Procedimento de dedução de equações de balanço microscópico a

Transcrição

Portfolio de:
Obtenção de perfis de velocidade...
Qual a abordagem macroscópica ou microscópica que deve ser usada para a dedução do
perfil de velocidades?
Procedimento de dedução de equações de balanço microscópico a
partir de VC homogêneos
1. Selecione um VC infinitesimal adequado para o problema a ser resolvido (“o
maior possível”) e um sistema conveniente de coordenadas (cartesianas ou
cilíndricas ou esféricas). Indique no VC todas as correntes materiais que entram e
que saem, bem como todas as taxas de energia que entram e que saem e as forças
atuantes sobre a SC.
2. Aplique a equação de balanço-macroscópico para o VC escolhido. Para todas as
taxas de entrada (materiais, de quantidade de movimento e energéticas), escreva
equações constitutivas que tenham validade pontual. Nas direções em que se deseja
avaliar a variação pontual na grandeza conservada: cada taxa de saída(descrita como
função pontual)
deve ser relacionada com a taxa de entrada pela expansão em série
de Taylor de 1a ordem. Os termos de geração devem ser expressos em função
do volume, bem como o termo de acúmulo.
3. Procede-se então à simplificação dos termos e à aplicação do limite ∆V → 0 .
Observações:
!"No procedimento descrito acima, se a superfície de controle através da qual
ocorrer escoamento for infinitesimal, não é necessário inserir na equação de
balanço o fator de correção do perfil de velocidades.
!"A escolha do VC infinitesimal está relacionada com o tipo de descrição que se
deseja obter do problema.
!"Existem outros procedimentos de obtenção das equações de balanço
microscópico.
UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
81
Portfolio de:
Definição de derivada:
Dada, f ( x, y, z ) : R 3 → R , definem-se as derivadas parciais como:
∂f
f ( x + ∆ x, y , z ) − f ( x, y , z )
( x, y, z ) = lim
∆x → 0
∂x
∆x
∂f
f ( x, y + ∆y, z ) − f ( x, y, z )
( x, y, z ) = lim
∆y → 0
∂y
∆y
∂f
f ( x, y , z + ∆ z ) − f ( x, y , z )
( x, y, z ) = lim
0
∆
→
z
∂z
∆z
Problema:
dada uma função, cujo valor se conhece em um ponto x. Também se
conhece o valor de todas as derivadas em x. Quer-se obter uma
aproximação para o valor da função calculado em um ponto distante de x
de ∆x a partir dos valores conhecidos.
Para uma função monovaríavel:
f ( x + ∆x) = f ( x) +
df
1 d2 f
1 d3 f
2
( x) ∆x +
(
x
)
∆
x
+
( x) ∆x3 +!
2
3
dx
2! dx
3! dx
Interpretação gráfica da expansão em série de 1a ordem:
Observação: a expansão em série de Taylor é uma importante ferramenta para a
solução de problemas da engenharia. Você se deparará com o seu uso
para resolver problemas concretos em vários semestres vindouros,
particularmente para a dedução de equações.
82
Portfolio de:
Dedução do perfil de velocidades em escoamento laminar de fluidos
Newtonianos no interior de tubos horizontais de raio constante R
Hipóteses adicionais: escoamento em regime permanente, unidimensional,
incompressível, isotérmico e desenvolvido, príncipio da
aderência válido.
Sistema de coordenadas – cilíndrico com r=0 no centro do tubo e a direção
ascendente.
Forças atuantes (VC sobre o fluido):
a) ATRITO → Fat
(devido à existência da parede, haverá uma tensão de
cisalhamento)
b) PRESSÃO → F1, F2
Escrevendo o BQM-macroscópico para VC homogêno (como o VC é infinitesimal não
é necessário o termo do fator de correção do perfil de velocidades)
:
"
∂
"
"
"
#
#
ρ
=
−
+
vdV
m
v
m
v
F
∑
∑
∑
i m ,i
i m ,i
∫
∂t VC
i∈E
i∈S
Das hipóteses de estado estacionário e escoamento desenvolvido em tubo de raio
"
constante, isotérmico e incompressível, vem que ∑ F = 0
Logo, 0 = F1 − F2 − Fat
Substituindo as forças pelas pressões e da hipótese de escoamento laminar para uma
seção de área de raio r<R, ao redor do fluido no interior do tubo:
P1π r 2 − P2π r 2 − τ 2π rL = 0
τ=
P1 − P2
r
2L
Mas, como o fluido é Newtoniano:
dv
dr
dv P1 − P2
−µ
=
r
dr
2L
τ = −µ
83
Portfolio de:
Lembrando da condição de não-escorregamento, i.e., r=R: v=0, temos:
∫
v
0
dv = −
v−0 = −
P1 − P2
2µ L
∫
r
−R
rdr
P1 − P2  r 2 R 2 
 −

