Graduações em Álgebras Matriciais - UAMat

Transcrição

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Graduações em Álgebras Matriciais
por
Alan de Araújo Guimarães
†
sob orientação do
Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa
de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
†
Este trabalho contou com apoio nanceiro da CAPES.
Graduações em Álgebras Matriciais
por
Alan de Araújo Guimarães
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Álgebra
Aprovada por:
Prof. Dr. Thiago Castilho de Mello - UNIFESP
Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior - UFCG
Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva
Orientador
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Dezembro/2014
ii
Resumo
O tema central da presente dissertação é o estudo das graduações de um grupo
G
nas álgebras
grupo
G
U Tn (F )
e
U T (d1 , . . . , dm ).
abeliano e nito e o corpo
F
provamos que qualquer graduação em
G-graduado).
o corpo
F,
U Tn (F )
é elementar (a menos de automorsmo
G
e
chegamos à mesma conclusão. Para tanto, foi necessário utilizar técnicas
ano e nito e o corpo
G-graduações
decomposição
bra
algebricamente fechado e de característica zero,
Ainda no Capítulo 2, sem fazer qualquer suposição sobre o grupo
mais sutis na demonstração.
as
Inicialmente, no Capítulo 2, supondo o
F -álgebra U T (d1 , . . . , dm ).
ao produto tensorial
na e
U T (p1 , . . . , pm )
Palavras-chave:
G
abeli-
algebricamente fechado e de característica zero, classicamos
d1 = tp1 , . . . , dm = tpm
G-graduada,
G-graduação
da
F
No Capítulo 3, novamente supondo o grupo
tal que
Veremos que, neste caso, existe uma
U T (d1 , . . . , dm )
é isomorfa, como álge-
Mt (F ) ⊗ U T (p1 , . . . , pm ),
tem uma
G-graduação
onde
Mt (F )
tem uma
elementar.
Álgebras Associativas, Álgebra Graduadas, Álgebras Matrici-
ais.
iii
Abstract
The central theme of this dissertation is the study the of the gradings of a group
G
in the algebras
U Tn (F )
nite abelian group and
and
F
prove that any grading in
U T (d1 , . . . , dm ).
Initially, in Chapter 2, assuming
U Tn (F )
obtain the same conclusion.
F
a
an algebraically closed eld and of characteristic zero, we
is elementary (up to graded isomorphism). Still in
Chapter 2, without making any assumption about the group
ques in demonstration.
G
G
and the eld
F,
we
To prove this was necessary to use more subtle techni-
In Chapter 3, again assuming
G
a nite abelian group and
an algebraically closed eld of characteristic zero, we classify the gradings of the
algebra
tpm
U T (d1 , . . . , dm ).
such that
We will see that there is a decomposition
U T (d1 , ..., dm )
Mt (F ) ⊗ U T (p1 , . . . , pm ),
d1 = tp1 , . . . , dm =
is isomorphic, as graded algebra, to the tensor product
where
Mt (F )
has a ne grading and
U T (p1 , . . . , pm )
elementary grading.
Keywords:
Associative Algebras, Graded Algebras, Matrix Algebras.
has a
v
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus pelo dom da vida e por tudo que tem me concedido ao longo de minha existência.
Aos meus pais, Valmor Guimarães e Maria Araújo, pela minha criação e por todos
os bons exemplos que tive desde criança. A todos os meus irmãos pela amizade e por
sempre estarem ao meu lado.
Ao professor Diogo Diniz que, desde a época de minha graduação, é meu orientador e sempre esteve disposto a contribuir com minha formação acadêmica. Sou grato
pela paciência ao longo de minha orientação e por ter contribuído sobremaneira com a
elaboração da presente dissertação.
Ao professor Manassés, meu professor de Matemática no Estadual da Palmeira
que, sendo um excelente professor, me inuenciou positivamente na escolha de seguir
carreira em Matemática.
Devido à sua metodologia de ensino, aprendi a gostar de
Matemática.
A todos os professores da UAMat da UFCG que, durante a graduação e mestrado,
contribuíram fortemente com minha formação matemática. Em especial, agradeço ao
professor Daniel Cordeiro pelo período em que fui integrante do PET-Matemática
UFCG (durante a minha graduação) e ao professor Brandão pelos cursos de mestrado
de Teoria de Galois e Representação de Grupos que ampliaram meu conhecimento
algébrico.
Aos professores Thiago Castilho e Antônio Brandão pela composição da banca
examinadora e pela colaboração com o aperfeiçoamento do nosso trabalho.
A todos os colegas do mestrado e do doutorado em Matemática. Em especial,
aos amigos algebristas: Levi, Claudemir e Antônio Marcos (Pajé).
A todos os funcionários da UAMat e a todos os amigos da graduação e do PETMatemática da UFCG.
E, por m, a CAPES pelo nanciamento do trabalho.
Dedicatória
Aos meus pais Valmor Guimarães
e Maria Araújo.
vi
Conteúdo
Introdução .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Preliminares
6
9
F
1.1
Álgebras sobre um corpo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Graduações de Grupos em Álgebras Associativas . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
R-Módulos
18
1.4
Representações Lineares de Grupos
1.5
Representações e
e o Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.6
Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.7
Anéis Semissimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8
A Dualidade entre
F G-módulos
G-graduações
Abelianas Finitas e
G-ações
. . . . . .
2 Classicação das Graduações de Grupo na Álgebra U Tn (F )
2.1
Lemas Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Graduações Abelianas e Finitas em
2.3
Graduações de um Grupo Qualquer em
U Tn (F )
. . . . . . . . . . . . . . .
U Tn (F )
. . . . . . . . . . . . .
3 Classicação das Graduações Abelianas e Finitas em U T (d1 , . . . , dm )
3.1
A Álgebra das Matrizes Triangulares Superiores em Blocos . . . . . . .
3.2
Sobre as Graduações de Grupo na Álgebra
3.3
Bibliograa
Mn (F )
U T (d1 , . . . , dm )
41
44
44
45
50
58
58
. . . . . . . . . . . .
62
. . . . . . . . . . .
63
72
Introdução
Graduações surgem de modo natural em muitas classes de anéis e álgebras. O
estudo das graduações de álgebras e anéis é também importante por suas aplicações,
por exemplo, o estudo das
Z-graduações em álgebras de Lie tem aplicações no estudo de
representações de grupos lineares e em geometria diferencial ([O2]). Um dos principais
problemas nesta área é a descrição de todas as graduações de álgebras importantes.
Sendo
de
A um álgebra associativa e G um grupo, uma decomposição A =
⊕
g∈G
Ag
A em soma direta de subespaços é chamada de G-graduação quando Ag Ah ⊆ Agh ,
para quaisquer
g, h ∈ G.
Neste caso, dizemos que
A
é uma álgebra
G-graduada.
A descrição das graduações nas álgebras de matrizes tem um papel importante na
teoria das álgebras com identidades polinomiais. As graduações na álgebra
matrizes quadradas de ordem
n com entradas no corpo F
artigos. Em [DI] foram descritas as graduações em
as matrizes elementares
Eij
foram estudadas em diversos
Mn (F )
por um grupo
Mn (F )
no caso em que
[BSZ], supondo o corpo
em
Mn (F )
F
G
em que
são homogêneas (as chamadas graduações elementares) e
também foram descritas as graduações sob a hipótese de o grupo
graduações de
Mn (F ) das
G
G
ser cíclico.
As
é um grupo abeliano foram classicadas em
algebricamente fechado. Finalmente em [AM1] as graduações
foram descritas; todas podem ser obtidas a partir do produto tensorial de
duas álgebras de matrizes, sendo uma com uma graduação elementar e a outra com
uma graduação na (em que cada componente tem dimensão
≤ 1).
Uma extensão natural da classe das álgebras de matrizes é a classe das álgebras
de matrizes triangulares em blocos. Os exemplos mais simples deste tipo de álgebras
são
Mn (F )
e sua subálgebra
U Tn (F )
das matrizes triangulares superiores. Esta classe
de álgebras desempenha um papel importante no estudo dos invariantes numéricos de
7
álgebras com identidades polinomiais.
As graduações em
abeliano e nito no caso em que o corpo
F
U Tn (F )
por um grupo
G
é algebricamente fechado e de característica
zero foram descritas em 2003 por Valenti e Zaicev em [VZ1]. Neste artigo, a estreita
relação entre as
G-graduações
o dual do grupo
G)
em
U Tn (F )
de uma álgebra
A
e as
b-ações
G
em
A
(onde
é a principal ferramenta para mostrar que todas as
são elementares (a menos de automorsmo
generalizados em 2007 também por Valenti e Zaicev [VZ2]. Sendo
(novamente, a menos de automorsmo
a seguinte conjectura:
Conjectura:
Seja
G-graduação
G-graduado).
U T (d1 , . . . , dm ) =
⊕
g∈G
denota
G-graduações
G-graduado).
Utilizando uma técnica diferente, os resultados para a álgebra
e um corpo quaisquer, respectivamente, toda
b
G
em
U Tn (F )
G
e
U Tn (F )
F
foram
um grupo
é elementar
Ainda neste artigo, foi formulada
Rg
uma
das matrizes triangulares em blocos. Se existirem inteiros
G-graduação
t, p1 , . . . , pm
na álgebra
tais que
d1 =
tp1 , . . . , dm = tpm , a álgebra U T (d1 , . . . , dm ) sempre é isomorfa como álgebra G-graduada
Mt ⊗ U T (p1 , . . . , pm ),
onde
U T (p1 , . . . , pm )
tem uma graduação
elementar?
Em caso armativo, se
em
U T (d1 , . . . , dm )
d1 , . . . , dm
são primos entre si, então as possíveis graduações
são elementares.
No ano de 2011, em [VZ3], um caso particular da conjectura acima foi resolvido.
Mais precisamente, as graduações na álgebra
U T (d1 , ..., dm )
superiores em blocos foram descritas sob as hipóteses de
ser algebricamente fechado e de característica zero.
graduações na álgebra
F
U T (d1 , ..., dm )
G
das matrizes triangulares
ser abeliano e nito e
O problema de classicar as
sem impor condições sobre o grupo
G
F
G-
e o corpo
permanece em aberto.
Na presente dissertação objetivamos realizar um estudo detalhado dos artigos
[VZ1], [VZ2] e [VZ3]. Para este m, nosso trabalho foi estruturado em três capítulos.
No Capítulo 1 apresentamos os conceitos fundamentais para o entendimento da
dissertação. Visando tornar o texto conciso, alguns resultados clássicos foram enunciados, mas não demonstrados.
G-graduada.
Começamos com os conceitos de álgebra e álgebra
Em seguida, zemos um breve estudo sobre
R-módulo
e o radical de
Jacobson de um anel associativo e unitário. Também zemos uma exposição acerca da
Teoria de Representações de Grupos e anéis semissimples. Finalizamos demonstrando
8
a dualidade que existe entre
G-ações
sobre
G-graduações
abelianas e nitas em uma álgebra
A
e
A.
O Capítulo 2 é dedicado ao estudo dos artigos [VZ1] e [VZ2]. Inicialmente, com
base em [VZ1], apresentamos a classicação das graduações abelianas e nitas em
U Tn (F ),
supondo-se o corpo
F
algebricamente fechado e de característica zero. Em
seguida, utilizando como referência [VZ2], abordamos o mesmo problema, só que sem
fazer imposições sobre o grupo
G
e o corpo
F.
situações, veremos que todas as graduações em
automorsmo
Como será percebido, em ambas as
U Tn (F )
são elementares (a menos de
G-graduado).
Por m, no Capítulo 3, abordaremos o problema de classicar as
abelianas e nitas na álgebra
U T (d1 , . . . , dm ), sob a hipótese de o corpo F
G-graduações
ser algebrica-
mente fechado e de característica zero. Nesta etapa, a referência principal foi o artigo
[VZ3].
Neste caso, veremos que existe uma decomposição
tal que
U T (d1 , . . . , dm )
é isomorfa (como álgebra
Mt (F ) ⊗ U T (p1 , . . . , pm ),
onde
Mt (F )
d1 = tp1 , . . . , dm = tpm
G-graduada)
tem uma graduação na e
U T (p1 , . . . , pm )
tem
uma graduação elementar. Para realizar o estudo desejado, tivemos que nos remeter ao
estudo da classicação das graduações de grupo em
os resultados acerca das graduações em
ações abelianas e nitas da álgebra
Mn (F )
Mn (F ).
Nos limitamos a enunciar
e aplicá-los na classicação das gradu-
U T (d1 , . . . , dm ).
Neste capítulo também zemos
uso de alguns teoremas clássicos, a exemplo do Teorema de Wedderburn-Malcev, para
o qual não apresentamos demonstração.
Capítulo 1
Preliminares
O presente capítulo tem por objetivo estabelecer a linguagem que será adotada
ao longo da dissertação. Nos propomos então a apresentar denições, conceitos, notações e resultados essenciais que serão utilizadas frequentemente ao longo do texto.
Até o término do presente capítulo, o símbolo
nos de menção em contrário.
F
designará um corpo qualquer, a me-
Ao longo do capítulo, assumiremos que o leitor tenha
familiariedade com conceitos básicos de Álgebra Linear.
1.1
Álgebras sobre um corpo
F
O ponto de partida de nosso estudo é o conceito de álgebras sobre um corpo
(ou
F -álgebras).
Denição 1.1.1
Nesse sentido, passemos à seguinte denição.
Seja
A
um espaço vetorial sobre
F -álgebra (ou álgebra
∗ : A × A → A satisfaz:
sendo uma
é,
i)
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c;
ii)
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c;
iii)
sobre
(λa) ∗ b = a ∗ (λb) = λ(a ∗ b),
para quaisquer
F
a, b, c ∈ A
e
λ ∈ F.
F)
F.
(A, ∗) como
bilinear em A, isto
Denimos um par
se ∗ é uma operação
Cap. 1- Álgebras sobre um corpo F
10
Na denição acima, ∗ é dita multiplicação da álgebra
notaremos o produto
a∗b
por justaposição
A
escreveremos simplesmente
em lugar de
ab,
A
para quaisquer
(A, ∗)
e, simplesmente, de-
a, b ∈ A.
Mais ainda,
para denotar a estrutura de álge-
bra, deixando implícita a multiplicação. Diremos que A é uma álgebra ao invés de
F -álgebra, deixando implícito o corpo
(a1 a2 )a3
e, indutivamente, o produto
ai ∈ A.
Diremos que um subconjunto
A,
do espaço vetorial
como
F -espaço
F.
Denimos o produto
a1 a2 . . . an−1 an
β
de
A
e denimos a dimensão de
como sendo
a1 a2 a3
como sendo
(a1 a2 . . . an−1 )an , para
é uma base da álgebra se é uma base
A
como sendo a dimensão de
A
vista
vetorial.
Conforme algumas propriedades que a multiplicação da álgebra
A possua, fazemos
classicações, como segue na denição seguinte.
Denição 1.1.2
i)
ii)
iii)
Seja
A
uma
A
Dizemos que
é:
Associativa se (ab)c = a(bc), para quaisquer a, b, c ∈ A;
Comutativa se ab = ba, para quaisquer a, b ∈ A;
Unitária
a1A = 1A a = a,
álgebra A.
Quando a álgebra
para todo
F,
1A
A
com
A
λ,
{λ1 : λ ∈ F }
com
tal
é chamado de unidade da
é única. Por simpli-
Neste caso, identicamos
λ ∈ F.
para todo
1A ,
F.
Nesse sentido, dizemos
Particularmente, se
A
é um anel, com respeito à adição e à multiplicação da
A.
Denição 1.1.3
Seja
A
uma álgebra associativa e unitária.
(i) Um elemento não nulo
1.
de
identicando
for associativa, tem-se que
álgebra
O elemento
1 para representar a unidade 1A .
λ1
naturalmente o elemento
contém o corpo
a ∈ A.
denotado por
A for unitária, é fácil ver que a unidade 1A
cidade, usaremos o símbolo
A
A,
(ou com unidade) se existe um elemento em
que
que
F -álgebra.
a∈A
diz-se
inversível se existe b ∈ A tal que ab = ba =
Neste caso, chamamos o elemento
a,
inverso) de
(ii) Denimos o
conjunto de inversíveis de
−1
{a ∈ A : ∃a
(iii) Dizemos que
para o qual adotamos
b de inverso multiplicativo (ou simplesmente
−1
a notação a .
A
como sendo o conjunto
∈ A}.
A
é uma
álgebra com divisão se U (A) = A − {0}.
U (A) =
Denição 1.1.4
Sejam
A
uma álgebra,
11
V
e
W
subespaços vetoriais de
A
e
X ⊂ A.
Denimos
produto
sendo o subespaço vetorial de
centralizador de X
em
V W como
{xy : x ∈ V, y ∈ W }.
(i) O
A como sendo
CA (X) = {a ∈ A : ax = xa, ∀x ∈ X}.
(ii) O
A
gerado pelo conjunto
o conjunto
centro da álgebra A como sendo o conjunto
(iii) O
Z(A) = CA (A) = {x ∈ A : xa = ax, ∀a ∈ A}.
Quando
A
Z(A) = {λ1 : λ ∈ F },
é uma álgebra unitária e
dizemos que
A
é uma
central.
álgebra
Para ilustrar as denições dadas acima, passemos a alguns exemplos de álgebras
que serão úteis ao longo do texto.
Exemplo 1.1.5
F,
entradas em
uma
F -álgebra
Considere o espaço vetorial
com
n ∈ N
xo.
Mn (F )
Munido do produto usual de
associativa com unidade e de dimensão
unitárias as matrizes Eij , para 1 ≤ i, j ≤ n, onde Eij
n2
. Chamamos de
matrizes
é a matriz cuja única entrada
j -ésima coluna.
Claramente, o conjunto β = {Eij ∈ Mn (F ) : 1 ≤ i, j ≤ n} é uma base para
Mn (F ). Não é difícil ver que se Eij , Ekl ∈ Mn (F ), então Eij Ekl = δjk Eil , onde δjk
não nula é
1
n × n com
matrizes, Mn (F ) é
de todas as matrizes
na i-ésima linha e
denota o delta de Kronecker.
Exemplo 1.1.6
lineares sobre
Sejam
V.
V
um espaço vetorial e
Temos que
L(V ),
