Um passeio pela sequˆencia de Fibonacci eon´umero de

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Um passeio pela sequência de Fibonacci e o
número de ouro
Reginaldo Leoncio Silva
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB - Campus de Itapetinga
Departamento de Ciências Exatas e Naturais - DCEN
22 de abril de 2015
Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Introdução
Neste Seminário iremos apresentar o seguinte:
A biografia do matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci).
Suas contribuições matemáticas.
A sequência que leva seu nome (Sequência de Fibonacci) e
suas propriedades elementares.
O número de ouro.
A relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci.
Aplicações da sequência de Fibonacci e do número de ouro.
Objetivos
Conhecer a história de Fibonacci e suas principais obras.
Apresentar o problema que deu origem a sequência de
Fibonacci.
Definir a sequência de Fibonacci, elucidando suas principais
propriedades elementares.
Conhecer o número de ouro e sua história.
Determinar o número de ouro.
Construir o retângulo e a espiral áurea.
Apresentar a conexão entre o número de ouro e a sequência
de Fibonacci.
Apresentar algumas aplicações dos números de Fibonacci e da
razão áurea.
Biografia de Fibonacci e suas principais obras
Leonardo de Pisa, Filho de um comerciante italiano chamado
Guilielmo dei Bonaccio, por isso ficou conhecido como
Fibonacci, viveu entre os anos de 1180 e 1250.
Figura: Fibonacci
Nasceu na cidade Pisa na Toscania (Itália).
Figura: ItUm
ália
passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Iniciou estudando assuntos relacionados a negócios e
comércio mercantil, recebendo parte de sua educação em
Bejaia, norte da África, onde seu pai desempenhava uma
função alfandegária.
A partir daı́, estudando com professores árabes, estudou
também Matemática no Egito, Siria e Grécia. Assim teve a
oportunidade de conhecer e estudar o sistema de numeração
indo-arábico.
Em 1202 retorna a Itália e escreve vários livros:
LIBER ABACI (1202): um livro sobre cálculos. Foi revisto em
1228 e nele encontra-se o problema dos coelhos.
PRACTICA GEOMETRIAE (1220): livro que aborda a
aplicação da álgebra à solução de problemas de Geometria e
trigonometria.
FLOS (1225): obra dedicada ao cardeal diácono Raniero
Capacci, com soluções para os problemas postos por João de
Parma.
LIBER QUADRATORUM (1225): É o maior livro que escreveu.
Trata de equações diofantinas, dedicado ao
imperador Frederico II.
O livro Liber Abaci (Livro do ábaco)
Mostra seus trabalhos em álgebra e aritmética, tais como:
métodos de cálculos com inteiros e frações, o cálculo de raı́zes
quadradas e cúbicas e a resolução de equações lineares e
quadráticas.
Tem muito a influência das álgebras de Al-Khowârizmı̂ e Abû
Kâmil.
Trata de conversão monetária e outros interesses do comércio
e de uma gama de problemas.
Este livro foi importante para a popularização dos números
indo-arábicos.
Sentença de abertura do Liber Abaci
A sentença de abertura do “Liber Abacci” trazia a seguinte
mensagem:
“Nouem figure indorum he sunt
987654321
Cym his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0,
quod arabice zephirum appelatur, scribur quilibet
numeus, ut inferius demonstratur”
(Estes são os nove algarismos indianos
987654321
Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os
árabes chamam de zephirum, pode-se escrever
qualquer numero, como se demonstrará a seguir.)
(EVES, 2004, p. 294)
O problema de reprodução dos coelhos
De todos os temas e problemas tratados no Liber Abaci o que
mais se destacou e que ainda hoje cria-se novas aplicações é o
problema dos coelhos, elucidado no livro História da Matemática de
Boyer (1974, p. 186):
Quantos pares de coelhos são produzidos num ano,
começando com um só par, se em cada mês gera um novo par
que se torna produtivo a partir do segundo mês?
Qual o número de casais de coelhos numa população
considerando-se que:
1
No primeiro mês tem-se apenas um casal;
2
Casais reproduzem-se somente após o segundo mês de vida;
3
Não há problemas genéticos no cruzamento cossanguı́neo;
4
Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal;
5
Os coelhos nunca morrem.
