Lei dos senos e lei dos cossenos - MA13 - Unidade 15

Lei dos senos e lei dos cossenos
MA13 - Unidade 15
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Trigonometria para ângulos entre 0o e 180o
Para ângulos agudos, definimos seno, cosseno e tangente da forma
tradicional: dado um ângulo agudo XOY = α toma-se um ponto P
qualquer do lado OY e traça-se a perpendicular PA ao lado OX .
+
Y
P
b
α
b
O
b
A
+
X
As razões trigonométricas associadas ao ângulo α são:
AP
Seno do ângulo XOY :
sen α =
.
OP
OA
Cosseno do ângulo XOY :
cos α =
.
OP
AP
Tangente do ângulo XOY :
tan α =
.
OA
o
No caso do ângulo reto, definimos: sen 90 = 1 e cos 90o = 0.
Lei dos senos e lei dos cossenos
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Seja agora β um ângulo obtuso. Para definir as razões
trigonométricas de β vamos considerar seu suplemento
α = 180o − β.
Definimos:
sen β = sen α
cos β = − cos α
tan β = − tan α
As figuras a seguir permitem visualizar o seno e o cosseno de
ângulos agudos ou obtusos. Nelas tomamos OP = 1.
+
Y
P
P
b
b
1
y
1
y
α
α
b
x
sen α = y
O
b
b
A
A
cos α = x
Lei dos senos e lei dos cossenos
b
x O
X
sen β = y cos β = −x
+
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Relações
Decorrem das definições que, para qualquer ângulo θ entre 0o e
180o valem as relações:
sen2 θ + cos2 θ = 1
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e
tan θ =
sen θ
cos θ
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A Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é uma relação muito útil que envolve os três
lados do triângulo e o cosseno de um dos ângulos. A demonstração
é bastante simples.
Escolhemos inicialmente um dos ângulos do triângulo ABC . Seja A
o ângulo escolhido.
B
b
a
c
b
b
A
b
C
a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
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Demonstração (para o caso A < 90o )
Seja D a projeção do vértice B sobre a reta
AC . Como A < 90o então D está na semirreta AC . Seja AD = x. Assim DC = |b−x|.
No triângulo BDC o teorema de Pitágoras
fornece
B
b
h
b
x
A
a2 = h2 + |b − x|2 = h2 + b 2 + x 2 − 2bx
a
c
b
b
C
D
+
No triângulo BDA temos, pelo mesmo teorema,
Substituindo ficamos com
+
b
h2
=
c2
− x 2.
a2 = c 2 − x 2 + b 2 + x 2 − 2bx ⇒ a2 = b 2 + c 2 − 2bx
Entretanto, em qualquer uma das figuras tem-se xc = cos A, ou
seja, x = c cos A. Substituindo esse valor de x na última relação
encontramos
a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Os casos A = 90o e A > 90o ficam para o leitor.
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Exemplo 1
Determine o maior ângulo do triângulo cujos lados medem 5, 6 e 7.
Solução:
O maior ângulo do triângulo é oposto ao maior lado.
O ângulo θ que queremos calcular é oposto ao lado que mede 7.
Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo θ temos:
72 = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 cos θ
As contas fornecem cos θ =
1
5
Lei dos senos e lei dos cossenos
e uma calculadora dá θ ∼
= 78, 5o .
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A Lei dos Senos
A Lei dos Senos resolverá, principalmente, o caso de obter outros
elementos de um triângulo onde os ângulos são conhecidos e
apenas um lado é conhecido. A Lei dos Senos possui também forte
relacionamento com a circunferência circunscrita ao triângulo,
como veremos a seguir.
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A figura abaixo mostra o triângulo ABC , com lados a, b e c,
inscrito em uma circunferência de raio R.
A
b
b
D
R
O
b
R
b
B
a
b
C
O ângulo BAC do triângulo será representado simplesmente por A.
Traçamos o diâmetro BD. Assim, o ângulo BCD é reto e os
ângulos BAC e BDC são iguais, pois subtendem o mesmo arco BC .
BC
a
a
O seno do ângulo BDC é igual a BD
= 2R
. Então, sen A = 2R
, ou
a
seja, sen A = 2R.
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A relação mostra que a razão entre um lado do triângulo e o seno
do ângulo oposto é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita
e, naturalmente, essa relação vale qualquer que seja o lado
escolhido.
A Lei dos Senos no triângulo ABC é escrita assim:
b
c
a
=
=
= 2R
sen A
sen B
sen C
onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC .
A Lei dos Senos fornece um caminho simples para determinar o
raio da circunferência circunscrita a um triângulo.
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