Números Primos, suas Histórias e o Relato de Duas

CO 27: Números primos, suas histórias e o relato de duas experiências
Jean Sebastian Toillier
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Unioeste
Email: [email protected]
Dulcyene Maria Ribeiro
Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Unioeste
Email: [email protected]
Resumo: Neste texto trataremos sobre úmeros primos e a sua história, por meio do relato de
experiências realizadas com professores e futuros professores em cursos que tiveram por objetivo
apresentar e discutir aspectos da história dos números primos. Buscou-se exemplificar situações em
que a História da Matemática é tratada em atividades pedagógicas. Os extratos de livros didáticos
apresentados no texto e as atividades que foram exploradas destacam a construção do conceito de
números primos e algumas discussões de como esse conceito foi constituído ao longo do tempo.
Entendemos que conhecer a história da disciplina que ministra é um subsídio importante para a prática
do professor. Esperamos que a partir destes exemplos surjam outros olhares e possibilidades para a
utilização da História no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Palavras-chave: Números primos. História da Matemática. Formação de professores.
Um projeto de extensão, um EPREM e os números primos
Números primos é um conceito matemático apresentado no 6º ano do Ensino
Fundamental, mas retomado ao longo desse ciclo e parece não passível de dúvidas.
Professores desse nível de ensino, na maioria das vezes, pensam saber tudo sobre esse tema,
não titubeando em dizer sua definição, em que outros conceitos são utilizados, listam
sequências de números primos, etc. Mas é só lançarmos alguns outros questionamentos que as
certezas vão se dissipando.
Ao longo de um ano, entre setembro de 2013 e agosto de 2014, trabalhamos com
professores de Matemática da rede pública de ensino do Paraná em um projeto de extensão
intitulado A História da Matemática como proposta didático-pedagógica: concepções de
professores, discussão e elaboração de materiais, realizado na Universidade Estadual do
Oeste do Paraná (Unioeste), campus de Cascavel. Neste projeto realizamos discussões sobre
conteúdos de matemática discutidos sob aspectos da sua história e uma das temáticas tratadas
foi a dos números primos. Porém, essa discussão não parou por aí e levamos uma proposta de
minicurso para o XII Encontro Paranaense de Educação Matemática (EPREM), realizado na
cidade de Campo Mourão-PR, em setembro de 2014.
Com base em um artigo em que Viana (1997) discutia a questão das certezas,
apresentando algumas informações sobre o número 1 ser primo ou não, elaboramos o
primeiro material que foi trabalhado no curso com professores de Matemática no projeto de
extensão. Depois, com uma readaptação desse material, elaboramos um minicurso que foi
ministrado no XII EPREM. Os participantes do minicurso eram muito distintos: professores
de cursos de Matemática, professores das séries iniciais do ensino fundamental e alunos de
cursos de Matemática. São aspectos do material construído e discutido com os cursistas e as
impressões sobre as ações desenvolvidas que relatamos nesse material.
O material dos cursos e as discussões
Começamos os dois cursos com questionamentos como:

O que é um número primo?

Como saber se um número é primo ou não?

Existe número par que é primo?

Qual é o menor número primo?

Quantos e quais são os números primos?

O conjunto dos números primos é infinito ou finito?

Existem números primos negativos?

O número 1 é primo ou não?
Algumas dessas questões contradizem outras, mas o objetivo era mesmo destacar
incertezas. Dessa forma, algumas “polêmicas” foram surgindo. Por exemplo, se um número
negativo pode ser considerado primo não seria possível determinar o menor número primo.
Porém, se levassem em conta somente os números naturais quem poderia ser o menor número
primo: o um ou o dois? Com esta última pergunta surgia outra: o número 1 é primo ou não?
Assim, instaurou-se um debate por parte dos participantes, com supostas definições surgindo
e conjecturas sendo elaboradas.
Na sequência dessas primeiras atividades apresentamos outras duas questões:

O que define os números primos?
2

O que os números 36, 10, 57, 35, 13, 5, 19 têm em comum?
Em ambos os momentos que o curso foi aplicado lidávamos com um público que tinha
certa tranquilidade quanto a essas duas questões, assim sugeriram uma possível definição de
números primos: “um número é dito primo se, e somente se, é divisível por um e por ele
mesmo”. Dessa forma, ao solucionar a segunda questão foi utilizada a definição por eles
elaborada. Porém, remetemos às questões feitas anteriormente, ao pensar em qual conjunto
numérico definíamos isso e como tratar o número 1, uma vez que “por definição” o número 1
não é considerado um número primo. Assim, questionamos os alunos do minicurso sobre
como a definição de número primo foi sendo constituída e se alguém conhecia a história por
trás dela. Para falar sobre o tema, apresentamos as definições de números primos que
havíamos encontrado em alguns livros didáticos de matemática de diferentes épocas.
Já no projeto de extensão desenvolvido com professores na universidade, antes que
apresentássemos definições selecionadas por nós, distribuímos livros didáticos elaborados em
diferentes períodos para que os próprios professores buscassem definições de números primos
nesses livros. Eles se surpreenderam com as diferentes definições que encontraram, algumas
vezes, pela sutileza da diferença, outras pela total disparidade. Foi um momento importante,
porque eles também se deram conta de que muitas vezes, acabam reproduzindo o que está no
livro didático e nem percebem ou pensam que a apresentação de um conceito poderia ter
formulações diferentes. Assim, perceberam a importância da pesquisa para a sua própria
formação.
A primeira definição apresentada por nós teve por objetivo trazer certo incômodo aos
participantes: “Um número p∈ ℤ é chamado número primo se (i) p ≠ 0; (ii) p ≠ ±1 e (iii) os
únicos divisores de p são 1, −1, p e – p” (DOMINGUES, 1982, p. 6). Essa definição foi
retirada de um livro utilizado para as disciplinas dos cursos de Matemática e causou
discussões, uma vez que, ao pensarmos na educação básica, a decomposição dos números em
fatores primos utiliza apenas números naturais, não os números inteiros.
Além disso, em que momentos ocorrem discussões sobre esse tema no ensino
superior? De que forma os acadêmicos de um curso de Matemática são preparados para lidar
com o assunto números primos? Tanto os alunos de graduação em Matemática, como os
professores dos cursos de Matemática que estavam presentes relataram que em poucas
situações a questão é tratada e que não ocorre nenhum tipo de aprofundamento sobre o tema,
o qual parece tão trivial para todos os participantes.
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Na sequência apresentamos uma definição mais atual e usual de números primos e que
sofre ligeiras modificações de um livro para outro: “Um número natural diferente de 0 e de 1
e que é apenas múltiplo de 1 e de si próprio é chamado de número primo. Um número
diferente de 0 e de 1 que não é primo é chamado de número composto” (HEFEZ, 2009, p.
31).
Além dessas duas definições, trouxemos duas outras que apareciam em livros
didáticos de diferentes épocas para fazer uma comparação. A que está presente no livro
Matemática: saber & fazer, de Averbuch, Gottlieb, Sanches e Liberman, publicado em 1985:
Observemos os conjuntos dos divisores de 1, 2, 7 e 8:
D(1) = {1}
D (7) = {1, 7}
D (2) = {1, 2}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
Notamos que os conjuntos D(7) e D(2) têm somente dois elementos. Dizemos que 7
é um número primo e que 2 é, também, um número primo.
Por outro lado, D(1) e D(8) não têm somente dois elementos. Dizemos que 1 não é
um número primo e que 8 também não é um número primo.
Assim:
 Os números que possuem dois e somente dois divisores são chamados números
primos.
 Existem infinitos números primos. (AVERBUCH et al, 1985, p. 75. Grifos como
no original).
E essa de Castrucci e Lima Filho (1961), no livro Matemática para a primeira série
ginasial de 1961:
DEFINIÇÃO. Um número maior que 1 chama-se primo quando é divisível sòmente
pela unidade e por êle mesmo.
O número primo tem, então, sòmente dois divisores.
Exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13 são primos.
Os números maiores que 1 que não são primos, como 4, 8, 9, 12 são chamados por
alguns de números compostos.
Ao apresentarmos todas essas definições, notamos diferentes tratamentos sobre o
número 1 em relação ao conjunto dos números primos: ele simplesmente não é considerado
primo, ele não é mencionado na definição ou é colocado simplesmente como 1. Porém,
questionamos os participantes do minicurso: por que o número 1 não pode ser considerado
primo, uma vez que ele é divisível somente por um e por si próprio? O silêncio tomou conta
do ambiente e apenas um professor se manifesta, lembrando de uma adequação do Teorema
Fundamental da Aritmética.
O número 1 não é primo por convenção! Como o professor participante havia
colocado é justamente por causa do Teorema Fundamental da Aritmética que isso acontece,
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pois esse teorema garante que todo número deverá ser decomposto em fatores primos de
forma única. E assim, ao considerar o número 1 como sendo primo contraria-se este teorema,
pois então poder-se-ia escrever todo número em fatores primos de duas formas distintas. O
exemplo seguinte ilustra essa ideia.

