AULA 6 - Mudanças Abruptas
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AULA 6 - Mudanças Abruptas
MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 06 Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano 1 Guia de Estudo para Aula 06 •Aplicação de AutoValores - Usando autovalor para encontrar pontos ótimos de uma curva - Usando o toolbox simbólico do Matlab Geração de superfície - Utilização da função Mesh do Matlab Exercícios - Pontos ótimos de função - Autovalores na determinação de pontos críticos de uma função Objetivos da Aula - Compreender autovalores em otimização. - Determinar a característica de um ponto crítico. - Aplicar mínimos quadrados e autovalores. - Utilizar de forma adequada o Mesh. - Aprender a usar o toolbox de resolução simbólica do matlab. 2 Aplicação de Autovalores em Otimização Premissas Considerando uma função f(x), tem-se que: • A primeira derivada igual a zero determina os pontos críticos de f(x). • Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for positiva tem-se ponto de mínimo local. • Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for negativa tem-se ponto de máximo local. • Se a segunda derivada é nula e ocorre mudança de concavidade na função f(x) o ponto é de inflexão. 3 Exemplo- 1 Primeira derivada f ‘ (x) = 2x f(x) = x2 Segunda derivada f “ (x) = 2 4 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 2x f(x) = x2 Segunda derivada f “ (x) = 2 5 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 2x Ponto Crítico f(x) = x2 Segunda derivada f “ (x) = 2 Mínimo Local 6 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 2x f(x) = x2 Segunda derivada f “ (x) = 2 7 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 2x f(x) = x2 Segunda derivada f “ (x) = 2 8 Exemplo-2 Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x 9 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x 10 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 Ponto Crítico f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x Inflexão 11 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x 12 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x Inflexão 13 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 Ponto Crítico f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x Mínimo Local 14 Exemplo Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2 f(x) = x4 – 4x3 + 10 Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x 15 Funções bivariáveis f(x,y) Premissas Dada uma função f(x,y) •Encontra-se as derivadas parciais de primeira ordem fx, fy •Resolve-se o sistema linear formado pelas derivadas e encontram-se os pontos críticos. •Calculam-se as derivadas parciais fxx , fxy e fyy. •Cria-se a matriz Hessiana: ⎛ f xx H = ⎜⎜ ⎝ f xy f xy ⎞ ⎟ f yy ⎟⎠ 16 Classificação dos pontos críticos Sejam λ1 e λ2 os autovalores da matriz Hessiana • f(x,y) tem um mínimo em (x*,y*) se λ1 > 0 λ2 > 0 • f(x,y) tem um máximo em (x*,y*) se λ1 < 0 λ2 < 0 • f(x,y) tem uma sela em (x*,y*) se os autovalores tem sinais diferentes. 17 Exercício Encontre e classifique todos os pontos estacionários da função x3 f ( x, y ) = + xy 2 − 4 xy + 1 3 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 4 5 2 0 0 eixo y -2 -4 -5 eixo x 18 Derivadas de primeira ordem f x = x2 + y2 − 4 y f y = 2 xy − 4 x = 2 x( y − 2) Igualando fy = 0 obtemos, x=0 ou y=2 Igualando fx = 0 P/ x = 0 0 = 02 + y 2 − 4 y ⇒ y=0 ou y=4 P/ y = 2 0 = x 2 + 22 − 8 ⇒ x=2 ou x = −2 Ptos Críticos (0,0) (0,4) (2,2) (-2,2) 19 A Matriz Hessiana Derivadas segunda ordem f xx = 2 x f xy = 2 y − 4 f yy = 2 x Matriz Hessiana ⎛ f xx f xy ⎞ ⎟ H = ⎜⎜ ⎟ ⎝ f xy f yy ⎠ ⎛ 2 x∗ 2 y∗ − 4 ⎞ ⎟ H = ⎜⎜ ∗ ∗ 2 x ⎟⎠ ⎝2y − 4 (x*,y*) ponto crítico 20 AutoValores (0,0) ⎛ 0 − 4⎞ ⎟⎟ H = ⎜⎜ ⎝− 4 0 ⎠ (0,0) ⎛ 0 4⎞ ⎟⎟ H = ⎜⎜ 4 0 ⎝ ⎠ (2,2) ⎛ 4 0⎞ ⎟⎟ H = ⎜⎜ 0 4 ⎝ ⎠ (−2,2) ⎛− 4 0 ⎞ ⎟⎟ H = ⎜⎜ 0 4 − ⎝ ⎠ λ1 = 4 λ2 = −4 Ponto de Sela λ1 = 4 λ2 = −4 Ponto de Sela λ1 = 4 λ2 = 4 λ1 = −4 λ2 = −4 Mínimo Local Máximo Local 21 200 150 100 50 0 CONTORNO de f(x,y) -50 -100 -150 4 4 2 2 0 eixo y Sela 0 -2 -2 -4 -4 eixo x 4 Mínimo Máximo 3 2 Sela 1 0 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 22 Grafico usando Mesh • Deve ser criada uma “malha” de pontos para o eixo x e y. • Antes do comando para criar a malha de pontos, deve ser fornecido um vetor com a quantidade de pontos do eixo: início fim Qtde pontos •Deve ser usado o programa “meshgride” para gerar a malha •Deve ser inserida a função para plot em 3D 23 O gráfico Programa para plot 3D Programa para alterar a Matriz de cores: - Hot (cores quentes) - Pink (tons de rosa) - Sem o uso do colormap aparedem cores diversas 24 Gerando o Contorno de curvas 3D Programa Contour Precisa dos pontos inseridos num vetor para eixos x, y e z: Qtde de curvas de isolinhas desejadas 25 Toolbox de Matemática Simbólica Objetos simbólicos são criados a partir de strings de caracteres ou de valores numéricos usando-se a função sym 26 O uso de funções matemáticas 1 2x cos( x 2 ) = 27 Matriz simbólica Define diversas variáveis simbólicas Matriz de elementos simbólicos Determinante 28 Inserindo valores numéricos 29 Extraindo numerador e denominador de expressões racionais 2 ax f= b−x 30 Operações Algébricas 31 Funções Compostas f (g (x )) g (f (x )) 32 Simplificando Expressões Agrupa todos os termos semelhantes Expressa a função como produto de polinômios 33 Expandindo funções Distribui os produtos sobre as somas 34 Simplificando funções 35 A função pretty Forma mais fácil de ver uma expressão matemática 36 Resolvendo Equações (comando Solve) y = ax 2 + bx + x 37 Melhorando a saída 38 Calculando a derivada (diff) d (ax + bx + x ) dx 2 d (sen 2 ( x )) dx 39 A integração ( int(f)) 1 ∫ x dx ∫ x. cos(x )dx 2 1 ∫1 x dx Integral Definida 40
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