3 – Métodos de Energia

CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões
internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizando-se
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para
forças e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode
ser desprezada e teremos como resultado:
Ue = Ui
7.2. Teorema de Clapeyron
Pn
Pi
P1
δi
δn
δ1
Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de
cada uma das forças.
Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são
colocados sob a forma α.δi.
Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou
seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o
incremento de trabalho será
n
n
i =1
i =1
dU = ∑ αPi .dαδ i = ∑ Piδ iαdα
Métodos de Energia - 7.1
O trabalho total realizado por todas forças é
ENERGIA TOTAL DE DEFORMAÇÃO CEDIDA
1 n
U = ∑ ∫ Pi δ iαdα = ∑ Pi δ i AO CORPO PELO SISTEMA DE FORÇAS
2 i =1
i =1 α = 0
n
1
Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos “generalizado” ou seja Pi pode ser força ou momento
e δi deslocamento linear ou angular.
A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:
U=
1 n
∑ M iϕ i
2 i =1
TEOREMA DE CLAPEYRON:
“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos
Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço
considerado”.
7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples
a) Tração e compressão
dδ
N
N
δ
dx
dU =
1
N .dδ
2
U=
1
2.E
Nx
dx ,
E. Ax
ou
dU =
2
dU =
Nx
2.E. Ax
2
N x dx
∫0 Ax
l
N
Energia de deformação em um trecho de comprimento dx
dδ = ε x .dx =
δ
N = cte, A = cte
U=
N 2L
2.E. A
Métodos de Energia - 7.2
1
N .dδ
2
b) Cisalhamento - distribuição uniforme
δ
Q
δ=γ.L
dδ=γ.dx
L
Q
τ=
Q
Q
, τ = G.γ , γ =
A
A.G
Q
dU =
Q2
1
1
Q.dδ = Q.γ .dx =
dx
2
2
2. A.G
U=
∫
L
0
Q2
dx
2G. A
Ou, em função da tensão de cisalhamento,
U =∫
L
0
τ 2 . A.dx
2.G
Para distribuição não uniforme,
U=
∫
L
0
k .Q 2
dx
2G. A
Seção retangular:
k= 6/5
Seção circular:
k= 10/9
c) Flexão
dϕ
ρ
x
x
dx
ds
Métodos de Energia - 7.3
1
dU = M .dϕ
2
dϕ =
ds dx
≈ ,
ρ ρ
1 M
=
ρ EI
dϕ =
M
dx ,
EI z
dU =
M2
dx
2.E.I z
M2
U =∫
dx
0 2. E . I
z
l
d) Torção
T
γ
A
B r
B'
dϕ
dx
dU =
1
⋅ T .dϕ
2
γ .dx = r.dϕ ∴
dϕ
γ
T
=θ = =
dx
r G.I P
T = G.θ .I P , θ =
dU =
γ =
τ
T .r
=
G G.I P
T
dϕ
T .dx
=
∴ dϕ =
G.I P
dx
G.I P
1 T 2 .dx
⋅
2 G.I P
L
T 2 .dx
1
U=
⋅
2G ∫0 I P
e) Esforços simples combinados
L
L
L
L
N 2 .dx
k .Q 2 .dx 1
M 2 .dx
T 2 .dx
1
1
1
U=
⋅∫
+
⋅∫
+
⋅∫
+
⋅∫
A
2E 0 A
2G 0
2E 0 I z
2G 0 I P
Métodos de Energia - 7.4
7.3. Teorema de Castigliano
“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”.
Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não
permitir movimento de corpo rígido.
Pn
Pi
P1
δi
Seja U a energia de deformação devido à ação
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à
força Pi.
δn
δ1
A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente
∂U
⋅ dPi
U + dU = U +
∂Pi
Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o
deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela
força dPi será
1
⋅ dPi ⋅ dδ i
2
Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será
U+
1
⋅ dPi ⋅ dδ i + dPi ⋅ δ i
2
Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado
por dPi
Pelo princípio de conservação de energia, tem-se
U+
∂U
1
⋅ dPi = U + dPi .δ i + ⋅ dPi .dδ i
∂Pi
2
∂U
= δi
∂Pi
Infinitésimo de 2ª ordem
E fica provado o teorema de Castigliano
Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:
P
M0
δ
x
L
Métodos de Energia - 7.5
∂M
= −x ,
∂P
M x = − P.x − M 0
L
U=∫
0
∂M
= −1
∂M 0
M x2 .dx
2 EI
Cálculo da flecha e da rotação:
L
L
∂U
∂M
1
1
δ =
=
⋅ ∫ 2.M
⋅ dx =
⋅ ∫ (− P. x − M 0 )⋅ (− x )⋅ dx
∂P 2 EI 0
∂P
EI o
1
δ =
EI
 P.L3 M 0 .L2 