T, S ∈ L(V ),
em geral denota-se
álgebra dos operadores lineares sobre
T ◦S
Exemplo 1.1.7 (Álgebra de Grupo)
∑
simplesmente por
Sejam
F G = { αi gi , αi ∈ F }. Denimos em F G
∑
∑
∑
•
αi gi + βi gi = (αi + βi )gi .
• λ(
∑
αi gi ) =
∑
(λαi )gi ,
onde
o espaço vetorial dos operadores
munido da composição de funções, é uma álgebra
associativa com unidade, chamada de
Se
L(V )
V.
T S.
G = {g1 , . . . , gm }
um grupo nito e
as operações
λ ∈ F.
F G é um espaço vetorial sobre F que tem como base G.
∑
∑
∑
Inserindo em F G a operação (
αi gi )( βj gj ) =
(αi βj )(gi gj ), teremos em F G uma
multiplicação induzida pela operação do grupo G. Nesse sentido, F G é uma F -álgebra,
denominada álgebra de grupo. Note que se G for abeliano, a álgebra de grupo F G
Com essas operações,
será comutativa.
12
Exemplo 1.1.8 (Produto tensorial de álgebras)
ais. Consideremos o
U
de
F (V × W )
F -espaço
vetorial
F (V × W )
Sejam
V
W F -espaços vetoriV × W e o subespaço
e
com base em
gerado por elementos dos tipos
(v1 + v2 , w) − (v1 , w) − (v2 , w)
(v, w1 + w2 ) − (v, w1 ) − (v, w2 )
(λv, w) − λ(v, w)
(v, λw) − λ(v, w)
v1 , v2 , v ∈ V, w1 , w2 , w ∈ W e λ ∈ F . Denimos o produto tensorial de V e
W , denotado por V ⊗F W (ou simplesmente V ⊗ W ) como sendo o espaço quociente
F (V × W )/U .
Dado (v, w) ∈ V × W , vamos denotar por v ⊗ w o elemento (v, w) de V ⊗ W .
Chamamos os elementos da forma v ⊗ w de tensores.
O conjunto {v ⊗ w : v ∈ V, w ∈ W } é um conjunto gerador de V ⊗ W e ocorre
com
que
(v1 + v2 ) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w
v⊗(w1 + w2 ) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2
(λv) ⊗ w = λ(v ⊗ w)
v⊗(λw) = λ(v ⊗ w).
∑
V ⊗ W são da forma (vi ⊗ wi ), com vi ∈ V e wi ∈ W .
Ademais, das igualdades acima, se V = ⟨S1 ⟩ e W = ⟨S2 ⟩ (subespaço gerado), então
V ⊗ W = ⟨u1 ⊗ u2 : u1 ∈ S1 , u2 ∈ S2 ⟩. Assim, se V e W são espaços vetorias de dimensão nita, tem-se que V ⊗W tem dimensão nita e dim V ⊗W = (dim V )(dim W ).
No caso em que V e W são F -álgebras, denimos a operação
Segue daí que os elementos de
∗ : (V ⊗ W ) × (V ⊗ W ) → V ⊗ W
por
faz
(a ⊗ b) ∗ (x ⊗ y) = ax ⊗ by .
de V ⊗ W uma F -álgebra.
É possível vericar que
Teorema 1.1.9 (Propriedade universal)
f : V × W → U uma
transformação linear Tf : V ⊗ W → U
v ∈ V e w ∈ W.
um corpo
F
e
Demonstração:
Como o conjunto
V, W
é uma operação bilinear que
e
aplicação bilinear.
tal que
V ×W
segue que existe uma única aplicação linear
f (u, v), para todo (v, w) ∈ V × W .
Sejam
∗
U
espaços vetoriais sobre
Então existe uma única
Tf (v ⊗ w) = f (v, w),
para quaisquer
F (V × W ),
é uma base do espaço vetorial
L : F (V ×W ) → U
satisfazendo
Observe que os elementos que geram
U
L((u, v)) =
na denição
de produto tensorial pertencem a
tais que
α1 − α2 ∈ U ,
13
ker L e, assim, U ⊂ ker L.
L(α1 ) = L(α2 ).
então
α1 , α2 ∈ F (V × W ) são
Assim, a aplicação
Tf : V ⊗ W −→
U
7−→ Tf (α) = L(α)
α
está bem denida e é linear. Além disso, dados
v∈V
e
L((v, w)) = f (v, w).
A unicidade é consequência de que
conjunto gerador de
V ⊗ W.
Exemplo 1.1.10
Se
w ∈ W,
tem-se
Tf (v ⊗ w) =
{v ⊗ w : v ∈ V, w ∈ W }
é um
W F -espaços vetoriais, v0 ∈ V e w0 ∈ W vetores não
nulos. Então v0 ⊗ w0 ̸= 0 em V ⊗ W . De fato, como v0 , w0 ̸= 0, existem uma base de V
contendo v0 e uma base de W contendo w0 . Assim, pode-se obter alguma base de V ×W
contendo (v0 , w0 ). Nesta base, dena f : V × W → F bilinear tal que f (v0 , w0 ) ̸= 0.
Pela propriedade universal, existe uma transformação linear Tf : V ⊗ W → F tal que
Tf (v ⊗ w) = f (v, w), e assim Tf (v0 ⊗ w0 ) ̸= 0. Daí v0 ⊗ w0 ̸= 0.
Sejam
V
e
As propriedades seguintes são bastante úteis, e seguem como aplicação da propriedade universal.
Proposição 1.1.11
(i)
(ii)
Sejam
V, W
e
U F -espaços
vetorias quaisquer. Valem:
F ⊗V ≃V.
F n ⊗ V ≃ V n.
(iii)
V ⊗W ≃W ⊗V.
(iv)
(V ⊗ W ) ⊗ U ≃ V ⊗ (W ⊗ U ).
(v) Se
S1 = {vi : i ∈ I}
respectivamente, então
S2 = {wj : j ∈ J} são subconjuntos LI de V
S = {vi ⊗ wj : i ∈ I, j ∈ J} é um subconjunto
e
e
W,
LI de
V ⊗ W.
Denição 1.1.12
Sejam
A
uma álgebra,
B
A
para quaisquer
e
I
subespaços vetorias de
A.
Dizemos
que:
i)
B
ii)
I
é uma subálgebra de
se
é um ideal à esquerda de
mente
xa ∈ I )
xy ∈ B
A
para quaisquer
x, y ∈ B ;
(respectivamente à direita) se
a∈A
e
x ∈ I.
ax ∈ I
(respectiva-
iii) Seja
I
um ideal à esquerda próprio de
maximal de
I ⊂ J.
A.
I
iv)
14
A
A.
se não existe ideal à esquerda próprio
J
de
Formula-se conceito análogo para o caso em que
é um ideal bilateral de
A
I
Dizemos que
I
(ou simplesmente ideal de
é um ideal à esquerda
A,
com
I ̸= J ,
tal que
é um ideal à direita de
A)
se
I
é um ideal à
esquerda e à direita simultaneamente.
Observe que todo ideal de uma álgebra
A.
A
No caso em que
itens
(ii), (iii)
e
(iv)
res. Tem-se que
n ∈ N,
Seja
U Tn
B
é um subanel de
A
e os
são os mesmos.
0
e
A
sempre são ideais bilaterais da álgebra
esses sejam os únicos ideais bilaterais de
Exemplo 1.1.13
é, em particular, uma subálgebra de
é simplesmente um anel, dizemos que
Um fato elementar é que
Por exemplo, sendo
A
A,
dizemos que
prova-se que a álgebra
U Tn (F ) = U Tn
Mn (F )
A
é uma
A.
Caso
álgebra simples.
é simples.
o conjunto das matrizes triangulares superio-
Mn (F ).
Como
U Tn = ⟨Eij : 1 ≤ i ≤ j ≤ n⟩
(subespaço gerado) segue que
dim U Tn (F ) =
Ressaltamos que a álgebra
U Tn
n(n + 1)
.
2
estará fortemente presente em nosso trabalho.
No
Capítulo 3, apresentaremos um caso mais geral de matrizes triangulares, as chamadas
matrizes triangulares superiores em blocos.
Denição 1.1.14
Sejam
A
e
B
duas
F -álgebras.
Dizemos que uma transformação
φ : A → B é um homomorsmo de álgebras se φ(ab) = φ(a)φ(b) para
quaisquer a, b ∈ A.
Chamamos φ de isomorsmo se φ for bijetora. Quando A = B dizemos que φ
é um endomorsmo e se φ for endomorsmo e isomorsmo simultaneamente, dizemos que φ é um automorsmo da álgebra A. Se as F -álgebras A e B são isomorfas,
denotamos por A ≃ B .
linear
Exemplo 1.1.15
vetorial
álgebra,
I um ideal de A. Denindo no
quociente A/I a operação (a + I)(b + I) = (ab) + I , temos que A/I
chamada de álgebra quociente de A por I . A Aplicação
Sejam
A
uma álgebra e
ρ : A −→
A/I
a 7−→ a = a + I
é um homomorsmo sobrejetor de álgebras, chamado de projeção canônica.
espaço
é uma
Cap. 1- Graduações de Grupos em Álgebras Associativas
Sendo
φ : A → B
15
um homomorsmo de álgebras, dizemos que o conjunto
ker(φ) = {a ∈ A; φ(a) = 0} é o núcleo de φ, e o conjunto Im(φ) = {φ(a) ∈ B | a ∈ A}
φ.
é a imagem de
de
B.
Verica-se que
ker(φ) é um ideal de A e que Im(φ) é uma subálgebra
É imediato vericar que a aplicação
φ : A/ker(φ) −→
Im(φ)
7−→ φ(a) = φ(a)
a
está bem denida e é um isomorsmo de álgebras.
1.2
Graduações de Grupos em Álgebras Associativas
Na seção que se inicia, quando usarmos a palavra álgebra, estaremos sempre nos
referindo a uma álgebra associativa e, a menos de menção em contrário,
G
designará
um grupo qualquer, para o qual adotaremos a notação multiplicativa.
Ao longo desta seção, daremos ênfase ao conceito de
álgebra
A,
sobre uma
que desempenhará um importante papel posteriormente.
Denição 1.2.1
uma
G-graduação
G-graduação
A uma álgebra associativa e G um grupo arbitrário. Denimos
A como sendo uma família (Ag )g∈G de subespaços vetorias de A
Sejam
em
tais que
A = ⊕g∈G Ag
e
Ag Ah ⊂ Agh
g, h ∈ G.
para quaisquer
Neste caso, diz-se que a álgebra
Dizemos que os subespaços
a
g.
de
Sendo
A.
H
um subgrupo de
Em particular, fazendo
subálgebra de
Quando
a ∈ Ag ,
é um elemento homogêneo de grau
denominada componente neutral da
G.
A.
G,
G-graduação,
g.
G-graduada.
G
escrevemos
deg(a) = g
A componente homogênea
onde
1
é fácil ver que a soma
H = {1},
Quando o grupo
é abeliana e nita.
é
Ag são as componentes homogêneas e os seus elementos
de elementos homogêneos de grau
signicar que
A
para
A1
é
denota o elemento neutro de
∑
h∈H
Ah
é uma subálgebra
decorre que a componente neutral
for abeliano e nito, dizemos que a
A1
é uma
G-graduação
Exemplo 1.2.2
Toda álgebra
Exemplo 1.2.3
Considere a
16
A admite uma G-graduação. Com efeito, denindo
A1 = A e Ag = {0} para todo g ∈ G − {1}, temos em A uma G-graduação. Uma
graduação deste tipo é chamada de G-graduação trivial.
{[
]
a 0
0 b
M2 (F )0 =
F -álgebra M2 (F )
}
: a, b ∈ F
e
e os supespaços
{[
M2 (F )1 =
}
]
0 a
b 0
: a, b ∈ F
.
M2 (F ) = M2 (F )0 ⊕ M2 (F )1 dene uma Z2 -graduação em M2 (F ).
Mais geralmente, sendo n ∈ N, n > 1, considere a álgebra Mn (F ). Para cada
⟨
⟩
γ ∈ Zn , denamos Mγ = Eij : i − j = γ . Mostra-se que a família (Mγ )γ∈Zn é uma
Zn -graduação em Mn (F ).
É fácil ver que
Exemplo 1.2.4
gêneo, com
a ̸= 0.
Exemplo 1.2.5
dade
1
A = ⊕g∈G Ag
Sejam
Se
a
Sendo
é idempotente,
G-graduação e a ∈ A um elemento
2
isto é, a = a, tem-se que a ∈ A1 .
A
G-graduada
uma
uma álgebra
1 ∈ A1 .
é homogênea e que
De fato, existem
1, tem-se
g1 , . . . , gn ∈ G tais que
com unidade
homo-
que a uni-
1 = a1 + ag1 + · · · + agn
com
a 1 ∈ A 1 , a gj ∈ A gj .
Tomando
h∈G
e
ah ∈ Ah
arbitrários, temos
ah = ah a1 + ah ag1 + · · · + ah agn .
Daí, segue que
ah agj = 0
Denição 1.2.6
Sejam
Denição 1.2.7
Seja
ah a1 = ah ,
e
A
donde
A = ⊕g∈G Ag uma G-graduação. O conjunto
da álgebra A, e será denotado por Supp(A).
uma álgebra e
{g ∈ G : Ag ̸= 0} é chamado de suporte
B
1 = a1 ∈ A1 .
A = ⊕g∈G Ag GG-graduado quando
um subespaço vetorial de uma álgebra
B é homogêneo na G-graduação ou
B = ⊕g∈G Bg , onde Bg = B ∩ Ag . Formula-se denição análogo
B é uma subálgebra ou um ideal de A.
graduada.
Dizemos que
Exemplo 1.2.8
bg ∈ B
Exemplo 1.2.9
neo na
A = ⊕g∈G Ag uma álgebra G-graduada e B = ⊕g∈G Bg uma
∑
na G-graduação. Assim, se b = (
bg ) ∈ B , com bg ∈ Ag ,
Sejam
subálgebra homogênea
devemos ter
no caso em que
e reciprocamente.
Sejam
G-graduação.
A = ⊕g∈G Ag
uma álgebra
I um ideal homogêG-graduada, onde as
e
A/I é naturalmente
(A/I)g = {a + I : a ∈ Ag }.
Tem-se que a álgebra
componentes homogêneas são
G-graduada
Exemplo 1.2.10
Sejam
Exemplo 1.2.11
Sejam
17
A = ⊕g∈G Ag uma G-graduação e a, b ∈ A1 . É fácil ver que
B = aAb é uma subálgebra de A. Armamos que B é homogênea na G-graduação. Com
∑
efeito, um elemento típico de B tem a forma a(
xg )b, onde xg ∈ Ag . Claramente,
axg b ∈ B . Ademais, axg b ∈ A1 Ag A1 ⊂ Ag . Daí B = ⊕g∈G Bg , onde Bg = Ag ∩ B .
G um grupo, H um subgrupo normal de G e A = ⊕g∈G Ag uma
álgebra G-graduada. Sendo G = G/H , a G-graduação inicial induz uma G-graduação
em A. Para tanto, sendo g ∈ G, dena Ag = ⊕h∈H Agh . Armamos que A = ⊕g∈G Ag
dene uma G-graduação. Inicialmente, note que Ag ⊂ Ag + (⊕h̸=1 Agh ) = Ag e assim
∑
∑
A = g∈G Ag . Provaremos agora que a soma g∈G Ag é direta. De fato, suponhamos
que existam g1 , . . . , gl ∈ G tais que xg1 + · · · + xgl = 0 (onde xgj ∈ Agj ). Mas xgj =
∑
∑ ∑
∑
h∈H xgj h . Daí
j
h∈H xgj h = 0, o que contradiz o fato de que a soma
j,h Agj h é
direta.
Por m, sendo
g, g1 ∈ G,
armamos que
Ag Ag1 ⊂ Agg1 .
De fato, note que
Ag Ag1 = (⊕h∈H Agh )(⊕t∈H Ag1 t ) ⊂ ⊕h,t∈H Aghg1 t .
Por outro lado, para quaisquer h, t ∈ H , armamos que Aghg1 t ⊂ Agg1 . Com efeito,
−1
seja z = (g1 hg1 )t. Devido à normalidade de H em G, tem-se que z ∈ H . Assim
Aghg1 t = Agg1 z ⊂ Agg1 .
Juntando essas informações, teremos
Ag Ag1 ⊂ Agg1 ,
o que
encerra a armação feita.
A posteriori, será de crucial importância um tipo especial de
álgebras
Mn (F )
e
U Tn (F ):
G-graduação
nas
as chamadas graduações elementares. Nesse sentido, apre-
sentamos a denição seguinte.
Denição 1.2.12
Sejam
U Tn (F ) = ⊕g∈G Ag
e
Mn (F ) = ⊕h∈H Bh uma G e H -graduações,
respectivamente. Dizemos que:
(i)
(ii)
U Tn (F ) = ⊕g∈G Ag é uma G-graduação elementar se existe uma n-upla g =
(g1 , . . . , gn ) ∈ Gn tal que a componente homogênea Ag é o subespaço gerado pelas
−1
matrizes unitárias Eij , tais que g = gi gj , com i ≤ j .
Mn (F ) = ⊕h∈H Bh é uma H -graduação elementar
(h1 , . . . , hn ) ∈ H n tal que a componente homogênea Bh
−1
matrizes unitárias Eij , tais que h = gi gj .
Um exemplo de graduação elementar na álgebra
se existe uma
n-upla h =
é o subespaço gerado pelas
Mn (F )
é a
Zn -graduação
apre-
sentada no Exemplo 1.2.3.
Exemplo 1.2.13
denição,
na
A = U Tn = ⊕g∈G Ag uma G-graduação
tem-se trivialmente que as matrizes Eij , com 1 ≤ i ≤ j ≤ n,
G-graduação.
Considere
elementar. Por
são homogêneas
Cap. 1- R-Módulos e o Radical de Jacobson
18
A recíproca do exemplo acima é válida, será demonstrada na proposição abaixo e
desempenhará um importante papel futuramente.
Proposição 1.2.14
as matrizes unitárias
Sejam
Eij ,
G
com
A = U Tn = ⊕g∈G Ag uma G-graduação. Se
1 ≤ i ≤ j ≤ n, são homogêneas então a G-graduação é
um grupo e
elementar.
Demonstração:
que
Eii2 = Eii ,
Sejam
1≤i≤j ≤n
e
1
o elemento neutro do grupo
pelo Exemplo 1.2.4, tem-se que
homogênea, seja
hi ∈ G tal que Ei(i+1) ∈ Ahi .
Eii ∈ A1 .
Seja
G
Ademais, como
. Desde
Ei(i+1)
é
g1 = 1 e, indutivamente, gi+1 = gi hi .
Uma vez que
Eij = Ei(i+1) . . . E(j−1)j ∈ Ahi . . . Ah(j−1) ⊂ Agi−1 gj ,
concluímos que a
G-graduação
é elementar.
Denição 1.2.15
Sejam
G
um grupo,
A = ⊕g∈G Ag
e
A′ = ⊕g∈G A′g
duas álgebras
G-graduadas.
φ : A → A′ é um homomorsmo G-graduado
′
se verica φ(Ag ) ⊂ Ag , para todo g ∈ G. Analogamente, denimos endomorsmo, isomorsmo e automorsmo G-graduado. No caso de um isomorsmo
G-graduado, ocorre que φ(Ag ) = A′g .
(i) Um homomorsmo de álgebras
(ii) Dizemos que duas
A são isomorfas quando existe
φ(Ag ) = A′g , para todo g ∈ G.
1.3
A = ⊕g∈G A′g na mesma álgebra
automorsmo φ : A → A G-graduado, isto é,
G-graduações A = ⊕g∈G Ag
R-Módulos
um
e
e o Radical de Jacobson
Ao longo dessa seção, quando usarmos a palavra anel, estaremos nos referindo a
um anel associativo e com unidade, que será designada por
apresentar o cenceito de módulo sobre um anel
radical de Jacobson de
Denição 1.3.1
R
1.
No que segue, iremos
e também o importante conceito de
R.
R-módulo à direita um grupo abeliano (M, +, 0), munido de uma aplicação de M ×R em M , que a cada par (x, a) ∈ M ×R
associa xa ∈ M e satisfaz:
Seja
R um anel.
Denimos como
(i)
(x + y)a = xa + ya
(ii)
x(a + b) = xa + xb
(iii)
x(ab) = (xa)b
(iv)
x.1 = x
para quaisquer
x, y ∈ M
e
a, b ∈ R.
Dene-se de forma similar o conceito de
Observação 1.3.2
conceito de
Se o anel
R-espaço
19
R
R-módulo
à esquerda.
R-módulo
for um corpo, o conceito de
reduz-se ao
vetorial.
Observação 1.3.3 (Módulos sobre Álgebras)
A uma álgebra associativa com
unidade. Também podemos denir o conceito de A-módulo M sobre a álgebra A, supondo M um F -espaço vetorial. Para tanto, impomos que a aplicação M × A → M ,
Seja
além de satisfazer os quatro itens da Denição 1.3.1, também satisfaça
(v)
m(λa) = (λm)a = λ(ma),
para quaiquer
a ∈ A, λ ∈ F
e
m∈M
.
Todos os conceitos e resultados que serão apresentados em relação a módulo sobre anel
têm sua versão no contexto de módulos sobre álgebras. Na seção 1.5, concentraremos
nossa atenção no estudo dos módulos sobre a álgebra de grupo
Denição 1.3.4
F G.
R um anel e M um R-módulo à direita. Denimos o anulador
de M em R com sendo o conjunto {a ∈ R : xa = 0, ∀x ∈ M }. Analogamente, se M
for um R-módulo à esquerda, denimos anulador de M em R como sendo o conjunto
{a ∈ R : ax = 0, ∀x ∈ M }.
Sejam
Observação 1.3.5
R.
É fácil vericar que o anulador do módulo
Em geral, denotamos tal ideal por
Observação 1.3.6
M
é um ideal do anel
Ann(M ).
a ∈ R é possível
associar um endomorsmo do grupo M , a saber, fa : M → M denido por fa (x) = xa,
para todo x ∈ M . Sendo End(M ) o anel de endormorsmos de M (onde a soma é a
Observe que a Denição 1.3.1 expressa que a cada
soma usual e o produto é a composição de endomorsmos), é fácil ver que a corres-
a → fa é um homomorsmo dos
Ann(M ) = 0 (neste caso M é dito módulo
End(M ).
pondência
anéis
el),
R
End(M ). Note ainda que se
tem-se que R está imerso no anel
e
Exemplo 1.3.7
20
(M, +, 0) pode ser visto como um
Z-módulo (à direita ou à esquerda). Com efeito, sejam n ∈ Z e x ∈ M . Se n > 0, dena xn = x+· · ·+x como a soma de x consigo n vezes. Se n < 0, dena xn = −(x|n|).
E se n = 0, dena x0 = 0. Essa operação de M ×Z em M torna (M, +, 0) um Z-módulo
Um grupo abeliano qualquer
à direita.
Exemplo 1.3.8
Sejam
V
um
F [x]
Considere
F -espaço
o anel de polinômios com coecientes no corpo
