E u - gdace - Universidade Estadual de Maringá

Transcrição

Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
CAPÍTULO 4:
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
4.1 – Energia de Deformação
P
P1
P
L
P
δ
0
δ dδ
δ1
δ
Trabalho realizado pela força P durante o alongamento dδ:
dU=P.dδ
elemento de área
→
Trabalho total
→
δ1
U = ∫ P ⋅ dδ
0
→
Área sob o
diagrama forçadeformação entre
0 e δ1.
4.1 – Energia de Deformação
O trabalho da força P é transformado total ou
parcialmente em energia de deformação.
Unidade : N.M = J (Joule)
Para um material elástico linear:
P
P
U=
δ
P.δ
→ Área do triângulo hachurado
2
δ
4.2 – Densidade de Energia de Deformação
Para que a análise não fique presa as dimensões da
barra e possa ser dirigida para as propriedades do
material, vamos considerar o trabalho de deformação
por unidade de volume:
x1
P ⋅ dx x1
ε1
U ∫0
P dx
=
=∫ ⋅
→ u = ∫ σ x .dε x
V
A⋅ L
A
L
0
0
Unidade : J/m³
Observa-se que a densidade de energia é igual a
área sob a curva tensão x deformação específica.
Se o material for descarregado quando o nível de
tensão for maior que o escoamento, a tensão retorna
a zero, mas há uma deformação permanente (εp), e
somente parte da densidade de energia é
recuperada (correspondente a área do triângulo), o
restante é dissipada na forma de calor.
σ
εp
ε
ε1
Módulo de Tenacidade : é a área total sob a curva
tensão x deformação específica (ε=εp) e representa a
energia por unidade de volume necessária para fazer
o material entrar em ruptura.
A tenacidade está relacionada com ductilidade e
resistência do material.
σ
Módulo de tenacidade
Ruptura
εR
ε
Para material elástico linear:
ε1
σ x = E ⋅ ε x ∴ u = ∫ E ⋅ ε x ⋅ dε x
0
u=
E ⋅ε
E σ 
= ⋅ x 
2
2  E 
2
x
u=
2
σ x2
2⋅ E
σ
Para σx=σE
uE =
σ E2
σE
2⋅ E
Módulo de Resiliência
Módulo de Resiliência
ε
εE
Módulo de Resiliência : representa a energia por unidade de
volume que o material pode absorver sem escoar.
4.3 – Energia de Deformação Elástica para
Tensões Normais
Para distribuição de tensões não uniformes, “u”