Não considerando o número 1 como primo, o número 6 pode ser escrito como
sendo: 3.2;

Já considerando o número 1 como sendo primo, o número 6 poderia ser escrito
de duas formas: 3.2 ou 3.2.1.
Ao mostrar a “necessidade” do número 1 não fazer parte do conjunto dos números
primos conseguimos esclarecer uma das perguntas que havíamos deixado aos participantes.
Porém, uma das ideias dos cursos ofertados era justamente discutir essa “necessidade” e então
apresentamos alguns pontos destacados por Vianna (1997), baseados nos exemplos da
dissertação de Imenes (1989), discutindo as definições de números primos de livros didáticos
brasileiros da primeira metade do século XX. Vejamos uma definição de números primos de
um livro de 1933:
Livro "Mathemática - 1o anno" de Cecil Thiré - Mello e Souza, editado pela Livraria
Francisco Alves em 1933.
Dizemos que um numero é primo quando só é divisível por si e pela unidade.
São primos os numeros: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.
Os numeros primos formam um conjuncto denominado conjuncto dos números
primos
O conjuncto dos numeros primos é illimitado, isto é, sendo dado um numero primo
qualquer é sempre possível achar outro numero primo maior. (IMENES, 1989, apud
VIANNA, 1997 p. 192)1.
Nesse primeiro momento o número 1 é considerado primo. Porém, anos mais tarde, ele
“deixou” de ser um número primo. Antes de formalizar essa ideia, alguns autores utilizaram
um processo intermediário em que o número 1 mesmo ainda sendo considerado primo na
definição registrada no livro, já se explica que isso poderia ser diferente, como feito por
Osvaldo Sangiorgi, no livro Matemática - curso ginasial, 1a série, editado em 1962, pela
Companhia Editora Nacional:
Um número diz-se primo, quando é divisível sòmente por si e pela unidade. Caso
contrário diz-se composto.
1
IMENES, Luiz Márcio. Um estudo sobre o fracasso do ensino e da aprendizagem da matemática. 1989.
326p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro (SP), 1989.
5
Assim, por exemplo, o número 13 é primo porque só é divisível por 13 e por 1
enquanto que os números 4, 6, 8, 9, 10, 12 .... são compostos, pois admitem outros
divisores além da unidade e do próprio número considerado.
Os primeiros números primos dispostos em ordem crescente, isto é:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
constituem a sucessão dos números primos (*) que é infinita, ou seja é sempre
possível encontrar novos números primos.
O asterisco remete a uma longa observação que transcrevemos em seguida:
(*) Poderíamos, conforme faz M. Cipolla, nos seus "Elementi de Aritmetica
Razionale - Ed. 1950, pág. 75" - deixar de considerar o número 1 como primo.
Todavia o tradicionalismo histórico ressaltado por ilustres tratadistas da
Aritmética, onde o 1 (que satisfaz a definição dada para número primo) figura no
Crivo de Eratóstenes - que é a mais antiga tábua de números primos registrada na
História - como o primeiro número primo, permite-nos considerá-lo ainda como tal.
Uma das maiores tábuas de números primos que se conhece, a de Burckhardt,
registra todos os números primos desde 1 até 3030000.
Outrossim, estudos famosos, tais como a Proposição de Golbach ("Todo número
par é a soma de dois números primos"), bem como a Memória de Riemann
("Número de números primos") dão ao número 1 personalidade de número primo.
Posteriormente, num curso de Aritmética Racional (2o ciclo) seria precisado o
conceito dos números que admitem sòmente dois divisores distintos. (IMENES,
1989 apud VIANNA, 1997, p. 192).
Pelo extrato acima vê-se que no livro italiano o 1 já figurava como não sendo primo,
mas Sangiorgi ainda optou por manter o 1 na lista de números primos e nos forneceu seus
motivos, o que nos ajuda hoje a entender a mudança de condição do número 1. Contudo, dois