Solução:
1
A resolução deste problema gera uma sequência amplamente
estudada com várias aplicações na natureza e recheada de
inúmeras propriedade interessantes. Está sequência é
conhecida como sequência de Fibonacci.
Figura: Esquema de reprodução dos coelhos
A sequência de Fibonacci
Definição: A sequência de inteiros
(Fn ) : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .), onde F1 = F2 = 1 e
Fn = Fn−1 + Fn−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ N, recebe o nome de sequência
de Fibonacci. Seus termos chamam-se números de Fibonacci.
No Século XIX essa sequência foi devidamente chamada de
sequência de Fibonacci pelo matemático francês Edouard
Lucas (1842-1891).
Propriedades elementares
A soma dos primeiros números da sequência de Fibonacci é
igual a Fn+2 − 1.
A soma dos primeiros números de Fibonacci com ı́ndices
impares é igual a F2n
A soma dos primeiros números de Fibonacci com ı́ndices pares
é igual a F2n+1 − 1
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 = Fn Fn+1 , ∀n ≥ 1
Quaisquer dois números de Fibonacci consecutivos são primos
entre si.
Fm+n = Fm−1 Fn + Fn+1 Fm , ∀n ≥ 1, ∀m ≥ 2.
Prova da propriedade 4:
Vamos fazer a prova usando indução sobre n.
Para n = 1, temos que: (F1 )2 = 12 = 1.1 = F1 F2 . Logo o caso
base é verdade.
Suponhamos agora que
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 = Fn Fn+1 , ∀n ≥ 1.
Iremos provar que:
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 + (Fn+1 )2 = Fn+1 Fn+2 , ∀n ≥ 1.
Usando a hipótese de indução, temos que:
(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2 + . . . + (Fn )2 + (Fn+1 )2 =
Fn Fn+1 + (Fn+1 )2 = Fn+1 (Fn + Fn+1 ) = Fn+1 Fn+2 , como querı́amos
provar.
Fórmula de Binnet
No século XIX, o matemático francês Jacques Philippe Marie
Binet deduziu a fórmula que permite encontrar o enésimo
número da série de Fibonacci sem a necessidade de se
conhecer os números anteriores.
√ √ n n
5
1
1+
Para todo n ≥ 1, tem-se que Fn = √5
− 1−2 5
,
2
onde (Fn ) é a sequência de Fibonacci.
O número de ouro
Definição: O número de ouro, também conhecido como
proporção áurea, número áureo, secção áurea, proporção de
ouro, é um número irracional, cujo valor é:
√
1+ 5
φ=
= 1, 6180339887498948482045868343656 . . .
2
É um número muito misterioso e enigmático.
No Egito as pirâmides de Gizé foram construı́das usando a
razão áurea.
A razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base
da grande pirâmide é igual ao número de ouro.
Relações áureas na pirâmide
Figura: Pirâmide
Os Pitagóricos perceberam a secção de ouro na construção
da estrela pentagonal (ou pentagrama).
Temos que:
CA
CD
=
9,51
5,88
≈ 1, 61 e
BP
PE
=
5,88
3,63
≈ 1, 61
Euclides (360-295a.C.) escreveu em seus “Elementos” que
havia encontrado uma proporção que se repete na natureza.
esta proporção ele chamou de “média e extrema razão”.
Em 1509, o monge Luca Paccioli publicou o livro A Divina
Proporção, com ilustrações de Leonardo da Vinci (1452-1519).
Neste livro Paccioli diviniza a proporção áurea ligando-a ao
Criador.
A seção áurea
Definição: Diz-se que um ponto divide um segmento de reta
em média e extrema razão ou em seção áurea, se o mais longo
dos segmentos é média geométrica entre o menor e o
segmento todo. A razão entre o maior segmento e o menor
segmento chama-se razão áurea.
Entre outras palavras, dado um segmento AB de medida a + b,
seja C o ponto entre A e B, tal que, AC = a > CB = b como
mostra a figura abaixo.
