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Transcrição

1
EDITORIAL
Esta é a primeira edição do
Jornal Soluções Matemáticas,
que pretende trazer informação,
conteúdo e, claro, soluções de
problemas de Matemática.
Gráficos
apontam
as
principais
dificuldades
matemáticas de alunos ingressantes em cursos ligados
às Ciências Exatas e Engenharia. Página 7
Por que Pi = 3,14...?
VEJA NESTA EDIÇÃO:
Apresentação da solução de alguns problemas,
a maioria envolvendo conceitos de Cálculo
Diferencial, os quais foram selecionados tendo
em vista as dúvidas observadas no projeto PréCálculo, realizado no Campus de Santo Antônio
da Patrulha da Universidade Federal do Rio
Grande – FURG no início de 2015.
Esperamos que os artigos de
divulgação e apresentação de
soluções
aqui
apresentados
possam, pelo menos, lhe fornecer
um fragmento de informação
interessante, que faça você
perceber que a Matemática
pode ser muito mais do que
números, símbolos e formas.
Os editores.
08-09-2015.
Página 3
DESTAQUES
lógico.
Limites, derivadas e integrais
xx-08-2015.
Para estudos acadêmicos, trazemos em primeira mão
exemplos e resoluções de conceitos da Matemática
Universitária, utilizando heurística, interpretação e
propriedades
fundamentais,
para
melhor
entendimento na resolução de problemas.
Aprendizagem Matemática
Página 2
Torre de Hanói
Material
pedagógico
desenvolvimento
do
que
estimula
o
raciocínio
lógico.
Confira algumas curiosidades sobre ele na
página 5.
História matemática
Manifold Destiny
Na página 6 o leitor poderá acompanhar a
primeira parte da história do cientista russo que
em 2006 recusou o maior prêmio em
Matemática: a medalha Fields.
Saiba um pouco mais a respeito deste divertido
jogo na página 5.
Ábaco
Este é outro material pedagógico que estimula o
aprendizado e desenvolvimento do raciocínio
Desafios
Você gosta de desafios? Então dê uma olhada
na página 8.
1
Matemática divertida
Veja como aprender Matemática brincando.
Passatempo, palavras cruzadas e muito mais.
Conheça as ferramentas mais divertidas para praticar
a Matemática acadêmica de uma forma divertida.
Página 8
Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015
Taxas de Variação: Um Exemplo
Propriedades dos Limites: Um Exemplo
Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP)
Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP)
Problema: Calcule a tendência de 𝑓 quando 𝑥 tende a zero, sendo 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥
4 cos 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 + 3 .
Problema: Qual a taxa de variação da posição, ao longo do tempo, de um
objeto no instante 𝑡 = 2 segundos, sabendo que a equação que descreve a
posição (em metros) em função do tempo é 𝑓 𝑡 = 𝑡 4 − 5 ?
𝑥 −1
Técnica: Propriedades Aritméticas dos Limites.
Solução: (verificada no software WxMaxima)
Técnica: Derivação de Polinômios.
lim cos 𝑥 = 1
Solução: aplicando t=2 na função derivada têm-se a taxa de variação
nesse instante. 𝑓′ 𝑡 = 4𝑡 3 ⇒ 𝑓′ 2 = 4. 2 3 ⇒ 𝑓′ 2 = 32. Isto significa
que no instante 𝑡 = 2 segundos a taxa de variação é 32 metros por segundo.
𝑥→0
lim 𝑒 𝑥 = 1
𝑥→0
lim 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3
𝑥→0
Heurística no Cálculo de Limites
lim 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 0
𝑥→0
lim 𝑥 3 − 1 = 0 − 1 = −1
𝑥→0
Problema: Calcule a tendência de 𝑓 quando 𝑥 tende a infinito, sendo
1
𝑓 𝑥 = 2?
Logo, como o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o
produto dos limites e o limite do quociente é o quociente dos limites:
𝑥
Heurística: (que pode ser executada apenas mentalmente).
lim 𝑓 𝑥 = 4.1 − 1.3 +
𝑥→0
0
−1
⇒ lim 𝑓 𝑥 = 4 − 3
𝑥→0
⇒ lim 𝑓 𝑥 = 1
𝑥→0
Uma Derivada Complexa
𝑠𝑒𝑛
Figura 1: Gráfico da Função no Geogebra.
Fonte: Os autores.
Técnica: Regra da Cadeia. (é importante destacar que as regras básicas de
derivação, como derivadas trigonométricas e polinomiais, assim como a Regra
da Cadeia, continuam válidas para funções complexas).
1
Quando 𝑥 = 1 tem-se 𝑓 𝑥 = = 1
1
Quando 𝑥 = 10 tem-se 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
= 0,1
1
100
= 0,01
1
1000
⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
= 0,001
1
1000000000
⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥2
⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
= 0.
5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 .
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 . 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖
1
2
′
2𝑧 − 1 . 𝑐𝑜𝑠
2.