⋅ 
+
2 
 3
L
L
∂U
∂M
1
1
θ=
=
⋅ M⋅
⋅ dx =
⋅ (− P.x − M 0 )⋅ (− 1) ⋅ dx
∂M 0 EI ∫0
∂M 0
EI ∫0
θ=
1
EI
 P.L2

⋅ 
+ M 0 .L 
 2

b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga
A
P
B
1
α
5
4
HC
C
3
2
3L/4
cos α = 0,8
sen α = 0,6
D
L
RD
RC
- Cálculo das reações de apoio:
∑ FH = 0 , H C = P
∑F
=0 ,
V
∑M
-
C
=0,
RC = RD
3
3.P
= RC
RD .L = P ⋅ ⋅ L ∴ RD =
4
4
Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:
Nó B
N1
N1 = N2 = 0
N2
Métodos de Energia - 7.6
Nó A
N1=0
P
α
H
N5
N4
∑F
= 0 ∴ N 4 + N 5 . sen α = 0
N4 =
5
3 3.P
⋅P⋅ =
4
5
4
V
∑F
= 0∴P + N 5 . cos α = 0
N5 = −
5.P
4
Nó C
N4
N3
HC
N3 = H = P
N 4 = RC =
RC
3.P
4
Cálculo da energia de deformação do sistema
Barra
Ni
Li
Ai
N i2 .Li
Ai
1
2
3
4
5
0
0
P
(3P)/4
-(5P)/4
L
(3L)/4
L
(3L)/4
(5L)/4
A
A
A
A
A
0
0
(P2L)/A
(27P2L)/(64A)
(125P2L)/(64A)
n
N i2 .Li
1
1 P 2 .L  27 125 
U=
⋅∑
=
⋅
⋅ 1 +
+

2.E i =1 Ai
2.E A  64 64 
216 P 2 .L
⋅
128 EA
∂U 216.P.L
P.L
δ =
=
= 3,375
∂P
EA
64.EA
Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:
U=
1
⋅ P ⋅δ
(teorema de Clapeyron )
2
216 P 2 .L
Ui =
⋅
128 EA
216 P.L
Ui = Ue ∴ δ =
⋅
64 EA
Ue =
c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.
Métodos de Energia - 7.7
Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga
uniformemente distribuída.
q
A
B
x
L
RA
RB
Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.
Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois
fazê-la igual a zero.
q.L P
q.x 2
R A = RB =
+
M x = R A .x −
,
2
2
2
2
∂M x x
q.L. x P. x q.x
Mx =
+
−
=
,
∂P
2
2
2
2
L/2
L/2
2
M x .dx
2.M x ∂M x
∂U
U = 2⋅ ∫
= 2⋅ ∫
⋅
, δ =
∂P
2 EI
2 EI ∂P
0
0
δ =
L/2
∫
0
1
δ =
EI
δ =
2
EI
 q.L.x P.x q.x 2   x 
 ⋅  dx
⋅ 
+
−
2
2   2 
 2
L/2
 q.L x 3 P x 3 q x 4 
⋅
⋅ + ⋅
− ⋅ 
 2 3 2 3 2 4 0
q.L4 
1  q.L4 P.L3


