Apostila 02

5. Medidas de Posição
Depois de se fazer a coleta e a representação dos dados de uma pesquisa, é comum
analisarmos as tendências que essa pesquisa revela. Assim se a pesquisa envolve muitos
dados, convêm sintetizarmos todas essas informações a um mínimo de parâmetros que possam
caracterizá-la. Esses parâmetros podem ser de:
centralização: média aritmética, mediana e moda.
separatrizes: mediana, quartis e percentis.
dispersão: intervalo de variação, desvio médio, variância e desvio padrão.
1. Média Aritmética ( x ou µ )
A média caracteriza o centro da distribuição de freqüências, sendo, por isso uma medida de
posição. Podemos definir vários tipos de médias de um conjunto de dados, temos a média
aritmética, a média geométrica, a média harmônica, etc.
Aqui, trabalharemos exclusivamente com a média aritmética (simples ou ponderada).
É comum distinguirmos, em termos de notação, a média amostral e a média populacional,
embora o cálculo de ambas seja o mesmo e apresente, portanto, o mesmo resultado:
x (lê-se: “xis barra”) → média amostral
µ (lê-se: “mi”) → média populacional
Há três formas para calcular a média. Isse depende de como está o nosso conjunto de dados:
não agrupados, agrupados sem classes ou agrupados com classes.
Importante: nunca devemos arredondar o valor da média, mesmo que esse número não faça,
aparentemente, sentido. Por exemplo: se calculamos que o número médio de filhos é 1,8, não
devemos arredondar para 2. Embora não faça sentido falarmos em 1,8 filhos por família, pense
em 18 filhos (em média) a cada 10 famílias, ou, ainda, 180 filhos, em média, a cada 100 famílias.
Agora, o número médio passa a ter um sentido “prático”.
Caso I: Dados não agrupados
Para uma seqüência numérica X: x1, x2, …, xn, a média aritmética simples, que designamos por
x ou µ é definida por:
x= µ = ∑
xi
n
Exemplo 1: calcular a média da série X : 2, 0, 5, 3:
x=
2+0+5+3
= 2,5
4
77
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta faremos a média aritmética
ponderada considerando as freqüências simples de fi como sendo as ponderações dos
elementos xi correspondentes:
Assim a fórmula para o cálculo da média é:
x=µ=
∑x f
∑f
i i
ou x = µ =
∑x f
i i
n
i
Exemplo 2: Considerando a distribuição:
X=
∑x f
i i
n
=
xi
fi
2
1
4
3
5
2
total
6
n
2.1 + 4.3 + 5.2 2 + 12 + 10
=
=4
1+ 3 + 2
6
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe
Quando os dados estão agrupados com intervalos de classes, ou seja, quando se trata de uma
variável contínua, se aceita, por convenção, que as freqüências se distribuem uniformemente ao
longo da classe e que, portanto, o ponto médio da classe é o valor representativo do conjunto.
Neste caso a média será calculada fazendo a média aritmética ponderada considerando as
freqüências simples de fi como sendo as ponderações dos elementos x i correspondentes, onde
x i é o ponto médio do intervalo. Assim, a fórmula para o cálculo da média é a mesma que a
do caso II:
x=µ=
∑x f
∑f
i i
ou x = µ =
i
∑x f
i i
n
Relembrando:
Ponto médio de uma classe (xi) corresponde à
soma do limite inferior com o limite superior dessa
classe, dividindo o resultado por 2. Ou seja:
Ponto médio = x i =
LIclasse + LS classe
2
78
Exemplo 3: Considere a distribuição:
classe
180 |― 200
200 |― 220
220 |― 240
240 |― 260
260 |― 280
total
fi
4
18
10
5
3
xi
190
210
230
250
270
40
---
180 + 200
= 190
2
200 + 220
= 210
2
n
x=
∑x f
i i
n
=
190.4 + 210.18 + 230.10 + 250.5 + 270.3 8900
=
= 222,50
4 + 18 + 10 + 5 + 3
40
2. Moda (Mo)
A moda de uma série de valores é o valor de maior freqüência absoluta,ou seja, o valor que
aparece o maior número de vezes na distribuição. Fique atento: moda é um valor, ou seja, xi.
Moda NÃO é a freqüência (fi)!
Assim como no caso da média, vamos considerar três casos para obtermos a moda.
Caso I: Dados não agrupados
Exemplos:
1) Dada a série: 2, 0, 0, 5, 3, observamos que o valor 0 ocorreu duas vezes. Logo, Mo = 0.
2) Seja o ROL: 1, 2, 5, 7, 12,18, notamos que não existe um valor que apareça mais vezes.
Neste caso, dizemos que a série de dados é amodal (não há moda).
3) Dada a série: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, vemos que os valores 2 e 3 ocorreram três
vezes cada um. Neste caso, temos dois valores modais, ou seja, Mo = 2 e 3. A série é dita
bimodal.
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe
Exemplo 4: Considerando a distribuição:
xi
fi
2
1
4
3
5
2
total
6
A maior freqüência é 3, que corresponde ao valor 4. Logo, Mo = 4.
79
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe
Neste caso, a classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. No caso de
distribuição de freqüências em classes de mesma amplitude, a moda corresponde a um ponto
pertencente à classe modal dado pela fórmula de Czuber:
 D1 
.h
Mo = L Mo + 
D
+
D
 1
2 
com
D1 = fmo – fant
D2 = fmo – fpost
onde:
LMo = limite inferior da classe modal
fMo = freqüência absoluta da classe modal
fant = freqüência absoluta da classe imediatamente anterior à classe modal
fpost = freqüência absoluta da classe imediatamente posterior à classe modal
h = amplitude da classe modal
Exemplo 5: Considere a distribuição:
classe
classe
modal
fi
xi
180 |― 200 4 190
200 |― 220 18 210
220 |― 240 10 230
240 |― 260 5 250
260 |― 280 3 270
total
40 ---
Inicialmente, devemos localizar a CLASSE MODAL, ou seja, a classe que conterá a moda. Ela
corresponde ao intervalo que possui maior freqüência. No caso, 200 |― 220. Feito isso, basta
aplicarmos a fórmula de Czuber:
LMo = 200
fMo = 18
fant = 4
fpost = 10
h = 220-200 = 20
Logo:
D1 = 18 – 4 = 14
D2 = 18 – 10 = 8
A moda será:
80
14
 14 
.20 = 212,7
.20 = 200 +
22
 14 + 8 
Mo = 200 + 
3. Mediana (Md)
A mediana de um conjunto de valores, colocados em rol, é o valor situado de tal forma no
conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos (elemento que
ocupa a posição central). Em outras palavras, tendo-se um conjunto de dados ordenados de
maneira crescente (ROL), a mediana é o valor que separa os 50% dos menores dados dos
50% maiores.
Caso I: Dados não agrupados
Exemplo 6: CASO ÍMPAR: sejam os resultados de 5 lançamentos de um dado: 2, 4, 4, 5, 6. A
mediana corresponde ao valor 4, visto que ele é o valor central, deixando 2 dados à sua
esquerda e 2 à sua direita. Assim, Md = 4.
Note que n=5 (ímpar). A posição ocupada pela mediana é a 3ª. Essa posição poderia ser obtida
da seguinte forma:
n
5
+ 0,5 = + 0,5 = 3 ª posição que corresponde ao valor Md=4.
2
2
Exemplo 7: CASO ÍMPAR: sejam as idades de 9 pessoas: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41, 44.
Colocando os dados em rol temos: 28, 37, 37, 37, 40, 41, 41, 44, 45.
A mediana corresponde ao valor 40 (ou seja, idade), pois há quatro valores à esquerda de 40 e
quatro valores à direita de 40. Assim, Md=40.
Perceba que a posição ocupada pela mediana é a 5ª. Utilizando o mesmo raciocínio do exemplo
anterior, podemos obter essa posição através do seguinte cálculo:
n
9
+ 0,5 = + 0,5 = 5 ª posição que corresponde ao valor Md=40.
2
2
Exemplo 8: CASO PAR: considere o número de filhos de 6 famílias: 0, 0, 1, 2, 3, 3. Perceba
que a mediana não poderia ser 1, pois deixaria dois valores à esquerda e três à direita. Da
mesma forma, a mediana não poderia ser 2, pois deixaria três valores à esquerda e dois valores
à direita. Dessa forma, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais:
Md =
1+ 2
= 1,5 (nunca arredondar!)
2
Observe que a mediana corresponde à média dos valores que ocupam a 3ª e 4ª posições.
Essas posições podem ser obtidas da seguinte forma:
n 6
n
6
= = 3 ª posição e
+ 1 = + 1 = 3 + 1 = 4 ª posição.
2 2
2
2
81
Novamente, vamos ressaltar: a 3ª posição é ocupada pelo valor 1; a 4ª posição é ocupada
pelo valor 2. A mediana é, portanto, o valor 1,5.
Exemplo 9: CASO PAR: sejam as idades de 8 pessoas: 21, 24, 28, 31, 34, 35, 38, 38
A mediana corresponde a média aritmética dos dois valores centrais, que são 31 e 34. Assim:
Md =
31 + 34
= 32,5 anos.
2
Note que o valor 31 anos está na 4ª posição e o valor 34 anos ocupa a 5ª posição. Vamos
obter essas posições utilizando a mesma fórmula do exemplo anterior:
n 8
n
8
= = 4 ª posição e
+ 1 = + 1 = 4 + 1 = 5 ª posição
2 2
2
2
Logo, a mediana corresponderá a média dos valores que ocupam as posições calculadas.
A mediana não precisa ser um dos valores da
distribuição e nem deve ser arredondada!
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe
Para determinarmos à mediana de uma distribuição de dados discreta, vamos trabalhar com as
situações de n par ou n ímpar que citamos nos exemplos do caso I. Para facilitar a localização
da posição da mediana, utilizaremos a freqüência acumulada.
Exemplo 10: n ÍMPAR
Considerando a distribuição:
idades
12
14
15
16
17
total
fi
3
5
6
2
5
21
Fi
3
8
14
16
21
---
Significado de Fi
(posições)
1ª a 3ª
4ª a 8ª
9ª a 14ª
15ª a 16ª
17ª a 21ª
---
Inicialmente, calculamos a posição ocupada pela mediana utilizando a regra de n ímpar:
21
+ 0,5 = 10,5 + 0,5 = 11ª posição.
2
82
Na tabela, localizamos a linha que contém a 11ª posição, que no caso é a terceira linha.
Verificamos o valor que está nessa linha, que no caso é a idade 15. Assim, Md = 15 anos.
Exemplo 11: n PAR
Considere a distribuição:
idades
20
fi
2
Fi
2
Significado de
Fi (posições)
1ª a 2ª
21
5
7
3ª a 7ª
22
7
14
8ª a 14ª
total
14
---
---
Calculando a posição da mediana, utilizando a regra de n PAR:
14
= 7 ª posição e a seguinte, ou seja, 8ª posição.
2
Ou seja, os valores centrais da distribuição ocupam a 7ª e 8ª posições.
Na tabela, vemos que a 7ª posição é ocupada pelo valor (idade) 21 anos, enquanto que a 8ª
posição é ocupada pelo valor 22 anos. A mediana da distribuição será:
Md =
21 + 22
= 21,5 anos.
2
Mais uma vez, perceba que a mediana é um valor. As posições são calculadas apenas para
que cheguemos a esse valor, que no caso é Md=21,5.
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe
Quando estamos trabalhando com variáveis contínuas, ou seja, quando os dados estão
agrupados em classes, determinamos a classe na qual se encontra a mediana, que chamaremos
de classe mediana. Neste caso, não nos preocuparemos se estamos trabalhando com uma
quantidade de dados par ou ímpar, visto que apenas precisamos determinar a classe que
contém a mediana. Em seguida, calculamos o valor da mediana através da fórmula:
Md = L Md
n
 − Fant
+ 2
 fMd