𝑧2
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖
− 𝑧 + 3𝑖
Um Exemplo Envolvendo Integrais Indefinidas
ln 𝑥
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ′
1
1 2
. 𝑧 − 𝑧 + 3𝑖 −2 . 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ′
2
1
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 .
. 2𝑧 − 1
2. 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖
⇒ 𝑓′ 𝑧 =
Um Exemplo de Uso das Propriedades da Derivação
Problema: Calcule a derivada de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 =
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 .
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 .
= 0,000000001
Técnica: Cálculo do Limite.
Solução: lim𝑥→∞
Problema: Calcule a derivada da função complexa 𝑓, sendo 𝑓 𝑧 =
𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ?
Problema: Calcule a integral indefinida de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 =
+ 𝑥2 + 1 𝑒𝑥 −
𝑥+2
𝑥4
.
Técnica: Integração de funções.
Técnica: Propriedades aritméticas de derivação.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ln 𝑥 . cos 𝑥
5
𝑓′ 𝑥 = 𝑥
+ 2𝑥 . 𝑒 𝑥 + 𝑥 2 + 1 . 𝑒 𝑥 −
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
1 + 𝑥2
⇒
2
𝑥+2
𝑑𝑥 =
𝑥4
𝑥 −3 𝑑𝑥 + 2
𝑥 −4 =
𝑥
2
+
𝑑𝑥 =
𝑥4 𝑥4
𝑥 −3 + 2𝑥 −4 𝑑𝑥
𝑥 −2 2𝑥 −3
1
2
+
+𝑐 =− 2− 3+𝑐
−2
−3
2𝑥
3𝑥
2
Por que Pi = 3,14 ... ?
Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior (FURG-SAP)
Quando dividimos o comprimento 𝐶 de uma circunferência por seu
diâmetro 𝐷, o resultado é sempre 𝜋. Este número é irracional e transcendente.
Isto significa que ele não pode ser escrito em forma de fração com números
inteiros no numerador e denominador, e ainda, que não existe uma equação
algébrica com coeficientes inteiros, para a qual 𝜋 seja solução.
Como Arquimedes chegou nesse resultado? Ele utilizou o Método da
Exaustão, que consiste em tomar polígonos inscritos e circunscritos muito
próximos do contorno da circunferência (CARVALHO, 2011). A Figura 1 a
seguir apresenta a circunferência de diâmetro unitário com um hexágono
inscrito. Esta figura foi produzida pelos autores no software Geogebra (2015),
apenas para fins de ilustração da ideia principal do método utilizado por
Arquimedes.
Devido
aos
recursos
computacionais
atuais,
sabe-se
que
𝜋 = 3,141592653589793 …. Na verdade, pesquisadores da Universidade de
Santa Clara, nos Estados Unidos, já conseguiram estimar 𝜋 com cerca de oito
quatrilhões de casas decimais, e são detentores do recorde mundial de número
de casas decimais utilizadas em aproximações de 𝜋 até o momento (14:08 horas
do dia 23/04/2015). Você deve estar se perguntando: para que tanta precisão? E
tem razão, afinal, não há tecnologia no mundo com tamanha exigência.
Contudo, o processo de cálculo dos dígitos de 𝜋 pode ser um importante
parâmetro para testar a capacidade de novos computadores, já que em termos
conceituais, a discussão sobre 𝜋 como problema matemático de pesquisa já está
obsoleta. Em 2005, o engenheiro aposentado japonês Akira Haragushi
memorizou e recitou durante 16 horas 100000 casas de 𝜋! Por que ele fez isso?
Sinceramente, não sabemos. Ou foi puro deleite pessoal, ou possivelmente
tenha sido de alguma forma patrocinado para entrar no livro dos recordes.
O fato é que o número 𝜋 tem intrigado muitos matemáticos ao longo dos
séculos. Vários cientistas conhecidos já tentaram estimar 𝜋. Euler foi o
primeiro a suspeitar da sua irracionalidade, provada mais tarde por Lambert.
Euler, mais tarde, também conjecturou sobre o fato de 𝜋 ser um número
transcendental, mas se passou mais de um século até Lindemann demonstrar
este fato. E ainda assim, muitos continuaram (e talvez até continuem!) tentando
resolver o problema da quadratura do círculo, o que só poderia ser possível caso
𝜋 não fosse transcendente (LIMA, 1991).
Figura 1: Método da Exaustão no Geogebra.
Fonte: Os autores.
Evidentemente, a área e o perímetro destes polígonos não são iguais a da
circunferência, mas são bem próximas. E se pudesse haver limitantes inferiores e
superiores suficientemente próximos da área da circunferência, a média destes
limitantes seria uma boa estimativa. Esta foi a ideia de Arquimedes. E também é
a base intuitiva e histórica do Cálculo Integral, que é uma importante ferramenta
para a Física, a Economia, a Engenharia e várias outras áreas do conhecimento.