pode ser definido considerando-se a energia de
deformação de um pequeno elemento:
∆U
∆V →0 ∆V
u = lim
e
ε1
Onde: u = σ x ⋅ dε x
∫
e
u=
dU
dV
σ x = E ⋅ε x → u =
0
dU = u ⋅ dV ∴U = ∫ u ⋅ dV
Assim:
U =∫
V
σ
Vol
2
x
2E
⋅ dV
σ x2
2⋅ E
4.3.1 – Para Carga Axial
dV=A(x).dx
σx =
P
P
A(x)
L
L
P²
P²
U =∫
⋅ dV = ∫
⋅ A( x ) ⋅ dx
2
2
2
⋅
E
⋅
A
2
E
⋅
A
( x)
( x)
V
0
L
P2
U =∫
⋅ dx
2 ⋅ E ⋅ A( x)
0
se A=const. →
P2 ⋅ L
U=
2⋅ E ⋅ A
4.3.1 – Para Carga Axial
Exemplos:
U = U1 + U 2
A1, E1
A2, E2
L1
L2
A1
,E
1,
L
U=
P 2 ⋅ L1
P 2 ⋅ L2
+
2 ⋅ A1 ⋅ E1 2 ⋅ A2 ⋅ E2
U = U1 + U 2
1,
F1
F12 ⋅ L1
F22 ⋅ L2
U=
+
2 ⋅ A1 ⋅ E1 2 ⋅ A2 ⋅ E2
A2, E2, L2, F2
P
4.3.2 – Para Flexão
P
q
σx
q
• Desprezando as tensões de cisalhamento
• Momento em C = M
σx =
σx
B
A
C
M .y
Iz
x
dA
U =∫
V
σ x2
2E
L
dx
⋅ dV = ∫
V
M 2 ⋅ y2
M 2 ⋅ y²
⋅
dV
=
∫A I Z2 ⋅ 2 ⋅ E ⋅ dV
I Z2 ⋅ 2 ⋅ E
L
M
M2
U =∫
⋅
(
y
²
⋅
dA
)
⋅
dx
⇒
U
=
⋅ dx
2 ⋅ E ⋅ I Z2 ∫A
⋅
E
⋅
I
2
0
z
0
2
∫
4.3.2 – Para Flexão
Exemplo:
x
P
M = −P ⋅ x
L
EI
L
U =∫
0
P² ⋅ x²
P² ⋅ x³ L
⋅ dx =
2⋅ E ⋅ Iz
6⋅ E ⋅ Iz 0
P 2 ⋅ L3
U=
6⋅ E ⋅ Iz
4.4 – Energia de Deformação Elástica para
Tensão de Cisalhamento
τ
τ
τ
γ
τ
τ
τ
u=
τ
τ
γ
u = ∫ τ .d γ
onde:
τ .γ
2
γ
τ = G.γ
0
u=
dU
⇒ dU = u.dV ∴ U = ∫ u.dV
dV
V
τ
G ⋅ γ ² G ⋅ ( G )²
τ ² U = τ ² ⋅ dV
u = ∫ G ⋅ γ ⋅ dγ =
=
=
∫ 2⋅G
2
2
2⋅G
V
0
γ
4.4.1 – Para Torção
dA.dx
T
φ: ângulo de torção
T
T
dA
T
U
L
φ
τ²
T ²⋅ ρ²
⋅ dV = ∫
U =∫
⋅ dA ⋅ dx
2⋅G
2 ⋅ G ⋅ J (2x )
L
L
T ⋅L
G⋅J
T ⋅ρ
τ=
J
φ=
T²
T²
⋅ dx
U =∫
⋅ ( ∫ ρ ² ⋅ dA) ⋅ dx ⇒ U = ∫
2
2 ⋅ G ⋅ J ( x)
2 ⋅ G ⋅ J ( x) A
0
0
Eixo da seção uniforme ⇒
T2 ⋅L
U=
2⋅G ⋅ J
4.4.1 – Para Torção
Exemplo:
T
φ=n.d
φ=d
L/2
U = U1 + U 2
T 2 ⋅ L1
T 2 ⋅ L2
U=
+
2 ⋅ G ⋅ J1 2 ⋅ G ⋅ J 2
L/2
4.4.2 – Para Carregamento Transversal
Considerar as tensões normais e de cisalhamento.
dA
P
τ
y
L
U = Uσ + Uτ
Energia de deformação devido a tensão normal Uσ:
M = −x ⋅ P
M2
P 2 ⋅ L3
Uσ = ∫
⋅ dx =
2
⋅
E
⋅
I
6⋅ E ⋅ Iz
z
0
L
Energia de deformação devido a tensão de cisalhamento Uτ:
τ xy =
V ⋅Ms
→
b⋅ Iz
Atua no volume dx.dA
2
τ²
1 V ⋅ Ms 