.h



em que:
LMd é o limite inferior da classe mediana;
Fant é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
h é a amplitude do intervalo da classe mediana;
fMd é a freqüência simples (ou absoluta) da classe mediana.
83
Exemplo 12: considere a distribuição:
classe
mediana
classe
180 |― 200
200 |― 220
220 |― 240
240 |― 260
260 |― 280
fi
4
18
10
5
3
Fi
4
22
32
37
40
total
40
---
Significado de Fi
(posições)
1ª a 4ª
5ª a 22ª
23ª a 32ª
33ª a 37ª
38ª a 40ª
Vamos verificar qual a classe que contém a mediana. Para isto, vamos calcular a posição
ocupada pela mediana:
40
= 20ª posição.
2
Note que essa posição corresponde à classe 200 |― 220. Esta é a classe mediana. Utilizando a
fórmula apresentada:
Li = 200
Fant = 4
h= 220 – 200 = 20
fMd = 18
 40

−4

.20 = 200 + 17,78 ⇒ Md = 217,78
Md = 200 +  2
 18 




Exemplo 13: considerando a distribuição:
classe
mediana
Alturas (cm)
fi
Fi
150 |― 154
154 |― 158
4
9
4
13
Significado de Fi
(posições)
1ª a 4ª
5ª a 13ª
158 |― 162
162 |― 166
11
8
24
32
14ª a 24ª
25ª a 32ª
166 |― 170
170 |― 174
5
4
37
41
33ª a 37ª
38ª a 41ª
total
41
---
---
Cálculo da classe mediana:
41
= 20,5 ª posição. Vamos arredondar para a 21ª posição. Na tabela, identificamos que essa
2
posição se encontra na classe 158 |― 162. Usando a fórmula:
84
Li = 158
Fant = 13
h = 162 – 158 = 4
fMd = 11
 40

− 13 

.4 = 158 + 2,54 ⇒ Md = 160,54 cm
Md = 158 +  2
 11 




4. Exemplos
Vamos obter a média, a moda e a mediana para os casos a seguir.
Exemplo 14: considere as notas obtidas por 25 alunos, numa avaliação de Estatística,
distribuídas na tabela abaixo. Determine a média, a mediana e a moda.
Média: µ = x =
∑ f .x
i
n
i
=
Nota
fi
Fi
4
5,5
6
8,5
9
10
1
5
3
8
5
3
1
6
9
17
22
25
Total
25
---
1.4 + 5.5,5 + 3.6 + 8.8,5 + 5.9 + 3.10 192,5
=
= 7,7 .
25
25
Moda: é o valor com maior freqüência. Na tabela, vemos que a maior freqüência é 8 e
corresponde à nota 8,5. Logo, Mo = 8,5.
Mediana: inicialmente, calculamos a posição da mediana usando a regra do n ÍMPAR:
25
+ 0,5 = 12,5 + 0,5 = 13 ª posição. Utilizando a coluna da freqüência acumulada, percebemos
2
que o valor que ocupa a 13ª posição é a nota 8,5. Assim, Md = 8,5.
Resumindo: a nota média obtida na prova feita pelos 25 alunos é 7,7, sendo que a nota 8,5
ocorreu com a maior freqüência (moda) e 8,5 é a nota que separa as 50% menores notas
obtidas das 50% maiores (mediana).
85
Exemplo 15: a tabela abaixo indica o aluguel de um grupo de casas.
Classe
Aluguel (R$)
0 | 200
200 | 400
400 | 600
600 | 800
800 | 1.000
total
1
2
3
4
5
Nº de
casas
30
52
28
7
3
120
Fi
30
82
110
117
120
---
xi (ponto
médio)
100
300
500
700
900
---
classe modal e
classe mediana
Média: para o cálculo da média, construímos, na tabela, a coluna do ponto médio, que
corresponderá ao nosso xi. Aplicando a fórmula:
µ=x=
30.100 + 52.300 + 28.500 + 7.700 + 3.900 40200
=
= 335 reais.
120
120
Moda: observando as freqüências absolutas, percebemos que a segunda classe é aquela que
possui a maior freqüência, ou seja, a classe modal é 200 | 400.
Calculamos as diferenças:
D1 = fMo – fant = 52 – 30 = 22
D2 = fMo – fpost = 52 – 28 = 24
Aplicando a fórmula de Czuber:
 D1 
22
 22 
.h = 200 + 
Mo = L Mo + 
⋅ 200 = 200 + 95,7 = 295,7 reais.
 ⋅ 200 = 200 +
D
D
46
+
22
+
24


2 
 1
Mediana: inicialmente, calculamos a posição da mediana para, em seguida, determinar a classe
mediana.
120
= 60 ª posição
2
Esta posição está na segunda classe, ou seja, na classe 200 | 400 (classe mediana).
Logo:
LMd = 200
Fant = 30
h= 400 – 200 = 200
fMd = 52
Aplicando a fórmula:
Md = L Md
n
 − Fant
+ 2
 fMd