vetorial e
T
uma transformação linear de
V
dada por
(V, +, 0) é um F [x]-módulo com a aplicação
(a0 + a1 x + · · · + an xn )v = (a0 I + a1 T + · · · + an T n )(v).
Denição 1.3.9
Sejam
(i) Um subgrupo
N
de
R
um anel e
M
M
um
R-módulo
é um submódulo de
M
se
V . Neste
F [x] × V em
em
contexto, o grupo abeliano
V
F.
de
à direita. Dizemos que
xa ∈ N
para todo
x∈N
e todo
a ∈ R.
N de M
0 ̸= N1 ⊂ N .
(ii) Um submódulo
M
tal que
Seja
M
do módulo
R-módulo
um
M.
Diremos que
irredutível à direita
é minimal se
à direita.
M
é um
N ̸= 0
e não existe submódulo
Observe que
R-módulo
0
e
M
simples à direita
É fácil ver que um submódulo
N ⊂M
R-módulos
de
sempre são submódulos
se não admitir outros submódulos além de
análogo é denido quando estamos lidando com
N1 ̸= N
0
ou
e
R-módulo
M.
Conceito
à esquerda.
é minimal em
M
se, e somente se,
N
é
um módulo simples.
Observação 1.3.10
R-módulo M = (R, +, 0)
à direita (analogamente à esquerda) com a multiplicação do próprio anel R. Tal módulo
é chamado de R-módulo regular e será denotado por RR .
Observe que se
I
Seja
R
um anel. Podemos considerar o
é um submódulo do módulo regular
RR ,
então
I
é um ideal à direita
do anel
R e, reciprocamente, todo ideal à direita do anel R é um submódulo do módulo
regular
RR .
Exemplo 1.3.11
A = U Tn (F ) e J = {(yij ) ∈ A : ykk = 0, ∀k = {1, . . . , n}}.
Sendo W = ⟨E1n , . . . , En−1,n ⟩, é fácil ver que W J = 0 e, assim, W está contido
no anulador à esquerda Ann(J) de J em A. Por outro lado, note que Enn J = 0 e
Enn ∈
/ W . Assim, a inclusão W ⊂ Ann(J) é própria.
Sejam
Exemplo 1.3.12 (Módulo Quociente)
M um R-módulo à esquerda e N um
submódulo de M . Para todo x ∈ M/N e a ∈ R, dena ax = ax. É fácil ver que
teremos assim uma operação bem denida de R × M/N em M/N que faz de M/N um
R-módulo à esquerda. Chamamos tal R-módulo de módulo quociente de M por N .
Sejam
Denição 1.3.13
21
M e N R-módulos à esquerda (à direita). Um homomorsmo
η dos grupos abelianos M e N tal que η(ax) = aη(x) (η(xa) = η(x)a, respectivamente),
para quaiquer x ∈ M e a ∈ R é dito homomorsmo de R-módulos. Denotamos o
conjunto de todos os homomorsmos de M em N por hom(M, N ).
Sejam
ker(η)
É fácil perceber que
é um submódulo de
M
e
Im(η)
é um submódulo de
N.
Observação 1.3.14
Considerando no conjunto
hom(M, N )
morsmo, temos que
hom(M, N )
a adição usual de homo-
é um grupo abeliano, cujo elemento neutro é o homo-
hom(M, M ) a composição
de homomorsmo como "multiplicação", temos em hom(M, M ) um estrutura de anel.
Chamamos tal anel de anel de endomorsmos do módulo M e o denotamos por
End(M ).
morsmo nulo. No caso em que
M = N,
Lema 1.3.15 (Lema de Schur)
morsmo não nulo de
então
End(M )
em
M2
M1
e
M2 R-módulos
simples.
é um isomorsmo. Em particular, se
Todo homo-
M
é simples,
é um anel com divisão.
Demonstração:
Seja
submódulo próprio
η ̸= 0 um elemento de hom(M1 , M2 ).
M1
mesmo tempo, como
η
M1
Sejam
considerando em
e
M1
ker(η) = 0
é simples temos
Uma vez que
e portanto
η
ker(η) é um
é injetora. Ao
Im(η) ̸= 0, pelo mesmo motivo, devemos ter Im(η) = M2 .
Assim
é um isomorsmo e portanto inversível.
Exemplo 1.3.16 (Soma direta de módulos)
esquerda. Considere
(i)
(ii)
M = M1 × · · · × Mn .
Em
Sejam
M
M1 , . . . , Mn
R-módulos
à
dena as seguintes operações:
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
a(x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn ), a ∈ R.
Com essas operações,
Mi e será
(0, . . . , 0).
M
denotado por
R-módulo à esquerda, chamado soma direta dos módulos
M1 ⊕ · · · ⊕ Mn . Note que o elemento neutro de M é 0 =
é um
Denição 1.3.17 (Radical de Jacobson)
Jacobson de
à direita de
R,
R.
denotado por
J(R),
Seja
R
um anel. Denimos o radical de
como sendo a interseção de todos ideais maximais
22
De forma análoga, denimos o radical de Jacobson de uma álgebra
R = 0 é o anel nulo então R não possui ideais próprios.
Observe que se
estabelecemos que
J(R) = 0.
Supondo
de ideais maximas à direita em
Observação 1.3.18
um ideal da álgebra
A.
Seja
A,
A
R ̸= 0,
Neste caso,
o Lema de Zorn assegura a existência
R.
uma álgebra associativa e unitária. É claro que se
em particular
I
é um ideal do anel
A.
I
for
Agora suponhamos que
I1 seja um ideal do anel A. Armamos que I1 é um ideal da álgebra A. De fato, sendo
λ ∈ F e a ∈ I1 , temos λa = λ(1a) = (λ1)a ∈ I1 .
Por conseguinte, os ideais de A vista como álgebra ou como anel são os mesmos. Devido a isto, os fatos seguintes sobre o radical de Jacobson de anéis podem ser
aplicados ao radical de Jacobson de álgebras associativas e unitárias.
Proposição 1.3.19
(i)
(ii)
(iii)
Seja
R
um anel. Para
y ∈ R,
são equivalentes:
y ∈ J(A);
1 − yx
tem inverso à direita em
M y = {my : m ∈ M } = 0,
Demonstração:
R,
para todo
para todo
x ∈ R;
R-módulo
à direita
M
simples.
(i) ⇒ (ii) Por contradição suponhamos a existência de x ∈ R tal que
1 − yx
não seja invesível à direita. Assim, existe um ideal maximal à direita
tal que
(1 − yx)R ⊂ m.
(ii) ⇒ (iii)
m(yx − 1) = 0.
(iii) ⇒ (i)
é um
R-módulo
Decorre que
1 = (1 − yx) + yx ∈ m,
Suponhamos que existe
simples à direita, temos
e daí
Daí,
Se
(my)R = M .
Como
m
yx − 1
m ∈ M
Assim, existe
x∈R
my ̸= 0.
Desde que
de tal sorte que
m = 0,
Desde que
m
M
é
(my)x = m
o que é uma contradição.
é um ideal maximal à direita qualquer, tem-se que
à direita simples. Uma vez que
y ∈ m.
tal que
é inversível, segue
m⊂R
(R/m)y = 0,
obtemos
foi tomado arbitrariamente, segue que
M = R/m
1y = y = 0.
y ∈ J(R). É natural perguntar o que aconteceria se na denição do radical de Jacobson,
J(R), trocássemos a interseção dos ideias maximais à direita de R pelos ideais maximais
à esquerda de
R.
A resposta é que
J(R)
seria o mesmo, devido à junção das próximas
duas proposições.
Proposição 1.3.20
feita na família dos
Seja
R
um anel. Então
R-módulos
J(R) = ∩Ann(M ),
simples à direita.
onde a interseção é
Demonstração:
Pelo item
Como
M
(iii)
é um
Primeiramente, sejam
simples qualquer, temos
terseção é feita na família dos
x ∈ ∩Ann(M ),
x ∈ J(R) e M
da proposição anterior, devemos ter
R-módulo
R-módulos M
então para qualquer
modo, pela proposição anterior, temos
R-módulo
R,
tem-se que a interseção
Proposição 1.3.21
(i)
(ii)
R
Assim
J(R) ⊂ ∩Ann(M ),
M,
Por outro lado, se
tem-se
M x = 0.
o que encerra a demonstração.
J(R) é um ideal do anel R.
R-módulos simples à direita M
J(R) = ∩Ann(M )
um anel. Para todo
onde a in-
Desse
De fato,
serem ideais
também o é.
y ∈ R,
são equivalentes:
(1 − xyz) ∈ U (R), ∀x, z ∈ R.
(ii) ⇒ (i) Note que a condição (ii) acarreta que (1 − yz) tem inverso
à direita para todo
(i) ⇒ (ii)
e assim
x ∈ R.
Tomemos
Assim, temos
y ∈ J(R)
y ∈ J(R).
e sejam
(1 − xyz) = (1 − (xy)z)
x, z ∈ R.
Pela proposição anterior
para quaisquer
Exemplo 1.3.22
x, y ∈ R.
xy ∈
u.
Segue que
Logo,
(1 − xyz) ∈
tem inverso à direita, digamos
(1 − xyz)u = 1 e assim u = 1 + (xyz)u também tem inverso à direita.
U (R)
x ∈ Ann(M ).
y ∈ J(R)
Demonstração:
J(R)
Seja
R-módulo simples à direita.
M x = 0.
simples
x ∈ J(R),
em virtude de cada anulador à direita dos
um
simples à direita.
Note que o resultado precedente garante que
de
23
A = U Tn (F ) a álgebra das matrizes triangulares superiores. Se
n = 1, temos A ≃ F e assim 0 é o único ideal próprio de A, portanto é maximal. Daí
J(A) = 0. Suponhamos então n > 1. Sendo J = {(yij ) ∈ A : yii = 0, ∀i = 1, . . . , n},
armamos que J(A) = J . Com efeito, seja Y = (yij ) ∈ J(A) e suponhamos por
contradição que y11 ̸= 0 (os demais casos são resolvidos de forma análoga). Denindo
−1
X = (xij ) ∈ A como x11 = y11
e xij = 0 se (i, j) ̸= (1, 1), temos que C = (cij ) =
(Id − XY ) satisfaz c11 = 0. Logo, det C = 0, o que é uma contradição. Assim,
Y ∈ J . Tomemos agora Y ∈ J e sejam X, Z ∈ A. É facil ver que XY Z ∈ J e assim
det (Id − XY Z) = 1. Segue que (Id − XY Z) ∈ U (A). Assim Y ∈ J(A), donde temos
a inclusão J ⊂ J(A).
Seja
Aproveitando a notação do exemplo anterior, observe que
J(A) = ⟨Eij , 1 ≤ i < j ≤ n⟩.
Exemplo 1.3.23
tador de
x
com
24
A = U Tn (F ) e, para x, y ∈ A, dena [x, y] = xy − yx (comuSeja C = [A, A] = {[x, y] : x, y ∈ A}. A respeito do conjunto C ,
Seja
y ).
armamos que:
(i)
(ii)
C ̸= {0};
C ⊂ J(A).
(i), basta notar que 0 ̸= [Ek,k+1 , Ekk ] = −Ek,k+1 ∈ [A, A], para todo
k = 1, . . . , n − 1. Para justicar (ii), é suciente perceber que para quaiquer x, y ∈ A,
a matriz [x, y] tem diagonal nula.
Para justicar
Proposição 1.3.24
Sejam
R
um anel e
u ⊂ J(R)
um ideal de
R.
Então,
J(R/u) =
J(R)/u.
Demonstração:
A demonstração é simples e pode ser encontrada na página 51 do
livro [L].
Proposição 1.3.25
Demonstração:
R
um anel e
I
um ideal de
R.
Então,
J(I) = I ∩ J(R).
Pode ser encontrar na página 16 de [H].
Consideremos
ideal bilateral de
Sejam
A = U Tn (F )
U Tn (F ).
e
W = ⟨E1n , . . . , En−1,n ⟩.
É fácil ver que
W
é um
Consideremos nesse contexto a projeção canônica
ρ : A −→
A/W
a 7−→ a = a + W.
Podemos associar a cada elemento de
U Tn−1 (F )
um elemento de
U Tn (F )
preen-
chendo a última coluna e a última linha com zeros e, reciprocamente, a cada matriz
de
U Tn (F )
cuja última coluna e última linha são formadas por zeros, está bem de-
nida uma matriz correspondente em
U Tn (F ).
U Tn−1 (F ).
Assim,
U Tn−1 (F )
está imersa em
Nesse sentido, por vezes, cometeremos um abuso de notação escrevendo
U Tn−1 (F ) ⊂ U Tn (F ).
Exemplo 1.3.26
Aproveitando a notação introduzida anteriormente, é fácil ver que
A/W = ρ(U Tn−1 ) ⊕ C
onde
C = ρ(⟨Enn ⟩).
Observemos que
W ⊂ J(A).
Agora
notemos que:
J(A/W ) = J(A)/W = {I + W : I ∈ J(A)} = {I ′ + W : I ′ ∈ J(U Tn−1 )} =
ρ(J(U Tn−1 )).
Cap. 1- Representações Lineares de Grupos
25
U Tn−1 ≃ ρ(U Tn−1 ) e isomorsmo preserva ideais
ρ(J(U Tn−1 )) = J(ρ(U Tn−1 )). Portanto, J(A/W ) = J(ρ(U Tn−1 )).
Desde que
maximais, tem-se
Ressaltamos que na seção 2.2, o exemplo acima será sobremaneira importante.
1.4
Representações Lineares de Grupos
Na presente seção objetivamos fazer uma breve exposição de resultados da impor-
tante Teoria das Representações Lineares de Grupos. Tais resultados serão fundamentais para o estabelecimento da dualidade entre
álgebra
A e G-ações sobre A.
G-graduações abelianas e nitas em uma
Seremos o mais breve possível em nossa apresentação, nos
limitando à exposição dos fatos que nos serão úteis. Para um maior aprofundamento
no estudo das Representação de Grupos, recomendamos os livros [CR] e [S].
Usaremos a notação
vetorial
corpo
V
e
GLn (F )
GL(V ) para representar o grupo dos automorsmos do espaço
para representar o grupo das matrizes
n×n
inversíveis sobre o
F.
Denição 1.4.1
G
Sejam
presentação linear de
G
em
um grupo e
V
V
um
F -espaço
vetorial. Denimos uma re-
como sendo um homomorsmo de grupos
φ : G −→ GL(V )
.
g 7−→ φ(g) = φg
Sendo
φ : G → GL(V )
uma representação linear, denimos o grau desta repre-
V.
sentação como sendo a dimensão de
injetora. Sendo a dimensão de
em
e
V
V
nita, podemos ver uma representação linear de
como sendo um homomorsmo
GLn (F )
Dizemos que uma representação é el se é
G
φ : G → GLn (F ), uma vez que os grupos GL(V )
são isomorfos.
Quando queremos deixar explícito que estamos considerando o corpo
a nomenclatura
F -representação
Exemplo 1.4.2
Sendo
G
ou representação linear sobre
um grupo e
V
um
F -espaço
F,
usamos
F.
vetorial qualquer, a representa-
ção linear
φ : G −→
GL(V )
g 7−→ φ(g) = IdV
é chamada de
representação trivial.
Supondo que
denir esta representação da seguinte forma
dim V = n
é nita, podemos
26
φ : G −→ GLn (F )
,
g 7−→ φ(g) = In
onde
In
é a matriz identidade
Exemplo 1.4.3
Seja
C∞
mos
n × n.
o grupo cíclico innito. Sendo
g
um gerador de
C∞ ,
deni-
φ : C∞ −→
gn
GL[2 (R) ]
1 n
7−→ φ(g n ) =
.
0 1
Esta é uma representação de grau 2.
Exemplo 1.4.4
φ : G → GL(V ) uma representação linear. Tal representação
induz no espaço vetorial V uma estrutura de F G-módulo à direita. De fato, denindo vg = vφ(g) (vφ(g) denota a avaliação da transformação φ(g) no vetor v ) onde
v ∈ V, g ∈ G, tem-se que V pode ser visto como F G-módulo à direita. Reciprocamente,
sendo V um F G-módulo à direita e g ∈ G, denindo a aplicação φ(g) : V → V por
mφ(g) = mg , segue que a correspondência g → φ(g) dene uma representação do
grupo G no F -espaço vetorial V . Por esta razão, dizemos que o espaço vetorial V é o
módulo da representação φ.
Seja
Denição 1.4.5
de um grupo
G
φ : G → GL(V ) e ϕ : G → GL(V ′ ) representações lineares
W ⊂ V um subespaço vetorial φ(g)-invariante, para todo g ∈ G.
Sejam
e
Dizemos que
(i) As representações
θ :V →V′
φ e ϕ são equivalentes (ou isomorfas) se existe um isomorsmo
de espaços vetoriais tal que:
(θ ◦ φ(g))(v) = (ϕ(g) ◦ θ)(v),
para quaisquer
ψ : G → GL(W ) denida
sub-representação de φ. Se W for um
sub-representação ψ é dita própria.
(ii) A aplicação
(iii) A representação
φ
φ
ψ(g) = φ(g)|W : W → W
subespaço de V diferente de 0
É claro que toda representação de grau 1 é irredutível. Se
Sendo
é uma
e
V,
a
é redutível.
De fato, suponhamos
dim V ≥ |G|.
g ∈ G.
por
grupo nito (não trivial), então toda representação de
é redutível.
e
é irredutível se não admitir sub-representações próprias. Caso
contrário, dizemos que
Exemplo 1.4.6
v∈V
v0 ∈ V
φ : G → GL(V )
G
G
é um
de grau maior ou igual a
|G|
uma representação linear, onde
um vetor não nulo, temos que
W = ⟨φg (v0 ) : g ∈ G⟩
27
φ-invariante de V , com dim W ≤ |G|. Supondo
φ irre⟨∑
⟩
dutível, temos que
g∈G φg = 0 (pois para cada w ∈ V , o subespaço
g∈G φg (w)
é φ-invariante) e daí o conjunto {φg (v0 ) : g ∈ G} é linearmente dependente. Logo,
dim W < |G|, o que é uma contradição.
é um subespaço não nulo e
∑
Teorema 1.4.7
Então toda
Sejam
G
um grupo abeliano e
F -representação
Demonstração:
Sejam
V
G
de
um representação irredutível. Se
φg
vetorial, com
g0 ∈ G
φ
tal que
é irredutível, decorre que
φ g0
0 ̸= W ̸= V .
V
é
φ-invariante.
dim V = 1.
λ∈F
Dado
autovalor de
g ∈ G,
da identidade para todo
g ∈ G,
Denição 1.4.8
G
temos
φ g0
Neste caso, levando
e o autoespaço
gg0 = g0 g
Sejam
g ∈ G,
e assim
W
F
associado a
φg φg0 = φg0 φg .
Logo
φg
é alge-
um grupo e
φ : G → GL(V )
φ é completamente redutível
de V φ-invariantes tais que:
λ
é
Logo,
deve ser múltiplo
concluindo a demonstração.
Dizemos que
(i)
φ : G → GL(V )
Suponhamos então que exista
φg (W ) ⊆ W , o que contradiz a hipótese de φ ser irredutível.
subespaços
nita, e
não seja múltiplo escalar da identidade. Uma vez que
bricamente fechado, existe
tal que
dim V
é múltiplo escalar da identidade para todo
segue-se que todo subespaço unidimensional de
em conta que
um corpo algebricamente fechado.
irredutível de grau nito tem grau 1.
F -espaço
um
F
uma representação linear
(ou semissimples) se existem
W1 , . . . , Wn
V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wn .
(ii) As restrições de
Exemplo 1.4.9
ordem
2.
φ
Sejam
aos
F
Wi 's
são todas irredutíveis
um corpo de característica
2
e
G = {1, g}
um grupo de
Denindo
T :
F 2 −→
F2
(x, y) 7−→ T (x, y) = (x + y, y)
temos que a representação linear
φ : G −→ GL(F 2 )
g 7−→ φ(g) = T
não é completamente redutível, uma vez que
invariante de
F
2
.
W = ⟨(1, 0)⟩
é o único subespaço
φ-
Cap. 1- Representações e F G-módulos
Teorema 1.4.10 (Maschke 1)
28
G um grupo nito cuja ordem não é divisível
pela característica do corpo F . Se φ : G → GL(V ) é uma representação linear de grau
nito e W é um subespaço φ-invariante de V , então existe W1 subespaço φ-invariante
de V tal que V = W ⊕ W1 . Consequentemente, φ é completamente redutível.
Demonstração:
Seja
dim V
Do teorema acima decorre que se
|G|,
então
φi = φ|Wi
considere
V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wn ,
é nita e a característica de
Wi
onde cada
é irredutível. Nesse contexto, seja
Bi (g) = [φi (g)]βi ,
uma base de
V
para todo
g ∈ G.
φ-invariante
é
βi
uma base de
Sendo
0
Wi ,
para
lineares do grupo
G
e os
um grupo,
em
V.
V
B2 (g) · · ·
0
.
.
.
..
0
0
. . . Bn (g)
.
.
.
.
Considerando o produto
)
w ∈ W.
V φ-invariante,
Uma vez que
G
V
um
tem-se
φ : G → GL(V )
· : FG × V → V
λg g · v =
verica-se que este produto faz de
um subespaço de
F -representações
A partir disso, extrairemos importantes infor-
um espaço vetorial e
g∈G
e
é
F G.
(∑
g∈G
β
temos que