 dx ⋅ dA
Uτ = ∫
⋅ dV = ∫
2
2
G
G
b
⋅
I
z 

V
V
L
V²
Uτ = ∫
2G ⋅ I z2
0
 M s2

⋅  ∫
⋅ dA  ⋅ dx
 A b²

M s2
A integral ∫
⋅ dA é calculada na área da seção.
b
²
A
Fator de forma para cisalhamento (fc):
M s2
∫A b 2 ⋅ dA
A
fC = 2
Iz
2
2
M
f
⋅
I
s
C
z
Então:
∫A b 2 dA = A
L
f C ⋅ I z2
V²
Logo: U τ =
∫0 2G ⋅ I z2 ⋅ A ⋅ dx
Uτ = ∫
L
0
f C ⋅V ²
⋅ dx
2G ⋅ A
Exemplo de cálculo do fator de forma:
A = b⋅h
- Seção Retangular:
( − y)
h
2
Iz =
Ai
dy
y
h
2
dA = b.dy
M S = yi ⋅ Ai = ( y +
h
2
MS =
b
fC =
6 ⋅V 2
Logo: U τ = ∫ 5
⋅ dx =
2G ⋅ A
0
( h2 − y )
) ⋅ b ⋅ ( h2 − y )
2
b h2
⋅ ( − y2 )
2 4 h
b⋅h
 b ⋅ h3 


 12 
b2
h2
6
⋅
− y 2 ) ⋅ b ⋅ dy =
(
2
⋅
b
4
4
5
−h
2
2
⋅∫
2
3 ⋅V 2 ⋅ L
5⋅G ⋅ A
L
b ⋅ h3
12
U = U σ + Uτ
4.5 – Energia de Deformação devido a uma Força
δ1
U = ∫ P ⋅ ds
0
Para deformação elástica:
U=
Exemplos:
1) Viga em balanço:
Sabendo que:
P
y
L
1
P ⋅δ
2
ymáx =
P⋅ y
2
P  P ⋅ L3
U = 
2  3⋅ E ⋅ I z
P ⋅ L³
3E ⋅ I z
U=

P 2 ⋅ L3
 =
 6⋅ E ⋅ Iz
2) Viga engastada com momento na extremidade:
θ
θ
U = ∫ M ⋅ dθ =
M
0
L
θ máx =
M ⋅θ
2
M ⋅L
E ⋅ Iz
M ⋅θ M  M ⋅ L 
M 2 ⋅L
=
U=
=
⋅
2
2  E ⋅ I z  2 ⋅ E ⋅ I z
3) Eixo circular torcido:
T
φ
T
L
φ
U = ∫ T ⋅ dφ =
0
φ=
T ⋅φ
2
T ⋅L
G⋅J
T T ⋅L
T2 ⋅L
U= ⋅
=
2 G⋅J
2⋅G ⋅ J
4.6 – Deformação devida a uma força
Sabemos agora que:
U=
1
P ⋅δ
2
U=
1
⋅ M ⋅θ
2
1
⋅ T ⋅φ
2
U=
Se o trabalho de deformação U for conhecido, pode-se
obter as deformações δ, θ ou φ.
Exemplo: Determine a flecha da viga abaixo
considerando: a) somente as tensões normais;
b) as tensões normais e de cisalhamento
P
h
B
LL
b
a) Efeito das tensões normais:
Uσ = ∫
L
Uσ = ∫
L
o
0
M2
→ M = −P ⋅ x
2⋅ E ⋅ Iz
P2 ⋅ x2
P 2 ⋅ L3
dx =
2⋅ E ⋅ Iz
6⋅ E ⋅ Iz
P⋅L
P ⋅ yB
P 2 ⋅ L3
Uσ =
=
→ yB =
3⋅ E ⋅ Iz
2
6⋅ E ⋅ Iz
3
Como:
b) Efeito das tensões normais e de cisalhamento:
f C ⋅V 2
6
Seção retangular: f C =
Uτ = ∫
⋅ dx
5
0 2⋅G ⋅ A
6 ⋅ P2
L
3⋅ P2 ⋅ L
5
Uτ = ∫
⋅ dx =
0 2⋅G ⋅ A
5⋅G ⋅ A
L
Uσ =
P 2 ⋅ L3
6⋅ E ⋅ Iz
U Total = U σ + Uτ =
U Total
P 2 ⋅ L3 3 ⋅ P 2 ⋅ L
+
6⋅ E ⋅ Iz 5⋅G ⋅ A
P ⋅ yB
P 2 ⋅ L3 3 ⋅ P 2 ⋅ L
=
=
+
2
6⋅ E ⋅ Iz 5⋅G ⋅ A
P ⋅ yB
P 2 ⋅ L3 
18 ⋅ E ⋅ I z 
=
⋅ 1 +

