Sistema de Part´ıculas

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que a variação do momento linear do corpo até o instante
em que ele atinge novamente o solo é igual ao produto do
seu peso pelo tempo total que ele permanece no ar.
Instituto de Fı́sica - UFF
Fı́sica Geral e Experimental I/XVIII
Prof. Hisataki Shigueoka
7. A expressão da energia cinética é apresentada como sendo
K = m v 2 /2 e o momento linear, p = m v . (a) Mostre
que K = p2 /2m. (b) Como é possı́vel existir um evento
para o qual o momento linear do sistema seja constante,
porém a energia cinética total do sistema seja variável?
Sistema de Partı́culas1
Questões
8. Suponha que você agarre uma bola de tênis e a seguir
seja convidado a agarrar uma bola de boliche que possui
1. Um menino segurando uma pedra grande está em pé sobre
o mesmo momento linear ou a mesma energia cinética da
bola de tênis. O que você escolheria? Explique.
uma camada de gelo horizontal sem atrito. Ele lança a
9. Um objeto leve e outro leve têm a mesma energia cinética
pedra com velocidade v0 formando um ângulo θ acima da
horizontal. Considere o sistema constituı́do pelo menino
juntamente com a pedra. Existe conservação do momento
linear do sistema? Por que sim ou por que não? Nunhum
componente do momento linear do sistema é conservado?
Novamente, por que sim ou por que não?
de translação? Qual deles tem o maior momento linear?
10. Uma metralhadora dispara sobre uma placa de aço. A
força média oriunda do impacto da bala quando a bala é
refletida é maior ou menor do que a força quando a bala
se amassa e fica colada na placa? Explique.
Problemas
2. A velocidade final de um foguete de muitos estágios é
muito maior do que a velocidade final de um foguete de
um único estágio com a mesma massa e o mesmo combustı́vel. Explique esse fato.
3. Dizem que quando um atleta de saldo com vara salta e
ultrapassa a barra o seu centro de massa realmente passa
sob a barra. Isto é possı́vel?
4. Em um ambiente com gravidade igual a zero, pode uma
espaçonave movida por foguete atingir uma velocidade
maior do que a velocidade relativa com a qual o combustı́vel queimado é expelido? Explique.
5. Um pinguim de cerâmica apoiada sobre sua televisão repentinamente se parte em dois pedaços. Um pedaço, com
1. Considere três partı́culas, m1 = 1 kg; m2 = 2 kg e m3 =
3 kg distribuı́das no plano XY conforme a Fig.(1). As
forças externas aplicadas em cada partı́cula são,
√
√
2
2
F1 = −3(
− 1)î + 3
ĵ
2
2
√
√
2
2
F2 = −3î; F3 = 3
î − 3
ĵ
2
2
em Newton e no instante inicial v1 = 0; v2 = 0 e v3 = 3î
em m/s.
(a) O momento linear do sistema se conserva? ( Para
responder, encontre o vetor força externa resultante. )
(b) Calcule o vetor posição do centro de massa em t = 0.
massa mA voa da direita para esquerda com velocidade
vA . O outro pedaço, massa mB , voa da esquerda para a
(c) Calcule o vetor velocidade do centro de massa em
t = 0.
direita com velocidade vB . (a) Use a lei de conservação
(d) Qual o vetor velocidade vcm num tempo posterior?
do momento linear para obter vB em termos de mA , de
mB e de vB . (b) Use o resultado da parte (a) para
(e) Para confirmar a resposta do item (d) calcule em t =
1 s os dois itens a seguir: (e1) as novas velocidades v1 ; v2
mostrar que KA /KB = mB /mA , onde KA e KB são as
energias cinéticas dos dois pedaços.
e v3 ; (e2) calcule a velocidade, vcm , utilizando a expressão
escrita em termos das velocidades das partı́culas.
6. Um corpo de massa m é atirado do solo com velocidade
(f ) Se a velocidade inicial da partı́cula m3 for v3 = 0,
inicial v0 fazendo um ângulo θ com a horizontal. Mostre
quais são os vetores posições do centro de massa em t = 0
e em t > 0?