.



.
.
.
F G-módulos.
mações sobre álgebra de grupo
G
e

0
0
Nesta seção, objetivamos estudar a forte relação existente entre as
linear de
i = 1, . . . , n
F G-módulos
Representações e
G
não divide
e a sub-representação
β = β1 ∪ · · · ∪ βn ,
···
B1 (g)



[φ(g)]β = 



Sejam
F
e que

1.5
Pode ser encontrada no capítulo 2, seção 6, de [L].
∑
g∈G
uma representação
denido por
λg φg (v),
F G-módulo
à esquerda. Além disso, se
φg (w) ∈ W
e daí
é uma base de
F G,
g · w ∈ W,
segue que
W
W
para quaisquer
é um submódulo do
F G-módulo V .
Reciprocamente, considere
V
um
ψg : V
v
F G-módulo
−→
à esquerda. Sendo
V
7−→ ψg (v) = gv
.
é
g ∈ G,
dena
ψg1 g2 = ψg1 ◦ ψg2 ,
Ocorre que
ψg−1 ◦ ψg = IdV
e assim
29
para quaisquer
ψg ∈ GL(V ).
g1 , g2 ∈ G
Daí,
ψg ◦ ψg−1 =
é um submódulo do
F G-módulo
e
ψ1 = IdV .
A aplicação
ψ : G −→ GL(V )
7−→
g
é então uma representação linear de
V,
então
α · w ∈ W,
ψg (w) ∈ W ,
para quaisquer
g∈G
para qualquer
e
G
ψg
V.
em
Se
α ∈ FG
e
w ∈ W.
Logo,
W
w ∈ W.
W
Em particular,
é um subespaço
g·w ∈ W
e daí
ψ -invariante
de
V.
Por meio das constatações acima, vemos que existe uma correspondência biunívoca entre as estruturas de
de
G
em
F G-módulo
à esquerda em
V
e as representações lineares
V.
Passemos ao próximo resultado.
Proposição 1.5.1
de
G.
(i)
Sejam
φ : G → GL(V )
e
ψ : G → GL(W )
representações lineares
Valem:
φ
e
ψ
são equivalentes se, e somente se, os respectivos
F G-módulos V
e
W
são
isomorfos.
(ii)
φ
é irredutível se, e somente se, o respectivo
Demonstração:
(i)
Supondo que
morsmo (de espaços vetoriais)
Logo, considerando os
φ
e
ψ
e
é irredutível.
são equivalentes, temos que existe um iso-
T :V →W
F G-módulos V
F G-módulo V
W
satisfazendo
ψg T = T φg
para todo
g ∈ G.
correspondentes, temos
T (gv) = T (φg (v)) = ψg (T (v)) = gT (v),
para quaiquer
temos
g∈G
e
T (αv) = αT (v),
v ∈ V.
Mais ainda, como
para quaisquer
α ∈ FG
e
T
é linear e
v ∈V.
Logo,
G
T
é uma base de
F G,
é um isomorsmo de
F G-módulos.
Por outro lado, suponhamos que
módulos. Assim,
para quaiquer
T
T : V → W
seja um isomorsmo de
é uma transformação linear bijetora que satisfaz
α ∈ FG
e
v ∈V.
F G-
T (αv) = αT (v),
Logo,
(T φg )(v) = T (φg (v)) = T (gv) = gT (v) = ψg (T (v)) = (ψg T )(v)
e portanto
(ii)
dente a
T φg = ψg T
para todo
g ∈ G,
30
donde
φ
e
ψ
são equivalentes.
Pelo que vimos anteriormente, os submódulos do
φ
são exatamente os subespaços de
Lema 1.5.2
Sejam
A
M
e
N
correspon-
Daí, segue o resultado.
A-módulos.
dois
M . Se M1 , M2 , . . . , Mn são submódulos irredutíveis de M tais que M = M1 ⊕ M2 ⊕ · · · ⊕ Mn , então existem
j1 , . . . , jl ∈ {1, 2, . . . , n} tais que M = N ⊕ Mj1 ⊕ · · · ⊕ Mjl .
(i) Suponha que
N
uma álgebra e
φ-invariantes.
F G-módulo V
é um submódulo próprio de
N é um submódulo próprio de M . Se N1
M = N ⊕ N1 = N ⊕ N2 , então N1 ≃ N2 .
(ii) Suponha que
M
tais que
e
N2
são submódulos de
M e N são A-módulos isomorfos. Se M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn e
N = N1 ⊕ · · · ⊕ Nm , onde Mi e Nj são submódulos minimais de M e N , respectivamente, então n = m e Mi ≃ Ni para todo i = 1, . . . , n (reordenando os Ni 's,
(iii) Suponha que
se necessário).
Demonstração:
Decorre da proposição precedente que se uma representação
completamente redutível, então a decomposição de
φ-invariantes,
Pode ser encontrada na seção 3.5 de [J].
V
φ : G → GL(V )
é
em soma direta de subespaços
com as respectivas sub-representações irredutíveis, é única, a menos de
ordem dos subespaços e equivalência das sub-representações.
Agora consideramos
terística do corpo
F.
G
um grupo nito cuja ordem não é divisível pela carac-
Pelo Teorema 1.4.10, toda representação de
G
de grau nito é
completamente redutível.
Considere a representação linear
ρ : G −→ GL(F G)
7−→
g
onde
ρg : F G → F G
é denida por
representação regular à esquerda de
ρg
ρg (α) = gα.
G.
Tal representação é el e corresponde ao
módulo regular. Observe então que os subespaços
os ideaIs à esquerda de
F G.
Chamamos esta representação de
F G-
ρ-invariantes de F G são exatamente
Desse modo, decorre do Teorema de 1.4.10 que se
W
é
F G,
um ideal à esquerda de
F G = W ⊕ W1 .
então existe
W1
31
também ideal à esquerda de
Notando que os ideais minimais à esquerda de
às sub-representações irredutíveis de
ρ,
FG
FG
tal que
correspondem
pelo Teorema 1.4.10, segue-se que
FG
é uma
soma direta de uma quantidade nita de ideais minimais à esquerda.
Lema 1.5.3
de
F G.
Todo
F G-módulo
irredutível é isomorfo a um ideal minimal à esquerda
Em outras palavras, toda representação linear irredutível de
uma sub-representação da representação regular à esquerda de
Demonstração:
F Gv0 = V
Seja
V
um
F G-módulo
e assim o homomorsmo de
G
é equivalente a
G.
irredutível e xemos
v0 ∈ V − {0}.
Temos
F G-módulos
T : F G −→
V
7−→ T (α) = αv0
α
é sobrejetivo.
Tomando
I
T1
T
restrição
e
I
de
a
I.
Não é difícil mostrar que
é um ideal minimal à esquerda de
Lema 1.5.4
Sejam
morfos como
F G-módulos
Demonstração:
W
I
Seja
ideal à esquerda de
que
1 = α1 + w1 .
xw1 = 0.
Logo
F G tal que F G = I ⊕ ker(T ), consideremos a
um ideal à esquerda de
e
J
T1
é um isomorsmo de
F G.
F G. Então, I e J
α ∈ F G tal que J = Iα.
ideais minimais à esquerda de
se, e somente se, existe
φ:I→J
FG
um isomorsmo de
tal que
FG = I ⊕ W.
Assim, para qualquer
x ∈ I,
φ(x) = φ(xα1 ) = xφ(α1 ).
Reciprocamente, supondo
J = Iα,
F G-módulos.
Daí existem
temos
Sendo
J
x 7−→ α(x) = xα
φ
é um isomorsmo de
Sabemos que existe
α1 ∈ I
x = xα1 + xw1
α = φ(α1 ),
são iso-
teremos
e
w1 ∈ W
tais
e daí devemos ter
J = Im(φ) = Iα.
denamos
φ : I −→
É fácil ver que
F G-módulos
.
F G-módulos.
Nas hipóteses apresentadas, um fato conhecido é que
G
nita (a menos de equivalência) de representação irredutíveis.
tem uma quantidade
Seja
m
o número de
Cap. 1- Caracteres
32
representações irredutíveis (a menos de isomorsmo) de
minimais à esquerda de
G.
Tomemos
I1 , . . . , Im
ideias
F G dois a dois não isomorfos como F G-módulos e dj = dimF Ij .
Observe então que todo ideal minimal à esquerda de
FG
é isomorfo como
F G-módulo
a exatamente um deles.
j = 1, . . . , m,
Para cada
1.5.4, temos que
FG
Jj
Jj = Ij F G.
consideremos o ideal bilateral
Do Lema
é exatamente a soma de todos os ideais minimais à esquerda de
isomorfos (como
F G-módulos)
a
Ij .
Nesse espírito, temos o seguinte resultado.
Proposição 1.5.5
m o número de representações irredutíveis (a menos de equivalância) de G. Sejam I1 , I2 , . . . , Im ideais minimais à esquerda dois a dois não isomorfos como F G-módulos e dj = dimF Ij . Para cada j = 1, . . . , m, se Jj = Ij F G,
então F G = J1 ⊕ J2 ⊕ · · · ⊕ Jm .
Demonstração:
que a soma
xj ∈ Jj .
Seja
É fácil ver que
J1 + J2 + · · · + Jm
F G = J1 + J2 + · · · + Jm .
é direta. Suponhamos que
Sem perder generalidade, suponha que
à esquerda de
FG
contido em
I ⊂ Jm ∩ (J1 + · · · + Jm−1 ).
(F G)xm .
Segue que
I
concluímos que
x1 = · · · = xm−1 = 0.
Teorema 1.5.6
Se
F
Im
e também a
Devemos então ter
Portanto temos
de
para algum
F G = J1 ⊕ J2 ⊕ · · · ⊕ Jm .
G,
então:
F -representações
lineares irredutíveis de
G
é nito, a menos de
G.
d1 , d2 , . . . , dm são os graus das F -representações irredutíveis (não equivalentes)
G, então |G| = d21 + d22 + · · · + d2m .
Demonstração:
1.6
Ij
temos
xm = 0 e analogamente
equivalência, e é igual ao número de classes de conjugação de
(ii) Se
um ideal minimal
xm ∈ Jm ∩ (J1 + · · · + Jm−1 ),
é isomorfo a
onde
é um corpo algebricamente fechado cuja característica não divide
a ordem de um grupo nito
(i) O número de
x1 + x2 + · · · + xm = 0,
xm ̸= 0 e considere I
Como
j ∈ {1, . . . , m−1}, o que é uma contradição.
No que segue, provaremos
Pode ser encontrada em [H], da página 127 até 129.
Caracteres
Reservamos esta seção exclusivamente para a apresentação do conceito de caracter
de um grupo
G.
A abordagem será concisa, e priorisará o que será importante para o
Cap. 1- Caracteres
33
andamento da dissertação.
Denição 1.6.1
G.
φ : G → GL(V ) uma representação de dimensão nita do grupo
Seja
Chamamos
χφ : G → F
(i) A aplicação
dada por
χφ (g) = tr(φ(g)), g ∈ G
de caracter de
(ii) O caracter
χφ
φ.
de irredutível se a representação
φ
Em alguns momentos, usaremos apenas o símbolo
Exemplo 1.6.2
Se as representações
φ(g) = P
ψ(g)P .
teres iguais).
χφ = χψ
Logo,
χ
para denotar o caracter
ψ : G → GL(V ′ )
′
vetorias P : V → V tal
φ : G → GL(V )
equivalentes, então existe um isomorsmo de espaços
−1
for irredutível.
e
χφ .
são
que
(ou seja, representações equivalentes têm carac-
Por outro lado, para quaisquer
g, x ∈ G,
tr(φ−1 (x)φ(g)φ(x)) = tr(φ(x−1 gx)) = χ(x−1 gx).
χ(g) = tr(φ(g)) =
dizemos que χ é uma
temos
Devido a isso,
função de classe.
Seja
φ : G → GL(V )
Então existem
· · · ⊕ Wm
uma representação completamente redutível de grau nito.
W1 , . . . , Wm
subespaços de
e cada sub-representação
φj
V φ-invariantes
é irredutível. Sendo
tais que
βj
j = 1, . . . , m e β = β1 ∪β2 ∪· · ·∪βm , temos que a matriz [φg ]β
cada
g ∈ G.
Sendo
χj
o caracter da representação
Mais geralmente, qualquer caracter do grupo
G
φj ,
V = W1 ⊕ W2 ⊕
uma base de
Wj ,
para
é diagonal em blocos para
devemos ter
χ = χ1 + · · · + χm .
pode ser decomposto como soma de
caracteres irredutíveis, como atesta a próxima proposição.
Teorema 1.6.3
Todo caracter de um grupo
Demonstração:
G
é uma soma de caracteres irredutíveis.
Pode ser encontrada na página 126 de [H].
Observação 1.6.4
irredutíveis de
G
Sendo
G
é nito.
resultado anterior que dado
um grupo nito, temos que o número de
Sendo
χ
um
χ1 , . . . , χm
F -caracter
F -caracteres
esses caracteres irredutíveis, segue do
de
G,
existem
negativos tais que
χ = n1 χ1 + · · · + nm χm .
n1 , . . . , n m
inteiros não
Cap. 1- Caracteres
34
Teorema 1.6.5 (Relações de ortogonalidade)
φ : G → GL(V ) e ψ : G → GL(W )
res χ1 e χ2 , respectivamente. Então:
(i) Se
φ
(ii) Se
F
∑
F
um
grupo
G,
representações irredutíveis de
∑
são não equivalentes, então
g∈G
nito
e
com caracte-
χ2 (g −1 )χ1 (g) = 0.
é algebricamente fechado e a característica de
F
não divide
|G|,
então
−1
χ1 (g )χ1 (g) = |G|.
g∈G
(iii) Se
ψ
e
G
Sejam
é algebricamente fechado, a característica de
não divide
|G|
e
φ
e
ψ
não
χ1 ̸= χ2 .
são equivalentes, então
Demonstração:
F
Pode ser encontrada na seção 5 do capítulo 18 de [L].
.
Como corolário do último resultado, extraímos os seguintes fatos.
Corolário 1.6.6
(i) Se
η
η
F
um corpo de característica zero e
é um caracter de
é um caracter de
(iii) Caracteres de
Demonstração:
então
∑
g∈G
um grupo nito, valem:
η(g −1 )η(g) = q|G|
para algum inteiro
f
G
tal que
∑
g∈G
η(g −1 )η(g) = |G|,
então
η
é irredutível.
F -representações irredutíveis e não equivalentes de G são distintos.
Pode ser encontrada na seção 5 do capítulo 18 de [L].
Observação 1.6.7
de classe se
G,
G
q ∈ F.
positivo
(ii) Se
Sendo
Dizemos que uma função
f
tendo
G
como domínio é uma função
é constante em cada classe de conjugação de
vetorial de todas as funções de classe de
G
em
F
.
G.
Podemos
C(G) o espaço
denir em C(G) um
Seja
produto interno da seguinte maneira:
(χ, ψ) =
Pelo que já vimos, se
0,
ou seja,
χ1
e
χ2
Proposição 1.6.8
grupo
de
G,
G.
1
|G|
χ1
e
∑
g∈G
χ2
χ(g)ψ(g −1 )
para quaisquer
χ, ψ ∈ C(G).
são caracteres irredutíveis distintos de
G, então (χ1 , χ2 ) =
são ortogonias em relação a este produto interno.
F um corpo cuja característica não divide a ordem de um
C = {χ1 , χ2 , . . . , χh } o conjunto dos F -caracteres irredutíveis
Sejam
Considerando
temos:
(i) Se
F
é algebricamente fechado, então
(ii) Se a caracterísrica de
i = 1, . . . , h.
F
(χi , χi ) = 1
é zero, então
(χi , χi )
para todo
i = 1, . . . , h.
é um inteiro positivo para todo
Cap. 1- Caracteres
35
(iii) Se a característica de
subconjunto de
Demonstração:
C(G)
Os itens
F
é zero ou
é algebricmente fechado, então
C
é um
linearmente independente.
(i)
e
(ii)
seguem das relações de ortogonalidade.
(iii) Suponhamos λ1 , . . . , λh ∈ F
i ∈ {1, 2, . . . , h},
F
tais que
0 = λ1 χ1 + · · · + λh χh .
Fixado qualquer
segue que
0 = (λ1 χ1 + · · · + λh χh , χi ) = λ1 (χ1 , χi ) + · · · + λh (χh , χi ) = λi (χi , χi ),
Fixemos
F
um corpo algebricamente fechado cuja característica não divida
|G|.
Neste contexto, a propriedade essencial do produto interno denido anteriormente é
que os caracteres irredutíveis de
G
formam uma base ortonormal para
efeito, o fato de o conjunto de caracteres irredutíveis
C(G).
Com
C = {χ1 , . . . , χk } ser um conjunto
ortonormal decorre trivialmente da proposição acima. Não é difícil ver que a dimensão
de
C(G)
é igual ao número de classes de conjugação de
G
de conjugação de
um conjunto LI em
G.
Mas, o número de classes
coincide com o número de caracteres irredutíveis. Desde que
C(G),
C
é
temos justicada a armação.
Já sabemos que representações equivalentes têm caracteres iguais.
O próximo
resultado se refere à recíproca deste fato.
Teorema 1.6.9
lineares de um
F é um corpo de característica zero, então duas F -representações
grupo G que têm o mesmo caracter são equivalentes.
Se
Demonstração:
Exemplo 1.6.10
Consideremos
G = ⟨g⟩
um grupo cíclico de ordem
algebricamente fechado. Desde que o corpo
raiz primitiva de
sobre
x −1
n
F
n
e
F
um corpo
r∈F
irredutíveis de G
é algebricamente fechado, existe
. Nosso objetivo é exibir todos os caracteres
F.
j = 0, . . . , n − 1, dena a aplicação φj : G → GL(F ) por φj (g k ) =
Tjk : F → F , onde Tjk (1) = rjk . Claramente, φj é uma representação irredutível
de G. Não é difícil ver que se i ̸= j , tem-se que φi e φj não são isomorfas. Uma
vez que G tem n representações irredutíveis sobre F (pois o número de representações
irredutíveis de G é |G| = n), tem-se que φ0 , . . . , φn−1 são, a menos de isomorsmo,
todas as F -representações irredutíveis de G.
Para todo
Cap. 1- Caracteres
36
G
Logo, os caracteres irredutíveis de
sobre
F
χj (g k ) = tr(Tjk ) = rjk
são
para
j = 0, . . . , n − 1
Extraindo a ideia do exemplo acima, podemos adaptar o argumento para determinar todos os caracteres irredutíveis e não isomorfos de um grupo
G
abeliano e
nito. De fato, pelo Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, todo grupo
abeliano e nito pode ser escrito como produto direto de grupos cíclicos.
G = H1 × · · · × Hl ,
podemos escrever
nj ,
para todo
Para cada
j = 1, . . . , l.
Neste caso,
t = 1, . . . , l.
G
onde
rt
deve ter
é um grupo cíclico de ordem
n1 · · · nl
caracteres irredutíveis.
dena
χp1 ···pl : G → F
por
xnt − 1,
para
é uma raiz primitiva do polinômio
Tais aplicações são os
Vamos denotar por
de
G
p1 = 0, . . . , n1 − 1; . . . ; pl = 0, . . . , nl − 1,
χp1 ···pl (g1i · · · glj ) = r1ip1 · · · rljpl ,
todo
Hj = ⟨gj ⟩
onde
n1 · · · nl
Por isso,
caracteres irredutíveis de
G.
b o conjunto dos caracteres irredutíveis das F -representações
G
exibidas no exemplo acima.
Proposição 1.6.11