O problema da quadratura do círculo é um antigo desafio dos geômetras da
Grécia, que consistia em “construir, com o auxílio de régua e compasso, um
quadrado cuja área fosse igual a de um círculo dado”. A relação entre o
comprimento e o diâmetro de circunferências é conhecida há mais de 4000
anos. Segundo registros históricos (BECKMAN, 1982), os mesopotâmicos e
também os egípcios já conjecturavam, devido à experiência técnica, que havia
alguma relação entre comprimento e diâmetro de circunferências, e até mesmo
buscavam algumas aproximações para áreas circulares. Não sabiam exatamente
quanto valia 𝜋, mas intuitivamente usavam uma constante que o aproximava
(BORTOLETTO, 2008).
Em princípio, qualquer polígono poderia ser utilizado. Arquimedes escolheu
hexágonos porque sabia que cada lado de um hexágono regular inscrito numa
circunferência é igual ao raio da circunferência. Em uma circunferência com
diâmetro unitário, isto significa que a primeira aproximação inferior para 𝜋 seria
o número 3 exato, o que facilitaria um pouco os cálculos iniciais.
Arquimedes também inscreveu e circunscreveu polígonos de 12, 24, 48 e 96
lados, duplicando os polígonos com régua e compasso para obter maior precisão
(DELLAJUSTINA e MARTINS, 2014). A aproximação publicada no livro A
Medida do Círculo foi obtida com polígonos de 96 lados.
O matemático grego Arquimedes foi o primeiro a tentar estimar de forma
sistemática o número 𝜋, baseando-se no livro Elementos, de autoria de
Euclides, matemático e diretor da Biblioteca de Alexandria. Um dos trabalhos
de Arquimedes mais conhecidos é A Medida do Círculo (PEDROSO, 2013).
Neste trabalho Arquimedes prova a seguinte proposição: “Se 𝐶 é o
comprimento da circunferência e 𝐷 é o diâmetro, então tem-se a desigualdade
10
10
10
1
3+
𝐷 <𝐶 < 3+
𝐷, isto é, 3 +
< 𝜋 < 3 + , com 𝐷 = 1”. É
71
70
71
7
importante ressaltar que 𝜋 era considerado o comprimento da circunferência
com diâmetro unitário.
Bughay (2012), em seu trabalho de conclusão do Curso de Licenciatura em
Matemática, apresenta algumas ferramentas computacionais do software
Geogebra (2015) que reproduzem várias construções matemática feitas por
Arquimedes, inclusive o Método da Exaustão para estimar 𝜋. A facilidade de
operar com a inscrição e a circunscrição de figuras nestes softwares permite que
o usuário reconstrua rapidamente os longos processos realizados por
Arquimedes com régua e Compasso.
A partir do resultado acima, Arquimedes passou a utilizar a média
aritmética entre os limitantes inferior e superior, isto é, ele utilizava a
141
aproximação 𝜋 = 3 +
quando precisava utilizar este valor em cálculos de
994
área ou volume. A notação decimal surgiu apenas com François Viète no século
XVI. Se Arquimedes a tivesse conhecido, ele teria estimado, por meio de
desigualdades, que 3,140845 < 𝜋 < 3,142857, com seis casas decimais após
a vírgula. Tendo em vista os recursos dos quais dispunha na época, esta é uma
boa aproximação para 𝜋, na verdade a mais precisa até então. E também a
primeira obtida via métodos dedutivos. Em representação decimal, a média
utilizada por Arquimedes seria 𝜋 = 3,141851 …, que é exata até a terceira casa
decimal após a vírgula.
O Método da Exaustão não possui importância didática, mas é a forma
dedutiva mais simples de aproximar o número 𝜋, ou seja, é uma técnica de
construção que não envolve o uso de conhecimento teórico avançado. A
importância deste método hoje reside no fato de que ainda é uma justificativa
formal para a questão “Por que 𝜋 é aproximadamente 3,14 …?”, e mais do que
isso, talvez seja a mais simples e direta. Por isso vale a pena tentar reexplicá-la e
aprimorá-la, tendo em vista os novos métodos computacionais, não acessíveis
para muitos matemáticos que tentaram respondê-la no passado. Embora a
questão já esteja encerrada em termos conceituais, a forma computacional
sempre pode ser aperfeiçoada, e na verdade isto já está sendo feito largamente
em muitas instituições de ensino e pesquisa pelo mundo.
3
3
CARVALHO, Sônia Pinto de. A Área e o Perímetro de um Círculo.
Publicações do 1º Colóquio Regional Sudeste de Matemática, Universidade
Federal de Minas Gerais, 2011. 52p.
REFERÊNCIAS
BBC. 2005. BBC NEWS. Disponível em: <http://news.bbc.co.uk/2/hi/asiapacific/4644103.stm>. Acesso em: 24 Abr. 2015 .
DELLAJUSTINA, Fernanda J.; MARTINS, Luciano C. Poderia Arquimedes
ter calculado π com areia e um bastão? Revista Brasileira de Ensino de
Física, v.36, n.3, 2014.
BECKMANN, Petr. A Hystory Of π (pi). The Golem Press, Colorado, 1982.