2µ L  2
2 
2
P1 − P2 ) R 2   r  
(
v=
1−
4µ L


   equação de Hagen-Poiseuille (século XIX)
R 
Observação: num plano, a equação acima mostra que o perfil é parabólico.
Note que a velocidade é máxima no centro, a saber:
r = 0 : v = vmax
P1 − P2 ) R 2
(
=
4µ L
Interpretação e validade da equação de Hagen-Poiseuille:
#"
#"
#"
existência de força motriz –
para imprimir uma dada energia cinética
e para vencer atrito
queda de pressão afetada por: viscosidade (e.g. pelo tipo de fluido e
temperatura), velocidade de escoamento, comprimento e diâmetro da tubulação
(dp=2R)
a equação de Hagen-Poiseuille é válida para uma extensa variedade de
fluidos (para fluidos muito viscosos com viscosidade até 106(Prandtl, v.2 não apresenta a
unidade desta viscosidade)
). Contudo para fluidos muito viscosos, a equação sofre
desvios para diâmetros abaixo de certo valor. Ressaltamos que a equação não é
não é válida na entrada de tubos aonde o escoamento não é desenvolvido.
o CÁLCULO DA VAZÃO VOLUMÉTRICA E DA VELOCIDADE
MÉDIA:
$"
abordagem gráfica:
Como o perfil de velocidades é parabólico, isto significa que o volume
transportado terá o formato de um parabolóide de rotação, cujo volume é
π R 2vmax
dado por (do curso de Cálculo Integral e Diferencial):
, donde:
2
84
Portfolio de:
π R 2 vmax ( P1 − P2 )π R
Q=
=
2
8µ L
4
assim, a velocidade média é obtida como:
4
P1 − P2 ) R 2 vmax
(
Q ( P1 − P2 )π R
=
=
vm = =
π R 2 (8 µ L )
8µ L
2
A
Ou seja, a velocidade média é metade da máxima.
$"
abordagem analítica:
vm
2π
R
0
0
∫ ∫ vrdrdθ =
=
∫ ∫ rdrdθ
2π
0
vmax 2π ∫
R
0
R
  r 2 
 R2 R4 
1 −    rdr 2vmax 
−

2 4 R 2  vmax
 R 

=
=
π R2
2
R2
0
o CÁLCULO DO FATOR DE CORREÇÃO DO PERFIL DE
VELOCIDADES
Nas condições do problema em pauta o fator de correção do BQM pode ser obtido de:
∫ v dA
2
βi =
Ai
Ai vm2 ,i
Ou seja,
2π
R
0
0
∫ ∫
β=
v 2 rdrdθ
πR v
2 2
m
2π ∫ v 2 rdr
R
=
0
πR v
2 2
m
=
2
2 2
R vm
∫
R
0
v 2 rdr
Logo, para o escoamento laminar com as hipóteses da p. 83:
2
2
β = 2 2
R vm
∫
R
0
2

  r 2  
2vmax
v
1
−
rdr
=
 max     
R 2 vm2

  R   
∫
R
0
2
4

r r 
1
−
2
+

     rdr
 R   R  

2v 2  R 2 2 R 4 R 6  2 ( 2vm ) 6 − 6 + 2 2 4
β = 2max2  −
+
=
R =
R vm  2 4 R 2 6 R 4 
R 2 vm2
12
3
2
85
Portfolio de:
Resumindo as equações deduzidas para escoamento laminar em tubos:
v=
( P1 − P2 ) R 2 1 −  r 2 
vmax
4µ L


