Guia do Professor

Guia do Professor
Audiovisual 14
Conteúdos Digitais
Perspectiva
Série Mundo da Matemática
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Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Bárbara Nivalda Palharini Alvim Souza
Karina Alessandra Pessôa da Silva
Lourdes Maria Werle de Almeida
Luciana Gastaldi Sardinha Souza
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
Rodolfo Eduardo Vertuan
Revisão Textual
Elizabeth Sanfelice
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
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Audiovisual “O mundo da Matemática”
Episódio 14 – “Perspectiva”
1 Introdução
No audiovisual “Perspectiva”, episódio 14 do programa “O Mundo da Matemática”,
Rafa mente para Júlia ao dizer que passou no teste do DETRAN para obter a carteira de
motorista. Ele tenta não tocar no assunto enquanto os dois saem de uma exposição de
artes sobre perspectiva organizada pelo pessoal do colégio. O vídeo oferece a oportunidade para discutir representação de retas paralelas e concorrentes em perspectiva.
Nesse episódio, é proposto um estudo da representação de relações espaciais e objetos
sólidos tridimensionais no plano.
1.1 A Perspectiva e a arte
A perspectiva é uma técnica utilizada para representar relações espaciais e objetos
sólidos no plano, de modo a produzir um efeito semelhante ao da percepção do olho
humano. Se procurarmos no dicionário encontraremos que perspectiva é uma palavra
latina que significa ver através de. Este termo teve diferentes acepções ao longo do tempo.
Para representar um objeto em perspectiva, utilizamos algumas regras geométricas
de projeção. Essas regras permitem evidenciar as distâncias, e os objetos aparecem de
acordo com a percepção óptica que temos deles (e em oposição direta a uma forma de
representação puramente simbólica ou decorativa), o que possibilita reconstruir qualquer
representação (planta) a partir do desenho em perspectiva.
Entre os diversos sistemas de representação em perspectiva, podemos destacar a perspectiva linear e a perspectiva atmosférica.
A perspectiva linear baseia-se no modelo ocular, isto é, nas projeções sobre a retina
(pelo que foi primeiramente designada por perspectiva naturalis). Essa perspectiva permite ao artista, ao engenheiro, ao arquiteto representar um objeto tridimensional projetando-o sobre um plano a partir de um ponto - o ponto de fuga, que se encontra sobre o
eixo óptico ou de visão, uma linha de horizonte imaginária. Todas as linhas de projeção
convergem para esse ponto.
As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes
aparentam ser menores.
Os objetos menores são interpretados igualmente como estando mais distanciados.
Contudo, não há uma equivalência inequívoca entre representações bidimensionais e o
seu equivalente tridimensional. Ou seja, a uma mesma projeção, podem corresponder
diversos objetos tridimensionais (AUMONT, 1993, p. 42).
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A perspectiva linear está presente na maioria das vezes como uma perspectiva dinâmica, pois, ao movermo-nos, o nosso campo visual está em constante transformação, mas de
uma forma que o cérebro interpreta como congruente (AUMONT, 1993, p. 42-43).
A perspectiva atmosférica, utilizada na pintura, é outra técnica que joga com variações
de luz e cor, que permite obter uma ilusão de profundidade. São empregadas cores mais
luminosas, contornos mais nítidos e textura mais espessa nos objetos mais próximos. Os
objetos mais afastados são pintados com menos nitidez e normalmente com cores semelhantes às aplicadas no fundo. Isso porque, segundo Aumont (1993), a atmosfera terrestre, que contém poeiras e humidade, se interpõe e afeta a luminosidade dos objetos.
Antes do Renascimento, a noção de profundidade na pintura era dada por essa técnica. A ideia de profundidade espacial (perspectiva) e o papel autônomo da luz provocaram uma mudança revolucionária nas obras de arte. Artistas como Leonardo Da Vinci,
Michelangelo (1474 - 1564), Rafael (1483 – 1520) e Albrecht Dürer (1471 – 1528), buscaram retratar com rigor a profundidade numa tela bidimensional. Eles consideravam o
quadro como uma janela através da qual o artista vê o objeto a ser pintado. A pintura
era a representação da projeção do objeto na tela. “As linhas de visão a partir do objeto
que convergem no olho passam através da janela e os pontos onde se dá a intersecção
das linhas com a superfície da janela formam a projeção do objeto naquela superfície”
(DEVLIN, 2002, p.136). O desenho tornou-se o suporte desses mecanismos.
Embora a ideia de perspectiva estivesse presente no século XV, só no século XVIII é que
a geometria projetiva foi estudada como uma disciplina matemática.
A introdução da perspectiva na arte é uma das grandes inovações no período de transição do gótico para o Renascimento. A pintura passou a assumir uma grande importância
em relação aos outros gêneros artísticos. Estabeleceu-se uma nova relação entre a obra
de arte e o espectador. Os pontos de fuga na arte permitiam ter uma visão de profundidade nunca antes conseguida.
No vídeo aparecem as figuras apresentadas a seguir, inicialmente sem as linhas. Depois
de acrescentadas estas linhas, horizontais, verticais ou inclinadas, as figuras fazem sentido e mostram a profundidade que não conseguíamos perceber anteriormente.
