TRIGONOMETRIA E ENSINO: a história da matemática como

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TRIGONOMETRIA E ENSINO: a história da matemática como recurso
metodológico
Maelson da Silva Oliveira
Resumo
Este artigo apresenta uma análise acerca da introdução da Trigonometria no ensino
fundamental, enfatizando a aplicabilidade da História da Matemática como recurso
didático a ser utilizado nas aulas. Esta análise, de caráter epistemológico, foi
fundamentada a partir de trabalhos de grande contribuição para a Educação Matemática,
como os de Bruno D’Amore, Howard Eves, Berlinghoff e Gouvêa entre outros. De
inicio focalizamos a importância da imagem da Matemática para o trabalho didático,
estabelecendo algumas conseqüências quando as pessoas têm uma imagem negativa
dessa matéria, e a fim de evitar essa imagem negativa, destacamos o uso da História da
Matemática para promover a aproximação do aluno com a real aplicação do conceito
trabalhado. Em seguida apresentamos um retrospecto em torno do surgimento da
Trigonometria e sua aplicação voltada à astronomia dos povos antigos, especificando
aqueles de mais destaque, como os gregos, índios e egípcios. E para finalizar,
analisamos criticamente um livro didático utilizado no nono ano do ensino fundamental,
a fim de averiguar a contextualização histórica utilizada no processo de introdução e
aprofundamento da Trigonometria.
Palavras-chave: Trigonometria, História da matemática, Epistemologia e Ensino.
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Graduando o 8º semestre do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual da Paraíba –
UEPB, [email protected]
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Introdução
A Trigonometria é considerada uma grandiosa ramificação da Matemática por
estar freqüentemente presente em nosso cotidiano, servindo de ferramenta para
resolução de questões lógicas e quantitativas. Seu estudo iniciou-se por volta de 190
a.C., tornando-se assim, um dos mais antigos objetos de estudo desta ciência. A
princípio era utilizada para resolver alguns problemas gerados a partir das necessidades
humanas, como, por exemplo, medir ângulos e distâncias com a finalidade de localizar
pontos
sobre
a
superfície
da
terra.
Com o passar do tempo ela transcendeu os problemas matemáticos e, atualmente
é utilizada em diversas outras situações, desde as práticas às teóricas, abrangendo assim
vários outros campos de estudo, principalmente científicos e tecnológicos.
Sendo assim, se analisarmos as infinidades de aplicações da trigonometria,
identificamos a importância desse ramo da matemática que, no decorrer dos anos,
evoluiu tanto, ao ponto de tornar-se indispensável na vida cotidiana e, principalmente,
acadêmica de qualquer pessoa.
Este artigo abordará de forma epistemológica a importância da história da
trigonometria durante o processo de introdução deste conteúdo no nono ano do ensino
fundamental. Para isso, partiremos dos princípios históricos da Trigonometria e
veremos um pouco do seu desenvolvimento dentro da Astronomia. Em seguida
abordaremos a importância da história da Matemática como recurso didático, tratando
essa ferramenta de forma universal, abrangendo assim, além da Trigonometria, todos os
ramos da Matemática.
Na sessão a seguir faremos uma pequena análise de um livro didático aprovado
pelo PNLD (Plano Nacional do Livro Didático) e que, atualmente, está em uso nas
escolas da rede Estadual de Ensino no Estado da Paraíba. Esta análise será
fundamentada a partir de alguns trabalhos de: William P. Berlinghoff, Fernando Q.
Gouvêa, Geraldo Ávila, Howard Eves, Bruno D’Amore, entre outros. Estes teóricos
enfocam o processo histórico da Matemática, em especial da Trigonometria, os
Fundamentos Epistemológicos e outros elementos relevantes para o seu estudo e
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Ensino. Em seguida concluiremos o nosso trabalho com uma reflexão acerca de todos
os aspectos abordados.