Figura: Segmento áureo
Figura: Segmento áureo
Assim temos que:
AC
BC
=
AB
AC
⇒
a
b
=
a+b
a
⇒ a2 = ab + b2
Dividindo ambos os membros por b2 , obtemos:
a2
= ba + 1
b2
Como φ = ba , resulta que:
φ2 − φ − 1 = 0, cujas raizes são: φ =
√
1± 5
2
O retângulo áureo, a sequência de Fibonacci e a
espiral áurea
O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre as
medidas de seus lados é o número de ouro, ou seja, se x e y
são, respectivamente, o maior e o menor lado, tem se que:
√
1+ 5
x
=φ=
y
2
Por ser considerado uma figura esteticamente agradável, este
retângulo exerceu enorme influência em obras arquitetônicas e
em pinturas.
Construção da espiral áurea
Passos para a construção da espiral áurea no Geogebra:
Figura: Construção de um quadrado de lado 1
Figura: Construindo outro quadrado de lado 1
Figura: Construindo um quadrado de lado 2
Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP
Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP
Figura: Traçando a espiral no quadrado LMNG
Figura: Traçando a espiral no quadrado LEJK
Figura: Traçando a espiral no quadrado JDHI
Figura: Traçando a espiral no quadrado CFGH
Figura: Traçando a espiral no quadrado AEFB
Figura: Traçando a espiral no quadrado DABC
Relação entre o número de ouro e a sequência de
Fibonacci
Se rn =
Fn+1
Fn
então limn→∞ rn = L = φ =
√
1+ 5
2
Essa relação foi estabelecida primeiramente pelo matemático
escocês Robert Simpson, em 1753.
Prova:
Seja rn =
Fn+1
Fn ,
Fn +Fn−1
Fn
n ≥ 2. Como Fn+1 = Fn + Fn−1 , temos que:
F
1
rn =
= 1 + Fn−1
= 1 + rn−1
.
n
Seja limn→∞ rn = L. Como limn→∞ rn−1 = L, segue-se que:
L = 1 + 1L , ou seja, L2 − L − 1 = 0.
Resolvendo
esta equação vem que:
√
L = 1±2 5 .
Como rn ≥ 0, ∀n, podemos concluir que L =
querı́amos provar.
√
1+ 5
2
= φ, como
Potências de φ
Desenvolvendo as potências de φ, temos:
√ 2
√
√
φ2 = 1+2 5 = 1+2 4 5+5 = 1+2 45+4+1 = 1 +
1+
√
1+ 5
2
√
2+2 5
4
=
=1+φ
φ3 = φ2 φ = (1 + φ) φ = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ
φ4 = φ3 φ = (1 + 2φ) φ = φ + 2φ2 = φ + 2 (1 + φ) =
φ + 2 + 2φ = 2 + 3φ
φ5 = φ4 φ = (2 + 3φ) φ = 2φ + 3φ2 = 2φ + 3 (1 + φ) = 3 + 5φ
φ6 = φ5 φ = (3 + 5φ) φ = 3φ + 5φ2 = 3φ + 5 (1 + φ) = 5 + 8φ
................................................
φn = Fn−1 + Fn φ, n ≥ 2, onde (Fn ) é a sequência de Fibonacci.
Outras expressões que geram o número de ouro
O número φ pode ser gerado por outras expressões
interessantı́ssimas. Vejamos:
φ=1+
1
1+
1
1+
1+
1
1
1+...
r
φ=
q
√
1 + 1 + 1 + ...
Prova:
Fazendo y = 1 +
1
1+
1
1+
1+
1
1
1+...
, obtemos que: y = 1 + y1 , ou seja,
√
y 2 − y − 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 1±2 5
r
q
p
√
Fazendo y = 1 + 1 + 1 + 1 + . . ., obtemos que:
p
y = 1 + y. Daı́, y 2 = 1 + y,√ou seja, y 2 − y − 1 = 0.
Resolvendo obtemos: y = 1±2 5
A sequência de Fibonacci e o número de ouro na
natureza
A sequência de Fibonacci está intimamente relacionada com a
natureza. Ela aparece em inúmeras situações, seja na forma
de sequência numérica ou através da espiral de Fibonacci,
como por exemplo, nos troncos de árvores, em folhas, frutos,
animais, etc. A seguir, veremos algumas dessas aparições.