 120

− 30 


.h = 200 +  2
.200 = 200 + 115,4 = 315,4 reais
52









86
Resumindo: o aluguel médio das casas pesquisadas é R$ 335,00, sendo que o valor que mais
ocorre é R$ 295,70 e o valor mediano encontrado foi R$ 315,40, ou seja, metade dos alugueis
cobrados tem valor superior ao mediano e a outra metade possui valor inferior a R$ 315,40.
5. A média é representativa?
A média é uma medida que representa bem o conjunto de dados?
Consideremos os conjuntos de valores, por exemplo, de 5 provas feitas por um aluno A e um
outro B:
A: 5, 5, 5, 5, 5
B: 0, 0, 5, 10, 10
Note que a média das provas de ambos alunos é a mesma, ou seja, µA = µB = 5. Porém, é
nítido que os alunos não tiveram o mesmo desempenho ao longo das provas. Enquanto A se
manteve constante, B foi muito mal no começo mas muito bem no final. Assim, só a média não é
capaz de traduzir o conjunto de dados.
Dessa forma, com a utilização da moda e da mediana, passamos a ter uma visão melhor de
como se comportam os dados em nosso conjunto (no caso que não temos acesso ao conjunto
de dados brutos). Assim, vejamos uma tabela comparativa:
Grupo A
B
Média
5
5
Moda
5 0 e 10
Mediana 5
5
Observando esses resultados, percebemos que o conjunto A possui uma variabilidade de notas
maior que o do conjunto B, dando indícios que as notas em A foram mais homogêneas que as
notas em B. Mesmo assim, para termos certeza disso, devemos calcular outras medidas
estatísticas, chamadas de medidas de dispersão que estudaremos mais adiante.
6. Exercícios
1. Calcule a moda, a mediana e a média das seguintes séries:
i. 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42, 47
ii. 1, 1, 3, 2, 3, 5, 4, 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1
2. Calcule a mediana e a média do conjunto de dados apresentados pela seguinte distribuição
de freqüências:
xi 8 12 16 20
fi 7 16 20 5
87
3. Determine a média, a moda e a mediana em cada caso:
a) Em uma casa de repouso, as pessoas internadas têm as seguintes idades:
idade Nº de pessoas
67
3
68
4
71
3
72
2
73
4
74
4
75
5
77
3
78
2
80
3
84
4
85
3
total
40
b) Considere a tabela, que representa a distribuição das áreas cultivadas, em hectares, de uma
determinada região.
Dados: xi: área em hectares, fi: número de áreas cultivadas.
xi
[0; 2[
[2; 4[
[4; 6[
[6; 8[
[8; 10[
[10; 12[
[12; 14[
fi
30
35
60
35
15
8
2
4. A tabela abaixo indica os Custos, de uma determinada empresa, com encargos salariais:
Custos
[450; 550[
[550; 650[
[650; 750[
[750; 850[
[850; 950[
[950; 1.050[
[1.050; 1.150]
fi
8
10
11
16
13
5
1
Determine:
a) a classe modal;
b) a moda da distribuição;
c) a classe mediana;
d) a mediana da distribuição;
e) construa o histograma e o polígono de freqüências da distribuição.
f) a média salarial.
88
5. A tabela seguinte fornece o número de erros gráficos por página de certo livro.
número de erros
número de páginas
0
84
1
25
2
8
3
2
4
1
Calcular:
a) o número médio de erros por página
b) o número mediano
c) qual é a moda da distribuição?
6. Numa pesquisa entre 250 famílias de certa cidade constataram-se os seguintes dados:
nº de filhos
nº de famílias
0
45
1
52
2
48
3
55
4
30
5
10
6
8
7
2
Para a distribuição do número de filhos, calcular a média, a mediana e a moda.
7. Se os dados do problema anterior estivessem computados como segue:
nº de filhos
0
1
2
3
4
nº de famílias
45
52
48
55
30
mais do que
4
20
qual das três medidas nós teríamos dificuldades para calcular?
8. Os dados seguintes referem-se ao tempo de vida (durabilidade) de 150 lâmpadas elétricas
de certa fabricação, em centenas de horas.
Duração
0 | 4
4 | 8
8 | 12
12 | 16
16 | 20
20 | 24
24 | 28
28 | 32
nº de lâmpadas
4
12
40
41
27
13
9
4
a) Qual é a moda?
b) Calcular a vida média das lâmpadas.
c) Qual é a mediana?
9. A média dos salários dos funcionários de uma determinada empresa é 5 salários mínimos (5
SM), enquanto que a mediana é 4 SM. Sorteando-se ao acaso um dos funcionários, o que é
mais provável: que ele ganhe mais ou que ele ganhe menos do que a média dos salários?
10. Uma prova foi aplicada a três classes, de 40, 48 e 46 alunos, e as médias de cada classe
foram 6,0, 6,6 e 5,8, respectivamente. Qual é a média para os 134 alunos que fizeram a
prova?
11. Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição utilizamos:
a) a média
b) a mediana
c) a moda
d) a moda ou a média
89
12. Quando desejamos o ponto médio exato de uma distribuição de freqüência, basta calcular:
a) a média
b) a moda
c) a mediana
d) as três
13. Considere uma série estatística com 2351 elementos. A posição da mediana é representada
pelo:
a) 1175º elemento
b) 1176º elemento
c) ponto médio entre o 1175º e o 1176º elemento
d) 1174º elemento
14. Um professor, após verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminou as questões que
não foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas de todos os alunos foram
aumentadas de 3 pontos. Então:
a) a média aritmética ficou alterada, assim como a mediana.
b) apenas a média aritmética ficou alterada.
c) apenas a mediana ficou alterada.
d) não houve alteração nem na média nem na mediana.
e) nada podemos afirmar sem conhecer o número total de alunos.
15. Calcule o número médio, mediano e modal de acidentes por dia em uma determinada
esquina.
Números de acidentes Números de
por dia (xi)
dias (fi)
0
30
1
5
2
3
3
1
4
1
Total
40
16. O gráfico abaixo mostra a distribuição de freqüências das notas obtidas pelos alunos, da 2ª
série do ensino médio, numa prova de Geografia. Determine:
i.
a mediana dessa distribuição;
ii.
a moda dessa distribuição
iii.
a média das notas.
90
17. As notas de um candidato em seis provas de um concurso foram:
8,4 ; 9,1 ; 7,2 ; 6,8 ; 8,7 ; 7,2
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
18. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:
R$ 75 ; R$ 90 ; R$ 83 ; R$ 142 ; R$ 88
a) qual o salário médio?
b) qual o salário mediano?
19. Considere as notas obtidas pelos alunos de uma classe em uma determinada prova:
Notas Nº de alunos
2
1
3
3
4
6
5
10
6
13
7
8
8
5
9
3
10
1
Calcule:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
20. A partir de uma amostra de 70 pessoas obteve-se a tabela a seguir com as estaturas dos
entrevistados:
Estaturas frequência
(cm)
150├ 158
5
158├ 166
12
166├ 174
18
174├ 182
27
182├ 190
8
Determine, para essa distribuição:
a) a média;
b) a mediana;
c) a moda;
91
21. Os pesos de 40 pessoas que estavam fazendo um tratamento de emagrecimento numa
determinada clínica de São Paulo foram agrupados na tabela a seguir:
Pesos
fi
(kg)
145 ├ 151 10
151 ├ 157 9
157 ├ 163 8
163 ├ 169 6
169 ├ 175 3
175 ├ 181 3
181 ├ 187 1
Determine, para essa distribuição:
a) a média;
b) a mediana;
c) a moda;
22. Considerando a distribuição abaixo, determine:
xi fi
3 4
4 8
5 11
6 10
7 8
8 3
a) a média;
b) a mediana;
c) a moda.
23. O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa
pequena empresa.
Com os dados disponíveis, calcule a média, a moda e a mediana desses salários.
92
24. Obtenha a mediana nos casos a seguir:
a) 12, 15, 10, 13, 11, 19
b) 7, 7, 5, 4, 3, 5, 5, 2, 3
c)
idade Frequencia
10
5
11
7
12
6
13
8
total
26
d)
idade
12
13
14
15
total
Frequencia
7
9
6
11
33
e)
Salários (R$)
500 |-- 1000
1000 |-- 1500
1500 |-- 2000
2000 |-- 2500
total
Frequencia
17
12
11
5
45
Respostas
1) a)
x =46,1
Mo = 44 Md = 46
x =2,6 Mo = 3 Md = 2,5
2) x =13,9 Mo = 16 Md = 16
3)a) x =75,3 Mo = 75 Md = 74,5
b)
b)
x =5,02 Mo=5
Md = 4,92
4) a) [750; 850[
b) 812,5
c) [750; 850[
d) 768,8
93
e)
Histograma
18
16
14
frequência
12
10
8
6
4
2
0
500
600
700
800
900
1000
1100
custos
f) 754,7
5) a) 0,425
b) 0
c) 0
6) x =2,18 Mo = 3 Md = 2
7) média
8) a) 12,27
b) 14,53
c) 13,85
9) menos
10) 6,15
11) c
12) c
13) b
14) a
15) média = 0,45 ; moda = 0; mediana = 0
16) a) 6,6
b) 7
c) 7
17) a) 7,9 b) 7,8 c) 7,2
18) a) R$ 95,6 b) R$ 88
19) a) 5,9 b) 6 c) 6
20) a) 172,4 b) 174 c) 176,6
21) a) 159,4 b) 157,8 c) 150,5
22) a) 5,4 b) 5 c) 5
23)
x =708,33
Mo = 291,67 Md = 428,57
24) a) R$ 12,5
b) R$ 5
c) R$ 12
d) R$ 14
e) R$ 1229,17
94
6. Separatrizes
1. Conceitos
Um exemplo de separatrizes que vimos anteriormente é a mediana. Ou seja,
separatrizes são números reais que dividem a seqüência ordenada de dados (rol) em
partes que contêm determinada quantidade de elementos da série. Desta forma, a
mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo
50% dos valores da seqüência. Além da mediana, as outras medidas separatrizes que
veremos são: quartis, decis e percentis.
2. Quartis
Os quartis dividem uma distribuição de freqüência em quatro partes iguais.
mín
Q1
Q2
Q3
25%
50%
75%
máx
Para determinarmos a classe que contém o quartil, devemos calcular a posição do
elemento correspondente ao quartil desejado. Essa posição é dada por:
o
n
  para o Q1 e
4
o
 3n 
  para Q3.
 4 
A fórmula para o cálculo dos i-ésimo quartil (i=1,2,3) é:
 i
 .n − Fant
Qi = L Q +  4
fQ