anos depois, em 1964, no livro Matemática 1: Curso moderno para cursos ginasiais, V. 1,
publicado pela Companhia Editora Nacional, as informações de Sangiorgi sobre números
primos davam conta de que o 1 não era primo.
4. Número 1; números primos; números compostos
Você já percebeu que o número 1 tem uma posição privilegiada na divisibilidade,
pois, é divisor de qualquer número ou, em outras palavras, qualquer número é
divisível por 1.
Veja, agora, o que ocorre com os outros números da sucessão dos números naturais:
O 2 é divisível por 1 e 2 (e só!)
O3“ “
“ 1 e 3 (e só!)
O4“ “
“ 1, 2 e 4
O5“ “
“ 1 e 5 (e só!) [...]
Logo:
1°) Existem números (como: 2, 3, 5, 7,...) divisíveis sòmente por 1 e por si mesmos;
tais números chamam-se primos.
2° Existem números (como 4, 6, 8, 9,...) que, além de serem divisíveis por 1 e por si
mesmos, são divisíveis por outros números; tais números são chamados compostos.
Portanto, qualquer número natural apresenta-se como
Número 1
Ou  número primo
Número composto
E, dentro desta classificação, valem as definições:
Número primo é o número (diferente de 1) que possui sòmente dois divisores: 1
e êle mesmo.
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Número composto é o número que possui mais de dois divisores. (SANGIORGI,
1964, p. 120-121. Grifo como no original).
Ao apresentar essa “evolução” do conceito de número primo, deixamos um
questionamento: seria justo o número 1 deixar de ser primo somente para não contrariar o
Teorema Fundamental da Aritmética? Alguns participantes ficaram em silêncio, mas um dos
professores de ensino superior presente no minicurso mencionou que o teorema era usado em
outros resultados matemáticos que não seriam possíveis sem essa adequação, justificando a
necessidade de tal adequação ter sido feita, o que deixou os demais participantes
“conformados” com essa alteração.
A título de considerações
Os números primos são de extrema importância e descrevemos uma forma de abordar
esse conceito relacionando-o à História da Matemática. Essas atividades apresentadas ao
longo do texto e outras que exploramos destacam a construção do conceito de números
primos e trazem algumas discussões de como esse conjunto numérico foi constituído ao longo
do tempo. Assim, podemos destacar alguns pontos de convergência nos dois momentos de
aplicação dos cursos.
Em ambos os cursos realizados ninguém relatou saber que o número 1 “já foi um
número primo”. Algo normal, pois antes de conhecer o texto de Carlos Vianna, nunca
havíamos pensado na definição de números primos que conhecíamos, se ela envolvia ou não o
número 1, se a lista de números primos pela definição que estudamos começava no número 2,
se havia algum conjunto em que esses números estavam definidos, etc. Porém, é estranho
como não questionamos as coisas que nos são ensinadas e que ensinamos para os nossos
alunos. Tudo parece uma verdade absoluta. Isso aconteceu conosco, com os professores que
participaram do curso de extensão, com os participantes do minicurso do EPREM. Não somos
acostumados a questionar. Se um dia tivemos a leveza de uma criança que faz perguntas sem
se preocupar se ela pode ser boba ou não, ao longo da escolarização aprendemos que
perguntar às vezes pode ser sinônimo de ingenuidade, de falta de conhecimento do que já
deveria ser sabido e, assim, aprendemos a não questionar nada, a não duvidar do que nos é
ensinado. Por isso, acreditamos que conhecer a história da matemática, ou de qualquer
conteúdo que se vá ensinar, é papel fundamental do professor, pois contribui com a sua
atividade diária.
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Outro ponto que discutimos nos dois cursos foi sobre uma maneira de encontrar os
números primos. A maioria dos professores listou procedimentos de como realizar essa tarefa