  
R 
P1 − P2 ) R 2
(
=
4µ L
vmax
2
4
β=
3
vm =
Observação:
perfil parabólico
velocidade é máxima no centro
velocidade média é metade da máxima
Analisando as equações acima, percebemos que é possível relacionar a
vazão com a viscosidade e variação de pressão e assim é possível
bolar um experimento para o cálculo da viscosidade
(assumindo escoamento laminar e desenvolvido). Prandtl & Tietjens
(v.II) comentam que tal procedimento é bastante preciso e
discrepâncias maiores são observadas em gases rarefeitos, aonde
ocorre um escorregamento significativo na superfície em contato com
a parede.
86
Portfolio de:
PERFIS DE VELOCIDADE
GEOMETRIAS COMUNS
EM
ESCOAMENTO
LAMINAR
PARA
Exercício 01:
Mostre como a dedução da equação de Hagen-Poiseuille deve ser
modificada para tubos verticais de modo que para estes obtêm-se as
seguintes relações:
P1 + ρ gL − P2 ) R 2
(
Escoamento descendente: vmax =
4µ L
P1 − ρ gL − P2 ) R 2
(
Escoamento ascendente: vmax =
4µ L
Exercício 02:
Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoamento laminar
descendente de um filme sobre uma placa plana vertical inclinada (a
dedução pode ser encontrada em Bird et al., p. 41-45)
:
2
 x 
vz = vmax 1 −   
  δ  
ρ gδ 2 cos β
vmax =
2µ
2
vmax
3
sendo, δ a espessura do fluido e x a distância da placa e z a direção ao
longo do escoamento sobre a placa.
vm =
figura extraída de Bird et al. (p. 41)
87
Portfolio de:
Exercício 02:
Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoamento laminar
entre duas placas planas paralelas separadas de uma distância 2h
conforme figura (a origem do sistema de coordenadas é colocada no meio entre as placas, na p.
251 de White o perfil é deduzido)
:
Pe − Ps 2
h − y2 )
(
2µ L
P −P
vmax = e s h 2
2µ L
2
vm = vmax
3
v=
figura extraída de White (p. 251)
Exercício 04:
Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoamento laminar no
espaço anular entre dois tubos concêntricos (a dedução pode ser encontrada em Bird
et al., p. 51-53)
:


2
2

P −P
r −r
r 
v = e s  r22 − r 2 − 2 1 ln 2 
r
4µ L 
r
ln 2


r1


2
2

P − Ps 2
r −r
vm = e
r2 + r12 − 2 1 
r
8µL 
ln 2 
r1 

sendo, r2 e r1, respectivamente o raio interno do tubo maior e o raio
externo do tubo menor.
Exercício 05:
Qual o valor da máxima velocidade e em que posição ela ocorre para o
escoamento do exercício 4(a resposta pode ser encontrada em Bird et al., p.53).
88
Portfolio de:
Evidências experimentais de perfis de velocidades:
•
Formação de bolhas de hidrogênio – observação do padrão de escoamento
(Fotografia de aparelho da Armfield para a visualização de escoamentos
através da formação de bolhas de hidrogênio por hidrólise.)
(Fotografia de perfil de velocidade entre placas planas paralelas.
Visualização do perfil de velocidades obtida pela formação de bolhas de
hidrogênio – figura extraída de catálogo da Armfield)
89
Portfolio de:
•
Perfis obtidos através de medição de velocidades locais. Por exemplo pode-se
usar um anemômetro laser/doppler (LDA) para a obtenção das velocidades. Os
resultados podem ser apresentados graficamente como mostra a figuras a seguir.
figura – perfil de velocidade entre duas placas planas (Kunz, R. F.; D’Amico, S. W.;
Vassallo, P. F.; Zaccaria, M.A. LDV measurement of confined parallel jet mixing. J. of Fluid Mechanics, v.
123, p. 567-573, 2001)
90
Portfolio de:
A dedução de perfis de velocidade em escoamento turbulento não é trivial e envolvem
uma abordagem semi-empírica e até hoje corresponde a um alvo de pesquisa em aberto.
Não iremos apresentar como se pode deduzir um perfil de velocidades em escoamento
turbulento, apenas apresentar o comportamento de um tipo de perfil bastante conhecido,
o da lei de potência de 1 7 . O que deve ser ressaltado é que o perfil de velocidades
em escoamento turbulento será achatado ou pistonado(como na figura a seguir).
Diz-se assim que o escoamento em regime turbulento é pistonado (no inglês usa-se o
termo plug-flow(este é um jargão muito conhecido dos engenheiros químicos...)).
escoamento turbulento em tubos:
perfil achatado de velocidade – lei da potência de
1 .
7
49
vm =
vmax = 0.817vmax
60
R−r
v = vmax 