.h



onde:
LQ = limite inferior da classe que contém o quartil
i = número do quartil a ser calculado (1,2 ou 3)
n = tamanho da amostra
Fant = frequência acumulada anterior à classe que contém o quartil
fQ = frequência simples (ou absoluta) da classe que contém o quartil
h = amplitude da classe que contém o quartil
95
3. Decis
Os decis dividem uma distribuição de freqüência em dez partes iguais.
D1(10%), D2(20%), D(30%), . . . ,D9(90%)
Para determinarmos a classe que contém o i-ésimo decil, devemos calcular a posição do
elemento correspondente ao decil desejado. Essa posição é dada por:
 i.n 
 
 10 
o
A fórmula para o cálculo dos i-ésimo decil (i=1,2,...,9) é:
 i
 .n − Fant
D i = L D +  10
fD





.h



onde:
LD = limite inferior da classe que contém o decil
i = número do decil a ser calculado (1,2,...,9)
n = tamanho da amostra
Fant = frequência acumulada anterior à classe que contém o decil
fD = frequência simples (ou absoluta) da classe que contém o decil
h = amplitude da classe que contém o decil
4. Percentis
Os percentis dividem uma distribuição de freqüência em cem partes iguais.
P1(1%), P2(2%), P3(3%), . . . , P99(99%)
Para determinarmos a classe que contém o i-ésimo percentil, devemos calcular a
posição do elemento correspondente ao percentil desejado. Essa posição é dada por:
 i.n 


 100 
o
A fórmula para o cálculo dos i-ésimo percentil (i=1,2,...,99) é:
 i
.n − Fant

100

Pi = L P +

fP




.h



onde:
96
LP = limite inferior da classe que contém o percentil
i = número do percentil a ser calculado (1,2,..., 99)
n = tamanho da amostra
Fant = frequência acumulada anterior à classe que contém o percentil
fP = frequência simples (ou absoluta) da classe que contém o percentil
h = amplitude da classe que contém o percentil
Importante: se observarmos que os quartis, decis e percentis são múltiplos dos
percentis, então basta estabelecer a fórmula de cálculo dos percentis. Todas as outras
medidas podem ser identificadas como percentis. A fórmula utilizada é a mesma usada
para o cálculo da mediana.
Desta forma:
D1 = P10
D6 = P60
Q1 = P25
D2 = P20
D7 = P70
Q2 = P50 = Md
D3 = P30
D8 = P80
Q3 = P75
D4 = P40
D9 = P90
D5 = P50 = Md
5. Exemplo
Considere uma tabela de custos:
Custos
Freqüência
fi
R$
450 |─ 550
8
550 |─ 650
10
650 |─ 750
11
750 |─ 850
16
850 |─ 950
13
950 |─ 1050
5
1050 |─ 1150
1
Total
64
Fi
posições
8
18
29
45
58
63
64
--
1ª a 8ª
9ª a 19ª
20ª a 29ª
30ª a 45ª
46ª a 58ª
59ª a 63ª
64ª
--
Calcule:
a) Q1
A posição ocupada pelo primeiro quartil é
64
= 16 ª posição, que corresponde a classe
4
550 |─ 650. Aplicando a fórmula:
1

 .64 − 8 
.100 = 630 reais.
Q 1 = 550 +  4
 10





97
b) Q3
A posição ocupada pelo terceiro quartil é
3.64
= 48 ª posição, que corresponde a classe
4
850 |─ 950. Aplicando a fórmula:
3

 .64 − 45 
.100 = 873,08 reais.
Q 3 = 850 +  4


13




c) D9
9.64
= 57,6 ~ 58ª posição, que corresponde a
10
classe 850 |─ 950. Aplicando a fórmula:
A posição ocupada pelo nono decil é
 9

 .64 − 45 
.100 = 946,92 reais.
D 9 = 850 +  10


13




d) P38
A posição ocupada pelo 38º percentil é
38.64
= 24,32 ~ 24ª posição, que corresponde a
100
classe 650 |─ 750. Aplicando a fórmula:
P38
 38

