o seu significado às expressões cultura dita
primitiva e rituais de purificação.
(E) relacionar a palavra a outras que tenham a mesma
terminação, como iansã, romã e anã.
Todas as provas de vestibular no Estado trazem
questões de vocabulário. Esta é bem característica da
UFRGS. Empiricamente, você, candidato, quando não
sabe o significado de uma palavra, busca o contexto.
Cuidado! Não é o contexto sintático. Saber se uma
palavra exerce a função de sujeito ou de objeto não
define o seu valor semântico. Não confunda semântica
com sintaxe. Xamã está no campo de ação de palavras
dessa cultura primitiva. A resposta correta, portanto, é
D. Atente para a alternativa E: dá a nítida impressão de
bom humor. A banca também se diverte. O que anã e
romã tem em comum com xamã? Gozação.
As questões a seguir estão baseadas no seguinte texto:
01
Lá pela metade do século, já não haverá
superpopulação humana, como hoje. Os governos de todo o
mundo presumivelmente, todos democráticos poderão
incentivar as pessoas à reprodução. E será melhor que o façam
com as melhores pessoas.
04
A eugenia humana isto é, a escolha dos melhores
exemplares para a reprodução, de modo a aprimorar a média
da espécie, como já se fez com cavalos encontrará o período
ideal para sair da prancheta dos cientistas para a vida real.
Pessoas selecionadas por suas características genéticas serão
Considere as seguintes afirmações sobre a posição
do autor com relação ao assunto de que trata o texto.
Assinale a alternativa que está de acordo com o texto.
(A) Segundo lemos na primeira frase do texto,
vivemos num mundo em que o número de pessoas é
considerado excessivo.
(B) Como se conclui da leitura do primeiro parágrafo,
a escolha dos melhores seres humanos para a
reprodução, através da eugenia, causará uma queda
na população mundial.
(C) A partir da leitura do segundo parágrafo do texto,
concluímos que a especialidade do professor FrotaPessoa é a futurologia.
(D) De acordo com o significado global do último
parágrafo, o maior perigo das novas tecnologias é a
ética.
(E) A eugenia humana, ao tornar os reprodutores
candidatos a funcionários públicos, constituirá uma
oportunidade de trabalho apenas para homens.
Considere as seguintes afirmações sobre a eugenia
humana:
I. O uso restritivo da palavra humana (linha 04), no
texto, indica que a palavra eugenia (linha 04) não se
9
refere apenas à reprodução humana, mas à reprodução
de qualquer espécie.
II. Pelos princípios expostos no texto, o vigor físico e a
inteligência serão os critérios de eugenia a partir dos
quais será feita a seleção dos melhores exemplares.
III. Conforme o texto, a eugenia humana já existe na
forma de projeto científico.
Quais estão corretas?
(A) Apenas I.
(B) Apenas II.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas II e III.
(E) I, II e III.
nível constante, que varia em função de cada indivíduo. O
estudo sugere que conservar o peso do corpo é um
fenômeno biológico, não apenas uma atividade voluntária.
O corpo ajusta seu metabolismo em resposta a aumentos ou
perdas de peso. Dessa forma, depois de cada dieta restrita, o
metabolismo queimará menos calorias do que antes. Uma
pessoa que perdeu recentemente pouco peso vai consumir
menos calorias que uma pessoa do mesmo peso que sempre
foi magra.
A pesquisa conclui que emagrecer não é impossível, mas
muito difícil e requer o consumo do número exato de
calorias queimadas. Ou seja, uma alimentação moderada e
uma atividade física estável a longo prazo.
(Zero Hora, encarte VIDA, 06/05/1995)
Questão 10 (IPA/95-2)
Segundo o texto, é correto afirmar:
Os últimos vestibulares da UFRGS solicitam do aluno
este tipo de informação: saber de quem é a opinião.
Muitas vezes, como é este o caso, o autor apenas
expressa o ponto de vista de outra pessoa. A resposta
correta é d.
A) Uma dieta alimentar rígida determina o equilíbrio interno
do peso corpóreo.
B) O equilíbrio interno é um fenômeno biológico.
C) Conservar o peso não depende somente da vontade
individual.
A) Resposta Correta: Hoje existe
superpopulação.
B) A causa da queda da população não foi
revelada no texto.
C) Esta conclusão é falsa. O tal professor fez
apenas um exercício de futurologia. Novamente
a banca tenta iludir e confundir o vestibulando.
Cuidado!
D) Aqui temos uma troca: o maior perigo das novas
tecnologias não é a ética, mas sim a eugenia.
E) Em absoluto o texto afirma que são os homens:
aborda as pessoas em geral. Além disso,
também não faz afirmações sobre o mercado de
trabalho.
D) O ajuste de peso significa queima de calorias.
E) O número exato de calorias queimadas vincula-se a uma
dieta.
Questão 11
Das opções abaixo, todas podem substituir, sem
prejuízo ao texto, a palavra rígida (l. 01), menos
A) rigorosa
B) austera
C) severa
D) íntegra
E) séria
O uso restritivo de humana diz exatamente isto:
humana. Logo, não se estende a outras espécies.
Resposta Correta: D
O peso original volta depois das dietas
O corpo humano, mesmo submetido ao sacrifício de uma
dieta alimentar rígida, tem tendência a voltar ao peso inicial
determinado por um equilíbrio interno, segundo recente estudo
realizado por cientistas norte-americanos.
Depois do aumento de alguns quilos supérfluos, o
metabolismo buscará eliminar o peso excessivo. O corpo
dispõe de um equilíbrio que tenta manter seu peso em um
Antes de mais nada, observe que o texto é um
editorial de um caderno de Zero Hora. Portanto, não
há um autor em especial declarado.
A) O texto busca exatamente mostrar o contrário.
B) Conservar o peso é um fenômeno biológico.
Temos, de novo, uma inversão com o objetivo
de confundir o aluno.
C) Resposta Correta: Existem outros fatores.
D) Essa afirmação não está no texto.
E) O número exato de calorias queimadas
depende de outros fatores.
10
Esse tipo de questão é muito comum: ele propõe a
substituição de palavras. Em alguns vestibulares, em
vez de uma, aparecem três palavras, tornando o
exercício mais trabalhoso. A palavra rígida só não
pode ser substituída por íntegra, que vem de
integridade, honestidade.
Tipologia Textual
DISSERTAÇÃO:
•
É a exposição de opiniões fundamentadas em
argumentos e raciocínio. Divide-se em introdução
(apresenta o assunto de forma direta, sem rodeios),
desenvolvimento (mostra dados, idéias,
argumentos e exemplos que sustentam a sua
posição), e conclusão (fecha o assunto; pode ser na
forma de síntese ou sugestões, sem espaço para
continuar a discussão).
•
Conotação: É o sentido figurado: “Seu olhar
eram raios de sol a iluminar-me”.
PARÁFRASE x PERÍFRASE:
•
Paráfrase: É a reescritura do texto, mantendo-se
o mesmo significado.
•
Perífrase: É a substituição de palavras por
expressões que indicam algo de si:
“Fui à Cidade Maravilhosa” (=RJ).
“O Rei do Futebol chegou” (=Pelé).
SÍNTESE:
Resumo e retomada análise dos principais pontos
abordados nos momentos anteriores, seguidos da
introdução de novos conhecimentos .
Denotação e Conotação
NARRAÇÃO:
•
É discorrer sobre um fato, um acontecimento. Nela
predominam os verbos de ação. Os elementos da
narração são personagem (quem participa do fato),
tempo (momento do fato), ambiente (local),
narrador (quem conta: 1a ou 3a pessoa) e enredo (o
encadeamento das ações).
DESCRIÇÃO:
•
É um “retrato verbal” do que vemos ou sentimos. É
difícil encontrar um texto exclusivamente descritivo.
Normalmente encontramos trechos descritivos
inseridos numa narração ou dissertação.
Saiba Diferenciar
COESÃO x COERÊNCIA:
•
•
Coesão: Aspectos formais do texto. São erros de
coesão: má concordância, pronomes indevidos e
palavras inapropriadas.
Coerência: Aspectos implícitos do texto (ligados ao
sentido textual). Exemplo de erro de coerência: “A
polícia e a justiça são as duas mãos de um mesmo
braço”.
DENOTAÇÃO x CONOTAÇÃO:
•
Denotação: É o sentido real: “Os raios de sol
adentraram pela imensa janela”.
Estes dois conceitos são muito fáceis de entender se
lembrarmos que duas partes distintas, mas
interdependentes, constituem o signo lingüístico: o
significante ou plano da expressão - uma parte
perceptível, constituída de sons - e o significado ou
plano do conteúdo - a parte inteligível, o conceito. Por
isto, numa palavra que ouvimos, percebemos um
conjunto de sons ( o significante), que nos faz lembrar
de um conceito (o significado).
A denotação é justamente o resultado da união
existente entre o significante e o significado, ou entre
o plano da expressão e o plano do conteúdo. A
conotação resulta do acréscimo de outros significados
paralelos ao significado de base da palavra, isto é, um
outro plano de conteúdo pode ser combinado ao plano
da expressão. Este outro plano de conteúdo revestese de impressões, valores afetivos e sociais,
negativos ou positivos, reações psíquicas que um
signo evoca.
Portanto, o sentido conotativo difere de uma cultura
para outra, de uma classe social para outra, de uma
época a outra. Por exemplo, as palavras senhora,
esposa, mulher denotam praticamente a mesma
coisa, mas têm conteúdos conotativos diversos,
principalmente se pensarmos no prestígio que cada
uma delas evoca.
Desta maneira, podemos dizer que os sentidos das
palavras compreendem duas ordens: referencial ou
denotativa e afetiva ou conotativa.
11
A palavra tem valor referencial ou denotativo quando
é tomada no seu sentido usual ou literal, isto é, naquele
que lhe atribuem os dicionários; seu sentido é objetivo,
explícito, constante. Ela designa ou denota
determinado objeto, referindo-se à realidade palpável.
Denotação é a significação objetiva da palavra; é a palavra em "estado de
dicionário"
Além do sentido referencial, literal, cada palavra remete a inúmeros outros sentidos, virtuais, conotativos, que são
apenas sugeridos, evocando outras idéias associadas, de ordem abstrata, subjetiva.
Conotação é a significação subjetiva da palavra; ocorre quando a palavra
evoca outras realidades por associações que ela provoca
O quadro abaixo sintetiza as diferenças fundamentais entre denotação e conotação:
DENOTAÇÃO
CONOTAÇÃO
palavra com significação restrita
palavra com significação ampla
palavra com sentido comum do dicionário
palavra cujos sentidos extrapolam o sentido
comum
palavra usada de modo automatizado
palavra usada de modo criativo
linguagem comum
linguagem rica e expressiva
a) Exemplos de conotação e denotação (textos 1 e 2)
Para exemplificar, de maneira simples e clara, estes dois conceitos, vamos
tomar a palavra cão: terá um sentido denotativo quando designar o animal
mamífero quadrúpede canino; terá um sentido conotativo quando
expressar o desprezo que desperta em nós uma pessoa sem caráter ou
extremamente servil. (Otto M.Garcia, 1973)
Nas receitas abaixo, as palavras têm, na primeira, um sentido objetivo, explícito, constante; foram usadas
denotativamente. Na segunda, apresentam múltiplos sentidos, foram usadas conotativamente. Observa-se que os
verbos que ocorrem tanto em uma quanto em outra - dissolver, cortar, juntar, servir, retirar, reservar - são aqueles
que costumam ocorrer nas receitas; entretanto, o que faz a diferença são as palavras com as quais os verbos
combinam, combinações esperadas no texto 1, combinações inusitadas no texto 2.
TEXTO I
TEXTO II
Bolo de arroz
Receita
3 xícaras de arroz
1 colher (sopa) de manteiga
1 gema
1 frango
1 cebola picada
Ingredientes
2 conflitos de gerações
4 esperanças perdidas
3 litros de sangue fervido
12
1colher (sopa) de molho inglês
1colher (sopa) de farinha de trigo
1 xícara de creme de leite salsa picadinha
5 sonhos eróticos
2 canções dos beatles
Modo de preparar
Prepare o arroz branco, bem solto.
Ao mesmo tempo, faça o frango ao molho, bem
temperado e saboroso.
Quando pronto, retire os pedaços, desosse e
desfie. Reserve.
Quando o arroz estiver pronto, junte a gema, a
manteiga, coloque numa forma de buraco e leve ao
forno.
No caldo que sobrou do frango, junte a cebola, o
molho inglês, a farinha de trigo e leve ao fogo para
engrossar.
Retire do fogo e junte o creme de leite.
Vire o arroz, já assado, num prato.
Coloque o frango no meio e despeje por cima o
molho.
Sirva quente.
(Terezinha Terra)
Dissolva os sonhos eróticos
nos dois litros de sangue fervido
e deixe gelar seu coração.
Leve a mistura ao fogo,
adicionando dois conflitos
de gerações às esperanças perdidas.
Corte tudo em pedacinhos
e repita com as canções dos
beatles o mesmo processo usado
com os sonhos eróticos, mas desta
vez deixe ferver um pouco mais e
mexa até dissolver.
Parte do sangue pode ser
substituído por suco de
groselha, mas os resultados
não serão os mesmos.
Sirva o poema simples
ou com ilusões.
(Nicolas Behr)
b) Exemplo de texto denotativo (texto 3)
Os textos informativos (científicos e jornalísticos), por serem, em geral, objetivos, prendem-se ao sentido
denotativo das palavras. Vejamos o texto abaixo, em que a linguagem está estruturada em expressões comuns,
com um sentido único.
Texto 3 - texto técnico-científico
Canibalismo entre insetos
Seres que nascem na cabeça de outros e que consomem
progressivamente o corpo destes até aniquilá-los, ao atingir o estágio
adulto. ... Esse é um enredo que mais parece de ficção científica. No
entanto, acontece desde a pré-história, tendo como protagonistas as
vespas de certas espécies e as paquinhas, e é um exemplo da curiosa
relação dos ‘inimigos naturais’, aproveitada pelo homem no controle
biológico de pragas, para substituir com muitas vantagens os inseticidas
químicos.
(Revista Ciência Hoje, nº 104, outubro de 1994, Rio, SBPC)
c) Exemplo de texto conotativo (texto 4)
Além dos poetas, os humoristas e os publicitários fazem um amplo uso das palavras no seu sentido conotativo,
o que contribui para que os anúncios despertem a atenção dos prováveis consumidores e para que o dito
humorístico atinja o seu objetivo de fazer rir, às vezes até com uma certa dose de ironia.
13
Por exemplo, na propaganda de um ‘shopping’, foi usada a seguinte frase:
Texto 4 - propaganda
O Rio Design Center acaba de ganhar um novo piso.
Marmoleum
o piso natural
(Revista Veja Rio, maio/junho,96)
O anúncio tem aí um duplo sentido, pois transmite duas
informações:
1. o Rio Design Center ganhou uma nova loja PAVIMENTO SUPERIOR -onde estão à venda
pisos especiais;
2. nesta loja é possível encontrar o material para
piso, importado da Holanda, que se chama
Marmoleum.
Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo
PARÁFRASE
Na frase que fecha o anúncio, desfaz-se a ambigüidade:
"Venha até a (ao invés de o) Pavimento Superior e
confira esta e outras novidades de revestimentos para
pisos". Mas a frase de abertura faz pensar em outros
sentidos: o centro comercial ganhou um novo andar, um
novo pavimento, ou ganhou um revestimento novo em
todo o seu piso, em todo o seu chão.
d) Exemplo de conotação
Os provérbios ou ditos populares são também um
outro exemplo de exploração da linguagem no seu uso
conotativo. Assim, "Quem está na chuva é para se
molhar" equivale a "/Quando alguém opta por uma
determinada experiência, deve assumir todas as regras
e conseqüências decorrentes dessa experiência". Do
mesmo modo, "Casa de ferreiro, espeto de pau"
significa O que a pessoa faz fora de casa, para os
outros, não faz em casa, para si mesma.
A respeito de conotação, Othon M. Garcia (1973)
observa: "Conotação implica, portanto, em relação à
coisa designada, um estado de espírito, uma
opinião, um juízo, um sentimento, que variam
conforme a experiência, o temperamento, a
sensibilidade, a cultura e os hábitos do falante ou
ouvinte, do autor ou leitor. Conotação é, assim, uma
espécie de emanação semântica, possível graças à
faculdade que nos permite relacionar coisas
análogas ou semelhadas. Esse é, em essência, o
traço característico do processo metafórico, pois
metaforização é conotação".
Paráfrase é a reprodução explicativa de um texto ou
de unidade de um texto, por meio de uma
linguagem mais longa. Na paráfrase sempre se
conservam
basicamente as idéias do texto original. O que se
inclui são comentários, idéias e impressões de quem
faz a paráfrase. Na escola, quando o professor, ao
comentar um texto, inclui outras idéias, alongando-se
em função do propósito de ser mais didático, faz uma
paráfrase.
Parafrasear consiste em transcrever, com novas
palavras, as idéias centrais de um texto. O leitor
deverá fazer uma leitura cuidadosa e atenta e, a partir
daí, reafirmar e/ou esclarecer o tema central do texto
apresentado, acrescentando aspectos relevantes de
uma opinião pessoal ou acercando-se de críticas bem
fundamentadas. Portanto, a paráfrase repousa sobre
o texto-base, condensando-o de maneira direta e
imperativa. Consiste em um excelente exercício de
redação, uma vez que desenvolve o poder de síntese,
clareza e precisão vocabular. Acrescenta-se o fato de
possibilitar um diálogo intertextual, recurso muito
utilizado para efeito estético na literatura moderna.
Como ler um texto
Recomendam-se duas leituras. A primeira
chamaremos de leitura vertical e a segunda, de leitura
horizontal.
Leitura horizontal é a leitura rápida que tem como
finalidade o contato inicial com o assunto do texto. De
posse desta visão geral, podemos passar para o
14
próximo passo.
Leitura vertical consiste em uma leitura mais atenta; é
o levantamento dos referenciais do texto-base para a
perfeita compreensão. É importante grifar, em cada
parágrafo lido, as idéias principais. Após escrever à
parte as idéias recolhidas nos grifos, procurando dar
uma redação própria, independente das palavras
utilizadas pelo autor do texto. A esta etapa,
chamaremos de levantamento textual dos referenciais.
A redação final é a união destes referenciais, tendo o
redator o cuidado especial de unir idéias afins, de
acordo com a identidade e evolução do texto-base.
Exemplo de paráfrase
Profecias de uma Revolução na Medicina
Há séculos, os professores de segundo grau da
Sardenha vêm testemunhando um fenômenos curioso.
Com a chegada da primavera, em fevereiro, alguns de
seus alunos tornam-se apáticos. Nos três meses
subseqüentes, sofrem uma baixa em seu rendimento
escolar, sentem-se tontos e nauseados, e adormecem
na sala de aula. Depois, repentinamente, suas energias
retornam. E ficam ativos e saudáveis até o próximo mês
de fevereiro.
Os professores sardenhos sabem que os adultos
também apresentam sintomas semelhantes e que, na
realidade, alguns chegam a morrer após urinarem uma
grande quantidade de sangue. Por vezes,
aproximadamente 35% dos habitantes da ilha chegam a
ser acometidos por este mal.
O Dr. Marcelo Siniscalco, do Centro de Cancerologia
Sloan-Kedttering, em Nova Iorque, e o Dr. Arno G.
Motulsky, da Universidade de Washington, depararam
pela primeira vez com a doença em 1959, enquanto
desenvolviam um estudo sobre padrões de
hereditariedade e determinaram que os sardenhos eram
vítimas de anemia hemolítica, uma doença hereditária
que faz com que os glóbulos vermelhos do sangue se
desintegrem no interior dos veios sangüíneos. Os
pacientes urinavam sangue porque os rins filtram e
expelem a hemoglobina não aproveitada. Se o volume
de destruição for mínimo, o resultado será a letargia; se
for aguda, a doença poderá acarretar a morte do
paciente.
A anemia hemolítica pode ter diversas origens. Mas na
Sardenha, as experiências indicam que praticamente
todas as pessoas acometidas por este mal têm
deficiência de uma única enzima, chamada
deidrogenase fosfo-glucosada-6 (ou G-6-PD), que forma
um elo de suma importância na corrente de produção de
energia para as células vermelhas do sangue.
Mas os sardenhos ficam doentes apenas durante a
primavera, o que indica que a falta de G-6-PD da
vítima não aciona por si só a doença - que há algo no
meio ambiente que tira proveito da deficiência. A
deficiência genética pode ser a arma, mas um fator
ambiental é quem a dispara.
Entre as plantas que desabrocham durante a
primavera na Sardenha encontra-se a fava ou feijão
italiano - observou o Dr. Siniscalco. Esta planta não
tem uma boa reputação desde ao ano 500 a.C. ,
quando o filósofo grego e reformador político
Pitágoras proibiu que seus seguidores a comessem,
ou mesmo andassem por entre os campos onde
floresciam. Agora, o motivo de tal proibição tornou-se
claro; apenas aquelas pessoas que carregam o gene
defeituoso e comiam favas cruas ou parcialmente
cozidas (ou inspiravam o pólen de uma planta em flor)
apresentavam problemas. todos os demais eram
imunes.
Em dois anos, o Dr. Motusky desenvolveu um teste de
sangue simples para medir a presença ou ausência de
G-6-PD. Atualmente, os cientistas têm um modo de
determinar com exatidão quem está predisposto à
doença e quem não está; a enzima hemolítica, os
geneticistas começaram a fazer a triagem da
população da ilha. Localizaram aqueles em perigo e
advertiram-lhes para evitar favas de feijão durante a
estação de floração. Como resultado, a incidência de
anemia hemolítica e de estudantes apáticos começou
a declinar. O uso de marcadores genéticos como
instrumento de previsão da reação dos sardenhos à
fava de feijão há 20 anos foi uma das primeiras vezes
em que os marcadores genéticos eram empregados
deste modo; foi um avanço que poderá mudar o
aspecto da medicina moderna. Os marcadores
genéticos podem prever agora a possível eclosão de
outras doenças e, tal como a anemia hemolítica,
podem auxiliar os médicos a prevenirem totalmente os
ataques em diversos casos. (Zsolt Harsanyi e Richard
Hutton, publicado no jornal O Globo).
PERÍFRASE
Observe:
O povo lusitano foi bastante satirizado por Gil Vicente.
Utilizou-se a expressão "povo lusitano" para
substituir "os portugueses". Esse rodeio de palavras
que substituiu um nome comum ou próprio chama-se
perífrase.
Perífrase é a substituição de um nome comum ou
próprio por um expressão que a caracterize. Nada
mais é do que um circunlóquio, isto é, um rodeio de
palavras.
Outros exemplos:
15
astro rei (Sol) | última flor do Lácio (língua portuguesa) |
Cidade-Luz (Paris)
Rainha da Borborema (Campina Grande) | Cidade
Maravilhosa (Rio de Janeiro)
Observação: existe também um tipo especial de
perífrase que se refere somente a pessoas. Tal figura de
estilo é chamada de antonomásia e baseia-se nas
qualidades ou ações notórias do indivíduo ou da
entidade a que a expressão se refere.
Exemplos:
A rainha do mar (Iemanjá)
O poeta dos escravos (Castro Alves)
O criador do teatro português (Gil Vicente)
SÍNTESE
A síntese de texto é um tipo especial de composição
que consiste em reproduzir, em poucas palavras, o que
o autor expressou amplamente. Desse modo, só devem
ser aproveitadas as idéias essenciais, dispensando-se
tudo o que for secundário.
Procedimentos:
1.
Leia atentamente o texto, a fim de conhecer o
assunto e assimilar as idéias principais;
2.
Leia novamente o texto, sublinhando as partes
mais importantes, ou anotando à parte os pontos que
devem ser conservados;
3.
Resuma cada parágrafo separadamente,
mantendo a seqüência de idéias do texto original;
4.
Agora, faça seu próprio resumo, unindo os
parágrafos, ou fazendo quaisquer adaptações conforme
desejar;
5.
Evite copiar partes do texto original. Procure
exercitar seu vocabulário. Mantenha, porém, o nível de
linguagem do autor;
6.
Não se envolva nem participe do texto. Limite-se
a sintetizá-lo.
UFPB/89. Sem copiar frases, RESUMIR, o texto abaixo:
O QUINZE
Debaixo de um juazeiro grande, todo um bando de
retirantes se arranchara: uma velha, dois homens, uma
mulher nova, algumas crianças.
O sol, no céu, marcava onze horas. Quando Chico
Bento, com seu grupo, apontou na estrada, os homens
esfolavam uma rês e as mulheres faziam ferver uma lata
de querosene cheia de água, abanando o fogo com um
chapéu de palha muito sujo e remendado.
Em toda a extensão da vista, nenhuma outra árvore
surgia. Só aquele juazeiro, devastado e espinhento,
verdejava a copa hospitaleira na desolação cor de cinza
da paisagem.
Cordulina ofegava de cansaço. A Limpa-Trilho
gania e parava, lambendo os pés queimados.
Os meninos choramingavam, pedindo de comer.
E Chico Bento pensava:
– Por que, em menino, a inquietação, o calor, o
cansaço, sempre aparecem com o nome de fome?
– Mãe, eu queria comer... me dá um taquinho de
rapadura!
– Ai, pedra do diabo! Topada desgraçada! Papai,
vamos comer mais aquele povo, debaixo desse pé de
pau?
O juazeiro era um só. O vaqueiro também se
achou no direito de tomar seu quinhão de abrigo e de
frescura.
E depois de arriar as trouxas e aliviar a burra,
reparou nos vizinhos. A rês estava quase esfolada. A
cabeça inchada não tinha chifres. Só dois ocos
podres, mal cheirosos, donde escorria uma água
purulenta.
Encostando-se ao tronco, Chico Bento se dirigiu
aos esfoladores:
– De que morreu essa novilha, se não é da minha
conta?
Um dos homens levantou-se, com a faca
escorrendo sangue, as mãos tintas de vermelho, um
fartum sangrento envolvendo-o todo:
– De mal-dos-chifres. Nós já achamos ela doente.
E vamos aproveitar, mode não dar para os urubus.
Chico Bento cuspiu longe, enojado:
– E vosmecês têm coragem de comer isso? Me
ripuna só de olhar...
O outro explicou calmamente:
– Faz dois dias que a gente não bota um de-comer
de panela na boca...
Chico Bento alargou os braços, num grande gesto
de fraternidade:
– Por isso não! Aí nas cargas eu tenho um resto de
criação salgada que dá para nós. Rebolem essa
porqueira pros urubus, que já é deles!
Eu vou lá
deixar um cristão comer bicho podre de mal, tenho um
bocado no meu surrão!
Realmente a vaca já fedia, por causa da doença.
Toda descarnada, formando um grande bloco
sangrento, era uma festa para os urubus vê-la, lá de
cima, lá da frieza mesquinha das nuvens. E para
comemorar o achado executavam no ar grandes
rondas festivas, negrejando as asas pretas em
espirais descendentes.
Rachel de Queiroz
MODELO
Arranchados sob um juazeiro, em meio àquela
desolação, um bando de retirantes tentava
aproveitar uma vaca já em estado de putrefação,
para combater-lhe a fome de dois dias. Quando
Chico Bento, com o seu bando, aproxima-se
também em busca de abrigo e, compadecendo-se
daquela situação, divide com os miseráveis o resto
16
de alimento que trazia, deixando o animal para os
urubus.
COMO RESUMIR UM TEXTO
encerra uma idéia diferente.
6. Ler os parágrafos resumidos e observar se há uma
estrutura coerente, isto é, se todas as partes estão
bem encadeadas e se formam um todo.
Ler não é apenas passar os olhos no texto. É preciso
saber tirar dele o que é mais importante, facilitando o
trabalho da memória. Saber resumir as idéias expressas
em um texto não é difícil. Resumir um texto é reproduzir
com poucas palavras aquilo que o autor disse.
7. Num resumo, não se devem comentar as idéias do
autor. Deve-se registrar apenas o que ele escreveu,
sem usar expressões como "segundo o autor", "o
autor afirmou que".
Para se realizar um bom resumo, são necessárias
algumas recomendações:
8. O tamanho do resumo pode variar conforme o tipo
de assunto abordado. É recomendável que nunca
ultrapasse vinte por cento da extensão do texto
original.
1. Ler todo o texto para descobrir do que se trata.
2. Reler uma ou mais vezes, sublinhando frases ou
palavras importantes. Isto ajuda a identificar.
3. Distinguir os exemplos ou detalhes das idéias
principais.
9. Nos resumos de livros, não devem aparecer
diálogos, descrições detalhadas, cenas ou
personagens secundárias. Somente as personagens,
os ambientes e as ações mais importantes devem ser
registrados.
4. Observar as palavras que fazem a ligação entre as
diferentes idéias do texto, também chamadas de
conectivos: "por causa de", "assim sendo", "além do
mais", "pois", "em decorrência de", "por outro lado", "da
mesma forma".
5. Fazer o resumo de cada parágrafo, porque cada um
Significação Literal e Contextual de Vocábulos
SINÔNIMOS
HOMÔNIMOS
São palavras que apresentam, entre si, o mesmo
significado.
triste = melancólico.
resgatar = recuperar
maciço = compacto
ratificar = confirmar
digno = decente, honesto
reminiscências = lembranças
insipiente = ignorante.
São palavras iguais na forma e diferentes na
significação. Há três tipos de homônimos:
HOMÔNIMOS PERFEITOS
Têm a mesma grafia e o mesmo som.
cedo (advérbio) e cedo (verbo ceder);
meio (numeral), meio (adjetivo) e meio
(substantivo).
ANTÔNIMOS
HOMÔNIMOS HOMÓFONOS
São palavras que apresentam, entre si, sentidos
opostos, contrários.
bom x mau
bem x mal
condenar x absolver
simplificar x complicar
Têm o mesmo som e grafias diferentes.
sessão (reunião), seção (repartição) e cessão (ato
de ceder);
concerto (harmonia) e conserto (remendo).
HOMÔNIMOS HOMÓGRAFOS
sede (vontade de beber) e sede (residência).
Têm a mesma grafia e sons diferentes.
almoço (refeição) e almoço (verbo almoçar);
PARÔNIMOS
17
São palavras de significação diferente, mas de
forma parecida, semelhante.
emergir e imergir.