A epistemologia e o Ensino de Matemática
A rejeição dos alunos quanto ao estudo de Matemática deriva de fatores
histórico-culturais que transmitem uma imagem negativa da mesma, e eles, os alunos,
acabam acreditando e propagando que esta é uma matéria difícil e complicada; desta
forma nasce no aluno uma espécie de antipatia que prejudica seu aprendizado, uma vez
que ele não encara este estudo como algo prazeroso. Acerca deste indicador D’Amore
conclui que:
O problema da imagem da Matemática na sociedade, nas famílias, nos
professores e nas aulas é de importância extraordinária. Uma imagem
ruim da Matemática prejudica todas as atividades do próprio
professor. Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas, cansativas
têm conseqüências nos alunos e, portanto, sobre todos os outros
componentes do mundo da escola, contribuindo em dar, ao próprio
professor, uma imagem negativa da Matemática, bem como uma
imagem negativa de si mesmo enquanto professor, tornando, portanto,
negativo o trabalho didático. (D’AMORE, 2005, p. 37 – 38)
Ao analisarmos os problemas que a imagem negativa da Matemática pode trazer
à sala de aula e consequentemente ao trabalho didático, concluímos que o professor
deve fazer uso de recursos didáticos que atraiam a atenção do aluno, pois assim será
possível dissolver qualquer tipo de pensamento negativo que ele possa ter com relação à
Matemática. E o uso da História como recurso didático pode promover a aproximação
do aluno com a aplicabilidade dos conceitos matemáticos.
A História da Matemática no Ensino
Iniciaremos essa sessão enfatizando a importância da História da Matemática no
Ensino. Berlinghoff e Gouvêa (2010, p. 01), afirmam que “Aprender sobre matemática é
como começar a conhecer outra pessoa. Quanto mais você sabe de seu passado, melhor
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pode entendê-la e interagir com ela, agora e no futuro.” Sendo assim, é indiscutível a
imensidão do valor desse recurso didático e cabe ao professor explorá-lo. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática evidenciam os benefícios que essa ferramenta de
Ensino poderá trazer às aulas. Vejamos:
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do
aluno diante do conhecimento matemático. (BRASIL. SECRETARIA
DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL, 1998, p.45).
Ainda segundo Berlinghoff e Gouvêa (2010, p. 03) “Saber a história de uma
ideia pode levar a um entendimento mais profundo, para nós e para nossos estudantes.”
Para analisarmos esse aspecto de uma forma um pouco mais aprofundada, faremos uma
breve reflexão acerca da visão que Bruno D’amore possui com relação à epistemologia
e didática da Matemática:
Cada assunto matemático possui um estatuto epistemológico próprio
que depende da historia de sua evolução no interior da matemática, da
sua aceitação crítica no âmbito da Matemática, das reservas que lhe
são próprias, da linguagem na qual é expresso ou que é necessária
para poder exprimi-lo. (D’AMORE, 2005, p. 106)
Como podemos observar, a História por ser uma fonte de reflexão do assunto abordado
e evidenciar como se deu sua aceitação em torno da Matemática, acaba se tornado um
importantíssimo recurso didático; contribuindo pela melhoria da qualidade do Ensino e
consequentemente o aprendizado dos alunos. Berlinghoff e Gouvêa (2010, p. 01) dizem
que “Muitos estudantes, especialmente nas séries iniciais, têm uma curiosidade natural
sobre de onde vieram as coisas.” Nesse aspecto, além de promover uma aula mais
dinâmica e atrativa, o confronto com os elementos históricos que deram início ao estudo
e aprofundamento de determinado conceito, pode se tornar algo imensamente valoroso
para o processo de Ensino e aprendizagem dos alunos.
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A Astronomia e o surgimento da Trigonometria
A origem da Trigonometria ainda é obscura, mas nos seus registros mais antigos
evidenciamos que a principal aplicação deste ramo da Matemática era na astronomia.