.64 − 18 

.100 = 707,45 reais.
= 650 +  100


11




e) P25
Lembre-se que o 25º percentil corresponde ao primeiro quartil, que calculamos
anteriormente. Assim: P25 = Q1 = 630 reais.
6. Exercícios
1) Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à esquerda de
cada uma das medidas separatrizes:
a) D1
b) Q1
98
c) D2
d) Q3
e) Q2
f) D8
g) P70
2) Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada
uma das medidas separatrizes:
a) D4
b) P80
c) Q3
d) P2
e) P20
f) D5
g) Q1
3) Qual é o percentual de elementos de uma série ordenada que se situam entre:
a) Q1 e Q3
b) P10 e P90
c) D2 e D6
d) Q1 e D3
e) D3 e P45
f) Q2 e D8
g) D3 e Q3
4) Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos
que se situam:
a) acima do P20
b) acima do Q3
c) entre o P10 e o P80
d) entre o Q3 e P80
e) abaixo do P90
f) entre o Q1 e Q3
g) entre o P90 e P92
5) A distribuição de freqüência abaixo representa a idade de 50 alunos de uma classe de
primeiro ano de uma Faculdade:
Idade (anos)
17
18
19
20
21
Total
Nº de alunos
3
18
17
8
4
50
Calcule:
a) Q1
b) D1
c) Q3
d) P95
99
6) A distribuição de freqüência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais
emitidas durante um dia em uma loja de departamentos.
Classe
1
2
3
4
5
6
Valor da nota
R$
0 | 50
50 | 100
100 | 150
150 | 200
200 | 250
250 | 300
Total
Nº de notas
10
28
12
2
1
1
54
Calcule:
a) Q1
b) D3
c) Q3
d) D7
e) P98
f) O gerente desta loja de departamentos decidiu premiar a nível promocional com um
brinde, 10% dos fregueses que mais consumirem. A partir de qual valor de consumo da
nota fiscal os clientes seriam premiados?
g) O mesmo gerente, decide enviar uma mala direta aos 22% consumidores que menos
gastaram nessa loja. Devem receber a mala-direta os clientes que consumiram até qual
valor?
Respostas
1) a) 10% b) 25% c) 20% d) 75% e) 50% f) 80% g) 70%
2) a) 60% b) 20% c) 25% d) 98% e) 80% f) 50% g) 75%
3) a) 50% b) 80% c) 40% d) 5% e) 15% f) 30% g) 45%
4) a) 144 b) 45 c) 126 d) 9 e) 162 f) 90 g) 3,6 ~ 4
5) a) 18 b) 18 c) 19 d) 21
6) a) 56,25 b) 61,07 c) 110,42 d) 99,64 e) 246,00 f) D90 = 144,17 g) P22 = 53,36
100
7. Gráfico Box–Plot
1. Amplitude Interquartílica
A amplitude interquartílica também pode ser chamada de intervalo interquartílico ou
amplitude interquartil. É definida como sendo a diferença entre o terceiro e o primeiro
quartil, ou seja:
IQ = Q3 – Q1 .
Interpretação: o IQ representa a variação correspondente aos 50% dos valores centrais
da distribuição.
O IQ é uma medida de variação que fornece uma idéia de quanto 50% dos dados varia.
Também pode ser usado para identificar valores discrepantes. Qualquer valor de
dado que seja maior que 1,5 IQs à esquerda de Q1 ou à direita de Q3 é um valor
discrepante.
2. Box–plot
É um tipo de gráfico que também é conhecido como caixa–e–bigodes. Uma aplicação
importante dos quartis é representar conjuntos de dados usando o gráfico box–plot ou
caixa-e-bigodes. Um gráfico box–plot é uma ferramenta de análise de dados
exploratória que enfatiza as características mais importantes de um conjunto de dados.
Para representar graficamente um gráfico caixa-e-bigodes, você deve saber os valores a
seguir.
1.
2.
3.
4.
5.
A entrada mínima.
O primeiro quartil Q1.
A mediana Q2 ou Md.
O terceiro quartil Q3.
A entrada máxima.
Esses cinco números são chamados de Regra dos cinco itens de um conjunto de
dados.
Desenhando um gráfico box–plot:
1. Encontre a regra dos cinco itens do conjunto de dados.
2. Construa uma escala horizontal que transpasse a amplitude dos dados.
3. Represente os cinco números sobre a escala horizontal.
4. Desenhe uma caixa acima da escala horizontal a partir de Q1 para Q3 e desenhe
uma linha vertical na caixa em Q2 (= mediana).
5. Desenhe os bigodes a partir da caixa para as entradas mínimas e máximas.
O gráfico fica com o seguinte aspecto:
101
3. Detectando assimetrias através do box-plot
A figura, a seguir, demonstra a relação entre o box-plot e o polígono para quatro
diferentes tipos de distribuição. (Observação: A área abaixo de cada polígono está
dividida em quartis, correspondendo ao resumo de cinco números para o box-plot.)
Os painéis A e D da figura são simétricos. Nessas distribuições, a média aritmética e a
mediana são iguais. Além disso, o comprimento do bigode esquerdo é igual ao
comprimento do bigode direito, e a linha mediana divide a caixa pela metade.
O Painel B é assimétrico à esquerda. Os poucos valores baixos distorcem a média
aritmética em direção à cauda esquerda. Para essa distribuição assimétrica à esquerda,
a assimetria indica que existe uma forte concentração de valores no ponto mais alto da
escala (ou seja, o lado direito); 75% de todos os valores se encontram entre a
extremidade direita da caixa (Q1) e o final do bigode direito. Por conseguinte, o longo
bigode à esquerda contém somente os 25% valores mais baixos, demonstrando a
distorção da simetria nesse conjunto de dados.
O Painel C é assimétrico à direita. A concentração de valores está na extremidade
inferior da escala (ou seja, no lado esquerdo do box-plot). Nesse caso, 75% de todos os
valores de dados são encontrados entre o início do bigode esquerdo (Xmenor) e a
extremidade direita da caixa, Q3, enquanto os 25% de observações restantes estão
dispersos ao longo do extenso bigode à direita, na extremidade superior da escala.
102
4. Exemplos
Exemplo 1: as notas dos testes de 15 funcionários matriculados em um curso de
treinamento de CPR são listadas a seguir:
13
9 18 15 14 21
7 10 11 20
5 18 37 16 17
a) Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis das notas dos testes.
b) Calcule o intervalo interquartílico e verifique se há valores discrepantes.
c) Construa o box-plot e interprete.
Resolução
a) Primeiro, ordene o conjunto de dados e encontre a mediana Md=Q2. Depois de
encontrar Q2, divida o conjunto de dados em duas metades. O primeiro e o terceiro
quartil são as medianas das metades inferior e superior do conjunto de dados.
103
b) IQ = 18 – 10 = 8. Então, 1,5 IQS à direita de Q3 é Q3 + 1,5 . 8 = 18 + 12 = 30. Como
37 > 30, então 37 é um valor discrepante.
c) O box–plot é:
Você pode tirar diversas conclusões com o gráfico. Uma delas é que aproximadamente
metade das notas está entre 10 e 18. Olhando para o comprimento do bigode direito,
podemos concluir também que a nota 37 é um possível valor discrepante (o que foi, de
fato, constatado no item anterior).
Exemplo 2: suponha que um produtor de laranjas costuma guardar as frutas em caixas
e está interessado em estudar o número de laranjas por caixa. Após um dia de colheita,
20 caixas foram contadas. Os resultados foram: 48, 35, 37, 52, 43, 29, 61, 33, 44, 55,
69, 43, 22, 35, 38, 57, 53, 67, 62 e 48. Construa um box–plot para esse conjunto de
dados.
Para os dados apresentados, temos que Md = 46, Q1 = 36,5 e Q3 = 55,5. Também temos
que o número mínimo de laranjas em uma caixa é 22 e o número máximo, 69. O boxplot correspondente é apresentado na figura seguinte:
104
Exemplo 3: a representação gráfica através do box-plot é bastante rica no sentido de
informar, entre outras coisas, a variabilidade e simetria dos dados. Note que na figura
anterior, os dados apresentam simetria acentuada (a distância da mediana para os
quartis é a mesma), o mesmo podendo ser observado a respeito da distância dos pontos
de mínimo e máximo em relação à mediana. Em contraste, temos na figura seguinte o
box-plot para a variável peso, que apresenta uma pequena assimetria:
Gráficos tipo box-plot também são úteis para detectar, descritivamente, diferenças nos
comportamentos de grupos de variáveis. Por exemplo, podemos considerar gráficos da
variável peso para cada sexo. O resultado é apresentado na figura seguinte, em que
podemos notar que os homens apresentam peso mediano superior ao das mulheres,
além de uma maior variabilidade.
105
5. Exercícios
1) A partir dos box–plots a seguir, identifique: o valor mínimo, o valor máximo, o primeiro
quartil, a mediana, o terceiro quartil e o intervalo interquartílico.
a)
b)
c)
2) Verifique se a distribuição apresentada é simétrica, assimétrica à esquerda,
assimétrica à direita ou nenhuma das alternativas.
a)
106
b)
c)
d)
3) Um grupo de estudantes do Ensino Médio foi submetido a um teste de matemática
resultando em:
nota frequência
0 |– 2
14
2 |– 4
28
4 |– 6
27
6 |– 8
11
8 |– 10
4
Obtenha um box–plot para esses dados.
4) Um estudo pretende verificar se o problema da desnutrição em adultos medida pelo
peso, em quilos, em uma região agrícola (denotada por Região A), é maior do que em
uma região industria (denotada por Região B). Para tanto, uma amostra foi tomada em
cada região, fornecendo as tabelas de freqüências a seguir:
107
Região A
Peso
Freqüência
< 40
8
40 |– 50
25
50 |– 60
28
60 |– 70
12
≥ 70
9
total
82
Região B
Peso
Freqüência
< 60
10
60 |– 70
34
70 |– 80
109
80 |– 90
111
≥ 90
55
total
319
Construa os box–plots para cada região, em um mesmo par de eixos, e discuta se há
evidências de que o grau de desnutrição seja diferente nas duas regiões.
Respostas
1) a) Mín=10 Máx=20 Q1=13 Md = 15 Q3=17 IQ=4
b) Mín=900 Máx=2100 Q1=1250 Md = 1500 Q3=1950 IQ=700
c) Mín=–1,9 Máx=2,1 Q1=–0,5 Md = 0,1 Q3=0,7 IQ=1,2
2) a) nenhum
b) assimétrica à direita