BORTOLETTO, Anésia Regina Schiavolin. Reflexões Relativas às Definições
do Número π (Pi) e à Presença da sua História em Livros Didáticos de
Matemática do Ensino Fundamental. 2008. Dissertação (Mestrado em
Educação) – Universidade Metodista de Piracicaba, Piracicaba, SP. 139p.
GEOGEBRA. Site Oficial do Software Geogebra. Disponível em:
<http://www.geogebra.org>. Acesso em: 30 Abr. 2015.
LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Sociedade Brasileira de
Matemática, 1991. 93p.
BUGHAY, Joaide de Fátima Colaço Silveira. Uma Proposta de Ensino para
Introduzir Conceitos do Cálculo Utilizando as Contribuições de
Arquimedes através do Uso do Geogebra. 2012. Trabalho de Conclusão de
Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade Estadual de Filosofia,
Ciências e Letras, União da Vitória, PR. 45p.
NVIDIA. 2013. NVIDIA Blog. Disponível em:
<http://blogs.nvidia.com/blog/2013/03/14/pi/>. Acesso em: 24 Abr. 2015 .
PEDROSO, Hermes Antônio. Arquimedes: Um Ponto de Apoio para o
Método Científico. Revista Eletrônica de Matemática, n.3, 2013.
Uma Inequação com Expressões Modulares
Cálculo de Limites com Diferença de Quadrados
Problema: Resolva a inequação 𝑥 + 1 − 𝑥 ≥ 2.
Problema: Calcule o limite lim𝑥→6
Técnica: Uso da definição de módulo.
.
Heurística:
𝑥+1 − 𝑥 ≥2
lim
⇒ 𝑥+1 − 𝑥 −2 ≥0
𝑥→6
Por definição,
1º caso 𝑥 < −1 : −𝑥 − 1 − 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 − 3 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 ≥
3
3
3 → 2𝑥 ≤ −3 ⇒ 𝑥 ≤ − . Neste caso, as desigualdades 𝑥 < −1 e 𝑥 ≤ −
2
2
devem ser simultaneamente satisfeitas. Assim, a solução para este primeiro
3
caso é 𝑥 ≤ − .
2
lim
𝑥→6
2º caso −1 ≤ 𝑥 < 0 : 𝑥 + 1 − 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ −1 ≥ 0 ⇒ ∄. Neste caso,
não há possibilidade da inequação ser satisfeita, pois qualquer tentativa de
isolar a incógnita resulta na contradição −1 ≥ 0.
𝑥−2−2
= lim
𝑥→6
𝑥−6
= lim
𝑥→6
3º caso 𝑥 ≥ 0 : 𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑥 ≥
1
. Neste caso, as desigualdades 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 ≥ devem ser simultaneamente
2
𝑥−2−2
6−2−2
4−2 2−2 0
=
=
=
=
𝑥−6
6−6
0
0
0
Isto é uma indeterminação. É preciso tentar transformar a expressão
operada pelo limite para talvez eliminar esta indeterminação. No caso deste
problema, aparentemente a diferença de quadrados pode funcionar, já que
𝑥 − 2 − 2 . 𝑥 − 2 + 2 = 𝑥 − 6, que é exatamente uma das expressões
do denominador.
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥+1 =
,e 𝑥 =
.
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
2
𝑥−6
Técnica: Uso da diferença de quadrados.
Solução:
1
𝑥−2−2
= lim
𝑥→6
1
satisfeitas. Assim, a solução para o terceiro caso é 𝑥 ≥ .
1
𝑥−2+2
𝑥−2+2
𝑥−6
𝑥−6 .
=
𝑥−2+2
𝑥−2−2
.
𝑥−6
𝑥−2+2
1
6−2+2
=
=
=
1
4+2
=
1
1
=
2+2
4
2
Um Exemplo Envolvendo Integrais Definidas
Logo, reunindo as soluções de cada intervalo em um mesmo conjunto,
3
1
tem-se que 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ − 𝑜𝑢 𝑥 ≥
é o conjunto solução da inequação
2
2
modular.
Problema: Calcule a integral definida de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 2, no
intervalo real entre 1 e 3.
Um Problema de Proporção
Técnica: Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
3
3
Problema: Três pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um
muro em quatro horas de trabalho. Se ao invés de três, fossem seis pedreiros,
em quantas horas tal muro poderia ser construído?
1
𝑥 4 + 2 𝑑𝑥 =
1
𝑥5
+ 2𝑥
5
3
1
3
⇒
Técnica: Regra de Três Simples Inversa.
1
35
15
+ 2.3 −
+ 2.1
5
5
3
Solução:
⇒
6 4
12
= ⇒ 6𝑥 = 3 × 4 ⇒ 6𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 =
⇒𝑥=2
3 𝑥
6
1
3
⇒
1
4
243
1
+6− −2
5
5
242
242 20 262
+4 =
+
=
5
5
5
5
4
Torre de Hanói
Ábaco
João Alberto da Silva (FURG)
O ábaco é um instrumento utilizado para realizar cálculos aritméticos.
Antes da invenção do computador, e mais recentemente, da calculadora
eletrônica pessoal, era o dispositivo de cálculo mais utilizado para resolver
mecanicamente cálculos matemáticos.
A Torre de Hanói é um jogo lançado pela primeira vez em 1883 pelo
matemático francês Édouard Lucas. Sabe-se que ele já era bastante popular na
China, no Japão e no Vietnã antes de ser comercializado. O nome é inspirado
nas características arquitetônicas de prédios muito conhecidos do Vietnã.
Têm-se registros de uso de variados tipos de ábaco pelos povos antigos.
Na mesopotâmia, no Egito, na Grécia, em Roma, na América, na Índia, na
China, no Japão, na Rússia, enfim, em vários lugares do mundo o ábaco foi
utilizado (BOYER, 2003). Os tipos de ábaco mais populares, nos quais são
baseados muitos dos ábacos pedagógicos produzidos nos dias de hoje, são: o
japonês, o chinês e o russo. O ábaco da Figura 1 é bastante similar ao russo.
Na União Soviética, este tipo de ábaco foi utilizado nas escolas, lojas e
restaurantes até a década de 1990 (ALMEIDA, 1990), quando foi largamente
substituído pela calculadora eletrônica.
Outro matemático chamado Henri De Parville, na mesma época em que o
jogo foi lançado na França, ajudou a popularizar uma antiga lenda da cultura
hindu sobre a Torre de Hanói. Segundo esta lenda, debaixo do centro do
mundo, existe uma placa de bronze muito fina na qual estão fixados três
longos bastões de diamante. Quando Deus criou o mundo, ele deixou 64
discos de ouro em um dos bastões, de tal maneira que o tamanho de cada
disco decrescia de baixo para cima. Monges seriam encarregados de transferir
os discos de um bastão para o outro, de acordo com duas leis: 1) não poderiam
mover mais do que dois discos por vez; 2) não poderia haver um disco maior
sobre um menor. Segundo a lenda, no momento em que os 64 discos fossem
completamente transferidos pelos monges para outro bastão, tudo seria
transformado em pó e o mundo desapareceria.
Édouard Lucas ofereceu um milhão de francos para quem resolvesse o
problema das torres com 64 anéis. Ninguém recebeu o prêmio, pois ainda que
uma pessoa levasse um segundo para realizar cada movimento, levaria cerca
de 600 bilhões de anos. Mais detalhes sobre a lenda da Torre de Hanói podem
ser encontrados em Manoel (2015).
Apesar de ter sido lançada há mais de um século, a Torre de Hanói é um
jogo muito eficaz para o desenvolvimento de raciocínios associados com
recursividade e inclusão hierárquica de classes. Bairral (2001) apresenta
algumas atividades didáticas utilizando a Torre de Hanói. Na Figura 1 tem-se
um exemplo de Torre de Hanói para uso escolar.
Figura 1: Ábaco.
Fonte: Laboratório de Matemática FURG-SAP.
Atualmente, devido aos avanços tecnológicos, o ábaco não tem mais sido
utilizado como o principal instrumento de cálculo, mas o contato com ele na
infância pode auxiliar na construção do conceito de número e na compreensão
do funcionamento do sistema de numeração decimal. Também destaca-se o
uso do ábaco no ensino de Matemática para estudantes deficientes visuais.
Gerhardt (2007) descreve algumas atividades que podem ser realizadas com o
ábaco na construção do conceito de número e no aprendizado das operações
aritméticas elementares. Na internet também é possível encontrar réplicas
digitais do ábaco. O website Nosso Clubinho (2015), por exemplo,
disponibiliza um ábaco virtual.
Figura 1: Torre de Hanói.
Fonte: Laboratório de Matemática FURG-SAP.
O número de movimentos necessários para resolver a Torre de Hanói
depende do número de anéis a serem transferidos. Com 2 anéis o número
mínimo de movimentos é 3, com 3 anéis o número mínimo é 7, com 4 anéis o
número mínimo é 15, e generalizando, com 𝑛 anéis o número mínimo de
movimentos é 𝑀 = 2𝑛 − 1. Hefez (2009) apresenta uma demonstração desta
fórmula. É importante frisar que nesta relação entre as grandezas anéis e
número de movimentos, estamos nos referindo ao número mínimo de
movimentos, pois um jogador pode levar uma quantidade maior para mover os
anéis de um bastão à outro. Uma Torre de Hanói virtual pode ser encontrada
no website Gameson (2015).
Figura 2: Ábaco Virtual.
Fonte: NOSSO CUBINHO, 2015.
Referências
BAIRRAL, M. A. Movendo discos, construindo torres e matematizando com
futuros professores. Boletim GEPEM, n.38, p.95-110, Rio de Janeiro, 2001.
Referências
GAMESON. Torre de Hanói. Disponível em:
<http://www.gameson.com.br/Jogos-Online/ClassicoPuzzle/Torre-deHanoi.html>. Acesso em: 28 mai. 2015.