2
6 ⋅ E ⋅ I z  5 ⋅ A ⋅ G ⋅ L2 
yB =
P ⋅ L3
3⋅ E ⋅ Iz
18 ⋅ E ⋅ I z 

⋅ 1 +
2 
 5⋅ A⋅G ⋅ L 
(yB)Uτ → equivale a erro menor
que 0,9% quando h/L<1/10
↑
Parcela relativa ao cisalhamento
4.7 – Teorema de Castigliano
“Se o material de um corpo solicitado por forças
é elástico linear e os deslocamentos são
pequenos, a derivada parcial da energia de
deformação em relação a qualquer força
fornece o deslocamento correspondente a
esta força.”
Assim:
δi =
∂U
∂Pi
θi =
∂U
∂M i
φi =
Para uma viga:
U =∫
L
0
M2
⋅ dx
2⋅ E ⋅ Iz
δi =
L M
∂U
∂M
=∫
⋅
⋅ dx
0 E⋅I
∂Pi
∂
P
z
i
θi =
L M
∂U
∂M
=∫
⋅
⋅ dx
0 E⋅I
∂M i
∂
M
z
i
∂U
∂Ti
Exemplo 1: Determine a flecha no ponto B da viga
engastada abaixo. Considere E.Iz = 5MN.m²
4 KN/m
6 KN
2m
M = −( P ⋅ x +
∂M
= −x
∂P
q⋅x
)
2
2
L M
∂U
∂M
=
⋅
⋅ dx
∂P ∫0 E ⋅ I ∂P
L
1
q ⋅ x2
∂B =
= ∫ − (P ⋅ x +
)(− x) ⋅ dx
0
E ⋅ Iz
2
∂B =
∂B =
L
1
q ⋅ x3
= ∫ (P ⋅ x2 +
) ⋅ dx
0
E ⋅ Iz
2
∂B =
1
P ⋅ L3 q ⋅ L4
=(
+
)
E ⋅ Iz
3
8
∂B =
1
6 ×103 × 23 4 ×103 × 2 4
(
+
)
6
5 ×10
3
8
∂ B = 4,8 × 10−3 m = 4,8mm ↓
Obs.: O teorema de Castigliano determina o deslocamento
δi de um determinado ponto da estrutura, apenas se
existir uma força Pi aplicada neste ponto e na direção em
que δi vai ser determinada. Quando não existir
carregamento aplicado no ponto desejado, ou quando a
carga não está na direção do deslocamento desejado,
pode-se usar o teorema de Castigliano aplicando uma
força fictícia Qi na direção em que deve ser calculado o
deslocamento δi, então,
δi =
∂U
∂Qi
Assume Qi = 0 e calcula-se o deslocamento desejado.
Exemplo 2: Determine a flecha e a declividade no
ponto A da viga engastada.
