FT11. Tipos de simetrias, rosáceas, frisos e padrões

Escola Secundária de Lousada
Matemática do 8º ano – FT nº11 Data: ___ / 11/ 2011
Assunto: Tipos de simetrias; rosáceas, frisos e padrões Lição nº ____ e ____
SIMETRIA: Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade,
coincide com a figura original, então a figura tem simetria.
Existem quatro tipos de simetrias de uma figura plana:
Simetria de Reflexão; Simetria de Rotação; Simetria de translação; Simetria de Reflexão deslizante.
SIMETRIA DE REFLEXÃO: Uma figura tem simetria de reflexão se a sua transformada por uma
reflexão é a própria figura.
1. Observa as figuras ao lado:
1.1. Quantos eixos de
simetria tem cada uma
das figuras?
1.2. Quantas simetrias de
reflexão tem cada uma
das figuras?
SIMETRIA DE ROTAÇÃO: Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua transformada por uma
rotação, distinta da própria identidade, é a própria figura.
2. Considera as figuras.
2.1. Decalca a primeira figura em papel transparente. Coloca o decalque por cima da figura e põe a ponta do
lápis no ponto assinalado. Gira o decalque sempre no mesmo sentido e verifica que, ao dar uma volta
completa, o decalque coincide com a figura original uma vez: após ter rodado meia volta (ângulo de rotação
de 180º).
2.2. Procede de modo idêntico para verificar que as outras duas figuras também têm uma simetria de
rotação.
3. Usa papel vegetal para descobrires quantas simetrias de rotação tem cada uma das figuras seguintes.
4. Quantas simetrias de rotação tem cada uma das figuras seguintes?
Uma figura tem simetria de rotação se existir uma rotação em torno de
um ponto fixo, com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que faz
com que a figura coincida com ela própria, deixando-a globalmente
invariante. Ao ponto fixo chama-se centro de simetria de rotação.
Esta
figura
não
simetria de rotação.
Se a única rotação que torna a figura globalmente invariante é a
correspondente a uma volta completa (rotação de 360º), diz-se que a
figura não tem simetria de rotação.
5. A figura seguinte é formada por um conjunto de cinco quadrados e três quadrados isolados.
Junta os três quadrados isolados de modo que a figura resultante tenha:
5.1. uma simetria de reflexão mas não tenha simetria de rotação;
5.2. uma simetria de rotação.
tem
6. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) Todas as figuras têm simetria de rotação.
(B) Todas as figuras têm simetria de reflexão.
(C) Uma figura tem simetria de reflexão mas não
tem simetria de rotação.
(D) Duas das figuras têm ums simetria de
rotação.
7. Observa a figura onde num referencial cartesiano estão desenhados os triângulos A, B e C.
7.1. O triângulo B é o transformado de A por uma reflexão.
Escreve as coordenadas de dois pontos do eixo de
reflexão.
7.2. Descreve a transformação geométrica que transforma o
triângulo A no C.
7.3. Escreve as coordenadas dos vértices do triângulo D,
simétrico do triângulo C relativamente ao eixo
Oy .
8. Quantas simetrias de reflexão e quantas simetrias de rotação podes observar nas seguintes figuras?
9. Na figura em baixo está representado um triângulo ABC e os pontos
e C’.
9.1. Desenha no teu caderno a imagem do triângulo ABC por
uma rotação que transforma A em A’ e C em C’.
A’
SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO: Uma figura tem uma simetria de translação associada ao vetor u se
a sua transformada pela translação associada ao vetor u , distinta da própria identidade, é a própria
figura.
Exemplo:
SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE: Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante, se a
sua transformada pela reflexão deslizante é a própria figura.
ROSÁCEAS
Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes caraterísticas:
- Possui um número finito de simetrias de rotação e de reflexão;
- Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num ponto O;
- Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém o ponto O.
Nota: Uma circunferência não é uma rosácea, uma vez que possui uma infinidade de eixos de simetria.
10. Quantas simetrias de reflexão e rotação podes observar num:
Quadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
10.1. Alguma destas figuras pode ser considerada uma rosácea? Porquê?
10.2. Quantas simetrias de reflexão e quantas simetrias de rotação se pode observar num polígono regular
com
n lados?
11. A praça principal de uma determinada localidade vai ser remodelada. As obras de remodelação incluem a
repavimentação do centro da praça, em calçada portuguesa, utilizando pedra branca e pedra cinzenta. A figura
seguinte ilustra esquematicamente a proposta apresentada para a repavimentação do centro da praça. Na figura
estão representados, entre outros elementos geométricos:
♦ O hexágono regular ABCDEF;
♦ A circunferência inscrita no hexágono, de centro O.
11.1. Através de uma rotação de centro no ponto O pode
obter-se, a partir do triângulo EFO, o triângulo ABO.
Apresenta um valor da amplitude, em graus, dessa
rotação.
11.2. Qual é a imagem do triângulo DOC por uma
reflexão com eixo de reflexão EB? E por eixo de
reflexão DA?
11.3. Qual é o eixo de simetria da reflexão que
transforma o ponto D no ponto B?
11.4. Indica a imagem do segmento de reta OF por uma translação associada ED .
11.5. Justifica que a figura apresentada tem simetria rotacional. Na tua justificação, refere as
amplitudes possíveis para essas rotações centradas no ponto O.
12. Para cada uma das seguintes rosáceas identifica as simetrias que podes observar.
A
B
C
D
FRISO
Um friso é uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação. Os vetores associados a essas
translações possuem todos a mesma direção e são múltiplos inteiros de um dado vetor u não nulo.
PADRÃO
Um friso é uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direção.
Nota: Para além de translações um padrão pode ser invariante por reflexões, rotações e reflexões dslizantes.
13. Observa o friso seguinte:
13.1. Que tipos de simetrias identificas no friso?
13.2. Identifica e reproduz no teu caderno um elemento mínimo gerador do friso.
14. Desenha um triângulo isósceles retângulo.
Constrói um friso em que identifiques:
14.1. simetrias de translação e de rotação;
14.2. simetrias de translação e simetrias de reflexão de eixo horizontal;
14.3. simetrias de reflexão de eixo vertical;
14.4. simetrias de translação e simetrias de reflexão deslizante.
15. Para cada um dos seguintes padrões identifica as simetrias que podes observar:
A
B
C