Sejam
G
um grupo abeliano e nito e
F
um corpo algebricamte
fechado. Então:
(i) O conjunto
(ii) Os grupos
b
G
G
Demonstração:
grupo
G
é um grupo com a operação
e
b
G
χi χj (g) = χi (g)χj (g)
para todo
g ∈ G.
são isomorfos.
Por simplicidade de notação, faremos a demonstração supondo o
cíclico de ordem
n,
isto é,
G = ⟨g⟩,
com
g n = 1.
Também adotaremos a
notação do Exemplo 1.6.10 para os caracteres irredutíveis listados anteriormente. Observe inicialmente que para quaisquer
χi, χj , a aplicação χi χj
logo temos uma operação bem denida em
χi χj = χj χi .
Agora note que
χ0
b.
G
é um caracter irredutível,
Ademais, sendo
G
abeliano, tem-se
é elemento neutro para essa operação, pois
χ0 χj (g k ) = χ0 (g k )χj (g k ) = r0k χj = χj (g k ).
Por m, sendo
b,
χi ∈ G
é fácil ver que
Provaremos agora que os grupos
χn−i
G
e
é o inverso de
b
G
χi
na operação denida.
são isomorfos. Para isso, basta vericar
que a aplicação
b
θ : G −→ G
g i 7−→ χi
é um isomorsmo.
Cap. 1- Anéis Semissimples
Exemplo 1.6.12
37
A um F -álgebra, com F algebricamente fechado e de caracb,
terística zero e A = ⊕g∈G Ag uma G-graduação abeliana e nita. Para todo χ ∈ G
∑
∑
sendo a =
ag ∈ A, denamos a aplicação χA : A → A dada por χA (a) =
χ(g)ag .
Armamos que χA ∈ Aut(A). Inicialmente, perceba que a restrição de χA a cada
subespaço Ag está bem denida e, além disso, é um isomorsmo de espaços vetoriais.
Assim, desde que A = ⊕g∈G Ag , decorre que χA é um operador linear inversível do
espaço vetorial A. Dados a, b ∈ A, armamos que χA (ab) = χA (a)χA (b). De fato,
note que ag bh ∈ Agh para quaisquer g, h ∈ G. Fixados g, h ∈ G, vamos denotar por
c o produto ag bh . Devemos ter χA (ag bh ) = χA (c) = χ(gh)c = (χ(g)χ(h))(ag ah ) =
(χ(g)ag )(χ(h)bh ) = χA (ag )χA (bh ).
∑
∑
∑
Mais geralmente, se a =
ag e b =
bh temos ab =
ag bh . Assim, χA (ab) =
∑
∑
∑
∑
χA ( ag bh ) =
χA (ag bh ) =
χA (ag )χA (bh ) = (χ(g)ag )(χ(h)bh ) = χA (a)χA (b).
Logo, χA ∈ Aut(A).
b ⊂ Aut(A). VericaCometendo um abuso de notação, escreveremos χA = χ e G
b é um subgrupo abeliano do grupo Aut(A).
se que o conjunto de operadores G
1.7
Sejam
Anéis Semissimples
Para a elaboração desta seção, utilizamos como referência principal o capítulo
1
do livro [H]. As demonstrações omitidas dos resultados ora apresentados podem ser
encontradas nesta referência.
Novamente ressaltamos que, no que segue, sempre estaremos considerando
R
um
anel associativo e com unidade.
Denição 1.7.1
Seja
R
um anel. Dizemos que
(i)
R
é semissimples se
J(R) = 0.
(ii)
R
é Artiniano (Noetheriano) à direita se toda cadeia decrescente (crescente, res-
pectivamente) de ideais à direita
R
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . (I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . .)
é estacionária, ou seja, existe
(iii)
R
é um anel simples se
(iv) Um ideal
I
Exemplo 1.7.2
maximal. Desse
de
R
R
n0 ∈ N
In = In0
para todo
n ≥ n0 .
não possui ideais não triviais.
é nilpotente se existe
F um corpo. Temos
modo, J(F ) = 0 e assim F
Seja
tal que
n∈N
que
0
tal que
I n = 0.
é o único ideal próprio de
F,
logo é
pode ser visto como um anel semissimples.
Exemplo 1.7.3
Sejam
R
38
um anel e
I
um ideal de
R.
I também o é. De fato, pela Proposição
J(R) = 0, segue-se que I é semissimples.
semissimples, tem-se que
J(I) = I ∩ J(R),
e como
Exemplo 1.7.4
Sendo
Consequentemente, as
R
Armamos que se
for
1.3.25, temos
A uma álgebra de dimensão nita, claramente A
F -álgebras Mn (F ), U Tn (F ) e F G são Artinianas,
é Artiniana.
sendo
G
um
grupo nito.
Para o andamento da dissertação, serão necessários alguns teoremas clássicos
da teoria de anéis não comutativos. Nos concentraremos apenas no enunciado desses
teoremas, deixando a demonstração como uma consulta à bibliograa a ser realizada
pelo leitor interessado. Cada um dos seguintes resultados, e suas respectivas provas,
podem ser encontrados no capítulo 1 de [H].
Teorema 1.7.5
(i) Se
R
Seja
R
um anel Artiniano. Tem-se:
é semissimples, então
R
é soma direta de um número nito de subanéis
simples.
(ii) Se
R
é semissimples e
então os
(iii)
J(R)
(iv) Se
(v) Se
I
R
Ai
R = A1 ⊕ · · · ⊕ Ak ,
percorrem todos os ideias minimais
é um ideal nilpotente de
é um ideal nilpotente de
idempotente tal que
simples para todo i,
R.
R,
I ̸= 0
I = eR.
é semissimples e
Ai subanel
de R.
sendo
então
I ⊂ J(R).
é um ideal à direita de
R,
então existe
e ∈ R
Outro resultado interessante é o seguinte:
Proposição 1.7.6
Os anéis
R
e
R/J(R)
têm os mesmos módulos simples à esquerda.
O teorema seguinte é clássico e, muitas vezes, se revela de grande utilidade.
Teorema 1.7.7 (Wedderburn-Artin)
Seja
R um anel Artiniano semissimples.
tão,
R ≃ Mn1 (D1 ) ⊕ · · · ⊕ Mnk (Dk ),
onde
Di
é um anel com divisão, para todo
i = 1, . . . , k .
En-
39
Demonstração:
Como consequência do que já foi enunciado, temos o seguinte resultado:
Corolário 1.7.8
Seja
A
uma álgebra semissimples de dimensão nita sobre um corpo
algebricamente fechado de característica zero. Então o número de somandos simples
de
A
é igual à dimensão do centro de
Demonstração:
A
característica zero ou
p
onde
Demonstração:
Dado
usando a notação
xTa
F G.
isomorsmo entre
(i) Se
g ̸= 1,
Seja
gj ∈ G
não divide
a ∈ F G,
FG
dena
Ta
e sua imagem
G
Sejam
|G|.
Ta
Então a álgebra
em
x).
tr(Tg ) = 0,
FG
ψ : F G → GL(F G)
um corpo de
é semissimples.
xTa = xa
como
É claro que
Ta
dada por
(estamos
é um operador
ψ(a) = Ta
é um
ψ(F G).
como uma matriz(em relação à base
então
F
um grupo nito e
Ta : F G → F G
para a avaliação de
J
onde
o radical de Jacobson de
vericando
G),
temos:
g ∈ G.
α1 ̸= 0.
Logo,
F G e suponha 0 ̸= x ∈ J .
x = α1 g1 + · · · + αn gn .
adequado e pelo fato de
com
tr(T1 ) = |G|.
(ii)
e
p
Além disso, a aplicação
Escrevendo
F.
Lema 1.7.9 (Teorema de Maschke)
linear de
sobre
J
Desse modo,
0 = tr(Tx ) = α1 |G|.
ser um ideal de
αj ∈ F
Multiplicando a última igualdade por
gi−1
F G, podemos supor que x = α1 + · · · + αn gn ,
Tx = α1 T1 + · · · + αn Tn
Uma vez que
Assim, existem
|G| ̸= 0
é nilpotende, já que
em
F,
segue que
J
α1 = 0 ,
é nilpotente.
o que é uma
contradição.
Assim,
J =0
e a álgebra
FG
é semissimples.
Consideremos
G
F
um corpo algebricamente fe-
chado de característica zero. Como aplicação dos resultados anteriores, no que segue
apresentaremos uma decomposição para a álgebra de grupo
FG
em soma de ideais
minimais idempotentes. Tal fato será importante para o estabelecimento da dualidade
entre
G-ações
e
G-graduações
em uma álgebra associativa e, devido à sua importância
para os nossos própositos, será enunciado como lema.
Lema 1.7.10
G
Sejam
40
um grupo abeliano e nito de ordem
n
e
F
bricamente fechado de característica zero. Então existem elementos
FG
idempotentes centrais em
um corpo alge-
f1 , . . . , f n ∈ F G
tais que
F G = F f1 ⊕ · · · ⊕ F fn .
Demonstração:
Note que
B1 , ..., Bk
Teorema 1.7.5, existem
Bk .
Mas pelo item
minimais de
tal que
F G.
(ii)
subanéis simples de
para todo
α1 , . . . , αn ∈ F
tais que
direita por qualquer
B1 , . . . , Bk
i = 1, . . . , k .
fj ,
é uma base de
FG
Como estamos nas hipóteses desejáveis,
como
α1 f1 + · · · + αn fn = 0.
temos
αj fj = 0,
F G = F f 1 ⊕ · · · ⊕ F fn ,
donde
F -espaço
idempotentes e ortogonais (isto é
1 = f1 + · · · + fr
são centrais em
Lema 1.7.11
e
Multiplicando a última igualdade a
αj = 0,
para todo
fi fi = fi
Ui = F Gfi ,
Sejam
G
F G.
e
Assim,
F G = U1 ⊕ · · · ⊕ Ur ,
Daí obtem-se
fi fj = 0
para todo
um grupo abeliano nito,
χi
para
onde
f1 ∈ U1 , . . . , fr ∈ Ur
i, j = 1, . . . , n,
i = 1, . . . , r.
Demonstração:
F
com
Ademais,
i ̸= j )
f1 , . . . , f r
um corpo algebricamente fechado
o caracter da sub-representação
sentação regular. Então o idempotende
fi ∈ Ui
é dado por
ρi : G → GL(Ui ) da repre∑
1
−1
fi = |G|
g∈G χi (g )g .
Pode ser encontrada em [ML], teorema 5.1.11.
Observação 1.7.12
Pelo último lema, devemos ter
fi =
que
j = 1, . . . , n.
F G.
de característica zero e
1
n
∑
g∈G
χi (g −1 )g ,
para quaisquer
g ∈ G, temos gfi = χi (g)fi . Pela
χi (fj ) = δij é o delta de Kronecker.
Sendo
vetorial. De fato, sejam
nalizando a demonstração.
são ideais minimais e bilaterais de
satisfazendo
são todos os ideais
(v) do referido teorema, existe fi ∈ F G idempotente
Dada uma decomposição acima, é possível escrever
Ui 's
do
G ser abeliano, podemos aplicar o Corolário 1.7.8 e concluir que k = n.
f1 , . . . , f n
os
(i)
F G satisfazendo F G = B1 ⊕· · ·⊕
do mesmo teorema, segue que
Armamos que
concluímos que
é Artiniano e semissimples. Assim, pelo item
Aplicando o item
Bi = F Gfi ,
usando o fato de
FG
i = 1, . . . , n.
extensão dos caracteres de
G
a
F G,
temos
Cap. 1- A Dualidade entre G-graduações Abelianas Finitas e G-ações
1.8
A Dualidade entre
tas e
G-graduações
41
Abelianas Fini-
G-ações
Consideremos
G
A
G-
uma álgebra associativa
graduada. Com as informações contidas nas seções anteriores, estamos em condições
de estabelecer uma dualidade entre
G-ações
grande utilidade quando formos classicar as
Observação 1.8.1
Seja
Observação 1.8.2
Seja
Proposição 1.8.3
Sejam
e
G-graduações
G-graduações
sobre
A.
Este fato terá
sobre a álgebra
U Tn (F ).
A = ⊕g∈G Ag uma álgebra com uma graduação abeliana e
∑
b
nita. Sendo a ∈ A, com a =
g∈G ag , e χ ∈ G, lembramos que χ age por automor∑
smo sobre A da seguinte forma: χ(a) =
g∈G χ(g)ag . Ao longo da seção, sempre que
b
falarmos em G-ações sobre A, estaremos nos referindo a este tipo de ação.
G age sobre A.
g
Sendo g ∈ G e a ∈ A denotaremos a ação de g sobre a por g(a) = a . Podemos
∑
estender a última ação a uma ação de F G sobre A. Com efeito, sendo
i αi gi ∈ F G,
α1 g1 +···+αn gn
g1
gn
dena a
= α1 a + · · · + αn a . Mostra-se que, neste caso, teremos uma
ação de F G sobre A que estende a ação inicial.
fechado de característica
uma
G-ação
em
A
Demonstração:
induz
A
uma
F -álgebra
e suponha que o grupo
A uma álgebra associativa sobre um corpo F algebricamente
zero e G um grupo abeliano e nito, onde |G| = n. Então
uma G-graduação e reciprocamente.
Primeiramente, suponhamos que o grupo
G
age sobre a álgebra
A.
Vamos utilizar o notação exponencial para denotar tal ação. Pelo que vimos no nal da
seção anterior, podemos escrever
irredutíveis de
para cada
G,
teremos
i = 1, . . . , n,
F G = F f1 ⊕· · ·⊕F fn e sendo χ1 , . . . , χn os caracteres
χi (fj ) = δij ,
para quaisquer
1 ≤ i, j ≤ n.
Nesse contexto,
denamos:
Aχi = {a ∈ A : ag = χi (g)a, ∀g ∈ G}.
Note que pela Observação 1.7.12, sendo
g ∈ G,
aχi (g)fi = χi (g)afi ,
afi ∈ Aχi .
donde concluímos que
Ademais, armamos que
onde
a ∈ A.
Aχi
gfi = χi (g)fi .
Daí,
(afi )g =
é o subespaço gerado por elementos do tipo
De fato, observando que
af1 + · · · + afn ∈ Aχ1 + · · · + Aχn .
temos
afi ,
1 = f1 + · · · + fn , temos que a = a1 = af1 +···+fn =
Logo, sendo
g∈G
e
a ∈ A,
temos
ag = af1 g + · · · + afn g = χ1 (g)af1 + · · · + χn (g)afn .
a ∈ Aχi .
Suponhamos que
ag ,
igualdades para
g ∈ G.
Daí,
Nesta caso, decorre que
decorre que
afj = 0,
se
ag = χi (g)a.
(χj (g) − χi (g))afj = 0,
j ̸= i.
Portanto,
a = afi ,
42
Comparando as duas
para quaisquer
j = 1, . . . , n
e
o que conrma a armação feita.
Destes fatos, obtemos
A = ⊕χ∈Gb Aχ .
Armamos que a decomposição apresentada acima é uma
a ∈ Aχi
e
b ∈ Aχj .
g ∈ G.
para todo
b-graduação.
G
De fato, sejam
G age por automorsmos sobre A, temos (ab)g = ag bg ,
Uma vez que
Assim,
(ab)g = ag bg = (χi (g)a)(χj (g)b) = (χi (g)χj (g))(ab) = (χi χj (g))ab,
donde
ab ∈ Aχi χj .
concluímos que
A
Do último fato, tem-se que
é
A
é
b-graduada
G
e, como
b,
G ≃ G
G-graduada.
A recíproca ca por conta do Exemplo 1.6.12.
Corolário 1.8.4
V
Suponhamos válidas as mesmas hipóteses do último teorema e seja
A.
um subespaço da álgebra
Tem-se que
V
é homogêneo na
G-graduação
se, e
b-ação determinada pela G-graduação da álgebra A.
G
Em particular, um elemento a ∈ A é homogêneo na G-graduação se, e somente se, a
b.
é autovetor de qualquer χ ∈ G
somente se,
V
é invariante pela
Demonstração:
maneira como
Suponhamos, de início, que
χ
age sobre
A,
que
V
com
g1 , . . . , g t ∈ G
não seja homogêneo na
χ(g1 ) = λ
e
e
v g1 , . . . , v gt
χ(g2 ) = µ,
possível escolher
χ
com
χ(Vg ) = Vg
segue que
camente, suponhamos agora que
V
seja
V = ⊕g∈G Vg ,
b-invariante.
G
G-graduação.
com
e, assim,
χ(V ) = V .
Da
Recipro-
Por contradição, suponhamos
Assim, existe
v = v g1 + · · · + v gt ∈ V ,
distintos e não pertencentes a
λ ̸= µ
Vg = Ag ∩ V .
V.
Seja
b
χ∈G
tal que
(note que da forma como são os elementos de
b,
G
é
nessas condições). Neste caso,
u = λv − χ(v) = (λ − µ)vg2 + · · ·
pertence a
V.
Aplicando o mesmo procedimento iteradamente, teremos que a última
das componentes
dessa forma que
v g2 , . . . , v gt
V
é
pertencerá a
G-graduado.
V,
Concluímos
a ∈ A,
Para concluir a última parte da armação, dado
parte do corolário ao subespaço
basta aplicar a primeira
V = ⟨a⟩.
O próximo resultado nos fornece um critério, em termos de
um certo elemento
Lema 1.8.5
A = ⊕g∈G Ag
43
é homogêneo na
b,
G
para identicar se
G-graduação.
F um corpo algebricamente fechado de característica zero e
A = ⊕g∈G Ag uma G-graduação abeliana nita e a ∈ A − {0}. Então a ∈ A1 se,
b.
e somente se, χ(a) = a, para todo χ ∈ G
Sejam
Demonstração:
que
Suponhamos de início que
a ∈ A1 .
Assim, para todo
b,
χ∈G
ocorre
χ(a) = χ(1)a = 1F a = a.
Suponhamos agora que
para todo
Neste caso,
a é autovetor
b e, pelo corolário anterior, segue-se que a é homogêneo na G-graduação.
χ∈G
Digamos que
todo
b.
χ(a) = a, para qualquer χ ∈ G
b.
χ∈G
a ∈ Ag ,
para algum
Segue-se daí que
g ∈ G.
g=1
Assim devemos ter
e, assim,
a ∈ A1 ,
a = χ(a) = χ(g)a,
para
Exemplo 1.8.6
Seja
A = ⊕g∈G Ag
uma álgebra com uma
G-graduação
abeliana e
J(A) é a interseção de todos os ideais maximais
à direita de A e automorsmos preservam ideais maximais à direita, tem-se que J(A)
é invariante por automorsmos de A. Em particular, temos χ(J(A)) = J(A), para
b. Assim, pelo último resultado, devemos ter que J(A) é um subespaço de A
todo χ ∈ G
homogêneo na G-graduação.
nita. Desde que o radical de Jacobson
Exemplo 1.8.7
A = U Tn (F ) = ⊕g∈G Ag uma G-graduação abeliana
e nita. Seja X = {x ∈ A : xJ(A) = 0} (anulador à esquerda de J(A) em A).
Armamos que X é homogêneo na G-graduação. De fato, dado x ∈ X e a ∈ J(A),
temos x = x1 + · · · + xn e a = a1 + · · · + an , onde xj , aj ∈ Agj . Assim, como
cada ai ∈ J(A) (pelo exemplo anterior), para todo i = 1, . . . , n, temos 0 = xai =
(x1 + · · · + xn )ai = x1 ai + · · · + xn ai e pela unicidade da decomposição do zero, decorre
que xj ai = 0, para todo j = 1, . . . , n, donde xj a = 0. Assim, xj ∈ X , para todo
j = 1, . . . , n. Segue-se que X é homogêneo na G-graduação.
Por outro lado, mostra-se que X = ⟨E1n , E2n , . . . , Enn ⟩. Assim, sendo W =
⟨E1n , . . . , En−1,n ⟩, temos W = J(A) ∩ X . Deste fato segue-se que W é homogêneo na