O número de ouro e o pentagrama
Figura: O pentagrama
A razão entre o segmento AP e PC é igual ao número de ouro.
Em um pentagrama a razão entre a diagonal e o lado do
pentágono é igual ao número de ouro.
Passos para a construção do pentagrama no Geogebra:
Figura: Construindo um cı́rculo
Figura: Inserindo o valor do raio
Figura: Cı́rculo de raio 5
Figura: Inserindo um ponto B no cı́rculo
Figura: Inserindo um ponto B no cı́rculo
Figura: Construindo um ângulo de 72o
Figura: Construindo um ângulo de 72o
Figura: Obtendo os outros ângulos de 72o
Figura: Pentagrama
Figura: Pentagrama
Exemplos de aparições do pentagrama na natureza
A galáxia
Na figura abaixo, temos a foto de uma galáxia, que apresenta o
formato da espiral áurea.
Figura: A galáxia
O Nautilus marinho
O Nautilus é uma espécie de molusco oriundo do sudoeste do
Oceano Pacı́fico. Na sua concha aparece a espiral áurea.
Figura: O Nautilus
O antı́lope
Se os chifres deste animal continuassem crescendo
indefinidamente, o resultado seria o aparecimento da espiral de
Fibonacci.
Figura: Antı́lope
O camaleão
Quando o rabo deste animal está contraı́do, percebe-se
claramente umas das representações mais perfeitas da espiral
de Fibonacci.
Figura: O camaleão
Arranjo de folhas
No arranjo das folhas de algumas plantas há a descrição da
sequência de Fibonacci. Este arranjo é relevante na captação
uniforme de raios solares e no escoamento das águas das
chuvas.
Figura: Espiral na folha
Ramos e troncos de plantas
Existem várias plantas que descrevem os números de
Fibonacci no crescimento de seus galhos. A Achillea ptarmica
é um exemplo de planta que detém estas caracterı́sticas.
Figura: EspiralUmna
folha
passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro
Pétalas de flores
Em muitas flores, o número de pétalas é um número de
Fibonacci.
Figura: Flores
Sementes
Nas sementes da pinha e do girassol, podemos encontrar os
números de Fibonacci. Na pinha, as sementes crescem e se
dispõe em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito
irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário. Já no
girassol, suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois
conjuntos de espirais: 21 no sentido horário e 34 no
anti-horário.
Figura:
Sementes
e do
Reginaldo
Leoncio Silva da pinha
Um passeio
pelagirassol
sequência de Fibonacci e o número de ouro
Árvore genealógica de um zangão
Aplicações da sequência de Fibonacci e do número
de ouro
CONVERSÃO DE MILHAS EM QUILÔMETROS
Um milha é uma unidade de medida que equivale a 1609
metros, ou seja, 1,609 quilômetros. Note que este número é
bem próximo do número de ouro cujo valor é 1,618. Assim, por
exemplo, para converter 5 milhas em quilômetros, basta olhar
para o próximo número de Fibonacci depois do 5, que é o 8,
pois como sabemos o número 5 é um número de Fibonacci.
Outro exemplo: Quantas milhas são 30 quilômetros?
Basta decompor o número 30 como soma dos números de
Fibonacci.
Temos que 30 = 1 + 8 + 21 ≈ 1 + 5 + 13 = 19 milhas.
A sequência de Fibonacci na Fı́sica
Na óptica dos raios de luz podemos verificar a presença da
sequência de Fibonacci. Vamos considerar duas placas de
vidro, de ı́ndices de refração diferentes, justapostas uma sobre
a outra. Sabemos que um raio de luz que incida sobre esse
conjunto pode sofrer reflexões e desvios. Assim sendo, vamos
contar o número de caminhos possı́veis de um raio de
luz aumentando gradualmente o número de reflexões nesses
caminhos.
Figura: Reflexão da luz
Triângulo de Pascal
No triângulo de Pascal, a soma dos elementos da n-ésima
diagonal é um número de Fibonacci.