Eis uma lista com alguns homônimos e parônimos:
retificar e ratificar;
acender = atear fogo
ascender = subir
acerca de = a respeito de, sobre
cerca de = aproximadamente
há cerca de = faz aproximadamente, existe
aproximadamente, acontece aproximadamente
afim = semelhante, com afinidade
a fim de = com a finalidade de
amoral = indiferente à moral
imoral = contra a moral, libertino, devasso
apreçar = marcar o preço
apressar = acelerar
arrear = pôr arreios
arriar = abaixar
bucho = estômago de ruminantes
buxo = arbusto ornamental
caçar = abater a caça
cassar = anular
cela = aposento
sela = arreio
censo = recenseamento
senso = juízo
cessão = ato de doar
seção ou secção = corte, divisão
sessão = reunião
chá = bebida
xá = título de soberano no Oriente
chalé = casa campestre
xale = cobertura para os ombros
cheque = ordem de pagamento
xeque = lance do jogo de xadrez, contratempo
comprimento = extensão
cumprimento = saudação
concertar = harmonizar, combinar
consertar = remendar, reparar
conjetura = suposição, hipótese
conjuntura = situação, circunstância
coser = costurar
cozer = cozinhar
deferir = conceder
diferir = adiar
descrição = representação
discrição = ato de ser discreto
descriminar = inocentar
discriminar = diferençar, distinguir
despensa = compartimento
dispensa = desobrigação
despercebido = sem atenção, desatento
desapercebido = desprevenido
discente = relativo a alunos
docente = relativo a professores
emergir = vir à tona
imergir = mergulhar
emigrante = o que sai
imigrante = o que entra
eminente = nobre, alto, excelente
iminente = prestes a acontecer
esperto = ativo, inteligente, vivo
experto = perito, entendido
espiar = olhar sorrateiramente
expiar = sofrer pena ou castigo
estada = permanência de pessoa
estadia = permanência de veículo
flagrante = evidente
fragrante = aromático
fúsil = que se pode fundir
fuzil = carabina
fusível = resistência de fusibilidade calibrada
incerto = duvidoso
inserto = inserido, incluso
incipiente = iniciante
insipiente = ignorante
indefesso = incansável
indefeso = sem defesa
infligir = aplicar pena ou castigo
infringir = transgredir, violar, desrespeitar
intemerato = puro, íntegro, incorrupto
intimorato = destemido, valente, corajoso
intercessão = súplica, rogo
interse(c)ção = ponto de encontro de duas
linhas
laço = laçada
lasso = cansado, frouxo
ratificar = confirmar
retificar = corrigir
soar = produzir som
suar = transpirar
sortir = abastecer
surtir = originar
sustar = suspender
suster = sustentar
tacha = brocha, pequeno prego
taxa = tributo
tachar = censurar, notar defeito em
taxar = estabelecer o preço
vultoso = volumoso
vultuoso = atacado de vultuosidade (congestão
na face)
EXERCÍCIOS
1) Assinale a alternativa cujas palavras substituem
adequadamente as palavras e expressões
destacadas ao lado:
18
Passou-me sem atenção que a sua intenção era
estabelecer uma diferença entre os ignorantes e
os valentes, corajosos.
a) desapercebido - descriminar - incipientes intemeratos.
b) despercebido - discriminar - insipientes intimoratos.
c) despercebido - discriminar - insipientes intemeratos.
D) desapercebido - descriminar - insipientes intemeratos.
e) despercebido - discriminar - incipientes intimoratos.
2) O apaixonado rapaz ficou extático diante da
beleza da noiva.
A palavra destacada é sinônima de:
a) imóvel
b) admirado
c) firme
d) sem respirar
e) indiferente
3) Indique a alternativa errada:
a) As pessoas mal-educadas, sempre se dão mal
com os outros.
b) Os meus ensinamentos foram mal interpretados.
c) Vivi maus momentos, naquela época.
d) Temos que esclarecer os mau-entendidos.
e) Os homens maus sempre prejudicam os bons.
4) os sinônimos de exilado, assustado, sustentar e
expulsão são, respectivamente:
a) degredado, espavorido, suster e proscrição.
b) degradado, esbaforido, sustar e prescrição.
c) degredado, espavorido, sustar e proscrição.
d) degradado, esbaforido, sustar e proscrição.
e) degradado, espavorido, suster e prescrição.
5) Trate de arrumar o aparelho que você quebrou e
costurar a roupa que você rasgou, do contrário
não saíra de casa nesse final de semana.
As palavras destacadas podem ser substituídas por:
a) concertar, coser e se não.
b) consertar, coser e senão.
c) consertar, cozer e senão.
d) concertar, cozer e senão.
e) consertar, coser e se não.
6) Assinale a alternativa que preenche corretamente
as lacunas da frase abaixo:
Da mesma forma que os italianos e japoneses
_________ para o Brasil no século passado, hoje os
brasileiros _________ para a Europa e para o
Japão, à busca de uma vida melhor; internamente,
os
nordestinos ________ para o Sul, pelo mesmo
motivo.
a) imigraram - emigram - migram
b) migraram - imigram - emigram
c) emigraram - migram - imigram.
d) emigraram - imigram - migram.
e) imigraram - migram - emigram.
7) Há erro de grafia em:
a) Eucláudia trabalha na seção de roupas.
b) Hoje haverá uma sessão extraordinária na
Câmara de Vereadores.
c) O prefeito da cidade resolveu fazer a cessão de
seus rendimentos à creche municipal.
d) Voto 48ª sessão, da 191ª zona eleitoral.
e) Ontem, fui ao cinema na sessão das dez.
8) Assinale a letra que preenche corretamente as
lacunas das frases apresentadas.
A ___________ da greve era ________, mas o líder
dos trabalhadores iria ___________ o aumento
mais uma vez.
a) deflagração - eminente - reivindicar.
b) defragração - iminente - reinvidicar.
c) deflagração - iminente - reivindicar.
d) defragração - eminente - reinvindicar.
e) defragração - eminente - reivindicar
Apesar de _______ em mecânica de automóveis,
ele foi _______ de __________, pois não conseguiu
diagnosticar o problema no motor do carro do
diretor.
a) esperto - tachado - incipiente.
b) experto - tachado - insipiente.
c) experto - taxado - insipiente.
d) esperto - taxado - incipiente.
e) esperto - taxado - incipiente.
O ladrão foi pego em _________, quando tentava
levar _______ quantia, devido a uma _______ de
caminhões bem em frente ao banco.
a) flagrante - vultosa - coalizão.
b) fragrante - vultuosa - colisão.
c) flagrante - vultosa - colisão.
d) fragrante - vultuosa - coalizão.
e) flagrante - vultuosa - coalizão.
O rapaz que se sentiu ____________ pela diretora
do colégio fez uma _______ até Brasília para tentar
19
governador ______ os direitos do secretário.
_________ uma pena a ela.
a) descriminado - viajem - inflingir.
b) discriminado - viagem - infligir.
c) discriminado - viajem - infringir.
d) descriminado - viagem - infligir.
e) discrimando - viagem - infringir.
a) De repente - emergiu - iminente - cassou.
b) Derrepente - imergiu - iminente - caçou.
c) De repente - emergiu - eminente - cassou.
d) De repente - imergiu - eminente - caçou.
e) Derrepente - emergiu - iminente - cassou.
__________, a verdade _______, e, apesar de
todos os protestos dos deputados, o ________
Respostas
1) B 2) B 3) D 4) A 5) B 6) A 7) D 8) C 9) D 10) C
11) B 12) C
Pocessos Coesivos de Referência
Coesão e Coerência
Basicamente, ser coerente é não cair em contradição. Na escrita, há meios para se
ligar coerentemente os fatos em benefício da harmonia entre as idéias. É isso que
os exercícios que propomos pretendem abarcar. São exercícios que levam em
conta elementos-chave para garantir a coerência de um texto: conhecimento
compartilhado, elementos textuais, elementos do contexto de enunciação, etc.
Não é novidade para ninguém: é incoerente (ou parece ser) uma pessoa declarar
que detesta jogar futebol e sempre convidar os amigos para uma pelada. Seria
coerente, se tal pessoa não gosta de futebol, não convidar seus amigos para jogar
bola. É incoerente alguém dizer que devemos ser humildes e essa mesma pessoa
ser orgulhosa.
Assim é que a coerência pode ser entendida como o fenômeno da harmonia
entre as idéias, opiniões. Ou, dito de outra forma, seria um princípio de não
contradição. (Se alguém segue uma linha de pensamento, sem sair dela, essa
pessoa é coerente; já se esta pessoa não agir conforme suas opiniões, isto parece
ser incoerente).
Veja se são coerentes ou incoerentes os pares de fatos relacionados abaixo:
1) gostar de casa arrumada X deixar tudo espalhado
2) gostar de viajar X ficar sempre em casa nas férias
3) considerar que escola é necessário à educação X pôr os filhos na escola
4) ser contra comida enlatada X só comprar ervilha diretamente da horta
Se analisarmos bem o par número 2, incoerente à primeira vista, poderemos
facilmente imaginar uma situação na qual a pessoa que goste de viajar não o faça
por falta de recursos. Nesse caso, gostar de viajar e ficar em casa durante as férias
não se caracterizam como situações que, postas lado a lado, geram incoerência. A
incoerência existiria se a pessoa ficasse em casa nas férias porque gosta de
viajar...
Perceberemos a coerência entre as duas situações do par de número 2 se
conhecermos a situação da pessoa que, por falta de recursos, não viaja. Outro
modo de percebermos a coerência é através da expressão clara da ligação entre as
duas situações, que pode se dar por uma palavrinha, a conjunção mas:
Luiz gosta de viajar mas fica sempre em casa nas férias.
Ou, explicitando melhor,
Luiz gosta de viajar, mas fica sempre em casa nas férias, porque não tem
dinheiro para viajar.
20
Pronto: acabou-se a incoerência.
Em nosso cotidiano, por vezes, precisamos explicitar as ligações entre fatos,
para que os outros percebam que não somos incoerentes. Assim, não é raro
usarmos frases como:
Gosto dela, mas vou dar o fora.
Não vou tomar sorvete, embora goste, porque estou de regime.
É bonito ter cabelo comprido, mas uso curto porque não tenho tempo para
cuidar.
Precisamos de mais um quarto, mas não vamos construí-lo agora porque o
dinheiro está curto.
É mais rápido ir de moto para o trabalho, mas eu prefiro ir de ônibus porque o
trânsito está muito perigoso.
Torço para o Flamengo, mas quero que o Vasco ganhe porque não agüento mais
a choradeira lá em casa.
Se a pessoa com quem falamos sabe que estamos de regime, não é preciso
dizer a ela que gostamos de sorvete e lhe explicar que estamos de regime. Basta
dizer: “Não vou tomar sorvete”. Se a pessoa sabe que preferimos ir de moto por ser
mais rápido, não é preciso fazer a afirmação “É mais rápido ir de moto para o
trabalho”, ao lhe informar que não estamos usando a moto para ir até o local de
trabalho.
O que percebemos, então?
Percebemos que há situações de interlocução nas quais não precisamos
explicitar tudo, mas que há outras nas quais, para não parecermos ilógicos,
incoerentes, loucos até, temos necessidade de explicar mais. Se pensarmos na
situação do sorvete, temos necessidade de explicar que não tomar sorvete não
decorre de gostar muito de sorvete; ao contrário, não tomar sorvete é uma decisão
tomada apesar de se gostar muito de sorvete.
A noção de coerência, de harmonia entre idéias e fatos, e a noção daí
decorrente, que é a de coesão, de ligação entre os fatos, foram consideradas por
nós como fundamentais para o bom uso da língua, ao falarmos, conversarmos,
escrevermos ou lermos. É verdade que há momentos em que o falante pode querer
deixar uma ambigüidade no ar, pode querer provocar um efeito cômico, pode não
precisar explicitar a coerência porque a situação já fala por si. Entretanto, se o
falante de fato não explicitar a ligação entre os fatos, isso deverá ser por sua
opção, e não por falta de conhecimento.
Assim, ao que parece, o que se denomina “coesão” seria aquilo que tenta
explicitar a coerência, quando ela, em um texto, não pode ser facilmente
depreendida. Desta forma, nos textos, os conectivos, que são alguns dos agentes
de coesão, representariam a tentativa de explicitação da coerência.
Coordenação e Subordinação
Período Composto
Período composto é aquele formado por duas ou mais orações. Há dois tipos de períodos compostos:
1) Período composto por coordenação
Quando as orações não mantêm relação sintática entre si, ou seja, quando o período é formado por orações
sintaticamente independentes entre si.
21
Ex. Estive à sua procura, mas não o encontrei.
2) Período composto por subordinação
Quando uma oração, chamada subordinada, mantém relação sintática com outra, chamada principal.
Ex. Sabemos que eles estudam muito. (oração que funciona como objeto direto)
Período Composto por Subordinação
A uma oração principal podem relacionar-se sintaticamente três tipos de orações subordinadas: substantivas,
adjetivas e adverbiais.
I. Orações Subordinadas Substantivas
São seis as orações subordinadas substantivas, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa integrante
(que, se)
A) Subjetiva: funciona como sujeito da oração principal.
Existem três estruturas de oração principal que se usam com subordinada substantiva subjetiva:
verbo de ligação + predicativo + oração subordinada substantiva subjetiva.
Ex. É necessário que façamos nossos deveres.
verbo unipessoal + oração subordinada substantiva subjetiva.
Verbo unipessoal só é usado na 3ª pessoa do singular; os mais comuns são convir, constar, parecer, importar,
interessar, suceder, acontecer.
Ex. Convém que façamos nossos deveres.
verbo na voz passiva + oração subordinada substantiva subjetiva.
Ex. Foi afirmado que você subornou o guarda.
B) Objetiva Direta: funciona como objeto direto da oração principal.
(sujeito) + VTD + oração subordinada substantiva objetiva direta.
Ex. Todos desejamos que seu futuro seja brilhante.
C) Objetiva Indireta: funciona como objeto indireto da oração principal.
(sujeito) + VTI + prep. + oração subordinada substantiva objetiva indireta.
Ex. Lembro-me de que tu me amavas.
D) Completiva Nominal: funciona como complemento nominal de um termo da oração principal.
(sujeito) + verbo + termo intransitivo + prep. + oração subordinada substantiva completiva nominal.
Ex. Tenho necessidade de que me elogiem.
E) Apositiva: funciona como aposto da oração principal; em geral, a oração subordinada substantiva apositiva
vem após dois pontos, ou mais raramente, entre vírgulas.
oração principal + : + oração subordinada substantiva apositiva.
Ex. Todos querem o mesmo destino: que atinjamos a felicidade.
F) Predicativa: funciona como predicativo do sujeito do verbo de ligação da oração principal.
(sujeito) + VL + oração subordinada substantiva predicativa.
22
Ex. A verdade é que nunca nos satisfazemos com nossas posses.
Nota: As subordinadas substantivas podem vir introduzidas por outras palavras:
Pronomes interrogativos (quem, que, qual...)
Advérbios interrogativos (onde, como, quando...)
Perguntou-se quando ele chegaria.
Não sei onde coloquei minha carteira.
II. Orações Subordinadas Adjetivas
As orações subordinadas adjetivas são sempre iniciadas por um pronome relativo. São duas as orações
subordinadas
adjetivas:
A) Restritiva: é aquela que limita, restringe o sentido do substantivo ou pronome a que se refere. A restritiva
funciona
como adjunto adnominal de um termo da oração principal e não pode ser isolada por vírgulas.
Ex. A garota com quem simpatizei está à sua procura.
Os alunos cujas redações foram escolhidas receberão um prêmio.
B) Explicativa: serve para esclarecer melhor o sentido de um substantivo, explicando mais detalhadamente uma
característica geral e própria desse nome. A explicativa funciona como aposto explicativo e é sempre isolada por
vírgulas.
Ex. Londrina, que é a terceira cidade do região Sul do país, está muito bem cuidada.
III. Orações Subordinadas Adverbiais
São nove as orações subordinadas adverbiais, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa
A) Causal: funciona como adjunto adverbial de causa.
Conjunções: porque, porquanto, visto que, já que, uma vez que, como, que.
Ex. Saímos rapidamente, visto que estava armando um tremendo temporal.
B) Comparativa: funciona como adjunto adverbial de comparação. Geralmente, o verbo fica subentendido
Conjunções: (mais) ... que, (menos)... que, (tão)... quanto, como.
Ex. Diocresildo era mais esforçado que o irmão(era).
C) Concessiva: funciona como adjunto adverbial de concessão.
Conjunções: embora, conquanto, inobstante, não obstante, apesar de que, se bem que, mesmo que, posto que,
ainda que, em que pese.
Ex. Todos se retiraram, apesar de não terem terminado a prova.
D) Condicional: funciona como adjunto adverbial de condição.
Conjunções: se, a menos que, desde que, caso, contanto que.
Ex. Você terá um futuro brilhante, desde que se esforce.
E) Conformativa: funciona como adjunto adverbial de conformidade.
Conjunções: como, conforme, segundo.
Ex. Construímos nossa casa, conforme as especificações dadas pela Prefeitura.
F) Consecutiva: funciona como adjunto adverbial de conseqüência.
23
Conjunções: (tão)... que, (tanto)... que, (tamanho)... que.
Ex. Ele fala tão alto, que não precisa do microfone.
G) Temporal: funciona como adjunto adverbial de tempo.
Conjunções: quando, enquanto, sempre que, assim que, desde que, logo que, mal.
Ex. Fico triste, sempre que vou à casa de Juvenildo.
H) Final: funciona como adjunto adverbial de finalidade.
Conjunções: a fim de que, para que, porque.
Ex. Ele não precisa do microfone, para que todos o ouçam.
I) Proporcional: funciona como adjunto adverbial de proporção.
Conjunções: à proporção que, à medida que, tanto mais.
À medida que o tempo passa, mais experientes ficamos.
IV. Orações Reduzidas
Quando uma oração subordinada se apresenta sem conjunção ou pronome relativo e com o verbo no
infinitivo, no particípio ou no gerúndio, dizemos que ela é uma oração reduzida, acrescentando-lhe o nome
de infinitivo, de particípio ou de gerúndio.
Ex. Ele não precisa de microfone, para o ouvirem.
Período Composto por Coordenação
Um período composto por coordenação é formado por orações coordenadas, que são orações independentes
sintaticamente, ou seja, não há qualquer relação sintática entre as orações do período.
Há dois tipos de orações coordenadas:
1. Orações Coordenadas Assindéticas
São as orações não iniciadas por conjunção coordenativa.
Ex. Chegamos a casa, tiramos a roupa, banhamo-nos, fomos deitar.
2. Orações Coordenadas Sindéticas
São cinco as orações coordenadas, que são iniciadas por uma conjunção coordenativa.
A) Aditiva: Exprime uma relação de soma, de adição.
Conjunções: e, nem, mas também, mas ainda.
Ex. Não só reclamava da escola, mas também atenazava os colegas.
B) Adversativa: exprime uma idéia contrária à da outra oração, uma oposição.
Conjunções: mas, porém, todavia, no entanto, entretanto, contudo.
Ex. Sempre foi muito estudioso, no entanto não se adaptava à nova escola.
C) Alternativa: Exprime idéia de opção, de escolha, de alternância.
Conjunções: ou, ou...ou, ora... ora, quer... quer.
Estude, ou não sairá nesse sábado.
D) Conclusiva: Exprime uma conclusão da idéia contida na outra oração.
Conjunções: logo, portanto, por isso, por conseguinte, pois - após o verbo ou entre vírgulas.
24
Ex. Estudou como nunca fizera antes, por isso conseguiu a aprovação.
E) Explicativa: Exprime uma explicação.
Conjunções: porque, que, pois - antes do verbo.
Ex. Conseguiu a aprovação, pois estudou como nunca fizera ant
EXERCÍCIOS
1- Na frase " Maria do Carmo tinha certeza de que estava para ser mãe" a oração em destaque é :
a) Subordinada substantiva objetiva indireta
b) Subordinada substantiva completiva nominal.
c) Subordinada substantiva predicativa.
d) Coordenada sindética conclusiva
e) Coordenada sindética explicativa
2- Qual o período em que há oração subordinada substantiva predicativa ?
a) Meu desejo é que você passe nos exames vestibulares.
b) Sou favorável a que o aprovem.
c) Desejo-te isto que sejas feliz.
d) O aluno que estuda consegue superar as dificuldades do vestibular.
e) Lembre-se de que tudo passa neste mundo.
3- Marque a opção que contém oração subordinada substantiva completiva nominal:
a) "Tanto eu como Pascoal tínhamos preço de que o patrão topasse Pedro Barqueiro nas ruas da cidade"
b) " Era preciso que ninguém desconfiasse do nosso conluio para prendermos o Pedro Barqueiro."
c) "Para encurtar a história patrãozinho achamos Pedro Barqueiro no rancho que só tinha três divisões a
sala, o quarto dele e a cozinha."
d) " Quando chegamos, Pedro estava no terreiro debulhando milho que havia colhido em sua rocinha ali
perto "
e) "Pascoal me fez um sinalzinho, eu dei a volta e entrei pela porta do fundo para agarrar o Barqueiro
pelas costas"
4- As orações subordinadas substantivas que aparecem nos períodos abaixo são todas
subjetivas exceto:
a) Decidiu-se que o período subiria de preço.
b) É muito bom que o homem vez por outra reflita sobre sua vida.
c) Ignoras quanto custou meu relógio?
d) Perguntou-se ao diretor quando seríamos recebidos.
e) Convinha-nos que você estivesse presente à reunião.
5- Na frase " Argumentei que não é justo que o padeiro ganhe festas" as orações introduzidas
pela conjunção que são respectivamente :
a) Ambas subordinadas substantivas objetivas diretas
b) Ambas subordinadas subjetivas
c) Subordinada substantiva objetiva direta e subordinada substantiva subjetiva.
d) Subordinada objetiva direta e coordenada assindética .
e) Subordinada substantiva objetiva e subordinada substantiva predicativa.
6- Em " É possível que comunicassem sobre política" a segunda oração é :
a) Subordinada substantiva subjetiva.
b) Subordinada adverbial predicativa.
c) Subordinada substantiva predicativa
d) Principal
25
e) Subordinada substantiva objetiva direta.
7- A palavra se é conjunção subordinativa integrante (introduzindo oração subordinada
substantiva objetiva direta) em qual das orações seguintes?
a) Ele se morria de ciúmes pelo patrão.
b) A Federação arroga-se o direito de cancelar o jogo.
c) O aluno fez-se passar por doutor.
d) Precisa-se de pedreiros.
e) Não sei se o vinho está bom.
8- " As cunnãs tinham ensinado para ele que o sagüi-açu não era sagüim não, chamava
elevador e era uma máquina ."
Em relação à oração não destacada as orações em destaque são respectivamente :
a) Subordinada substantiva objetiva direta coordenada assindética coordenada sindética aditiva.
b) Subordinada adjetiva restritiva coordenada assindética -coordenada sindética aditiva.
c) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta coordenada sindética
aditiva.
d) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta
e) Subordinada substantiva subjetiva coordenada assindética coordenada sindética aditiva.
9- " Se ele confessou , não sei." A oração destacada é:
a) Subordinada adverbial temporal
b) Subordinada substantiva objetiva direta
c) Subordinada substantiva objetiva indireta
d) Subordinada substantiva supletiva
e) Subordinada substantiva predicativa
10- " A verdade é que a gente não sabia nada"
Classifica -se a segunda oração como:
a) Subordinada substantiva objetiva direta
b) Subordinada adverbial conformativa
c) Subordinada substantiva objetiva indireta
d) Subordinada substantiva predicativa
e) Subordinada substantiva apositiva.
11- Leia atentamente a frase:
" O presidente comunicou ao Ministro do Planejamento e ao Ministro da Indústria e Comércio,
que não haverá expediente na Segunda-feira próxima." Nesta frase a vírgula está separando
erroneamente a oração principal e a oração:
a) Subordinada substantiva objetiva indireta
b) Subordinada adverbial temporal
c) Coordenada Sindética adversativa
d) Subordinada substantiva objetiva direta
e) Subordinada substantiva assindética modal.
12- Em " Queria que me ajudasses. "
O trecho destacado pode ser substituído por:
a) a sua ajuda
b) a vossa ajuda
c) a ajuda de você
d) a ajuda deles
e) a tua ajuda.
13- " Lembro-me de que ele só usava camisas brancas."
A oração destacada é:
26
a) Subordinada substantiva completiva nominal
b) Subordinada substantiva objetiva indireta
c) Subordinada substantiva predicativa
d) Subordina substantiva subjetiva.
e) Subordinada substantiva objetiva direta
Respostas
8- A
9- B
10- D
11- A
12- E
13- C
1- B
2- A
3- A
4- C
5- C
6- A
7- E
Estrutura das Palavras
Estudar a estrutura das palavras é estudar os elementos que formam a palavra, denominados de
morfemas. São os seguintes os morfemas da Língua Portuguesa.
Radical
O que contém o sentido básico do vocábulo. Aquilo que permanecer intacto, quando a palavra for
modificada.
Ex. falar, comer, dormir, casa, carro.
Obs: Em se tratando de verbos, descobre-se o radical, retirando-se a terminação AR, ER ou IR.
Vogal Temática
Nos verbos, são as vogais A, E e I, presentes à terminação verbal. Elas indicam a que conjugação o
verbo pertence:
• 1ª conjugação = Verbos terminados em AR.
• 2ª conjugação = Verbos terminados em ER.
• 3ª conjugação = Verbos terminados em IR.
Obs.: O verbo pôr pertence à 2ª conjugação, já que proveio do antigo verbo poer.
Nos substantivos e adjetivos, são as vogais A, E, I, O e U, no final da palavra, evitando que ela termine
em consoante. Por exemplo, nas palavras meia, pente, táxi, couro, urubu.
* Cuidado para não confundir vogal temática de substantivo e adjetivo com desinência nominal de
gênero, que estudaremos mais à frente.
Tema
É a junção do radical com a vogal temática. Se não existir a vogal temática, o tema e o radical serão o
mesmo elemento; o mesmo acontecerá, quando o radical for terminado em vogal. Por exemplo, em se
tratando de verbo, o tema sempre será a soma do radical com a vogal temática - estuda, come, parti;
em se tratando de substantivos e adjetivos, nem sempre isso acontecerá. Vejamos alguns exemplos: No
substantivo pasta, past é o radical, a, a vogal temática, e pasta o tema; já na palavra leal, o radical e
o tema são o mesmo elemento - leal, pois não há vogal temática; e na palavra tatu também, mas
agora, porque o radical é terminado pela vogal temática.
Desinências
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É a terminação das palavras, flexionadas ou variáveis, posposta ao radical, com o intuito de modificá-las.
Modificamos os verbos, conjugando-os; modificamos os substantivos e os adjetivos em gênero e número.
Existem dois tipos de desinências:
Desinências verbais
Modo-temporais = indicam o tempo e o modo. São quatro as desinências modo-temporais:
-va- e -ia-, para o Pretérito Imperfeito do Indicativo = estudava, vendia, partia.
-ra-, para o Pretérito Mais-que-perfeito do Indicativo = estudara, vendera, partira.
-ria-, para o Futuro do Pretérito do Indicativo = estudaria, venderia, partiria.
-sse-, para o Pretérito Imperfeito do Subjuntivo = estudasse, vendesse, partisse.
Número-pessoais = indicam a pessoa e o número. São três os grupos das desinências númeropessoais.
Grupo I: i, ste, u, mos, stes, ram, para o Pretérito Perfeito do Indicativo = eu cantei, tu cantaste,
ele cantou, nós cantamos, vós cantastes, eles cantaram.
Grupo II: -, es, -, mos, des, em, para o Infinitivo Pessoal e para o Futuro do Subjuntivo = Era para eu
cantar, tu cantares, ele cantar, nós cantarmos, vós cantardes, eles cantarem. Quando eu puser,
tu puseres, ele puser, nós pusermos, vós puserdes, eles puserem.
Grupo III: -, s, -, mos, is, m, para todos os outros tempos = eu canto, tu cantas, ele canta, nós
cantamos, vós cantais, eles cantam.
Desinências nominais
de gênero = indica o gênero da palavra. A palavra terá desinência nominal de gênero, quando houver a
oposição masculino - feminino. Por exemplo: cabeleireiro - cabeleireira. A vogal a será desinência
nominal de gênero sempre que indicar o feminino de uma palavra, mesmo que o masculino não seja
terminado em o. Por exemplo: crua, ela, traidora.
de número = indica o plural da palavra. É a letra s, somente quando indicar o plural da palavra. Por
exemplo: cadeiras, pedras, águas.
Afixos: São elementos que se juntam a radicais para formar novas palavras. São eles:
Prefixo: É o afixo que aparece antes do radical. Por exemplo destampar, incapaz, amoral.
Sufixo: É o afixo que aparece depois do radical, do tema ou do infinitivo. Por exemplo pensamento,
acusação, felizmente.
Vogais e consoantes de ligação: São vogais e consoantes que surgem entre dois morfemas, para tornar mais
fácil e agradável a pronúncia de certas palavras. Por exemplo flores, bambuzal, gasômetro,
canais.
Formação das palavras
Para analisar a formação de uma palavra, deve-se procurar a origem dela. Caso seja formada por
apenas um radical, diremos que foi formada por derivação; por dois ou mais radicais, composição. São
os seguintes os processos de formação de palavras: Derivação: Formação de novas palavras a partir de
apenas um radical.
Derivação Prefixal
Acréscimo de um prefixo à palavra primitiva; também chamado de prefixação. Por exemplo: antepasto,
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reescrever, infeliz.
Derivação Sufixal
Acréscimo de um sufixo à palavra primitiva; também chamado de sufixação. Por exemplo: felizmente,
igualdade, florescer.
Derivação Prefixal e Sufixal
Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, em tempos diferentes; também chamado de prefixação e
sufixação. Por exemplo: infelizmente, desigualdade, reflorescer.
Derivação Parassintética
Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, simultaneamente; também chamado de parassíntese. Por
exemplo: envernizar, enrijecer, anoitecer.
Obs.: A maneira mais fácil de se estabelecer a diferença entre Derivação Prefixal e Sufixal e Derivação
Parassintética é a seguinte: retira-se o prefixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.;
caso contrário, retira-se, agora, o sufixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; caso
contrário, será Der. Parassintética. Por exemplo, retire o prefixo de envernizar: não existe a palavra
vernizar; agora, retire o sufixo: também não existe a palavra enverniz. Portanto, a palavra foi formada
por Parassíntese.
Derivação Regressiva
É a retirada da parte final da palavra primitiva, obtendo, por essa redução, a palavra derivada. Por
exemplo: do verbo debater, retira-se a desinência de infinitivo -r: formou-se o substantivo debate.
Derivação Imprópria
É a formação de uma nova palavra pela mudança de classe gramatical. Por exemplo: a palavra gelo é
um substantivo, mas pode ser transformada em um adjetivo: camisa gelo.
Composição
Formação de novas palavras a partir de dois ou mais radicais.
Composição por justaposição
Na união, os radicais não sofrem qualquer alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem os
radicais ponta e pé, obtém-se a palavra pontapé. O mesmo ocorre com mandachuva, passatempo,
guarda-pó.
Composição por aglutinação
Na união, pelo menos um dos radicais sofre alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem os
radicais água e ardente, obtém-se a palavra aguardente, com o desaparecimento do a. O mesmo
acontece com embora (em boa hora), planalto (plano alto).
Hibridismo
É a formação de novas palavras a partir da união de radicais de idiomas diferentes. Por exemplo:
automóvel, sociologia, sambódromo, burocracia.
Onomatopéia
Consiste em criar palavras, tentando imitar sons da natureza. Por exemplo: zunzum, cricri, tiquetaque,
pingue-pongue.
Abreviação Vocabular
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Consiste na eliminação de um segmento da palavra, a fim de se obter uma forma mais curta. Por
exemplo: de extraordinário forma-se extra; de telefone, fone; de fotografia, foto; de
cinematografia, cinema ou cine.
Siglas
As siglas são formadas pela combinação das letras iniciais de uma seqüência de palavras que constitui
um nome: Por exemplo: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística); IPTU (Imposto Predial,
Territorial e Urbano).
Neologismo semântico
Forma-se uma palavra por neologismo semântico, quando se dá um novo significado, somado ao que já
existe. Por exemplo, a palavra legal significa dentro da lei; a esse significado somamos outro: pessoa
boa, pessoa legal.