1) Aplica-se no ponto A uma carga fictícia QA
q
A
x
δA =
B
S
L
QA
L M
∂U
∂M
=∫
⋅
⋅ dx
0 E⋅I
∂Qi
∂
Q
z
i
2) Momento a uma distância x de A:
q ⋅ x2
M = −Q A ⋅ x −
2
∂M
= −x
∂Q A
3) Flecha:
δA =
L
1
q ⋅ x²
⋅ ∫ (−QA ⋅ x −
) ⋅ (− x) ⋅ dx
E ⋅ Iz 0
2
fazendo
1
δA =
E ⋅ Iz
QA = 0
∫
L
0
q ⋅ x3
1 q ⋅ x4 L
⋅ dx =
⋅
2
E ⋅ Iz
8 0
q ⋅ L4
δA =
↓
8⋅ E ⋅ Iz
4) Declividade:
θA =
q
A
L M
∂U
∂M
=∫
⋅
⋅ dx
∂M A 0 E ⋅ I z ∂M A
q ⋅ x2
∂M
M = −M A −
→
= −1
2
∂M A
L
1
q ⋅ x²
θA =
⋅ ∫ (− M A −
) ⋅ (−1) ⋅ dx
E ⋅ Iz 0
2
B
S
MA
MA =0
θA =
1 q ⋅ x³ L
q ⋅ L³
⋅
→θA =
E ⋅ Iz 6 0
6⋅ E ⋅ Iz
Exemplo 3: Para a viga e carregamento mostrado,
determine o deslocamento no ponto D.
Use E = 200 GPa e Iz = 28,9x106mm4.
Q
Teorema de Castigliano
q = 26 kN/m
A
a=1,4m
D
B
1- Aplica-se uma força fictícia Q
vertical no ponto D.
b=2,2m
3,6 m
2- Flecha em D:
δD = ∫
L
0
D M
D M
M ∂M
1 ∂M 1
2 ∂M 2
⋅
⋅ dx = ∫
⋅
⋅ dx + ∫
⋅
⋅ dx
A EI
B EI
EI z ∂Q
∂
Q
∂
Q
z
z
Reações de apoio:
q ⋅ b2 Q ⋅ b
RVA =
+
2L
L
e
R VB
b
q ⋅ b ⋅ (a + )
2 +Q⋅ a
=
L
L
Trecho AD: 0 ≤ x ≤ a
M 1 = RVA ⋅ x = (
Logo:
∫
D
A
q ⋅ b² Q ⋅ b
+
)⋅ x
L
2L
M 1 ∂M 1
1
⋅
⋅ dx =
EI z ∂Q1
EI z
∫
a
0
e
RVA ⋅ x ⋅
∂M 1 b ⋅ x
=
L
∂Q
R ⋅ a³ ⋅ b
b⋅ x
⋅ dx = VA
L
3 ⋅ EI z ⋅ L
Fazendo Q=0 e substituindo RVA:
∫
D
A
M 1 ∂M 1
q ⋅ a ³ ⋅ b³
⋅ dx =
EI z ∂Q
6 ⋅ EI z ⋅ L ²
Trecho DB: 0 ≤ v ≤ b
b
q ⋅ b ⋅ (a + )
q ⋅ v²
2 + Q ⋅ a ] ⋅ v − q ⋅ v²
M 2 = RVB ⋅ v −
=[
2
L
L
2
∂M 2 a ⋅ v
=
L
∂Q
Logo:
∫
D
∫
D
B
B
M 2 ∂M 2
1
⋅
⋅ dv =
EI z
EI z ∂Q
∫
b
0
( RVB ⋅ v −
q ⋅ v² a ⋅ v
)⋅
⋅ dv
2
L
M 2 ∂M 2
RVB ⋅ a ⋅ b ³ q ⋅ a ⋅ b 4
⋅
⋅ dv =
−
EI z ∂Q
3 ⋅ EI z ⋅ L 8 ⋅ EI z ⋅ L
Fazendo Q=0 e substituindo VB:
∫
D
B
b 