“riscando” os múltiplos dos números primos em uma tabela de valores. Esse procedimento
tem sido apresentado nos livros didáticos atuais. Porém, uma quantidade reduzida dos
participantes conhecia o crivo de Eratóstenes2 como uma ferramenta eficaz para encontrar
números primos. Vários alunos dos cursos de matemática presentes não conheciam esse
procedimento. Se uma vez foi-lhes ensinado quando estavam no ensino fundamental, o tempo
e a pouca maturidade que apresentavam se encarregaram de lhes fazer esquecer. Ao não
conhecer essa relação o professor perde uma oportunidade de realizar um trabalho com a
história da matemática, uma das tendências do ensino de matemática, como é sugerido pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais.
De modo geral, esse e outros conceitos ensinados no ensino fundamental e médio,
ficam de fora de qualquer discussão nos cursos superiores de matemática. Se em algum
momento faz-se referências a esses conceitos, eles são feitos de forma tão abstrata, que os
alunos nem conseguem fazer ligações como os conceitos que um dia aprenderam e que em
breve irão ensinar.
Portanto, buscamos apresentar que a construção do conceito de número primo revela
que o desenvolvimento da Matemática enquanto ciência nem sempre se deu de forma lógica,
maneira como, em geral, é exposta aos alunos durante o processo de ensino e aprendizagem.
Muitos autores concordam que seu desenvolvimento histórico revela contradições, idas e
vindas para o estabelecimento de sua organização lógica atual. Dessa forma, conhecer a
história da disciplina que ministra serve de subsídio para a prática do professor.
Referências
AVERBUCH, A.; GOTTLIEB, F. C.; SANCHES, L. B.; LIBERMAN, M. P. Matemática:
saber & fazer: 5a. série, 1º grau. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1985.
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Eratóstenes viveu no século III a. C. Era de Cirene, mas passou grande parte da sua vida em Atenas e depois
em Alexandria, onde foi bibliotecário da Universidade. Trabalhou como astrônomo, matemático, geógrafo,
historiador, filósofo, atleta e poeta, segundo Eves, (2004, p. 196-197). Ele criou um método para reconhecer os
números primos que ficou conhecido como Crivo de Eratóstenes. Esse método consiste no seguinte: A partir de
uma tabela com os números de 1 a n (número que desejamos encontrar), calcule √ , encontre todos os números
primos menores que √ e risque todos os múltiplos desses números na tabela construída. Os números sem riscos
que restarem na tabela são números primos.
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CASTRUCCI, B. LIMA FILHO, G. DOS S. Matemática para a primeira série ginasial. 2
ed. Rio de Janeiro: Editora Paulo de Azevedo Ltda., 1961.
DOMINGUES, H. H. Álgebra Moderna. 2 ed. São Paulo: Atual, 1982.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H. 2.ed., Campinas:
Ed. da UNICAMP, 1997. 842p.
HEFEZ, A. Iniciação à Aritmética. 2009. Disponível em:
<http://www.obmep.org.br/docs/Apostila1-aritmetica.pdf >. Acesso em: 01 mai. 2014.
RIBEIRO, D. M. História da Matemática e a formação de professores de matemática. In:
Strieder Dulce M.; Malacarne, Vilmar (org.) Ensino de Ciências e Matemática: aspectos da
formação docente. Curitiba, CRV, 2011.
SANGIORGI, O. Matemática 1: Curso moderno para cursos ginasiais. V. 1, São Paulo,
Companhia Editora Nacional, 1964. 327p.
SARAIVA, M.; PONTE, J. P. (2003). O trabalho colaborativo e o desenvolvimento
profissional do professor de Matemática. Quadrante, v.12, n.2, p. 25-52. 2003.
VIANNA, C. R. Introdução à história da matemática para professores. In: Anais do 2º
Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática e Seminário Nacional de História da
Matemática. (Ed.) Sérgio Nobre. Águas de São Pedro-SP. 1997, p.181-196.
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