Empréstimo lingüístico
É o aportuguesamento de palavras estrangeiras; se a grafia da palavra não se modifica, ela deve ser
escrita entre aspas. Por exemplo: estresse, estande, futebol, bife, "show", xampu, "shopping
center".
EXERCÍCIOS
Estrutura e Formação de Palavras
1- Os elementos mórficos sublinhados estão corretamente classificados nos parênteses, exceto em:
a) aluna (desinência de gênero);
b) estudássemos (desinência modo-temporal);
c) reanimava (desinência número-pessoal);
d) deslealdade (sufixo);
e) agitar (vogal temática).
2- Tendo em vista o processo de formação de palavras, não é exemplo de hibridismo:
a) automóvel;
b) sociologia;
c) alcoômetro;
d) burocracia;
e) biblioteca.
3-(AL) Tendo em vista a estrutura das palavras, o elemento sublinhado está incorretamente classificado
nos parênteses em:
a) velha (desinência de gênero);
b) legalidade (vogal de ligação);
c) perdeu (tema);
d) organizara (desinência modo-temporal);
e) testemunhei (desinência número-pessoal).
4- O processo de formação da palavra sublinhada está incorretamente indicado nos parênteses em:
a) Só não foi necessário o ataque porque a vitória estava garantida. (derivação parassintética);
b) O castigo veio tão logo se receberam as notícias. (derivação regressiva);
c) Foram muito infelizes as observações feitas durante o comício. (derivação prefixal);
d) Diziam que o vendedor seria capaz de fugir. (derivação sufixal);
e) O homem ficou boquiaberto com as nossas respostas. (composição por aglutinação).
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5- Tendo em vista o processo de formação de palavra, todos os vocábulos abaixo são parassintéticos,
exceto:
a) entardecer;
b) despedaçar;
c) emudecer;
d) esfarelar;
e) negociar.
6- É exemplo de palavra formada por derivação parassintética:
a) pernalta;
b) passatempo;
c) pontiagudo;
d) vidraceiro;
e) anoitecer.
7- Todas as palavras abaixo são formadas por derivação, exceto:
a) esburacar;
b) pontiagudo;
c) rouparia;
d) ilegível;
e) dissílabo.
8- "Achava natural que as gentilezas da esposa chegassem a cativar um homem". Os elementos
constitutivos da forma verbal grifada estão analisados corretamente, exceto:
a) CHEG - radical;
b) A - vogal temática;
c) CHEGA - tema;
d) SSE - sufixo formador de verbo;
e) M - desinência número-pessoal.
9- O elemento mórfico sublinhado não é desinência de gênero, que marca o feminino, em:
a) tristonha;
b) mestra;
c) telefonema;
d) perdedoras;
e) loba.
10- A afirmativa a respeito do processo de formação de palavras não está correta em:
a) Choro e castigo originaram-se de chorar e castigar, através de derivação regressiva;
b) Esvoaçar é formada por derivação sufixal com sufixo verbal freqüentativo;
c) O amanhã não pode ver ninguém bem. - a palavra sublinhada surgiu por derivação imprópria;
d) Petróleo e hidrelétrico são formadas através de composição por aglutinação;
e) Pólio, extra e moto são obtidas por redução.
11- O processo de formação de palavras é o mesmo em:
a) desfazer, remexer, a desocupação;
b) dureza, carpinteiro, o trabalho;
c) enterrado, desalmado, entortada;
d) machado, arredondado, estragado;
e) estragar, o olho, o sustento.
12- O processo de formação da palavra amaciar está corretamente indicado em:
a) parassíntese;
b) sufixação;
c) prefixação;
d) aglutinação;
e) justaposição.
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13- O processo de formação das palavras grifadas não está corretamente indicado em:
a) As grandes decisões saem do Planalto. (composição por justaposição);
b) Sinto saudades do meu bisavô. (derivação prefixal);
c) A pesca da baleia deveria ser proibida. (derivação regressiva);
d) Procuremos regularmente o dentista. (derivação sufixal);
e) As dificuldades de hoje tornam o homem desalmado. (derivação parassintética).
14- O processo de formação de palavras está indicado corretamente em:
a) Barbeado: derivação prefixal e sufixal;
b) Desconexo: derivação prefixal;
c) Enrijecer: derivação sufixal;
d) Passatempo: composição por aglutinação;
e) Pernilongo: composição por justaposição.
15- Apenas um dos itens abaixo contém palavra que não é formada por prefixação. Assinale-o:
a) anômalo e analfabeto;
b) átono e acéfalo;
c) ateu e anarquia;
d) anônimo e anêmico;
e) anidro e alma.
16- Em que alternativa a palavra grifada resulta em derivação imprópria?
a) "De repente, do riso fez-se o pranto / Silencioso e branco como a bruma / E das bocas fez-se a
espuma / E das mãos espalmadas fez-se o espanto." (Vinícius de Moraes);
b) "Agora, o cheiro áspero das flores / leva-me os olhos por dentro de suas pétalas."(Cecília Meireles);
c) "Um gosto de amora / Comida com sal. A vida / Chamava-se "Agora"." (Guilherme de Almeida);
d) "A saudade abraçou-me, tão sincera, / soluçando no adeus de nunca mais. / A ambição de olhar
verde, junto ao cais, / me disse: vai que eu fico à tua espera." (Cassiano Ricardo).
17- Marque a opção em que todas as palavras possuem um mesmo radical:
a) batista - batismo - batistério - batisfera - batiscafo;
b) triforme - triângulo - tricologia - tricípite - triglota;
c) poligamia - poliglota - polígono - política - polinésio;
d) operário - opereta - opúsculo - obra - operação;
e) gineceu - ginecologia - ginecofobia - ginostênio - gimnosperma.
18- Com relação ao seguinte poema, é CORRETO afirmar que:
Neologismo
"Beijo pouco, falo menos ainda. / Mas invento palavras / Que traduzem a ternura mais funda / E mais
cotidiana. / Inventei, por exemplo, o verbo teadorar. / Intransitivo: / Teadoro, Teodora." (Manuel
Bandeira)
a) o verbo "teadorar" e o substantivo próprio "Teodora" são palavras cognatas, pois possuem o mesmo
radical;
b) as classes das palavras que compõem a estrutura do vocábulo "teadorar" são pronome e verbo;
c) o verbo "teadorar", por se tratar de um neologismo, não possui morfemas;
d) a vogal temática dos verbos "beijo", "falo", "invento" e "teadoro" é a mesma, ou seja, "o".
19- Está INCORRETO afirmar que:
a) malcheiroso é formada por prefixação e sufixação;
b) televisão é formada por prefixação que significa ao longe;
c) folhagem é formada por derivação sufixal que significa noção coletiva;
d) em amado e malcheiroso, ambos os sufixos significam provido ou cheio de.
20- Farejando apresenta em sua estrutura:
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a) radical farej - vogal temática a - tema fareja - desinência ndo;
b) radical far - tema farej - vogal temática e - desinência ndo;
c) radical fareja - vogal temática a - sufixo ndo;
d) tema farej - radical fareja - sufixo ndo.
Respostas
1- C
2- E
3- C
4- A
5- E
6- E
7- B
8- D
9- C
10- B
11- C
12- A
13- A
14- B
15- E
16- D
17- D
18- B
19- B
20- A
Ortografia
Ao escrever uma palavra com som de s, de z, de x ou de j, deve-se procurar a origem dela, pois,
na Língua Portuguesa, a palavra primitiva, em muitos casos, indica como deveremos escrever a palavra
derivada.
Ç
01) Escreveremos com -ção as palavras derivadas de vocábulos terminados em -to, -tor, -tivo e os
substantivos formados pela posposição do -ção ao tema de um verbo (Tema é o que sobra, quando se
retira a desinência de infinitivo - r - do verbo).
Portanto deve-se procurar a origem da palavra terminada em -ção. Por exemplo: Donde provém a
palavra conjunção? Resposta: provém de conjunto. Por isso, escrevemo-la com ç.
Exemplos:
• erudito = erudição
• exceto = exceção
• setor = seção
• intuitivo = intuição
• redator = redação
• ereto = ereção
• educar - r + ção = educação
• exportar - r + ção = exportação
• repartir - r + ção = repartição
•
02) Escreveremos com -tenção os substantivos correspondentes aos verbos derivados do verbo ter.
Exemplos:
• manter = manutenção
• reter = retenção
• deter = detenção
• conter = contenção
03) Escreveremos com -çar os verbos derivados de substantivos terminados em -ce.
Exemplos:
• alcance = alcançar
• lance = lançar
33
S
01) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -nder e -ndir
Exemplos:
• pretender = pretensão
• defender = defesa, defensivo
• despender = despesa
• compreender = compreensão
• fundir = fusão
• expandir = expansão
02) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -erter, -ertir e -ergir.
Exemplos:
• perverter = perversão
• converter = conversão
• reverter = reversão
• divertir = diversão
• aspergir = aspersão
• imergir = imersão
03) Escreveremos -puls- nas palavras derivadas de verbos terminados em -pelir e -curs-, nas palavras
derivadas de verbos terminados em -correr.
Exemplos:
• expelir = expulsão
• impelir = impulso
• compelir = compulsório
• concorrer = concurso
• discorrer = discurso
• percorrer = percurso
04) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -oso e -osa, com exceção de gozo.
Exemplos:
• gostosa
• glamorosa
• saboroso
• horroroso
05) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -ase, -ese, -ise e -ose, com exceção de
gaze e deslize.
Exemplos:
• fase
• crase
• tese
• osmose
06) Escreveremos com -s- as palavras femininas terminadas em -isa.
Exemplos:
• poetisa
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• profetisa
• Heloísa
• Marisa
07) Escreveremos com -s- toda a conjugação dos verbos pôr, querer e usar.
Exemplos:
• Eu pus
• Ele quis
• Nós usamos
• Eles quiseram
• Quando nós quisermos
• Se eles usassem
Ç ou S?
Após ditongo, escreveremos com -ç-, quando houver som de s, e escreveremos com -s-, quando
houver som de z.
Exemplos:
• eleição
• traição
• Neusa
• coisa
S ou Z?
01 a) Escreveremos com -s- as palavras terminadas em -ês e -esa que indicarem nacionalidades,
títulos ou nomes próprios.
Exemplos:
• português
• norueguesa
• marquês
• duquesa
• Inês
• Teresa
b) Escreveremos com -z- as palavras terminadas em -ez e -eza, substantivos abstratos que
provêm de adjetivos, ou seja, palavras que indicam a existência de uma qualidade.
Exemplos:
• embriaguez
• limpeza
• lucidez
• nobreza
• acidez
• pobreza
02 a) Escreveremos com -s- os verbos terminados em -isar, quando a palavra primitiva já possuir o -s.
Exemplos:
35
• análise = analisar
• pesquisa = pesquisar
• paralisia = paralisar
b) Escreveremos com -z- os verbos terminados em -izar, quando a palavra primitiva não possuir -s-.
Exemplos:
• economia = economizar
• terror = aterrorizar
• frágil = fragilizar
Cuidado:
• catequese = catequizar
• síntese = sintetizar
• hipnose = hipnotizar
• batismo = batizar
03 a) Escreveremos com -s- os diminutivos terminados em -sinho e -sito, quando a palavra primitiva
já possuir o -s- no final do radical.
Exemplos:
• casinha
• asinha
• portuguesinho
• camponesinha
• Teresinha
• Inesita
b) Escreveremos com -z- os diminutivos terminados em -zinho e -zito, quando a palavra primitiva
não possuir -s- no final do radical.
Exemplos:
• mulherzinha
• arvorezinha
• alemãozinho
• aviãozinho
• pincelzinho
• corzinha
SS
01) Escreveremos com -cess- as palavras derivadas de verbos terminados em -ceder.
Exemplos:
• anteceder = antecessor
• exceder = excesso
• conceder = concessão
02) Escreveremos com -pressas palavras derivadas de verbos terminados em -primir.
Exemplos:
• imprimir = impressão
• comprimir = compressa
• deprimir = depressivo
03) Escreveremos com -gress- as palavras derivadas de verbos terminados em -gredir.
36
Exemplos:
• agredir = agressão
• progredir = progresso
• transgredir = transgressor
04) Escreveremos com -miss- ou -mess- as palavras derivadas de verbos terminados em -meter.
Exemplos:
• comprometer = compromisso
• intrometer = intromissão
• prometer = promessa
• remeter = remessa
ÇS ou SS
Em relação ao verbos terminados em -tir, teremos:
01) Escreveremos com -ção, se apenas retirarmos a desinência de infinitivo -r, dos verbos terminados
em -tir.
Exemplo:
• curtir - r + ção = curtição
02) Escreveremos com -são, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for consoante.
Exemplo:
• divertir - tir + são = diversão
03) Escreveremos com -ssão, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for vogal.
Exemplo:
• discutir - tir + ssão = discussão
J
01) Escreveremos com -j- as palavras derivadas dos verbos terminados em -jar.
Exemplos:
• trajar = traje, eu trajei.
• encorajar = que eles encorajem
• viajar = que eles viajem
02) Escreveremos com -j- as palavras derivadas de vocábulos terminados em -ja.
Exemplos:
• loja = lojista
• gorja = gorjeta
• canja = canjica
37
03) Escreveremos com -j- as palavras de origem tupi, africana ou popular.
Exemplos:
• jeca
• jibóia
• jiló
• pajé
G
01) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -ágio, -égio, -ígio, -ógio, -úgio.
Exemplos:
• pedágio
• colégio
• sacrilégio
• prestígio
• relógio
• refúgio
02) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -gem, com exceção de pajem, lambujem
e a conjugação dos verbos terminados em -jar.
Exemplos:
• a viagem
• a coragem
• a personagem
• a vernissagem
• a ferrugem
• a penugem
X
01) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por mex-, com exceção de mecha.
Exemplos:
• mexilhão
• mexer
• mexerica
• México
• mexerico
• mexido
02) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por enx-, com exceção das derivadas de vocábulos
iniciados por ch- e da palavra enchova.
Exemplos:
• enxada
• enxerto
• enxerido
• enxurrada
mas:
• cheio = encher, enchente
• charco = encharcar
• chiqueiro = enchiqueirar
38
03) Escreveremos -x- após ditongo, com exceção de recauchutar e guache.
Exemplos:
• ameixa
• deixar
• queixa
• feixe
• peixe
• gueixa
UIR e OER
Os verbos terminados em -uir e -oer terão as 2ª e 3ª pessoas do singular do Presente do Indicativo
escritas com -i-.
Exemplos:
• tu possuis
• ele possui
• tu constróis
• ele constrói
• tu móis
• ele mói
• tu róis
• ele rói
UAR e OAR
Os verbos terminados em -uar e -oar terão todas as pessoas do Presente do Subjuntivo escritas com -e.
Exemplos:
• Que eu efetue
• Que tu efetues
• Que ele atenue
• Que nós atenuemos
• Que vós entoeis
• Que eles entoem
EXERCÍCIOS
Para as perguntas de 01 a 17:
Assinale a alternativa em que todos os vocábulos estejam grafados corretamente:
01) X ou CH:
a) xingar, xisto, enxaqueca
b) mochila, flexa, mexilhão
c) cachumba, mecha, enchurrada
d) encharcado, echertado, enxotado
02) E ou I:
a) femenino, sequer, periquito
b) impecilho, mimeógrafo, digladiar
c) intimorato, discrição privilégio
d) penico, despêndio , selvícola
03) S ou Z:
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a) ananás, logaz, vorás, lilaz
b) maciez, altivez, pequenez, tez
c) clareza, duqueza, princesa, rez
d) guizo, granizo siso, rizo
04) G ou J:
a) sarjeta, argila
b) pajem, monje
c) tigela lage
d) gesto, geito
05) SS, C, Ç:
a) massiço, sucinto
b) à beça, craço
c) procissão, pretencioso
d) assessoria, possessão
06) O ou U:
a) muela, bulir, taboada
b) borbulhar, mágoa, regurgitar
c) cortume, goela, tabuleta
d) entupir, tussir, polir
07) S ou Z:
a) rês, extaziar
b) ourivez, cutizar
c) bazar, azia
d) induzir, tranzir
08) X ou CH:
a) michórdia, ancho
b) archote, faxada
c) tocha, coxilo
d) xenofobia, chilique
9) SS ou Ç:
a) endosso, alvíssaras, grassar
b) lassidão, palissada, massapê
c) chalassa, escasso, massarico
d) arruassa, obsessão, sossobrar
10) X ou CH:
a) chafariz, pixe pecha
b) xeque, salsixa, esquixo
c) xuxu, puxar, coxixar
d) muxoxo, chispa, xangô
11) G ou J:
a) agiota, beringela, canjica
b) jeito, algibeira, tigela
c) estranjeiro, gorjeito, jibóia
d) enjeitar, magestade, gíria
40
12) X ou CH:
a) flexa, bexiga, enxarcar
b) mexerico, bruxelear, chilique
c) faixa, xalé, chaminé
d) charque, chachim, caximbo
13) S ou Z:
a) aridez, pesquizar, catalizar
b) abalizado, escassez, clareza
c) esperteza, hipnotisar, deslise
d) atroz, obuz, paralização
14) G ou J:
a) monje tijela lojista ultraje
b) anjinho, rijidez, angina jia
c) herege, frege, pajé, jerimum
d) rabujento, rigeza, goló, jesto
15) Ortografia:
a) ascensão, expontâneo, privilégio
b) encher, enxame, froucho richa
c) berinjela, traje, vagem, azia
d) cincoenta, catorze, aziago, asa
16) S, SS, Ç, C, SC:
a) assédio, discente, suscinto
b) oscilar, mesce, néscio, lascivo
c) víscera, fascinar, discernir
d) ascenção, ressuscitar, suscitar
17) S ou Z:
a) atrazo, paralizar, reprezália
b) balisa, bazar, aprazível, frizo
c) apoteoze, briza, gaze, griz
d) espezinhar, cerzir, proeza, paz
Respostas Sobre Ortografia:
01. A
02. C
03. B
04. A
05. D
06. B
07. C
08. D
09. A
10. D
11. B
12. B
13. B
14. C
15. C
16. C
17. D
Pontuação
Vírgula (,)
Emprego da vírgula no período simples
41
Quando se trata de separar termos de uma mesma oração, deve-se usar a vírgula nos seguintes casos:
1. Para isolar adjuntos adverbiais deslocados:
Ex. A maioria dos alunos, durante as férias, viajam.
2. Para isolar os objetos pleonásticos:
Ex. Os meus amigos, sempre os respeito.
3. Para isolar o aposto explicativo:
Ex. Londrina, a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.
4. Para isolar o vocativo:
Ex. Alberto! Traga minhas calças até aqui!
5. para separar elementos coordenados:
Ex. As crianças, os pais, os professores e os diretores irão ao convescote.
6. Para indicar a elipse do verbo:
Ex. Ela prefere filmes românticos; o namorado, de aventura. (o namorado prefere filmes de aventura)
7. Para separar, nas datas, o lugar:
Ex. Londrina, 20 de novembro de 1996.
8. Para isolar conjunção coordenativa intercalada:
Ex. Os candidatos, porém, não respeitaram a lei.
9. Para isolar as expressões explicativas isto é, a saber, melhor dizendo, quer dizer...
Ex. Irei para Águas de Santa Brárbara, melhor dizendo, Bárbara.
Emprego da vírgula no período composto
Período composto por coordenação: as orações coordenadas devem sempre ser separadas por
vírgula.
Ex. Todos gostamos de seus projetos, no entanto não há verbas para viabilizá-los
Nota: as orações coordenadas aditivas iniciadas pela conjunção e só terão vírgula, quando os sujeitos
forem diferentes e quando o e aparecer repetido.
Ex. Ela irá no primeiro avião, e seus filhos no próximo.
Ele gritava, e pulava, e gesticulava como um louco.
Período composto por subordinação
Orações subordinadas substantivas: não se separam por vírgula.
Ex. É evidente que o culpado é o mordomo.
Orações subordinadas adjetivas: só a explicativa é separada por vírgula.
Ex. Londrina, que é a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.
Orações subordinadas adverbiais: sempre se separam por vírgula.
Ex. Assim que chegarem as encomendas, começaremos a trabalhar.
Ponto-e-vírgula (;)
O ponto-e-vírgula indica uma pausa um pouco mais longa que a vírgula e um pouco mais breve
que o ponto.
O emprego do ponto-e-vírgula depende muito do contexto em que ele aparece.
Podem-se seguir as seguintes orientações para empregar o ponto-e-vírgula:
42
Para separar duas orações coordenadas que já contenham vírgulas:
Ex. Estive a pensar, durante toda a noite, em Diana, minha antiga namorada; no entanto, desde o último
verão, estamos sem nos ver.
Para separar duas orações coordenadas, quando elas são longas:
Ex. O diretor e a coordenadora já avisaram a todos os alunos que não serão permitidas brincadeiras
durante o intervalo nos corredores; porém alguns alunos ignoram essa ordem.
Para separar enumeração após dois pontos:
Ex. Os alunos devem respeitar as seguintes regras:
- não fumar dentro do colégio;
- não fazer algazarras na hora do intervalo;
- respeitar os funcionários e os colegas;
- trazer sempre o material escolar.
Dois-pontos (:)
Deve-se empregar esse sinal:
Para iniciar uma enumeração:
Ex. Compramos para a casa o seguinte: mesa, cadeiras, tapetes e sofás.
Para introduzir a fala de uma personagem:
Ex. Sempre que o professor Luís entra em sala-de-aula diz:
__ Essa moleza vai acabar!
Para esclarecer ou concluir algo que já foi dito:
Ex. Essa moleza vai acabar!: essas são as palavras do professor Luís.
Reticências ( ... )
As reticências são empregadas:
Para indicar uma certa indecisão, surpresa ou dúvida na fala da personagem:
Ex. João Antônio! Diga-me... você... me traiu?
Para indicar que, num diálogo, a fala de uma personagem foi interrompida pela fala da outra:
Ex. __ Como todos já deram sua opinião...
__ Um momento, presidente, ainda tenho um assunto a tratar.
Para sugerir ao leitor que complete o raciocínio contido na frase:
Ex. Durante o ano ficou claro que o aluno que não atingisse 150 pontos seria reprovado; você atingiu
145, portanto...
Para indicar, numa citação, que certos trechos do texto foram exclusos:
Ex. "No momento em que a tia foi pagar a conta, Joana pegou o livro..." (Clarice Lispector)
Exercícios
Código:
01) palavra repetida
02) termos antepostos (quando repetidos pleonasticamente)
03) adjunto adverbial deslocado
04) oração coordenada assindética
43
05) orações coord. sind. aditivas com sujeitos diferentes;
06) oração interferente
07) vocativo
08) conjunção deslocada
09) oração subordinada adjetiva explicativa
10) zeugma
11) aposto
12) predicativo
13) expressão explicativa, conclusiva, retificativa, enfática...
14) termo coordenados
15) data
16) oração coordenada sindética
17) polissíndeto
18) oração subordinada adverbial deslocada
19) idéias paralelas dos provérbios
01) ( ) Possuía lavouras de trigo linho arroz e soja
02) ( ) Roda meu carro que é curto o caminho
03) ( ) Bem-vindo sejas aos campos do tabajaras senhores da aldeia
04) ( ) O aluno enlouquecido queria decorar toda as regras
05) ( ) Em suma o concurso foi fraco e as vagas poucas
06) ( ) O coitadinho era feio feio...
07) ( ) Vitória 10 de março de 1999
08) ( ) Ganhamos pouco; devemos portanto economizar
09) ( ) O dinheiro nós o trazíamos preso ao corpo
10) ( ) Amanhã de manhã o Presidente viajará para a Bósnia
11) ( ) Ele fez o mar e o céu e a terra e tudo quanto há neles
12) ( ) Casa de ferreiro espeto de pau
13) ( ) A mocinha olhou sorriu e piscou os olhinhos e entrou
14) ( ) A noite não acabava e a insônia a encompridou mais ainda
15) ( ) O sinal estava fechado porém os carros não pararam
16) ( ) Quanto mais se agitava mais preso à rede ficava
17) ( ) A riqueza que é flor belíssima causa luto e tristeza
18) ( ) Venham gritavam as crianças ver nossos brinquedos
19) ( ) Uns diziam que se matou; outros que fora para Goiás
20) Assinale a letra que corresponde ao único período de pontuação correta
a) Pouco depois, quando chegaram, outras pessoas a reunião ficou mais animada
b) Pouco depois quando chagaram outras pessoas a reunião ficou mais animada
c) Pouco depois, quando chegaram outras pessoa, a reunião ficou mais animada
d) Pouco depois quando chegaram outras pessoas, a reunião ficou mais animada
21) Idem ao anterior:
a) Precisando de mim, procure-me; ou melhor, telefone, que eu venho
b) Precisando de mim procure-me; ou melhor telefone, que eu venho
c) Precisando de mim procure-me, ou, telefone, melhor que eu venho
d) Precisando, de mim, telefone-me, ou melhor, procure-me que eu venho
22) Assinale a pontuação errada:
a) Falei com ele com tanta segurança, que nem discordou de mim.
b) Porque falei com ela, para mim não há mais dúvidas
c) Falei com ela que eu, estaria aqui cedo hoje se tudo corresse bem
d) Falei ao chefe que, se o plano corresse bem, estaríamos salvos
23) Dadas as sentenças:
1. Quase todos os habitantes daquela região pantanosa e afastada da civilização morrem de malária
2. Pedra, que rola, não cria limo
3. Muitas pessoas observavam com interesse, o eclipse solar
44
- Deduzimos que:
a) apenas a nº 1 está correta
b) apenas a nº 2 está correta
c) apenas a nº 3 está correta
d) todas estão corretas
Para as questões de 24 a 36, assinale o único item correto em relação à pontuação:
24) Correto:
a) Não nego que, ao avistar, a cidade natal tive uma boa sensação
b) Não nego, que ao avistar a cidade natal tive, uma boa sensação
c) Não nego; que ao avistar a cidade natal, tive uma boa sensação
d) Todos estão incorretos
25) Correto:
a) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e, Rubião foi andando, com o mesmo coro atrás de si
b) Os rapazes continuaram a bradar, e a rir, e Rubião foi andando, com o mesmo coro, atrás de si
c) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e Rubião foi andando com o mesmo coro atrás de si
26) Correto:
a) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual, a
morte batia a asa eterna
b) A dor suspendeu por um pouco as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual a
c) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes, um sorriso alumiou o rosto da enferma; sobre o qual a
d) Todos estão corretos
27) Correto:
a) Longa, foi a agonia longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada; que me encheu de dor
e estupefação. Era a primeira vez, que eu via morrer alguém
b) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa; fria; repisada; que me encheu de dor
e estupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguém
c) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada, que me encheu de dor e
estupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguém
d) Todas estão incorretas
28) Correto:
a) Chegando à vila, tive a má notícia do coronel. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém o
aturava, nem os próprios amigos
b) Chegando à vila tive más notícias do coronel,. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém o
aturava, nem os próprios amigos
c) Chegando à vila, tive más notícias do coronel. Era homem insuportável; estúrdio; exigente; ninguém o
aturava; nem os próprios amigos
29) Assinale o item correto:
a) Ouvimos passos no corredor, era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa; tão depressa que,
quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria
b) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu, compôs-se depressa, tão depressa, que
45
quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria
c) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa, tão depressa que: quando
a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria
d) Todos estão corretos.
a) Começou porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tão
desconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos; entrou a sentir medo
b) Começou, porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tão
desconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos, entrou a sentir medo
c) Começou, porém, um resumo. No fim, de dez minutos, a comadre não entendia nada; tão
desconcertados eram os fatos e os conceitos, mais cinco minutos, entrou, a sentir medo
a) A cara, ficou séria porque a morte é séria,; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava
assinada a abdicação
b) A cara ficou séria: porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava
c) A cara ficou séria, porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava
32) Assinale o item incorreto:
a) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu ou
ensinou, ou se fez ambas as coisas, como eu.
b) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu, ou
ensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.
c) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve porém, no qual não sei, se aprendeu ou
ensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.
a) A primeira idéia foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e, na verdade,
recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.
b) A primeira idéia foi retirar-me, logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e na verdade recebera
carta dele, alguns dias antes, dizendo-me, que se sentia mal.
c) A primeira idéia, foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente, e, na verdade recebera
carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.
Para as questões de 983 a 985, assinale o item correto em relação ao emprego dos sinais de pontuação.
34) Correto:
a) Um jornal, é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,
pelo menos a certo número de pessoas.
b) Um jornal é lido por muita gente em muitos lugares, o que ele diz, precisa interessar se não a todos
c) Um jornal é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,
35) Está correto:
46
a) Salta o primeiro espirro mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à
farmácia, para tomar a injeção antigripal; que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode
parar
b) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à farmácia
para tomar a injeção antigripal que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parar
c) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais; com a picada leve na garganta e você corre à
farmácia, para tomar a injeção antigripal, que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode
parar
a) As mães ensinam que é feio escutar conversa dos outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,
somos forçados a isso; e acabamos nos interessando, pelo que não é de nossa conta
b) As mães ensinam, que é feio escutar conversa de outros; mas com os coletivos entupidos de gente,
somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa conta
c) As mães ensinam que é feio escutar conversa de outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,
somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa conta
37) Em um dos períodos abaixo, há uma vírgula usada erradamente no lugar do ponto-e-vírgula.
Assinale-o:
a) Avançamos pela praia, que já não era como a outra. Os pés afundavam na arei fofa, canavial não se
via, só coqueiro
b) As crianças estavam alvoraçadas e correram para o jardim, o palhaço já tinha chegado e,
alegremente, pusera-se a cantar.
c) Às vezes, eu quero chamar sua atenção para esse problema, ele, porém, não permite que se toque
no assunto
d) Sempre fiel a seus princípios, o velho indígena recusou a ajuda dos missionários, convocou os
guerreiros e decidiram partir dali.
38) Assinale a alternativa em que a Segunda frase não corrige adequadamente a primeira:
a) 1.A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas, de vinte dias a funcionários de suas fábricas.
2. A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas de vinte dias a funcionários de suas fábricas.
b) 1. A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood adiou para hoje à noite, a cerimônia
de entrega dos prêmios Oscar
2.A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood, adiou para hoje à noite, a cerimônia de
entrega dos prêmios Oscar
c) 1. A entidade internacional promove a cada dois anos, um congresso
2.A entidade internacional promove, a cada dois anos, um congresso
d) 1. Os soldados da Polícia Militar da Bahia, voltam hoje aos quartéis.
2.Os soldados da Polícia Militar da Bahia voltam hoje aos quartéis
39) Assinale a alternativa em que a Segunda alternativa esteja corretamente pontuada:
a) 1. Samuel beija a mão da dama com uma elegância perfeita
2. Com uma elegância perfeita, Samuel, beija a mão da dama.
b) 1. Um verdadeiro tesouro foi encontrado no cofre de um banco em Paris.
2. No cofre de um banco em Paris foi encontrado um verdadeiro tesouro
c) 1. O Brasil conseguiu uma Segunda vitória nos bastidores do Mundial
2. O Brasil conseguiu, nos bastidores do Mundial uma Segunda vitória
d) 1. Os estudantes explicaram o motivo do protesto durante a reunião.