Segundo Eves (2004),
Os astrônomos babilônicos do século IV e V a.C. acumularam uma
massa considerável de dados de observações e hoje se sabe que grande
parte desse material passou para os gregos. Foi essa astronomia
primitiva que deu origem à trigonometria esférica. (EVES, 2004,
p.202)
Ávila (2010) complementa que,
um dos maiores astrônomos da Antiguidade foi Hiparco (190 – 120
a.C.), que era natural do Rodes. Até sua época os astrônomos só
usavam em seus trabalhos recursos numéricos e métodos geométricos.
Com Hiparco tem início a Trigonometria, que seria um novo e
poderoso recurso da Astronomia, sobretudo, a chamada Trigonometria
esférica. (ÁVILA, 2010, p.118)
Foi Hiparco quem construiu o primeiro elemento da Trigonometria, a tabela de
cordas. Mas essa afirmação não provem de seus escritos, pois não existe nenhum, essa
afirmação vêm de referências encontradas em escritos de outros sábios da antiguidade,
em especial Ptolomeu. Ávila (2010, p. 118) nos relata que “uma tabela de cordas é uma
lista de comprimentos das cordas correspondentes a vários valores dos ângulos centrais
de uma circunferência de raio conhecido, digamos, os ângulos de meio em meio grau,
de zero a 180°.” Segundo Eves (2004, p. 202) “Hiparco propugnava a localização de
pontos sobre a superfície da Terra por meio de latitudes e longitudes.”
Ainda segundo Ávila (2010, p. 124) “[...] o mais célebre astrônomo depois de
Hiparco foi Cláudio Ptolomeu, que viveu e trabalhou em Alexandria por volta do ano
150 d.C.” Para Eves (2004, p. 204) “O trabalho grego definitivo sobre astronomia foi
escrito por Cláudio Ptolomeu de Alexandria, por volta de 150 d.C. Baseado nos escritos
de Hiparco, esse tratado de influência científica rara é famoso por sua compacidade e
elegância.” Ávila (2010, p. 125) também nos relata que “Ptolomeu faz referências a
elipses que ele mesmo observou, cujas datas de ocorrência são também conhecidas por
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meio de outras fontes, o que permite inferir a época em que ele viveu, trabalhou e
publicou.”
Mas não foram apenas os gregos que ajudaram na evolução da Trigonometria,
outros povos também registraram importantes contribuições, segundo Eves (2004, p.61)
“devemos aos babilônios antigos a divisão da circunferência de um circulo em 360
partes iguais.” Eves (2004, p. 75) diz que “Investigações recentes parecem mostrar que
os egípcios sabiam que a área de um triângulo qualquer é o semi-produto da base pela
altura. Alguns dos problemas parecem envolver a co-tangente do ângulo diedro entre a
base e uma face da pirâmide, e outros mostram algum conhecimento da teoria das
proporções.”
Os Hindus também usavam a Trigonometria para auxiliar nos estudos de sua
astronomia. Para Eves (2004),
Os Hindus, como os gregos, consideravam a trigonometria como uma
ferramenta para sua astronomia. Eles usavam nossos conhecidos
graus, minutos e segundos nas tábuas de senos que construíam. (Isto é,
eles construíam tábuas de semicordas e não de cordas, como os gregos
haviam construído. (EVES, 2004, p. 259)
Mesmo não tendo um estudo voltado exclusivamente para a Matemática em si, os
árabes possuíam grandiosas técnicas e recursos matemáticos e consequentemente uma
grandiosa astronomia. Os matemáticos árabes consideravam-se primeiro astrônomos, ou
seja, a astronomia quem era o seu foco. Eves (2004) ressalta que
os matemáticos árabes consideravam-se a si mesmos primariamente
astrônomos e assim dedicavam interesse considerável à trigonometria.
Já tivemos ocasiões de mencionar algumas das realizações
muçulmanas quanto à construção de tábuas trigonométricas. Pode-se
creditar a eles a utilização de seis funções trigonométricas e
aprimoramento na dedução de fórmulas da trigonometria esférica.