 q ⋅ b( a + 2 )  a ⋅ b ³
5 ⋅ a ² ⋅ b 4 + a ⋅ b5
M 2 ∂M 2
q ⋅ a ⋅ b4
⋅
⋅ dv = 
⋅
−
=
⋅q

3
8
24
²
EI z ∂Q2
L
⋅
EI
⋅
L
⋅
EI
⋅
L
⋅
EI
⋅
L
z
z
z




Flecha no ponto D:
δD =
q ⋅ a ³ ⋅ b ³ 5a ² ⋅ b 4 + a ⋅ b 5
q ⋅ a ⋅ b³
+
⋅q =
(4a ² + 5ab + b ²)
6 ⋅ EI z ⋅ L ²
24 ⋅ EI z ⋅ L ²
24 ⋅ EI z ⋅ L ²
δD =
q ⋅ a ⋅ b³
q ⋅ a ⋅ b³
⋅ ( 4a + b) ⋅ ( a + b) =
( 4 a + b)
24 ⋅ EI z ⋅ L ²
24 ⋅ EI z ⋅ L
Substituindo os valores numéricos:
δ D = 6,05mm ↓
Exemplo 4: Determine os deslocamentos horizontais
e verticais do ponto B na estrutura abaixo:
C
FBC
A,E
3
3
4
4
B
L
Q
B
3
4
3
4
P
A,E
D
FBD
P
Q
1) Aplica-se uma força fictícia Q horizontal em B;
2) Teorema de Castigliano:
xB =
∂U
∂Q
e
yB =
∂U
∂P
3) Energia de deformação da estrutura:
2
2
FBC
⋅ LBC FBD
⋅ LBD
U=
+
2 A.E
2 A.E
∂U FBC ⋅ LBC ∂FBC FBD ⋅ LBD ∂FBD
=
⋅
+
⋅
Logo: xB =
A⋅ E
A⋅ E
∂Q
∂Q
∂Q
∂U FBC ⋅ LBC ∂FBC FBD ⋅ LBD ∂FBD
yB =
=
⋅
+
⋅
∂P
A⋅ E
∂P
A⋅ E
∂P
4) Forças nas barras: equilíbrio do ponto B
4
3
5Q − 4 FBC
= 0 ∴ Q −FBC ⋅ − FBD ⋅ = 0 ∴ FBD =
5
5
3
Q
3
4
∑ Fy = 0 ∴FBC ⋅ 5 − P − FBD ⋅ 5 = 0
3
4  5Q − 4 FBC 
FBC ⋅ − P − 
=0
5
5
3

3
20 ⋅ Q 16 ⋅ FBC
FBC ⋅ − P −
+
=0
5
15
15
∑F
FBC
x
3
4
B
3
4
FBD
P
FBC = 0,6 ⋅ P + 0,8 ⋅ Q
FBD = −0,8 ⋅ P + 0,6 ⋅ Q
Logo:
∂FBC
= 0,8
∂Q
e
∂FBD
= 0,6
∂Q
∂FBC
= 0,6
∂P
e
∂FBD
= −0,8
∂P
5) Cálculo dos deslocamentos
Fazendo Q=0:
F = 0,6 ⋅ P
 BC

 FBD = −0,8 ⋅ P
LBC = 0,6 ⋅ L
e
LBD = 0,8 ⋅ L
0,6 ⋅ P ⋅ 0,6 ⋅ L
(−0,8P ) ⋅ 0,8 ⋅ L
P⋅L
⋅ 0,8 +
⋅ 0,6 = −0,096
A⋅ E
A⋅ E
A⋅ E
(0,6 ⋅ P ) ⋅ 0,6 ⋅ L
(−0,8P ) ⋅ 0,8 ⋅ L
P⋅L
yB =
⋅ 0,6 +
.(−0,8) = 0,728
A⋅ E
A⋅ E
A⋅ E
xB =
Logo: xB = 0,096 ⋅
P⋅L
←
A⋅ E
y B = 0,728 ⋅
P⋅L
↓
A⋅ E
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Pode-se usar o teorema de Castigliano para
determinar reações de apoio de estruturas
estaticamente indeterminadas:
q
Exemplo 1:
A
B
L
Grau de hiperestaticidade → 1
Escolhe-se uma reação como redundante → RA
q
A
B
L
RA
Pelo teorema de Castigliano: → y A =
∂U
∂RA
Onde sabe-se que yA=0
Logo:
yA =
L M
∂U
∂M
⋅ dx
=∫
⋅
∂RA 0 E ⋅ I z ∂RA
q ⋅ x2
M = RA ⋅ x −
2
e
∂M
=x
∂RA
yA =
1
EI z
∫
L
yA =
1
EI z
∫
L
0
0
( RA ⋅ x −
q ⋅ x²
) ⋅ x ⋅ dx
2
( RA ⋅ x ² −
q ⋅ x³
)dx
2
1
RA ⋅ L ³ qL4
yA =
⋅(
−
)
EI z
3
8
Como yA= 0 →
RB =
Logo:
RA =
3⋅ q ⋅ L
8
5qL
8
e
MB =
qL ²
8
Exemplo 2: Determine as reações de apoios da viga:
q
A
B
C
L
L/2
Grau de hiperestaticidade : 3 – 2 = 1
Reação redundante : RA
q
A
B
C
L
RA
L/2
Teorema de Castigliano:
yA = ∫
C