2. Durante a reunião, os estudantes explicaram o motivo do protesto
Respostas Sobre Pontuação
47
01) (14)
02) (07)
03) (11)
04) (12)
05) (13)
06) (01)
07) (15)
08) (08)
31) B
32) C
33) A
25) C
26) B
27) C
28) A
29) A
30) B
17) (09)
18) (06)
19) (10)
20) C
21) A
22) C
23) A
24) D
09) (02)
10) (03)
11) (17)
12) (19)
13) (04)
14) (05)
15) (16)
16) (18)
34) C
35) D
36) C
37) C
38) B
39) D
Concordância Verbal
Estudar a concordância verbal é, basicamente, estudar o sujeito, pois é com este que o verbo
concorda. Se o sujeito estiver no singular, o verbo também o estará; se o sujeito estiver no plural,
o
mesmo acontece com o verbo. Então, para saber se o verbo deve ficar no singular ou no plural,
deve-se
procurar o sujeito, perguntando ao verbo Que(m) é que pratica ou sofre a ação? ou Que(m) é que
possui a qualidade? A resposta indicará como o verbo deverá ficar.
Por exemplo, a frase
As instalações da empresa são precárias tem como sujeito As instalações da empresa, cujo núcleo é a
palavra instalações, pois elas é que são precárias, e não a empresa; por isso o verbo fica no
plural.
Até aí tudo bem. O problema surge, quando o sujeito é uma expressão complexa, ou uma palavra
que
suscite dúvidas.
Coletivo
Quando o sujeito for um substantivo coletivo, como, por exemplo, bando, multidão, matilha,
arquipélago, trança, cacho, etc., ou uma palavra no singular que indique diversos elementos, como,
por exemplo, maioria, minoria, pequena parte, grande parte, metade, porção, etc., poderão
ocorrer três circunstâncias:
A) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de qualquer restritivo:
Nesse caso, o verbo ficará no singular, concordando com o coletivo, que é singular.
Ex.
• A multidão invadiu o campo após o jogo.
• O bando sobrevoou a cidade.
• A maioria está contra as medidas do governo.
B) O coletivo funciona como sujeito, acompanhado de restritivo no plural:
Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.
48
Ex.
• A multidão de torcedores invadiu / invadiram o campo após o jogo.
• O bando de pássaros sobrevoou / sobrevoaram a cidade.
• A maioria dos cidadãos está / estão contra as medidas do governo.
C) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de restritivo, e se encontra
distante do verbo:
Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.
Ex.
• A multidão, após o jogo, invadiu / invadiram o campo.
• O bando, ontem à noite, sobrevoou / sobrevoaram a cidade.
• a maioria, hoje em dia, está / estão contra as medidas do governo.
Um milhão, um bilhão, um trilhão:
Com um milhão, um bilhão, um trilhão, o verbo deverá ficar no singular. Caso surja a conjunção e, o
verbo ficará no plural.
Ex.
• Um milhão de pessoas assistiu ao comício
• Um milhão e cem mil pessoas assistiram ao comício.
Mais de, menos de, cerca de...
Quando o sujeito for iniciado por uma dessas expressões, o verbo concordará com o numeral que
vier
imediatamente à frente.
Ex.
• Mais de uma criança se machucou no brinquedo.
• Menos de dez pessoas chegaram na hora marcada.
• Cerca de duzentos mil reais foram surripiados.
Quando Mais de um estiver indicando reciprocidade ou com a expressão repetida, o verbo ficará no
plural.
Ex.
• Mais de uma pessoa agrediram-se.
• Mais de um carro se entrechocaram.
• Mais de um deputado se xingaram durante a sessão.
Nomes próprios no plural
Quando houver um nome próprio usado apenas no plural, deve-se analisar o elemento a que ele
se refere:
A) Se for nome de obra, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.
Ex.
• Os Lusíadas imortalizou / imortalizaram Camões.
• Os Sertões marca / marcam uma época da Literatura Brasileira.
49
B) Se for nome de lugar - cidade, estado, país... - o verbo concordará com o artigo; caso não haja
artigo, o verbo ficará no singular.
Ex.
• Os Estados Unidos comandam o mundo.
• Campinas fica em São Paulo.
• Os Andes cortam a América do Sul.
Obs.: Se o nome de lugar possuir artigo, mas este, por alguma razão, não for utilizado, a
concordância
com o artigo permanecerá sendo a regra, ou seja, o verbo continuará concordando com o artigo.
Ex.
• EUA vencem o México na oitavas de final da Copa do Mundo.
Qual de nós / Quais de nós
Quando o sujeito contiver as expressões ...de nós, ...de vós ou ...de vocês, deve-se analisar o
elemento que surgir antes dessas expressões:
A) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no singular (qual, quem, cada um, alguém,
algum...), o verbo deverá ficar no singular.
Ex.
• Quem de nós irá conseguir o intento?
• Quem de vós trará o que pedi?
• Cada um de vocês deve ser responsável por seu material.
B) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no plural (quais, alguns, muitos...), o
verbo
tanto poderá ficar na terceira pessoa do plural, quanto concordar com o pronome nós ou vós.
Ex.
• Quantos de nós irão / iremos conseguir o intento?
• Quais de vós trarão / trareis o que pedi?
• Muitos de vocês não se responsabilizam por seu material.
Sujeito sendo pronome relativo
Quando o pronome relativo exercer a função de sujeito, deveremos analisar o seguinte:
A) Pronome Relativo que:
O verbo concordará com o elemento antecedente.
Ex.
• Fui eu que quebrei a vidraça. (Eu quebrei a vidraça)
• Fomos nós que telefonamos a você. (Nós telefonamos a você)
• Estes são os garotos que foram expulsos da escola. (Os garotos foram expulsos)
B) Pronome Demonstrativo o, a, os, as + Pronome Relativo que:
O verbo concordará com o pronome demonstrativo, ficando, então, na terceira pessoa do singular,
ou na
terceira pessoa do plural.
50
Ex.
• Fui eu o que quebrou a vidraça. (O que quebrou a vidraça fui eu)
• Foste tu a que me enganou. (A que me enganou foste tu)
• Fomos nós os que telefonaram a você. (Os que telefonaram a você fomos nós)
• Fostes vós os que me engaram. (Os que me engaram fostes vós)
C) Pronome Relativo quem: O verbo ficará na terceira pessoa do singular.
Ex.
• Fui eu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fui eu)
• Foste tu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foste tu)
• Foi ele quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foi ele)
• Fomos nós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fomos nós)
• Fostes vós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fostes vós)
• Foram eles quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foram eles)
Um dos ... que
Quando o sujeito for iniciado pela expressão Um dos que, deveremos analisar o seguinte:
A) É certo que o elemento é o único a praticar a ação:
O verbo ficará no singular. Por exemplo, a frase O Corinthians é um dos times paulistas que mais
vezes foi campeão estadual tem o verbo no singular, pois é certo que, dos times de São Paulo, o
Corinthians foi mais vezes campeão - 24 vezes.
B) É certo que o elemento não é o único a praticar a ação:
O verbo ficará no plural. Por exemplo, a frase Casagrande é um dos ex-jogadores de futebol que
trabalham como comentarista esportivo tem o verbo no plural, pois é certo que, além de
Casagrande, há outros ex-jogadores de futebol, trabalhando como comentarista esportivo - Falcão,
Júnior, Tostão, Rivelino...
C) Não se sabe se o elemento é o único a praticar a ação ou não: O verbo tanto poderá ficar no
plural, quanto no singular. Por exemplo, a frase São Paulo é uma das cidades que mais sofre /
sofrem com a poluição é facultativo, pois não há como medir se São Paulo é a que mais sofre, ou se,
além dela, há outras que sofrem tanto. Outra explicação também é a questão de se querer dar
ênfase ao
elemento: se se quiser enfatizar o problema em São Paulo, coloca-se o verbo no singular.
Nenhum dos ... Que
Quando o sujeito for iniciado pela expressão Nenhum dos que, o primeiro verbo ficará no plural, e o
segundo, no singular.
Ex.
• Nenhum dos alunos que me procuraram trouxe o material.
• Nenhuma das pessoas que chegaram atrasadas tem justificativa.
Porcentagem + Substantivo
Quando o sujeito for formado por porcentagem e substantivo, existirão três regras:
51
A) Porcentagem + Substantivo, sem modificador da porcentagem:
Facultativamente o verbo poderá concordar com a porcentagem ou com o substantivo.
Ex.
• 1% da turma estuda muito.
• 1% dos alunos estuda / estudam muito.
• 10% da turma estuda / estudam muito.
• 10% dos alunos estudam muito.
B) Porcentagem + Substantivo, com modificador da porcentagem:
O verbo concordará com o modificador, que pode ser pronome demonstrativo, pronome
possessivo,
artigo...
Ex.
• Os 10% da turma estudam muito.
• Este 1% dos alunos estuda mais.
C) Mais de, menos de, cerca de, perto de, antes da porcentagem:
O verbo concordará apenas com a porcentagem.
Ex.
• Mais de 1% dos alunos estuda muito.
• Menos de 10% da turma estudam muito.
Pronomes de Tratamento
Os pronomes de tratamento são pronomes de terceira pessoa, portanto tudo que se referir a eles
deverá
estar na terceira pessoa.
Ex.
• Vossa Senhoria deve trazer seus documentos consigo.
• Vossa Excelência tem que se contentar com seus assessores.
Silepse de Pessoa
Também chamada de concordância ideológica, a silepse de pessoa é a concordância, não com a
palavra
escrita, mas sim com o que ela significa. Por exemplo, nós somos brasileiros, portanto, ao
utilizarmos
a palavra brasileiros, poderemos concordar o verbo com a idéia que essa palavra nos evoca - nós e
dizer Os brasileiros estamos torcendo pelo sucesso do Presidente.
Ex.
• Os professores nos reciclamos anualmente. (Nós nos reciclamos)
• Os alunos deveis estudar mais. (Vós deveis)
Núcleos ligados pela conjunção "e"
01) Verbo após os núcleos:
52
Ficará no plural o verbo que estiver após o sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela
conjunção e:
Ex.
• O hotel e a cidade são maravilhosos.
• Machado de Assis e Guimarães Rosa estão entre os melhores escritores do mundo.
Obs.: Quando os núcleos forem sinônimos ou estiverem formando gradação, o verbo deverá ficar
no singular.
Ex.
• "A lisura e a sinceridade freqüenta pouco o Congresso Nacional." lisura = sinceridade.
• "Cada rosto, cada voz, cada corpo lhe lembrava a amada."
• "Um olhar, um arquejar de sobrancelhas, um aceno com a cabeça bastava para a paquera ser
bem sucedida."
02) Verbo antes dos núcleos:
Facultativamente ficará no plural ou concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver
antes do
sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela conjunção e:
Ex.
• É maravilhoso o hotel e a cidade.
• São maravilhosos o hotel e a cidade.
• É maravilhosa a cidade e o hotel.
Sujeito composto por pessoas diferentes
Se o sujeito for formado por pessoas diferentes (eu, tu, ele, ela ou você), o verbo ficará no plural,
concordando com a pessoa de número mais baixo na seqüência (1ª, 2ª ou 3ª).
Não havendo a 1ª pessoa (eu ou ), e havendo a 2ª pessoa (tu ou vós), o verbo tanto poderá ficar
na 2ª
pessoa do plural, quanto na 3ª pessoa do plural.
Continuam valendo as regras anteriores, ou seja, se o verbo vier depois do sujeito composto, ficará
no
plural; se vier antes, concordará com o mais próximo ou ficará no plural.
Ex.
• Teté e eu passamos as férias em Águas de Santa Bárbara.
• Passei as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.
• Passamos as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.
• Tu e Walmor estais equivocados.
• Tu e Walmor estão equivocados.
• Estás equivocado tu e Walmor.
• Estais equivocados tu e Walmor.
• Estão equivocados tu e Walmor.
Núcleos ligados pela conjunção ou
Quando os núcleos do sujeito composto forem ligados pela conjunção ou, deve-se analisar se há ou
não
exclusão, ou seja, analisar se um elemento, ao praticar a ação, impede que o outro também a
pratique.
53
01) Havendo idéia de exclusão:
Quando houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também a
pratique, o
verbo ficará no singular.
Ex.
• Dida ou Marcos será o goleiro titular da seleção.
• O Presidente ou o Governador fará o discurso de abertura do Congresso.
02) Não havendo idéia de exclusão:
Quando não houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também a
pratique, o verbo ficará no plural.
Ex.
• Dida ou Marcos poderão ser convocados para a Copa de 2002.
• O Presidente ou o Governador estarão presentes na abertura do Congresso.
Núcleos ligados pela preposição "com"
01) Verbo após os núcleos:
Facultativamete ficará no plural ou concordará com o primeiro núcleo o verbo que estiver após o
sujeito
composto cujos núcleos sejam ligados pela preposição com.
Ex.
• O gerente com os funcionários dará início à promoção de descontos.
• O gerente com os funcionários darão início à promoção de descontos.
02) Verbo antes dos núcleos:
Concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver antes do sujeito composto cujos
núcleos
sejam ligados pela preposição com.
Ex.
• Dará início à promoção de descontos o gerente com os funcionários.
Aposto resumidor / conectivos correlatos
O Aposto resumidor é normalmente representado por pronome indefinido (tudo, nada, ninguém,
alguém, todos...) ou por pronome demonstrativo (isto, isso, aquilo...), resumindo o sujeito
composto. O verbo, excepcionalmente, concordará com o aposto resumidor.
Ex.
• Brinquedos, roupas, jogos, nada tirava a angústia daquele jovem.
• Amigos, parentes, companheiros de trabalho, ninguém se incomodou com sua ausência.
Quando o sujeito composto tem os elementos ligados por conectivos correlatos: assim ... como, não
só
... mas também, tanto ... como, nem ... nem, o verbo ficará no plural. O singular é raro.
54
Ex.
• Tanto o irmão como a esposa ignoraram seu pedido de ajuda.
• Não só Pedro mas também Eduardo estão à sua procura.
Um e outro / um ou outro / nem um nem outro
Um e outro
Quando o sujeito for a expressão um e outro, o substantivo correspondente a ela ficará no
singular, o
adjetivo no plural e o verbo facultativamente no singular ou no plural.
Ex.
• Um e outro aluno indisciplinados será punido.
• Um e outro aluno indisciplinados serão punidos.
Um ou outroQuando o sujeito for a expressão um ou outro, o verbo ficará no singular.
Ex.
• Um ou outro esteve à sua procura.
Nem um nem outroQuando o sujeito for a expressão nem um nem outro, o verbo ficará no singular,
porém há gramáticos que o admitem no plural.
Ex.
• Nem um nem outro terá coragem de se revelar.
• "Nem um nem outro compareceram."(Carlos Góis)
Verbos Especiais
01) O verbo Ser:
A) Quando o verbo ser e o predicativo do sujeito forem numericamente diferentes (um no singular,
outro
no plural), o verbo deverá ficar no plural.
Ex.
• O vestibular são as esperanças dos estudantes.
• Tudo são flores, quando se é criança.
B) Se o sujeito representar uma pessoa ou se for pronome pessoal, o verbo concordará com ele.
Ex.
• Aline é as alegrias do namorado.
• O Presidente é as esperanças do povo brasileiro.
C) Se o sujeito for uma quantidade no plural, e o predicativo do sujeito, palavra ou expressão como
muito, pouco, o bastante, o suficiente, uma fortuna, uma miséria, o verbo ficará no singular.
Ex.
55
• Cem reais é muito, por esse produto.
• Duzentos gramas de carne é pouco.
D) Na indicação de horas ou distâncias, o verbo concordará com o numeral.
Ex.
• Era meio-dia, quando ele chegou.
• São duas horas.
• É 1h58min.
E) Na indicação de datas, o verbo poderá ficar no singular, concordando com a palavra dia, ou no
plural, concordando com a palavra dias.
Ex.
• É 1º de outubro. = É dia 1º de outubro ou É o primeiro dia de outubro.
• É 15 de setembro = É dia quinze de setembro.
• São 15 de setembro = São quinze dias de setembro.
02) O verbo Haver:
O verbo haver é impessoal, no sentido de existir, de acontecer ou indicando tempo decorrido; por
isso
fica na 3ª pessoa do singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma
locução
verbal, ambos ficarão no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.
Ex.
• Havia um mês, nós estávamos à sua procura.
• Poderá haver confrontos entre os policiais e os grevistas.
• Os alunos haviam ficado revoltados.
Haja vista:
A) Com a prep. a: haver no singular; vista invariável;
Ex.
• Haja vista ao exemplo dado.
• Haja vista aos exemplos dados.
B) Sem a prep. a: haver no singular ou concorda com o substantivo; vista invariável.
Ex.
• Haja vista o exemplo dado.
• Haja vista os exemplos dados.
• Hajam vista os exemplos dados.
03) O verbo Fazer:
56
O verbo fazer é impessoal, indicando tempo decorrido e fenômeno natural; por isso fica na 3ª
pessoa do
singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma locução verbal, ambos
ficarão
no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.
Ex.
• Faz três meses que não o vejo.
• Faz 35º no verão, em Londrina.
• Deve fazer cinco anos que ele morreu.
04) Outros verbos impessoais:
Os outros verbos impessoais, que também ficam na terceira pessoa do singular, são os seguintes:
Fenômenos da natureza:
• Chove há três dias sem parar.
• Choveram pedras. Nesse caso, o verbo não é impessoal, pois o sujeito está claro.
Passar de, indicando horas:
• Já passa das 11h30.
• Já passava das oito horas, quando ela chegou.
Chegar de e bastar de, no imperativo:
• Chega de firulas! Vamos ao assunto.
• Basta de conversas, meninos!
05) Os verbos Dar, Bater e Soar:
Concordam com o sujeito, que pode ser:
A) o relógio, a torre, o sino...
Ex.
• O relógio deu quatro horas.
• O sino soou cinco horas.
B) as horas.
O numeral que marca as horas funcionará como sujeito, quando o relógio, a torre, o sino
funcionarem
como adjunto adverbial de lugar - com a prep. em, ou quando eles não aparecerem na oração.
Ex.
• No relógio, deram quatro horas.
• No sino, soaram cinco horas.
• Bateram sete horas.
06) O verbo Parecer + infinitivo:
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Quando o verbo parecer surgir antes de outro verbo no infinitivo, duas ocorrências podem
acontecer:
A) Pode ocorrer a formação de uma locução verbal. Nesse caso, o verbo parecer concordará com o
sujeito, e o verbo no infinitivo ficará invariável.
Ex.
• As meninas parecem estar nervosas.
• Os alunos parecem estudar deveras.
B) Pode ocorrer a formação de um período composto, com o verbo parecer na oração principal,
invariável, e o verbo no infinitivo, formando oração subordinada substantiva subjetiva reduzida de
infinitivo, concordando com o sujeito.
Ex.
• As meninas parece estarem nervosas.
• Os alunos parece estudarem deveras.
• Nesses dois casos, se desenvolvermos as orações, teremos:
• Parece as meninas estarem nervosas. Proveio de Parece que as meninas estão nervosas.
• Parece os alunos estudarem deveras. Proveio de Parece que os alunos estudam deveras.
07) A Partícula Apassivadora:
O verbo na voz passiva sintética, construída com o pronome se, concorda normalmente com o
sujeito. A
maneira mais fácil de se comprovar que a oração está na voz passiva sintética é passando-a para a
voz
passiva analítica: Alugam-se casas muda para Casas são alugadas. Sempre que for possível essa
transformação, o se será chamado de Partícula Apassivadora. Para relembrar esse estudo clique
aqui.
Ex.
• Entregam-se encomendas. = Encomendas são entregues por alguém.
• Ouviram-se muitas histórias. = Muitas histórias foram ouvidas.
• Sabe-se que ele não virá. = Que ele não virá é sabido.
08) O Índice de Indeterminação do Sujeito:
O pronome se, sendo índice de indeterminação do sujeito, deixa o verbo na terceira pessoa do
singular;
haverá I.I.S. quando surgir na oração VI, sem sujeito claro; VTI, com OI; VL, com PS e VTD, com
ODPrep. Para relembrar esse estudo clique aqui.
Ex.
• Morre-se de fome no Brasil.
• Assiste-se a filmes interessantes.
• Aqui se está satisfeito.
• Respeita-se a Robertoldo.
58
Exercícios
Para as questões de 01 a 32 seque o código abaixo. Assinale com “C” as alternativas corretas e
com “I “ as incorretas:
01) ( ) À autora e à leitora do romance só interessam a verdade
02) ( ) Tu e teu colega devereis comparecer ao tribunal
03) ( ) Juro que tu e tua mulher me pagam
04) ( ) Não quero que fique contra ela o pai e os amigos
05) ( ) Casarás com a prima e sereis felizes para sempre
06) ( ) Aflição, dores, tristezas, nada o fazia abandonar a luta
07) ( ) A tranqüilidade e a calma transmite segurança ao público.
08) ( ) Um grito, um gemido, um sussurro acordava a pobre mãe.
09) ( ) A viúva com o resto da família mudaram-se para Santiago
10) ( ) A riqueza ou o poder o livrou do processo
11) ( ) Alunos ou aluno farão a homenagem
12) ( ) Ler e escrever provocam entusiasmo na juventude
13) ( ) O jovem como o adulto têm os mesmos conflitos
14) ( ) Um e outro vício nega os foros da natureza
15) ( ) Mais de um atleta completaram o percurso da maratona
16) ( ) Não serei eu um dos alunos que cruzaremos os braços
17) ( ) O bando assaltou a joalheira e, depois, fugiram pelas ruas
18) ( ) Um grande número de pessoas observavam os atores
19) ( ) Os dez por cento da comissão desapareceu
20) ( ) Quantos de nós será aprovado neste concurso?
21) ( ) Os Lusíadas imortalizaram Camões
22) ( ) Não mais viajaremos, haja visto os problemas
23) ( ) Já não se fazem planos mirabolantes
24) ( ) Fala-se de festas em que se assistem a filmes instrutivos
25) ( ) A partir de agora, sou eu quem passa a transmitir o jogo
26) ( ) Com certeza ainda faltam discutir todas as questões
27) ( ) Faz muitos anos que não chovem flores em minha vida, mas houve casos de chover
tomates.
28) ( ) Tudo são apenas sonhos, pois o homem é suas cinzas
29) ( ) São seis e meia da tarde e hoje é seis de março de 1999
30) ( ) Cem mil reais é menos do que preciso
31) ( ) O herói és tu, embora a maioria sejam homens valorosos
32) ( ) Mentiras era o que me pediam, sempre mentiras.
Respostas sobre Concordância Verbal:
01) I
02) C
03) C
04) C
05) C
06) C
07) C
08) C
09) C
10) I
11) I
12) I
13) C
14) C
15) I
16) I
17) C
18) C
19) I
20) I
21) C
22) I
23) C
24) I
25) C
30) C
31) C
32) C
59
Regência Verbal
A regência estuda a relação existente entre os termos de uma oração ou entre as orações de
um
período.
A regência verbal estuda a relação de dependência que se estabelece entre os verbos e seus
complementos. Na realidade o que estudamos na regência verbal é se o verbo é transitivo
direto,
transitivo indireto, transitivo direto e indireto ou intransitivo e qual a preposição relacionada
com ele.
Verbos Transitivos Diretos
São verbos que indicam que o sujeito pratica a ação, sofrida por outro elemento, denominado
objeto direto.
Por essa razão, uma das maneiras mais fáceis de se analisar se um verbo é transitivo direto é
passar a oração para a voz passiva, pois somente verbo transitivo direto admite tal
transformação, além de obedecer, pagar e perdoar, que, mesmo não sendo VTD, admitem a
passiva.
O objeto direto pode ser representado por um substantivo ou palavra substantivada, uma
oração (oração subordinada substantiva objetiva direta) ou por um pronome oblíquo.
Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto direto são os seguintes: me, te, se, o,
a, nos, vos, os, as.
Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto direto são os seguintes: mim, ti, si,
ele, ela, nós, vós, eles, elas.
Como são pronomes oblíquos tônicos, só são usados com preposição, por isso se classificam
como
objeto direto preposicionado.
Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos diretos: Há verbos que surgirão
em mais de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.
Aspirar será VTD, quando significar sorver, absorver.
• Como é bom aspirar a brisa da tarde.
Visar será VTD, quando significar mirar ou dar visto.
• O atirador visou o alvo, mas errou o tiro.
• O gerente visou o cheque do cliente.
Agradar será VTD, quando significar acariciar ou contentar.
• A garotinha ficou agradando o cachorrinho por horas.
• Para agradar o pai, ficou em casa naquele dia.
Querer será VTD, quando significar desejar, ter a intenção ou vontade de, tencionar.
• Sempre quis seu bem.
• Quero que me digam quem é o culpado.
Chamar será VTD, quando significar convocar.
• Chamei todos os sócios, para participarem da reunião.
Implicar será VTD, quando significar fazer supor, dar a entender; produzir como conseqüência,
acarretar.
• Os precedentes daquele juiz implicam grande honestidade.
60
• Suas palavras implicam denúncia contra o deputado.
Desfrutar e Usufruir são VTD sempre.
• Desfrutei os bens deixados por meu pai.
• Pagam o preço do progresso aqueles que menos o desfrutam. (e não desfrutam dele, como
foi escrito no tema da redação da UEL em julho de 1996)
Namorar é sempre VTD. Só se usa a preposição com, para iniciar Adjunto Adverbial de
Companhia.
Esse verbo possui os significados de inspirar amor a, galantear, cortejar, apaixonar, seduzir,
atrair, olhar com insistência e cobiça, cobiçar.
• Joanilda namorava o filho do delegado.
• O mendigo namorava a torta que estava sobre a mesa.
• Eu estava namorando este cargo há anos.
Compartilhar é sempre VTD.
• Berenice compartilhou o meu sofrimento.
Esquecer e Lembrar serão VTD, quando não forem pronominais, ou seja, caso não sejam usados
com pronome, não serão usados também com preposição.
• Esqueci que havíamos combinado sair.
• Ela não lembrou o meu nome.
Verbos Transitivos Indiretos
São verbos que se ligam ao complemento por meio de uma preposição. O complemento é
denominado objeto indireto.
O objeto indireto pode ser representado por um substantivo, ou palavra substantivada, uma
oração
(oração subordinada substantiva objetiva indireta) ou por um pronome oblíquo.
Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: me, te, se,
lhe,
nos, vos, lhes.
Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: mim, ti, si,
ele,
ela, nós, vós, eles, elas.
Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos indiretos: Há verbos que surgirão
em mais
de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.
Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. a
Aspirar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.
• Aspiramos a uma vaga naquela universidade.
Visar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.
• Sempre visei a uma vida melhor.
Agradar será VTI, com a prep. a, quando significar ser agradável; satisfazer.
• Para agradar ao pai, estudou com afinco o ano todo.
Querer será VTI, com a prep. a, quando significar estimar.
61
• Quero aos meus amigos, como aos meus irmãos.
Assistir será VTI, com a prep. a, quando significar ver ou ter direito.
• Gosto de assistir aos jogos do Santos.
• Assiste ao trabalhador o descanso semanal remunerado.
Custar será VTI, com a prep. a, quando significar ser difícil. Nesse caso o verbo custar terá
como sujeito
aquilo que é difícil, nunca a pessoa, que será objeto indireto.
• Custou-me acreditar em Hipocárpio. e não Eu custei a acreditar...
Proceder será VTI, com a prep. a, quando significar dar início.
• Os fiscais procederam à prova com atraso.
Obedecer e desobedecer são sempre VTI, com a prep. a.
• Obedeço a todas as regras da empresa.
Revidar é sempre VTI, com a prep. a.
• Ele revidou ao ataque instintivamente.
Responder será VTI, com a prep. a, quando possuir apenas um complemento.
• Respondi ao bilhete imediatamente.
• Respondeu ao professor com desdém.
Caso tenha dois complementos, será VTDI, com a prep. a.
Alguns verbos transitivos indiretos, com a prep. a, não admitem a utilização do complemento
lhe. No lugar, deveremos colocar a ele, a ela, a eles, a elas. Dentre eles, destacam-se os
seguintes:
Aspirar, visar, assistir(ver), aludir, referir-se, anuir.
Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de um
substantivo
feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve ser
caracterizado pelo acento grave (à ou às).
• Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.
Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. com
Simpatizar e Antipatizar sempre são VTI, com a prep. com. Não são verbos pronominais,
portanto não
existe o verbo simpatizar-se, nem antipatizar-se.
• Sempre simpatizei com Eleodora, mas antipatizo com o irmão dela.
Implicar será VTI, com a prep. com, quando significar antipatizar.
• Não sei por que o professor implica comigo.
Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. de
Esquecer-se e lembrar-se serão VTI, com a prep. de, quando forem pronominais, ou seja,
somente
quando forem usados com pronome, poderão ser usados com a prep. de.
• Esqueci-me de que havíamos combinado sair.
• Ela não se lembrou do meu nome.
62
Proceder será VTI, com a prep. de, quando significar derivar-se, originar-se.
• Esse mau-humor de Pedro procede da educação que recebeu.
Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. em
Consistir é sempre VTI, com a prep. em. Esse verbo significa cifrar-se, resumir-se ou estar
firmado, ter por base, ser constituído por.
• O plano consiste em criar uma secretaria especial.
Sobressair é sempre VTI, com a prep. em. Não é verbo pronominal, portanto não existe o verbo
sobressair-se.
• Quando estava no colegial, sobressaía em todas as matérias.
Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. por
Torcer é VTI, com a prep. por. Pode ser também verbo intransitivo. Somente neste caso, usa-se
com a prep. para, que dará início a Oração Subordinada Adverbial de Finalidade. Para ficar mais
fácil, memorize assim: Torcer por + substantivo ou pronome. Torcer para + oração (com
verbo).
• Estamos torcendo por você.
• Estamos torcendo para você conseguir seu intento.
Chamar será VTI, com a prep. por, quando significar invocar.
• Chamei por você insistentemente, mas não me ouviu.
Verbos Transitivos Diretos e Indiretos
São os verbos que possuem os dois complementos - objeto direto e objeto indireto.
Chamar será VTDI, com a prep. a, quando significar repreender.
• Chamei o menino à atenção, pois estava conversando durante a aula.
• Chamei-o à atenção.
Obs.: A expressão Chamar a atenção de alguém não significa repreender, e sim fazer se
notado. Por exemplo: O cartaz chamava a atenção de todos que por ali passavam.
Implicar será VTDI, com a prep. em, quando significar envolver alguém.
• Implicaram o advogado em negócios ilícitos.
Custar será VTDI, com a prep. a, quando significar causar trabalho, transtorno.
• Sua irresponsabilidade custou sofrimento a toda a família.
Agradecer, Pagar e Perdoar são VTDI, com a prep. a. O objeto direto sempre será a coisa, e o
objeto indireto, a pessoa.
• Agradeci a ela o convite.
• Paguei a conta ao Banco.
• Perdôo os erros ao amigo.
63
Pedir é VTDI, com a prep. a. Sempre deve ser construído com a expressão Quem pede, pede
algo a alguém. Portanto é errado dizer Pedir para que alguém faça algo.
• Pedimos a todos que tragam os livros.
Preferir é sempre VTDI, com a prep. a. Com esse verbo, não se deve usar mais, muito mais, mil
vezes, nem que ou do que.
• Prefiro estar só a ficar mal-acompanhado.
Avisar, advertir, certificar, cientificar, comunicar, informar, lembrar, noticiar, notificar,
prevenir são VTDI, admitindo duas construções: Quem informa, informa algo a alguém ou Quem
informa, informa alguém de algo.
• Advertimos aos usuários que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.
• Advertimos os usuários de que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.
Quando houver, na oração, um verbo transitivo direto e indireto, com a prep. a, seguido de um
substantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve
ser caracterizado pelo acento grave (à ou às).
Advertimos às alunas que não poderiam usar a sala fora do horário de aula.
Verbos Intransitivos
São os verbos que não necessitam de complementação. Sozinhos, indicam a ação ou o fato.
Assistir será intransitivo, quando significar morar.
• Assisto em Londrina desde que nasci.
Custar será intransitivo, quando significar ter preço.
• Estes sapatos custaram R$50,00.
Proceder será intransitivo, quando significar ter fundamento.
• Suas palavras não procedem!
Morar, residir e situar-se sempre são intransitivos.
• Moro em Londrina; resido no Jardim Petrópolis; minha casa situa-se na rua Cassiano Ricardo.
Deitar-se e levantar-se são sempre intransitivos.
• Deito-me às 22h e levanto-me às 6h.
Ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer e dirigir-se são intransitivos. Aparentemente eles têm
complemento, pois Quem vai, vai a algum lugar. Porém a indicação de lugar é circunstância, e
não complementação. Classificamos como Adjunto Adverbial de Lugar. Alguns gramáticos
classificam como Complemento Circunstancial de Lugar.
Esses verbos exigem a prep. a, na indicação de destino, e de, na indicação de procedência.
Só se usa a prep. em, na indicação de meio, instrumento.
• Cheguei de Curitiba há meia hora.
• Vou a São Paulo no avião das 8h.
Quando houver, na oração, um verbo intransitivo, com a prep. a, seguido de um substantivo
caracterizado pelo acento grave (à ou às). • Vou à Bahia.
64
Verbos de regência oscilante
VTD ou VTI, com a prep. a
Assistir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar ajudar, prestar assistência.
• Minha família sempre assistiu o Lar dos Velhinhos.
• Minha família sempre assistiu ao Lar dos Velhinhos.
Chamar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar dar qualidade. A qualidade pode
vir precedida da prep. de, ou não.
• Chamaram-no irresponsável.
• Chamaram-no de irresponsável.
• Chamaram-lhe irresponsável.
• Chamaram-lhe de irresponsável.
Atender pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.
• Atenderam o meu pedido prontamente.
• Atenderam ao meu pedido prontamente.
Anteceder pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.
• A velhice antecede a morte.
• A velhice antecede à morte.
Presidir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.
• Presidir o país.
• Presidir ao país.
Renunciar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.
• Nunca renuncie seus sonhos.
• Nunca renuncie a seus sonhos.
Satisfazer pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.
• Não satisfaça todos os seus desejos.
• Não satisfaça a todos os seus desejos.
VTD ou VTI, com a prep. de
Precisar e necessitar podem ser VTD ou VTI, com a prep. de.
• Precisamos pessoas honestas.
• Precisamos de pessoas honestas.
Abdicar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de, e também VI.
• O Imperador abdicou o trono.
• O Imperador abdicou do trono.
• O Imperador abdicou.
Gozar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de.
• Ele não goza sua melhor forma física.
• Ele não goza de sua melhor forma física.
VTD ou VTI, com a prep. em
Acreditar e crer podem ser VTD ou VTI, com a prep. em.
• Nunca cri pessoas que falam muito de si próprias.
• Nunca cri em pessoas que falam muito de si próprias.
65
Atentar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com as prep. para e por.
• Em suas redações atente a ortografia.
• Deram-se bem os que atentaram nisso.
• Não atentes para os elementos supérfluos.
• Atente por si, enquanto é tempo.
Cogitar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com a prep. de.
• Começou a cogitar uma viagem pelo litoral brasileiro.
• Hei de cogitar no caso.
• O diretor cogitou de demitir-se.
Consentir pode se VTD ou VTI, com a prep. em.
• Como o pai desse garoto consente tantos agravos?
• Consentimos em que saíssem mais cedo.
VTD ou VTI, com a prep. por
Ansiar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por.
• Ansiamos dias melhores.
• Ansiamos por dias melhores.
Almejar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por, ou VTDI, com a prep. a.
• Almejamos dias melhores.
• Almejamos por dias melhores.
• Almejamos dias melhores ao nosso país.
VI ou VTI, com a prep. a
Faltar, Bastar e Restar podem ser VI ou VTI, com a prep. a.
• Muitos alunos faltaram hoje.
• Três homens faltaram ao trabalho hoje.
• Resta aos vestibulandos estudar bastante.
Na última frase apresentada não há erro algum, como à primeira vista possa parecer. A
tendência é de o
aluno concordar o verbo estudar com a palavra vestibulando, construindo a oração assim:
Resta os
vestibulandos estudarem.
Porém essa construção está totalmente errada, pois o verbo é transitivo indireto, portanto resta
a
alguém. Então vestibulandos funciona como objeto indireto e não como sujeito. Nenhum verbo
concorda com o objeto indireto.
Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de um
substantivo
caracterizado pelo
acento grave (à ou às).
Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.
VI ou VTD
Pisar pode ser VI ou VTD. Quando for VI, admitirá a prep. em, iniciando Adjunto Adverbial de
Lugar.
• Pisei a grama para poder entrar em casa.
• Não pise no tapete, menino!
66
Exercícios Sobre Regências Verbal e Nominal
Para o exercícios de 01 a 19, marcará com “C” as alternativas corretas e com “I “ as incorretas:
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
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A greve geral não agradou os diretores.
Você aspirava ao cargo? Sim, aspirava-lhe.
O residente assiste o cirurgião na operação
Não atenderam seu pedido por falta de amparo legal
Quero-a para esposa e companheira
Vamos proceder uma investigação minuciosa
Devemos visar, acima de tudo ao bem da família
Às vezes, chamavam- o tolo e arrogante
O pai custava sentir a revolta do filho
Já respondi todos os cartões
Supressão da liberdade implica, não raro, em violência
Lembrei-me que era tarde e corri
Avisei-o que os fiscais chegaram
Obedecia-lhe porque o respeitava
Aos amigos, perdoa-lhes todas as ofensas
Os guias ainda não foram pagos
À vida prefere a honra
Afinal, simpatizei-me com a proposta...
Lemos e gostamos muito de seus poemas
Para as questões de 20 a 22, assinale a alternativa, preenchendo as lacunas corretamente:
20) Obedeça- ___, estime-___ e ___ sempre que precisar
a) os – os- recorra a eles
b) lhes – os – recorra a eles
c) os – lhes – recorra-lhes
d) lhes – lhes – recorra-lhes
21) Os encargos ______nos obrigaram são aqueles _____o diretor se referiu
a) de que, que
b) a que, a que
c) a cujos, cujo
d) de que, de que
22) Alguns demonstram verdadeira aversão _______ exames, porque nunca se empenharam o
suficiente _____ utilização do tempo ______ dispunham para o estudo
a) por, com, que
b) a, na, que
c) a, na, de que
d) com, na, que
23) Assinale a incorreta:
a) O trabalho ansiava o rapaz
b) O rapaz ansiava por trabalho
c) Você anseia uma vaga
d) Aquele espetáculo ansiava-o
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24) Ansiava ____ encontrá-lo, a fim de ____ pelo sucesso:
a) por, cumprimentá-lo
b) por cumprimentar-lhe
c) em, cumprimentar-lhe
d) para cumprimentar-lhe
25) Assinale a substituição errada:
a) Aspiro o pó – Aspiro-o
b) Aspiro ao sucesso – Aspiro-lhe
c) Aspiro ao sucesso – Aspiro a ele
d) Aspiramos o ar – Aspiramo-lo
26) Assinale a substituição incorreta:
a) O médico assiste o doente – O médico assiste-o
b) O médico assiste ao doente – O médico assiste-lhe
c) O doente assiste ao programa – O doente assiste-lhe
d) O doente assiste ao programa – O doente assiste a ele
27) Assinale a opção em que o verbo ASSISTIR é empregado com o mesmo sentido que
apresenta em :
“Não direi que assisti às alvoradas do Romantismo”:
a) Não se pode assistir indiferente a um ato de injustiça
b) Não assiste a você o direito de me julgar
c) É dever do médico assistir a todos os enfermos
d) Em sua administração, sempre foi assistido por bons conselheiros
28) Leia os períodos e selecione, depois, a opção correta:
1.
2.
3.
4.
O povo assistiu ao jogo? Sim, o povo assistiu a ele
O professor aspirava o cargo de diretor da escola
A enfermeira não assistiu o jogo porque assistia a um doente
Os que vestem roupas delicadas e finas são os que assistem nos palácios dos reis
a) Apenas os períodos 1 e 4 são corretos
b) Todos estão corretos
c) Apenas os períodos 2 e 3 são corretos
d) Apenas o 1º período é correto
29) Assinale a correta:
a) Custa-me descobrir qual a correta
b) Custei a resolver os problemas
c) Custei rever a matéria
d) Custou-me para explicar a ele
68
a) Esqueceu-me a carteira
b) Eu me esqueci da carteira
c) Eu esqueci da carteira
d) Esqueceu-se a carteira
31) A menina ______olhos eu não esqueço, não me sai do pensamento:
a) de cujos os
b) cujos
c) cujos os
d) de cujos
32) Correlacione as orações:
1. Era uma grande data...
2. Leu o livro...
3. Ouviu o tiro...
( ) cujas páginas o encantaram
( ) de que nunca me esqueço
( ) sobre cujas páginas dormiu
( ) que nunca esqueço
( ) a que escapou
a) 2-1-2-1-3
b) 3-1-2-1-2
c) 2-1-2-2-3
d) 1-1-2-1-3
33) Preencha as lacunas:
1. A posição ____ visamos é nobre
2. Foram muitos os documentos _____visamos
3. Ninguém pode prescindir ______ ajuda de outrem
4. Sempre quis muito ____- seus filhos e estes também _____ querem muito
5.Seus modos nos se coadunam _____ os princípios de boa educação
A seqüência correta será:
a) que – a que – da – a – o - sob
b) a que – que – da – a – lhe - com
c) que – que – a - os – lhe - com
d) por que - de que - a - os – o - contra
34) Considere os períodos abaixo:
1.
2.
3.
4.
5.
Fabiano preferiu ficar escondido do que renunciar à sua liberdade
Custou-lhe muito falar com Sinhá Vitória a respeito dos meninos
Agora os meninos tinham obrigação de obedecê-los
Sempre se lembraria que a seca a tudo esturricava
Jamais lhe perdoaria as humilhações recebidas
a) Corretos 1 e 4
b) Corretos 2 e 5
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c) Corretos 2 e 3
d) Corretos 1 e 2
a) Prefiro ficar aqui do que sair
b) Eles aspiram o ar puro do mar
c) Estas calças lhe servem bem
d) Todos querem bem a seus pais
36) Onde há erro de regência?
a) Esqueceram-lhe os compromissos
b) Nós lhe lembramos o compromisso
c) Eu esqueci dos compromissos
d) Não me lembram tais palavras
37) Que homem você viu? Este é o homem que eu vi.
1. Este é o menino ______ eu chamei
2. Este é o menino ______ eu vim
3. Este é o menino ______ eu assisti
4. Este é o menino ______ eu me esqueci
5. Este é o menino ______ eu esqueci
a) quem, com que, a que, de que, que
b) que, com que, que, quem de, que
c) que, com quem, a quem, de quem, que
d) que, que, a que, que, de que
38) Indique a frase correta:
a) Cheguei tarde a casa ontem
b) Resido à rua da Independência
c) Viso uma vida e um emprego melhor
d) Trouxe o livro que você se refere
39) Assinale a frase correta:
a) Devo interromper-lhe para fazer-lhe algumas perguntas
b) Não posso atendê-lo agora, mas agradeço-lhe a visita
c) Autorizei-lhe a sair agora mesmo
d) Se nossa conversa não lhe atrapalha, sua irritação é porque lhe impediram de entrar na sala
40) Assinale a frase incorreta:
a) Abraçou os amigos com carinho
b) Deus assiste os infelizes
c) Chamam ao diabo de cão
d) Esta é a primeira vez que o desobedeço, pois sempre lhe quis bem
41) Assinale a alternativa com erro, se houver:
a) Sabemos que o impediram de entrar na sala, mas informo-lhe que sua inscrição foi aceita
b) Só não o chamaram de santo e ainda lhe dizem que o amam
c) Avise o aluno de que a prova versará sobre todo o conteúdo
d) Todas estão corretas
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42) Incorreta:
a) Informei-o de nossos planos
b) Informei-lhe nossos planos
c) Informei-lhe de nossos planos
43) Incorreta:
a) Incumbiram-lhe das compras
b) Cientifiquei os candidatos das deliberações tomada
c) Não vou comparecer à reunião de hoje
44) Incorreta:
a) O fiscal mora na Rua Santos Paiva
b) Jamais perdoou aos que fugiram
c) Sua falta implica rescisão de contrato
45) Incorreta:
a) Ela presidiu aos exames finais
b) A secretária acedeu o convite
c) Queremos muito aos nossos mestres
46) Incorreta:
a) Devemos, acima de tudo, visar ao bem do próximo
b) Não respondi, ainda, ao telegrama
c) Não lhe assiste tal direito
47) Incorreta:
a) É dela a casa em que sempre vou
b) O resultado a que se chegou foi surpreendente
c) Esta é a chave com que abrirei o cofre
48) Incorreta:
a)
b)
d)
d)
Abraçou-o
Encontrou-o
Obedeço-o
Respeito-o
49) Assinale a alternativa com erro de regência:
a) Alguns políticos têm hábitos com que não simpatizamos
b) Analise o fato a que o povo se insurgiu
c) Este é o líder por cuja causa lutaste?
d) Um novo Plano Econômico implicará reações imprevisíveis
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Respostas Sobre Regências Verbal e Nominal:
01) I
02) I
03) C
04) C
05) C
06) I
07) C
08) I
09) I
10) I
11) I
12) I
26) B
27) C
28) A
29) A
30) A
31) C
32) B
33) A
34) B
35) B
36) A
37) C
38) C
39) A
40) B
41) D
42) D
43) C
44) A
45) D
46) B
47) D
48) A
49) C
50)
13) I
14) I
15) C
16) C
17) C
18) C
19) I
20) I
21) B
22) B
23) C
24) C
25) A
CRASE
A palavra crase provém do grego (krâsis) e significa mistura. Na língua portuguesa, crase é a fusão de duas
vogais idênticas, mas essa denominação visa a especificar principalmente a contração ou fusão da
preposição a com os artigos definidos femininos (a, as) ou com os pronomes demonstrativos a, as, aquele,
aquela, aquilo, aquiloutro, aqueloutro .
Para saber se ocorre ou não a crase, basta seguir três regras básicas:
01) Só ocorre crase diante de palavras femininas, portanto nunca use o acento grave indicativo de crase
diante de palavras que não sejam femininas.
Ex.
O sol estava a pino. Sem crase, pois pino não é palavra feminina.
Ela recorreu a mim. Sem crase, pois mim não é palavra feminina.
Estou disposto a ajudar você. Sem crase, pois ajudar não é palavra feminina.
02) Se a preposição a vier de um verbo que indica destino (ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer,
dirigir-se...), troque este verbo por outro que indique procedência (vir, voltar, chegar...); se, diante do
que indicar procedência, surgir da, diante do que indicar destino, ocorrerá crase; caso contrário, não
ocorrerá crase.
Ex.
Vou a Porto Alegre. Sem crase, pois Venho de Porto Alegre.
Vou à Bahia. Com crase, pois Venho da Bahia.
Obs.: Não se esqueça do que foi estudado em Artigo.
03) Se não houver verbo indicando movimento, troca-se a palavra feminina por outra masculina; se,
diante da masculina, surgir ao, diante da feminina, ocorrerá crase; caso contrário, não ocorrerá crase.
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Ex.
Assisti à peça. Com crase, pois Assisti ao filme.
Paguei à cabeleireira. Com crase, pois Paguei ao cabeleireiro.
Respeito as regras. Sem crase, pois Respeito os regulamentos.
Casos especiais
01) Diante das palavras moda e maneira, das expressões adverbiais à moda de e à maneira de, mesmo
que as palavras moda e maneira fiquem subentendidas, ocorre crase.
Ex. Fizemos um churrasco à gaúcha.
Comemos bife à milanesa, frango à passarinho e espaguete à bolonhesa.
Joãozinho usa cabelos à Príncipe Valente.
02) Nos adjuntos adverbiais de modo, de lugar e de tempo femininos, ocorre crase.
Ex. à tarde, à noite, às pressas, às escondidas, às escuras, às tontas, à direita, à esquerda, à vontade, à
revelia ...
03) Nas locuções prepositivas e conjuntivas femininas ocorre crase.
Ex. à maneira de, à moda de, às custas de, à procura de, à espera de, à medida que, à proporção que...
04) Diante da palavra distância, só ocorrerá crase, se houver a formação de locução prepositiva, ou seja,
se não houver a preposição de, não ocorrerá crase.
Ex. Reconheci-o a distância.
Reconheci-o à distância de duzentos metros.
05) Diante do pronome relativo que ou da preposição de, quando for fusão da preposição a com o
pronome demonstrativo a, as (= aquela, aquelas).
Ex. Essa roupa é igual à que comprei ontem.
Sua voz é igual à de um primo meu.
06) Diante dos pronomes relativos a qual, as quais, quando o verbo da oração subordinada adjetiva
exigir a preposição a, ocorre crase.
Ex. A cena à qual assisti foi chocante. (quem assiste assiste a algo)
07) Quando o a estiver no singular, diante de uma palavra no plural, não ocorre crase.
Ex. Referi-me a todas as alunas, sem exceção.
Não gosto de ir a festas desacompanhado.
08) Nos adjuntos adverbiais de meio ou instrumento, a não ser que cause ambigüidade.
Ex. Preencheu o formulário a caneta.
Paguei a vista minhas compras.
Nota: Modernamente, alguns gramáticos estão admitindo crase diante de adjuntos adverbias de meio,
mesmo não ocorrendo ambigüidade.
09) Diante de pronomes possessivos femininos, é facultativo o uso do artigo, então, quando houver a
preposição a, será facultativa a ocorrência de crase.
Ex. Referi-me a sua professora.
Referi-me à sua professora.
10) Após a preposição até, é facultativo o uso da preposição a, portanto, caso haja substantivo feminino
à frente, a ocorrência de crase será facultativa.
Ex. Fui até a secretaria.
Fui até à secretaria.
11) A palavra CASA:
A palavra casa só terá artigo, se estiver especificada, portanto só ocorrerá crase diante da palavra casa
nesse caso.
Ex. Cheguei a casa antes de todos.
Cheguei à casa de Ronaldo antes de todos.
73
12) A palavra TERRA:
Significando planeta, é substantivo próprio e tem artigo, conseqüentemente, quando houver a preposição
a, ocorrerá a crase; significando chão firme, solo, só tem artigo, quando estiver especificada, portanto só
nesse caso poderá ocorrer a crase.
Ex. Os astronautas voltaram à Terra.
Os marinheiros voltaram a terra.
Irei à terra de meus avós.
Exercícios
Para as questões de 01 a 34, assinale com ”C” as frases corretas e com “I “as Incorretas:
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
(
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A assistência às aulas é indispensável
É expressamente proibida a entrada de pessoas estranhas
Nunca te dirijas à pessoas despreparadas
Não vai a festa nem a igreja: não vai a parte alguma
Usarias um bigode à Salvador Dali?
Notícias ruins vêm à jato, as boas à cavalo
Esta novela nem se compara a que assistimos
Não me referi a essas caixas, mas as que estão na sala
Florianópolis possui muitas praias, as quais visitaremos
Prefiro esta matéria a aquela que estudávamos
Obedecerei àquilo que for determinado em lei
O deputado foi a Grécia comprar vinho
O professor foi a Taguatinga comprar pinga
Vocês, caros alunos, ainda visitarão a Europa
Gostaria de ir a Curitiba dos pinheirais
Chegou a casa e logo se jogou na cama
Jamais voltou à casa paterna
Irei a cada de meus pais
Os turistas foram à terra comprar flores
Os marujos desconheciam à terra do capitão
Acabarão chegando à terra dos piratas
Será que aqueles astronautas voltarão a Terra?
A polícia observava os manifestantes a distância
Via-se, a distância de cem metros, uma pequena rocha
Diga a Adriana que a estamos esperando
Avisa a Adriana, minha filha, que amanhã teremos prova
O diretor fez alusões a sua classe e não a minha
O cônsul enviou vária cartas as suas filhas
O conselheiro jamais perdoou a Dona Margarida
Esta alameda frondosa vai até à chácara de meu pai
Os meninos cheiravam a cola
Eles viviam à toa, mas sempre à procura de dinheiro
Enriqueciam a medida que os vizinhos se empobreciam
Estamos esperando desde às oito horas da manhã
35) Nas manchetes a seguir, assinale a alternativa em que não ocorre crase:
a) Cárter acusa Israel de criar obstáculos a paz
b) Presidente sírio pede a ajuda do Parlamento par vencer a corrupção
c) Itália pede a Alemanha extradição de nazistas
d) Poço na bacia de Campos leva Petrobrás a maior jazida já descoberta
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36) Assinale a alternativa com erro:
a) Você já esteve em Roma? Eu irei logo a Roma
b) Refiro-me à Roma antiga, na qual viveu César
c) Fui a Lisboa de meus avós, pois lá todas as coisas têm gosto da minha infância
d) Já não agrada ir a Brasília. A gasolina está muito cara
37) Marque a alternativa em que a crase é facultativa:
a) Contei o caso à Maria
b) Paguei o que devia à dona da loja
c) Saiu às quinze horas
d) Por desobedecer às regras do jogo, fui expulso
38) A crase está errada na alternativa:
a) Fiz alusão à Roma antiga
b) Fazes referências à criaturas estranhas
c) Saíram às pressas
d) Obedecendo à ordem geral, compareceu ao desfile
39) Não ocorre crase:
a) Pediu desculpas a S. Exª
b) Assistiremos a missa
c) não o levaremos aqueles sombrios lugares
d) Lá estaremos as dezessete horas
40) ____noite, todos os operários voltaram ____ fábrica e só deixaram o serviço _____ uma hora da
manhã:
a) Há – à - à
b) A – a - a
c) À – à - à
d) À – a - há
41) Assinale a alternativa em que a lacuna da primeira frase deve ser preenchida com a e a da Segunda
com à:
a)
I. Regresso ___ casa paterna tal qual filho
I. As moças não gostam de andar ___ cavalo.
pródigo
II. Ele percorreu o Brasil de ponta ___ ponta
II. Quem tem boca vai ___ Roma
b)
d)
I. Essa é a tua caneta, eu me refiro ____ minha
I. Apresento minhas desculpas ___ Vossa
II. Ele quer as coisa ___ ferro e fogo
Excelência
c)
II O menino voltou ___ escola com novo ânimo
42) Preencha corretamente as lacunas:
1. Apesar da insistência, não compareci ___
jantar
2. Ganhou uma jóia semelhante ___ que lhe
haviam roubado
3. Naquele dia, não atendeu ___ nenhuma
chamada
4. Aludiu ___ outras obras do autor
a) aquele – à – a - à
b) aquele – a – à - a
c) àquele – à – à - a
d) àquele – à – a – a
43) Preencha corretamente as lacunas:
1. Dirigiu-se ___ cada um em particular
2. Encostou a cabeça ___ parede
3. Todos vão ___ festa
4. Voltou apressado ___ casa do pai
5. O carro estava ___ uma distância de 50 passos
a) a – a – à – a – a
b) a – à – a – a- à
c) a – à – a – à - a
75
d) à – a – a – à - a
44) “Ele foi ___ cidade; dirigiu-se ___ referida pensão e aí, pondo-se ___ vontade, pediu ___ criada um
cozido ___ portuguesa”:
a) à – à – a – a – à
b) à – a – a – a – à
c) a – a – a – à – à
d) à – à – à – à - à
45) “Agradeço ___ Vossa Senhoria ___ oportunidade para manifestar minha opinião ___ respeito.”
a) à – a – à
b) à – a – a
c) a – a – à
d) a – a – a
46) Muita atenção, observe os períodos abaixo:
I. Sempre que ia à Rio Pardo, Maneco Terra costumava apresentar os seus cumprimentos à velha mãe
II. Graças à sua formação, ele está sempre mais predisposto ao perdão do que à justiça
III. Dedica-se com carinho à família, ao amanho da terra e às suas lavouras e plantações
IV. Solicito a V. Exº que dê permissão a esta funcionária para apresentar-se a nova repartição
V. Aspira, há muito, à nomeação para ao cargo a que tem direito adquirido e indiscutível
VI. A Aeronáutica colocou vários helicópteros à disposição, à fim de socorrer a todos os atingidos pelo
terremoto
A alternativa em que todos acentos indicadores da crase estão corretos é:
a) II, II, V, VI
b) II, III, V,
c) II, IV.
d) I, III
47) “____ esperança jamais _____ de acabar enquanto você tiver forças para vencer _____ decepções,
energia para superar ____ dificuldades ____ que todos estamos sujeitos:
a) A – há – as – as – a
b) À – há – às – as – a
c) A – a – as – as – a
d) A – há – às – as – à
48) Assinale o período em que há 2 casos de crase:
a) Chegando a casa, achou abertas as janelas
b) Agradecia as colegas os elogios feitos a pesquisa que apresenta
c) Referindo-se a poesia romântica, fez comentários a respeito de Castro Alves
d) Indiferentes as queixas, ia respondendo a pergunta
49) Examinando as sentenças:
- Refiro-me àquilo que discutimos
- Chegamos à Argentina de madrugada
- Ele era insensível à dor
- Dedico minhas poesia à Rita Mara
a) apenas uma está correta
b) apenas duas estão corretas
c) apenas três estão corretas
d) todas estão corretas
50) É preciso completar com à:
1. O deputado usou uma tática idêntica ___ que a oposição utilizara
2. A máquina de votar reduz ___ zero o número de seções eleitorais
3. Outros ataques se dirigem ___ técnica utilizada no filme
4. O filme passa abruptamente de cenas na alta sociedade ___ execução de prisioneiros
a) sim, não, sim, sim
b) não, não, não, não
c) sim, sim, não, sim
76
d) não , sim, sim não
51) Qual a alternativa conveniente?
1. Aquela é a moça ___ que aludi
2. Visei a alcançar ___ função
3. Os livros pertencem ao irmão e ___ irmã
4. Chegando ___ estação, João levantou-se
a) a – aquela – à - à
b) a – àquela – à - a
c) à – aquela – à - à
d) à – àquela – à – à
52) Em que frase o “A” não recebeu o acento grave corretamente:
a) O poeta chama ira à brutalidade, à violência da luta
b) Quanto às iras impotentes, são as mesmas sempre desprezíveis
c) À cólera se segue a aflição, que nos traz o arrependimento
d) Acredito que à ira nada se atreve, sem que a alma o consinta
53) Em que frase o “A” deve receber o acento indicador da crase?
a) Não me refiro aqui senão a catástrofes individuais
b) Assistiu a cena, sem que suas feições denotassem ressentimento
c) A que levam essas questões? A conhecer a ira, a conhecê-la bem
d) Não se atente a um mal menor quando um maior nos ameaça
54) Complete as lacunas:
1. Os convidados sentaram-se ___ mesa de jantar
2. Compareci ___ cerimônia de posse do novo governador
3. Não tendo podido ir ___ faculdade hoje, prometo assistir ____ todas as aulas amanhã
a) à – a – a - à
b) na – na – à - a
c) à – à – à - a
d) há – na – à – à
55) Não devemos atribuir ___ ciência ___ responsabilidade pelas páginas ruins que a humanidade venha
___ escrever:
a) à – a - a
b) a – à – à
c) à – à - a
d) a – à - a
56) A vida comunitária impõe ___ todas as pessoas certas restrições e obriga-nos a submeter ___ nossa
vontade pessoal ___ vontade da maioria:
a) a – a - à
b) a – à – à
c) à – à - a
d) à – à - à
57) Preencha s lacunas:
1. Daqui ___ duas hora, dou-lhe isto pronto
2. Isto aconteceu ___ muitos anos
3. Daí ___ dias encontrei-o solto
a) a – há - a
b) à – a – à
c) às – a - há
d) a – a - a
58) Todas ___ Sexta-feira vamos ___ faculdade ___ pé, percorrendo a rua XV de ponta ___ponta:
a) às – à – a - a
b) às – à – à - a
c) às – à – à - à
d) as – à – a - a
77
59) Em que lacuna empregaríamos crase?
a) Joana esteve, ___ noite, em minha casa
b) Voltei ___ casa muito tarde
c) O tribuno referia-se ___ quaisquer pessoa
d) Estamos na vila ___ vinte anos
60) “Estou ___ seu dispor ___ qualquer hora da tarde, ___ menos que surja algum imprevisto:
a) a – à – à
b) à – à – a
c) à – à – à
d) a – a – a
61) “Estava ___ voltas com um problema, mas planejava, daí ___ pouco, ir ___ casa do comendador:
a) às – à - à
b) às – à - a
c) as - a - à
d) às – a – à
62) “As questões apresentadas ___ alunas do terceiro ano eram semelhantes ___ que enviamos ___ se
a) às – às - a
b) às – às - à
c) às – as - à
d) as – as – à
63) ”Resistirei ___ pressão, pois estou prestes ___ transferir-me e devo evitar aborrecimentos ___ que
confiaram em mim:
a) à – a – às
b) a – à - às
c) à – à - às
d) a – a- às
64) Foi ___ conselho de amigos que se dirigiu ___ esse médico de quem ___ muito ouvira falar:
a) à – à - há
b) a – a - à
c) a – à – à
d) a – a - há
Respostas Sobre Crase
78
01) C
02) C
03) I
04) C
05) C
06) I
07) I
08) I
09) C
10) I
11) C
12) I
13) C
14) C
15) I
16) C
17) C
18) C
19) I
20) I
21) C
22) I
23) C
24) I
25) C
26) I
27) I
28) I
29) C
30) C
31) C
32) C
33) I
34) I
35) B
36) C
37) A
38) B
39) A
40) C
41) D
42) D
43) C
44) D
45) D
46) B
47) A
48) B
49) D
50) A
51) A
52) D
53) B
54) C
55) A
56) A
57) A
58) D
59) A
60) D
61) D
62) B
63) A
64) D
79
Significação das palavras (Semântica)
Para os menos avisados, semântica é a parte da gramática que estuda o sentido e a aplicação das palavras em
um contexto.
Assim sendo, a palavra manga pode ter alguns significados dependendo o contexto.
Vejamos a palavra nas orações “Me lambuzo todo chupando manga” e “Não posso sair com essa manga
rasgada”.
Será que temos o mesmo significado para a palavra manga nas duas orações? Com certeza, não.
Na primeira oração, a palavra tem como significado o fruto da mangueira; já no segundo, ela é uma parte de uma
peça do vestuário.
A esta característica das palavras apresentarem a mesma escrita, mas significados diferentes, quando aplicadas
em um contexto, chamamos polissemia.
No começo deste artigo encontramos um verbo que, dependendo do contexto, pode ter significados diferentes:
cair.
Esse verbo em “ele cai sempre que anda de patins” tem a mesma idéia que “essa questão sempre cai na prova”?
Evidentemente que não, como você bem percebeu.
Na primeira oração, o verbo cair está empregado no modo denotativo, da forma que se imagina seu emprego
ou, como preferem alguns, da forma que ele é encontrado nos dicionários; na segunda, o verbo cair depende do
contexto para ser identificado sendo, então, empregado no modo conotativo. Cair na prova não é despencar em
cima do teste avaliativo escrito; é tão somente constar um determinado assunto na tal citada prova.
Note que uma palavra – que expressa idéia, conceito, ações – pode ser apresentada em um sentido real ou
figurado.
A isso, temos os conceitos de denotação quando uma palavra por si só expressa um significado, com seu valor
objetivo, real, comum em qualquer dicionário e o conceito de conotação quando ela é expressa em sentido
figurado, subjetivo, que depende de uma interpretação do contexto.
Polissemia: é quando uma palavra tem mais de uma significação. Exemplos:
Mangueira => tubo de borracha ou de plástico para regar plantas ou apagar incêndios; árvore frutífera; grande
curral de gado.
Pena => pluma; peça de metal para escrever; punição; dó.
Velar => cobrir com véu; vigiar; cuidar; relativo ao véu do paladar.
Podemos citar ainda como exemplos de palavras polissêmicas, o verbo Dar e os substantivos linha e ponto,
que tem dezenas de acepções.
Sentido próprio e sentido figurado: As palavras podem ser empregadas no sentido próprio ou no sentido
figurado.
Observe:
Construí um muro de pedra. ( sentido próprio)
Ela tem um coração de pedra. ( sentido figurado)
80
A água pingava lentamente. ( sentido próprio)
As horas pingavam de maneira monótona. ( sentido figurado)
Denotação e Conotação: Observe a palavra em destaque destes exemplos:
Comprei uma correntinha de ouro.
Cássia nadava em ouro.
No primeiro exemplo, a palavra ouro denota ou designa simplesmente o conhecido metal precioso, brilhante, de
cor amarela: tem sentido próprio, real, denotativo.
No segundo, ouro sugere ou evoca riquezas, opulência, poder, glória, luxo, prazeres: tem sentido conotativo,
possui várias conotações ( idéias associadas, sentimentos, evocações que irradiam da palavra).
Como se vê, certas palavras têm grande poder evocativo, uma extraordinária carga semântica; são capazes de
sugerir muito mais do que o objeto designado, desencadeando, conforme a situação, idéias, sentimentos e
emoções de toda ordem. Quantas coisas podem sugerir palavras conotativas como selva, mar, praia, sol, festa!
COLOCAÇÃO PRONOMIAL
Próclise: é a colocação dos pronomes oblíquos átonos antes do verbo. Usa-se a próclise, quando houver
palavras atrativas. São elas:
a) Palavras de sentido negativo.
- Ela nem se incomodou com meus problemas.
b) Advérbios.
- Aqui se tem sossego, para trabalhar.
c) Pronomes Indefinidos.
- Alguém me telefonou?
d) Pronomes Interrogativos.
- Que me acontecerá agora?
e) Pronomes Relativos
- A pessoa que me telefonou não se identificou.
f) Pronomes Demonstrativos Neutros.
- Isso me comoveu deveras.
g) Conjunções Subordinativas.
- Escrevia os nomes, conforme me lembrava deles.
Mesóclise: É a colocação pronominal no meio do verbo.A mesóclise é usada:
1) Quando o verbo estiver no futuro do presente ou futuro do pretérito, contanto que esses verbos não estejam
precedidos de palavras que exijam a próclise.
Ex.: Realizar- se-á, na próxima semana, um grande evento em prol da paz no mundo.
Não fosse os meus compromissos, acompanhar- te-ia nessa viagem.
Ênclise: É a colocação pronominal depois do verbo.A ênclise é usada quando a próclise e a mesóclise não forem
possíveis:
1) Quando o verbo estiver no imperativo afirmativo.
Ex.: Quando eu avisar, silenciem- se todos.
81
2) Quando o verbo estiver no infinitivo impessoal.
Ex.: Não era minha intenção machucar- te.
3) Quando o verbo iniciar a oração.
Ex.: Vou- me embora agora mesmo.
4) Quando houver pausa antes do verbo.
Ex.: Se eu ganho na loteria, mudo- me hoje mesmo.
5- Quando o verbo estiver no gerúndio.
Ex.: Recusou a proposta fazendo- se de desentendida.
Colocação pronominal nas locuções verbais
1) Quando o verbo principal for constituído por um particípio
a) O pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar. Ex.: Haviam- meconvidado para a festa.
b) Se, antes do locução verbal, houver palavra atrativa, o pronome oblíquo ficará antes do verbo auxiliar. Ex.:
Não me haviam convidado para a festa.
2) Quando o verbo principal for constituído por um infinitivo ou um gerúndio:
a) Se não houver palavra atrativa, o pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar ou depois do verbo principal.
Ex.: Devo esclarecer- lhe o ocorrido/ Devo- lhe esclarecer o ocorrido.
Estavam chamando- me pelo alto-falante./ Estavam- me chamando pelo alto-falante.
b) Se houver palavra atrativa, o pronome poderá ser colocado antes do verbo auxiliar ou depois do verbo
principal.
Ex.: Não posso esclarecer- lhe o ocorrido./ Não lhe posso esclarecer o ocorrido.
Não estavam chamando-me./ Não me estavam chamando.
Observações importantes
Emprego de o, a, os, as
1) Em verbos terminados em vogal ou ditongo oral os pronomes o,a,os,as não se alteram. Ex.: Chame- o agora.
Deixei- a mais tranqüila.
2) Em verbos terminados em r, s ou z, estas consoantes finais alteram-se para lo, la, los, las. Ex.:
(Encontrar)Encontrá- lo é o meu maior sonho. (Fiz) Fi- lo porque não tinha alternativa.
3) Em verbos terminados em ditongos nasais (am, em, ão, õe, õe,), os pronomes o, a, os, as alteram-se para no,
na, nos, nas.
Ex.: Chamem- no agora. Põe- na sobre a mesa.
4) As formas combinadas dos pronomes oblíquos mo, to, lho, no-lo, vo-lo, formas em desuso, podem ocorrer em
próclise, ênclise ou mesóclise. Ex.: Ele mo deu. (Ele me deu o livro).
REVISANDO
Denomina-se colocação pronominal o conjunto de regras referentes à colocação dos pronomes pessoais, oblíquos
e átonos que funcionam comocomplementos: me, te, se, o, lhe, a, nos, vos, se, os, as, lhes.
Relativamente ao verbo, do qual dependem colocar-se antes (próclise), no meio (mesóclise) e depois (ênclise)
dele.
Próclise - é de regra com:
82
1. palavras de sentido negativo.
“Ninguém me ama, ninguém me quer...”
2. pronome indefinido.
Tudo me parece impossível
3. pronome relativo.
Tudo quanto me disseste é falso.
4.com certos advérbios.
Bem se vê que lá se vive melhor.
Obs.: se depois do advérbio vier vírgula, ocorre ênclise:
Aqui se fala muito.
Aqui, fala-se muito.
5. conjunções subordinadas.
“Quando meu bem-querer me vir, estou certo...”
Se você o encontrar,avise-o de que...
6. Gerúndio regido de preposição em.
Em se tratando de mulheres, prefiro as inteligentes.
7. infinitivo flexionado regido de preposição.
E, por se amarem muito, uniram seus destinos.
Nota: é facultativa quando o infinitivo não flexionado estiver precedido de preposição ou palavra negativa:
“Estou aqui para servir-te.”.(ou: para te servir)
Meu desejo era não o incomodar”(ou: não incomodá-lo).
Mas, se o infinitivo vier antecedido da preposição a, recomenda-se a ênclise:
Estou inclinado a obedecer-lhe.
Comecei a compreendê-lo.
8. Nas orações optativas (aquelas que expressam desejo) de sujeito anteposto ao verbo.
Macacos me mordam.
9. Nas orações exclamativas.
“Quanto sangue se derramou inutilmente!”
10. Nas orações interrogativas.
Por que me abandonas?
Mesóclise - É de regra
Com o futuro do presente e com o futuro do pretérito, desde que não ocorra condição para a próclise.
“Dir-me-á o leitor que a beleza vive de si mesma!” (M.A.)
“Dar-me-iam água para lavar as mãos?” (G. Ramos)
Ênclise - É de regra:
1. Nas orações iniciadas por verbo.
Falava-me suavemene.
Disseram-me que você me ama.
83
2. Com verbo no gerúndio, sem partícula atrativa
O velho criticava a juventude, dirigindo-se aos presentes.
Entendeu o segredo do tempo, olhando-se no espelho.
3. Com verbo no imperativo afirmativo.
Dê-me um copo d’água.
Faça-me um favor.
4. Com verbo no infinitivo, regido da preposição a.
Chegamos a abraçá-lo.
“Sabe-se ele se tornará a vê-los algum dia!” (José de Alencar)
5. Junto a infinitivo precedido de artigo.
O vender-se; o queixar-se.
6. Nas orações interrogativas, estando o verbo no infinitivo, embora antecedido de palavra ou locução
que obrigue a próclise.
“Como alistar-me, se o governo não tem inimigos?”
Por que arrepender-me?
Como apanhá-lo?
Colocação pronominal nas locuções verbais
1) Auxiliar + infinitivo - há quatro possibilidades:
a) ênclise ao auxiliar.
O amigo precisou lhe confiar
o segredo.
b) ênclice ao infinitivo.
O amigo precisou confiar-lhe o segredo.
c) próclise ao auxiliar.
O amigo lhe precisou confiar o segredo.
d) próclise ou ênclise ao infinitivo precedido de preposição.
O amigo não deixou de lhe confiar o segredo.
O amigo não deixou de confiar-lhe o segredo.
2. Auxiliar + Gerúndio - há três possibilidades:
a) próclise ao auxiliar.
O amigo lhe estava confiando o segredo.
b) ênclise ao auxiliar.
O amigo estava-lhe confiando o segredo.
c) ênclise ao gerúndio.
O amigo estava confiando-lhe o segredo.
3) Auxiliar + particípio - há duas possibilidades:
a) próclise ao auxiliar.
Os amigos se tinham despedido.
84
b) ênclise ao auxiliar.
Os Amigos tinham se despedido.
Notas
1. Com palavra ou locução atrativas, o pronome não pode ficar no meio da locução.
Não lhe quero falar ou Não quero falar-lhe.
2) “A interposição do pronome átono nas locuções verbais sem se ligar por hífen ao auxiliar, é sintaxe brasileira
que se consagrou na língua literária, a partir (ao que parece) do Romantismo.
“O morcego vem te chupar o sangue.” (Alencar)
“...estava se distanciando da outra.” (Taunay)
“Como teria se comportado aquela alma de passarinho diante do mistério da morte?” (Raquel de Queirós)
Adaptações
1..Os pronomes o, a, os, as, enclíticos, sofrem adaptações quando o verbo termina em r, s ou z. Eles passam a
ter as formas: -lo, -la, -los, -las.
Vou amar-a por toda minha vida. (Sem adaptação.)
Vou amá-la por toda minha vida. (Com adaptação.)
Tu amas-o como a ti mesma.. (Sem adaptação.)
Tu ama-lo como a ti mesma. (Com adaptação.)
O jogo, fiz-o sozinho. (Sem adaptação.)
O jogo, fi-lo sozinho. (Com adaptação.)
Obs. Com a expressão eis acontece a mesma coisa:
Ei-la aqui, radiante e bela!
2. Os pronomes oblíquos o, a, os, as, quando precedidos de verbos terminados em -m, -ão, -õe, assumem a
forma -no, - na, -nos, -nas.
Entregaram- o ao professor. (Sem adaptação.)
Entregaram-no ao professor. (Com adaptação.)
O assunto, dão-o por encerrado. (Sem adaptação.)
O assunto, dão-no por encerrado. (Com adaptação.)
Exercícios Sobre Colocação Pronominal
Para as perguntas de 1 a 28 você deverá assinalar com “C “ o que estiver correto e com “I” os incorretos:
1. ( ) O presente é a bigorna onde se forja o futuro (próclise)
2. ( ) Nossa vocação molda-se às necessidades (ênclise)
3. ( ) Se não fosse a chuva, acompanhar-te-ia (mesóclise)
4. ( ) Macacos me mordam!
5. ( ) Caro amigo, muito lhe agradeço o favor...
6. ( ) Ninguém socorreu-nos naqueles momentos difíceis
7. ( ) As informações que se obtiveram, chocavam-se entre si
8. ( ) Quem te falou a respeito do caso?
9. ( ) Não foi trabalhar porque machucara- se na véspera
10. ( ) Não só me trouxe o livro, mas também me deu presente
11. ( ) Ele chegou e perguntou-me pelo filho
12. ( ) Em se tratando de esporte, prefere futebol
13. ( ) Vamos, amigos, cheguem-se aos bons
14. ( ) O torneio iniciar-se-á no próximo Domingo
15. ( ) Amanhã dizer-te-ei todas as novidades
16. ( ) Os alunos nos surpreendem com suas tiradas espirituosas
17. ( ) Os amigos chegaram e me esperam lá fora
18. ( ) O torneio iniciará-se no próximo Domingo
19. ( ) oferecida-lhes as explicações, saíram felizes
85
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Convido-te a fazeres-lhes, essa gentileza
Para não falar- lhe, resolveu sair cedo
É possível que o leitor nos não creia
A turma quer-lhe, fazer uma surpresa
A turma havia convidado-o para sair
Ninguém podia ajudar-nos naquela hora
Algumas haviam-nos contado a verdade
Todos se estão entendendo bem
As meninas não tinham nos convidado para sair
29. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:
a) Tudo se acaba com a morte, menos a saudade
b) Com muito prazer, se soubesse, explicaria-lhe tudo
c) João tem-se interessado por suas novas atividades
d) Ele estava preparando-se para o vestibular de Direito
30. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:
a) Tudo me era completamente indiferente
b) Ela não me deixou concluir a frase
c) Este casamento não deve realizar-se
d) Ninguém havia lembrado-me de fazer as reservas
31. Assinale a frase incorreta:
a) Nunca mais encontrei o colega que me emprestou o livro
b) Retiramo-nos do salão, deixando-os sós
c) Faça boa viagem! Deus proteja-o
d) Não quero magoar-te, porém não posso deixar de te dizer a verdade
32. ”O funcionário que se inscreve, fará prova amanhã:
1.
2.
3.
4.
Ocorre próclise em função do pronome relativo
Deveria ocorrer ênclise
A mesóclise é impraticável
Tanto a ênclise quanto a próclise são aceitáveis
a) Correta apenas a 1ª afirmativa
b) Apenas a 2ª é correta
c) São corretas a 1ª e a 3ª
d) A 4ª é a única correta
33. Assinale a colocação inaceitável:
a) Maria Oliva convidou-o
b) Se abre a porta da caleça por dentro
c) Situar-se-ia Orfeu numa gafieira?
d) D. Pedro II o convidou
34. O pronome pessoal oblíquo átono está bem colocado em um só dos períodos. Qual?
a) Isto me não diz respeito! Respondeu-me ele, afetadamente
b) Segundo deliberou-se na sessão, espero que todos apresentem-se na hora conveniente
c) Os conselhos que dão-nos os pais, levamo-los em conta mais tarde
d) Amanhã contar-lhe-ei por que peripécias consegui não envolver-me
35) Estas conservas são para nós __________ durante o inverno.
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna:
a) alimentarmos- nos
b) alimentarmo- nos
c) nos alimentarmos
d) nos alimentarmo- nos
86
36) Caso _______ lá, _______, para que não _______
Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas:
a) se demoram – avisem-nos – nos preocupemos
b) se demorem – avisem-nos – preocupemo-nos
c) demorem-se – nos avisem – preocupemo-nos
d) demorem-se – nos avisem – nos preocupemos
37) Do lugar onde _______, ______um belo panorama, em que o céu ________com a terra
a) se encontrava – se divisava – ligava-se
b) se encontravam – se divisava – ligava-se
c) se encontravam – divisava-se – se ligava
d) encontravam-se – divisava-se – se ligava
38) O pronome está mal colocado em apenas um dos períodos. Identifique-o:
a) Finalmente entendemos que aquela não era a estante onde deveriam-se colocar cristais
b) Ninguém nos falou, outrora, com tanta sinceridade
c) Não se vá, custa-lhe ficar um pouco mais?
d) A mão que te estendemos é amiga
Para as questões que seguem de 39 a 58, marcará com a letra “C” aquelas com o pronome oblíquo bem
colocado, obedecendo as normas da Língua Culta e com “I” assinalará as incorretas:
39) ( ) Quando se estudaram minuciosamente as propostas, descobriram- se todas as falhas
40) ( ) Segundo informaram- me na seção, já se encontram prontos os contracheques desta mês
41) ( ) Os papéis que remeteram-me estão em ordem, ainda hoje devolvê-los-ei como havia
prometido-lhes
42) ( ) Os professores haviam-nos instruído para as provas
43) ( ) Nada chegava a impressioná-la em sua passividade
44) ( ) Que Deus te acompanhe por toda a vida
45) ( ) Quando lhes entregariam as provas, era um mistério que não lhes era possível desvendar
46) ( ) A respeito daquelas fraudes, os auditores já haviam prevenido-os há muito tempo
47) ( ) Os amigos entreolharam- se emocionados, mas não lhes deram mais nenhuma informação
48) ( ) Aquele foi o livro que lhe eu dei como prova de admiração
49) ( ) Admirou-me a despesa porque não havias-me dito que o presente iria custar-te tão caro
50) ( ) Ainda não me havias falado essas injúrias
51) ( ) Já de pé, banhando-me, ouço-lhe os passos no corredor
52) ( ) Dir-se-ia que todos preferem-lhe ocultar os fatos
53) ( ) Os alunos não têm preocupado-se com as provas
54) ( ) Peça a dar- se- lhe- à o perdão
55) ( ) Causava-me admiração ver aqueles jovens dedicando-se aos estudos, enquanto outros
não se esforçavam nem um pouco
56) ( ) Nada se faria, se ficassem de braços cruzados
57) ( ) No caso de não cumprirem o horário das aulas, romperão-se as cláusulas contratuais
58) ( ) Assim que sentiu-se prejudicado, reclamou seus direitos
Respostas Sobre Colocação Pronominal
1. C
2. C
3. C
4. C
5. C
6. I
7. C
8. C
9. I
10. C
11. C
12. C
13. C
14. C
15. I
16. C
17. C
18. I
19. I
20. I
21. C
22. C
23. C
24. I
25. C
26. I
27. I
28. I
29. B
30. D
31. C
32. C
33. B
34. A
35. C
36. A
37. C
38. A
39. C
40. I
41. I
42. C
43. C
44. C
45. C
46. I
47. C
48. C
49. I
50. C
51. C
52. I
53. C
54. I
55. C
56. C
57. I
58. I
87
Teoria dos Conjuntos
Introdução aos conjuntos
Interseção de conjuntos
Alguns conceitos primitivos
Propriedades dos conjuntos
Algumas notações p/ conjuntos
Diferença de conjuntos
Subconjuntos
Complemento de um conjunto
Alguns conjuntos especiais
Leis de Augustus de Morgan
Reunião de conjuntos
Diferença Simétrica
Introdução aos conjuntos
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem
definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory,
P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada
ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os números naturais.
c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo
que se lê: "pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1
N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
0
N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
88
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas
formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A
também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o
conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado
subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está
contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e
também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na
sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto
B.
89
A
B = { x: x
A ou x
B}
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B.
A
B = { x: x
Aex
B}
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a
interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A
A=A e A
A=A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A
A
B, B
A
B, A
B
A, A
B
B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A
A
B equivale a A
B equivale a A
B=B
B=A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A
A
(B
(B
C) = (A
C) = (A
B)
B)
C
C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A
A
B=B
B=B
A
A
90
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos,
tal que para todo conjunto A, se tem:
A
Ø=A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A,
fornece o próprio conjunto vazio.
A
Ø=Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A
U=A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A
A
(B
(B
C ) = (A
C) = (A
B)
B)
(A
(A
C)
C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x
Aex
B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
91
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B,
ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x
Aex
B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta
como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra
complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses
conjuntos.
(A
B)c = Ac
Bc
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A1
A2
...
An)c = A1c
A2c
...
An c
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses
conjuntos.
(A
B)c = Ac
Bc
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares
desses conjuntos.
(A1
A2
...
c
c
A n ) = A1
c
A2
...
An
c
92
Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos
conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
A B = { x: x A B e x A B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A A=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:
A
7. A
(B
C) = (A
B)
(A
C)
B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A
B
(A
C)
(B
C)
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS
Símbolo
Nome
Explicação
93
N
números naturais
N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de
0 a + . Todo número natural é seguido imediatamente por outro
número natural chamado sucessor, ou seja:
N = {0,1,2,3,4,...}.
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números
naturais não-nulos, ou seja:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Z
números inteiros
O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números
naturais acrescido dos seus opostos negativos. É representado
pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar
"número".
Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros,
não-nulos:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números
inteiros, não-negativos:
Z+ = {0,1,2,3,4,...}
O símbolo Z- é usado para indicar o conjunto de números inteiros,
não-positivos:
Z - = {..., -3, -2, -1, 0}
O símbolo Z*+ é usado para indicar o conjunto de números
inteiros positivos:
Z*+ = {1,2,3,4,5, ...}
O símbolo Z*- é usado para indicar o conjunto de números
inteiros negativos:
Z*- = {-1, -2, -3, -4, -5...}
Como todos os números naturais também são números inteiros,
dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em
Z:
N
Z.
Q
números racionais
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro
(b) obtemos um número racional. Todo número racional é
representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra
Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já
que um número racional é um quociente de dois números inteiros.
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se
a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um
número finito de casas após a vírgula e são chamados de
racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é
infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional
0,33333... É a chamada dízima periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos
os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre
os números inteiros.
Q = {a/b | a Z e b Z*}.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números
racionais não-nulos:
Q* = {x Q | x 0}
94
O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números
racionais não-negativos:
Q+ = {x Q | x 0}
O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números
racionais não-positivos:
Q- = {x Q | x 0}
O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números
racionais positivos:
Q*+ = {x Q | x > 0}
O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números
racionais negativos:
Q*- = {x Q | x < 0}
I
números irracionais
Quando a divisão de dois números tem como resultado um
número com infinitas casas depois da vírgula, que não se
repetem periodicamente, obtemos um número chamado
irracional.
O número irracional mais famoso é o pi ( ).
95
R
números reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais
é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou
seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos
números reais não-nulos:
R* = R - {0}
O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais
não-negativos:
R+ = {x R | x 0}
O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais
não-positivos:
R- = {x R | x 0}
O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais
positivos:
R*+ = {x R | x > 0}
O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais
negativos:
R*- = {x R | x < 0}
Conjunto dos Números
Números Inteiros
O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números
inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer
que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros
positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).
Assim os números inteiros são exemplos:
Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
-3
-2
-1
0
1
2
3
_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____
96
Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o
elemento “ 0”.
Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10}
Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste
simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
20,21,22,23,24,25,26,27....}
Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número
inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z.
Números Racionais
Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma
P/Q (P dividido por Q).
Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por
outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os
números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária.
Um exemplo simples:
Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5,
temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas
após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.
É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a
divisão não é exata.
Um exemplo simples:
Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita
0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.
Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e
aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.
-3
-2
-1
0
1
2
3
_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____
0,8
Numero racional
97
A letra que representa os Números Racionais = Q
Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}
0”.
O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “
Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}
Números Irracionais
Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q
(P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como
resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente
(dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como
Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.
Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc.
Um número irracional famoso é o PI ( ) = 3,141592...
O número de Euler = 2,71828
Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)
-3
-2
-1
0
1
2
3
( ) = 3,141592... (???)
_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____
Números Reais
Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e
é indicado pela letra “R”.
Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número
racional é real, temos a seguinte sentença:
N Z Q R
Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o
conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.
Números Primos
Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são
divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.
Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:
1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir
o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).
98
2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em
fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.
Como podemos provar que um número é primo ou não?
Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números
pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam
maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade
pode se tornar muito complexo.
Teste Rápido:
Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de
Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos
melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os
números atinjam 25 dígitos.
O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um
número é primo.
Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os
números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.
Um exemplo simples :
Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,
vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este
número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,
pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3
|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0
Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100
números, existem milhares de números primos.
TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
99
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
TABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS
Definição
Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte do
Sistema de Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental o
metro.
No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas,
consideradas também fundamentais:
Múltiplos e Submúltiplos Diversos
- O grama
Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essa
unidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias.
Ex.:
cinco quilogramas
setecentos miligramas
trezentos e vinte gramas
novecentos e dois gramas
100
inferior.
Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente
10 dag = 100 hg
1 g = 10 dag
- O Litro
Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculada
diretamente ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões.
Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l),
corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida.
Ex.:
(01 l água), um litro de água.
(2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros
(30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros
inferior.
Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente
10 l = 100 l
1 l = 10 dal
- O Prefixo Quilo
É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil.
Este prefixo Quilo não pode ser usado sozinho.
Observe:
Errado: quilo; k
Certo: quilograma, kg
Medidas Diversas
- Medidas comprimento
Unidade principal: METRO (m)
Ex.: 01 Km = 1000 m
Ex.: 100 m = 10 dam
101
Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:
- Medidas de área
Unidade principal: METRO QUADRADO (m²)
Ex.: 1000 m²
Ex.: 1 m²
- Medidas de volume
Unidade principal: METRO CÚBICO (m
Ex.: 1000 m
Ex.: 1 m
- Medidas de capacidade
Unidade principal: LITRO (l)
Ex.: 1 l
Ex.: 1000 Litros
102
- Medidas agrárias
Unidade principal: ARE (a)
Ex.: 1 a
Ex.: 100 hectare
- Medidas para lenha (madeira)
Unidade principal: ESTÉREO (st)
(metro cúbico) Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m
- Medidas de ângulos
Unidade principal: ÂNGULO RETO (r)
Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pela
letra (r).
Veja a tabela abaixo:
Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria,
exceto o “grado”, que é a única designação usada para submúltiplo.
103
Tabela com algumas unidades de medidas
RAZÕES E PROPORÇÕES
Números e Grandezas Proporcionais
* Grandeza
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um,
como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando
falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas
que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor
dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo
depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o
que se deseja concluir.
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada,
pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.
Grandeza Diretamente Proporcional
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente
proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma
proporção, mesma direção e sentido.
“02 y”.
Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará
Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar
20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.
Grandeza Inversamente Proporcional
104
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica
necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção
contrários.
Exemplo: Velocidade e tempo.
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos.
Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os
mesmos 10 metros.
* RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número
sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.
Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12
a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10
a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18
Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e
2º número é conseqüente.
Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.
seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.
Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de
outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c
PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
Obs.:
Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º
termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e
que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os
extremos.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
1 – Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.
2/5 = 4/10
»
5 x 4 = 20
|
2 x 10 = 20
Aplicação:
105
7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos
Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.
2 – Composição
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor
desses números.
a = menor
b = maior
Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
3 – Decomposição
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou
para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
48.
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é
a = maior
b = menor
106
a – b = 48
Portanto,
Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36
4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes,
assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.
Aplicação:
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.
5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos
conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.
6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos
conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu
conseqüente.
Aplicação:
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3.
Encontrar essas medidas.
a = largura b = comprimento
a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10
a = largura = 10m, b= comprimento = 15m
107
7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma
nova proporção.
Aplicação:
A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3.
Determinar esses números.
Logo, a² = 144, a = 12.
de “a”.
Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor
Divisão Proporcional
2 partes diret. proporcionais
2 partes direta e inversa
n partes diret. proporcionais
n partes direta e inversa
2 partes invers. proporcionais
Regra de Sociedade
n partes invers. proporcionais
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas
equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
A
B
=
p
q
A solução segue das propriedades das proporções:
A
B
=
p
A+B
=
q
M
=
p+q
=K
p+q
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A=Kp e B=Kq
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o
sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
A
B
=
2
A+B
=
3
100
=
5
= 20
5
Segue que A=40 e B=60.
108
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é
60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
A
B
=
8
A-B
=
60
=
3
5
=12
5
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar
um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
X1
X2
=
p1
Xn
= ... =
p2
pn
X1
X2
p1
Xn
=...=
=
p2
X1+X2+...+Xn
=
pn
M
=
p1+p2+...+pn
=K
P
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se
montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
A
B
=
2
C
=
4
A+B+C
=
6
120
=
P
=10
12
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A
C
B
=
=
4
2
2A+3B-4C
=
6
120
=
2×2+3×4-4×6
= – 15
-8
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este
número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de
p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
A
1/p
A+B
B
=
=
1/q
M
=
1/p+1/q
M.p.q
=
1/p+1/q
=K
p+q
109
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se
montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
B
A
A+B
=
1/2
120
=
=
1/3
120.2.3
= 144
=
1/2+1/3
5/6
5
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles
é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
A
B
A-B
=
1/6
=
10
=
1/8
1/6-1/8
= 240
1/24
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta
decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
X1
X2
=
1/p1
Xn
= ... =
1/p2
1/pn
cuja solução segue das propriedades das proporções:
X1
X2
=
1/p1
X1+X2+...+Xn
Xn
1/p2
M
=
=...=
1/pn
=
1/p1+1/p2+...+1/pn
1/p1+1/p2+...+1/pn
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se
montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:
A
B
=
1/2
C
=
1/4
A+B+C
=
1/6
220
=
1/2+1/4+1/6
= 240
11/12
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10,
devemos montar as proporções:
A
B
1/2
C
=
=
1/4
2A+3B-4C
=
1/6
10
=
2/2+3/4-4/6
120
=
13/12
13
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários!
110
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente
proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e
d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
A
A+B
B
M
=
=
d/q
c/p
M.p.q
=
c/p+d/q
=
=K
c/p+d/q
c.q+p.d
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente
proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
B
A
=
2/5
A+B
58
=
=
3/7
2/5+3/7
= 70
29/35
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8,
sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as
proporções:
A
B
A-B
=
4/6
21
=
3/8
=
4/6-3/8
= 72
7/24
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente
proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais
a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso
X1
X2
=
p1/q1
Xn
=...=
p2/q2
pn/qn
X1
X2
=
P1/q1
Xn
=...=
p2/q2
X1+X2+...+Xn
=
pn/qn
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de
A+B+C=115 e tal que:
A
1/4
C
B
=
=
2/5
A+B+C
=
3/6
115
=
1/4+2/5+3/6
= 100
23/20
111
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2,
4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
B
A
C
=
1/2
=
10/4
2A+3B-4C
=
2/5
10
=
2/2+30/4-8/5
100
=
69/10
69
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou
prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em
tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos
tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente
proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital
de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu
por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que
pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto
deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos.
Desse modo:
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
A
B
C
=
2000
=
1800
1200
A
B
=
2000
C
=
1800
A+B+C
=
1200
25000
=
5000
=5
5000
112
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas
W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X
W
=K e
Y
=K
Z
assim
X
W
=
Y
Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa
de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um
corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?
(Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do corpo (Kg)
10
15
Deslocamento da mola (cm)
54
X
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores
no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:
10
54
=
15
X
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e
X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo
10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter
uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas
grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de
proporcionalidade K.