Figura 1:
Representação em perspectiva
É este o segredo da perspectiva, que o homem demorou muito tempo para descobrir.
Se você se colocar atrás de uma janela envidraçada e riscar no vidro o que está “vendo
através da janela”, terá feito uma perspectiva da paisagem. A gravura a seguir mostra um
desenho de Dürer.
Disponível em: < http://www.
educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/durer/matnapint.htm>.
Acessado em 12 jul 2009
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A perspectiva é a representação gráfica que mostra os objetos como eles aparecem a
nossa vista, com três dimensões, mas não como eles realmente são. Ela dá uma noção de
conjunto do objeto em um só desenho, mas não permite que se tomem medidas, pois
algumas delas são modificadas.
Apresentamos a seguir dois tipos de perspectiva: a Cavaleira e a Isométrica, que são as
mais utilizadas.
1.2 Perspectiva Cavaleira
Alguns afirmam que a perspectiva Cavaleira leva esse nome porque era o nome dado a
um tipo de construção alta — o cavalier — que existia em certas fortificações militares do
séc. XVI e de onde se tinha, sobre a própria fortificação, uma visão “do alto” – que seria
semelhante à dada pela perspectiva cavaleira.
Figura 2 – Retirada de notas
de aula da Profa. Dra.
Marie-Claire Ribeiro Pola
A perspectiva cavaleira é uma projeção cilíndrica oblíqua sobre um plano paralelo
a uma das faces principais do objecto. Veja, na Figura 3 a seguir, a projeção cilíndrica
oblíqua de uma esfera.
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Figura 3:
Projeção ciíndrica de
uma esfera
•
•
•
•
Perceba os elementos:
figura a ser projetada (esfera);
o plano de projeção;
os raios projetantes;
a projeção da figura (no caso, uma elipse).
1.2.1 Perspectiva Cavaleira de um cubo
Nesta perspectiva, a face da frente conserva a sua forma e as suas dimensões, e a face
de fuga (eixo x) é a única a ser reduzida. Esta redução varia conforme o ângulo que o eixo
x faz com o eixo y.
• Se o ângulo é de 60º , a redução é de 1/3 do original;
• Se o ângulo é de 45º , a redução é de 1/2 do original;
• Se o ângulo é de 30º , a redução é de 2/3 do original.
x:y:z
x:y:z
x:y:z
1/3 : 1: 1
1/2 : 1: 1 2/3 : 1: 1
Figura 4:
Perspectiva cavaleira do
cubro
1.3 Perspectiva Isométrica
Iso quer dizer mesma; métrica quer dizer medida. A perspectiva isométrica mantém
as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto representado.
Para construir-se uma perspectiva ison métrica de um objeto, basta adotar uma única
escala para os três eixos. As direções x e y formam ângulo de 30º com a horizontal.
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Figura 5:
Perspectiva isométrica do
cubo
2 Objetivos
• Reconhecer retas paralelas e concorrentes em uma representação em perspectiva.
• Conhecer técnicas para representar relações espaciais e objetos sólidos tridimensionais
numa superfície plana.
• Representar em perspectiva uma figura tridimensional no plano.
Sugestão de atividade
Após assistir ao vídeo o professor pode propor atividades que permitam aos alunos
refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir
apresentamos algumas sugestões.
Atividade 1: Perspectiva Cavaleira e Isométrica 1
Construir as perspectivas cavaleira (escolher um ângulo) e isométrica de um prisma de
base retangular, cujas medidas são: 6cm x 2cm x 4cm.
Comentários para o professor:
Para esta atividade, o professor pode propor a utilização de papel quadriculado e
transferidor ou compasso para construir os ângulos.
Perspectiva Cavaleira: a medida do eixo de fuga deve ser reduzida à metade, neste caso
(medida real de 2 cm deve ser construída com 1 cm) , porque o ângulo escolhido foi de 45º .
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Perspectiva Isométrica: todas
as medidas são preservadas.
Atividade 2: Perspectiva Cavaleira e Isométrica 2
O sólido a seguir está representado na perspectiva Cavaleira. Represente-o na perspectiva isométrica.
Comentários para o professor:
Pode-se obter as medidas utilizando régua ou compasso. É importante lembrar que,
como o ângulo em relação à horizontal é de 45º, a medida real da face de fuga (eixo x)
é o dobro.
4 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as
respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
5 Sugestões de sítios
Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:
http://www.moderna.com.br/moderna/arte/vdali/destino
http://www1.ci.uc.pt/iej/alunos/1998-99/cbs/entrada1/conteudo.htm
http://www.terravista.pt/portosanto/2974/arquite2.htm
http://www.terravista.pt/portosanto/2974/pintu6.htm
http://www.apm.pt/apm/geometria/inoveg/egtext1.html
6 Indicações de leituras
AUMONT, J. A Imagem. Campinas:Papirus, 1993.
BLAKEMORE, C. Os Mecanismos da Mente. Lisboa: Editorial Presença, 1986.
CYRINO, M.C.C.T. As várias formas de conhecimento e o perfil do professor de Matemática na ótica do futuro professor. São Paulo: FEUSP, 2003. (Tese de Doutorado).
Notas de aula da Profa. Dra. Marie-Claire Ribeiro Pola.
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Condigital
Realização: