Prova - Olimpíada Internacional de Matemática sem Fronteiras

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Caderno de Questões
2015
Prova para Níveis Júnior e Sênior – 7º EF à 3ª. EM
Qualquer tentativa gera alguma pontuação.
A organização das resoluções será levada em conta.
Responda cada questão em apenas uma folha.
2015
Questão em língua estrangeira. Deve ser respondida em Alemão, Espanhol, Francês, Inglês ou Italiano.
Nachdem Antigone ein Dreieck, ein Viereck und ein Fünfeck gezeichnet hat, stellt sie fest, dass ein
Dreieck keine, ein Viereck zwei und ein Fünfeck fünf Diagonalen besitzt.
Sie fragt sich, wie viele Diagonalen wohl ein Sechseck, ein Siebeneck und ein Achteck haben.
Sie glaubt, eine Formel gefunden zu haben, die die Anzahl der Diagonalen in einem n-Eck angibt:
n (n  3)
.
2
Wie viele Diagonalen besitzt ein Sechseck, wie viele ein Siebeneck und wie viele ein
Achteck?
Beweist die Formel, die Antigone gefunden hat.
Kann ein Vieleck 100 Diagonalen besitzen? Begründet eure Antwort.
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Después de dibujar las figuras, Antígone se da cuenta que los triángulos no tienen diagonales, que
los cuadriláteros tienen dos y que los pentágonos tienen cinco.
Busca cuántas diagonales tienen los polígonos de 6, 7 y 8 vértices. Antígone piensa que ha
encontrado la fórmula que expresa el número de diagonales de un poligono de n vértices:
n (n  3)
.
2
¿Cuántas diagonales tienen los polígonos de 6, 7 y 8 lados?
Demuestra la fórmula que ha encontrado Antígone.
¿Puede tener un polígono 100 diagonales? Justifica la respuesta.
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Après avoir fait les figures, Antigone remarque qu’un triangle n’a pas de diagonale, qu’un
quadrilatère en a deux et qu’un pentagone en a cinq.
Elle cherche combien de diagonales ont les polygones de 6, 7 et 8 sommets. Elle pense avoir
trouvé une formule donnant le nombre de diagonales d’un polygone à n sommets :
n (n  3)
.
2
Combien de diagonales ont les polygones à 6, 7 et 8 sommets ?
Démontrer la formule trouvée par Antigone.
Est-il possible qu’un polygone ait 100 diagonales ? Expliquer.
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2015
7 PONTOS
Q uestão 1 Língua Estrangeira
After she had drawn a few diagrams, Antigone noticed that a triangle has no diagonals, that a
quadrilateral has two and that a pentagon has five.
She tries to work out how many diagonals the polygons with 6, 7 and 8 vertices would have. She
thinks she has found the formula that gives the number of diagonals for a polygon with n vertices: .
n (n  3)
.
2
How many diagonals does a polygon with 6, 7 or 8 vertices have?
Show that Antigone’s formula is correct.
Can a polygon have 100 diagonals? Explain your answer.
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Dopo aver tracciato le figure, Antigone nota che un triangolo non ha alcuna diagonale, un
quadrilatero ne ha due e un pentagono ne ha cinque.
Antigone ricerca quante diagonali possano avere i poligoni rispettivamente con 6, 7 e 8 vertici.
Pensa di avere individuato la formula che indica quante diagonali ha un poligono di n vertici: .
n (n  3)
.
2
Quante diagonali hanno i poligoni di 6, 7 e 8 vertici?
Dimostrate la formula individuata da Antigone.
E’ possibile che un poligono abbia 100 diagonali? Spiegate.
2015
Decrescimento programado
5 PONTOS
Q uestão 2
Anne Marie está se divertindo brincando com algumas sequências de números.
Ela escolhe um número inteiro como o primeiro número da sequência.
Ela calcula o próximo número na sequência multiplicando os dígitos desse número.
Ela faz a mesma coisa outra vez com o resultado e continua até que ela tenha um número
com apenas um dígito.
Por exemplo, se ela começa com 68, ela calcula a sequência de 68, 48, 32, 6.
Qual é o número inteiro inferior a 100 que dá a sequência mais longa quando você
seguir este processo?
2015
Uma volta sobre eixos
Uma prancha rígida longa é apoiada em dois eixos. Os eixos são paralelos, como
mostrado. As rodas rolam sem escorregar e a prancha avança sem escorregar nos eixos.
O diâmetro dos eixos é de 10 cm e as rodas ligadas aos eixos têm um diâmetro de 50 cm.
Qual a distância percorrida pela prancha quando as rodas dão uma volta completa?
Explique sua resposta
2015
7 PONTOS
Q uestão 3
5 PONTOS
Q uestão 4 Tétrathlon
A escola de Coubertin organiza um torneio esportivo.
O torneio inclui 4 modalidades : voleibol, handbol, futebol e rugby.