G-graduação.
Mais geralmente, sendo B um álgebra qualquer G-graduada e C ⊂ B um ideal
G-graduado de B, tem-se que o anulador de C é G-graduado.
Consideremos
Capítulo 2
Classicação das Graduações de
Grupo na Álgebra U Tn(F )
O presente capítulo foi reservado para o estudo e a apresentação dos resultados dos
artigos [VZ1] e [VZ2]. No Capítulo 1, foram apresentados resultados que se revelarão
importantes neste momento. Procurando facilitar a leitura, sempre que zermos uso
de fatos já demonstrados, faremos menção a isso.
Em todo o capítulo, reservamos a letra
F
A
para designar a álgebra
U Tn (F ),
onde
é um corpo. Nesta etapa do nosso estudo, nos propomos a demonstrar que qualquer
G-graduação A = ⊕g∈G Ag
é isomorfa a alguma
mente, faremos isto impondo que
G
G-graduação
elementar de
seja abeliano e nito e que
F
A.
Inicial-
seja algebricamente
fechado e de característica zero, tendo como referência o primeiro artigo supracitado.
Em seguida, faremos o caso geral, sem impor condições sobre
G
e
F,
que pode ser
encontrado no segundo artigo mencionado anteriormente.
2.1
Lemas Iniciais
Os fatos expostos nesta seção são típicos de Álgebra Linear, mas se farão indis-
pensáveis posteriomente. Ao longo dessa seção sempre estaremos supondo
algebricamente fechado e de característica zero e
G
F
um corpo
um grupo abeliano e nito.
Cap. 2- Graduações Abelianas e Finitas em U Tn (F )
Lema 2.1.1
V
45
F -espaço vetorial de dimensão nita, onde F é um corpo algebricamente fechado. Se H = {h1 , . . . , hn } é um subgrupo abeliano de GL(V ) formado
por operadores diagonalizáveis, então os operadores h1 , . . . , hn podem ser diagonalizaSeja
um
dos simultaneamente.
Demonstração:
Suponhamos inicialmente que
um autoespaço de
h1 , provaremos que Vλ
h1 (v) = λv .
que
Vλ
h2 ,
é
Daí,
h2 -invariante.
tem-se que
β
é
n = 2 e assim H = {h1 , h2 }.
h2 -invariante.
h1 (h2 (v)) = h2 (h1 (v)) = λh2 (v)
Logo, escolhendo para
Vλ
De fato, sendo
e assim
uma base
também é formada por autovetores de
β
Sendo
v ∈ Vλ , temos
h2 (v) ∈ Vλ .
Portanto,
formada por autovetores de
h1 .
Assim,
h1
e
h2
podem ser
diagonalizados simultaneamente. Por indução obtemos o caso geral.
Lema 2.1.2
de
Aut(B).
Sejam
B
Vλ
F -álgebra e I um ideal de B invariante pelos elementos
ϕ ∈ Aut(B) induz um automorsmo ϕ ∈ Aut(B/I) dado por
uma
Então, cada
ϕ : B/I −→
B/I
.
b + I 7−→ ϕ(b) + I
Demonstração:
Dado um operador
automorsmo
A demonstração é imediata.
φ ∈ Aut(B),
φ ∈ Aut(B/I)
Observação 2.1.3
também usaremos a letra
induzido por
φ.
φ
para denotar o
O contexto impedirá ambiguidades.
A = U Tn (F ) e W = ⟨E1n , . . . , En−1,n ⟩. Já vimos no
Exemplo 1.3.26 que J(A/W ) = J(ρ(U Tn−1 ) ⊕ C) = J(ρ(U Tn−1 )), onde C = ρ(⟨Enn ⟩).
Não é difícil ver que ⟨ρ(Enn ), ρ(E1,n−1 )⟩ é o anulador bilateral de J(A/W ) e, pelo Exemplo 1.8.7, é homogêneo na G-graduação de A/W . Desse modo, sendo φ ∈ Aut(A), exis2
tem α, β ∈ F tais que φ(ρ(Enn )) = αρ(Enn ) + βρ(E1,n−1 ). Em virtude de Enn = Enn
é imediato que α = 1 e β = 0. Consequentemente, C = ρ(⟨Enn ⟩) é homogêneo na
G-graduação. Logo, ρ(U Tn−1 ) é homogêneo na G-graduação, pois é o anulador de C .
2.2
Consideremos
Inicialmente, iremos classicar as
A, supondo F
U Tn(F )
G-graduações abelianas e nitas sobre a álgebra
um corpo algebricamente fechado e de característica zero. Os resultados
ora apresentados podem ser encontrados no artigo [VZ1] escrito por A. Valenti e M.V.
Zaicev. Como será percebido, faremos uso frequente de fatos acerca de Representações
de Grupos que abordamos no capítulo anterior.
Lema 2.2.1
A = ⊕g∈G Ag
46
G-graduação abeliana e nita. Então existem
Y1 , . . . , Yn ∈ J(A) tais que as matrizes e1 = E11 +Y1 , . . . , en = Enn +Yn são ortogonais,
idempotentes e pertencem à componente neutral da G-graduação considerada.
Seja
Demonstração:
uma
n,
A prova será por indução em
sendo o caso
ponhamos por indução que o resultado seja válido para todo
no Exemplo 1.8.7, o ideal
W = ⟨E1n , . . . , En−1,n ⟩
1.2.9, a álgebra quociente
A/W
é
G-graduada.
ρ : A −→
s < n.
G-graduado
é
n=1
imediato. Su-
Pelo que vimos
e assim, pelo Exemplo
Sendo
A/W
a 7−→ a = a + W
W , vimos no Exemplo 1.3.26 que U Tn−1 (F ) ≃ ρ(U Tn−1 (F )).
a projeção canônica sobre
Como pela Observação 2.1.3
G-graduado.
ρ(U Tn−1 (F ))
é
G-graduado,
Assim, por hipótese de indução, existem
⟨Eij : 1 ≤ i < j ≤ n − 1⟩
tais que as matrizes
tem-se que
todo
Consequentemente,
j = 1, . . . , n − 1.
φ(e′j ) = e′j
Daí,
e′j = e′j + W
Sendo
′
e′1 = E11 + Y1′ , . . . , e′n−1 = En−1 + Yn−1
G-graduação
φ(e′j ) − e′j ∈ W .
b ⊂ Aut(W )
G
b = {φ1 , . . . , φm } ⊂ Aut(A),
G
A/W )
W
é
b
G
β = {w1 , . . . , wn−1 }
de
W
Fixando qualquer
b
φ ∈ G
e
podemos escrever
ao espaço
é um subgrupo abeliano de
A/W , para
1 ≤ j ≤ n − 1.
W ).
Aut(W )
Recorrendo
e, por hipótese,
Portanto, pelo Lema 2.1.1, existe uma base
que diagonaliza simultaneamente os operadores
e′j ,
a1 , . . . , an−1 ∈ F
b
G
de
segue do Lema 1.8.5 que
φ-invariante,
(tomando as restrições dos elementos de
é um corpo algebricamente fechado.
escalares
para todo
Por outro lado, como
ao Exemplo 1.6.12, tem-se que
F
pertence à componente neutral de
(automorsmo induzido em
é
′
Y1′ , . . . , Yn−1
∈ J(U Tn−1 ) =
são ortogonais, idempotentes e pertencem à componente neutral da
U Tn−1 .
U Tn−1 ⊂ A
uma vez que
φ(e′j ) − e′j ∈ W ,
para todo
b.
φ∈G
b,
φ∈G
existem
satisfazendo
φ(e′j ) = e′j + a1 w1 + · · · + an−1 wn−1 .
Ao mesmo tempo, sendo
para todo
j = 1, . . . , n − 1.
wj
b
G
ter ordem
φ,
existe
λj ∈ F
tal que
φ(wj ) = λj wj
Diante disso, temos a igualdade
φk (e′j ) = e′j +
Em virtude de
autovetor de
m,
∑n−1
i=1
temos
ai (1 + λi + · · · + λk−1
)wi .
i
φm = Id.
Da expressão acima, decorre que
47
)=0
ai (1 + λi + · · · + λm−1
i
para todo
(2.1)
i = 1, . . . , n − 1.
Por motivo análogo, se
i = 1, . . . , n − 1.
Sendo
b,
ψ∈G
existem
b1 , . . . , bn−1 ∈ F
µi ∈ F
tais que
tais que
ψ(wi ) = µi wi ,
para todo
ψ(e′j ) = e′j + b1 w1 + · · · + bn−1 wn−1 ,
pelo mesmo motivo que anteriormente, devemos ter
bi (1 + µi + · · · + µm−1
)=0
i
para todo
i = 1, . . . , n − 1.
Com algumas manipulações algébricas, obtemos
ψφ(e′j ) = e′j +
φψ(e′j ) = e′j +
Uma vez que
b
G
(2.2)
é abeliano, temos
∑n−1
i=1
(bi + µi ai )wi ,
i=1
(ai + λi bi )wi .
∑n−1
ψφ = φψ .
Consequentemente
bi (1 − λi ) = ai (1 − µi ), i = 1, . . . , n − 1.
Para
•
φ
xada, denamos os elementos
Se todos os autovalores
λ1 , . . . , λn−1
e′′j = e′j +
•
•
e′′j ∈ A
denamos
bi
como coeciente de
1−µi
mas existe
para todo
são diferentes de
b
ψ ∈ G
λi = 1
ρ(wi ) = wi ,
segundo os seguintes critérios:
1,
denamos
a1
an−1
w1 + · · · +
wn−1 .
1 − λ1
1 − λn−1
Se algum
Se
(2.3)
b,
ρ∈G
tal que
µi ̸= 1
(2.4)
então na igualdade 2.4,
wi .
na igualdade 2.4 colocamos em
wi
coeciente
zero.
Inicialmente, vamos avaliar
1, . . . , n − 1.
Temos
φ
em
e′′j
no caso em que
λi ̸= 1,
para todo
i =
φ(e′′j ) = φ(e′j ) +
∑
ai
i 1−λi φ(wi )
= e′j +
e′j +
No caso em que
λi = 1
vemos que
λi = 1
da ação de
φ
e existe
implica
∑
∑
µi ̸= 1
ai = 0.
i
ai wi +
ai
i 1−λi wi
ai = 0,
temos
∑
i
ai (1 +
λi
)wi
1−λi
ψ ̸= φ,
=
observando a igualdade 2.1
Neste caso, é fácil ver que o coeciente de
φ(e′′j ) = e′′j .
e claramente
Denindo
= e′j +
wi
depois
é
ai = 0,
teríamos
λi a i
i 1−λi wi
= e′′j .
para algum
ai +
e como
∑
48
bi
1 − µi
E no caso em que
ρ(wi ) = wi
para todo
b,
ρ ∈ G
φ(e′′j ) = e′′j .
b,
ψ ∈G
observando a igualdade 2.3, teremos
uj = e′′j − e′j , temos uj ∈ W .
Além disso, como
ψ(e′′j ) = e′′j .
W 2 = 0 e W (U Tn−1 (F )) = 0,
obtemos que
(e′′j )2 = (e′j + uj )2 = e′j + e′j uj , j = 1, . . . , n − 1,
(e′′n )2 = e′n + un e′n
e
(e′′j )2 (e′′n )2 = e′j (uj + un )e′n , j = 1, . . . , n − 1,
b,
ψ∈G
são xados para qualquer
uma vez que são produtos de pontos xos.
Portanto, os elementos
ej = e′j + e′j uj − e′j (uj + un )e′n , j = 1, . . . , n − 1,
en = e′n + un e′n
satisfazem a condição
ψ(ei ) = ei
para todo
W e′j = 0, j = 1, . . . , n − 1, e′n W = 0
quaisquer
1 ≤ i < j ≤ n − 1,
e
b
ψ ∈ G
e′1 , . . . , e′n
e
i = 1, . . . , n.
são ortogonais e idempotentes, para
devemos ter
ei ej = (e′i + e′i ui − ei (ui + un )e′n )(e′j + e′j uj − e′j (uj + un )e′n ) = 0
e assim podemos escrever
ei ej = δij ei para todo 1 ≤ i ≤ j ≤ n−1.
en ej = 0, j = 1, . . . , n − 1.
Observando que
Por m,
e
ei ei = ei
Além disso,
e2n = en ,
49
ej en = (e′j + e′j uj − e′j (uj + un )e′n )(e′n + un e′n ) = e′j uj e′n − e′j (uj + un )e′n + e′j un e′n = 0
para todo
j = 1, . . . , n − 1.
Assim, os elementos
e1 , . . . , en
G-graduação
ponente neutral da
considerada em
realizada, vemos que os elementos
Y1 , . . . , Yn ∈ J(A),
são ortogonias, idempotentes e pertencem à com-
e1 , . . . , e n
A.
Ademais, pela construção que foi
são da forma
E11 + Y1 , . . . , Enn + Yn
com
encerrando a demonstração.
O próximo teorema é o principal resultado desta seção: o teorema de classicação
das graduações abelianas e nitas de
Teorema 2.2.2
U Tn (F ).
F um corpo algebricamente fechado e de característica zero e
A = U Tn (F ) = ⊕g∈G Ag uma G-graduação abeliana e nita. Então A, vista como
álgebra G-graduada, é isomorfa a U Tn (F ) com alguma G-graduação elementar.
Demonstração:
Sejam
Pelo lema anterior, existem
e1 = E11 + Y1 , . . . , en = Enn + Yn
todo
1 ≤ i ≤ j ≤ n,
denamos
tais que as matrizes
são ortogonais, idempotentes e pertencem a
Aij = ei Aej .
Mais ainda, pelo Exemplo 1.2.10, temos que
G-graduação.
Y1 , . . . , Yn ∈ J(A)
Note que
Aij
Aij ̸= 0
pois
A1 .
Para
0 ̸= ei Eij ej ∈ Aij .
A homogênea na
Armamos que
A=
⊕
Aij .
1≤i≤j≤n
Primeiramente, provaremos que a soma dos
vamos mostrar que
I = A12 ∩ (
∑
(i,j)̸=(1,2)
Aij
é direta. Por simplicidade de notação,
Aij ) = 0
(para provar o caso geral, basta
ajustar a notação).
Seja
x ∈ I.
Devemos ter
x = e1 x12 e2 ,
∑
x = (i,j)̸=(1,2) ei xij ej
e, assim,
∑
x = e1 x12 e2 = e1 (e1 x12 e2 )e2 = e1 xe2 = e1 ( (i,j)̸=(1,2) ei xij ej )e2 = 0
pois
e1 ei = e2 ej = 0
para todo
i ̸= 1
e
j ̸= 2.
Desse modo ca justicado que a referida soma é direta.
quantidade de subálgebras
Aij
é igual à dimensão de
Agora note que a
A e como cada Aij ̸= 0, segue que
Cap. 2- Graduações de um Grupo Qualquer em U Tn (F )
A=
(pois
⊕
Aij
Aij
é
e que
dim Aij = 1 para todos 1 ≤ i ≤ j ≤ n.
G-graduada),
que os elementos de
Observe que
Aij
deve existir
hij ∈ G
são homogêneos na
tal que
Aij =
Daí como
Aij ⊂ Ahij .
⊕
g∈G
Aij ∩Ag
Concluímos assim
G-graduação.
E1n = E12 E23 . . . En−1,n ∈ J(A)n−1 ,
comparando as dimensões é fácil ver que
50
J(A)n−1 ̸= 0.
logo
Ademais,
J(A) = ⟨Aij : 1 ≤ i < j ≤ n⟩ e que J(A)n−1 =
A12 . . . An−1,n .
Seja
ai,i+1
um gerador de
Claramente temos
Para
ai,i+1 = ei ai,i+1 ei+1 ,
1 ≤ i < j ≤ n,
• aij = ai,i+1 · · · aj−1,j
• akk = ek
Ai,i+1 , isto é, Ai,i+1 = ⟨ai,i+1 ⟩ para todo i = 1, . . . , n − 1.
para todo
para todo
i = 1, . . . , n − 1.
denamos
e
k = 1, . . . , n.
Observe que todos os elementos
de elementos homogêneos),
aij
são homogêneos na
aij akl = δjk ail
G-graduação (pois são produtos
{aij : 1 ≤ i ≤ j ≤ n}
e que
é uma base de
A.
Por m, denindo
ϕ ∈ Aut(A)
por
ϕ : A = ⊕g∈G Ag −→
7−→ Eij
aij
e pondo
A′g = ϕ(Ag ),
temos que
De fato, note que para
A = ⊕g∈G A′g ,
A = ⊕g∈G A′g
1 ≤ i ≤ j ≤ n,
Eij = ϕ(aij ) ∈ ϕ(Ahij ) = A′hij .
um automorsmo
G-graduado,
dene uma
existe
hij ∈ G
Desde que as matrizes
pela Proposição 1.2.14, tal
A
Eij
G-graduação
donde segue que as
G-graduação
tal que
aij ∈ Ahij
e daí
são homogêneas na graduação
é elementar. Claramente
G-graduações
ϕ
é
são isomorfas. Desse
modo, concluímos o resultado.
2.3
elementar.
Graduações de um Grupo Qualquer em
U Tn(F )
A tônica desta seção será generalizar o resultado da seção anterior, no sentido de
que não faremos restrições sobre o grupo
G
e o corpo
F.
Como tais restrições foram
sobremaneira importantes na construção feita na seção anterior, não poderemos usar
51
as mesmas técnicas. Precisaremos de outro conjunto de lemas que nos darão base para
a conclusão do resultado desejado.
A referência principal para a confecção desta seção foi o artigo [VZ2] de autoria
de A. Valenti e M.V. Zaicev.
No que segue,
Observação 2.3.1
F
G
e
serão um corpo e um grupo arbitrários, respectivamente.
A = U Tn (F ), V um F -espaço vetorial com dim V = n e
de V . Nesse contexto, considere uma cadeia de subespaços
Sejam
β = {v1 , . . . , vn } uma
de V satisfazendo
base
• V1 ⊂ . . . ⊂ Vn = V
• dim Vk = k
Armamos
que
e
a
Vk = ⟨v1 , . . . , vk ⟩,
para todo
k = 1, . . . , n.
M = (mij ) ∈ A é possível associar um
que T (Vk ) ⊆ Vk , para todo k = 1, . . . , n. De fato,
cada
T = TM : V → V tal
nir T da seguinte forma:
operador
basta de-
T (v1 ) = m11 v1
T (v2 ) = m12 v1 + m22 v2
..
.
..
.
..
.
(2.5)
T (vn ) = m1n v1 + · · · + mnn vn .
Claramente, temos
V
T (Vk ) ⊆ Vk
e
[T ]ββ = M .
Reciprocamente, sendo
β
que preserva a cadeia acima, tem-se que [T ]β ∈ A.
Por esta razão, no que segue, identicaremos a álgebra
operadores do espaço vetorial
V
um operador de
com a álgebra dos
que preservam a cadeia considerada. Por um abuso de
notação, em alguns momentos, escreveremos
Lema 2.3.2
A
T
A ⊂ End(V ).
A idempotente é conjugado a um elemento
+ · · · + Eik ik , onde 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n.
Qualquer elemento não nulo de
diagonal idempotente do tipo
Ei1 i1
Demonstração:
F -espaço
Seja
V
um
vetorial tal que
dim V = n
e
V = ⟨v1 , . . . , vn ⟩.
Considere uma cadeia
V1 ⊂ . . . ⊂ Vn = V
de subespaços de
V
tal que
dim Vk = k e Vk = ⟨v1 , . . . , vk ⟩, para todo k = 1, . . . , n.
que foi visto na Observação 2.3.1,
(2.6)
Pelo
A pode ser visto como a álgebra das transformações
lineares de
V
tais que
T (Vk ) ⊆ Vk , para todo k = 1, . . . , n.
52
Na demonstração que segue,
exploraremos tal identicação.
Seja
e∈A
um elemento idempotente. Para demonstrar o resultado, é bastante
v1 , . . . , v n
mostrar que existe uma base
onde
ϵi = 0
ou
1,
para todo
de
n,
sendo
hipótese de indução que exista uma base
ou
1,
para todo
Caso
e(vn ) ∈ Vn−1 ,
dena
segue que neste caso
n=1
Vk = ⟨v1 , . . . , vk ⟩
e
e(vi ) = ϵi vi ,
vn′ = vn − e(vn ).
de
V
tal que
{v1 , . . . , vn−1 , e(vn )}
Claramente,
e(vj ) = ϵj vj ,
e(vn ) ∈
/ Vn−1
Observe agora que se
donde o conjunto
{v1 , . . . , vn−1 , vn′ }
um caso trivial. Suponhamos por
{v1 , . . . , vn }
j = 1, . . . , n − 1.
e(e(vn )) = e2 (vn ) = e(vn ),
tal que
i = 1, . . . , n.
A prova será por indução em
ϵj = 0
V
temos
é a base requerida.
vn′ ∈
/ Vn−1
e
e(vn′ ) = 0,
donde
Note que o lema anterior é a versão em
onde
A = U Tn (F )
do que ocorre em
Mn (F ),
onde já sabemos que toda matriz idempotente é conjugada de alguma matriz diagonal.
Passemos agora ao próximo lema.
Lema 2.3.3
U Tk (F ),
e ∈ A
k = tr(e).
Seja
onde
Demonstração:
sabemos que
e
um idempotente.
É claro que
eAe
A.
Y = (Ei1 i1
ϵi = 0
Seja
ou
é isomorfa a
Pelo lema precedente,
é conjugada a uma matriz do tipo