113
A·B=K
e C·D=K
segue que
A·B=C·D
logo
A
D
=
C
B
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez
um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo
percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo
com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h)
180
200
Tempo (s)
20
T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido.
Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
T
180
=
200
20
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T
aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de
200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a
primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores
conhecidos da segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2,
E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo
lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se
conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
Situação
Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?
Situação 1
A1
B1
C1
D1
E1
…
Z1
Situação 2
A2
B2
C2
D2
E2
…
Z2
114
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:
A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …
Z1
=
Z2
A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a
letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de
posição com B2:
Z1
A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …
=
Z2
A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que
aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão
na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente
proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos
resolver a proporção:
Z1
A1 · B2 · C1 · D2
=
Z2
A2 · B1 · C2 · D1
Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista
geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças
dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas
funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos
organizar a tabela:
No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)
5
6
400
7
9
X
A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as
grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou
inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças.
Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.
Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de
lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se
tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas
grandezas são diretamente proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos
usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de
115
peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que
estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a
proporção:
400
5×6
=
x
7×9
que pode ser posta na forma
400
30
=
x
63
Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão
produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse
motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema,
vamos organizar a tabela:
Quilômetros (A)
Horas por dia (B)
No. de dias (C)
200
4
2
500
5
X
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou
inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias.
Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que
se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor
número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são
diretamente proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar
que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número
de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p
mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:
2
200×5
=
X
500×4
que pode ser posta como
2
1000
=
X
2000
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por
dia, o motociclista levará 4 dias.
116
PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com
porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma
a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda
percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século
XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo,
tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N,
realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com
número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.
2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3.
Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser
expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da
indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser
representado por:
117
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se
paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço
que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.
JURO SIMPLES
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou
que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de
juros.
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso
contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
118
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado
montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a
fórmula:
C·i·t
j=
100
Exemplos:
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5
prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença
entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a
taxa mensal de juros cobrada por essa loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é:
652,00 - 450,00 = 202,50
A quantia mensal que deve ser paga de juros é:
202,50 / 5 = 40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:
X% de 450,00 = 40,50
X/100.450,00 = 40,50
450 X / 100 = 40,50
450 X = 4050
X = 4050 / 450
X = 9
A taxa de juros é de 9% ao mês.
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi
o capital aplicado?
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital
aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:
3% de C = 960,00
3/100 C = 960,00
3 C / 100 = 960,00
3 C = 96000
C = 96000/3 = 32000,00
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
119
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10
unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o
produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1.
Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas
fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.
2.
Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a
porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte
forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
3.
Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas
pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
120
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.
4.
Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00
pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei
representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.
FUNÇÃO DO 1o . GRAU
Função do 1º grau
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro
conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo
que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim
;
;
.A
correspondência por pares ordenados seria:
Noções de função:
Considere os diagramas abaixo:
121
1
2
3
4
5
Condições de existência:
(1) Todos os elementos de x têm um
correspondente em y.
(2) Cada elemento de x tem um e somente
um correspondente em y.
Analisando os diagramas acima:
O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).
Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.
Domínio, Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama a seguir:
Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
122
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação de função:
Observe:
1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:
2) Associe cada elemento de X com a sua capital.
3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
123
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por
produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto
vendido.
[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
124
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:
y=f(x)=ax+b com
,
e
Gráfico da função do 1º grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.
Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
O conjunto dos pares ordenados determinados
é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
x y=f(x)=x+1
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x
-2
-1
0
1
2
y=f(x)=-x+1
3
2
1
0
-1
O conjunto dos pares ordenados determinados é
f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
125
Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
Função crescente
y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
Função decrescente
126
Raiz ou zero da função do 1º grau:
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau,
definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta
obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x,
que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:
127
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
Sinal de uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:
a>0
a<0
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o
sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
128
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
* Definição
É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita
para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.
Exemplos:
3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os
valores das incógnitas são desconhecidos.
É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:
x = 2, veja:
3x – 4 = 2
3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2
y = 1, veja:
3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1
Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente
- Equação do 1º grau
Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda
equação que satisfaça a forma:
ax + b = 0
Onde, tem-se:
a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)
Observe:
4x + 10 = 1
a=4
b = 10 >> constantes (4,10)
3x – 6 = 0
129
a=3
b = 6 >> constantes (3,6)
Exemplo de fixação:
x+2=6»
Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4,
pois, 4 + 2 = 6.
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais
anteriores:
ax + b = 0 » ax = - b
x = -b/a
Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta
segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um
mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.
Exemplo:
x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4
2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2
* Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que
satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.
Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos
números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade
e do outro lado as constantes.
Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:
a) Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}
b) Qual o valor da incógnita x:
2 – 3.(2-4x) = 8
2 – 6 + 12x = 8
130
12x = 8 - 2 + 6
12x = 6 + 6
x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}
Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:
x + 5 = 10
5x – 3 = 28
3x + 12 = 4
2x – 4 = 0
10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)
Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do
primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a
solução verdadeira da questão.
Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.
Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam
agregados na sentença.
* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)
Observe:
a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:
x = -b/a
S = {-b/a}
a ≠ 0 >> b = 0, temos:
x = 0/a
S = {0}
Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)
b ≠ 0 >> x = -b/0
V = {0}
Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto
“V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça
a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.
Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:
b = 0 >> 0x = 0 >> V = R
Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna
raiz ou solução da equação ou do problema dado.
131
* Incógnita com valor negativo
Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver
acompanhando a variável seja um número negativo (-).
Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos
princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.
Veja alguns exemplos:
a) 4x – 2 = 6x + 8
Reduzindo os termos:
4x – 6x = 8 + 2
-2x = 10
Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então
multiplica-se os termos da equação por (-1).
Assim, temos aos valores:
-2x = 10 .(-1)
2x = - 10
Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma
positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.
x = -10/2 >> x = -5
Como o valor de x = -5, então V = {-5}
Observação:
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e
as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:
Observe:
2x + 4 = 8
Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".
Veja o que acontece:
2x + 4 - 4 = 8 - 4
2x = 4
x=2
V={2}
132
A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande
dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos
dos problemas e sentenças.
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
* Definição
Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e qualquer
sentença da matemática que é aberta por um sinal de desigualdade.
Sendo que: a e b, são números reais e diferentes de zero (a e b ≠ 0), respectivamente.
Exemplos:
2x – 8 > 0
3x–9<0
4x + 9 ≥ 0
5x+(1/3)≤0
* O que representa os sinais das inequações
* Observações gerais sobre Inequações
Observando as condições de vida da população do Brasil, obviamente encontraremos um
grande mar de desequilíbrio. Estas desigualdades podem ser encontradas em diversas áreas, mais
a que mais de destacam são social e econômica.
Veja alguns exemplos de desigualdades:
» Salarial: enquanto muitos brasileiros estão com faixas de salários baixas que mal podem
se sustentar, alguns outros tem seus salários altos.
» Habitação: muitos brasileiros têm casas boas em bairros e cidades nobres, outros não
têm condições de ter sua casa própria.
anos.
» Moradia: As pessoas que vivem nas ruas aumentam cada vez mais com o passar dos
133
» Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no campo, vive
em situação precária.
Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança, veríamos
com mais clareza as grandes desigualdades.
O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente, as
inequações são representadas por desigualdades matemáticas.
* Solução de inequações do 1º grau
Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o objetivo de se
apurar um conjunto de todas e quaisquer possíveis valores que possam assumir uma ou mais
variável que estejam envolvidas nas equações proposta no problema.
Acompanhe:
Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a
inequação:
3x + 5 < 17
Veja os seguintes passos para solução:
Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a solução
apresentada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número 4.
S = {1, 2, 3,}
* Exemplos de fixação de conteúdo
a) 2 -4x ≥ x + 17
Solução:
134
b) 3(x + 4) < 4(2 –x)
Solução:
c) Quais os valores de X que tornam a inequação -2x +4 > 0 verdadeira?
Solução:
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 ( verdadeiro )
Observe, então, que o valor de X menor que 2 é a solução para inequação.
* Propriedades da inequação do 1º grau
Quando uma equação do 1º grau é resolvida, são usados os recursos matemáticos tais
como: somar ou diminuir um valor igual aos dos componentes da equação ou multiplicar e dividir
os membros componentes da equação por um mesmo valor.
Será que é possível usar estes mesmo recursos de soluções das equações para resolver as
inequações do primeiro grau ?
135
Analise os exemplos:
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 ( somar o valor 2 )
5+2>3+2
7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira)
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 (subtrair 1)
5-1 > 3 -1
Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das equações de
primeiro grau, podemos usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair um mesmo
valor aos membros da inequação do primeiro grau.
Analise os exemplos:
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2)
5 x (+2) > 3 x (+2)
Inequação
5>2
Recurso:
5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2)
(-2).5 > 2.(-2)
-10 > -4 (a inequação não é verdadeira)
136
Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal.
-10 < -4 (agora a inequação é verdadeira)
Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático de
(multiplicar ou dividir por um mesmo valor os componentes da inequação) para resolver uma
inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número negativo, o sinal da desigualdade
(inequação) deve ser invertido.
FUNÇÃO DO 2 GRAU
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a
montanha russa.
137
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
Representação gráfica
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y.
x
-2
-1
0
1
2
3
y = f(x) = x²
4
1
0
1
4
9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de
simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os
outros pontos.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por
.
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
138
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da
coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus
vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
139
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.
a>0
a<0
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa
agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e
quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
y = f(x) = x² - 4
140
a = 1 >0
y = f(x) = -x² + 4
a = -1 < 0
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo
da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor
máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de
será igual a zero.
, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y
141
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Quando o discrimintante é maior que zero
Quando o valor de
, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes
ou zeros da função vistos anteriormente).
Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0
x=1, x`=3
Gráfico:
142
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de
função.
, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da
Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
Resumindo:
a>0
a>0
a>0
a<0
a<0
a<0
143
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
144
Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes
numéricos a.b e c com
.
Exemplos:
Equação
x²+2x+1
5x-2x²-1
a
1
-2
b
2
5
C
1
-1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau
incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x=
» x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver
equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula
de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
145
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de
b²-4ac:
(delta)
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou
Fórmula de Bháskara:
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
146
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
» x=2
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
)
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui
nenhuma raiz real.
Logo:
» vazio
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com
e
, suas raízes são:
147
e
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por
e
:
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
148
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução
destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)
Onde
, pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b)
e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
149
»
»
»
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador,
logo a solução da equação será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
Equação
x² - (m+n)x + p = 0
a
1
b
-(m+n)
c
p
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
, Logo:
x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução de equações biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao
quadrado duas vezes, sua forma é:
onde
Exemplo resolvido:
1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
150
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4 e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4 »
e
x²=1 »
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
INEQUAÇÃO DO 2 GRAU
Inequações do 2º grau
Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações são
representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Ex: I) x2 – 3x +6 > 0
Resolução:
x2 – 3x +6 = 0
x´= 1, x´´ = 2
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver
para quais valores de x isso ocorre.
Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2
Resposta: {xÎR| x<1 ou x>2}
151
Inequações simultâneas
Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0
Resolução:
1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado.
Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <0
2o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação.
I) x2 – 2x > 0
x´ = 0
II) x2 –2x –8 <0
x´= x´´ = 1
x´´ = 2
3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função.
I)x<0 ou x>2
II)x diferente de 1.
4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.
Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.
Resposta: {xÎR| x<0 ou x>2}
o
Inequação produto e inequação quociente,
São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) >
0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0
Resolução:
1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente
x2 –9x –10 = 0 (I)
x2 – 4x +4 = 0 (II)
152
2o passo) Determinar as raízes das funções
(I)
x´= -1, x´´ = 10
(II)
x´= x´´ = 2
3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) x<-1 ou x>10
II) x¹2
4o passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é:
> intervalo positivo e bolinha fechada
> intervalo positivo e bolinha aberta
< intervalo negativo e bolinha fechada
< intervalo negativo e bolinha aberta
Obs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) será +,
assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +
Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, no
que diz respeito a intervalo fechado ou aberto
Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e x>10
Resposta: {x E R | x<-1 ou x>10}
A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem
produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados
no tablóide anterior.
Aplicação
Resolver a inequação
(-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0
Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau.
153
Resposta: S = {x
| - 1 < x < 2 ou x >4}
Sistemas Lineares
Introdução aos sistemas lineares
Exemplos de sistemas
Equação linear
Sistemas equivalentes
Solução de uma equação linear
Operações elementares (sistemas)
Sistemas de equações lineares
Solução por escalonamento
Solução de sistema de eq. lineares
Sistemas lineares homogêneos
Consistência de sistemas lineares
Regra de Cramer
Introdução aos sistemas lineares
Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares.
As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.
Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em
containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
Tipo do Recipiente I II III
A
432
B
523
C
223
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar
42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?
Montagem do sistema linear
4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de
Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de
materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele,
154
as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de
equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em
termos de transformações lineares homogêneas.
Equação linear
É uma equação da forma
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);
b1 é o termo independente (número real ou complexo).
Exemplos de equações lineares
1.
2.
3.
4.
4x+3y-2z=0
2 x - 3 y + 0 z - w = -3
x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1
4i x + 3 y - 2 z = 2-5i
Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.
Exemplos de equações não-lineares
1.
2.
3.
4.
3 x + 3y R[x] = -4
x 2 + y2 = 9
x+2y-3zw=0
x2 + y2 = -9
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual
ao membro da direita, isto é:
a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1
Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na
equação dada, teremos:
2×5 + 3×6 - 2×7 = 14
Sistemas de equações lineares
155
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações
lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ..., amn são os coeficientes;
b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
Solução de um sistema de equações lineares
Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.
Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:
2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2
pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois
membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.
Consistência de Sistemas Lineares
O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à
sua consistência:
Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.
a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.
b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.
Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções
Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano
que têm o ponto (3,-2) como interseção.
x + 2y = -1
2x - y = 8
156
Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano
cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo,
não existem pontos que pertençam às duas retas.
x + 3y = 4
x + 3y = 5
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:
S1
3x + 6y = 42
2x - 4y = 12
S2
1x + 2y = 14
1x - 2y = 6
pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.
Operações elementares sobre sistemas lineares
Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações
de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência
trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O
segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas
iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.
1. Troca de posição de duas equações do sistema
Troca a Linha 1 com a Linha 3
x + 2y - z = 2
4x + y - 5z = 9
2x-3y+2z=0
~
2x-3y+2z=0
4x + y - 5z = 9
x + 2y - z = 2
2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo
Multiplica a Linha 1 pelo número 3
x + 2y - z = 2
3x + 6y - 3z = 6
2x-3y+2z=0
~
2x-3y+2z=0
4x+y-5z=9
4x+y-5z=9
A equação resultante fica na linha 1
3. Adição de duas equações do sistema
Adição da Linha 2 com a Linha 3
157
x+2y-z=2
3x+6y-3z=6
2x -3y + 2z = 0
~
2x-3y+2z=0
4x + y - 5z = 9
6x - 2y - 3z = 9
A equação resultante fica na linha 3
Resolução de sistemas lineares por escalonamento
Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos
mostrar como funciona este processo através de um exemplo.
Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.
3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41
Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos
k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.
Passo 1: L1-L2->L1
3x + 1y + 1z = 20
1x + 2y + 2z = 35
2x - 1y - 1z = -15
~
2x-1y-1z=-15
-4x+1y-5z=-41
-4x+1y-5z=-41
Passo 2: L2-2.L1->L2
1x + 2y + 2z = 35
1x+2y+2z=35
2x - 1y - 1z = -15
~
0x - 5y - 5z = -85
-4x+1y-5z=-41
-4x+1y-5z=-41
Passo 3: L3+4.L1->L3
1x + 2y + 2z = 35
1x+2y+2z=35
0x-5y-5z=-85
~
0x-5y-5z=-85
-4x + 1y - 5z = -41
0x + 9y + 3z = 99
Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
0x - 5y - 5z = -85
~
0x + 1y + 1z = 17
0x + 9y + 3z = 99
0x + 3y + 1z = 33
Passo 5: L3-3.L2->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
~
0x+1y+1z=17
0x + 3y + 1z = 33
0x + 0y - 2z = -18
Passo 6: (-1/2)L3->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x+1y+1z=17
~
0x + 0y - 2z = -18
0x + 0y + 1z = 9
Passo 7: L2-L3->L2
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
~
0x + 1y + 1z = 17
0x + 1y + 0z = 8
158
0x + 0y + 1z = 9
0x+0y+1z=9
Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1
1x + 2y + 2z = 35
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 8
~
0x+1y+0z=8
0x + 0y + 1z = 9
0x+0y+1z=9
Passo 9: Simplificar coeficientes
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 8
~
0x + 0y + 1z = 9
x=1
y=8
z=9
Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo
sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim,
todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a
solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
Exemplo: O sistema
2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
x - y + 2z = 0
é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.
Regra de Cramer
Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X,
escreveremos det(X).
Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn
A este sistema podemos associar algumas matrizes:
Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela
letra A.
Matriz dos coeficientes
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
... ... ... ... ... ...
159
an1 an2 ... anj ... ann
Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também
pelos termos independentes.
Matriz Aumentada
a11 a12 ... a1j ... a1n b1
a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann bn
Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos
termos independentes das equações do sistema.
Matriz da incógnita xj
a11 a12 ... b1 ... a1n
a21 a22 ... b2 ... a2n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... bn ... ann
Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é
comum escrever Ax, Ay e Az.
Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:
xj = det(Aj) / det(A)
Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do
sistema forem iguais a zero.
Um sistema impossível: Seja o sistema
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 40
A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.
2
1
3
3
-2
1
4
3
7
2
1
3
3
-2
1
4
3
7
27
15
40
Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são
nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o
determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:
2 3 27
1 -2 15
3 1 40
Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na
última linha!)
160
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 42
A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:
2
1
3
3
-2
1
4
3
7
2
1
3
3
-2
1
4
3
7
27
15
42
Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então
o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras
e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y
em função de z.Um sistema com solução única: Seja o sistema
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 6z = 40
A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.
2
1
3
3
-2
1
27
4
3
6
15
40
Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az,
e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das
três equações, temos:
Ax=
27
15
40
3
-2
1
4
3
6
Ay=
2
1
3
27
15
40
4
3
6
Az=
2
1
3
3
-2
1
27
15
40
Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:
x = det(Ax)/det(A) = 65/7
y = det(Ay)/det(A) = 1/7
z = det(Az)/det(A) = 14/7
ESTATÍSTICA
161
INTRODUÇÃO
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos,
na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, não realçando, no entanto, aspectos
importantes.
É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das
situações que representam.
DADOS, GRÁFICOS E TABELAS
Tipos de Dados
Podemos classificar os dados que constituem a Amostra, ou dados amostrais, em dois tipos fundamentais:
Dados qualitativos e dados quantitativos
1.1-Dados
qualitativos
Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou
característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias
modalidades.
Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as
categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado.
1.2-Dados Representam a informação resultante de características susceptíveis de
quantitativos serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem
ser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua dados contínuos.
Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10
alunos de uma determinada turma :
3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2
Estes dados são de natureza discreta.
Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm):
153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159
obteremos dados do tipo contínuo.
Representação Gráfica de Dados
162
2.1-Dados discretos
Como organizar
os dados ?
Estes dados só podem tomar um número
finito ou infinito numerável de valores
distintos, apresentando vários valores
repetidos - é o caso, por exemplo, do nº
de filhos de uma família ou do nº de
acidentes, por dia, em determinado
cruzamento.
Os dados são organizados na forma de
uma tabela de frequências, análoga à
construída para o caso dos dados
qualitativos. No entanto, em vez das
categorias apresentam-se os valores
distintos da amostra, os quais vão
constituir as classes.
Exemplo: Consideremos a amostra
constituída pelo nº de irmãos
dos 20 alunos de uma
determinada turma:
1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2,
1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2
tabela de
frequências
freq. freq.
classes
abs. rel.
0
4
0.20
1
8
0.40
2
4
0.20
3
3
0.15
4
1
0.05
total 20 1.00
2.2-Dados contínuos
No caso de uma variável contínua, esta pode tomar todos os valores
numéricos, inteiros ou não, compreendidos no seu intervalo de variação temos por exemplo o peso, a altura, etc...
Como organizar os dados?
Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresenta
qualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um pouco mais elaborado,
distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes...
Medidas de Localização
163
No capítulo Dados, tabelas e gráficos, vimos alguns processos de resumir informação contida na amostra,
utilizando os processos gráficos.
Veremos agora um outro processo de resumir essa informação, utilizando determinadas medidas, calculadas a
partir de dados, que se chamam ESTATÍSTICAS.
Média
média amostral ou simplesmente média, que se representa por
amostra, e obtém-se a partir da seguinte expressão:
é uma medida de localização do centro da
onde x1, x2, ..., xn representam os elementos da amostra e n a sua dimensão.
Moda
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo:
o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o
intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor
que representa a moda ou a classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um
conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes
ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes
a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).
Mediana
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte
modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao
meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores
ou iguais à mediana
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
164
Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação:
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
X1:n , X2:n , ... , Xn:n
Como medida de localização, a mediana é
mais robusta do que a média, pois não é tão
sensível aos dados !
Medidas de Dispersão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma
que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades
que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior
será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
•
•
o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver
entre os dados.
se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
* Definição
Podemos chamar de progressão aritmética uma sucessão de termos, tais que a diferença
entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r).
Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma
indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética.
* Classificação de uma P.A.
- Infinita ou Ilimitada
165
Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de
“infinita ou ilimitada”.
Ex.:
(8, 10, 12, 14, 16....)
(5, 10, 15, 20, 25....)
(4, 8, 12, 16, 20 ....)
- Finita ou Limitada
Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de
“finita ou limitada”
Ex.:
(6, 8, 10)
(3, 6, 9)
- Em relação à razão (r)
Pode ser :
a) Crescente
Quando a razão “r” > 0
Ex.:
(3, 6, 9, 12) ----> r = 3
(2, 4, 6, 8)
----> r = 2
(15, 20, 25, 30) ---> r = 5
b) Decrescente
Quando a razão “r” < 0
Ex.:
(6, 4, 2) ---> r = -2
(12, 9, 6, 3) ----> r = -3
(16, 12, 8, 4) ----> r = -4
166
c) Estacionária
Quando a razão “r” = 0
Ex.:
(3, 3, 3) ----> r = 0
(7, 7, 7) ----> r = 0
(5, 5, 5) ----> r = 0
* Notação de uma PA
Observe os termos abaixo:
(a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an)
Logo pela definição, temos o seguinte:
a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = r
Ex.:
a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4
b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3
* Fórmula do Termo Geral de uma PA
Partindo da definição inicial, temos:
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
.
.
.
aN = a1 + (n – 1)r
Assim:
167
- Exemplos:
A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressão
aritmética.
a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....)
Dados do problema:
a1 = 1
n=5
r=2
Porquê r = 2 ???
Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...)
1+2=3
3+2=5
Fórmula geral da P.A.
an = a1 + (n – 1)r
an = 1 + (5 – 1).2
an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9
* Exercícios para fixação de conteúdo
Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias
juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa
treinar os fundamentos.
1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :
a. ( ) 4
b. ( ) 5
c. ( ) 6
d. ( ) 7
e. ( ) 9
168
Solução:
Dados do problema:
a1 = 8
an = 43
n=8
r=?
an = a1 + (n – 1)r
43 = 8 + (8 – 1)r
43 – 8 = 7r
7r = 35
r = 5
Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”
Como saber se o resultado está certo ?
Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...)
2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10
a. ( ) 0
b. ( ) 4
c. ( ) 2
d. ( ) 5
e. ( ) 3
Solução:
Dados do problema:
a1 = ?
an = 10
n=5
r=2
169
Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionar
problemas, assim há uma fixação melhor da fórmula.
an = a1 + (n – 1)r
10 = a1 + (5 – 1).2
10 = a1 + (4).2
a1 + 8 = 10
a1 = 10 – 8
a1 = 2
Dessa forma, a resposta correta é a letra “c”
Como saber se o resultado está certo?
Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...)
No tutorial anterior, foi visto que progressão aritmética é uma sucessão de termos, tais
que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é
chamada de razão (r).
Para relembrar o que é o termo PA :
Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma
indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética.
* Propriedades de uma PA
Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possível
através destas resolver várias questões de PA.
- 1ª Propriedade
Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é
média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.
Desta forma na P.A. abaixo temos :
(a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...)
170
Ex.:
a) P.A = (1,3,5,7,9,11)
Temos:
5 = (7+3)/2
7 =(5+9)/2
b) P.A = (2,4,6,8,10,12)
Temos:
6 = (4+8)/2
10 =(12+8)/2
- 2ª Propriedade
Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma
dos extremos.
Desta forma na P.A. abaixo temos :
(a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an)
P termos
P termos
Ex.:
a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, são
eqüidistantes dos extremos, pois:
7 + 31 = 31 + 7
b) 1,2,3,...98, 99, 100.
Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100
c) 1,2,3,...88,89,90.
Logo: 2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90
- 3ª Propriedade
171
Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média
aritmética dos extremos.
Assim, na P.A. (com número ímpar)
(a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an)
P termo
P termo
Conclui-se que:
Ex.:
a) 3, 5, 7, 9, 11,
7 = (3+11)/2
b) 15,17,19,21,23
19 =(15+23)2
* Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.)
A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos
extremos pelo número de termos.
Ex.:
Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...)
Sn = (a1 + an)N
2
S20 = (a1 + a20)20
2
a20 = ??
a20 = a1 + 19r =
a20 = 2 + 19r =
172
a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59
S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20
2
2
S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610
2
2
* Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.)
Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar
uma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos.
Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).
Ex.:
a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38
3, ____,____,____,_____,38
a1 = 3
an = 38
n=6
r=?
an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7
Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38
* Exercícios para fixação de conteúdo
Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias
juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa
treinar os fundamentos.
a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2
estejam, nessa ordem, em uma P.A.
Resolvendo:
P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2]
Sendo: a1 = (x + 4)2 | a2 = (x - 1)2
| a3 = (x + 2)2
Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2
- (x + 4)2 = (x + 2)2 - (x - 1)2
---->
173
(x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) =
---->
-2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ---->
-10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8
b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...)
Resolvendo:
Dados do problema:
a1 = 4
r=7–4=3
n=n
an = a1 + (n – 1)r
an = 4 + (n – 1)3
an = 4 + 3n – 3
an = 3n + 1
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da
divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da
progressão.
·
Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)
Observamos que:
4=2x2
8=4x2
16 = 8 x 2
- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);
174
·
Representação Matemática:
q = an / an-1
·
Classificação:
1.
(2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;
2.
(-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;
3.
(6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;
4.
(-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < 0 ;
·
Termo Geral da P.G.:
- a2 = a1 x q
- a3 = a2 x q ou a3 = a1 x q2
an = a1 . qn-1
·
Três números em P.G.:
x/q , x , x.q
·
Interpolação Geométrica:
Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a6 = a1 .q5
243= 1.q5
q=3
Logo: (1,3,9,27,81,243);
·
Soma dos Termos de uma P.G. finita:
n
Sn = a1 . (q - 1) / q-1
175
·
Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
- Se expressões do tipo qn quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito);
qn = 0 (Aproximadamente)
Sn = a1 / 1-q
Exemplos:
1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG
Resolução:
n= 6
a1 = 2
a6 = 486
a6 = a1.q5
486 = 2 . q5
q=3
Resposta: q = 3
2)
Ache a progressão aritmética em que:
a1 + a2 + a3 = 7
a4 + a5 + a6 = 56
Resolução:
transformando, temos:
a1 + a1 .q + a1. q2 = 7
Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7
I
a4 + a5 + a6 = 56
Þ a1.q3(1 + q + q2 ) = 56
II
176
Dividindo-se II por I :
3
q =8Þq=2
de I vem:
a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1
Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)
3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.
Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:
a1 = 3
an = 48
n=3+2=5
Devemos, então, calcular q:
an = a1.qn-1
48 = 3 . q4
q = ±2
Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)
Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)
4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam u ma
P.G.
Resolução:
177
a1 = x
q = 3x/x= 3
an = 729x
Sn= 5465
Cálculo de n:
an= a1q
n-1
729x = x . 3
729 = 3
n-1
(veja que x ¹ 0)
-1
6
n-1
3 =3
n=7
Sn = a1 . (qn - 1) / q5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)
x=5
Resposta: x = 5
5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131..
Resolução:
0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)
a1 = 0,31
q = 0,01
Sn = a1 / 1-q
178
Sn = 0,31/1-0,01
Sn= 31/99
Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou
financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a
operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal,
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas
calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem
ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital
inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no
início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado
ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o
consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até
possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia
a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que
a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos
definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e
longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como
Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime
de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de
duplicatas.
Taxa de juros
179
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período.
Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que
se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100,
sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os
juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor
inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J=P.i.n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros
simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M=P.(1+(i.n))
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145
dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter
dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
180
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125
dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos
calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.
Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um
capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de
problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos
juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de
capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
181
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês
para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J=M-P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%
ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M=?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512
=> log x = 12 log 1,035
=> log x = 0,1788
=> x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem é um princípio combinatório que indica de quantas formas se
pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1
elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é
dado por:
T = k1 . k2 . k3 . ... kn
182
PROBABILIDADE
Estudo das Probabilidades
·
Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício
(casos possíveis);
·
Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);
EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas
sucessivamente 3 bolas.
Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.
Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}.
2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)}
·
Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
P(E) = n(E) / n(S)
n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de elementos do espaço amostral
Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a
probabilidade dos eventos:
a)
As duas cartas dão damas
b)
As duas cartas são de ouros
Resolução
183
a)
Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral:
º
1 possibilidade: 52
º
2 possibilidade: 51
Þ n(U) = 52. 51 = 2652
Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.
Temos duas damas; portanto: A4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12
P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221
b)
Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.
Temos 13 cartas de ouros, portanto A13 , 2 = 13 . 12 = 156
P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17
Respostas: a)1/221 b)1/17
Adição de probabilidades
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?
Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A = {3} Þ n(A) = 1
ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3
A B = {3} Þ n(A B) = 1
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
184
P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A B)/n(U)
P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%
Resposta: 50%
Probabilidade do evento complementar
c
P(A) + P(A ) = 1
Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – se
aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
a)
Ambas não estejam estragadas
b)
Pelo menos uma esteja estragada
Resolução:
a)
Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:
n(U) = (102) = 10!/2!.8! = 45 maneiras
Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:
n(A) = (72) = 7!/2!.5! = 21 maneiras
P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15
b)
c
A é o evento: pelo menso uma furta está estragada.
c
c
P(A) + P(A ) = 1Þ 7/15 + P(A ) = 1
P(Ac) = 1 – 7/15 Þ P(Ac) = 8/15
Respostas: a) 7/15 b) 8/15
185
Probabilidade condicional
P(A/B) = n(A
B) / n(B)
Exemplo: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam física e
matemática. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar física.
F) = 5
Resolução: n(M
n(M) = 45
P(F/M) = n(F
M)/n(M) = 5/45 = 1/9
Resposta: 1/9
Probabilidade esperada e probabilidade observada:
·
Lançamento de moeda
- cara = ½ = 0.5
- coroa = ½ = 0.5
(probabilidade esperada)
·
Probabilidade de ocorrência de um outro evento:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - eventos mutuamente exclusivos.
·
Regra do ou:
Ex: Em 1 dado qual a probabilidade de se obter os nº 2 ou 3?