 R 
1
7
fator de correção do BQM-L para escoamento turbulento em tubos:
β = 1.02 (Lei
da
potência de 1 7 )
Observação: o perfil da lei de potência de 1/7 não é o único perfil proposto!
referência indicada para estudo da obtenção de perfis de velocidade
em escoamento turbulento:
Bird et al.:
capítulo 5
91
Portfolio de:
Padrões/regimes/modelos de escoamento
Complete a tabela a seguir...
Características principais
Perfil de velocidades
no interior de tubos
Outros comentários
Escoamento
sem atrito
Escoamento
laminar
Escoamento de
transição
Escoamento
turbulento
92
Portfolio de:
Uma definição empírica para a força de atrito em escoamento interno
incompressível e cálculo do fator de atrito
Sobre um elemento de fluido existem três tipos de força atuantes, a saber (Prandtl &
Tietjens, v. I, p. 107):
γ = ρ g (o seu efeito é notado apenas
quando o deslocamento é na vertical)
• uma força devido a uma variação de pressão: −∇P ( a saber, em coordenadas
cartesianas temos:
 ∂P " ∂P " ∂P " 
−∇P = − 
i+
j+
k
∂y
∂ 
 ∂x
• uma força de fricção ou de atrito, também chamada de força viscosa
• a força peso por unidade de volume:
O escoamento do fluido é governado por forças de inércia e viscosas, sendo a última em
geral insignificante para porções muito grandes de fluidos.
a
Assim, um balanço de forças (2 Lei de Newton para velocidade constante) pode ser
expresso para um tubo horizontal com escoamento unidimensional, desenvolvido,
incompressível e isotérmico sem alteração da composição do fluido, em regime
permanente, como:
F1 − F2 − Fat = 0 ⇒ Ap ( P1 − P2 ) − Fat = 0
(2)
A questão que surge é como caracterizar a força de atrito (Fat) e usar uma tal
expressão que seja válida independentemente do regime de escoamento.
A força de atrito é devida à interferência do fluido com a parede sólida e também ao
atrito entre as moléculas do fluido (chamado de atrito viscoso). A questão que surge é
como esta força de atrito pode ser modelada. Para tanto, devemos considerar os fatores
que a provocam, quais sejam:
•
•
•
velocidade de escoamento do fluido. Quanto maior a velocidade, maior o atrito.
Basta imaginar o escoamento de pessoas de uma sala a outra, através da passagem
por uma porta e imaginar o que acontece se ao invés das pessoas andarem se porem
a correr...
geometria do sistema, definida, por exemplo, pela área superficial de contato
(aonde ocorrerá o atrito entre o duto sólido e o fluido escoando).
outros fatores: material e caracterização da superfície do duto (se é rugosa ou não),
propriedades e tipo de fluido (viscosidade, densidade, etc.)
O ponto de partida para o estabelecimento da equação de atrito é a equação de Newton
para escoamento externo, a qual para escoamento interno é escrita como:
93
Portfolio de:
Fat = f * Ac Ecc
(FA-D)
sendo, f* o fator de atrito de Newton, Ac a área característica que descreve o
atrito e Ecc a energia cinética específica.
Na equação de Newton os fatores que afetam a força de atrito são modelados como:
•
•
•
influência da velocidade é feita através do cálculo da energia cinética específica
característica (Ecc). Esta é obtida a partir da energia cinética tomada numa
velocidade característica do escoamento, adotada usualmente (mas nem sempre)
1
como a velocidade média do escoamento, a saber: Ecc = ρ vc2 , sendo vc a
2
velocidade característica do escoamento.
influência da geometria é caracterizada pela área característica (Ac), que descreve o
atrito no escoamento, normalmente caracterizada pela área superficial de contato
entre o fluido e a superfície por onde o fluido escoa. Cada sistema terá a sua área
característica, por exemplo:
escoamento em tubos:
Ac = π dL
escoamento através de uma válvula: de difícil definição, já que irá depender da
área de passagem que depende da abertura
da válvula e existem inúmeras válvulas
(tipo gaveta, borboleta, globo, esfera, ...).
outros fatores: a influência exata dos outros fatores na força de atrito é de difícil
equacionamento. Assim, todos os outros fatores são correlacionados empiricamente
