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“Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica”
Ricerca – Azione a.s. 2010/2011
U.S.P. Bergamo - Centro MatNet Università di Bergamo
Relazioni e funzioni
Docenti che hanno collaborato all’elaborazione del progetto:
Fagotti Naila e Locatelli Elena (SSIG “A.G. Bravi” Cologno al Serio)
Rota Manuela (Liceo artistico “Fantoni” )
Amighetti Marcella e Casati Margherita (Liceo scientifico “Don Milani”)
Mangili Aline (Istituto “Facchetti” Treviglio)
Turlon Silvia (Istituto “Romero” di Albino)
Attività laboratoriali svolte nelle classi:
2^ SSIG Istituto “Facchetti“, 3^ D Istituto “A. G. Bravi” di Cologno al Serio
Docenti che hanno sperimentato l’attività: Aline Mangili, Naila Fagotti
La progettazione
 Premessa: Il punto di partenza del lavoro sono state le Indicazioni Nazionali
riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per il primo biennio dei licei dove si
osserva che il termine „relazioni‟ compare solo nel nome assegnato al nucleo tematico.
 Motivazione: importanza che questo nucleo tematico riveste in molti ambiti disciplinari
ed è per altro presente nelle prove d‟esame conclusive del primo ciclo di istruzione.
 Progetto: costruire un percorso per introdurre il concetto di funzione, in ambito
laboratoriale, senza l‟usuale passaggio attraverso una sistematica trattazione delle
relazioni.
Grazie alle competenze di ciascuna docente del gruppo di progetto è stato deciso di
separare l‟attività da proporre ad alunni della secondaria di primo grado da quella per
studenti della secondaria di secondo grado.
 Risultato: realizzare un percorso costituito da due attività tra loro connesse senza però
essere dipendenti l‟una dall‟altra e di facile adattamento alle esigenze del gruppo
classe.
MatNet-USP Bergamo - Seminario didattico: Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica - Università di Bergamo 29 aprile 2011
Attività 1
 Classe: seconda scuola media inferiore
 Prerequisiti: nozione di insieme, proporzioni e loro proprietà, la proporzionalità.
 Obiettivi d’apprendimento: individuare, descrivere e costruire relazioni significative;
costruire, interpretare e trasformare formule; riconoscere relazioni tra grandezze;
usare coordinate cartesiane; diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni.
 Metodologia e tempi di lavoro: lavoro a piccoli gruppi basato sulla risoluzione di
problemi con riferimenti alle scienze e alla realtà. L‟attività si può dividere in tre
momenti: richiamo di conoscenze già acquisite (fasi 1, 2, 3); sviluppo di nuovi concetti e
loro formalizzazione (fasi 4, 5, 6); approfondimenti (fasi 7, 8, 9).
MatNet - USP Bergamo - Seminario didattico: Attività laboratoriali per i nuovi curricoli di matematica - Università di Bergamo 29 aprile 2011
Attività 2
 Prerequisiti: concetto di insieme e sue rappresentazioni (diagramma di Eulero-Venn,
rappresentazione per elencazione)
 Obiettivi d’apprendimento: dall‟analisi di differenti tipi di legami al concetto di
funzione e relative proprietà; concetto di funzione inversa.
 Descrizione attività e metodologia didattica: Il lavoro si svolge su due diverse
proposte laboratoriali:
 Utilizzo di un ramo dell‟albero genealogico di casa Savoia.
La scelta permette di evitare possibili situazioni di imbarazzo rispetto a
domande sulle relazioni familiari degli alunni.
 Esame della registrazione nei social network.
Al termine di ogni fase si potranno formalizzare i concetti a partire dal lavoro
svolto dagli alunni.
L‟albero genealogico
La figura 1 mostra la discendenza di Carlo Alberto, re di Sardegna:
Figura 1
Osservate l‟albero genealogico e rispondete alle seguenti domande:
1. Quali legami intercorrono tra le diverse coppie che si possono formare tra gli
elementi di questo insieme? (essere figlio di …, essere padre di …)
2. Come possiamo rappresentare questi legami? (due insiemi, tabella a doppia
entrata, rappresentazione cartesiana)
3. Quali sono le caratteristiche di questi legami?
4. (uno a molti, molti a uno, uno a uno, uno a nessuno, …)
Registrazione ad un social network
Di seguito viene proposto un elenco di nickname che si possono utilizzare per
accedere a un social network; ogni componente del gruppo scelga un nickname
presente nell‟elenco.
Elenco nickname: (il numero dei nickname deve essere maggiore del numero
degli alunni della classe)
Tigre, Mucca, Maialino, Pulcino, Farfalla, Fuxia, Blu notte, Azzurro cielo, Giallo
sole, Tartaruga, Bradipo, Topolino, Rosso, Rosa, Giaguaro, Leone, Giraffa,
Asino, Gallo, Pollo …
1. Rappresentate le scelte effettuate utilizzando due insiemi (elementi del primo:
solo nickname scelti, elementi del secondo: nomi dei componenti del gruppo).
Qual è la caratteristica del legame rappresentato?