(EVES, 2004, p.265)
Após analisarmos todas essas contribuições dos povos antigos para a
Trigonometria, chegamos à conclusão de que assim como as civilizações primitivas
desenvolveram seus métodos de contagem a partir das necessidades de sobrevivência,
com a Trigonometria não seria diferente. O céu acima da Terra guardava mistérios a
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serem explorados, e a curiosidade que movia os astrônomos, fez com que estes
necessitassem de recursos para poderem continuar com seus estudos, construindo assim
os pilares da Trigonometria. E mesmo em meio à deficiência de recursos e fontes de
pesquisa, aquelas pessoas não interromperam seus estudos, muito pelo contrário, os
astrônomos foram instigados pela vontade de descobrir e assim levar a verdade à
população.
Livro didático: Análise acerca da introdução da Trigonometria no ensino
fundamental
Para que possamos ter uma reflexão concreta e significativa acerca da introdução
da Trigonometria no ensino fundamental, escolhemos um livro didático, do nono ano do
Ensino Fundamental, do Projeto Teláris, escrito pelo Dr. Luiz Roberto Dante. Este livro
contém nove capítulos em 328 páginas. A linguagem utilizada é simples e acessível à
faixa etária recomendada para o nono ano, e conta com recursos didáticos como a
história da matemática e o uso da calculadora.
A introdução à Trigonometria está situada no sétimo capítulo. De início ele
define a palavra Trigonometria como sendo a junção de três radicais gregos: tri: três,
gonos: ângulos e metron: medir, ganhando assim o significado medida dos triângulos. O
autor explica o motivo da Trigonometria ter sido considerada uma extensão da
Geometria, enfatizando a relação entre as medidas dos ângulos e dos segmentos. E esse
fato chama a atenção do leitor, pois muitos ainda confundem Trigonometria com
Geometria.
O autor fala do uso da Trigonometria na atualidade, estando presente em muitos
outros campos da matemática e em outras ciências, citando que os conceitos
trigonométricos são muito utilizados por astrônomos e agrimensores, com a finalidade
de medir distâncias muito grandes ou nas situações em que há dificuldades de fazer
medições, como medir a largura de um rio ou a altura de uma montanha, por exemplo.
Ainda na introdução o autor fala sobre o inicio dos estudos da Trigonometria e
sua finalidade que era a de resolver problemas práticos relacionados à navegação e à
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astronomia, onde os principais povos que faziam uso eram os gregos e os egípcios,
atribuindo a Hiparco o ato de ter utilizado pela primeira vez relações entre lados e
ângulos de um triângulo retângulo em 140 a.C.
No decorrer do capítulo, escrito em 24 páginas, o autor traz um exercício de 53
questões distribuídas gradativamente conforme o conteúdo é aprofundado. Após a
introdução ele fala de índice de subida, algumas razões trigonométricas, relação entre
seno, cosseno e tangente, razões trigonométricas para os ângulos de 30°, 45° e 60°;
apresenta a tabela das razões trigonométrica, a qual contém os senos, cossenos e
tangentes, desde 1° até 89°. E na página 218 o autor fala sobre o uso das relações
trigonométricas em polígonos regulares inscritos numa circunferência e finaliza o
capítulo com uma revisão cumulativa que contém problemas propostos para serem
resolvidos a partir do conhecimento adquirido no estudo do capítulo.
Como podemos observar, o livro faz uso da história da Trigonometria apenas na
introdução, deixando evidente a falta de contextualização histórica durante o processo
de aprofundamento do conteúdo, pois de nada adianta fazer uma breve menção de um
relato histórico e cessar. Sendo assim, o aluno que levar esse livro didático para casa
não terá contato com mais nenhum fato histórico, ou seja, se ele tiver curiosidade de
saber a origem de mais algum conceito, ele terá que procurar outras fontes de pesquisa.
Acerca do uso da história da matemática como recurso didático os PCN de
matemática alertam que ela
não deve ser entendida simplesmente que o professor deva situar no
tempo e no espaço cada item do programa de Matemática ou contar
sempre em suas aulas trechos da história da Matemática, mas que a
encare como um recurso didático com muitas possibilidades para
desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a
serem memorizados. (BRASIL. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO
FUNDAMENTAL, 1998, p.43)
Assim, mesmo a Trigonometria sendo um conteúdo programático para o ensino
médio, concluímos que o livro carece de mais relatos históricos para o processo de
introdução e aprofundamento do conteúdo; e para que evitemos que os alunos tenham
uma imagem negativa da matemática e consequentemente promover a construção de
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uma sólida concepção com relação à importância do estudo da Trigonometria, essa
carência deverá ser suprida através de outras fontes.
Considerações finais
Como vimos a Trigonometria não foi criada da noite para o dia e, apesar do seu
desenvolvimento ter sido lento, ela foi crescendo gradativamente no decorrer dos anos.
Antes, quando suas aplicações eram exclusivamente geométricas, a Trigonometria era
considerada geometria, mas com o decorrer do tempo, quando elas transcenderam os
conceitos geométricos, ela passou a ser reconhecida como outro ramo da matemática e
atualmente ela desempenha um importante papel não somente para a matemática, mas
também para toda a sociedade.
É importante ressaltar que através do estudo da trigonometria podemos calcular
as medidas dos elementos da circunferência e do triângulo, trazendo-os para a nossa
realidade para solucionar os mais variados problemas. Ao fazermos uso de triângulos
semelhantes, por exemplo, podemos calcular distâncias de difícil acesso como a altura
de uma pirâmide, a altura de um prédio ou de uma montanha, a distância entre duas
ilhas, a largura de um rio, e até mesmo distâncias fora da superfície da terra.
Este artigo nos deu a oportunidade de refletir acerca da origem da
Trigonometria, da importância dos acontecimentos históricos para uma aprendizagem
mais significativa e também de como ela está sendo introduzida na nona série do ensino
fundamental. Ao analisarmos o livro do projeto Teláris, por exemplo, evidenciamos a
escassez de informações históricas, e, diante dos poucos acontecimentos citados na
primeira sessão deste artigo, concluímos que tal livro didático poderia explorar mais o
contexto histórico da Trigonometria e assim poder despertar nos alunos, curiosidade
sobre tal conteúdo.
Para uma forte perspectiva com relação ao uso da História da Matemática como
recurso didático e também construir uma sólida concepção no que diz respeito à
Trigonometria e suas importantes aplicações, sugerimos a leitura do livro Maravilhas da
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Matemática2, em especial o capítulo “As Dimensões do Mundo ou O que se pode fazer com
a trigonometria”, pois, logo de início, o autor conta a sua versão de como Hiparco calculou a
distância da Terra à Lua, e tal acontecimento histórico evidenciará o quão grandiosa
pode ser a Trigonometria e sua abrangência.
Referências
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática: tópicos para
licenciatura e leitura geral / Geraldo Ávila. - - 2. Ed. - - São Paulo: Bluncher, 2010, p.
118 – 125.
BERLINGHOFF, William P. A matemática através dos tempos: um guia fácil e prático
para professores e entusiastas / William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa; tradução
Elza Gomide, Helena Castro. 2ª Ed. São Paulo; Bluncher, 2010, p. 01 – 05.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais :
Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. . Brasília : MEC / SEF, 1998, p. 42
– 50.
D’AMORE, Bruno. Epistemologia e didática da matemática / Bruno D’Amore; prefácio
da edição italiana Guy Brousseau; prefácio Ubiratan D’Ambrósio; tradução Maria
Cristina Bonomi Barufi revisão técnica Ana Paula Jahn; revisão final Sumaya Lima - São Paulo; Escrituras Editora, 2005, p. 37 – 107.
DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática / Luiz Roberto Dante – 1. Ed. –
São Paulo: Ática, 2012. – (Projeto Teláris: Matemática).
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Hogben, Lancelot. Maravilhas da Matemática – Influencia e função da matemática nos conhecimentos
humanos. 4 Ed. Trad. Paulo Moreira da Silva, São Paulo – Rio de Janeiro – Porto Alegre; Editora Globo,
1956.
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EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução: Hygino
H. Domingues. – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004, p. 202 – 265.