ou semi-empiricamente por uma grandeza chamada de fator de atrito, denotado por
f* ou f. Este último será chamado de fator de atrito de Darcy. O fator de atrito é com
poucas exceções determinado de ensaios experimentais.
A correlação experimental é uma função matemática, muitas vezes complexa, que
envolve variáveis que afetam o atrito. Assim, pode ser expressa genericamente
como:
f = f ( ρ , µ , vm , geometria, rugosidade, etc.)
A densidade (massa específica) e a viscosidade (dinâmica) caracterizam o fluido
escoando e também caracterizam as forças viscosas. A velocidade média de
escoamento, vm, é normalmente considerada, pois ela irá afetar a característica do
escoamento. Para algumas aplicações particulares, esta poderá ser substituída por
outros tipos de velocidade, como uma velocidade superficial ou pontual. A
geometria deve novamente ser considerada de alguma maneira, pois o tipo de
escoamento também dela irá depender. Estes parâmetros, a saber, densidade,
viscosidade, velocidade e um parâmetro da geometria do sistema, são agrupados no
número de Reynolds.
Assim para o escoamento no interior de tubos podemos caracterizar a força de atrito
como:
Fat =
1 2
ρ vmπ dLf *
2
(FA-T_N)
94
Portfolio de:
Para o escoamento de tubos o número de Reynolds, como visto anteriormente, é
definido como:
Re =
ρ vd
µ
Adicionalmente às variáveis agrupadas no número de Reynolds, podem ser colocados
tantos parâmetros quantos se achar necessário para a descrição do atrito, desde que a
tomada de dados experimentais permita a obtenção de uma correlação estatisticamente
coerente. Por exemplo, em tubos, um parâmetro importante que deve ser considerado no
caso do escoamento em regime turbulento é a rugosidade do tubo, ε, a ser formalmente
definida mais adiante.
Exercício: faça uma análise dimensional na equação que define o fator de atrito e
verifique que f* é adimensional.
Como ressaltado, para tubos a área que caracteriza o atrito é a área superficial do
tubo (responsável pela aderência do fluido à parede) e a velocidade característica do
escoamento é a velocidade média de escoamento.
Assim, substituindo a expressão da perda de pressão para escoamento laminar obtida
da equação de Hagen-Pouisuille e a definição da força de atrito(equação FA) na 2a Lei de
Newton(equação 2), podemos deduzir a expressão para o fator de atrito em
escoamento laminar, a saber:
1 2
ρ vc
2
π d 2 8µ Lvm
1
= f *π d L ρ vm2
2
4
R
2
2µ
1
d 2 2 = f * d ρ vm
R
2
µ
4
d 2 2 = f * d ρ vm
d
4
16 µ = f * d ρ vm
Ap ( P1 − P2 ) = f * Ac
f* =
16 µ
16
=
ρ vm d Re
fator de atrito de Newton para escoamento laminar em
tubos
95
Portfolio de:
A equação acima foi proposta no início do século XX e posteriormente, alguns autores
propuseram uma ligeira modificação na expressão do fator de atrito de modo que em
alguns livros, o fator de atrito para escoamento laminar é definido como:
f =
64
Re
(correspondente à redefinição da força de atrito como
sendo Fat = f * Ac
1 2 f
1
1
ρ vc = Ac ρ vc2 = fAc ρ vc2 )
2
4 2
8
O fator de atrito f é chamado de fator de atrito de Darcy ou Darcy Weissbach(White, p. 240).
Note que a distinção nas duas expressões é um fator de 4 e futuramente veremos
porque esta outra proposição foi feita. O cuidado que se deve ter é verificar que
definição de força de atrito um dado livro ou artigo utiliza.
Infelizmente, nem sempre esta informação aparece escrita de uma forma clara!
Leitura recomendada:
Bird et al.:
White:
capítulos 2 e 6 (inteiro)
p. 233-256
Opções de cálculo do fator de atrito para escoamento turbulento em tubos
lisos
Equação de Blasius (1911) para tubos lisos (erros da ordem de 2% até Re
de 105), esta fórmula foi corrigida por Lees para Re maiores(correção não
apresentada)
f = 0.316 Re−0.25
faixa de validade:
4000 < Re < 105
Equação de Colebrook (1938-1939) para tubos lisos
Re 

f = 1.8log
6.9 

−2
outra correlação usada para tubos lisos
f = 0.184 Re −0.2
96

Procedimento de dedução de equações de balanço microscópico a

Transcrição

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