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Parte 4: Sears Capítulo 36 - Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Capítulo 36 Difração Física IV Difração Sears – capítulo 36 Prof. Nelson Luiz Reyes Marques Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz A difração é um fenômeno essencialmente ondulatório, ou seja, acontece apenas porque a luz é uma onda e é observado também em outros tipos de onda. A difração pode ser definida, sem muito rigor, como o alargamento sofrido por um feixe luminoso ao passar por uma fenda estreita. Algo mais acontece, porém, já que a difração, além de alargar um feixe luminoso, produz uma série de franjas claras e escuras que constituem a chamada figura de difração. Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundárias. http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/propagation/huygens3.html Capítulo 36 Difração Difração e a Teoria Ondulatória da Luz http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda Capítulo 36 Difração Princípio de Huygens-Fresnel Huygens: “(...) cada partícula do meio através do qual a onda evolui não só transmite o seu movimento à partícula seguinte, ao, longo da reta que parte do ponto luminoso, mas também a todas as partículas que a rodeiam e que se opõem ao movimento. O resultado é uma onda em torno de cada partícula e que a tem como centro”. Fresnel: As componentes da onda em direções fora da direção de propagação sofrem interferência destrutiva, gerando outra frente de onda que segue o padrão anterior. Princípio de Huygens-Fresnel Capítulo 36 Difração A fonte e a tela estão relativamente próximas do obstáculo que produz a difração. Capítulo 36 Difração Princípio de Huygens-Fresnel Capítulo 36 Difração Difração Fraunhofer A distância entre a fonte, o obstáculo e a tela são suficientemente grandes para que todas as retas que ligam pontos do obstáculo com pontos da tela possam ser considerados paralelos. As ondas luminosas são desviadas ao passarem pela superfície de uma esfera, produzindo um ponto claro no centro da sombra da esfera, conhecido como Ponto Claro de Fresnel. Capítulo 36 Difração Difração Fraunhofer Raios paralelos provenientes de uma fonte de luz coerente (no plano focal obj. de uma lente convergente) Capítulo 36 Difração Difração Fraunhofer Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Em primeiro lugar, dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a/2. Em seguida, estendemos até P1 um raio luminoso r1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r2 proveniente da extremidade superior da região de baixo. Para que haja interferência destrutiva no ponto P1, devemos ter Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Em primeiro lugar, dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a/2. Em seguida, estendemos até P1 um raio luminoso r1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r2 proveniente da extremidade superior da região de baixo. Para que haja interferência destrutiva no ponto P1, devemos ter Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos A posição da segunda franja escura pode ser determinada da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, dividimos a fenda em quatro regiões de mesma largura Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos No caso geral, Capítulo 36 Difração Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Capítulo 36 Difração Exemplo 36.1 – Difração de fenda simples Você faz um feixe de luz laser de 633 nm incidir sobre uma fenda estrita e observa a figura de difração sobre uma tela situada a uma distância de 6,0 m. Você verifica que é de 32 mm a distância entre o centro do primeiro mínimo central e o centro do primeiro mínimo abaixo do máximo central. Qual a largura da fenda? Neste caso, a distância entre os pontos sobre a tela é muito menor do que a distância entre a tela e a fenda, de modo que o ângulo mostrado na FIGURA 36.5a é muito pequeno. Logo, podemos usar a 𝑚 relação aproximada fornecida pela equação 𝑦𝑚 = 𝑥 para 𝑎 encontrar a largura da fenda. Capítulo 36 Difração Exemplo 36.1 – Difração de fenda simples O primeiro mínimo corresponde a m=1. A distância y1 entre o máximo central e o primeiro mínimo é igual à metade da distância entre os dois primeiros mínimos, logo, y1 = (32 mm)/2. 𝑚 𝑥 6,0 . 633 . 10−9 𝑦𝑚 = 𝑥 →𝑎= = 𝑎 𝑦1 32 . 10−3 a= 2,4 . 10−4 𝑚 = 0,24 𝑚𝑚 Capítulo 36 Difração Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca Capítulo 36 Difração Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca Capítulo 36 Difração Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca Capítulo 36 Difração Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca Capítulo 36 Difração Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca Capítulo 36 Difração Verificação Produzimos uma figura de difração em uma tela iluminando uma fenda longa e estreita com luz azul. A figura se dilata (os máximos e mínimos se afastam do centro) ou se contrai (os máximos e mínimos se aproximam do centro) quando (a) substituímos a luz azul por uma luz amarela ou (b) diminuímos a largura da fenda? Verificação Capítulo 36 Difração (a) The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html Verificação Capítulo 36 Difração (a) The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html Verificação Capítulo 36 Difração (b) The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html Verificação Capítulo 36 Difração (b) The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Intensidade relativa da figura de difração de uma fenda para três valores da razão a/λ. Quanto maior é a fenda, mais estreito é o máximo central. Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Capítulo 36 Difração As intensidades são dadas por: onde 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2 𝛽 𝜋𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 Os mínimos são dados por 𝛽 = 𝑚𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1, 2, 3, … 2 𝜋𝑎 𝑚𝜋 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1, 2, 3, … 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,2, 3, … (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠; 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑠) Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo 𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑𝟔. 𝟖 Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no interior da fenda. Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo 𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑𝟔. 𝟖 Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no interior da fenda. Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo 1 𝐸𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 2𝑅 𝐸0 𝛽= 𝑅 𝐸0 1 𝐸𝑃 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 1 2 𝛽 2 𝐼 𝐸2 = 2 𝐼0 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 Fenda única 2 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Capítulo 36 Difração Do capitulo anterior, a diferença de fase é dada por: 2𝜋 = (𝑟2 − 𝑟1 ) Da figura, a diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e 𝑎 o raio que sai do meio da fenda é dada por: 𝑟2 − 𝑟1 = = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜋 𝜋 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 A diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai da extremidade inferior da fenda é igual ao dobro desse valor 2𝜋 𝛽= 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Capítulo 36 Difração Fenda única 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2𝜋 𝛽= 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 2 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Capítulo 36 Difração As franjas escuras da figura de difração correspondem a I = 0. Esses pontos correspondem quando o numerador da equação 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2 Pela equação 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 é zero, ou seja, é múltiplo de 2. 𝛽= 2𝜋 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃, essa condição corresponde a = 𝑚 (𝑚 = ±1, ±2, ...) 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎 (𝑚 = ±1, ±2, ...) Capítulo 36 Difração Verificação Dois comprimentos de onda, 650 e 430 nm, são usados separadamente em um experimento de difração por uma fenda. A figura mostra os resultados na forma de gráficos da intensidade I em função do ângulo q para as duas figuras de difração. Se os dois comprimentos de onda forem usados simultaneamente, que cor será vista na figura de difração resultante (a) para o ângulo A e (b) para o ângulo B? I 0 A B Verificação Capítulo 36 Difração Lembrando: 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 , 𝑚 = 1, 2, 3, … (𝑚𝑖𝑛. −𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑟𝑎𝑠) Portanto: I =650nm =430nm 0 A B só vermelho só azul Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2𝜋 𝛽= 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 2 Capítulo 36 Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Capítulo 36 Difração Exemplo 36.2 – Intensidade I a) Em uma figura de difração da fenda única, qual é a intensidade em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas secundárias provenientes do topo da parte superior da fenda é igual a 66 rad? 𝛽 = 66 rad, 𝛽 2 = 33 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2 𝑠𝑒𝑛(33𝑟𝑎𝑑) = 𝐼0 33𝑟𝑎𝑑 2 = 9,3.10−4 𝐼0 b) Se esse ponto está 7º afastado do máximo central, quantos comprimentos de ondas de largura tem a fenda? 2𝜋 𝛽 (66 𝑟𝑎𝑑)𝜆 𝛽= 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑎 = = = 86 2𝜋𝑠𝑒𝑚𝜃 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑛 7° Exemplo 36.3 – Intensidade II Capítulo 36 Difração Na experiência descrita no exemplo 36.1, qual é a intensidade em um ponto sobre a tela a uma distancia de 3 mm do centro da figura de difração? A intensidade no centro é igual a I0. 𝑦 3.10−3 𝑡𝑔𝜃 = = = 5.10−4 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑔𝜃 = 𝜃 = 5.10−4 𝑟𝑎𝑑 𝑥 6 Do exemplo 36.1, a= 2,4 . 10−4 𝑚 = 0,24 𝑚𝑚 𝑒 = 633 𝑛𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜃)/𝜆 𝐼 = 𝐼0 𝜋𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜃)/𝜆 𝑠𝑒𝑛 0,60 𝐼 = 𝐼0 0,60 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋. 2,4 . 10−4 (5.10−4 )/633.10−9 → 𝐼 = 𝐼0 𝜋. 2,4 . 