ALMEIDA, Maria Hermínia Tavares de. Kautsky na praça vermelha?. Revista
Novos Estudos CEBRAP, n.26, p.159-163, 1990.
HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Sociedade Brasileira de
Matemática, Rio de Janeiro, 2005.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2.ed. Revisão de Uta C. Merzbach.
Tradução de Elza F. Gomide. Editora Edgar Blücher, São Paulo, 2003.
MANOEL, Luís Ricardo da Silva. Torre de Hanói. Disponível em:
<http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/torre_d
e_hanoi.pdf>. Acesso em: 28 mai. 2015.
GERHARDT, Eliane. Ábaco - Construindo a noção de número inteiro e
realizando adição e subtração. Revista do Professor, Ano 23, n.92, out./dez.,
p.30-35, Porto Alegre, 2007.
NOSSO CLUBINHO. Ábaco Virtual. Disponível em:
<http://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/>. Acesso em: 19 jun. 2015.
5
5
Manifold Destiny (Parte 1)
Sylvia Nasar e David Gruber
Traduzido por Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) e Andrei Bourchtein (UFPEL)
Texto Original em Inglês (completo): http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2
Na noite de 20 de junho, várias centenas de fisicos, entre eles o laureado
com o Prêmio Nobel, reuniram-se no auditório do Hotel Friendship em Pequim
para uma palestra do matemático Chinês Shing-Tung Yau. No final dos anos
1970, quando Yau tinha cerca de 20 anos de idade, ele realizou uma série de
avanços que ajudaram a inaugurar a Teoria das Cordas, revolucionou a física e
ganhou merecidamente, além da medalha Fields (a maior premiação em
matemática) uma reputação em ambas as áreas de pensador de incomparável
força técnica.
No entanto, a Medalha Fields, que é concedida a cada 4 anos, a um número
que varia de 2 a 4 matemáticos, não é apenas uma premiação para conquistas do
passado, mas também um estímulo para pesquisas futuras; por esta razão, ela é
dada apenas a matemáticos de 40 anos ou mais jovens. Nas décadas recentes,
como o número de profissionais da matemática cresceu, a Medalha Fields
tornou-se um aumento do prestígio. Somente 44 medalhas foram dadas nos
últimos (aproximadamente) 70 anos (incluindo 3 trabalhos que dizem respeito à
conclusão da conjectura de Poincaré) e nenhum matemático recusou o prêmio.
Todavia, Perelman disse a Ball que não intencionava aceitá-la. “Eu recuso”, ele
disse simplesmente.
Desde que Yau se tornou professor de matemática da Universidade de
Harvard e diretor do Instituto de Matemática em Pequim e Hong Kong, ele
divide seu tempo entre os Estados Unidos e a China. Sua palestra no Hotel
Friendship foi parte de uma conferência internacional sobre Teoria das Cordas,
organizada por ele e patrocinada pelo governo chinês, em parte para promover
recentes avanços do país na física teórica. (mais de 6 mil estudantes assistiram o
discurso de abertura, feito pelo amigo íntimo deYau, Stephen Hawking, no
Grande Salão do Povo.) O tópico de Yau falava sobre algo que poucos na
conferência conheciam a fundo: a conjectura de Poincaré, um secular enigma
sobre as características das esferas tridimensionais, o qual, por ter implicações
importantes na matemática e na cosmologia e por escapar de todas as tentativas
de solução, é visto pelos matemáticos como um Santo Graal.
Em um período de 8 meses, começando de novembro de 2002, Perelman
publicou uma demonstração do problema de Poincaré na Internet em três
capítulos. Assim como um soneto ou uma ária, uma demonstração matemática
tem uma forma distinta e um conjunto de convenções. Ela começa com os
axiomas, ou verdades aceitas, e emprega uma série de proposições lógicas para
chegar até a conclusão. Se a lógica em consideração é segura, então o resultado
é um teorema. Diferentemente das provas de julgamentos ou provas científicas,
as quais baseiam-se em evidências e por isso são submetidas à averiguação e
revisão, uma demonstração de teorema é definitiva. A exatidão das
demonstrações é julgada por peritos-revisores de revistas especializadas; para
um resultado satisfatório, a escolha dos revisores pelos editores da revista deve
ser minuciosa, e a identidade de um estudante cujo trabalho é de baixa
relevância é mantida em segredo. A publicação de uma demonstração implica
que esta é completa, correta, e original.
Yau, um robusto homem de 57 anos, deu sua palestra com uma camisa de
mangas e um óculos de aros negros, e com suas mãos nos bolsos, descreveu
como dois de seus estudantes, Xi-Ping Zhu e Huai-Dong Cao, completaram
uma demonstração da Conjectura de Poincaré precocemente em poucas
semanas. “Eu estou muito otimista com relação ao trabalho de Zhu e Cao”, Yau
disse. “Os matemáticos chineses têm razão para estarem orgulhosos do grande
sucesso obtido na solução completa do enigma”. Ele disse que Zhu e Cao
ficaram em débito com seu colaborador americano de longa data Richard
Hamilton, que merecia a maior parte dos créditos da solução do problema de
Poincaré. Ele também mencionou Grigory Perelman, um matemático russo que
ele conhecia, que deu uma importante contribuição. Não obstante, Yau disse,
“no trabalho de Perelman, apesar de ser espetacular, muitas idéias principais das
demonstrações estão esboçadas e resumidas, e os detalhes completos estão
omitidos”. Ele adicionou, “Nós gostariamos que Perelman fizesse comentários.
