Lista de Antiderivadas e Integrais - FUV

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 6
Funções de Uma Variável
Antiderivadas e Integral I
i)
1
O gráco da função f é apresentado abaixo. Identique o gráco da antiderivada de f.
j)
k)
l)
m)
Z
e4x dx
Z
cos(3x)dx
Z
Z
x + 3e5x + cos(2x) dx
1 − cos(4x) + sen
Z
√
x 7
dx
1
dx
1 − x2
Z
1
n)
dx
1 + x2
Z
o) 3x dx
Z
p) sec2 (2x)dx
Z
q) sen2 (x)dx
a)
b)
2 ZCalcule as seguintes antiderivadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
xdx
Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma
função posição x = x(t). Determine x = x(t) sabendo
que:
a)
Z
(3x + 1)dx
Z
3dx
Z
Z
3
x2 + x + 1 dx
1
dx
x2
Z
1
x + 3 dx
x
Z
√
3
xdx
Z √
7
3 x2 + cos(x) dx
b)
c)
d)
e)
4
a)
dx
= 2t − 1 e x(0) = 2
dt
dx
1
= 1+t
2 e x(0) = 0
dt
d2 x
= 3 e v(0) = 1 e x(0) = 1
dt2
d2 x
= e−t e v(0) = 0 e x(0) = 1
dt2
d2 x
= cos(3t) e v(0) = 1 e x(0) = 0
dt2
Ache os valores numéricos das seguintes somas:
5
X
k=1
k
b)
3
X
22r+1
r=0
c)
d)
e)
6
X
i=0
5
X
n=2
4
X
(2i + 1)
2n−2
a)
nn
n=1
f)
4
X
n2
n=2
5
Prove por indução as seguintes propriedades do
somatório:
a)
b)
c)
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
(ak + bk ) =
n
X
ak +
k=1
cak = c
n
X
n
X
bk (aditividade)
b)
k=1
8
ak (homogeneidade)
k=1
a) Dena precisamente partição de um intervalo.
b) Dena precisamente soma de Riemann.
(ak − ak−1 ) = an − a0 (telescópica)
k=1
d)
n
X
9
1=n
Use uma soma de Riemann com extremos a direita e n = 8 para achar uma aproximação da integral
k=1
6
Z5
Use as propriedades do exercício anterior para
mostrar que:
a)
n
X
2
(2k − 1) = n
k=1
k2 −
b)
c)
n
X
k=1
n
X
k=1
x2 − 3x
0
(Dica: Use que 2k − 1 =
10 (k − 1)2 )
Use uma soma de Riemann centrado no ponto
médio para achar aproximações da integrais
n2 n
+ (Dica: Use o item anterior)
k=
2
2
k2 =
a)
n3
n2
n
+
+
(Dica: k3 − (k − 1)3 =
3
2
6
b)
3k2 − 3k + 1)
n
X
n4 n3 n2
d)
k3 =
+
+
4
2
4
Z1
sen(x)dx
n=4
0
Z1
2x dx
n = 10
0
11 O gráco de g consiste de dois segmentos de
retas e um semi-circulo, conforme gura abaixo. Calcule
k=1
7
a)
Usando as guras abaixo ache estimativas inferiores e superiores para a área abaixo do gráco de f(x)
para 0 ≤ x ≤ 10 usando primeiramente 5 retângulos e
posteriormente 10 retângulos.
b)
c)
2
R2
0
g(x)dx
2
g(x)dx
0
g(x)dx
R6
R6
d)
Z4
√ 2x + 5 x dx
1
e)
f)
g)
Z π/3
cos(2x)dx
−π/3
Zπ
sen(3x)dx
−π
Z1
0
h)
12 grais:
a)
b)
c)
Zb
j)
xdx
k)
2xdx
0
Z1
l)
e−3x dx
−1
Z1
2
2xex dx
Z1
4
x3 e−x dx
Z π/2
cos2 (x)dx
0
m)
x3 dx
Z π/4
sec2 (x)dx
0
0
e)
sen(x)dx
0
Z1
−1
x2
dx
2
Z1
Z π/4
0
a
Z1
0
d)
i)
Calcule a partir da denição as seguintes inte-
1
dt
1 + t2
Z3
n)
x2 + xdx
Z1
4x dx
0
0
f)
Zb
16 (x2 + x)dx
O gráco abaixo representa a velocidade de um
carro em função do tempo. Esboce o gráco da posição
do carro em função do tempo.
a
13 Expresse as seguintes integrais como limite de
somatório
Z
a)
b)
c)
π
cos(x)dx
0
Z1
ex dx
0
Z5
17 A velocidade mínima necessária para que um
objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida
da solução da equação
cos(x)ex dx
0
14 Enuncie o teorema Fundamental do Cálculo
15 Z Calcule
a)
Z
vdv = −GM
1
dy
y2
onde v é a velocidade do objeto , y é a distância do objeto ao centro da Terra, G é a constante gravitacional e
M é a massa da Terra.
Mostre que v e y estão relacionados pela equação
1
(x + 3)dx
0
Z4
1
dx
0 3
Z1 c)
5x3 + 2x + 4 dx
b)
Z
2
v =
0
3
v20
+ 2GM
1
1
−
y R
sendo v0 é a velocidade mínima para o objeto escapar Terra
quando lançado da superfície da terra e R é o raio da (Sugestão: use o fato que se y = R então v = v0 ).
4
2
Respostas dos Exercícios
2
a.) x2 b.)x +
2
2
3
3
4
2
3x
x
x
1
1
x
2 c.)3x d.)x + 2 + 3 e.)− x f.)− 2x2 + 2
4x
1/7
+ sin(x) i.) e4 j.) 13 sin(3x) k.)(3e( 5x))/5 +
h.) 73 x x2
2
x /2 + 1/2Sin[2x]
1
2
5
a.)x(t)
= 2 − t + t2 b.)x(t)
2 + 2t + 3t2 d.)x(t) = e−t + t
a.)15 b.)170 d.)15
=
tg(t) c.)x(t)
=