(legame uno a uno: funzione biunivoca)
2. Uniamo le scelte effettuate da tutti i gruppi della classe e rappresentiamoli
(elementi del primo insieme: solo nickname scelti, elementi del secondo insieme:
nomi degli alunni della classe); questo nuovo legame ha le stesse caratteristiche
del precedente?
(lo stesso nickname può essere scelto da più alunni, legame uno a molti: non è
una funzione)
…………………………
Esperienza realizzata
 Classe: seconda secondaria di primo grado, Istituto Facchetti di Treviglio.
 Primo passo
Introduzione alle relazioni: scheda con elenchi di oggetti legati da relazioni di
diverso tipo per evidenziare la differenza tra relazioni empiriche e funzioni
matematiche („seguo la freccia’).
Trasformare in semplici operazioni un testo: “un numero è il doppio di un altro
privato di un’unità”, facendo notare che con le relazioni empiriche ciò non è
possibile.
 Secondo passo
Funzioni matematiche: schede con tabelle da cui ricavare la legge matematica
esistente tra coppie di numeri, completamento di tabelle dopo aver individuato
l‟operazione da eseguire.
Utilizzazione di software per visualizzare i grafici.
Utilizzare i grafici per introdurre la proporzionalità diretta, quella inversa e la linearità
(difficoltà a riconoscere la proporzionalità diretta se il coefficiente è frazionario)
Dominio e codominio: schede in cui si chiede di collegare gli elementi corrispondenti.
Esempi di scheda di lavoro
Esempio di scheda di lavoro
Prossimi passi
 Passo tre
Formalizzazione e utilizzo del linguaggio specifico: rilettura delle schede per introdurre
i concetti di variabile indipendente e dipendente, dominio e codominio, funzione
inversa e i relativi simboli
 Quarto e ultimo passo
Verifica del percorso con schede che contengano tutti i concetti affrontati:
riconoscimento di funzioni empiriche e matematiche, formulazione matematica a partire
dalla forma testuale, rappresentazione nel piano cartesiano, individuazione della
funzione inversa.
Mettere in corrispondenza a partire dal quotidiano
Problema : Le paghette congrue ovvero la proporzionalità diretta.
Le paghette congrue
[Fonte: Gare di Matematica Città di Terni, 2008]
La famiglia Bianchi è costituita da padre, madre e tre figli:
Marco, Elisa e Francesco, rispettivamente di età 11 anni e 4 mesi; 15 anni e 1 mese; 18
anni e 5 mesi.
I genitori desiderano distribuire a ciascun figlio una paghetta settimanale direttamente
proporzionale alle età di ognuno.
La somma totale messa a disposizione settimanalmente è di 100.00 €. Trovare la somma
spettante a ciascun figlio.
Consegna:
Una volta risolto il problema, costruite, mediante i diagrammi di Venn, i due insiemi
(età, paghetta) e mettete in corrispondenza mediante frecce di relazione.
Rappresentate graficamente su carta e con Excel i dati ottenuti.
Problema : Le paghette congrue ovvero la proporzionalità diretta.
denaro/euro
Rappresentazione grafica della paghette congrue
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
età/mesi
=
?
Si fa discendere da tutto ciò la definizione di funzione matematica
La funzione agisce come un automa
Questo automa distribuisce lattine di un solo tipo dopo che sono
state introdotte due monete da 1 euro.
L'automa non restituisce monete.”
Traducete con una tabella doppia varie situazioni, individuate la
legge che regola questa macchina e rappresentate con un
diagramma cartesiano la corrispondenza.
Si fa discendere il concetto di coefficiente angolare : k.
Si proseguirà con lo studio della funzione in tutto il
piano cartesiano.
Funzioni lineari: un esempio tratto dalla geometria
Riporta nella tabella sottostante le coordinate dei punti A, B, C, D, E, F e G
Approfondimento:
funzioni lineari
Equiestensione e funzione di proporzionalità inversa:
un esempio tratto dalla geometria
Approfondimenti
Si verifica che è costante il prodotto tra le variabili
Si proseguirà con lo studio della funzione in tutto il piano cartesiano.
Verifica: Funzione di proporzionalità diretta
Considera i seguenti quadrati (sovrapposti l’uno all’altro) e, col righello, misurane la lunghezza
dei lati:
Riporta in due diagrammi di Venn i valori del dominio e
del codominio mettendo in corrispondenza tali valori.
Stabilisci di quale corrispondenza si tratta.
Compila, poi, la seguente tabella:
lato (cm)
x
Perimetro
(cm)
y
Indica la legge che lega la y alla x e rappresentala in
un piano cartesiano.
Verifica: Funzione di proporzionalità inversa
La base (y) di un rettangolo e la sua altezza (x), considerando costante l‟area A, sono
grandezze inversamente proporzionali: xy = A. Poni A = 48 cm2, costruisci la tabella dei
valori e disegna il grafico di tale funzione. Scrivi la formula della funzione
y
Osserva il seguente grafico, ricava da esso i valori del dominio e del codominio
riportandoli in una tabella. Stabilisci di quale funzione si tratta e scrivine la formula.
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
x

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