Mas Perelman mora em São Petersburgo e se recusa a se comunicar com outras
pessoas”.
De acordo com estes padrões, a demonstração de Perelman era fora do
comum. Ela foi uma surpreendente síntese de uma ambiciosa parte do trabalho;
seqüências lógicas que poderiam ser elaboradas ao longo de muitas páginas
foram com frequência resumidas de maneira fragmentada. Mais ainda, a
demonstração não fez menção direta de Poincaré e incluiu vários resultados
elegantes que eram irrelevantes para o problema central. Mas, 4 anos mais
tarde, pelo menos 2 equipes de especialistas vetaram a demonstração e
encontraram lacunas insignificantes ou erros no trabalho. Um consenso que
emergiu na comunidade matemática: Perelman esclareceu o problema de
Poincaré. Ainda assim, a complexidade da demonstração (e uso por Perelman
de pouca escrita na produção de algumas das mais importantes afirmações) fez
de sua demonstração um vulnerável desafio. Poucos matemáticos tiveram
esperteza necessária para avaliá-la e defendê-la.
Por 90 minutos, Yau apresentou alguns dos detalhes técnicos da
demonstração dos estudantes. Quando ele acabou, ninguém fez nenhuma
pergunta. À noite, entretanto, um físico brasileiro publicou um relatório da
conferência no seu blog. “Vejam como a China logo será também uma potência
na matemática”, ele escreveu.
Logo após dar uma série de palestras sobre sua demonstração nos Estados
Unidos em 2003, Perelman voltou para São Petersburgo. Desde então, apesar de
continuar respondendo perguntas por e-mail, ele tem muito pouco contato com
seus colegas e, por razões que ninguém entende, não tenta publicar sua
demonstração. Ainda assim, há poucas dúvidas de que Perelman, que fará 40
anos em 13 de Junho, mereça uma Medalha Fields. Assim que Ball começou a
planejar o congresso da I.M.U. em 2006, ele o concebeu como um evento
histórico. Mais de 3 mil matemáticos assistiriam, e o rei Juan Carlos da Espanha
concordou em presidir a cerimônia de entrega dos prêmios. O boletim da I.M.U.
predisse que o congresso seria lembrado como “a ocasião em que a conjectura
se tornou teorema”. Ball, determinado a fazer com que Perelman estivesse lá
com certeza, decidiu ir até São Petersburgo.
Grigory Perelman é realmente recluso. Ele deixou seu trabalho como
pesquisador do Instituto de Matemática de Steklov, em São Petersburgo, no
último dezembro; ele tem poucos amigos; e vive com sua mãe em um
apartamento nas redondezas da cidade. Embora ele nunca tenha concedido uma
entrevista antes, ele foi cordial e franco quando nós o visitamos, no último
junho, logo depois da conferência de Yau em Pequim, nos levando para uma
longa caminhada pela cidade. “Eu estou procurando por amigos, e eles não tem
que ser matemáticos”, ele disse. Na semana anterior a da conferência, Perelman
passou horas discutindo a conjectura de Poincaré com Sir John M. Ball, o
presidente de 57 anos da International Mathematical Union (União
Internacional de Matemática), a influente associação profissional da área. O
encontro, que teve como lugar central de discussão uma grandiosa mansão com
vista para o Rio Neva, foi altamente informal. No final de maio, uma comissão
de 9 proeminentes matemáticos decidiu premiar Perelman com a Medalha
Fields por seu trabalho sobre o problema de Poincaré, e Ball foi a São
Petersburgo para persuadi-lo a aceitar o prêmio em uma cerimônia pública
realizada no 25º congresso da I.M.U., em Madrid, no dia 22 de agosto.
Ball queria manter sua visita em segredo (os nomes dos laureados com a
Medalha Fields são anunciados oficialmente na cerimônia de entrega do
prêmio) e o local da conferência onde ele encontraria Perelman ficou vazio.
Durante 2 dias, 10 horas por dia, ele tentou persuadir Perelman a concordar em
aceitar o prêmio. Perelman, um homem magro, quase calvo, de barba crespa,
sobrancelhas espessas, e olhos verde-azuis, escutava educadamente. Ele não
falava inglês havia 3 anos, mas ficava eloqüentemente entretido com as
papagaiadas de Ball, até a hora em que levava Ball a um longo passeio (uma das
atividades favoritas de Perelman). Assim ele resumiu essa conversa 2 semanas
mais tarde: “Ele propôs a mim 3 alternativas: „aceitar e vir; aceitar e não vir, e
nós a enviaremos para você depois; ou eu não aceitar o prêmio‟. Desde o início,
eu disse a ele que ficaria com a terceira alternativa”. A Medalha Fields não
interessava a ele, Perelman explicou. “Este prêmio é completamente irrelevante
para mim”, ele disse. “Todos entenderam que se a demonstração está correta,
não é necessário haver um outro reconhecimento”.