+
−
EI  6 X 8 6 X 8 8 X 16 
q.L4  1
1  5.q.L4
δ =
⋅ −
=
EI  48 128  384.EI
7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)
Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que
tornam mínimo o trabalho armazenado".
Considera-se estrutura isostática
correspondente de uma estrutura
hiperestática dada, aquela que resulta da
supressão de vínculos da estrutura dada
MA
HA
RA
RB
Métodos de Energia - 7.8
Aplicações:
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente:
q
x
q.x 2
M = R B .x −
,
2
RB
∂M
=x
∂RB
L
L

R .L3 q.L4
∂U
M ∂M
q. x 3 
 ⋅ dx = B
=0=∫
⋅
⋅ dx = ∫  RB .x 2 −
−
∂RB
EI ∂RB
2 
3
2X 4
0
0
3
RB = ⋅ q.L
8
b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
q
q
MB
x
M = R B .x − M B −
L
U=∫
0
q.x 2
,
2
∂M
=x ,
∂RB
RB
∂M
= −1
∂M B
M 2 dx
,
2 EI
∂U
M ∂M
=∫
⋅
=0
∂RB 0 EI ∂RB
L
∂U
M ∂M
=∫
⋅
=0
∂M B 0 EI ∂M B
L
Métodos de Energia - 7.9
L

∂U
q.x 2
= 0 = ∫  RB .x − M B −
∂RB
2
0

R .L3 M B .L2 q L4
 x.dx = B
−
− ⋅
=0
3
2
2 4

L

R .L2
∂U
q.x 2 
q L3
(−1).dx = − B
= 0 = ∫  RB .x − M B −
+ M B .L − ⋅
=0
∂M B
2 
2
2 3
0
Re solvendo o sistema de equações simultâneas :
RB =
q.L
,
2
MB =
q.L2
12
c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado
q
C
A
B
L/2
L/2
Estrutura isostática correspondente
q
C
A
L/2
RB
x
RA
L/2
RC
M 2 dx ∂U
M ∂M
U=∫
=0=∫
⋅
⋅ dx = 2 ⋅
,
∂RB
EI ∂RB
2 EI
0
0
L
L
2
q.x
q.L
−
, RA =
2
2
q.L.x RB .x q. x 2
M =
−
−
,
2
2
2
M = R A .x −
L/2
∫
0
M ∂M
⋅
⋅ dx
EI ∂RB
RB
2
∂M
x
=−
∂RB
2
L/2
 q.L x 3 RB x 3 q x 4 
2 L / 2  q.L.x RB .x q. x 2   x 
 ⋅  −  dx = −
⋅ ∫ 
−
−
⋅ +
⋅
+ ⋅ 
0=
EI 0  2
2
2   2
2 3 2 4 0
 2 3
=0
R
q.L L3 RB L3 q L4
q.L q.L
⋅ +
⋅ + ⋅
= 0∴ B =
−
2 8
3 8 4 16
6
6
16
5
RB = ⋅ q ⋅ L
8
−
Métodos de Energia - 7.10
d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de
aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo
provocada pela carga distribuída.
RA
A
L1=3m
HC
B
MC
C
L=6m
RC
W410x46,1
I = 156,1x106 mm4
4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas)
Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de
Menabréa.
A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a
a energia de deformação da viga (UV).
R A2 .L1
UT =
,
2 EA
UV = ∫
L
0
∂U T R A .L1
=
∂R A
EA
M 2 .dx
,
2 EI
U = U T + UV ,
q.x 2
M = R A .x −
,
2
∂U T ∂U V
∂U
=0=
+
∂R A
∂R A ∂R A
∂M
=x
∂R A
R A .L1 1 L 
R .L
q. x 2 
1  R A .L3 q L4 
 x.dx = A 1 +
+
⋅ ∫  R A . x −
⋅
− ⋅ 
EA
EI 0 
EA
EI  3
2 
2 4 



