Aula_2 - WordPress.com

Aula-2
O potencial elétrico
Curso de Física 2
1o semestre, 2016
A energia potencial elétrica
Analogia gravitacional
! !
U f − U i = − W = − ∫ mg. d l = −mgh
f
i
onde U é a energia potencial associada ao campo
da força gravitacional .
!
!
No caso eletrostático, como F = q0 E :
!
rf
! ! !
U f − U i = − W = − ∫ qo E ( r ).dl
!
ri
No caso de forças conservativas (como o nosso) , o resultado desta
integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos
inicial e final.
A energia potencial elétrica
! !
F (r )
ẑ
C
!
ri
!
dl
!
rf
Se a força é devida a uma
distribuição finita de cargas,
convém tomar | r! |→ ∞ como a
i
configuração de referência tal que
Ui = 0
ŷ
Q
x̂
Ou seja,
Com isto podemos definir a função
energia potencial U (r! ) :
!
r
! !
!
U (r ) = − ∫ q0 E.dl
∞
! é o negativo do trabalho realizado pela força do campo
U (r )
elétrico para trazer a partícula com carga q0 desde o infinito até r!.
O potencial elétrico
É a energia potencial por unidade de carga:
U
V≡
q
ΔU
ΔV ≡
q
Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da
distribuição de cargas.
Unidade: volt = joule/coulomb = J/C
Unidade de energia conveniente para cargas
elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J
Potencial em função do campo:
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl
!
ri
Se escolhermos o infinito como referência:
!
r !
!
" !
V ( r ) = − ∫ E ( r ) . dl
∞
O potencial elétrico
Superfícies equipotenciais
São superfícies em que todos os
pontos têm o mesmo potencial.
WI , WII , WIII e WIV = ?
!
As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Por quê?
O potencial elétrico
V de um campo uniforme
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl
!
ri
a)
V f − Vi = − Ed
b)
V f − Vi = − Ed
a)
b)
Vemos que o resultado não
depende do caminho da integração.
Portanto, para se calcular V,
pode-se sempre escolher o caminho
mais simples.
i
f
O potencial elétrico
O potencial de uma carga
puntiforme
!
rf
! ! "
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
!
1 q
E=
rˆ
2
4πε 0 r
!
V f − Vi = − E (r )dr = −
∫
!
ri
(Novamente, escolhemos
V = 0 para r → ∝ )
i
Com isto:
!
V (r ) =
!
rf
q
4πε 0 r
r
1 q
dr
2
4πε 0 r
∞
∫
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes
-
+
ẑ
! ri
-
!
r
-
qi
! !
4πε 0 | r − ri |
+
+
+
x̂
!
Vi (r ) =
! !
r − ri
ŷ
!
V (r ) =
∑
i
!
Vi (r ) =
∑
i
(soma escalar!)
qi
! !
4πε 0 | r − ri |
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes (exemplo)
d = 1,3m
q1 = 12 nC
q2 = −24 nC
q3 = 31 nC
q4 = 17 nC
VP = ?
q = 12 × e
!
VC = ?
EC = ?
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico
!
V (r ) =
∑
!
Vi (r ) =
i
∑
i
qi
! !
4πε 0 | r − ri |
r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ
r( − ) r( + ) ≈ r 2
p cos θ
!
V (r ) =
4πε 0 r 2
Ou:
! !
!
p. r
V (r ) =
4πε 0 r 3
!
V (r ) =
q
q
−
4πε 0 r( + ) 4πε 0 r( − )
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico
O dipolo elétrico pode ser permanente ou
induzido por um campo externo que separa
o centro de cargas positivas do das
negativas.
Distribuição contínua de cargas
ẑ
!
dq (r !)
! !
r − r!
P
!
r
!
r!
! !
dV (r , r !)
ŷ
x̂
!
1 dq (r ")
!
V (r ) =
! !
4πε 0 | r − r " |
(V , S ou L )
∫
Distribuição contínua de cargas
!
dq (r !)
!
dq (r !)
!
dq (r !)
!
!
!
linear : dq( r !) = λ ( r !) dl ( r !)
!
!
!
superficial : dq (r !) = σ (r !) dA(r !)
!
!
!
volumétrica : dq (r !) = ρ (r !) dV (r !)
Distribuição contínua de cargas
O potencial de uma linha finita de carga ( dq = λ dx )
!
1 dq (r ")
!
V (r ) =
! !
4πε 0 | r − r " |
(V , S ou L )
∫
L
1
V=
4πε 0
0
∫
λdx
x2 + d 2
& L + L2 + d 2 #
λ
V=
ln $
!
4πε 0 %
d
"
Distribuição contínua de cargas
O potencial de um disco carregado
dq = 2πσ R!dR!
!
1 dq (r ")
!
V (r ) =
! !
"
4
πε
|
r
−
r
|
0
(V , S ou L )
∫
R
1 2π σ R"dR"
V ( z) =
2
2
4
πε
"
z
+
R
0
0
∫
σ
2
2
V ( z) =
( z + R − | z |)
2ε 0
O campo elétrico
Obtenção do campo a partir do potencial elétrico
dV = − E cos θ ds
dV
−
= E cos θ
ds
!
∂V
Es = −
= −∇V ⋅ sˆ ,
∂s
que é a derivada direcional do campo
elétrico na direção do deslocamento
!
!
E = −∇V
Dedução alternativa
!
rf
! " !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl
!
ri
! !
dV = − E.dl
Sejam, em coordenadas cartesianas:
!
E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ
V = V ( x, y , z )
! !
E.dl = E x dx + E y dy + E z dz
Então:
∂V
∂V
∂V
dV =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Por (1):
∂V
∂V
∂V
Ex = −
; Ey = −
; Ez = −
∂x
∂y
∂z
Ou seja:
!
!
E = −∇V
(1)
O campo elétrico
Campo de um disco uniformemente carregado
!
!
E = −∇V
Vimos:
σ
V ( z) =
( z 2 + R 2 − | z |)
2ε 0
Neste caso, V = V (z ) somente. Então:
∂V
Ez = −
∂z
Ou, derivando:
!
σ & z
z
#
E( z) =
$ − 2
! zˆ
2
2ε 0 % | z |
z +R "
(resultado já conhecido)
A energia potencial elétrica de um sistema de
cargas
É o trabalho executado por um agente externo
para trazer todas as cargas do infinito até a
configuração desejada. Dada a energia potencial
elétrica entre cada par de cargas
qi q j
U ij =
! ! , temos que:
4πε 0 | ri − rj |
qi q j
!
1
1
U= ∑
= ∑ qiV ( ri ) ,
2 i , j 4πε 0 rij 2 i
i≠ j
onde V ( ri ) é o potencial na posição da carga i.
A generalização para uma distribuição
contínua de cargas com densidade ρ é:
1
U = ∫ ρ (r )V (r )dv
2
q1 = q
q2 = −4q
q3 = 2q
W =?
Potencial de um condutor carregado isolado
Condutor esférico
+
+
+
!
E
+
!
E=0
+
+
+
+
+
+
+
Dentro: r < R
Q
V (r ) =
4πε 0 R
!
rf
! ! !
V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr
∫
!
ri
ou
!
!
E = −∇V
Fora: r > R
Q
V (r ) =
4πε 0 r
Potencial de um condutor carregado isolado
Exemplos
A superfície de um condutor
isolado, carregado ou não, é
uma equipotencial.