onde
eAe
Então a subálgebra
ϵ 0 ··· 0
 1

 0 ϵ2 0 · · ·


+ · · · + Eik ik ) =  0

 .. .. . .
.
.
.
 . .
.

0 0 · · · ϵn











1.
X ∈ U (A)
tal que
e = X −1 Y X .
Agora note que
eAe = X −1 (Ei1 i1 + · · · + Eik ik )XAX −1 (Ei1 i1 + · · · + Eik ik )X =
X −1 (Ei1 i1 + · · · + Eik ik )A(Ei1 i1 + · · · + Eik ik )X .
Perceba que
(Ei1 i1 + · · · + Eik ik )Eij (Ei1 i1 + · · · + Eik ik ) = Eij ,
e zero nos outros casos. Logo,
s, t ∈ {1, . . . , k}.
se
i, j ∈ {i1 , . . . , ik }
(Ei1 i1 + · · · + Eik ik )Eij (Ei1 i1 + · · · + Eik ik ) = Eis jt ,
Motivados por essa constatação, denamos
onde
53
θ : (Ei1 i1 + · · · + Eik ik )A(Ei1 i1 + · · · + Eik ik ) −→ U Tk (F )
7−→
Eis jt
Est
que é um isomorsmo de álgebras.
É claro que
k = tr(e) = tr(Ei1 i1 + · · · + Eik ik ).
Por m, como
(Ei1 i1 + · · · + Eik ik )A(Ei1 i1 + · · · + Eik ik )
isomorfa a
eAe
é uma álgebra
(pois são conjugadas), temos o
resultado.
Passemos ao próximo resultado.
Lema 2.3.4
{a1 , . . . , an } de n elementos ortogonais idempotentes de
A = U Tn (F ) é conjugado ao conjunto {E11 , . . . , Enn }, isto é, existe S ∈ A inversível
−1
tal que ai = S Eii S , para todo i = 1, . . . , n.
Todo conjunto
Demonstração:
Novamente, vamos identicar
F -espaço vetorial V
lineares de um
de dimensão
contexto, é suciente mostrar que existe
k = 1, . . . , n,
Sejam
e
ai (vj ) = δij vj ,
{u1 , . . . , un }
Assim, podemos ver
a2k = ak ,
segue que
com a álgebra das transformações
n tal como na Observação 2.3.1.
v1 , . . . , v n
base de
V
tal que
Nesse
Vk = ⟨v1 , . . . , vk ⟩,
denota o delta de Kronecker.
V
e
Vk = ⟨u1 , . . . , uk ⟩,
para todo
k = 1, . . . , n.
a1 , . . . , an como transformações lineares, e denotaremos por (ak )ij
para todo
(ak )ii = 0
n
é um conjunto de
δij
uma base de
(i, j) da matriz ak
entrada
onde
A
ou
1,
k = 1, . . . , n.
para todo
Como para todo
i = 1, . . . , n.
a
k = 1, . . . , n, temos
Uma vez que
{a1 , . . . , an }
elementos ortogonais, cada uma de suas matrizes possui uma
única entrada não nula na diagonal. Reorganizando os índices, se necessário, podemos
(a1 )11 = · · · = (an )nn = 1
escrever
Denindo
eAe
End(Vn−1 ).
tal que
é isomorfa a
e2 = e
U Tn−1 (F )
se
i ̸= j .
como as matrizes
e que
a1 , . . . , an−1
tre = n − 1.
e assim
para todo
v1 , . . . , vn−1 , vn
Observação 2.3.5
que pode ser visto como uma subálgebra de
1 ≤ i, j ≤ n − 1.
A.
Denindo
{v1 , . . . , vn−1 }
vn = an (un ),
A = ⊕g∈G Ag
uma
de
Vn−1
segue que
Consideremos
a matriz identidade de
são ortogonais
Daí pelo Lema 2.3.3, se-
Aplicando a hipótese de indução, existe uma base
ai (vj ) = δij vj ,
vn ̸= Vn−1
(ai )jj = 0,
e = a1 + · · · + an−1 ,
idempotentes, é fácil ver que
gue que
e
G-graduação
e
E
como sendo
De acordo com o Exemplo 1.2.5, devemos ter
E ∈ A1 .
54
⟨E⟩ de A1 é isomorfa ao corpo F (que é semissimples,
assim, ⟨E⟩ é semissimples. Assim, segue-se que A1 possui
Agora note que a subálgebra
pelo Exemplo 1.7.2) e,
uma subálgebra semissimples maximal (maximal no conjunto de todas as subálgebras
semissimples de
Lema 2.3.6
A1 )
E.
contendo
U Tn (F ) = A = ⊕g∈G Ag a álgebra das matrizes triangulares superiores sobre um corpo arbitrário F graduada por um grupo G, com unidade 1. Então, a
subálgebra A1 contém n elementos ortogonais idempotentes.
Seja
Demonstração:
Suponhamos
A prova é por indução em
n > 1.
Como
subálgebra não trivial
somando simples de
(i)
(ii)
e
e
E−e
B
B
de
e
e
E ∈ A1 ,
A1
n,
sendo o caso
n=1
trivialmente válido.
pelo que vimos na Observação 2.3.5, existe uma
que é semissimples maximal e
a unidade de
C,
E ∈ B.
Sendo
C
um
eis as possibilidades:
são duas matrizes ortogonais idempotentes ou
e = E.
Note que o item (ii) implica
C = ⟨E⟩ = B .
Trataremos inicialmente do primeiro caso. Em virtude do Lema 2.3.3, devemos
ter
P = eAe ≃ U Tk
em conta que
na
e
Q = (E − e)A(E − e) ≃ U Tn−k ,
e, E − e ∈ A1 ,
G-graduação.
a hipótese de indução a
em
Q 1 ⊂ A1
lista
pelo Exemplo 1.2.10, segue que
Aplicando a hipótese de indução a
ortogonais idempotentes em
Q,
P1 ⊂ A1
existem
P,
k = tr(e) ̸= 0.
P
Q).
Sendo
e
existem
(componente neutral de
ak+1 , . . . , an
(componente neutral de
a1 , . . . , a k , . . . , a n
onde
Q
são homogêneas
a1 , . . . , a k
P ).
Levando
elementos
Agora aplicando
elementos ortogonais idempotentes
e
e
E−e
ortogonais, segue que a
é formada por ortogonais idempotentes de
A1 ,
o que nos dá a
conclusão.
Nosso objetivo agora é provar a impossibilidade de ocorrer o item (ii). Para tanto,
procederemos por contradição.
Suponha a ocorrência de (ii), donde segue que
será feita indução sobre
Se
namos
T1 = ⟨E22 , . . . , Enn ⟩
Tj
No que se segue,
|G|.
|G| = 1, temos A1 = A.
Observe que cada
dim B = 1 (∗).
Denindo
e, para
é um ideal de
T = ⟨E11 , . . . , Enn ⟩, vemos que T ⊂ A1 .
De-
j > 1, Tj = ⟨E11 , . . . , Ej−1,j−1 , Ej+1,j+1 , . . . , Enn ⟩.
T
que é maximal, pois
dim Tj = dim T − 1.
Assim,
J(T ) = ∩nj=1 Tj = 0
ocorrência de
e, assim,
T
é semissimples. Por isso, neste caso, não é possível a
(∗).
H -graduação
Suponhamos por hipotése de indução que para qualquer
|H| < |G|,
com
a igualdade
(∗)
g
g
Ag , A g 2 , . . . , A g m
j = 1, . . . , m.
nilpotente (já que
a
0 ̸= λ ∈ F
λ−1 ak = E + λ−1 Y .
implicando que
e, assim,
não o é), tem-se que
Desse modo, existe
e assim
k
dim A > m,
⟨E⟩ = B ≃ A1 /J(A1 ),
Mas como
a
Provaremos
m > dim A,
temos que
0 ̸= aj ∈ Agj ,
para
o que é uma contradição. Portanto
ak ∈ A1 .
Agora note que como
ak
não é
ak ∈
/ J(A1 ).
dim A1 /J(A1 ) = 1
temos
tal que
ak = λE .
Daí
A1 /J(A1 ) =
e, daí,
Y = ak − λE ∈ J(A1 ),
Pela Proposição 1.3.21, decorre que
λ−1 ak
é inversível,
é inversível.
homogêneo não nulo. Suponha por contradição que
L = {x ∈ A : xa = 0}
Sabemos que o conjunto
G-graduado
de
A.
Enn a = 0
e, assim,
L
J(A)
não contém elemento
0 ̸= a ∈ Ag ∩ J(A) seja nilpotente.
(anulador a esquerda de
Como os elementos de
são divisores de zero), concluímos que
claramente
tenhamos
homogêneo na
a não seja nilpotente.
No que segue, provaremos que o radical de Jacobson
subespaço
a ∈ Ag
são distintas e não triviais, pois
Mas isso diz que
deve ter ordem nita, digamos
⟨ ⟩
E .
Suponha que
A,
considerada em
tem ordem nita. De fato, supondo o contrário e sendo
as componentes
todo
G-graduação
Armamos que, sob esta suposição, todo elemento
G-graduação é nilpotente ou inversível.
que
U Tn ,
em
seja impossível.
Por contradição, suponha que, na
dim B = 1.
55
L
a)
é um
não podem ser inversíveis (pois
é constituído de elementos nilpotentes. Mas
Enn ∈ L,
o que é um absurso, já que
Enn
não é
nilpotente.
Com o argumento acima, ca provado que
não nulo. Logo, como
A1
J(A1 ) ⊂ A1
é semissimples e que
Armamos
nas
Supp(A) = {g ∈ G : Ag ̸= 0}
0 ̸= x ∈ Ag
e
J(A1 ) ⊂ J(A),
tem-se
J(A1 ) = 0,
seguindo que
A1 = B = {λE : λ ∈ F }.
que,
decorre do fato de que
e
J(A) não contém elemento homogêneo
A
condições
apresentadas,
é um subgrupo nito de
tem dimensão nita.
G.
o
A nitude de
Tomando agora
conjunto
Supp(A)
g, h ∈ Supp(A),
0 ̸= y ∈ Ah , temos que x e y são inversíveis (pois, caso fossem nilpotentes,
pertenceriam a
J(A),
o que não é possível) e daí
que justica a armação feita. Vamos supor que
0 ̸= xy ∈ Agh .
Daí
gh ∈ Supp(A),
o
Supp(A) = G, do contrário, aplicamos
56
a hipótese de indução.
Inicialmente, armamos que
tomemos
x, y ∈ Ag
que
x, y
x−1
satisfazendo
x−1 ∈ Ag−1 .
e
yx−1 = λE .
Para provar isto,
x
é homogê-
Segue-se que
yx−1 ∈ A1 = ⟨E⟩,
logo existe
Assim,
y = λx,
o que contradiz a suposição de
são linearmente independentes.
G
Armamos que o grupo
g, h ∈ G,
não pode ser abeliano. De fato, do contrário, sendo
[Ag , Ah ] ⊂ Agh + Ahg ⊂ Agh .
teríamos
A.
elementos quaisquer da álgebra
[A, A]
g ∈ G.
para todo
supostamente linearmente independentes. Desde que
neo, tem-se que existe
0 ̸= λ ∈ F
dim Ag = 1,
é homogênea, pois
[x, y] =
[xg , yh ] ∈ Agh ∩ [A, A].
0 ̸= [A, A] ⊂ J(A).
devemos ter
Note que
Sejam
∑
∑
x =
e
∑
y =
yh
g,h [xg , yh ] e, daí a álgebra
Ademais, pelo Exemplo 1.3.23,
Absurdo, pois, como foi visto,
elementos homogêneos não nulos.
xg
J(A)
Assim, concluímos que o grupo
G
não contém
não pode ser
abeliano.
Assim, o subgrupo comutador
o grupo quociente
para a
G = G/G′
G-graduação
A
em
G′ = {[a, b] = a−1 b−1 ab : a, b ∈ G}
é não trivial e
é abeliano. Por este motivo, a conclusão do lema é válida
induzida pela
G-graduação
Desse modo, existem ortogonais idempotentes
e1 , . . . , en
inicial (ver Exemplo 1.2.11).
em
D = A1 = ⊕h∈G′ Ah .
h ∈ G′ ,
Dado
decorre que
ter
existem
a, b ∈ G
z = x−1 y −1 xy
Ah = ⟨z⟩.
Em particular,
E + a,
ser escrito como
λj ∈ F
e
contrário
existe
onde
λE + a,
aj ∈ J(A)
ej = aj
M ∈ J(A)
h = a−1 b−1 ab.
é não nulo e
D
são elementos homogêneos de
tem a forma
tais que
tais que
0 ̸= x ∈ Aa
Uma vez que
A.
e
0 ̸= y ∈ Ab ,
dim Ah = 1,
é gerada como álgebra por todos
x−1 y −1 xy ,
Não é dícil ver que toda matriz do tipo
a ∈ J(A).
onde
z ∈ Ah .
Sendo
devemos
onde
x−1 y −1 xy
Em virtude disso, qualquer elemento de
a ∈ J(A).
Diante disso, para cada
e j = λj E + a j .
Observe que cada
λj
j = 1, . . . , n,
D
0 = ei ej = λi λj E + M ̸= 0,
Portanto, concluímos que
dim B = 1
pode
existem
é não nulo, pois caso
seria nilpotente, o que não é possível. Devido a isso, sendo
satisfazendo
x, y
i ̸= j ,
não pode ocorrer, o que naliza a demons-
tração.
O próximo lema fornece um critério, em termos das matrizes elementares
Eii ,
i = 1, . . . , n,
para que uma
Lema 2.3.7
G-graduação
A = ⊕g∈G Ag
Seja
G-graduação
ente para que a
Demonstração:
em
A
seja elementar.
G-graduação.
uma
57
seja elementar é que
Uma condição necessária e suci-
Eii ∈ A1 ,
para todo
i = 1, . . . , n.
Claramente, a condição é necessária. Por isso, nos ocuparemos em
mostrar que a condição é suciente.
Supondo que cada
cada
que
Aij = Eii AEjj
Eij ∈ Aij ,
quaisquer
Eii ∈ A1 ,
pelo Exemplo 1.2.10, sabemos que, para
é uma subálgebra homogênea na
seguindo que as matrizes
1 ≤ i ≤ j ≤ n.
Eij
G-graduação.
são homogêneas na
i < j,
Ademais, temos
G-graduação,
Em virtude da Proposição 1.2.14, decorre que a
para
G-graduação
é elementar, nalizando a demonstração.
Agora faremos a junção dos resultados anteriores com a nalidade de classicar
as
G-graduação
na álgebra
Teorema 2.3.8
⊕g∈G Ag
álgebra
Sejam
G
U Tn (F ).
É esse o principal resultado da presente seção.
um grupo qualquer,
G-graduação na álgebra
A, como álgebra G-graduada,
uma
F
um corpo arbitrário e
U Tn (F ) = A =
das matrizes triangulares superiores. Então a
é isomorfa a
U Tn (F )
com uma
G-graduação
elementar.
Demonstração:
Pelo Lema 2.3.6, existem
e1 , . . . , en ∈ A1
Ao mesmo tempo, pelo Lema 2.3.4, existe uma matriz
S −1 ei S ,
para todo
i = 1, . . . , n.
ortogonais e idempotentes.
S ∈ A
Eii =
inversível tal
De posse de tais informações, denamos a seguinte
aplicação:
θ : A = ⊕g∈G Ag −→
7−→ S −1 XS
X
Não é difícil ver que
θ(Ag ),
para todo
Armamos que a
g ∈ G,
θ
é um automorsmo da álgebra
segue que
A = ⊕g∈G A′g
G-graduação A = ⊕g∈G A′g
Eii = θ(ei ) ∈ θ(A1 ) = A′1 ,
A
para todo
.
A.
Ademais, pondo
dene uma
é elementar.
i = 1, . . . , n.
G-graduação
A′g =
em
A.
Com efeito, observe que
Portanto, pelo Lema 2.3.7, ca
provada a armação anterior.
Pela própria construção feita, a aplicação
nalizando a demonstração do teorema.
θ
é um automorsmo
G-graduado,
Capítulo 3
Classicação das Graduações
Abelianas e Finitas em U T (d1, . . . , dm)
Pelo que foi apresentado no capítulo anterior, sabemos que as graduações de grupo
na álgebra
U Tn (F ) já estão descritas, a menos de isomorsmo graduado.
natural seria generalizar o resultado obtido em
U Tn (F )
para a álgebra
Uma tentativa
U T (d1 , . . . , dm )
das matrizes triangulares superiores em blocos. Esse é o espírito do presente capítulo.
Como veremos, a conclusão obtida para a álgebra
U T (d1 , . . . , dm ).
o corpo
F
U Tn (F )
Não obstante, sob as hipóteses de o grupo
não se aplica à álgebra
G
ser abeliano e nito e
ser algebricamente fechado e de característica zero, temos um certo tipo de
classicação. Por esta razão, a menos de menção em contrário, ao longo desse capítulo
estaremos supondo que o grupo
G seja abeliano e nito e o corpo F
fechado e de característica zero.
seja algebricamente
Para a elaboração desse capítulo, utilizamos como
referência principal o artigo [VZ3].
3.1
A Álgebra das Matrizes Triangulares Superiores
em Blocos
Sejam
por
d1 , . . . , dm
números inteiros positivos. Sendo
n = d1 + · · · + dm , denotamos
U T (d1 , . . . , dm ) a subálgebra da álgebra Mn (F ) constituída de matrizes triangulares
em blocos do tipo
Cap. 3- A Álgebra das Matrizes Triangulares Superiores em Blocos


Md1 (F )







onde
Mdi (F )
Chamamos
blocos.
59
0
B12
...
B1m
Md2 (F ) . . .
B2m
.
.
.
.
.
.
0
0
é a álgebra das matrizes
U T (d1 , . . . , dm )
de







.
.
.
. . . Mdm (F )
di × di
sobre o corpo
F,
para todo
i = 1, . . . , m.
álgebra das matrizes triangulares superiores em
Observe que o caso em que
d1 = · · · = dm = 1, teremos a álgebra U Tm (F ) das
matrizes triangulares superiores.
Usaremos a letra
Observação 3.1.1
R
para denotar a álgebra
U T (d1 , . . . , dm ).
Ii = {M ∈ R : o i-ésimo bloco diagonal de M é nulo}.
Verica-se que para cada i = 1, . . . , m, o subespaço Ii é um ideal maximal de R.
m
Mais ainda, todo ideal maximal de R tem esta forma. Assim, como J(R) = ∩i=1 Ii ,
concluímos que J(R) é formado por todas as matrizes de R cujos blocos que ocorrem
Seja
na diagonal são nulos.
Exemplo 3.1.2
X ∈ U T (d1 , . . . , dm ), podemos escrever (de maneira única)
X = D1 + · · · + Dm + Y , onde cada Di é uma matriz cujos elementos fora do i-ésimo
bloco que aparece na diagonal de X são todos nulos (algumas vezes, identicaremos tal
matriz com o próprio i-ésimo bloco) e Y ∈ J . Nesse contexto, denamos a aplicação
Sendo
ψ : R −→ Md1 (F ) ⊕ · · · ⊕ Mdm (F ) + J
.
X 7−→ ψ(X) = ((D1 , . . . , Dm ), Y )
Não é difícil vericar que
ψ
é um isomorsmo de álgebras. Por essa razão, temos
U T (d1 , . . . , dm ) ≃ Md1 (F ) ⊕ · · · ⊕ Mdm (F ) + J ,
onde
⊕
i,j
Bij ≃ J .
É natural perguntar se os resultados vistos no capítulo anterior podem ser adaptados para uma
G-graduação
da álgebra
U T (d1 , . . . , dm ).
As considerações seguintes
têm por objetivo elucidar esse questionamento.
Seja
G = ⟨a⟩n × ⟨b⟩n
almente, pretendemos exibir um certo tipo de
tanto, xemos
ϵ∈F
uma
n.
Inici-
Mn (F ).
Para
o produto direto de dois grupos cíclicos de ordem
n-ésima
G-graduação
na álgebra
raiz primitiva da unidade e denamos

ϵ





Xa = 




n−1
0
···
0
n−2
···
ϵ

e
0
i, j = 1, . . . , n,
0 1 0 ···
armamos que as matrizes
(LI). De fato, note que
0


0 







1
···


 0 0 1 ···


Yb = 
···


 0 0 0 ···

1 0 0 ···
Para

···
0
60

0


0 





1 

0
Xai Ybj
Yb = E12 + · · · + En−1,n + En1 .
são linearmente independentes
Assim,
Yb2 = E13 + E24 + · · · + En−2,n + En−1,1 + En,2
e, mais geralmente, para todo
j,
ocorre que
Ybj = E1,j+1 + · · · + En−j,n + En−j+1,1 + · · · + En,j .
Por outro lado, temos
Xai =
Por este motivo, temos
Xai Ybj
Xai Ybj =
são as de posição
Portanto, sendo
∑n
k=1
∑n
k=1
(k, k + j)
ϵi(n−k) Ekk .
ϵi(n−k) Ek,k+j .
Assim as entradas não nulas de
(que são as mesmas posições não nulas em
⟨
⟩
Lj = Ybj , Xa Ybj , . . . , Xan−1 Ybj ,
Ybj ).
resulta que
Lj ⊂ ⟨E1,j+1 , . . . , En−j,n , En−j+1,1 , . . . , En,j ⟩.
Ademais, se
j ̸= j1 ,
tem-se
Lj ∩ Lj1 = 0
(pois
Ybj
posições distintas). Pretendemos provar que xado
conjunto linearmente independente, para
variáveis e considere o sistema linear
e
j,
Ybj1
têm entradas não nulas em
os elementos
i = 1, . . . , n.
Xai Ybj
formam um
Para isso, sejam
x1 Xa + x2 Xa2 + · · · + xn Xan = 0.
x1 , . . . , xn
Note que a matriz
associada a esse sistema é uma matriz de Vandermonde (a menos de permutação de
linhas), cujo determinante é
∏
r<s (ϵ
r
− ϵs )
que é não nulo. Por este motivo, o sistema
inicial possui apenas a solução trivial
inversível, decorre que
que para todo
elementos
x1 Xa Ybj + · · · + xn Xan Ybj = 0
i = 1, . . . , n,
Xai Ybj
x1 = · · · = xn = 0.
o conjunto
Xai Ybj
x1 = · · · = xn = 0.
implica
é LI. Desse modo, para
formam um conjunto LI. Uma vez que temos
⟨
⟩
Mn (F ) = Xai Ybj : i, j = 1, . . . , n .
decorre que
g ∈ G,
Agora, para qualquer
com
Em virtude de
g = (ai , bj )
e
n2
61
Yb
ser
Segue
i, j = 1, . . . , n,
os
elementos desse tipo,
i, j = 1, . . . , n,
denamos o
seguinte subespaço
⟨
⟩
Rg = Xai Ybj .
Armamos que
Mn (F ) = R = ⊕g∈G Rg
anteriormente, temos
R = ⊕g∈G Rg .
G-graduação.
é uma
Além disso, notando que
De fato, pelo que vimos
Xa Yb = ϵYb Xa ,
obtemos
Xai Ybj Xak Ybl = ϵkl Xai+k Ybj+l .
Assim, se
G-graduação
g = (ai , bj )
e
h = (ak , bl ),
Ag Ah ⊂ Agh .
teremos
Chamamos uma
ϵ-graduação.
desse tipo de
Consideremos agora a álgebra
U T (n, n).
Para cada
g ∈ G,
dena o conjunto