4 
L1 R A .L3 q.L4
q.L 
1

RA ⋅
+
−
= 0 ∴ RA =
⋅
EA 3EI
8EI
8EI  L1
L3 
+


 EA 3EI 
substituin do os valores , vem
R A = 43,88kN
0=
Métodos de Energia - 7.11
7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade)
Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B.
P1
B
A
P2
Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será
1
⋅ P1 ⋅ δ A1 (δA1 = deslocamento do
2
ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o
1
trabalho ⋅ P2 ⋅ δ B 2 . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o
2
ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada
em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado
por P1). Assim, o trabalho total armazenado será
1
1
⋅ P1 ⋅ δ A1 + ⋅ P2 ⋅ δ B 2 + P1 ⋅ δ A2
2
2
Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se
U1 =
U2 =
1
1
⋅ P1 ⋅ δ A1 + ⋅ P2 ⋅ δ B 2 + P2 ⋅ δ B1
2
2
Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2
P1.δA2 = P2.δB1
- teorema de Betti
"Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois
sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos
deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços
P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1".
P1.δA2 = P2.δB1
Métodos de Energia - 7.12
Fazendo P1 = P2 , a expressão fica
δA2 = δB1
- teorema de Maxwell
"O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao
deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A".
P1
P1
δB1
A
Se P1 = P2 , então
B
δB1
δB1 = δA2
7.6. Recalques de apoio
Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum
motivo, um deslocamento.
Exemplos:
a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da
viga de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a
viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa
q
250mm
δ0
150mm
L/2
L=6m
L/2
q
RB
∂U
= −δ 0
∂RB
M 2 .dx
0
2 EI
q.x 2
,
M = R A .x −
2
U = 2⋅∫
L/2
RA =
q.L RB
−
2
2
Métodos de Energia - 7.13
M =
q.L.x RB .x q.x 2
−
−
,
2
2
2
−δ0 =
∂M
x
=−
∂RB
2
2 L / 2  q.L.x RB .x q. x 2   x 

 ⋅  −  ⋅ dx
⋅
−
−
EI ∫0  2
2
2   2 
1
−δ0 = −
2 EI
L/2
 q.L.x 3 RB .x 3 q.x 4 

⋅ 
−
−
3
4  0
 3
 q.L4 RB .L3 q.L4
⋅ 
−
−
24
64
 24

5.q.L4   48 
 ⋅  3 
RB =  − δ 0 .EI +
384

 L 
1
δ0 =
2 EI

1  5.q.L4 RB .L3 
 =

⋅ 
−
24 
 2 EI  192
substituin do os valores ,
RB = 27,8kN
b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo:
P
k
M = (R − P ).x
∂M
=x
∂R
x
L
R
2
L M .dx
1 R2
, UV = ∫
0
2 k
2 EI
R 1 L
R 1
L3
∂U
U = U M + UV ,
=0= +
(R − P ).x.x.dx = + (R − P )
∂R
k EI ∫0
k EI
3
3
3
3
3
 1 L  P.L
R R.L
P.L
 =
+
−
= 0 ∴ R +
k 3EI 3EI
 k 3EI  3EI
UM =
P
 3EI

R 3 + 1 = P ∴ R =
3EI
 k .L

1+
k .L3
Métodos de Energia - 7.14
c) Calcular as reações de apoio
I = 60,89 x 10-6 m4
E = 200 GPa
L=6m
k1 = 1,4 MN/m
k2 = 2,1 MN/m
q
A
C
k1
RA
RC
k2
B
RB
L/2
L/2
q.L RB
q.x 2
−
, M x = R A .x −
2
2
2
2
∂M x
R
q.L
q.x
x
Mx =
⋅x− B ⋅x−
=−
,
∂RB
2
2
2
2
RA =
∂U
2
=0=
∂RB
EI
∫
L/2
0
 q.L.x RB .x q.x 2

−
−
2
2
 2
L/2
1  q.L x 3 RB x 3 q x 4 
−
⋅
−
⋅ − ⋅ 
EI  2 3
2 3 2 4 0
−
+
 x 
R
R
 −  dx + B + B
k1
k2
 2 
R B RB
+
=0
k1
k2
1  q.l L3 RB L3 q L4  RB RB
 ⋅ −
⋅ − ⋅ +
+
=0
EI  6 8
k2
6 8 8 16  k1
1
L3  5.q.L4
1
5.q.L4
 =
RB  +
−
∴ RB =
 k + k2
L3 
 k1 k 2 48 EI  384 EI