O regulamento estipula que:
- cada equipe deve disputar 4 partidas, uma em cada modalidade.
- uma equipe não pode enfrentar 2 vezes a mesma equipe.
Mostrar como o torneio se desenvolverá com 8 equipes.
2015
Trace uma circunferência com 6 cm de raio e marque um ponto A a 5 cm do centro como
mostra a figura.
Construa um triangulo equilátero dentro do círculo de maneira que um dos lados passe
pelo ponto A.
Descreva as etapas desta construção.
Se o ponto A está muito próximo do centro, a construção anterior é impossível.
Determinar e construir os pontos em que a construção do triangulo equilátero seja
possível.
2015
7 PONTOS
Q uestão 5 Círculo
Ahmed, Bénédicte, Cyrielle, Damien e Elise participam de uma corrida em equipe.
Todos atingem a linha de chegada, chegando nessa mesma ordem em intervalos de 5
minutos. Sabe-se que Ahmed corre 2x mais rápido que Elisa.
Calcular o tempo total que cada um dos corredores gasta para atingir a linha de
chegada.
2015
5 PONTOS
Q uestão 6 Clube dos cinco
Utilizando um disco de papel cartão de 10 cm de raio, construí a maior caixa possível,
composta por 5 quadrados idênticos, formando uma caixa cúbica sem tampa.
Calcule o volume da caixa que eu construí.
2015
7 PONTOS
Q uestão 7 Caixa esperta
5 PONTOS
Q uestão 8 Bela escapada
Dois ciclistas participam de uma corrida. Sobem uma colina, ambos com uma
velocidade constante de 18km/h, e separados entre si por 200 m.
Após atingirem o topo da colina, começam a descida.
Depois de atingirem o topo, ambos levam o mesmo tempo e percorrem a mesma distância
até atingir uma velocidade constante de 70km/h.
No instante que os ciclistas atingem a mesma velocidade, qual a distância que os
separa? Justifique sua resposta.
2015
Para determinar a posição de um ponto na superfície da Terra, um GPS calcula sua
posição angular (latitude e longitude) a partir da posição de vários satélites.
Estou no ponto de coordenadas 48,7281° de latitude Norte e 7,8982° de longitude Leste.
Eu me desloco 100 metros em direção ao sul mantendo a mesma longitude.
A Terra é considerada uma esfera com 6.367 km de raio.
O diagrama mostra como a latitude é medida.
Qual a latitude indicada pelo GPS? Justifique sua resposta.
2015
7 PONTOS
Q uestão 9 Geolocalização
Nas figuras seguintes os polígonos regulares estão traçados dentro de círculos com
circunferências de raio 1. Os segmentos em negrito unem o vértice A aos outros vértices.
Para estes três polígonos regulares, calcule o valor do produto do comprimento dos
segmentos com extremo em A.
A partir destes exemplos, imagine uma propriedade e responda: de acordo com
essa propriedade, qual será o valor do produto correspondente para um
“quiliágono” regular (polígono de mil lados) ?
2015
10 PONTOS
Q uestão 10 Teoria das cordas
Apenas para o Ensino Médio
Assoprando suavemente em uma superfície horizontal com água e sabão, Estela faz
uma bolha de sabão de forma semiesférica com um diâmetro de 12 cm.
Em seguida, ela assopra uma segunda bolha dentro da primeira. A primeira bolha então
fica maior. O volume final é a soma do volume inicial mais o volume da bolha que está
dentro da outra.
Qual será o diâmetro da bolha interna, quando o diâmetro da bolha maior for de
14cm.
Justifique
2015
5 PONTOS
Q uestão 11 Bolhas sobre bolhas
7 PONTOS
Q uestão 12 Área de pouso
Apenas para o Ensino Médio
Em um clube de Matemática os alunos constroem um tetraedro truncado em cartão.
Ele comporta:
 4 faces hexagonais, sendo cada uma um hexágono regular.
 4 faces triangulares, sendo cada uma um triângulo equilátero.
É pendurado no teto de uma sala de aula. Uma mosca pousa em um ponto aleatório da
superfície deste poliedro. Desconsidere o caso em que a mosca pouse sobre uma aresta.
Calcule a probabilidade da mosca pousar em uma face hexagonal.
2015
10 PONTOS
Q uestão 13 Limpimho
Apenas para o Ensino Médio
Eric sugere a uma montadora de veículos testar seu protótipo de limpador para um
parabrisa plano.
O limpador [BC] está fixado sobre o lado [BB’] do paralelogramo ABB’A’.
Considere que o segmento AA’ é fixo e que AB = BC = 70 cm e
O ângulo A’AB do paralelogramo articulado ABB’A’ varia de 0º a 180º .
Desenhe e pinte a superfície “varrida” pelo limpador BC usando uma escala de 1:10,
calculando o valor da área varrida.
O fabricante aceitará a proposta de Eric? Explique sua resposta.
2015