A Medalha Fields, assim como o Prêmio Nobel, cresceu, em parte, do
desejo de colocar a ciência acima das animosidades nacionais. Matemáticos
alemães foram excluídos do primeiro congresso da I.M.U. em 1924, e, embora
tenha sido revogada antes do congresso seguinte, essa expulsão causou um
trauma, o que prejudicou o estabelecimento da Medalha Fields em 1936, que
planejava ser um prêmio “tão puramente internacional e impessoal quanto
possível”.
6
6
Limites Utilizando a Distributividade
Limites Utilizando Fatoração por Divisão de
Polinômios
Problema: Calcule o limite de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 =
número 3.
𝑥²−3𝑥
𝑥−3
, quando 𝑥 tende ao
Problema: Calcule o limite de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 =
𝑥³+𝑥²−𝑥−1
a 1.
Técnica: Uso da distributividade dos números reais.
𝑥−1
, quando 𝑥 tende
Técnica: Divisão de polinômios.
Heurística:
Heurística:
lim
𝑥→3
𝑥² − 3𝑥 3² − 3.3 9 − 9 0
=
=
=
𝑥−3
3−3
3−3 0
lim
𝑥→1
problema pode-se remover a indeterminação colocando-se 𝑥 em evidência, e
em seguida cortar 𝑥 − 3 do numerador com a mesma expressão do
denominador.
𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 1 + 1 − 1 − 1 0
=
=
𝑥−1
1−1
0
problema pode-se remover a indeterminação dividindo os polinômios.
Solução:
𝑥² − 3𝑥
𝑥−3
𝑥 𝑥−3
⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3
𝑥→3 𝑥 − 3
lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3
lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3
𝑥→1
𝑥→1
𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1
𝑥−1
⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥 = 3
𝑥→3
𝑥→3
⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥² + 2𝑥 + 1
𝑥→1
𝑥→1
⇒ lim 𝑓 𝑥 = 1 + 2 + 1 = 4
𝑥→1
No que os alunos têm mais dificuldade?
Os dois gráficos abaixo são resultados de um levantamento realizado no final do semestre 2015/01 com alunos do Campus Santo Antônio da Patrulha da
Universidade Federal do Rio Grande - FURG. Todos estavam cursando ou já haviam cursado a disciplina que aborda conceitos de Cálculo Diferencial. Cada estudante
poderia escolher dois assuntos.
Em qual assunto do Ensino Médio você tem mais dificuldade?
Em qual assunto do Cálculo Diferencial você tem mais dificuldade?
7
7
Alguns Desafios
Propostos originalmente por Vladimir I. Arnold (Números 2, 8 e 20)
Traduzidos e selecionados por Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior (FURG-SAP) e Vinicius Carvalho
Beck (FURG-SAP)
Original em Inglês (completo): http://imaginary.org/sites/default/files/taskbook_arnold_en_0.pdf
2 - Uma garrafa tampada custa 10 kopecks (moeda russa), enquanto a garrafa sozinha é 9 kopecks mais
cara do que a tampa. Quanto custa a garrafa sem a tampa?
8 - Há um lago circular na América do Sul. Todo ano, no dia primeiro de junho, a flor Vitória Régia
aparece no centro (ela emerge do fundo do mar, a suas pétalas deitam-se na água como lírios aquáticos).
Todo dia a área da flor dobra, e no dia primeiro de julho, finalmente cobre o lago inteiro, com a queda das
pétalas, e as sementes são jogadas para as profundezas. Em qual dia a área da flor é equivalente à metade
da área do lago?
EQUIPE EDITORIAL
20 - Você tem dois vasos de volumes 5 e 3 litros. Meça um litro (obtenha-o de um dos vasos).
Vinicius Carvalho Beck
Jorge Mauro da Silva Junior
REVISÃO
Alessandro da Silva Saadi
Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior
ENDEREÇO ELETRÔNICO
jornaljsm.wordpress.com
Horizontal
1.
4.
6.
8.
10.
12.
13.
14.
Retas imaginárias de uma função com limites infinitos.
Adjetivo que dá nome para funções do mesmo tipo que 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1.
Função trigonométrica cujo nome lembra sino.
Que palavra completa a expressão "pode até sair pela..."?
3,141516...
Complete a frase: a função sen−1 𝑥 é “...” de sen 𝑥.
Taxa de variação.
Significado da sigla “cos”.
Vertical
2.
3.
5.
6.
7.
9.
11.
Com isso calculamos áreas e/ou volumes.
Relação entre grandezas.
Torre de "..."? Dica: jogo matemático.
Um sobre cosseno.
Toda a Matemática só é possível por eles.
Já diz o ditado: "tudo tem...".
Ponto que pode ser máximo ou mínimo.
8
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