−
384 EI  1
48EI 
 k1 .k 2
RB = 7,11kN
d) Calcular as reações de apoio
qo
q o .x
L
δ0
x
k
L
E = 210 GPa
I = 20 x 106 m4
L=5m
qo = 3 kN/m
δo = 5 mm
k = 1,2 MN/m
R
Métodos de Energia - 7.15
qo x x
q .x 3
∂M
⋅ ⋅ = R.x − o
=x
,
L 2 3
∂R
6L
q o .x 3 
∂U
R 1 L
R 1  R.L3 qo L5



= −δ o = − +
−
=
+
−
⋅
R
x
x
dx
.
.
∂R
k EI ∫0 
k EI  3
6 L 
6L 5
 1 L3  q o .L4
 =
R +
−δo
 k 3EI  30 EI
M = R.x −
R=



q o .L4
30 EI
L3 

+
3EI 
−δo +
1

k
R = 918,82 N
7.7. Princípio dos trabalhos virtuais
"O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas"
Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações,
deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real.
Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual.
Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de
seu ponto de aplicação.
Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos
virtuais (os deslocamentos são reais).
Seja a viga bi-apoiada
A
C
B
δ
deseja-se calcular a flecha em C.
Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o
estado de deformação nem os esforços internos na viga)
O trabalho virtual das forças externas será:
U e = P.δ
Métodos de Energia - 7.16
P =1
C
A
B
DMF
P.L
4
VA
DEC
VB
O trabalho virtual das forças internas será
L
virtual
L
U i = ∫ M dϕ + ∫ V dy
0
0
real
virtual
real
dϕ e dy são devidos ao carregamento real
M
kQ
dx ,
dy =
dx
EI
EA
L MM
VV
Ui = ∫
dx + ∫ k
dx
0
EI
GA
Ue = Ui , P =1
dϕ =
L VV
MM
dx + ∫ k
dx
o
0
EI
GA
ou, no caso geral ,
δ =∫
L
δ =∫
L
0
L MM
L VV
L TT
NN
dx + ∫
dx + ∫ k
dx + ∫
dx
o
0
0 GI
EA
EI
GA
P
Normalmente pode-se fazer algumas simplificações
- Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela
correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável.
- Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante.
Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros.
Métodos de Energia - 7.17
Aplicações
1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m para
todas as barras.
B
5t
C
2
Cálculo das reações de apoio:
∑ Fx = 0 ∴ H A = 5t
x2
∑F
∑M
V
3
3m 1
x1
HA
A
A
= 0 ∴ 5 × 3 = VD .5
V A = 3t , VB = 3t
C
VA
= 0 ∴V A = V B
VB
5m
Diagrama de momentos fletores
Barra 1:
M1 = HA.x1 = 5.x1
Barra 2:
M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2
15
Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele
ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais.
B
2
x2
3
1
x1
A
HA
VA
P=1
VB
Métodos de Energia - 7.18
V A =V B = 0 , H A =1
Momentos fletores
3
Barra 1
DMF
M 1 = H A .x1
Barra 2
M 2 = H A .3 = 3
3 5. x.x
5 (15 − 3. x ).3
MM
dx = ∫
dx + ∫
dx
0 EI
0
EI
EI
3
5
1  5. x 3  
9.x 2  
=

 + 45. x −
 
2 0 
EI  3  0 

= 7,88 mm
δ HD = ∫
δ HD
δ HD
2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente
distribuída.
q
q.x 2
M =−
2
x
L
M =−
q.x 2
2
P=1
M = -P.x = -x
M=1
Para cálculo da flecha aplicase uma carga virtual unitária
enquanto que para o cálculo
da rotação aplica-se um
momento fletor virtual
unitário (sempre no ponto em
que se deseja realizar o
cálculo.
M = -1
Métodos de Energia - 7.19
Cálculo da flecha:
2
L q. x
M .M
q x4
δ =∫
dx = ∫
xdx =
⋅
0
0 2 EI
EI
2 EI 4
Cálculo da rotação:
2
L M .M
L q.x
q.L3
θ =∫
dx = ∫
dx =
0
0 2 EI
EI
6 EI
L
L
=
0
q.L4
8 EI
Métodos de Energia - 7.20