c) assimétrica à esquerda
d) simétrica
3) Mín=0 Máx=10 Q1=2,48 Md = 4,00 Q3=5,56
4) Região A: Mín=20 Máx=90 Q1=11,63 Md = 43,40 Q3=56,79
Região B: Mín=400 Máx=110 Q1=73,27 Md = 80,57 Q3=87,76
A Região B tem medidas superiores às da Região A.
108
8. Medidas de Dispersão
1. Introdução
Conforme dissemos anteriormente, as medidas de tendência central não são suficientes
para caracterizar totalmente uma seqüência numérica.Se observarmos as seqüências:
X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.
Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.
Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.
concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são seqüências
completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados.
Na seqüência Z não há variabilidade de dados, visto que todos os valores coincidem
com a média. Na seqüência Y, a média 13 representa bem a série, mas existem
elementos da série levemente diferenciados da média 13, ou seja, há baixa
variabilidade. Na seqüência X existem muitos elementos bastante diferenciados da
média 13, indicando uma alta variabilidade ao redor da média.
Para avaliar o grau de variabilidade dos dados em torno da média,
medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.
usaremos as
2. Desvio Médio
O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. A
dispersão dos dados em relação à média de uma seqüência pode ser avaliada através
dos desvios de cada elemento da seqüência em relação à média da seqüência. O desvio
médio é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da
série para a média da série, ou seja,
DM =
∑f .x
i
i
−x
n
Exemplo 1: Considere as notas 2, 8, 5, 6 obtidas por 4 alunos, numa avaliação de
Biologia. Determine o desvio médio.
Inicialmente, calcularemos a média:
2+8+5+6
= 5,25
4
Agora, calculamos o desvio médio, lembrando que fi = 1, visto que cada um dos quatro
valores apareceu uma única vez.
x=
109
DM =
∑f .x
−x
=
n
| 2 − 5,25 | + | 8 − 5,25 | + | 5 − 5,25 | + | 6 − 5,25 | | −3,25 | + | 2,75 | + | −,025 | + | 0,75 |
=
=
=
4
4
3,25 + 2,75 + 0,25 + 0,75 7
=
= = 1,75
4
4
i
i
Interpretação: Em média, cada elemento da seqüência está afastado do valor 5,25 por
1,75 unidades.
3. Variância (s2 ou σ2) e Desvio padrão (s ou σ)
Pelo exemplo anterior, observamos que a dificuldade em se operar o DM se deve à
presença do módulo, para que as diferenças xi – x possam se interpretadas como
distâncias. Outra forma de se conseguir que as diferenças xi – x se tornem sempre
positivas ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças, isto é, (xi – x )2. Se
substituirmos, na fórmula do DM a expressão x i − x por (xi – x )2, obteremos nova
medida de dispersão chamada variância.
A variância populacional é representada por σ2 (sigma ao quadrado), enquanto que a
variância amostral é representada por s2. O símbolo σ é a letra grega minúscula sigma.
A fórmula geral da variância populacional e da variância amostral são,
respectivamente:
σ
2
∑ f (x
=
i.
− µ)
2
i
e
n
s
2
∑ f .(x
=
i
− x)
2
i
n −1
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja
σ = σ2
ou s = s 2 .
De modo mais simples, podemos generalizar:
DP =
Var .
Quando estamos trabalhando com uma amostra, sem conhecermos o verdadeiro valor
da média ou do desvio padrão, admitimos que a média da amostra ( x ) esteja próxima
do valor da média populacional, e que a variância da amostra (variância amostral)
esteja próxima da variância populacional. A raiz quadrada da variância amostral é
chamada desvio padrão amostral.
110
4. Desvio-padrão × Variância
É natural a pergunta: qual das duas medidas é melhor? Na verdade, não há uma melhor
que a outra, visto que são idênticas (basta extrair a raiz de uma ou elevar a outra ao
quadrado). Porém, o desvio-padrão é muito melhor no sentido de facilitar a
interpretação. Por exemplo, se calcularmos a variância de uma variável X que
representa a idade em um conjunto de dados obtendo Var(X) = 25 anos2, teríamos
dificuldades de interpretar o resultado. Afinal, qual o significado de anos2 ? Porém, o
desvio-padrão nos daria DP(X) = 5 anos, que possui uma interpretação concreta.
Isso ocorre porque no cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença
(xi– x ) ou (xi– µ ), a unidade de medida da série fica também elevada ao quadrado.
Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida da série. Se os
dados são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. Em
algumas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso, por
exemplo, em que os dados são expressos em litros. A variância será expressa em litros
quadrados.
Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da
série, ou seja: variância não tem interpretação.
Exatamente para suprir esta deficiência da variância é que se utiliza o desvio padrão.
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio padrão terá sempre a
mesma unidade de medida da série e, portanto admite interpretação.
5. Exemplos
Exemplo 2: Considere as notas 2 – 8 – 5 – 6 obtidas por 4 alunos, numa avaliação de
Biologia, distribuídas na tabela abaixo. Calcule o desvio padrão considerando-se uma
população.
Cálculo da média: µ =
2+8+5+6
= 5,25 .
4
Cálculo da variância populacional:
(2 − 5,25) 2 + (8 − 5,25) 2 + (5 − 5,25) 2 + (6 − 5,25) 2 18,75
σ2 =
=
= 4,6875 .
4
4
O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância:
σ = 4,6875 = 2,17 .
Assim, os dados estão, em média, afastados de 5,25 por 2,17 unidades.
111
Exemplo 3: Calcule o desvio padrão da série abaixo, considerando-se uma população.
xi
fi
2
3
3
5
4
8
5
4
Total
20
3 .2 + 5 .3 + 8 .4 + 4 .5
Cálculo da média: µ =
= 3,65 .
20
Cálculo da variância populacional:
3.(2 − 3,65) 2 + 5.(3 − 3,65) 2 + 8.( 4 − 3,65) 2 + 4.(5 − 3,65) 2 18,55
2
σ =
=
= 0,9275 .
20
20
O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância:
σ = 0,9275 = 0,96 .
Assim, os dados variam, em média, 0,96 unidades ao redor da média 3,65.
Exemplo 4: Calcule o desvio padrão da série abaixo, representativa de uma amostra.
Classe
1
2
3
4
Int.
classe
0 | 4
4 | 8
8 | 12
12 | 16
Total
Cálculo da média: µ =
fi
xi
1
3
5
1
10
2
6
10
14
--
Lembre-se
que
quando
estamos trabalhando com
classes, xi corresponde ao
PONTO MÉDIO de cada
classe. Assim, se a classe é
a+b
a | b, teremos x i =
.
2
1.2 + 3.6 + 5.10 + 1.14
= 8,4 .
10
Cálculo da variância amostral:
1.(2 − 8,4) 2 + 3.(6 − 8,4) 2 + 5.(10 − 8,4) 2 + 1.(14 − 8,4) 2 92,8
s2 =
=
= 10,3111.
10 − 1
9
O desvio padrão amostral corresponde à raiz quadrada da variância amostral:
s = 10,3111 = 3,2 .
Assim, os dados variam, em média, 3,2 unidades ao redor da média 8,4.
112
4. Coeficiente de variação (CV)
Vamos imaginar duas pessoas A e B. O indivíduo A possui R$ 10 na sua carteira e,
desse valor, ele perde R$ 2. O indivíduo B possui R$ 100 e perde R$ 5. Podemos fazer
duas perguntas:
1) Qual das pessoas perdeu mais dinheiro?
2) Qual das pessoas perdeu, proporcionalmente, mais dinheiro?
Para a primeira questão, fica evidente que foi o indivíduo B, visto que R$ 5 é maior que
R$ 2. Porém, quando analisamos relativamente, a resposta da questão 2 passa a ser o
indivíduo A, pois, percentualmente, A perdeu 2/10 = 0,2 ou 20% do que possuía na
carteira enquanto que B perdeu 5/100 = 0,05 ou 5% do que possuía. Esse conceito de
relatividade é exatamente o que propõe o coeficiente de variação.
Transformando o problema anterior em termos estatísticos, se uma série X apresenta
x =10 e σx= 2 e uma série Y apresenta y = 100 e σy = 5, do ponto de vista da dispersão
absoluta, a série Y apresenta maior dispersão que a série X. No entanto, se levarmos
em consideração as médias das séries, o desvio padrão de Y que é 5 em relação a 100
é um valor menos significativo que o desvio padrão de X que é em relação a 10.
O coeficiente de variação é indicado por
CV =
σ
µ
ou
CV =
s
x
.
Calculando, então, o coeficiente de variação das séries citadas tem:
2
= 0,2 ou 20%
10
5
CVy =
= 0,05 ou 5%
100
CVx =
Comparando os valores destes dois coeficientes concluímos que a série X admite maior
dispersão relativa. Como a medida de dispersão relativa leva em consideração a medida
de dispersão absoluta e a média da série, é uma medida mais completa que a medida
de dispersão absoluta.
5. O uso do desvio padrão
O desvio padrão é a mais importante das medidas de dispersão.
Quando temos um conjunto de de dados cuja distribuição é Normal, o formato de seu
histograma se assemelha a de um sino, é uma curva simétrica e, ainda, a média a moda
e a mediana possuem exatamente o mesmo valor (ou são, no caso de uma amostra,
muito próximos), conforme vemos na figura abaixo.
113
Sob a suposição de Normalidade, podemos afirmar que o intervalo [ µ - σ , µ + σ ] contém
aproximadamente 68% dos valores da série.
68%
-S
x
+S
Zona de normalidade (2S)
O intervalo [ µ - 2 σ, µ + 2 σ] contém aproximadamente 95% dos valores da série.
O intervalo [ µ - 3 σ, µ + 3 σ] contém aproximadamente 99% dos valores da série.
Esses percentuais 68%, 95% e 99% citados na interpretação serão comprovadas, com
maior precisão, no estudo da distribuição normal de probabilidades. Quando a
distribuição não é perfeitamente simétrica estes percentuais apresentam pequenas
variações para mais ou para menos, segundo o caso.