 α β
 : α, β, γ ∈ Rg .
Ag = 

 0 γ
Então
U T (n, n) = ⊕g∈G Ag
é uma
G-graduação.
(3.1)
Além disso, como
R1 = ⟨E⟩,
temos
dim A1 = 3.
Agora observe que se
contrário, teríamos
n ≥ 4, a G-graduação considerada não é elementar pois, caso
Eii ∈ A1 , i = 1, . . . , n,
o que contradiz o fato de que
dim A1 = 3.
Diante das considerações anteriores, vemos que existem graduações de grupo em
uma álgebra do tipo
U T (d1 , . . . , dm ) não elementares.
Posteriormente, iremos classicar
as graduações desta álgebra.
Observação 3.1.3
subespaços
V1
e
Sejam
W1 ,
V
e
W F -álgebras
respectivamente.
(ou apenas
vetoriais) com
Decorre da propriedade universal do produto
T : V1 ⊗ W1 → V ⊗ W
w1 ∈ W1 . É claro que T é
tensorial que existe uma transfarmação linear
T (v1 ⊗ w1 ) = v1 ⊗ w1 , onde v1 ∈ V1 e
portanto, V1 ⊗ W1 está imerso em V ⊗ W . Devido
⟨vi ⊗ wj : vi ∈ V1 , wj ∈ W2 ⟩ de V ⊗ W por V1 ⊗ W1 .
faz
F -espaços
que satisinjetora e,
a isso, denotamos o subespaço
Cap. 3- Sobre as Graduações de Grupo na Álgebra Mn (F )
Observação 3.1.4
G
B = ⊕t∈T Bt
62
S , T dois subgrupos de G.
Se A = ⊕s∈S As e
são uma S -graduação e T -graduação, respectivamente,
então C = A ⊗ B é uma álgebra G-graduada, onde as componentes dessa G-graduação
são do tipo Cg = ⊕st=g (As ⊗Bt ) e Supp(C) é um subgrupo de ST . Em particular, podemos graduar C com uma (S × T )-graduação se A for S -graduada e B for T -graduada.
3.2
Sejam
um grupo abeliano e
Sobre as Graduações de Grupo na Álgebra
Mn(F )
Para a uidez do presente capítulo, precisaremos nos remeter ao problema de
classicação as graduações de grupo na álgebra de matrizes
Mn (F ).
Tal problema
foi parcialmente respondido no ano de 2002 por Bahturin e Zaicev em [AM1]. Neste
artigo, foram classicadas as graduações de
F
Mn (F ), supondo o grupo G nito e o corpo
algebricamente fechado e de característica zero. Como resultado principal do artigo
supracitado, tem-se que a álgebra
produto tensorial
Mn (F )
Mp (F ) ⊗ Mq (F ),
onde
é isomorfa, como álgebra
Mp (F )
G-graduada,
a um
Mq (F )
tem
uma graduação elementar.
Nesta seção, não é de nosso interesse apresentar as demonstrações dos resultados
que serão apresentados, mas aplicá-los na próxima seção.
Denição 3.2.1 Sejam R uma álgebra e G um grupo.
R = ⊕g∈G Rg é na se dim Rg ≤ 1, para todo g ∈ G.
Teorema 3.2.2
Dizemos que uma
G-graduação
G um grupo nito, F um corpo algebricamente fechado e
Mn (F ) = ⊕g∈G Rg uma G-graduação na álgebra de matrizes. Então, existem uma
q
decomposição n = tq , um subgrupo H de G e uma q -upla (g1 , . . . , gq ) ∈ G tal que
Mn (F ) é isomorfa a Mt (F ) ⊗ Mq (F ) como álgebra G-graduada, onde Mt (F ) é uma
álgebra H -graduada com uma graduação na e Mq (F ) tem uma graduação elementar
denida por (g1 , . . . , gq ).
Sejam
Demonstração:
Pode ser encontrada em [BSZ].
Denição 3.2.3
Uma álgebra
R = ⊕g∈G Rg G-graduada
é chamada de álgebra gradu-
ada de divisão se qualquer elemento homogêneo e não nulo de
R
é inversível.
O teorema abaixo classica as graduações abelianas nas na álgebra
Mn (F ).
Cap. 3- Graduações Abelianas e Finitas em U T (d1 , . . . , dm )
Teorema 3.2.4
63
F um corpo algebricamente fechado de característica zero, G
um grupo abeliano e Mn (F ) = R = ⊕g∈G Rg uma G-graduação na álgebra de matrizes,
onde dim Rg ≤ 1, para qualquer g ∈ G. Então H = Supp(R) é um subgrupo de G, H =
H1 ×· · ·×Hk , Hi ≃ Zni ×Zni , i = 1, . . . , k e R é isomorfa a Mn1 (F )⊗· · ·⊗Mnk (F ) como
álgebra H -graduada, onde Mni (F ) é uma álgebra Hi -graduada com uma ϵi -graduação.
Em particular, Mn (F ) é uma álgebra graduada de divisão.
Sejam
Demonstração:
3.3
Pode ser encontrada em [BSZ].
Antes de passarmos à classicação das graduações sobre
U T (d1, . . . , dm)
U T (d1 , . . . , dm ),
expore-
mos alguns resultados que se revelarão importantes para os nossos objetivos. De início,
apresentamos os seguintes resultados.
Teorema 3.3.1 (Wedderburn-Malcev)
nita, onde
F
é um corpo de característica zero,
Então existe uma subálgebra
B
de
R
R uma F -álgebra de dimensão e J(R) o radical de Jacobson de R.
Sejam
semissimples maximal tal que
R = B + J(R).
B e B ′ são subálgebras semissimples tais que R = B +J(R) = B ′ +J(R),
x ∈ J(R) tal que B ′ = (1 + x)B(1 + x)−1 .
Além disso, se
então existe
Demonstração:
Lema 3.3.2
Seja
Pode ser encontrada na página 71 de [GZ].
R = ⊕g∈G Rg
uma álgebra de dimensão nita sobre um corpo alge-
G.
C de R
bricamente fechado de característica zero graduada por um grupo abeliano e nito
J = J(R), é homogêneo e existe uma subálgebra
semissimples e homogênea na G-graduação tal que R = C + J . Além disso, C pode ser
decomposta como uma soma direta C = C1 ⊕ · · · ⊕ Cp de ideais graduados e qualquer
Cj é uma álgebra simples G-graduada.
Então o radical de Jacobson,
Demonstração:
Do Exemplo 1.8.6, já sabemos que
J
provado que existe uma subálgebra semissimples maximal
Assim
C
é homogênea e
R = C + J.
álgebra não-graduada, isto é,
{B1 , . . . , Bk }.
Mas
C
G-graduado.
C ⊂R
tal que
Em [T] foi
b
G(C)
= C.
é soma direta de ideais simples como
C = B1 ⊕ · · · ⊕ Bk .
É claro que qualquer
é
Note que
b
G
age sobre conjunto
∑
Ti =
é um ideal de
C.
invariantes) de
C
Por outro lado,
estável por
G-graduado.
Claramente
Lema 3.3.3
Seja
C
Ti
64
φ(Bi )
b
φ∈G
é um ideal minimal (no conjunto dos ideais
b-ações.
G
Assim,
é soma dos
Ti 's,
Ti
é simples (como ideal
bG
G-graduado)
e
R uma álgebra sobre um corpo F com elemento neutro E e seja C
uma subálgebra de R isomorfa à álgebra Mn (F ). Se Eij , i, j = 1, . . . , n são as matrizes
unitárias de C e E = E11 + · · · + Enn , então R = CD ≃ C ⊗ D ≃ Mn (D) onde D é o
centralizador de C em R.
Demonstração:
Lema 3.3.4
Ver Lema 3.11 de [SK].
A uma álgebra de dimensão nita sobre um corpo F algebricamente
fechado, J o radical de Jacobson de A e A = Ass + J , onde Ass = A1 ⊕ · · · ⊕ An , com
Ai ≃ Mdi (F ), para todo i = 1, . . . , n. Se para algum m ≤ n, tivermos A1 JA2 . . . JAm ̸=
0, então A contém uma subálgebra isomorfa a U T (d1 , . . . , dm ).
Sejam
Demonstração:
Lema 3.3.5
que
A
forma
A
Sejam
e
B
F -álgebras
duas
de dimensão nita e unitárias e suponha
seja uma álgebra central e simples.
A⊗I
somente se,
A ⊗ I,
onde
Demonstração:
Pode ser encontrada na página 197 de [GZ].
A ⊗ B.
de B e a
I
Então
W de
I → A ⊗ I é biunívoca.
é um ideal de
Mais ainda, todo ideal
I
correspondência
é um ideal
B se,
A ⊗ B tem
é um ideal da álgebra
e
a
Pode ser encontrada na página 75 de [B].
Um fato que será de nosso interesse posteriormente e que segue como consequência
do lema acima é o seguinte resultado:
Corolário 3.3.6
nha que
A
Sejam
A
e
B
duas
F -álgebras
de dimensão nita e unitárias e supo-
seja uma álgebra central e simples. Então
Demonstração:
de
A ⊗ J(B)
de
A ⊗ B.
A inclusão
ser um ideal nilpotente de
Agora provaremos que
um ideal de
A ⊗ J(B) ⊂ J(A ⊗ B)
A ⊗ B,
A⊗B
e
U
segue como consequência do fato
J(A ⊗ B)
J(A ⊗ B) ⊂ A ⊗ J(B).
pelo lema anterior, existe
J(A ⊗ B) = A ⊗ J(B).
ser o maior ideal nilpotente
Levando em conta que
ideal de
B
tal que
J(A ⊗ B) é
J(A ⊗ B) = A ⊗ U .
Armamos que
U
u1 , u2 , . . . , un ∈ U
temos
dos
é nilpotente. De fato, seja
elementos arbitrários em
n∈N
U.
Desde que
1⊗(u1 u2 . . . un ) = 0 e, assim, u1 u2 . . . un = 0.
ui 's,
segue que
U n = 0.
e daí
decorre que
J(A ⊗ B)n = 0
e tomemos
1⊗u1 , . . . , 1⊗un ∈ J(A⊗B),
Devido à arbitrariedade na escolha
Neste caso, devemos ter
A ⊗ J(B) ⊂ J(A ⊗ B) = A ⊗ U ,
U = J(B)
tal que
65
U ⊂ J(B).
Por outro lado, como
dim J(B) ≤ dim U .
Assim, temos
J(A ⊗ B) = A ⊗ J(B).
Lema 3.3.7
B um F -álgebra e suponha que existam inteiros p e t tais que
B ≃ Mp (F ) ⊗ Mt (F ). Então existem subálgebras A e C de B tais que A ≃ Mp (F ),
C ≃ Mt (F ) e A ⊂ CB (C). Além disso, AC é uma subálgebra de B e B = AC .
Seja
Demonstração:
jam
φ : Mp (F ) ⊗ Mt (F ) → B
X = Mp (F ) ⊗ {1}
Mp (F ) ⊗ Mt (F ).
XY
B
e que
Y = {1} ⊗ Mt (F ).
e
um isomorsmo de álgebras.
Note que
X
Y
e
são subálgebras de
Mp (F ) ⊗ Mt (F ).
Daí é claro que
Mp (F ) ⊗ Mt (F ) = XY .
A = φ(X) e C = φ(Y ), decorre que A ⊂ CB (C), que AC
B = AC .
Ademais, é claro que
Se-
X ⊂ CMp (F )⊗Mt (F ) (Y ) e consequentemente
Além disso, é fácil ver que
Logo, sendo
de
Seja
A ≃ Mp (F )
e
é uma subálgebra
C ≃ Mt (F ).
Com os resultados supracitados, estamos em condições de enunciar e demonstrar
o resultado principal desse capítulo.
Teorema 3.3.8
R = U T (d1 , . . . , dm ) a álgebra das matrizes triangulares em blocos sobre um corpo F algebricamente fechado de
característica zero e suponha que R = ⊕g∈G Rg seja uma G-graduação. Então existem uma decomposição d1 = tp1 , . . . , dm = tpm , um subgrupo H de G e uma n-upla
(g1 , . . . , gn ) ∈ Gn , onde n = p1 + · · · + pm , tais que U T (d1 , . . . , dm ) é isomorfa a
Mt (F ) ⊗ U T (p1 , . . . , pm ) como álgebra G-graduada, onde Mt (F ) é uma álgebra H graduada com uma H -gradução na e U T (p1 , . . . , pm ) tem uma graduação elementar
em relação à n-upla (g1 , . . . , gn ).
Demonstração:
Sejam
G
Sejam
J
um caracter irredutível de
graduação.
o radical de Jacobson de
G.
Como
χ(J) = J ,
R = U T (d1 , . . . , dm )
segue-se que
Ao mesmo tempo, pelo Lema 3.3.2, tem-se que
semissimples maximal e homogênea na graduação tal que
3.1.2 e pelo Teorema 3.3.1,
B
é isomorfa a
B1 ⊕ · · · ⊕ Bm ,
J
R
b
χ ∈ G
é homogêneo na
G-
possui subálgebra
B
R = B + J.
onde
e
Pelo Exemplo
Bi ≃ Mdi (F ).
b
G
Armamos que
tem-se
χ(Bi ) ∈ {B1 , . . . , Bm },
b
χ∈G
notando que qualquer
χ
que o operador
B,
age sobre o conjunto
para todo
{B1 , . . . , Bm },
i = 1, . . . , m.
χ(B) = B
satisfaz
B,
preserva ideais simples de
(pois
66
isto é, para todo
De fato, xado
B
b,
χ∈G
i = 1, . . . , m,
é homogêneo na graduação) e
χ(Bi )
temos que
é um ideal simples de
χ(Bi ) ∈ {B1 , . . . , Bm }.
e assim,
Sendo
σ ∈ Sm ,
σ
com
diferente da permutação identidade, verica-se que
• B1 JB2 . . . JBm ̸= 0.
• Bσ(1) JBσ(2) . . . JBσ(m) = 0.
.
Diante disso, devemos ter
0 ̸= χ(B1 JB2 . . . JBm ) = χ(B1 )χ(J)χ(B2 ) . . . χ(J)χ(Bm ) =
χ(B1 )Jχ(B2 ) . . . Jχ(Bm ).
Deste fato segue que
e assim cada
cada
Bi
elementar,
Mti (F )
temos
Bi ≃ Mpi (F ) ⊗ Mti (F ),
que todas as álgebras
Sejam
G-graduada.
é uma subálgebra
i = 1, . . . , m,
χ(Bi ) = Bi ,
Mti (F )
para todo
Aplicando o Teorema 3.2.2, para
Mpi (F )
onde
di = pi ti .
tem uma graduação
No que se segue, provaremos
são isomorfas.
C (1) = Mt1 (F ), . . . , C (m) = Mtm (F ).
Armamos que se
submódulo à esquerda (ou à direita) não trivial e homogêneo de
dim C (i) .
De fato, se
para todo
de divisão.
M,
(i)
xg ∈ Cg
u∈M
,
é um elemento homogêneo,
xg ̸= 0,
g ∈ G.
C (i) u ̸= 0
C (i)
pois do Teorema 3.2.4,
xg u
Por outro lado,
para cada
Assim, sendo
β = {v1 , v2 , . . . , vt2i }
conjunto linearmente independente em
M.
Segue daí que
De acordo como o lema 3.3.7, é possível escrever
Bi
e
inicialmente as álgebras
Se
e1 ∈ A(1) , e2 ∈ A(2)
unitárias), tem-se que
C (i) -
é um
dim M ≥
então
implica em
xg u ̸= 0,
é uma álgebra graduada
uma base de
e
C (i)
formada
{v1 u, v2 u, . . . , vt2i u}
é um
dim M ≥ dim C (i) .
onde
A(i)
A(i) ⊂ CBi (C (i) ).
e
C (i)
Fixemos
C (2) .
são idempotentes minimais (ou seja, matrizes diagonais
posto(e1 ) = t1
posto(e1 )posto(e2 ) = t1 t2 .
M = C (1) e1 Re2
e
R,
Bi = A(i) C (i) ,
A(i) ≃ Mpi (F ), C (i) ≃ Mti (F )
C (1)
M ⊂R
pertence a componentes homogêneas distintas de
por elementos homogêneos de graus distintos, segue-se que
são subálgebras de
i = 1, . . . , m
e
posto(e2 ) = t2
em
R e assim temos dim e1 Re2 =
Por outro lado, considerando o
e notando que
e1
centraliza
C (1) ,
C (1) -módulo
à esquerda
segue que
t21 = dim C (1) ≤ dim C (1) e1 Re2 = dim e1 C (1) Re2 ≤ dim e1 Re2 = t1 t2 .
t2 ≥ t1 .
Consequentemente, temos
M ′ = e1 Re2 C (2) ,
à direita
67
Analogamente, trabalhando com o
por simetria, também obteremos
t1 ≥ t2
C (2) -módulo
e daí
t1 = t2 .
Portanto,
dim e1 Re2 = t21 = t22 .
Pelo Exemplo 1.2.10, sabemos por que
xado
X12 ∈ e1 Re2
C (1) -módulo
é um
e1 Re2
(3.2)
é um subespaço graduado de
não nulo e homogêneo, segue que
à esquerda. Além disso, note que
M = C (1) X12 C (2)
M ⊂ e1 Re2 .
R.
Assim,
é homogêneo e
Assim devemos ter
dim C (1) ≤ dim C (1) X12 ≤ dim M ≤ dim e1 Re2 = dim C (1) .
Daí
dim M = dim C (1) X12
e, como
Analogamente, observando que
X12 C (2) .
M
C (1) X12 ⊂ M ,
é um
segue-se a igualdade
C (2) -módulo
C (1) X12 = M .
à direita, concluímos que
Logo,
T = C (1) X12 = X12 C (2) .
Sejam
gH2 ,
onde
H1 = Supp(C (1) )
g = deg X12 .
deve ter grau
sendo
M =
gh1 ,
h1 ∈ H1 ,
P X12 ̸= 0
(pois
H2 = Supp(C (2) ).
h1 ∈ H1
P ∈ C (1) ,
com
é inversível) e
H1 = H2 .
elemento homogêneo
e, assim,
P ̸= 0,
T,
Supp(T ) = gH1 =
um elemento homogêneo de
Supp(T ) ⊂ gH1 .
tal que
h1 = deg P .
gh1 = deg P X12 ∈ Supp(T ).
Analisando a outra igualdade para
motivo, temos
Armamos que
T = C (1) X12 ,
De fato, como
para algum
existe
P
e
(3.3)
também obtemos
Por outro lado,
Assim,
Daí
T
P X12 ∈ T ,
gH1 = Supp(T ).
Supp(T ) = gH2 .
Por este
Ao mesmo tempo, pela igualdade 3.3, segue que para cada
(1)
a ∈ Ch
, existe algum
ba ∈ C (2)
aX12 = X12 ba .
tal que
(3.4)
ba
A armação agora é de que
a
sendo
e
homogêneo, claramente
deg aX12 = (deg a)g .
deg X12 ba = deg aX12 .
t > 1
e
é homogêneo em
Mas, como
xhi
i = 1, . . . , t.
e
tais que
deg ba = deg a = h.
aX12 = X12 ba ,
X12 ba
segue-se que
ba
i = 1, . . . , t.
é homogêneo e
não seja homogêneo, existem
ba = xh1 + xh2 + · · · + xht ,
é inversível), para todo
com
Assim, temos que
(2)
0 ̸= xhi ∈ Chi
X12 xhi ̸= 0,
não é homogêneo, o que é uma contradição. Assim
decorre que
g deg a = g deg ba .
aX12 = X12 ba .
Neste caso, temos
ba
deg ba = deg ba
X12 = 0,
⊕t
i=1
é homogêneo e, como
e assim
ba ̸= ba ,
Rghi
aX12 =
deg ba = deg a = h.
é único. Com efeito, seja
(que é uma álgebra graduada de divisão). Se
implicaria
ba
Desse modo, obtemos
Agora armamos que o elemento
C (2)
para
Daí resulta que
X12 ba = X12 (xh1 + xh2 + · · · + xht ) = X12 xh1 + X12 xh2 + · · · + X12 xht ∈
X12 ba ,
Com efeito,
é homogêneo (pois é produto de homogêneos)
Supondo por contradição que
h1 , h 2 , . . . , h t ∈ G
(note que
aX12
C (2)
68
ba − ba
ba ∈ C (2)
tal que
é homogêneo em
a igualdade
X12 ba = X12 ba
o que é uma contradição. Por este motivo, segue que
ba = ba ,
o
que garante a unicidade referida.
Motivados pela constatação acima, inferimos que está bem denida a aplicação
φ12 : C (1) −→
a
Armamos que
C (1)
e
(i)
(ii)
(iii)
λ ∈ F,
φ12
é um isomorsmo
7−→ φ12 (a) = ba
G-graduado
de álgebras. De fato, sendo
a, a1 ∈
(a + a1 )X12 = aX12 + a1 X12 = X12 φ12 (a) + X12 φ12 (a1 ) = X12 (φ12 (a) + φ12 (a1 )).
(λa)X12 = λ(aX12 ) = λ(X12 φ12 (a)) = X12 (λφ12 (a)).
(aa1 )X12 = a(a1 X12 ) = a(X12 φ12 (a1 )) = (aX12 )φ12 (a1 ) = X12 φ12 (a)φ12 (a1 ).
λφ12 (a) e φ12 (aa1 ) = φ12 (a)φ12 (a1 ).
φ12 (a+a1 ) = φ12 (a)+φ12 (a1 ), φ12 (λa) =
Além disso, se
φ12 (a) = 0, segue que a = 0.
é um homomorsmo injetor de álgebras e, como
isomorsmo de álgebras. Pelo que já foi visto,
φ12
t1 = t2 ,
concluímos que
é claramente
Por uma construção análoga à anterior, escolhemos
que
.
note que:
De (i), (ii) e (iii), respectivamente, decorre que
φ12
C (2)
φ12
é um
G-graduado.
X23 , . . . , Xm−1m
H1 = · · · = Hm , onde Hj = Supp(C (j) ), para j = 1, . . . , m.
Assim,
e provamos
Pelo mesmo raciocínio,
construímos,
para
cada
φ(k−1)k : C (k−1) → C (k)
álgebras
H1 -graduadas
Observando que
que é
k
=
2, . . . , m,
G-graduado.
e também
um
Assim,
69
isomorsmo
C (1) , . . . , C (m)
de
álgebras
são isomorfas como
t1 = · · · = tm = t.
e1 Re2 Re3 . . . em−1 Rem ̸= 0,
é possível escolher
X12 , . . . , Xm−1m
satisfazendo
X12 X23 . . . Xm−1m ̸= 0.
Vamos denotar por
denido por
φi , i = 1, . . . , m,
o isomorsmo
φi = φ(i−1)i ◦ . . . ◦ φ23 ◦ φ12 .
(3.5)
G-graduado φi : C (1) → C (i)
Nesse contexto, seja
C = {x + φ2 (x) + · · · + φm (x) : x ∈ C (1) }.
Armamos que
de
ReC
C
é uma subálgebra homogênea de
é homogêneo. Resta provar que
isso, considere
α, β ∈ C .
C
e
x, y ∈ C (1)
C
é um subespaço
tais que
β = y + φ2 (y) + · · · + φm (y).
C (i) C (j) = 0
Além disso, levando em conta que
É fácil ver que
é fechado em relação à multiplicação. Para
Assim, devem existir
α = x + φ2 (x) + · · · + φm (x)
R.
para
i, j ∈ {1, . . . , m},
com
i ̸= j ,
temos
αβ = xy + φ2 (xy) + · · · + φm (xy).
Como
xy ∈ C (1) ,
devemos ter
αβ ∈ C ,
o que justica a armação.
Além disso, a
aplicação
φ : C (1) −→
x
7−→ φ(x) = x + φ2 (x) + · · · + φm (x)
é um isomorsmo de álgebras.
simples de
Seja
C
Assim
C ≃ Mt (F )
C
R.
e, portanto,
C
é uma subálgebra
R.
D
o centralizador de
em
Pelo Lema 3.3.3, devemos ter
C ⊗D, onde D é uma subálgebra graduada.
e que a graduação em
semissimples de
D
é
D
é elementar.
Provaremos agora que
R = CD ≃
D ≃ U T (p1 , . . . , pm )
Inicialmente, armamos que a componente
70
A(1) ⊕ A(2) ⊕ · · · ⊕ A(m) ≃ Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpm .
A(i) ⊂ D,
Inicialmente, observe que
yi ∈ A(i)
e
x ∈ C.
Note que
para todo
i = 1, . . . , m.
x = x + φ2 (x) + · · · + φm (x),
para algum
De fato, sejam
x ∈ C (1) .
Assim,
devemos ter
yi x = yi (x+φ2 (x)+· · ·+φm (x)) = yi φi (x) = φi (x)yi = (x+φ2 (x)+· · ·+φm (x))yi = xyi .
Daí
A(i) ⊂ D,
subálgebra de
S = D.
i = 1, . . . , m
e assim
A(1) ⊕ A(2) ⊕ · · · ⊕ A(m) ⊂ D.
S = A(1) ⊕ A(2) ⊕ · · · ⊕ A(m) + J(D) ⊂ D
segue-se que
que
para todo
D
e é fácil ver que
(pois é soma de uma subálgebra com um ideal de
D).
S
Logo,
é uma
Provaremos
Para tanto, note que
C ⊗ D ≃ R = B1 ⊕ B2 ⊕ · · · ⊕ Bm + J(R) ≃
(A1 ⊗ C 1 ) ⊕ (A2 ⊕ C 2 ) ⊕ · · · ⊕ (Am ⊗ C m ) + J(R) ≃ (A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Am ) ⊗ C + J(R).
e
C ⊗ S = C ⊗ (A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Am + J(D)) = C ⊗ (A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Am ) + C ⊗ J(D).
Notando que
J(R) ≃ J(C ⊗ D)
3.3.5, segue que
S ⊂ D,
J(R) ≃ J(C ⊗ D) = C ⊗ J(D).
decorre que
forma
Xk−1,k ∈ D,
que
C
é simples, pelo Corolário
Portando
C⊗D = C⊗S
D = S = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Am + J(D).
componente semissimples de
Da
e usando o fato de que
D
A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Am ,
é
escolhemos
para cada
x + φ2 (x) + · · · + φm (x),
onde
Neste caso segue que a
como havíamos armado.
X12 , X23 , . . . , Xm−1,m
k = 1, . . . , m.
e
φ2 , . . . , φ m ,
De fato, um elemento típico de
x ∈ C (1) .
e como
devemos
C
ter
tem a forma
k = 2, . . . , m,
tem-se
X(k−1)k (x + φ2 (x) + · · · + φm (x)) = X(k−1)k φk (x) =
X(k−1)k φk−1,k (φk−2,k−1 ◦ · · · ◦ φ12 (x)) = (φk−1,k−2 ◦ · · · ◦ φ12 (x))X(k−1)k = φk−1 (x)X(k−1)k
e
(x + φ2 (x) + · · · + φm (x))X(k−1)k = φk−1 (x)X(k−1)k
Logo, para todo
X(k−1)k ∈ J(D),
existem
k = 1, . . . , m,
para cada
segue-se que
k = 2, . . . , m.
a1 ∈ A(1) , . . . , am ∈ A(m)
e
y ∈ J(D)
X(k−1)k ∈ D.
Mais ainda, ocorre que
De fato, desde que cada
tais que
X(k−1)k ∈ D,
71
X(k−1)k = a1 + a2 + · · · + am + y .
Daí segue que
X(k−1)k = ek−1 X(k−1)k ek = ek−1 yek ∈ J(D).
Portanto, denotando
I m−1 ̸= 0.
cluímos que
J(D)
por
I,
do fato de que
Além disso, desde que
soma de suas unidades é igual à unidade de
R,
X12 X23 . . . X(m−1)m ̸= 0,
A1 , . . . , Am
con-
são álgebras unitárias e a
temos
A1 IA2 . . . IAm ̸= 0.
Pelo Lema 3.3.4, decorre que
D
Mas, observando a igualdade
dim Mt (F ) ⊗ U T (p1 , . . . , pm ) = dim R = dim C ⊗ D,
segue-se que
contém uma subálgebra isomorfa a
dim D = dim U T (p1 , . . . , pm )
e, assim,
pela construção realizada, veja que todas as álgebras
elementar.
Em particular, as matrizes
E11 , . . . , Enn
U T (p1 , . . . , pm ).
D ≃ U T (p1 , . . . , pm ).
A1 , . . . , Am
(onde
Por m,
têm uma graduação
n = p1 + · · · + pm )
são homogêneas. Concluímos do lema 1 de [ZS] que a graduação de
de
D
U T (p1 , . . . , pm )
é
elementar, o que completa a demonstração.
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Graduações em Álgebras Matriciais - UAMat

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