10−4 (5.10−4 )/633.10−9 2 = 089𝐼0 2 Capítulo 36 Difração Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de Difração de uma Fenda Capítulo 36 Difração Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de Difração de uma Fenda Difração Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Qualitativo Capítulo 36 Difração por uma abertura circular Capítulo 36 Difração Importante: aberturas sistemas ópticos Primeiro mínimo: d Disco de Airy (círculo central) Difração por uma abertura circular Capítulo 36 Difração Critério de resolução de Rayleigh A mínima separação angular possível de ser resolvida ou o limite angular de resolução é: máximo do disco de Airy de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo do padrão de difração da outra fonte. Como ângulos são pequenos: Difração por uma abertura circular Capítulo 36 Difração Critério de resolução de Rayleigh Maior aproximação Difícil separação Difração por uma abertura circular Capítulo 36 Difração Critério de resolução de Rayleigh Difração por uma abertura circular Capítulo 36 Difração Verificação Suponha que você mal consiga resolver dois pontos vermelhos por causa da difração na pupila do olho. Se a iluminação ambiente aumentar, fazendo a pupila diminuir de diâmetro, será mais fácil ou mais difícil distinguir os pontos? Considere apenas o efeito da difração. Lembrando: Portanto diminuindo d ficaria mais difícil resolver as duas fontes. Capítulo 36 Le Pont de Courbevoie 1886-1887 Difração Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila O pintor neoimpressionista Georges Seurat (final do século XIX) pertencia à escola do pontilhismo. Suas obras consistiam em um enorme número de pequenos pontos igualmente espaçados (aprox. 2,54 mm) de pigmento puro. A ilusão da mistura de cores é produzida somente nos olhos do observador. A que distância mínima de uma pintura como esta deveria o observador estar para observar a mistura desejada de cores? Capítulo 36 Difração Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila O diâmetro da pupila humana varia com certeza, mas tomando uma média para situação de claridade, como sendo de aproximadamente 2 mm, para um comprimento de onda de 550 nm: Onde l é 2,54mm, a distância entre os pigmentos, e d a distância do observador, portanto: Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila Capítulo 36 Difração Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes Capítulo 36 Difração Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes Capítulo 36 Difração Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes Capítulo 36 Difração Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes Capítulo 36 Difração Difração por Duas Fendas onda incidente Difração por Duas Fendas Capítulo 36 Difração Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência = Difração por Duas Fendas Capítulo 36 Difração Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒𝑠 2 i. 𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 ii. 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 𝐼 = 𝐼0 𝛽/2 2 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑜𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 Difração por Duas Fendas Difração Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência A intensidade é proporcional ao produto de i e ii 𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 2 2 𝛽/2 Capítulo 36 (duas fendas com larguras finitas) 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝜙 2 = 𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜆 𝑒 𝛽 2 = 𝜋𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜆 Capítulo 36 Difração Redes de Difração Capítulo 36 Difração Redes de Difração Redes de Difração Capítulo 36 Difração Diferença de caminho entre dois raios de fendas adjacentes (mesmo procedimento adotado para interf. em fenda dupla): d sen m (m 0, 1, 2,...) m = 0 (máximo central): é o mesmo para todos os comprimentos de onda. Capítulo 36 Difração Redes de Difração Capítulo 36 Difração Difração de raios-x R-x 1Å Difração de raios-x Capítulo 36 Difração R-x 1Å Raios-x Cristal Tubo de raios-x Colimador Filme fotográfico Difração Difração de raios-x Fenômeno de espalhamento da radiação eletromagnética, provocada pela interação entre o feixe de raios-X incidente e os elétrons dos átomos componentes de um material . Feixe difratado Capítulo 36 Raios X Feixe atravessa o cristal Difração de raios-x: lei de Bragg (1913) Feixe refletido Difração Feixe incidente Capítulo 36 Plano superior Plano inferior (lei de Bragg) Difração de raios-x: lei de Bragg Difração λ θ m = 2 d sen() θ d Diferença dos caminhos e/ raios Capítulo 36 d d senθ d senθ Parâmetro experimental: - Comprimento de onda da radiação ( 1.54 A) Parâmetros da amostra: d - distância entre planos atômicos - orientação desses planos em relação ao feixe, ângulo de Bragg m - ordem de difração (numero inteiro 1,2,3) Difração de raios-x: lei de Bragg Capítulo 36 Difração Quem cumpre essas condições? Material Radiação Incidente Materiais cristalinos (rede cristalina) Raios X d = 5 – 15 Å λ≈1Å Capítulo 36 Difração Difração de raios-x: lei de Bragg (a) A estrutura cúbica do NaCl, mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária (sombreada). (b) Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em (a). Os raios X são difratados como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos, com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência, ambos medidos em relação aos planos (e não em relação à normal, como na ótica). (c) A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ. Capítulo 36 Difração Exercício Raios-X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28o. Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão?
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