1 File:
Lista09 M om Linear 22010.TEX
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de um navio quebra-gelo de massa 425 kg que se move a
4, 16 m/s através do gelo, suposto sem atrito. Ele decide
caminhar para a frente do barco, cujo comprimento é de
18, 2 m e o faz à velocidade de 2, 08 m/s em relação ao
navio. (a) Qual o tempo gasto pelo homem ao deslocar de
uma extremidade a outra do navio? (b) Que distância o
navio percorrerá enquanto durar o movimento do homem?
(c) Qual é a velocidade do navio enquanto o homem está
em movimento? (d) E quando o homem para ao chegar
Fig. 1: Problema 1.
2. Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de
duas partı́culas está localizado sobre o eixo 0X no ponto
x = 2, 0 m e possui velocidade igual a 5, 0 î (m/s). Uma
das partı́culas está sobre a origem. A outra partı́cula pos-
na frente do navio? (e) Explique a diferença encontrada
entre os itens (c) e (d) . Observações: Resolva utilizando dois métodos. (1.) Calculando o deslocamento do
centro de massa do navio. (2.) Utilizando a conservação
do momento linear. Antes responda, por que se pode usar
essa lei de conservação? O que conserva? E por que a
velocidade do centro massa é constante? Para resolver
sui massa de 0, 10 kg e está em repouso sobre o eixo 0X
no ponto x = 8, 0 m. (a) Qual é a massa da partı́cula que
o problema iguale os momentos lineares inicial e final do
sistema navio + homem. Lembre-se que é dada a veloci-
está sobre a a origem? (b) Calcule o momento linear total
do sistema. (c) Qual é a velocidade da partı́cula que está
dade do homem em relação ao barco. Resp. (a) 8, 75 s;
(b) 33, 38 m.
sobre a origem? Resp. (a) 0, 30 kg; (b) 2, 0 î (kg.m/s);
(c) 6, 7 î (m/s).
3. Prob. 9.7 Um homem de massa segura-se numa escada
de corda, que pende de um balão de massa M. O balão
está estacionário em relação ao chão. (a) Se o homem
começar a subir a escada com velocidade v (em relação à
escada) em qual sentido e a que velocidade (em relação
à Terra) o balão se moverá? (b) Qual será o estado de
movimento depois que o homem parar de subir? Resp.
(a) m v/(m + M ) para baixo; (b) Volta ao estado estacionário.
4. Um veı́culo de 1200 kg se desloca a 12, 0 m/s ao longo de
rua retilı́nea. Outro carro de 1800 kg, e se deslocando a
20, 0 ms, tem seu centro de massa situado a uma distância
de 40, 0 m na frente do centro de massa do veı́culo. (a)
Calcule a posição do centro de massa do sistema constituı́do pelos dois carros. (b) Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando os dados acima. (c)
Calcule a velocidade do centro de massa do sistema. (d)
Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando a velocidade do centro de massa do sistema. Compare sua resposta com o resultado obtido no item (b)
.
5. Prob. 9.16 Um homem de 84, 4 kg está em pé no fundo
6. Prob. 9.36 Um barco em repouso explode, partindose em três pedaços. Dois deles, um tendo o dobro da
massa do outro, têm velocidades perpendiculares entre
si e módulo comum igual a 31, 4 m/s. A massa do terceiro pedaço é o triplo da massa do mais leve de todos.
Determine o módulo e a direção de sua velocidade imediatamente depois da explosão.
Observações O barco está em repouso inicialmente,
conclui-se que o vetor momento inicial é nulo. Pode-se
utilizar a conservação do momento linear, por quê? Qual é
a velocidade do centro de massa do sistema, antes e depois
da explosão? Utilize a expressão vetorial dos momentos
lineares de cada pedaço do barco, para isso especifique a
direção do terceiro pedaço em relação ao mais leve.