M ∂M
1  B
∂M 1
∂M 2
⋅
⋅ dx =
⋅ dx + ∫ M 2 ⋅
⋅ dx 
 ∫A M 1 ⋅
B
EI z ∂RA
EI z 
∂RA
∂RA

Reações de apoio:
RB =
9
qL − 3R A
4
e
3
RC = 2 R A − qL
4
∂M 1
=x
∂RA
B
L
∂M 1
qx ²
R A ⋅ L ³ qL4
∫A M 1 ⋅ ∂RA ⋅ dx = ∫0 ( RA ⋅ x − 2 ) ⋅ x ⋅ dx = 3 − 8
Trecho 1 : 0 ≤ x ≤ L
M 1 = RA ⋅ x −
Trecho 2 : 0 ≤ v ≤ L/2
3
qv ²
M 2 = (2 R A − qL) ⋅ v −
;
4
2
∫
B
C
M2 ⋅
qx ²
;
2
∂M 2
= 2v
∂R A
L/2
∂M 2
3
qv ²
⋅ dv = ∫ [(2 R A − qL) ⋅ v −
] ⋅ 2v ⋅ dv
0
∂R A
4
2
=
R A ⋅ L ³ qL4 qL4 R A ⋅ L ³ 5qL4
−
−
=
−
6
16 64
6
64
Reação em A:
yA =
1
EI z
 R A ⋅ L ³ qL4   R A ⋅ L ³ 5qL4 
 + 

−
−

3
8
6
64
 


Sabendo que yA = 0
Reação em B e C:
RA =
RB =
13
qL ↑
32
33
qL ↑
32
RC =
qL
↑
16
Exemplo 3: Determine a força em cada barra da
estrutura abaixo, sendo estas de mesmo material e
mesma área.
C
H
0,6L
RH
FBC
0,5L
FBH
L
B
B
B
0,8L
P
P
FBD
P
D
Grau de hiperestaticidade → 3 – 2 = 1
Escolhe-se uma reação como redundante → RH
Pelo teorema de Castigliano → y H =
∂U
∂RH
e
yH = 0
Energia de deformação:
2
2
2
FBC
⋅ LBC FBD
⋅ LBD FBH
⋅ LBH
U=
+
+
2 AE
2 AE
2 AE
Logo:
yH =
FBC ⋅ LBC ∂FBC FBD ⋅ LBD ∂FBD FBH ⋅ LBH ∂FBH
⋅
+
⋅
+
⋅
AE
AE
AE
∂RH
∂RH
∂RH
Forças nas barras: equilíbrio do ponto B
FBH = RH
FBC = 0,6 P − 0,6 RH
FBD = 0,8RH − 0,8P
 ∂FBH
=1

∂
R
H

 ∂FBC
⇒
= −0,6
∂
R
 H
 ∂FBD
 ∂R = 0,8

H
yH =
1
[(0,6 P − 0,6RH ) ⋅ 0,6 L ⋅ (−0,6) + (0,8RH − 0,8P) ⋅ 0,8L ⋅ 0,8 + RH ⋅ 0,5L ⋅1]
AE
Como: yH = 0 → 1,228 RH − 0,728 P = 0
RH = 0,593P
FBC = 0,244 P
FBD = −0,326 P
FBH = 0,593P

E u - gdace - Universidade Estadual de Maringá

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