Se um conjunto tiver média µ = 100 e desvio padrão σ = 5, podemos interpretar estes
valores da seguinte forma:
a) Os valores da série estão concentrados em torno de 100.
b) O intervalo [95, 105] contém aproximadamente, 68% dos valores da série.
c) O intervalo [90, 110] contém aproximadamente, 95% dos valores da série.
d) O intervalo [85, 115] contém aproximadamente, 99% dos valores da série.
É importante perceber que, ao aumentar o tamanho do intervalo, aumenta-se o
percentual de elementos contido no intervalo.
Exemplo 5: foi observado que as contas de luz para uma área municipal, no mês de
junho, são normalmente distribuídas. Se a média das contas for $ 42,00 e o desvio
padrão populacional foi $ 12,00, entre que intervalo de valores estão 68% das contas? E
95% das contas?
µ – σ = 42,00 – 12,00 = 30,00
µ + σ = 42,00 + 12,00 = 54,00
68% das contas estão entre os valores de $ 30,00 e $ 54,00
µ – 2 σ = 42,00 – 2 . 12,00 = 42,00 – 24,00 = 18,00
µ + 2 σ = 42,00 + 2 . 12,00 = 42,00 + 24,00 = 66,00
95% das contas estão entre os valores de $ 18,00 e $ 66,00
114
6. Exercícios
1) Calcule o desvio padrão da distribuição populacional:
2 | 6 | 10 | 14 | 18 | 22
5
12
21
15
7
Classes
fi
2) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e
o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio
padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?
3) Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos x = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O
peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses
indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?
4) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual
a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o
desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos?
Qual o grupo mais homogêneo?
5) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um
coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo?
6) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: σ = 1,5 e CV = 2,9%. Determine
a média da distribuição.
7) Numa fábrica de rolamentos, retirou-se da produção de um determinado dia uma
amostra de 10 rolamentos, dos quais se mediu o diâmetro externo, em mm, obtendo-se:
20,2
21,7
21,4
20,4
20,8
22,0
19,6
20,5
22,1
19,3
Calcular a média e o desvio padrão desta amostra.
8) Calcular a média e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral de uma variável
X.
faixas de observações
0 | 10
10 | 20
20 | 30
30 | 40
40 | 50
Total
freqüência
25
48
66
44
17
200
115
9) Em 120 experimentos, onde cada um consiste em lançar 3 moedas e contar o número
de caras, obtivemos os seguintes resultados:
Nº de caras
Nº de
experimentos
0
18
1
40
2
49
3
13
Calcular a média, a variância e o desvio padrão do número de caras observado nos
experimentos.
10) Uma amostra de 900 lâmpadas foi testada para se determinar a durabilidade. Os
dados foram:
Durabilidade em horas freqüência
150
1000 | 1400
300
1400 | 1800
450
1800 | 2200
Total
900
Na amostra testada
a) qual é a porcentagem de lâmpadas que duraram menos de 1800 horas?
b) qual é a durabilidade média?
c) qual é o desvio padrão?
11) A tabela representa as estaturas de 35 crianças nascidas numa mesma maternidade
numa certa semana.
estatura (cm)
45 ├── 46
46 ├── 47
47 ├── 48
48 ├── 49
49 ├── 50
50 ├── 51
51 ├── 52
52 ├── 53
no de crianças
1
4
6
12
8
3
0
1
Determinar a média e o desvio-padrão das estaturas destas crianças ao nascerem.
12) Um restaurante cobra o almoço de cada cliente através do peso (por quilo) da
quantidade de alimento consumida. Foi observado, durante um mês, que as quantidades
de alimento consumidas são normalmente distribuídas. Se a média consumida for 550 g
e o desvio padrão 200 g, calcular:
a) a amplitude dos 95% centrais.
b) a amplitude dos 99% centrais.
116
13) Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19 cm e desvio
padrão de 0,2 cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem respectivamente 19,8 cm e
18,3cm serão testados pelo Controle Estatístico de Qualidade, que admite uma
tolerância de três desvios acima e três abaixo da média. Assinale a alternativa correta:
a) O prato A será aprovado
b) Ambos os pratos serão reprovados
c) o prato A será reprovado e o prato B aprovado
d) o prato B será reprovado.
14) O desvio padrão de um conjunto de dados é 16. A variância será:
a)16
b) 64
c) 256
d) 4
15) A variância de um conjunto de dados é 16. O desvio padrão será:
a) 4
b) 256
c) 36
d) 2
16) Calcule o desvio padrão das seguintes populações:
a) X: 2, 3, 7, 9, 11, 13.
b) Y: 5, 12, 4, 20, 13, 17.
17) Calcule o desvio padrão das seguintes amostras:
a) Z: 15, 16, 17, 20, 21.
b) T: 6, 5, 10, 12, 19.
18) Uma fábrica corta bambus para a confecção de cercas. Cada corte deve ter um
comprimento médio de 180cm e apresenta um desvio-padrão de 1,5cm. Após cortados,
os bambus passam por um controle de qualidade que rejeita cortes que estejam com 2
desvios-padrão acima ou abaixo da média especificada. Seis bambus, A, B, C D, E e F
foram medidos pelo controle de qualidade e os valores obtidos são apresentados na
tabela a seguir. Quais deles o controle deve aprovar e quais deve rejeitar?
bambu comprimento
A
178,5cm
B
183,4cm
C
176,2cm
D
175,8cm
E
182,7cm
F
180,0 cm
117
19) Considere a tabela seguinte que mostra o número de unidades vendidas por dia de
certo produto numa loja:
Nº de unid. vendidas por dia Nº de dias
0
15
1
13
2
11
3
8
4
3
Total
Determine:
a) o desvio padrão amostral;
b) o coeficiente de variação;
c) o desvio médio.
20) Seja a amostra:
idade Freqüência absoluta
10 ├ 20
10
20 ├ 30
7
30 ├ 40
3
Total
20
Determine:
a) a média;
b) a variância;
c) o desvio-padrão;
d) o coeficiente de variação;
e) o desvio médio.
21) Dados: CV=7,3% e x =25, calcule o desvio padrão amostral.
22) Dados CV=12% e s=36, calcule a média amostral.
23) Uma máquina empacota café com média 500g e desvio padrão 12g. O controle de
qualidade da empresa rejeita pacotes cujo peso ultrapasse 2 desvios padrão da média.
Qual dos pacotes a seguir serão rejeitados pelo controle de qualidade?
A = 515 g
B = 490 g
C = 470 g
D = 525 g
E = 477 g
F = 500 g
G = 532 g
24) Os tempos despendidos por 12 alunos, elementos de uma população, em segundos
para percorrer certo trajeto foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16 e 23. Sem
agrupar os dados, calcule:
a) a moda;
b) a mediana;
c) a média;
118
d) a variância;
e) o desvio padrão;
f) o coeficiente de variação.
Respostas
1) σ =4,45
2) CV(Mat)=0,103 ; CV (Estat)=0,104. Logo a maior dispersão foi na Estatística.
3) CV (altura)=0,0493 ; CV(peso)=0,0442. Maior variabilidade na altura.
4) CV85 = 0,03717 CV125 = 0,03712 grupo de 125 pessoas é mais homogêneo
5) 5,4054
6) 51,72
7)
x =20,8 ; s2 = 0,9556 ; s=0,9775
8) x =24 ; s2=129,6482 ; s=11,39
9) x =1,475 ; s2=0,7660 ; s=0,8752
10) a) 50% b) 1733,3 h c) 298,3 h
11) x =48,5 ; s=1,40
12) a) [150 ; 950] b) [0 ; 1150]
13) B
14) C
15) A
16) a) σ =3,99 b) σ =5,81
17) a) s=2,59 b) s=5,59
18) Aprovados: A, E, F ; Reprovados: B, C, D
19) a) s=1,25 b) 0,88 ou 88% c) 1,0704
20) a) 21,5 b) 55,5263 c) 7,45 d) 34,7%
21) 1,825
22) 300
23) Rejeitados: C, D, G.
24) a) 16 s
b) 17,5 s
c) 18,42 s
d) 5,9097 s2
e) 2,43 s
f) 0,1319
e) 6,5
119
9. Assimetria e Curtose
1. Simetria e Assimetria
Uma distribuição de freqüência é simétrica quando a linha vertical pode ser desenhada
do meio do gráfico da distribuição e as metades resultantes são aproximadamente
imagens espelhadas.
Uma distribuição de freqüência é uniforme (ou retangular) quando todas as entradas,
ou classes, na distribuição têm freqüências iguais ou aproximadamente iguais. Uma
distribuição uniforme também é simétrica.
Uma distribuição de freqüências é assimétrica se a "cauda" do gráfico se alonga mais
em um dos lados. Uma distribuição é assimétrica à esquerda (negativamente
assimétrica) se a cauda se estende à esquerda, e assimétrica à direita (positivamente
assimétrica) se a cauda se estende à direita.
Quando a distribuição for simétrica e unimodal, a média, a mediana e a moda são iguais.
Se a distribuição for assimétrica à esquerda, a média é menos que a mediana e a
mediana é igualmente menor que a moda. Se a distribuição for assimétrica à direita, a
média é maior que a mediana e igualmente maior que a moda. Exemplos dessas
distribuições comuns são mostrados na figura a seguir.
Resumidamente:
Distribuição
Moda, mediana e média Exemplo de distribuição
Simétrica
Normal, t–Student
Mo =Md = x
––––––
Assimétrica à esquerda
Mo > Md > x
Assimétrica à direita
Qui–quadrado, F–Snedecor
Mo < Md < x
Fique atento que há muitas formas diferentes de distribuição. Em alguns casos, a forma
pode não ser classificada como simétrica, uniforme ou assimétrica. Uma distribuição
pode ter várias lacunas causadas por valores discrepantes ou por agrupamento nos
dados. Os agrupamentos podem ocorrer quando diversos tipos de dados são incluídos
em um conjunto de dados.
120
Note que a média sempre irá na direção em que a distribuição for assimétrica. Por
exemplo, quando a distribuição é assimétrica à esquerda, a média está à esquerda da
mediana.
2. Curva de Densidade
A idéia básica da curva de densidade está nos histogramas. Imagine um histograma