P(2 ou 3) = P(2) + P(3)
= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33%
·
Probabilidade de ocorrência de um e outro evento. (REGRA DO "E")
P(A e B) = P(A) x P(B) - "eventos independentes" ·
186
Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?
P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36
GEOMETRIA PLANA
Geometria Plana: Elementos de geometria plana
Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas
definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são
aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na
prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais
complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros
de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os
segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices
do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no
interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo
estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
Polígono No. de lados Polígono No. de lados
Triângulo
3
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octógono
8
187
Eneágono
Undecágono
9
11
Decágono
Dodecágono
10
12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que
tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1.
2.
3.
4.
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um
ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro
lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados
base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos
de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das
bases maior e menor do trapézio.
188
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos
congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor
superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus
lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela
diagonal menor são congruentes.
Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais
Triângulo e região triangular
O conceito de região poligonal
Unidade de área
Área do retângulo
Área do quadrado
Área do paralelogramo
Área do triângulo
Comparando áreas de triângulos
Área do losango
Área do trapézio
Polígonos regulares
Elementos de um polígono
Áreas de polígonos regulares
Comparando áreas de polígonos
Triângulo e região triangular
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os
pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região
triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do
interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
Triângulo ABC
Região triangular ABC
189
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um
segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não
sobrepostas.
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares
(estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região
triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias
maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia,
é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de
reta.
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma
das áreas das n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:
a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de
confusão entre o polígono e a região.
190
b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de
expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em
regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O
segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis
quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do
retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número
de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo
é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A=b×h
191
Área do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do
quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a
área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5
unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa
unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a
área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
1. Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
2. Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
Área do Paralelogramo
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de
retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento
perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um
deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
192
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles
pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é,
A=b×h.
Área do Triângulo
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.
Demonstração da fórmula
Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z]
denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter
h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.
Comparação de áreas entre triângulos semelhantes
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível
obter a razão entre as áreas desses triângulos.
193
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os
comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABC
a²
=
Área de RST
b²
=
r²
c²
=
s²
t²
Área do losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base
pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula
Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com
medida h.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é,
A=(b1+b2).h/2.
Polígonos regulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem
duas circunferências associadas a um polígono regular.
194
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência
circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o
polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por
dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no
polígono.
Elementos de um polígono regular
1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao
ponto médio de um dos lados.
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices
consecutivos do polígono.
Apótema: OM,
Raios: OA,OF
Ângulo central: AOF
Apótema: OX,
Raios: OR,OT
Ângulo central: ROT
5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo
central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede
360/5=72 graus.
Áreas de polígonos regulares
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de nlados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.
195
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da
medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
A = a × Perímetro / 2
Comparando áreas entre polígonos semelhantes
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos
diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado
diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja
válida para polígonos semelhantes com n lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de
triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o
seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os
comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
196
Área de ABCDE...
s²
=
Área de A'B'C'D'E'...
t²
=
(s')²
(t')²
PERÍMETRO
Perímetro de polígono plano
É a soma das medidas de todos os seus lados. Identifica-se por 2p (perímetro) e p por semiperímetro.
Exemplo.
perímetro = 2p = a + b + c + d + e + f + g
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Trigonometria do Triângulo Retângulo
Trigonometria e aplicações
Triângulo Retângulo
Lados de um triângulo retângulo
Nomenclatura dos catetos
Propr. do triângulo retângulo
A hipotenusa (base) do triângulo
Projeções de segmentos
Projeções no triângulo retângulo
Relações Métricas
Funções trigonométricas básicas
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo,
assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página
mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
197
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se
usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos
comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se
torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho
dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o
comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar
um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus,
daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângu los medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos
complementares.
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de
acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo
Cateto
Hipotenusa
Origem da palavra
Cathetós:
(perpendicular)
Hypoteinusa:
198
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra
Lado
a Hipotenusa
b
Cateto
c
Triângulo
Cateto
Vértice = Ângulo Medida
A = Ângulo reto A=90°
B = Ângulo agudo B<90°
C = Ângulo agudo C<90°
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se
estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo
C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B
b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso
cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo
retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior)
e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num
vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é
perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo,
sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida
tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD,
denotado por h e perpendicular à base.
199
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste
trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a
projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as
projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que
no último caso A'=B' é um ponto.
200
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1.
2.
3.
4.
m = projeção de c sobre a hipotenusa.
n = projeção de b sobre a hipotenusa.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em
dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto
na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC
a
b
c
ADC
b
n
h
ADB
c
h
m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
201
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b²,
obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus
ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é
indicado pela letra x.
Função
Notação
seno
sen(x)
Definição
medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacente a x
cosseno
cos(x)
tangente
tan(x)
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo
sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a
tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
CO
sen(x)=
CO
=
H
CA
cos(x)=
1
CA
=
H
CO
tan(x)=
1
sen(x)
=
CA
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
202
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
Traduzindo a definição em símbolos:
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e
a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são
semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa
em Java descrito abaixo).
Razão de Semelhança
Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de
semelhança dos triângulos:
203
Exemplo
Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas
dos lados e e d do segundo triângulo.
Solução:
Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:
c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2
De forma análoga:
a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16
b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12
Propriedades
a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
204
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro
é semelhante ao terceiro.
Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o
triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser
demonstrado a partir dos critérios de semelhança definidos abaixo (fica como exercício).
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é
igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.
Demonstração do Teorema Fundamental:
A demonstração da congruência dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (figura abaixo) decorre do fato de que
ângulos correspondentes determinados por duas paralelas são congruentes. Assim, o ângulo B é congruente
ao D e o ângulo C é congruente ao E. Como o ângulo A é comum aos dois triângulos concluímos a primeira
parte da demonstração.
Pelo Teorema de Tales temos que:
m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]
Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos
que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:
m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]
De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.
205
Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação
correta conforme indicado anteriormente.
Critérios de Semelhança de Triângulos
Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes,
então os triângulos são semelhantes.
Demonstração:
No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há
a demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos são necessariamente semelhantes.
Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC maior que o triângulo DEF e construamos o
triângulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o ângulo G congruente ao ângulo
E e H sobre o lado AC.
Além disso, como o ângulo A é congruente ao ângulo D, por hipótese, o triângulo AGH é congruente ao
triângulo DEF (critério ALA da congruência entre triângulos) e portanto semelhantes.
Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o triângulo AGH é semelhante ao triângulo ABC, já que
o lado GH é paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AGH, e AGH,
por sua vez, é semelhante a DEF, concluímos, pela propriedade transitiva, que o triângulo ABC é semelhante
ao triângulo DEF.
As demonstrações dos demais critérios ficam como exercício.
Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes
aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos
homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos
são semelhantes.
Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais
às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Teorema de Pitágoras
Um triângulo é denominado retângulo se um de seus ângulos é reto, ou seja, tem 90 graus. O lado de maior
medida é denominado hipotenusa (a) e os outros dois lados de catetos (b e c).
206
Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma
dos quadrados dos catetos, i.e.:
a2 = b2 + c2
Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios
de semelhança.
Demonstração:
Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambos
possuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos:
c/a = m/c => c2 = a.m => c2 = a.(a - n) => c2 = a2 - an [1]
Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo:
b/a = n/b => b2 = an [2]
Substituindo [2] em [1] vem que:
2
2
2
2
2
2
c = a - b => a = b + c .
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Trigonometria no triângulo Retângulo
- Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Consideremos um ângulo agudo qualquer d medida α, levando-se em conta os infinitos triângulos retângulos
que possuem o ângulo de medida α.
207
Exemplo:
Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo:
Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo α (sen α), coseno do ângulo α (cos α) e tangente do ângulo (tg α)
Co-seno do ângulo agudo α (cos α) é a razão entre a medida do cateto adjacente a α e a medida da
hipotenusa.
Tangente do ângulo α (tg α) é razão entre a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente a α.
208
Seno do ângulo α (sen α). A razão k é uma característica de cada ângulo α e seu valor é chamado de seno do
ângulo α (sem α).
Ângulos
O triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.
Lados
Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior)
e outros dois lados que são os catetos.
Altura
A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice
e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é
perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo
retângulo, sendo que duas delas são os catetos.
A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa,
a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e
perpendicular à base.
Segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa a.
Segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa a.
Segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa a.
209
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma
sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível
obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Agora iremos estudar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n.
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo
retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa
forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD=B e DAB=C.
210
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m => c2 = a.m
a/b = b/n => b2 = a.n
a/c = b/h => a.h = b.c
h/m = n/h => h2 = m.n
Temos também outras relações a partir do triângulo inicial ABC.
Como a=m+n então, somando c2 com b2 , teremos:
c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a2
a2 = b2 + c2
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de
Pitágoras.
Geometria Espacial
Conceitos primitivos
São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto,
reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
•
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
•
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
211
•
planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem
de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
212
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
213
Temos que considerar dois casos particulares:
•
retas perpendiculares:
•
retas ortogonais:
214
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P
r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não colineares, um plano
também pode ser determinado por:
•
uma reta e um ponto não pertencente a essa reta:
•
duas retas distintas concorrentes:
•
duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano
, então r está contida nesse plano:
215
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano
ou que r e
são concorrentes em P quando
.
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano
plano ; portanto, r //
Em
não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no
existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que
passa por esse ponto.
216
Perpendicularidade entre uma reta e um plano
Uma reta r é perpendicular a um plano
passam pelo ponto de intersecção de r e .
se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de
que
Note que:
•
se uma reta r é perpendicular a um plano
•
para que uma reta r seja perpendicular a um plano
concorrentes, contidas em :
, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de
:
, basta ser perpendicular a duas retas
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de
perpendicular ao plano:
para que seja
217
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos,
, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:
c) planos paralelo
Dois planos,
, são paralelos quando sua intersecção é vazia:
Perpendicularidade entre planos
Dois planos,
, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é
perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos
entre si ou secantes.
218
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano
ele, conduzida pelo ponto P:
é a intersecção do plano com a reta perpendicular a
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano
conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
éo
Distâncias
A distância entre um ponto e um plano é a
medida do segmento cujos extremos são o
ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano
paralelo é a distância entre um ponto qualquer
da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a
distância entre um ponto qualquer de um deles
e o outro plano:
219
A distância entre duas retas reversas, r e s,
é a distância entre um ponto qualquer de uma
delas e o plano que passa pela outra e é
paralelo à primeira reta:
Ângulos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo
agudo que uma delas forma com uma reta paralela à
outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo
que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o
plano:
220
Observações:
Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semi-planos não coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica
chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam
uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
Ângulo poliédrico
Sejam n
semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas
semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
221
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do
poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros
são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas
em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
•
•
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
222
•
•
•
•
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo
número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro
Planificação
Elementos
4 faces triangulares
4 vértices
Tetraedro
6 arestas
6 faces quadrangulares
8 vértices
Hexaedro
12 arestas
6 vértices
12 arestas
Octaedro
12 vértices
30 arestas
Icosaedro
223
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V-A+F=2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A=12
F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não platônico.
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
uma reta r que intercepta
, um polígono convexo R contido em
e
, mas não R:
224
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento
, paralelo à reta r
:
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes
paralelos a r.
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
•
bases: as regiões poligonais R e S
•
altura: a distância h entre os planos
•
arestas das bases: os lados
•
•
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
( dos polígonos)
225
Classificação
Um prisma pode ser:
•
•
recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma oblíquo
prisma recto
Chamamos de prisma regular todo prisma recto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular triangular
prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são rectângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do
prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos
planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
226
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as
seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT ): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo recto
227
Se o paralelepípedo recto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo,
ortoedro ou paralelepípedo rectângulo.
Paralelepípedo rectângulo
Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas
indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
228
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo rectângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces
opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc
229
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser
considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área da
base AB pela medida da altura h:
Cubo
Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo.
Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
230
No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
3
V= a . a . a = a
231
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697),
que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano
e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
, paralelo a
, intercepta os sólidos
Se 1 é um paralelepípedo rectângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da
altura:
Vprisma = ABh
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
que intercepta
, um círculo R contido em
e uma reta r
, mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento
, paralelo à reta r
:
232
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos
congruentes e paralelos
a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
•
bases: os círculos de centro O e O'e raios r
•
•
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
) e paralelo à reta r
Geometria Espacial
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
•
•
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
circular recto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
233
Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa
de um rectângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do rectângulo ABCD pelo lado
seguir:
A reta
gera o cilindro a
contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.
Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
234
Geometria Espacial
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro recto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um
rectângulo de dimensões
:
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
235
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano
sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
, intercepta os
Se 1 é um paralelepípedo rectângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo rectângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela
medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular recto, a área da base é a área do círculo de raio r
volume é:
; portanto seu
236
Cilindro equilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
equilátero.
:
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano
conjunto de todos os segmentos
, e um ponto V ( vértice) fora de
, chamamos de cone circular o
.
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
•
•
•
altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
•
eixo de rotação: reta
determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
237
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone
de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus
catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada
secção meridiana.
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:
238
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular recto, obtemos um sector circular de raio g e
comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do sector circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT ):soma da área lateral com a área da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a
figura:
d = distância do centro de
gravidade (CG) da sua
superfície ao eixo e
S=área da superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e,
gera um volume tal que:
239
Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo rectângulo
em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância
do eixo de rotação. Logo:
Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano
pirâmide o conjunto de todos os segmentos
, e um ponto V ( vértice) fora de
, chamamos de
.
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
240
•
base: o polígono convexo R
•
arestas da base: os lados
•
•
•
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano
do polígono
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser
triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um
quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos
equiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando
as faces das pirâmides são triângulos equiláteros, o octaedro é regular.
241
Secção paralela à base de uma pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de
modo que:
•
•
•
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
242
Assim, temos:
•
A base da pirâmide é um polígono regular inscrito num círculo de raio OB = R.
•
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
•
Os triângulos VOB e VOM são rectângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT ): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
243
Para uma pirâmide regular, temos:
em que:
Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases,
o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um
novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
•
•
as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
244
Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT ): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)
AT =AL+AB+Ab
Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
•
•
as bases maior e menor são paralelas;
a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.
245
Áreas
Temos:
a) área lateral
b) área total
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor
ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por
essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a
essa superfície e ao seu interior.
246
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual
ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície
esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA BÁSICOS
ÁLGEBRA
Exercícios Resolvidos – Conjuntos
Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio
e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma
para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que
13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos
efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de
candidatos ao nível fundamental?
247
Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S M o número de candidatos aos níveis superior
e médio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. Da
Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13.
Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S M = 150 - 111 = 39 .
Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade
de elementos.
Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289.
(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%
têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm
casa própria nem automóvel?
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos
dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção.
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que
31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.
(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela
(N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Programas
E
N
H
E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080
220
180
800
100
x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos
três programas é:
(A) 200
(C) 900
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100
(E) n.d.a.
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando
sempre pela interseção que tem 100 elementos.
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que,
1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não
assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.
Assim, (A) é a opção correta.
248
(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é
leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....
Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a
soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60
+ 80 - x = 100.
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.
(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos
e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989.
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?
Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este
número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6.
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 22× 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição
simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.
Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e
260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão.
Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160
acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas
a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo
os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o
diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos
que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o
conjunto dos que acertaram as duas questões.
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.
249
POTÊNCIAS
Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido in =
potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).
Exemplos de fixação da definição:
Potência = 23
2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8
Potência = 35
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243
Notação: 23 = 8
2 - BASE
3 - EXPOENTE
8 - POTÊNCIA
Notação: 35 = 243
3 - BASE
5 - EXPOENTE
243 - POTÊNCIA
Alguns casos particulares:
1) Expoente igual a um (1)
(1/2)1 = 1/2
51 = 5
31
=3
2) Expoente igual à zero (0)
50 = 1
60 = 1
70 = 1
250
Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será
igual a 1.
Mais Exemplos de fixação da definição:
1) 53 = 5 x 5 x 5 = 125
2) 40 = 1
3) 100 = 1
4) 201 = 20
Propriedades de Potências
- Divisão de potência de mesma base
Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e
subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.
Exemplos de fixação:
1) 24
÷ 2 = 24-1 = 23
2) 35
÷ 32 = 35-2 = 32
3) 46
÷ 43 = 46-3 = 43
Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0
- Produto de potência de mesma base
Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base
comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.
1) 24 x 2 = 24+1 = 25
2) 35
x 32 = 35+2 = 37
3) 46
x 43 = 46+3 = 49
Temos então: Im x In = Im+n
251
- Potência de Potência
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se
a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.
1) (23)4
= 212 , pois = 23 x 23 x 23 x 23
2) (32)3
= 36 , pois = 32 x 32 x 32
3) (42)5
= 410 , pois = 42 x 42 x 42 x 42 x 42
Temos então: (In)m
= Inxm
- Potência de um produto
Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a
esta potência.
1) (b5ya3 )4
= b20y4a12
2) (c2d2e5 )2
= c4d4e10
3) (d3a4 )3
= d9a12
Temos então: (I.T)m
=I
m
xT
m
- Potência com expoente negativo
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o
qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém
apresentando o expoente positivo.
1) 2-4
= 1/24
= 1/16
2) 3-3
= 1/33
= 1/27
3) 4-2
= 1/42
= 1/16
Temos então: (I)-m
= 1/I
m
I#0
252
- Potência de fração
Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador,
respectivamente, a esta potência.
1) (a/b)4
= a4/b4
= b#0
2) (a2 /b4)3
= a6/b12
3) (a3 /b2)3
= a9/b6
Temos então: (a/b)m
= b#0
= b#0
= am/bm
b #0
- Potência de 10
Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para
isto guarde bem estas técnicas :
1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência
a direito do número 1.
a) 104 = 10000
b) 106 = 1000000
c) 107 = 10000000
2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência
a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.
a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001
3) Decompondo números em potências de 10
Exemplos de fixação (números maiores que 1):
a) 300 = 3.100 = 3.102
b) 7000 = 7.1000 = 7.103
253
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104
Exemplos de fixação (números menores que 1):
a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5
- Potência de números relativos
a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.
Veja: (+2)2 = 4 / / (-2)4
= 16
b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.
Veja: (+3)3 = 27 / / (-3)3
= -27
Observação importante: -22 # (-2) 2 , pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está
que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na
segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo,
conforme colocado.
Números Primos
Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são
divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.
Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:
3. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que
dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).
4. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em
fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.
Como podemos provar que um número é primo ou não?
Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com
números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se
tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua
primalidade pode se tornar muito complexo.
254
Teste Rápido:
Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de
Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um
dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo
que os números atinjam 25 dígitos.
O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um
número é primo.
Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os
números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.
Um exemplo simples :
Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,
vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este
número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,
pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3
|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0
Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100
números, existem milhares de números primos.
TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
255
Operações fundamentais com números
* Adição
A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de
adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.
A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.
Relembrar: 10 + 5 = 15
10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima
denomina-se, então, ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.
Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito
isto pode ser efetuada a soma da operação adição.
Exemplo:
1.253 + 2.715
MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE
1
2
5
3
2
7
1
5
Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7
centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8
unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.
Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9
Deduz-se :
a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade
comutativa.
A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada
comutativa da adição.
2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição
entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o
resultado final a soma 11.
Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)
256
Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:
5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).
Deduz-se :
Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou
associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação
propriedade associativa.
Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b
3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o
resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).
Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)
* Subtração
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação
de subtração denomina-se diferença ou resto.
Relembrar: 9 – 5 = 4
Essa igualdade tem como resultado a subtração.
Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o
subtraendo.
O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.
Veja as análises abaixo:
1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.
2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.
Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se
realize em N.
A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que
em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.
Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6
Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0
c.
A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.
257
d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)
A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.
Considerando:
7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2
7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7
Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.
Observe esta sentença:
Y + a = c ou a + y = c
Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas
desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?
Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c
* Multiplicação
É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número,
chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um
terceiro número que representa o produto dos dois.
Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da
operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.
a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.
De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:
A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a
Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y
W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w
Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa,
no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:
a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação
b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :
(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em
seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120
A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da
multiplicação.
258
c.
A propriedade comutativa nos permite que seja usado:
1 . x = x ou x.1 = x
É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da
operação o próprio X.
Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.
d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser
traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação
A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N
* Divisão
É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas
vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.
À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.
1) A divisão exata
Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8
Propriedades da divisão exata
a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
b. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence
a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3
c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4
Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.
Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8
O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta
propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de
adição e subtração.
Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em
uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.
2) A divisão não-exata
Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é
o quociente e 1 é o resto.
259
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9
De um modo geral na divisão :
Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é
subentendido “igual a zero”.
Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.
DIVISIBILIDADE
M.M.C e M.D.C.
Máximo Divisor Comum
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre
eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses
números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores
primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =
2x3x3x5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
2
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,
cada um elevado ao menor expoente.
CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
260
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim
sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6=2x3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
Máximo Divisor Comum
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre
eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses
números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
261
CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores
primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =
2x3x3x5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
2
2
36 = 2 x 3
2
90 = 2 x 3 x5
2
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,
cada um elevado ao menor expoente.
CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim
sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
262
PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6=2x3
2
18 = 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
NÚMEROS FRACIONÁRIOS E NÚMEROS DECIMAIS
O papel das frações e números Decimais
Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos,
propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória
importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas
vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de
R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números
decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o
sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras
situações utilizam de frações e números decimais.
Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a
notação X/Y, por ser mais simples.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração
5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as
operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais
ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no
numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande
matemático escocês.
1437
123
= 1, 4 3 7
1000
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no
numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
= 4,37
100
263
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para
separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em
virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram
a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
Frações e Números Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é
denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma
parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
= 1,27
100
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a
fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
100+27
127
=
100
100
=
100
27
+
100
= 1+0,27 = 1,27
100
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui
observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o
denominador da fração.
Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa
a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
264
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos
Exemplos:
0,6
Seis décimos
0,37
Trinta e sete centésimos
0,189
Cento e oitenta e nove milésimos
3,7
13,45
Três inteiros e sete décimos
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
Transformando frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a
vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira parte fracionária
0
,
1
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê
da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula
separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira parte fracionária
2
,
31
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador
da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na
verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:
(a) 130/100 = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000 = 0,005
Transformando números decimais em frações decimais
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se
como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de
tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:
(a) 0,5 = 5/10
(b) 0,05 = 5/100
265
(c) 2,41 = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
Propriedades dos números decimais
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta
ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por
exemplo:
(a) 0,5
(b) 1,0002
= 0,50 = 0,500 = 0,5000
= 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000,
basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:
(a) 7,4 x 10 = 74
(b) 7,4 x 100 = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta
deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:
(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475
Operações com números decimais
Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir
alguns passos:
(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos
acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:
(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
266
(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc),
de forma que:
i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do
outro número,
ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do
outro número,
iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número,
etc),
iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
v. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos,
centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Dois exemplos:
2,400
2,400
+ 1,723 - 1,723
------- ------(c) Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada
um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por
numerador e denominador por denominador. Por exemplo:
225
35
×
2,25×3,5 =
100
225×35
=
10
7875
=
100×10
= 7,875
1000
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas
casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:
2,25 2 casas decimais multiplicando
x 3,5 1 casa decimal multiplicador
1125
+ 675
7875
7,875 3 casas decimais Produto
Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o
divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas
informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de
números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?
Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o
quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática,
dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 = 3,6 = 36×10 = 36 = 9
267
0,4
4×10
4
35
35÷7
Um outro exemplo:
0,35
0,35÷7=
0,35×100
=
=
7
7×100
=
700
5
=
700÷7
= 0,05
100
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos
por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas.
Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada
um receberá?
Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por
700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos,
3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se
torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.
Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como
acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma
vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por
100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo 3500 700 divisor
resto 0 0,05 quociente
Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.
Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro
no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número
10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10
16
?
(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do
algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100
16
0,
(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100
-96
4
16
0,6
268
(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à
direita do número 4.
100
-96
40
16
0,6
(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100
-96
40
-32
8
16
0,62
(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita
do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100
-96
40
-32
80
-80
0
16
0,625
A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um
inteiro.
Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais
desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou =
(que se lê: igual).
Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por
exemplo:
(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros
tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte
inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar
qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:
(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
269
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3
pois 4=4 e 3=3.
Porcentagem
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões
da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se
porcentagem.
Exemplos:
(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o
número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar
que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o
mesmo que
30
= 30%
100
(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a
mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
X
40
=
100
300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação
cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
X
45
=
100
200
270
o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110
páginas.
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se
o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o
período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.
Exemplos:
(período: 5)
(período: 3)
(período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
(Período: 2)
(Período: 4)
(Período: 23)
Parte não periódica: 0
Período não periódica: 15
Parte não periódica: 1
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não
periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.
Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
271
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima Composta:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma
, onde
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros
quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA
Média aritmética simples
A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais
utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa
entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é
calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos
somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua
soma dividida por n.
272
1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7.
observe o que foi feito, somamos os quatro número e dividimos pela quantidade de números.
2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes
resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0.
Qual a média de gols marcados nestes amistoso?
Média ponderada
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a
mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No
entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o
cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média
chama-se média aritmética ponderada.
Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do
conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.
Exemplo:
1. Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a média final de seu alunos.
1º bimestre teve peso 2.
2º bimestre teve peso 2.
3° bimestre teve peso 3.
4° bimestre teve peso 3.
Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1° bim = 3, 2°
bim = 2,5, 3° bim = 3,5 e 4° bim = 3
Este tipo de média é muito usada nos vestibulares, você já deve ter ouvido algum colega falar
assim, a prova de matemática para quem faz engenharia é peso 3 e historia é peso 1, isto é devido a
engenharia ser um curso ligado a ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de atuação
do curso.
273
TRIGONOMETRIA
O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí
vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos
calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a
altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado
no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente
dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser
deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta
circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um
relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a
origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode
ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para
A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência,
temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
274
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência
tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é
o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por
m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um
arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A
para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela
letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números
inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas
pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos
medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1
radiano, que denotaremos por 1 rad.
275
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos
medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o
arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma
circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
comprimento do arco(AB)
12
m(AB)=
=
comprimento do raio
8
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r,
então:
comprimento do arco(AB)
m(AB)=
2 r
=
comprimento do raio
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2
2
=2
r
rad, isto é,
rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau
Grado
Radiano
90
100
/2
180
200
270
300
3 /2
360
400
2
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre
estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
276
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
G
=
180
Exemplos
1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
60
=
180
2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
G
1
=
180
4. Asim 1 rad=180/
graus.
Círculo Trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o
ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido
positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos
interiores, é denominada círculo trigonométrico
.
Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto
circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região
circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como
segue:
2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º<ângulo<360º
277
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por
convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por
exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em
um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou
ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira
determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado
sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.
Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o
ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em
M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade
de arcos positivos de medidas
m, m+2 , m+4 , m+6 , ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas
algébricas
m-2 , m-4 , m-6 , ...
e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos
representar as medidas destes arcos por:
µ(AM) = m + 2k
278
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.
Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e
extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação
positiva medindo 2 /3, então os arcos desta família {AM}, medem:
k=0
k=1
k=2
k=3
...
k=n
k=-1
k=-2
k=-3
k=-4
...
k=-n
Determinações positivas (sentido anti-horário)
µ(AM)=2 /3
µ(AM)=2 /3+2 =8 /3
µ(AM)=2 /3+4 =14 /3
µ(AM)=2 /3+6 =20 /3
...
µ(AM)=2 /3+2n =(2+6n) /3
Determinações negativas (sentido horário)
µ(AM)=2 /3-2 =-4 /3
µ(AM)=2 /3-4 =-6 /3
µ(AM)=2 /3-6 =-16 /3
µ(AM)=2 /3-8 =-22 /3
...
µ(AM)=2 /3-2n =(2-6n) /3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2 .
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez
que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas
semi-retas OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com
medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2
correspondente ao arco AM.
Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam
para ângulos.
279
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em
relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por:
µ(AM')=2 -m.
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k +m,
onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k -m, onde k é um número
inteiro.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em
relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela
expressão µ(AM')= -m.
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k + -m=(2k+1)
-m onde k é um número inteiro.
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em
relação a origem (0,0).
280
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')= +m. Arcos genéricos
com origem em A e extremidade em M' medem:
µ(AM') = 2k
+
+ m = (2k+1)
+m
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco
orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário.
Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um
ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que
corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de
medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida
do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.
281
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x'
Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A
reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A
ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o
cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1,
sen(0)=0
e
tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo
OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno
está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y)
possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o
cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos( /2)=0
e
sen( /2)=1
282
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo:
<a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do
sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um
ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a=
radianos, temos que
cos( )=-1,
sen( )=0
e
tan( )=0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o
cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são
paralelas. Quando a=3 /2, temos:
cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em
relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
283
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo
correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em
relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M
em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
284
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em
exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo
trigonométrico.
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da
Matemática e também das aplicações é:
sin²(a) + cos²(a) = 1
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a
relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
285
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a
distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos,
d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²] 1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é
dada por:
sen(a)
tan(a) =
cos(a)
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que
cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes
últimos valores de a.
Para a 0, a
figura seguinte.
, a
2 , a
/2 e a
3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
AT
OA
=
MN
ON
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2
temos
com a
/2 e a
3 /2
sen(a)
tan(a) =
cos(a)
286
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]
onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número
complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus
módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo
número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma
para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
i(a+b)
e
= cos(a+b)+isen(a+b)
287
Por outro lado
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]
e desse modo
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)
para obter
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2
e 0£b£2 , a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
tan(a+b)=
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
tan(a)+tan(b)
tan(a+b)=
1-tan(a)tan(b)
Como
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
tan(a)-tan(b)
tan(a-b)=
1+tan(a)tan(b)
288
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum
na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto
tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria
para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil
quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um
rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome
triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, entã o os
outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos s ão denominados complementares,
portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a
posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o
ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo
Cateto
Hipotenusa
Origem da palavra
Cathetós:
(perpendicular)
Hypoteinusa:
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
289
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra
Lado
a Hipotenusa
b
Cateto
c
Triângulo
Cateto
Vértice = Ângulo Medida
A = Ângulo reto A=90°
B = Ângulo agudo B<90°
C = Ângulo agudo C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se
estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o
lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B
b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano.
Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da
trigonometria é extenso e minucioso.
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois
lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra
extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao
vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura
(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o
segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
290
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada
por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada
por a.
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do
Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes
segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no
último caso A'=B' é um ponto.
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
291
1.
2.
3.
4.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos
retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e
DÂB=C.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC
a
b
c
ADC
b
n
h
ADB
c
h
m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
292
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus
ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é
indicado pela letra x.
Função
Notação
seno
sen(x)
Definição
cosseno
cos(x)
tangente
tan(x)
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob
análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do
ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
CO
sen(x)=
CO
=
H
CA
cos(x)=
1
CA
=
H
CO
tan(x)=
1
sen(x)
=
CA
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
293
294

Apostila Conhecimentos Básicos - Sindicato dos Trabalhadores no

Transcrição

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Diapositivo 1

SEMÂNTICA (significação das palavras) 1

Lista 01 - Paralelismo, Ângulos e triângulos

FUTURO DO PRESENTE (INDICATIVO)