Resp. tan θ = 1/2 ⇒ θ = 26, 6o ; v3 = 23, 4 m/s
7. Um pescador, com massa de 70, 0 kg, está em uma extremidade de uma canoa de 50, 0 kg, ambos inicialmente
em repouso. O pescador se move 2, 0 m, em relação
às margens, rumo à outra extremidade da canoa, para,
e então resolve pular na água. Sua velocidade foi de
4, 5 m/s em relação à canoa. (a) Qual foi o deslocamento da canoa devido ao movimento inicial do pescador?
(b) Quando o pescador pulou, qual foi a sua velocidade
no referencial da água e a da canoa? (c) Qual é o mo-
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mento linear do sistema, homem mais a canoa, enquanto
(a) Ix = 16, 5 kg m/s; Iy = 8, 5 kg m/s, (b) Fmed =
o homem ainda está no ar? (d) E quando o homem
fica boiando na água? Explique o porquê das diferenças
1, 9 × 103 N, θ = 27o . (c) mg = 3, 9 N << Fmed
encontradas. Resp.(a) 2, 8 m em sentido oposto ao do
pescador; (b) 1, 9 m/s.
8. Um avião voa horizontal (direção î) com velocidade
350 km/h quando se fragmenta em duas partes de igual
massa. Uma parte sai com velocidade inicial v1 = 280 î −
219 ĵ (km/h). (a) Qual é a velocidade da outra metade
logo após a explosão? (b) A energia mecânica é conservada na explosão? (c) Se os dois fragmentos não atingem
o solo simultamente, a trajetória do centro de massa, cm,
seria parabólica até que os dois fragmentos estivessem no
solo? Resp. (420 î + 210 ĵ) km/h; (b) Não; (c) Não,
no momento em que um fragmento atinge o solo, este
faz uma força esterna sobre o fragmento, anulando sua
velocidade.
9. Um corpo de massa m cai livremente, sob a ação da gravidade, de uma posição P , a uma altura h em relação ao
chão. No mesmo momento em que ele começa a cair
um outro de igual massa, numa posição O, na mesma
altura h e a uma distância d do primeiro do primeiro, é
atirado com velocidade vo contra ele. Considerando-se
t = 0 no instante inicial, no instante t1 eles se chocam
e permanecem grudados e no instante t2 o conjunto cai
no chão. Determine: (a) a posição e a velocidade iniciais do centro de massa; (b) a aceleração do centro de
massa; (c) os tempos t1 e t2 ; (d) a posição em que o
conjunto atingirá o solo. Obs. Escolha O como origem
de coordenadas, i eixo x apontando de O para P, e o
eixo y na vertical apontando para baixo. Resp. (a)
rcm (0) = d/2 î; vcm (0) = vo /2 î; (b) −g ĵ; (c) t1 = d/vo
√
t2 = 2h/g; (d) rf = (v 2gh/2 + d/2)î − hĵ
10. A massa de uma bola de futebol é igual a 0, 40 kg. Inicialmente, ela se desloca da direita para a esquerda a
20, 0 m/s, a seguir é chutada deslocando-se com uma velocidade a 45o para cima e para a direita, com módulo
igual a 30, 0 m/s. Supondo um intervalo de tempo da
colisãoΔ t = 0, 010 s, calcule (a) o impulso da força resultante, (b) o módulo e a direção da força resultante
média. (c) Por que a direção da velocidade final não
é igual a da força média? (c) Qual é a força externa
que atua sobre a bola? No intervalo de tempo Δt durante a colisão, esta força pode ser ignorada? Resp.
11. Um garoto de massa igual a 40 kg sobe, num carrinho
de 10 kg que está num piso nivelado, com dois tijolos de
5 kg cada um. O garoto lança os tijolos, um de cada vez,
horizontalmente para trás, com uma velocidade escalar de
7 m/s em relação ao carrinho. (a) Qual velocidade do sistema depois do lançamento do segundo tijolo? (b) Qual
seria a sua velocidade se lançasse os dois tijolos simultamente, com a mesma velocidade de 7 m/s em relação ao
carrinho?