Figura: Triângulo de Pascal
A sequência de Fibonacci e o Teorema de Pitágoras
A soma dos quadrados de dois números consecutivos da
sequência de Fibonacci é um número de Fibonacci, isto é,
F2n+1 = (Fn )2 + (Fn+1 )2 , ∀n ≥ 1
Figura: Teorema de Pitágoras
Prova:
Vimos que umas das propriedades dos números de Fibonacci é:
Fm+n = Fm−1 Fn + Fn+1 Fm , ∀n ≥ 1 e ∀m > 1. Tomando m = n + 1,
temos que:
Fm+n = F(n+1)+n = F2n+1 = Fn Fn + Fn+1 Fn+1 = (Fn )2 + (Fn+1 )2 ,
como querı́amos provar.
A proporção áurea no dia-a-dia
Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas
em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a
proporção divina.
Figura: Objetos com proporção áurea
Arte
Muitos artistas consagrados, como Piet Mondrian, Cândido
Portnari, Michelangelo, Leonardo da Vinci, usaram a razão
áurea em suas obras artı́sticas, com o intuito de obter
harmonia, beleza e perfeição. Como exemplo, podemos citar a
famosa pintura Monalisa do famoso pintor italiano Leonardo da
Vinci, produzido em 1505. Nesta obra, há a aparição de vários
retângulos áureos, como por exemplo, em torno do rosto, num
retângulo de dimensões 4,1 por 2,533, cuja razão é de
aproximadamente 1,618.
Figura: A Monalisa
Outro exemplo, é a Santa Ceia, obra também de Leonardo da
Vinci.
Figura: A Santa Ceia
Arquitetura
Com o mesmo objetivo de obter harmonia, beleza e perfeição,
muitos arquitetos usaram em suas construções o número de
ouro. Um dos exemplos mais ilustres é o Partenon, na Grécia,
que foi obra do Grego Fı́dias (Phidias - 490 a.C. a 430 a.C),
que era considerado um dos mais brilhantes arquitetos da
Grécia Antiga. Nesta obra, percebe-se inúmeras aparições do
retângulo áureo em sua estrutura.
Figura: O Partenon
Outro exemplo, é a torre de Toronto, no Canadá.
Figura: Torre de Toronto
Outro exemplo, é a Catedral de Notre Dame em Paris
Razões áureas no corpo humano
O número de ouro aparece como razão de medidas em
inúmeras partes do corpo humano. Como exemplo, citaremos
as seguintes:
A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandı́bula até o alto da
cabeça.
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à
ponta do dedo.
Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até
o chão.
Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo
”Homem Vitruviano”, obra de Leonardo Da Vinci, que é
baseado numa famosa passagem do arquitecto romano
Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de
“De Architectura”.
Figura: O homem vitruviano
Conclusão
Este seminário possibilitou um conhecimento sobre a
sequência de Fibonacci e o número de ouro, bem como sua
relação e propriedades, mostrando várias aplicações no mundo
material. Esperamos que o mesmo seja fonte de pesquisa para
muitas pessoas que queiram conhecer tal sequência e que
venha a ser trabalhado em sala de aula, devido a sua vasta
riqueza.
Referências
B. H. Gundlach. Números e numerais: Tópicos de História da
Matemática para sala de aula. Trad. Hygino H. Domingues.
São Paulo: Ediora Atual,1992.
H. Eves. Introdução a História da Matemática. Tradução:
Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP,
2004.
C. B. Boyer. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide.
São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1974.
E. de A. , Filho. Funções Aritméticas: Números notáveis. São
Paulo: Nobel, 1988.
A. Ferreira. Sequência de Fibonacci. Osasco, 2007.
R. M. Queiroz. Razão Áurea. Londrina, 2007.
F. M. Freitas. A Proporção Áurea e curiosidades históricas
ligadas ao desenvolvimento da ciência, 2008.
VOROBIOV, N. N. Números de Fibonacci: Lecciones populares
de matemáticas. Tradução: Carlos Vega. Moscou: Editoral
MIR, 1974.
ZAHN, Maurı́cio. Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda., 2011.
CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. 2. ed.
rev.. São Paulo: Livraria da Fı́sica, 2011.
Muito obrigado pela atenção!

Um passeio pela sequˆencia de Fibonacci eon´umero de

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