oriundo a partir de um determinado conjunto de dados. À medida em que formos
construindo novos histogramas, a cada vez com um número maior de classes (ou seja,
as classes vão ficando cada vez menores), passamos a perceber que os topos de cada
coluna do histograma formam uma curva. Se conseguirmos um número suficientemente
grande de classes (cada classe com amplitude cada vez menor) e, ainda, se esse
histograma for construído utilizando uma população, teremos a curva da função
densidade da distribuição. Essa é apenas uma idéia geral de como obtemos, na prática,
uma função densidade, o que está esquematizado na figura seguinte.
121
Mediana e Média de uma Curva de Densidade
A mediana de uma curva de densidade é o ponto de áreas iguais, ou seja, o ponto que
divide ao meio a área sob a curva.
A média de uma curva de densidade é o ponto de equilíbrio, no qual a curva se
equilibraria se fosse feita de material sólido.
A mediana e a média coincidem em uma curva simétrica de densidade. Situam-se
ambas no centro da curva. A média de uma curva assimétrica é afastada da mediana na
direção da cauda longa.
A média de uma curva de densidade é o ponto em que ela se equilibraria.
As formas das distribuições, quando observamos as curvas de densidade são:
122
Distribuição simétrica:
Distribuição assimétrica à esquerda:
Distribuição assimétrica à direita:
123
3. Coeficiente de Assimetria
Além do método gráfico de análise, podemos trabalhar com o cálculo de um coeficiente
de assimetria que nos dá informações de qual tipo de distribuição estamos tratando.
Basicamente, há duas fórmulas mais utilizadas:
Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson
AS =
x − Mo
σ
onde:
x é a média da distribuição;
Mo é a moda da distribuição;
σ é o desvio padrão da distribuição.
Segundo coeficiente de assimetria de Pearson
É uma alternativa à fórmula anterior que utiliza o valor da mediana.
AS =
(
3 x − Md
σ
)
onde:
x é a média da distribuição;
Md é a mediana da distribuição;
σ é o desvio padrão da distribuição.
O primeiro coeficiente de Assimetria de Pearson tem o inconveniente de requerer a
determinação prévia da moda. Assim, quando as distribuições não se apresentarem com
forte assimetria, deve-se dar preferência ao Segundo Coeficiente de Assimetria de
Pearson.
Nos dois casos, quando:
AS = 0 a distribuição é simétrica;
AS > 0 a distribuição é assimétrica à direita;
AS < 0 a distribuição é assimétrica à esquerda.
É claro que, na prática, raramente encontraremos AS=0, e, sim, muito próximo de zero.
Dessa forma, temos a seguinte classificação:
– se |AS| < 0,15 então a distribuição é simétrica;
– se 0,15 ≤ |AS| < 1,0 então a distribuição é assimétrica moderada;
– se |AS| ≥ 1,0 então a distribuição é assimétrica forte.
124
4. Curtose
Curtose é o grau de achatamento da distribuição quando comparada a uma distribuição
simétrica bastante conhecida chamada Normal. Ou seja, a curtose mede o quanto uma
curva de freqüência será achatada em relação a uma curva Normal de referência.
O coeficiente de curtose (k) ou coeficiente percentílico de curtose é dado por:
k=
Q 3 − Q1
2.(P90 − P10 )
onde:
Q3 e Q1 são o terceiro e primeiro quartis;
P90 e P10 são o 90° e o 10° percentis.
Quanto à curtose a distribuição pode ser:
1) Mesocúrtica (ou Normal): ela não é nem achatada, nem alongada. (k = 0,263).
2) Platicúrtica: mais achatada que a Normal. (k > 0,263).
3) Leptocúrtica: mais alongada que a Normal. (k < 0,263).
125
5. Exemplos
Exemplo 1: (AFRF-2002.1 – adaptado) Em um ensaio para o estudo da distribuição de
um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço
de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüência abaixo. A coluna
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos
das classes.
Classes frequência
70 – 90
10
90 – 110
20
110 – 130
50
130 – 150
60
150 – 170
30
170 – 190
20
190 – 210
10
Total
200
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido
em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q /
(P90 – P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k
para a distribuição de X.
a) 0,263
b) 0,250
c) 0,300
d) 0,242
e) 0,000
Resolução
Inicialmente, devemos calcular os quartis e percentis necessários para o cálculo da
curtose. Verifique que:
Q1 = 118,0
Q3 = 156,6
P10 = 100,0
P90 = 180,0
Logo, a curtose é:
Q 3 − Q1
156,6 − 118,0
38,6
=
=
= 0,24125 . Logo, a resposta do teste é a
2.(P90 − P10 ) 2.(180,0 − 100,0) 160,0
alternativa D.
k=
126
Exemplo 2: analisando as curvas abaixo marque a resposta correta.
(I)
(II)
(III)
a) a curva I é simétrica: x > med > mo ;
b) a curva II é assimétrica positiva: mo > σ 2 > x ;
c) a curva I é simétrica: x = med = mo ;
d) a curva III é simétrica positiva: x = med = mo .
Resolução
A partir das figuras, vemos que:
– a curva I é simétrica, ou seja, x = Md = Mo;
– a curva II é assimétrica à esquerda ou assimétrica negativa, pois Mo > Md > x .
– a curva III é assimétrica à direita ou assimétrica positiva, pois Mo < Md < x .
Logo, a resposta é a alternativa C.
Exemplo 3: para as distribuições abaixo foram calculados:
Distrib. I
Classes
02 |- 06
06 |- 10
10 |- 14
14 |- 18
18 |- 22
Fi
6
12
24
12
6
Distrib. II
Classes
02 |- 06
06 |- 10
10 |- 14
14 |- 18
18 |- 22
Fi
6
12
24
30
6
Distrib. III
Classes
02 |- 06
06 |- 10
10 |- 14
14 |- 18
18 |- 22
Fi
6
30
24
12
6
x = 12Kg
x = 12,9Kg
Med = 12Kg
Mo = 12Kg
Med = 13,5Kg
Mo = 16Kg
Med = 10,5Kg
Mo = 8Kg
S = 4,20Kg
S = 4,20Kg
S = 4,42Kg
x = 11,1Kg
Marque a alternativa correta:
a) a distribuição I é assimétrica negativa;
b) a distribuição II é assimétrica positiva;
c) a distribuição III é assimétrica negativa moderada.
d) a distribuição I é simétrica;
127
Resolução
Vemos que, na distribuição I, temos que x = Md = Mo. Logo, ela é simétrica. Na
distribuição II, Mo > Md > x , ou seja, é uma distribuição assimétrica à esquerda ou
assimétrica negativa. Já na distribuição III, temos que Mo < Md < x , ou seja, é
assimétrica à direita ou assimétrica positiva. Portanto, a resposta correta é a alternativa
D.
6. Exercícios
1) Sabendo-se que uma distribuição apresenta as seguintes medidas:
Q1 = 24,4 cm, Q3 = 41,2 cm, P10 =20,2 cm e P90 =49,4 cm, determine o coeficiente de
curtose e classifique a curva com relação à forma.
2) Uma maternidade está analisando a idade das mulheres que tiveram o seu primeiro
filho. Os dados obtidos são: 25 23 21 28 41 18 19 23 20 22 23. Considerando os dados
como amostrais, calcule a média, a mediana, a moda e o
desvio padrão desses dados. Classifique os dados em relação à assimetria.
Média = 23,9 Mediana = 23 Moda = 23 , Desvio Padrão = 6 distribuição é assimétrica
positiva moderada.
3) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de freqüências e
determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
Distribuições Média Moda
A
52
52
B
45
50
C
48
46
4) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: x =48,1, Md=47,5 e
s=2,12. Calcule o coeficiente de assimetria.
5) Observou-se o número dos 100 sapatos vendidos em uma loja de calçados. Os
resultados obtidos estão em forma de tabela, a seguir:
N° de sapatos
25 | 28
28 | 31
31 | 34
34 | 37
37 | 40
40 | 43
43 | 46
fi
2
9
17
35
20
10
7
Calcule a média, a moda, a mediana, o desvio padrão e classifique a assimetria e a
curtose desses dados.
128
6) Considere as seguintes medidas, relativas a três distribuições de freqüência:
Q3
P10
P90
Distribuições Q1
A
814 935 772 1012
B
63,7 80,3 55,0 86,6
C
28,8 45,6 20,5 49,8
a) Calcule os respectivos graus de curtose.
b) Classifique cada uma das distribuições em relação à curva normal.
7) Determine o grau de curtose e classifique a distribuição em relação à curva
normal:
Pesos (kg)
50 | 58 | 66 | 74 | 82 | 90 | 98
N° de
10
15
25
24
16
10
operários
Respostas
1) k=0,287. Platicúrtica.
2) Média = 23,9 Mediana = 23 Moda = 23 , Desvio Padrão = 6 distribuição é assimétrica positiva
moderada.
3) A = 52 – 52 = 0 , logo, distribuição simétrica
B = 45 – 50 = - 5, logo, assimetria negativa
C = 48 – 46 = 2, logo, assimetria positiva
4) AS=0,85
5) Média = 36,10; Mediana = 35,9; Moda = 35,5; Desvio Padrão = 4,2; AS = 0,143; Curtose = 0,23. A
distribuição é simétrica e a curva é leptocúrtica.
(Q1 = 33,5 Q3 = 38,8 P10 = 30,7 P90 = 42,1).
6) a) Distribuição A: k = 0,25
Distribuição B: k = 0,263
Distribuição C: k = 0,287.
b) A: curva leptocúrtica; B: curva mesocúrtica; C: curva platicúrtica.
7) Q1 = 66; Q3 = 82,5; P10 = 58; P90 = 90; k = 0,258 a curva é leptocúrtica.
129
FORMULÁRIO - ESTATÍSTICA
n k
n −k
Binomial: P( X = k ) =  .p .(1 − p)
k 
k = 1 + 3,3. log n
Mediana: Md = L Md
Moda: Mo = L
mo
amplitude total
k
h=
+
n
 − Fant
+ 2
 fMd


Média: x =
Variância populacional: σ
Desvio-padrão: σ = σ 2
D2 = fmo – fpost


.h





.h



∑ f .(x
i
e
 i
 .n − Fant
Decil: D i = L D +  10
fD





.h



 i
.n − Fant

Percentil: Pi = L P +  100

fP


Variância amostral: s 2 =
∑ x i .fi
n


.h



D1
⋅h
, onde D1 = fmo – fant
D1 + D 2 mo
 i
 .n − Fant
Quartil: Q i = L Q +  4
fQ



− x)
2
i
n −1
2
∑ f .(x
=
i
− x)
2
i
n
ou
Coeficiente de variação: CV =
Assimetria: AS =
Geométrica: P(X=k) = p.(1–p)k–1
s = s2
Desvio-médio: DM =
∑f .x
i
i
−x
n
σ
s
ou CV =
x
x
(
x − Mo
3 x − Md
ou AS =
σ
σ
)
Curtose: k =
Q 3 − Q1
2.(P90 − P10 )
130